SKKN một số biện pháp phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh trong dạy học phần bài tập lượng giác lớp 11 THPT

SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT BÌNH SƠN

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến kinh nghiệm:
“Một số biện pháp phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh
trong dạy học phần bài tập lượng giác lớp 11 THPT”
Tác giả sáng kiến: Vũ Văn Tuyến
Mã sáng kiến: 19.52.03

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
1


Nhà sư phạm người Đức – Diestsrwer nhấn mạnh: “Người thầy giáo tồi là
người thầy giáo mang chân lý đến sẵn, còn người thầy giáo giỏi là người thầy giáo
biết dạy học sinh đi tìm chân lý”.
Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998) quy
định: “...Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác
động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh...”.
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội cơng nghiệp hóa,
hiện đại hóa với thực trạng của phương pháp dạy học Toán đã làm nảy sinh và thúc
đẩy cuộc vận động đổi mới PPDH Toán với định hướng đổi mới là tổ chức cho
người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động,
sáng tạo.

Lượng giác là một phân mơn có nhiều thuận lợi đối với việc xây dựng các
biện pháp sư phạm nhằm phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh. Trong
chương trình tốn lớp 9 và lớp 10 học sinh đã làm quen với các tỷ số lượng giác của
góc hình học, nhưng phần lượng giác được tập trung chủ yếu ở chương trình lớp 11
THPT.
Vì những lý do trên đây tơi chọn đề tài: “Một số biện pháp phát huy tính
tích cực, chủ động của học sinh trong dạy học phần bài tập lượng giác lớp 11
THPT” để làm đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm.
2. Tên sáng kiến
“Một số biện pháp phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh trong dạy
học phần bài tập lượng giác lớp 11 THPT”.
3. Tác giả
Họ tên: Vũ Văn Tuyến
Địa chỉ: Trường THPT Bình Sơn, Sơng Lơ, Vĩnh Phúc
Số điện thoại: 0364997544
Email:
2


4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Vũ Văn Tuyến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Áp dụng trong phương pháp vào dạy học để phát huy tính tích cực, chủ động
của học sinh khi học chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong
chương trình Đại số và giải tích 11.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: 09/2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1 Về nội dung của sáng kiến:
MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1) Biện pháp 1: Giới thiệu bài tốn với tư cách là một tình huống gợi vấn đề
Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực, chủ động khi

nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải
khắc phục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói như Rubinstein: “Tư duy sáng tạo
ln bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề”.
* Trong dạy học, một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu
hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn hai điều kiện sau:
- Học sinh chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được hành động
đó.
- Học sinh chưa được học một quy tắc có tính chất thuật tốn nào để giải đáp
câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra. Hiểu theo nghĩa trên thì vấn đề khơng đồng
nghĩa với bài tập. Những bài tập chỉ yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một quy
tắc có tính chất thuật tốn thì khơng phải là những vấn đề, ví dụ giải phương trình:

x2 − 5x + 4 = 0

.

* Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn
về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không
phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật tốn, mà phải trải qua một
q trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điểu

3


chỉnh kiến thức sẵn có. Như vậy, một tình huống có vấn đê cần thoả mãn các điều
kiện sau:
- Tồn tại một vấn đề: Tính huống phải buộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với
trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành
động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua.
- Gợi nhu cầu nhận thức, tức là người học sinh phải cảm thấy sự cần thiết, thấy

mình có nhu cầu giải quyết. Tốt nhất là tình huống gây được “cảm xúc” làm cho
học sinh ngạc nhiên, thấy hứng thú mà mong muốn giải quyết.
- Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp
dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của mình thì họ
cũng khơng sẵn sàng giải quyết. Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay
lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và họ tin
rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ giải quyết được.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Tri thức không phải là điều có thể dễ dàng cho
khơng. Để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo thường khơng thể trao ngay cho học
sinh điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những
tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thơng qua hoạt động tự giác, tích
cực, chủ động và sáng tạo”.
Giới thiệu bài tốn với tư cách là một tình huống gợi vấn đề với mục đích làm
cho vấn đề trở nên hấp dẫn tạo khả năng kích thích hoạt động tích cực của học sinh.
Ví dụ 1: Sau khi học cơng thức cộng, u cầu học sinh tính giá trị các hàm số
lượng giác của các cung không đặc biệt, chẳng hạn tính cos150.
Tình huống trở thành có vấn đề khi học sinh nhận thấy 15 0 không phải là số đo
của một cung đặc biệt và chưa biết thuật giải để trực tiếp giải bài tốn đó. Học sinh
tích cực suy nghĩ, huy động tri thức, kỹ năng của mình để tìm ra lời giải bài tập trên
0

bằng cách: Biểu thị 15 qua hai cung có số đo đặc biệt (

150 = 600 − 450

dụng trực tiếp công thức cộng

cos150 = cos(600 − 450 ) = cos600 cos 450 + sin 600 sin 450
4

), từ đó áp


1 2
3 2
1
= × +
× = ×××=
2 2
2 2
4

(

6+ 2

)

Để củng cố có thể cho học sinh giải các bài tốn sau:
1, Tính:

P = sin120.sin 480
2, Khơng sử dụng bảng, hãy tính:
A=

1
− 2sin 700
0
2sin10

Ví dụ 2: Dựa vào các kết quả đã biết sau:

