SKKN tạo hứng thú học toán lớp 10 THPT thông qua các bài toán thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG PT DTNT Cấp 2-3 VĨNH PHÚC
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến:
TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN LỚP 10-THPT THƠNG QUA CÁC BÀI
TỐN THỰC TẾ

Tác giả sáng kiến: DƯƠNG THỊ KIỀU NHUNG
Mã sáng kiến: 04.52.04

Vĩnh Phúc, năm 2021
1


MỤC LỤC
NỘI DUNG
1.

Lời giới thiệu

2.

Tên sáng kiến

3.

Tác giả sáng kiến

4.

Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

5.

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

6.

Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu

7.

Mô tả bản chất của sáng kiến

7.1. Về nội dung của sáng kiến
7.1.1. Hệ thống kiến thức
7.1.2. Xây dựng hệ thống các ví dụ , bài tốn có nội dung thực tiễn
Chương 1: Mệnh đề
Chương 2: Hàm số bậc nhất-Hàm số bậc hai
Chương 3: Phương Trình và hệ phương trình
7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến
8. Những thông tin cần được bảo mật
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
10. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc

2

áp dụng sáng kiến lần đầu
TÀI LIỆU THAM KHẢO

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Vai trị của tốn học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể
hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,
sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, tốn học thúc
đẩy mạnh mẽ các q trình tự động hố trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm
vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Tốn học có
vai trị quan trọng như vậy khơng phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên
hệ mật thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy
thực tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Tốn học
có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán
học là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự
nhiên, một số ngành khoa học ln cần tốn học phát triển trước và tốn học
là cơng cụ để lĩnh vực đó phát triển .
Muốn học sinh học tốt mơn Tốn và các mơn khoa học tự nhiên thì cần
phải nắm vững các khái niệm cơ bản, thuộc và sử dụng chính xác các cơng
thức trong sách giáo khoa. Một biện pháp khác giúp các em học sinh học tốt
mơn Tốn nữa chính là tạo hào hứng cho các em học sinh trong học tập. Phát
huy hào hứng và tích cực của các em trong học tập là một điều cần thiết và
quan trọng. Khi có một tâm lý thoải mải và hứng thú trong cơng việc sẽ làm
giúp các em u thích mà muốn tìm hiểu mơn học dẫn đến việc tiếp thu và
học tập được tốt hơn.
3

Nội dung chương trình tốn lớp 10 là nội dung quan trọng vì nó có vị trí
chuyển tiếp và hồn thiện từ THCS lên THPT và có nhiều cơ hội để đưa nội
dung thực tiễn vào dạy học.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường THPT nhìn chung mới chỉ tập
chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng
tư duy tri thức trong nội bộ mơn tốn là chủ yếu cịn kĩ năng vận dụng tri
thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực tiễn chưa được
chú ý đúng mức và thường xun.
Những bài tốn có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản
xuất cịn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình tốn phổ
thơng.
Trong q trình giảng dạy, tơi đã tích lũy được một vài kinh nghiệm nhằm
tạo hứng thú cho các em học sinh khi học toán. Với mong muốn nâng cao
chất lượng dạy và học tôi xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp đề tài: “ Tạo
hứng thú học Tốn lớp 10-THPT thơng qua các bài tốn thực tế ”. Thông
qua việc giảng dạy khai thác một số bài tập có sử dụng nhiều cách khác nhau,
từ các ví dụ đơn giản, các bài tốn thường gặp dần dần giải các bài toán phức
tạp hơn, các bài toán có ứng dụng thực tế nhằm tạo cho học sinh cảm hứng và
thói quen tự học, tự nghiên cứu cho các em. Hy vọng đề tài này sẽ giúp các
em học sinh học tập mơn Tốn tốt hơn.
2.
Tên sáng kiến: “ Tạo hứng thú học Tốn lớp 10-THPT thơng qua
các bài
toán thực tế ”.
3.

Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Dương Thị Kiều Nhung.
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường PT DTNT Cấp 2-3 Vĩnh Phúc.
- Số điện thoại:0973938419. G mail:

4.

Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Dương Thị Kiều Nhung.

5.

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

4


Giảng dạy cho học sinh lớp 10.
6.
Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
10/9/2020.
7.

Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1. Về nội dung của sáng kiến:
Môn tốn có liên hệ chặt chẽ với khoa học tốn học, toán học đang phát
triển như vũ bão, ngày càng xâm nhập vào các lĩnh vực khoa học công nghệ và
đời sống. Toán học phản ánh ở trong nhà trường phổ thông là nền tảng cơ bản
được sắp xếp thành một hệ thống và đảm bảo tính khoa học, tính tư tưởng để
tiếp tục học đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào
cuộc sống lao động.
7.1.1. Phương pháp chung sử dụng toán học giải các bài tập của bộ
mơn khác hoặc có nội dung thực tiễn.
Ta đã biết rằng khơng có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán, ngay

cả đối với những lớp bài tốn riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp
khơng có thuật giải. Bài tốn thực tiễn trong cuộc sống là rất đa dạng, phong
phú xuất phát từ những nhu cầu khác nhau trong lao động sản xuất của con
người. Do vậy càng khơng thể có một thuật giải chung để giải quyết các bài toán
thực tiễn. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm
tịi,
phát hiện cách giải bài tốn lại là có thể và cần thiết.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya
về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợp
với những đặc thù riêng của bài tốn thực tiễn, có thể nêu lên phương pháp
chung để giải bài tốn có nội dung thực tiễn như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài tốn. Tốn học hố bài tốn, chuyển bài
tốn với những ngơn ngữ, những dự kiện trong cuộc sống thực tế thành bài tốn
với ngơn ngữ tốn học, các dữ kiện được biểu thị bằng các ẩn số, các con số,…
Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực tiễn được chuyển thành các
biểu thức, các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình tốn học…
5


Bước này có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc giải quyết một bài tốn có
nội dung thực tiễn, đồng thời nó cũng phản ánh khả năng, trình độ của người
học đối với việc hiểu và vận dụng các tri thức tốn học.
Bước 2: Tìm cách giải cho bài tốn đã được thiết lập. Tìm tịi, phát hiện
cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn: Biến đổi cái phải tìm hay
phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết,
liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một
bài toán tổng qt hơn hay một bài tốn nào đó có liên quan, sử dụng những
phương pháp đặc thù với những dạng toán.
Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hố kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan…

Bước 3: Trình bày lời giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các
việc phải làm thành một chương trình gồm các bước thực hiện theo một trình tự
thích hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Đưa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của bài toán , thường là một
kết quả đo đạc, một phương án, một kế hoạch sản xuất… Do thực tiễn đặt ra.
Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng của
kết quả của lời giải. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề. Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tư duy, tìm tịi sáng tạo học