1
sin x cos x = sin 2 x
2
1
1
sin x cos x cos 2 x = sin 2 x cos 2 x = sin 4 x
2
4
1
1
sin x cos x cos 2 x cos 4 x = sin 4 x cos 4 x = sin8 x
4
8
Hãy nêu bài toán tổng qt và áp dụng tính:

π
3π
5π
A = cos cos cos
7
7
7
Tình huống gợi vấn đề sẽ không xảy ra nếu ngay từ đầu giáo viên yêu cầu học
sinh tính giá trị của biểu thức A bởi nó khơng tạo điều kiện để học sinh có thể vượt
qua được sau khi đã tích cực suy nghĩ.
Dự tốn nhờ nhận xét trực quan, học sinh dễ dàng nêu được bài toán tổng quát.
Chứng minh rằng:

sin x cos x cos 2 x...cos 2n x =

Như vậy ta đã biết cơng thức tính:

1
sin 2 n+1 x
n +1
2

sin x cos x cos 2 x...cos 2n x

thức A ta làm như thế nào?
5

bây giờ để tính biểu


Có thể yêu cầu học sinh: Quan sát biểu thức A, hãy tìm cách biến đổi để đưa nó
về dạng của bài tốn tổng qt:
cos
Ta có:

Suy ra:

3π
4π
5π
2π
= − cos ;cos
= − cos

7
7
7
7

π
π
2π
4π
sin cos .cos .cos
π
2π
4π
7
7
7
7
A = cos .cos .cos
=
π
7
7
7
sin
7
1 8π 1
π
π
sin
sin(π + )

sin
7 =8
7 =1
7 =1
=8
π
π
8 sin π 8
sin
sin
7
7
7

Ví dụ 3: Giải phương trình:

sin 4 2 x + cos 4 2 x
= cos 4 4 x
π
π
tan( − x) tan( + x)
4
4

(1)

Hiển nhiên bài tập này là một vấn đề vì học sinh chưa có một quy tắc nào có
tính chất thuật tốn giải phương trình trên. Sự cần thiết phải giải bài tập này được
đặt ngay từ đầu bài là giải phương trình. Học sinh có thể giải được phương trình
trên nếu tích cực suy nghĩ và được sự hướng dẫn của giáo viên vì các em đã học

cách giải một số phương trình lượng giác thường gặp. Cho nên đây là một tình
huống có vấn đề.
Giáo viên đặt câu hỏi:

- Nhận xét gì về hai góc:

π
−x
4

và

π
+x
4

- Điều kiện để phương trình có nghĩa? (

6

(hai góc phụ nhau)

π
π
tan( − x).tan( + x) ≠ 0
4
4

)

- Hai góc:

nào? (

π
−x
4

và

π
+x
4

tan(
là hai góc phụ nhau thì

π
π
cos( − x).cos( + x ) ≠ 0
4
4

π
π
− x) tan( + x) ≠ 0
4
4

)

(x ≠
Học sinh tự mình biến đổi và tìm ra điều kiện của x?

π
π
+ k ; k ∈ ¢)
4
2

π
π
tan( − x).tan( + x)?
4
4

- Với điều kiện đó nhận xét gì về tích

(có giá trị bằng 1)

- Khi đó, phương trình (1) tương đương với phương trình nào?

( 1) ⇔ sin 4 2 x + cos 4 2 x = cos4 4 x

(2)

- Hãy tiếp tục biến đổi phương trình (2) về dạng quen thuộc?

( 2) ⇔ 1 −

1
1
sin 2 4 x = cos 4 4 x ⇔ 1 − (1 − cos 2 4 x) = cos 4 x
2
2

⇔ 2cos 4 4 x − cos 2 4 x − 1 = 0
- Phương trình (3) đã có dạng quen thuộc chưa?
- Trình bày cách giải phương trình (3)
Bài tập tương tự:
Giải các phương trình sau:

cos x = cos 2 (
1)

3x
)
4

sin 2 x − 2
sin 2 x − 4cos 2
2)

x
2

= tan 2

x

2

2 tan x + cot 2 x = 2sin 2 x +
3)

khi

1
sin 2 x

7

(3)


Ví dụ 4: Tìm chỗ sai trong lời giải bài tốn sau, tìm ra ngun nhân và đưa ra
cách giải đúng.
Xác

định

các

giá

trị

( m − 1) sin 2 x + 2 ( 3m + 2 ) sin x − 4 = 0
Giải:

Đặt

của

m

để

phương

trình:

(4) có nghiệm.

t = sin x

Khi đó, phương trình đã cho trở thành

( m − 1) t 2 + 2 ( 3m + 2 ) t − 4 = 0
Phương trình (4) có nghiệm

⇔

(5)

(5) có nghiệm

⇔ ∆ ' = ( 3m + 2 ) + 4 ( m − 1) ≥ 0 ⇔ 9m 2 + 16m ≥ 0
2

19

m
≤
⇔
6

m ≥ 0

Vậy với m

19
≤ 6

hoặc m ≥ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Việc giáo viên u cầu tìm chỗ sai trong lời giải bài tốn đã tạo ra một tình
huống gợi vấn đề, bởi vì nói chung khơng có thuật giải để phát hiện sai lầm. Tình
huống này gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ bản thân học sinh cũng rất muốn tìm ra sai
lầm của lời giải, khơng thể chấp nhận một lời giải sai. Nó cũng gây cho người học
niềm tin có ở khả năng huy động tri thức kỹ năng có của bản thân mình vì họ hiểu
rõ lời giải có sai lầm chỉ liên quan đến những tri thức đã học.
Sau khi phát hiện thấy sai lầm, học sinh đứng trước một nhiệm vụ nhận thức:
Tìm nguyên nhân và sửa chữa sai lầm. Đó cũng là một tình huống gợi vấn đề. Bởi
vì học sinh chưa có sẵn câu trả lời và cũng khơng biết thuật giải nào để có câu trả
lời, học sinh có nhu cầu giải quyết vấn đề, họ không chấp nhận để ngun nhân sai
lầm mà khơng sửa chữa, tìm ngun nhân sửa chữa sai lầm liên quan tới tri thức sẵn
8

có của họ, khơng có gì vượt q u cầu học sinh thấy nếu tích cực suy nghĩ vận
dụng tri thức đã học thì có thể giải quyết được vấn đề.
Lời giải trên sai lầm ở chỗ: Học sinh đó không ý thức được điều kiện của t nên
đã phát biểu bài toán thành: “ Xác định các giá trị của m để phương trình

( m − 1) t 2 + 2 ( 3m + 2 ) t − 4 = 0

có nghiệm” chính vì vậy dẫn đến kết quả sai.

Việc giải quyết sai lầm trên liên quan tới tri thức sẵn có của học sinh vì chính
các em đã biết tập giá trị của hàm số sin.
Với bài này, đặt

t = sin x

, khi đó điều kiện của t là

−1 ≤ t ≤ 1

. Yêu cầu của bài

toán này được chuyển thành:
“Xác định các giá trị của m để phương trình
nghiệm thoả mãn

−1 ≤ t ≤ 1

( m − 1) t 2 + 2 ( 3m + 2 ) t − 4 = 0

” có

".

2) Biện pháp 2: Vận dụng lý thuyết Vưgôtsky về vùng phát triển gần nhất
trong việc định hướng tìm tịi lời giải bài tốn.
Theo lý thuyết Vưgôtsky về cùng phát triển gần nhất những yêu cầu phải hướng
vào vùng phát triển gần nhất tức là phải phù hợp với trình độ mà học sinh đã đạt tới
ở thời điểm đó, khơng thốt ly cách xa trình độ này, nhưng họ vẫn cịn phải tích cực
suy nghĩ phấn đấu vươn lên thì mới thực hiện được nhiệm vụ đặt ra. Nhờ những
hoạt động đa dạng với yêu cầu thuộc về vùng phát triển gần nhất, vùng này chuyển
hố dần thành vùng trình độ hiện tại, tri thức, kỹ năng, năng lực lĩnh hội được trở
thành vốn trí tuệ của học sinh và những vùng trước kia còn ở xa nay được kéo lại
gần và trở thành những vùng phát triển gần nhất mới. Cứ như vậy, học sinh leo hết
nấc thang này tới nấc thang khác trong q trình hoạt động và phát triển.
Việc giải tốn là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh. Do vậy. khi dạy
học sinh giải toán, giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng
hơn là dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải tốn.
Bởi vì “Tìm được cách giải một bài tốn là một điều phát minh” (G. Pôlia, 1975).
9


Trong q trình giải một bài tốn cụ thể nào đó, lẽ đương nhiên khơng cần huy
động đến mọi kiến thức mà người giải đã thu thập, tích luỹ được từ trước. Cần huy
động đến những kiến thức nào, cần xem xét đến những mối liên hệ nào, điều đó còn
phụ thuộc vào khả năng chọn lọc của người giải tốn. Người giải tốn đã tích luỹ
được những tri thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp
để giải bài tốn. G. Pơlia gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức như vậy là sự huy
động việc làm cho chúng thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức.
Vận dụng lý thuyết Vưgôtsky về vùng phát triển gần nhất trong việc định hướng
tìm tịi lời giải bài tốn rất có hiệu quả đối với việc phát huy tính tích cực học tập

của học sinh.
Ví dụ 1: Sau khi học bài “Cơng thức lượng giác” có thể u cầu học sinh giải
các bài tập sau:
1. Chứng minh:
sin x.sin(

π
π
1
− x)sin( + x) = sin 3 x
3
3
4

2, Chứng minh rằng: Trong ∆ABC có:

cos A + cos B + cos C = 1 − 4sin

3 A 3B
3C
sin sin
2
2
2

Trong đó: A, B, C là ba góc của một tam giác.
* Đối với câu 1 thì đây là một bài tốn chứng minh đẳng thức lượng giác. Trước
khi chứng minh giáo viên có thể kiểm tra lại kiến thức cũ bằng những câu hỏi.
- Để chứng minh một đẳng thức ta làm như thế nào?
- Nhắc lại cơng thức biến đổi tích thành tổng?

- Mối quan hệ giữa các hàm số lượng giác của hai góc đối nhau?
Với những “tri thức cũ” vừa “tái hiện”, học sinh dễ dàng chứng minh bài toán
trên như sau:

Vế trái

2π 
1 
1
1
= sin x  (cos( −2 x) − cos )  = sin x  (cos 2 x − (− )) 
3 
2 
2
2

10


1
1
1 1
1
= sin x cos 2 x + sin x = × [sin 3 x + sin(− x)] + sin x
2
4
2 2
4
1
1

1
1
= sin 3x − sin x + sin x = sin 3 x =
4
4
4
4

vế phải.

* Đối với câu 2 thì đây là một bài tốn chứng minh đẳng thức lượng giác trong
tam giác. Yêu cầu này không quá xa đối với những kiến thức mà học sinh đã được
học. Bởi vì các em đã biết các cách chứng minh một đẳng thức, mối quan hệ giữa
các góc trong tam giác, mối quan hệ giữa các hàm số lượng giác của các cung có
liên quan đặc biệt, cơng thức biến đổi tổng thành tích, cơng thức nhân đơi.
Học sinh có thể sẽ biến đổi như sau:

= 2cos
Vế trái
Với

3( A + B )
3( A − B)
3x
cos
+ (1 − 2sin 2 )
2
2
2

A+ B +C =π ⇒ A+ B =π −C

, ta có:

3 ( A + B ) = 3 ( π − C ) = 3π − 3C = 2π + ( π − 3C )
⇒ cos

3( A + B)
2π + (π − 3C )
π 3C
= cos[
] = cos[π + ( − )]
2
2
2 2
= − cos(
= −2sin

Vậy, vế trái

π 3C
3C
− ) = − sin
2 2
2

3C
3( A − B )
3C
cos

+ 1 − 2sin 2
2
2
2

.

= 1 − 2sin

3C
3( A − B)
3C
3C
3( A − B )
3( A + B )
[cos
+ sin ] = 1 − 2sin [cos
− cos
]
2
2
2
2
2
2

= 1 − 2sin

3C
3A

−3B
3 A 3B
3C
[−2sin sin(
)] = 1 − 4sin sin sin
=
2
2
2
2
2
2

vế phải

Ví dụ 2: Sau khi dạy bài “Phương trình lượng giác cơ bản” yêu cầu học sinh giải
các phương trình sau:
11


cos( x +
1)

2)

π
π
) + sin( + 2 x) = 0
3
2

π
π
tan( + 3x) tan( + 2 x) = 1
3
3

Hiển nhiên yêu cầu này không quá xa đối với những kiến thức mà học sinh đã
được tích lũy được sau khi học bài “Phương trình lượng giác cơ bản”. Bởi họ biết
rằng việc giải mọi phương trình lượng giác đều đưa về việc giải các phương trình
lượng giác cơ bản, ở đây các phương trình đã cho chưa đúng với một trong bốn
dạng phương trình cơ bản như đã định nghĩa. Vì vậy học sinh phải qua một số phép
biến đổi lượng giác để đưa chúng về đúng một trong 4 dạng đó.
* Ở câu 1: Giáo viên có thể đặt câu hỏi
- Nhận xét gì về phương trình (1).
Phương trình lượng giác chỉ chứa cos và sin.
- Hãy tìm cách đưa phương trình về dạng cơ bản.

Giáo viên có thể gợi ý, hãy để ý tới

Do đó:

π
sin( + 2 x) = cos 2 x
2

π
π
π
cos( x + ) + sin( + 2 x) = 0 ⇔ cos( x + ) + cos 2 x = 0

3
2
3
⇔ cos( x +

π
π
) = − cos 2 x ⇔ cos( x + ) = cos ( π − 2 x )
3
3

2π k 2π
 π

x
+
=
π
−
2
x
+
k
2
π
x
=
+



3
9
3
⇔
⇔
(k ∈ ¢ )
π
4
π
 x + = 2 x − π + k 2π
x =
+ k 2π


3
3
Đối với câu 2: Giáo viên có thể nêu câu hỏi:
- Để giải phương trình (2) trước hết ta phải làm gì?
(Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa).
- Hãy cho biết điều kiện đó.
12


π

cos(
− x) ≠ 0

3
⇔

cos( π + 2 x) ≠ 0

3

(*)

- Điều kiện cần để phương trình (2) có nghiệm là gì?
tan(

π
− x) ≠ 0
3

và

π
tan( + 2 x) ≠ 0
3

π
tan( + 2 x)
3

Từ đó, chia cả 2 vế của (2) cho
π
1
tan( − x) =
π
π
π

3
tan( + 2 x ) ⇔ tan( − x) = cot( + 2 x)
3
3
3
Ta có:
- Để đưa phương trình này về dạng phương trình lượng giác cơ bản ta làm như
thế nào?
Giáo viên gợi ý bằng cách cho học sinh nêu lại mối liên hệ giữa các hàm số
lượng giác của hai cung phụ nhau.

π
cot x = tan( − x)
2
tan(
Từ đó, phương trình
tan(

⇔

π
π
− x ) = cot( + 2 x )
3
3

đưa về phương trình

π
π

− x) = tan( − 2 x)
3
6

π
π
−π
− x = − 2 x + kπ ⇔ x =
+ kπ , k ∈ ¢
3
6
6

Kiểm tra xem họ nghiệm này có thoả mãn điều kiện (*) khơng?
x=−
với

π
+ kπ ,
6

ta có:
13


cos(

π
π π
π

− x) = cos( + − kπ ) = cos( − kπ ) = sin kπ = 0, ∀k ∈ ¢
3
3 6
2

Vậy phương trình (2) vơ nghiệm.
Đối với học sinh khá, giỏi có thể cho họ giải bài tốn sau:

cot x − tan x − 2 tan 2 x − 4 tan 4 x =
(3)

8
3

.

3) Biện pháp 3: Tuần tự nâng cao yêu cầu, tạm thời hạ thấp yêu cầu khi cần
thiết.
Nhờ việc tổ chức hoạt động, đặc biệt là phân bậc hoạt động trong dạy học mà
người giáo viên có thể điều khiển q trình dạy học trên lớp.
Dựa trên lý thuyết về “Vùng phát triển gần nhất” của Vưgơtxky mà có thể tuần
tự nâng cao u cầu.
Ví dụ 1: Sau khi học bài “công thức biến đổi tích thành tổng" có thể u cầu học
sinh giải bài tập sau:

A = sin
Tính:

a)

7π
5π
cos
12
12

B = cos
b)

π
3π
5π
+ cos
+ cos
7
7
7

Ở câu a, học sinh trực tiếp vận dụng công thức:

sin a cos b =

1
[ sin(a − b) + sin(a + b) ]
2

Đối với câu b, học sinh được hoạt động với mức độ cao hơn, có nhiều cách biến
đổi để thu được kết quả nhanh hơn.
B = cos
Cách 1:

= 2cos

5π
π
3π
+ cos + cos
7
7
7

3π
2π
3π
3π
2π
4π
cos
+ cos
= 2cos cos
− cos
7
7
7
7
7
7
14


= 2cos

3π
2π
2π
2π
3π
2π
cos
− 2cos 2
+ 1 = 2cos [cos
− cos ] + 1
7
7
7
7
7
7

= 2cos

2π
3π
5π
2π
4π
π
[cos
+ cos ] + 1 = 2cos [2cos
cos ] + 1
7

7
7
7
7
7

π
π
2π
4π
7 cos π cos 2π .cos 4π + 1
= 4cos cos
cos
+1 = 4
π
7
7
7
7
7
7
sin
7
sin

8π
4 1 8π
1
7 +1 = 1
=

. sin
+1=
π
7
2 sin π
2
sin 8
7
7
sin

sin
(Vì

8π
π
π
= sin(π + ) = − sin )
7
7
7
2sin

Cách 2: Nhân 2 vế của B với
2 B sin

π
7

ta có:

π
π
π
π
3π
π
5π
= 2sin cos + 2sin cos
+ 2sin cos
7
7
7
7
7
7
7
= sin

2π
4π
2π
6π
4π
+ sin
− sin
+ sin
− sin
7
7

7
7
7

= sin

6π
π
= sin
7
7

sin
(Vì

6π π
1
+ =π ⇒ B =
7 7
2
)

Tuần tự nâng cao yêu cầu đối với học sinh trong dạy học sẽ phát huy được tính
tích cực, tính sẵn sàng học tập và sự phát triển trí tuệ của học sinh.
Trong trường hợp học sinh gặp khó khăn trong khi hoạt động, ta có thể tạm thời
hạ thấp yêu cầu. Sau khi họ đã đạt được nấc thấp này, yêu cầu lại được tuần tự nâng
15


cao. Làm như vậy vẫn phù hợp với lý thuyết Vưgôxky về vùng phát triển gần nhất.

Thật vậy, khi học sinh gặp khó khăn có nghĩa là yêu cầu đề ra còn ở những vùng
quá xa. Tạm thời hạ thấp yêu cầu tức là đã điều chỉnh yêu cầu hướng về vùng phát
triển gần nhất.
Ví dụ 3: Tính

A = cos80 cos120 cos 280 cos320 cos 480 cos520 cos680 cos720 cos880
Việc giáo viên u cầu tính biểu thức trên thì đa số học sinh thấy bài toán vượt
quá khả năng của họ. Khi đó, giáo viên có thể tạm thời hạ thấp yêu cầu bằng cách
ra cho họ bài toán sau.

Chứng minh rằng:

1
cos x cos(60o − x)cos(60o + x) = cos3 x
4

Hiển nhiên yêu cầu này không quá xa đối với học sinh sẽ dễ dàng chứng minh
như sau:

Vế trái

1

= cos x.  (cos( −2 x) + cos120o ) 
2


1
1
1 1

1
= cos 2 x cos x − cos x = × (cos x + cos3 x) − cos x
2
4
2 2
4
1
= cos3x
4

= vế phải

Khi đã giải bài tốn phụ trên thì học sinh sẽ khơng gặp khó khăn trong khi tính
biểu thức A. Giáo viên có thể gợi ý.
- Hãy sắp xếp cos của các góc ở vế phải theo nhóm
- Áp dụng kết quả của bài tập phụ tính A?

16

α ,600 − α ,600 + α

?


A = (cos8 0 cos52 0 cos 68 0 )(cos12 0 cos 480 cos 72 0 )(cos 28 0 cos32 0 cos88 0 )

1
1
1
= ( cos 24 0 )( cos36 0 )(cos84 0 ) = cos 240 cos36 0 cos84 0

4
4
64
1 1
1
=
× cos 720 =
sin180
64 4
256

Vấn đề bây giờ là học sinh phải tính sin180
Giáo viên gợi ý:

540 + 360 = 900 => cos540 = sin 360

(*)

+ Biểu diễn góc 540 và 360 dới dạng góc180

(540 = 3.180 ;360 = 2.180 )

+ Từ đó, ta có

cos3.180 = sin 2.180

. Hãy sử dụng công thức nhân ba, nhân đôi

và biến đổi sao cho trong đẳng thức chỉ xuất hiện sin180?
(*)

⇔ 4sin 2 180 + 2sin180 − 1 = 0

+ Giải phương trình bậc hai đối với sin180? Từ đó suy ra kết quả?

sin180 =

5 −1
4

Ví dụ 4: Giải phương trình:

A=
Vậy

1
5 −1
×
256 1024

cos3 x + 2 − cos 2 3 x = 2(1 + sin 2 2 x)

Đây là phương trình khơng chuẩn mực nên học sinh thường gặp khó khăn khi
giải phương trình này. Giáo viên có thể tạm thời hạ thấp yêu cầu bằng cách hỏi học
sinh?
- Hãy cho biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức ở vế phải?
Học sinh dễ dàng thấy ngay: Vế phải
Dấu “=” xẩy ra

⇔ sin 2 x = 0

= 2(1 + sin 2 2 x) ≥ 2

.
17

với

∀x


- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức vế trái?
Nếu học sinh gặp khó khăn giáo viên có thể dẫn dắt thêm.
+ Hãy nhắc lại bất dẳng thức Bunhia-côpski:
(a + b)2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) ⇒ a + b ≤ 2(a 2 + b 2 )

+ Áp dụng tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ở vế trái ?
VT = cos3 x + 2 − cos 2 3 x ≤ 2(cos 2 3 x + 2 − cos 2 3 x) = 2

Với
+ Dấu “=” xẩy ra

∀x

⇔ cos3 x = 1

- Vế trái bằng vế phải khi nào?
Khi các dấu đẳng thức xẩy ra tức là
sin 2 x = 0


cos3 x = 1

(*)
Đến đây học sinh dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình. Bằng cách giải hệ
pt (*)
Để củng cố cho học sinh có thể giải các bài tốn sau:
1) Tính:

A = tan 30 tan17 0 tan 230 tan 37 0 tan 430 tan 57 0 tan 630 tan 77 0 tan 830

2) Giải phương trình sau:
(sin

3x
1 2
x
1
81
+
) + (cos3 +
) 2 = cos 2 4 x
2 sin 3 x
2 cos3 x
4
2
2

4) Biện pháp 4: Sử dụng dạy học phân hoá như là một điều kiện tiến hành
dạy học đồng loạt.
Dạy học phân hoá xuất phát từ sự biện chứng của thống nhất và phân hoá, từ

yêu cầu đảm bảo thực hiện tốt các mục đích dạy học đối với tất cả một học sinh,
đồng thời khuyến khích phát triển tối đa và tối ưu những khả năng của cá nhân.

18


Việc kết hợp giữa giáo dục diện “đại trà” với giáo dục diện “mũi nhọn”, giữa
“phổ cập” với “nâng cao” trong dạy học Tốn học ở trường phổ thơng cần được tiến
hành theo các tư tưởng chủ đạo sau:
a) Lấy trình độ phát triển chung của học sinh trong lớp làm nền tảng.
Việc dạy học tốn phải lấy trình độ phát triển chung với điều kiện chung của
học sinh trong lớp làm nền tảng. Nội dung và phương pháp dạy học trước hết cần
phải phù hợp với trình độ và điều kiện chung này. Đối với diện này cần mạnh dạn
tinh giản nội dung, tước bỏ những gì chưa thiết thực và chưa phù hợp để đi vào
những yêu cầu thật cơ bản.
b) Sử dụng những biện pháp phân hoá đưa diện học sinh yếu kém lên trình
độ chung:
Cố gắng làm sao để những học sinh yếu kém đạt được những tiền đề cần thiết để
có thể hịa vào học tập đồng loạt theo trình độ chung.
c) Có những nội dung bổ sung và biện pháp phân hóa giúp học sinh khá, giỏi
đạt những yêu cầu nâng cao trên cơ sở đã đạt được những yêu cầu cơ bản.
Dạy học phân hố có thể được thực hiện theo hai hướng:
- Phân hố nội tại (phân hóa trong) tức là dùng những biện pháp phân hóa thích
hợp trong một lớp thống nhất với cùng một kế hoạch học tập cùng một chương trình
và sách giáo khoa.
- Phân hố về tổ chức (phân hóa ngồi), tức là hình thành những nhóm ngoại
khóa, lớp chun, giáo trình tự chọn...
Dạy học phân hóa nội tại.
* Việc dạy học phân hoá nội tại xuất phát từ những quan điểm sau:
- Yêu cầu xã hội đối với học sinh vừa có sự giống nhau về những đặc điểm cơ

bản của người lao động trong cùng một xã hội, vừa có sự khác nhau về trình độ phát
triển, về khuynh hướng, tài năng.
- Học sinh một lớp học vừa có sự giống nhau, vừa có sự khác nhau về trình độ
phát triển nhân cách, trong đó sự giống nhau là cơ bản, chính vì sự giống nhau, ta
mới có thể dạy học sinh trong một lớp học thống nhất.
19


- Những điểm khác nhau giữa các học sinh có thể có tác động khác nhau đối với
q trình dạy học, một số có tác động tích cực, một số có tác động ngăn trở và một
số hầu như khơng ảnh hưởng gì tới quá trình dạy học.
- Sự giống nhau và khác nhau về yêu cầu xã hội và về trình độ phát triển nhân
cách từng người địi hỏi một quá trình dạy học thống nhất với những biện pháp
phân hố nội tại.
- Sự hiểu biết của thầy cơ giáo về từng học sinh là một điều kiện thiết yếu bảo
đảm dạy học phân hoá.
- Dạy học phân hoá cần được xây dựng thành kế hoạch lâu dài, có hệ thống có
mục đích.
* Những biện pháp dạy học phân hoá.
(i) Đối xử cá biệt ngay trong những pha dạy học đồng loạt.
Trong dạy học cần lấy trình độ phát triển chung của học sinh trong lớp làm nền
tảng, do đó những pha cơ bản là những pha dạy học đồng loạt. Tuy nhiên, ngay trong
những pha này, thông qua quan sát, vấn đáp và kiểm tra, người thầy giáo cần phát
hiện những sự sai khác giữa các học sinh về tình trạng lĩnh hội và trình độ phát triển,
từ đó có những biện pháp phân hóa nhẹ như:
+ Lơi cuốn đơng đảo học sinh có trình độ khác nhau vào quá trình dạy học bằng
cách giao nhiệm vụ phù hợp với từng loại đối tượng, khuyến khích học sinh yếu,
kém khi họ tỏ ý muốn trả lời câu hỏi, tận dụng những tri thức và kỹ năng riệng biệt
của từng học sinh.
+ Phân hoá việc giúp đỡ, kiểm tra và đánh giá của học sinh.

(ii) Tổ chức những pha phân hóa trên lớp.
Ở những lúc nhất định trong quá trình dạy học có thể thực hiện những pha phân
hố tạm thời, tổ chức cho học sinh những hoạt động một cách phân hoá. Biện pháp
này được áp dụng khi trình độ học sinh có sự sai khác lớn, có nguy cơ yêu cầu quá
cao, hoặc quá thấp nếu cứ dạy học đồng loạt.
Ở những pha này, giáo viên giao cho học sinh những nhiệm vụ phân hoá
(thường thể hiện những bài tập phân hóa), điều khiển q trình giải những bài tập
20


này một cách phân hóa và tạo điều kiện giao lưu gây tác động qua lại trong những
người học.
Những khả năng phân hoá biểu thị bởi sơ đồ sau:
Ra bài tập phân hoá:
- Phân bậc
- Số lượng phân hoá

Hoạt động của học sinh

Tác động qua lại giữa các học trò:
- Thảo luận trong lớp.
- Học theo cặp
- Học theo nhóm

Điều khiển phân hoá của thầy giáo:
- Phân hoá mức độ độc lập hoạt động của trò
- Quan tâm cá biệt

(Dẫn theo Nguyễn Bá Kim 2004)
- Ra bài tập phân hoá:

Ý đồ ra bài tập phân hoá là để những học sinh khác nhau có thể tiến hành những
hoạt động khác nhau phù hợp với trình độ khác nhau của họ.
Có thể phân hoá về yêu cầu bằng cách sử dụng những mạch bài tập phân bậc.
Cũng có thể phân hố về mặt số lượng. Để chiếm lĩnh một kiến thức, rèn luyện một
kỹ năng nào đó, một số học sinh này có thể cần nhiều bài tập cùng loại hơn một số
học sinh khác. Nên ra đủ liều lượng bài tập như vậy cho từng loại đối tượng. Những
học sinh còn thừa thời gian, đặc biệt là học sinh giỏi sẽ nhận thêm những bài tập
khác để đào sâu và nâng cao.
- Điều khiển phân hoá của thầy giáo:
Trong việc điều khiển học sinh giải bài tập, thầy giáo có thể định ra yêu cầu
khác nhau về mức độ hoạt động độc lập của học sinh, hướng dẫn nhiều hơn cho học
sinh này, ít hoặc khơng gợi ý cho học sinh khác, tuỳ theo khả năng và trình độ của
họ. Đồng thời cần quan tâm cá biệt động viên học sinh nào đó có phần thiếu tự tin,
lưu ý học sinh này hay tính tốn nhầm lẫn, nhắc nhở học sinh kia đừng hấp tấp, chủ
quan...
- Tác động qua lại giữa những người học:
21


Trong q trình điều khiển học sinh học tập nói chung và giải bài tập nói riêng,
cần phát huy những tác dụng qua lại giữa những người học bằng các hình thức học
tập khuyến khích sự giao lưu giữa họ như thảo luận trong lớp, học theo cặp hoặc
học theo nhóm. Với những hình thức này, có thể tận dụng chỗ mạnh của một số học
sinh này để điều chỉnh nhận thức cho những học sinh khác. Tác dụng điều chỉnh
này có một số ưu điểm so với tác dụng của thầy giáo: Có tính thuyết phục, nêu
gương khơng có tính chất áp đặt,... Đương nhiên, những hình thức này khơng phải
chỉ có tác dụng một chiều: Học sinh khá, giỏi giúp đỡ học sinh yếu kém. Thực tiễn
cho thấy rằng những liên kết một chiều sớm muộn cũng bị phá vỡ. Chỉ những liên
kết hai bên cùng có lợi mới có sức sống nội tại. Trong trường hợp của chúng ta,
những hình thức học theo cặp, học theo nhóm (trong giờ học trên lớp) khơng phải

chỉ có lợi cho học sinh yếu kém. Điều quan trọng là thông qua các hình thức này
học sinh, cụ thể là các thành viên trong một cặp hoặc một nhóm được rèn luyện
cách thức làm việc để cùng tiến hành những hoạt động chung để thực hiện một
nhiệm vụ chung, trong đó có sự phân cơng, phân nhiệm, có trao đổi ý kiến, có diễn
đạt lý giải, thuyết phục để tìm ra con đường hoặc phương án giải quyết vấn đề. Tình
huống làm việc như trên: Cùng thực hiện một nhiệm vụ, có sự giao lưu trong tập thể
và phát triển những mối quan hệ xã hội là một tình huống vẫn thường xẩy ra trong
đời sống. Học sinh dù khá giỏi hay yếu kém cũng đều cần tập hoạt động trong
những tình huống như vậy.
Trong khi chỉ đạo học tập theo cặp hoặc theo nhóm cần lưu ý:
Thứ nhất, cần tập dượt cho học sinh cách thức làm việc tập thể có giao lưu gây
động cơ cho học sinh đối với cách làm việc này bằng cách cho học sinh thấy rõ đây
là cách làm việc thường diễn ra trong thực tế.
Thứ hai, cần thay đổi vai trò người thực hiện và người kiểm tra, thay đổi phân
công phân nhiệm để tập cho một người có thể thực hiện nhiều chức năng khác nhau,
có thể hồn thành nhiều nhiệm vụ khác nhau.
Thứ ba, cần gây cho mọi thành viên trong cặp hoặc trong nhóm có ý thức và
thói quen tự kiểm tra và rút kinh nghiệm trong hoạt động.
22


(iii) Phân hóa bài tập về nhà.
Cũng như ở trên lớp, những bài tập về nhà cũng có nhiều khả năng phân hoá.
Trong việc làm này người thầy cần lưu ý:
- Phân hoá về số lượng bài tập cùng loại phù hợp với từng loại đối tượng để
cùng đạt một yêu cầu.
- Phân hoá về nội dung bài tập để tránh đòi hỏi qúa cao đối với học sinh yếu
kém và quá thấp đối với học sinh giỏi.
- Phân hoá yêu cầu về mặt tính độc lập: bài tập cho diện yếu kém chứa nhiều
yếu tố dẫn dắt hơn là bài tập diện khá, giỏi;

- Ra riêng những bài tập nhằm đảm bảo trình độ xuất phát cho những học sinh
yếu kém để chuẩn bị cho những bài học sau;
- Ra riêng những bài tập nâng cao cho học sinh giỏi.
Trong dạy học phân hố, người thầy giáo cần tính tới những đặc điểm của cá
nhân học sinh, chú ý tới từng đối tượng hay từng loại đối tượng về trình độ tri thức,
kỹ năng, kỹ xảo đã đạt, về khả năng tiếp thu, nhu cầu luyện tập và sở thích, hứng
thú, khuynh hướng nghề nghiệp... để tích cực hóa hoạt động của học sinh trong học
tập.
Một khả năng dạy học phân hố thường dùng là phân hố nội tại.
Ví dụ 1: Bài tập phân hố nhằm củng cố cơng thức biến đổi tổng thành tích:
1) Biến đổi tổng thành tích các biểu thức sau:
A = cos 2 x +cos x
B = sin 2a − sin 4b
C = sin x sin 2 x + sin 3 x
D = cos a + sin b

E = cos a +cos b + cos(a + b) + 1
2) Chứng minh rằng: Trong mọi tam giác ABC, ta có:
A
B
C
cos A + cos B + cos C = 4cos cos cos
2
2
2

23


A = cos

π
5π
7π
+ cos
+ cos
9
9
9

B = cos

π
3π
5π
17π
+ cos
+ cos
+ ... + cos
19
19
19
19

3) Tính:

Đối với học sinh yếu và trung bình có thể yêu cầu các em tuần tự làm hai bài
1,2. Trong khi những học sinh khá giỏi có thể bỏ qua bài 1, và sử dụng thời gian dôi
ra để làm bài tập 3.
Ví dụ 2: Bài tập phân hố nhằm cũng cố bài “Phương trình lượng giác cơ bản”.

1) Giải các phương trình sau:

sin x =
a)

3
2

cos3 x = −
b)
c)

2
2

sin 2 x + 3 = 0

2) Giải các phương trình sau:

sin(2 x − 15 0 ) =
a)
b)

c)

e)

f)

với

−1200 < x < 900

sin 3x = cos 2 x
3
tan x − sin x = 0
2
sin 2 (5 x +

d)

2
2

2π
x
) = cos 2 ( + π )
5
4

cos3 x.tan 5 x =sin 7 x
1
1
2
+
=
cos x sin 2 x sin 4 x
24

3) Giải và biện luận:
a)
b)

( m − 1) sin x + 2 − m = 0

( m − 4 ) tan 2 x −

m =0

Yêu cầu học sinh yếu và trung bình tuần tự làm các bài tập 1 và bài tập 2.
Học sinh khá giỏi có thể bỏ qua bài tập 1.
Trong khi học sinh giải bài tập, giáo viên cần chú ý đến hoạt động của từng loại
học sinh và có sự giúp đỡ, động viên chỉ bảo cần thiết và cụ thể.
7.2 Về khả năng áp dụng của sáng kiến
- Sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng cho giáo viên làm tài liệu tham khảo
để phục vụ trong giảng dạy chính khóa hoặc trong dạy học chuyên đề;
- Sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11. Khả
năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm là ở việc giúp học sinh phát huy được
tính tích cực, chủ động trong việc học tập phần lượng giác lớp 11.
8. Những thông tin cần được bảo mật: Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
- Đòi hỏi giáo viên phải chuẩn bị công phu, phân dạng và hướng dẫn tỉ mỉ;
- Trình độ nhận thức của học sinh từ mức trung bình trở lên, đồng đều;
- Cơ sở vật chất, thiết bị dạy học đảm bảo.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tác giả:
+ Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại Trường THPT Bình Sơn, trong hai
năm học 2018 – 2019 và 2019 – 2020, qua các năm lớp thực nghiệm và đối chứng:
Năm học

Lớp thực nghiệm, sĩ số,
Giáo viên giảng dạy

Lớp đối chứng, sĩ số,
Giáo viên giảng dạy

2018 – 2019

11A, sĩ số: 37

11C, sĩ số: 36

2019 – 2020
11A, sĩ số: 38
+ Nội dung thực nghiệm

11C, sĩ số: 37

25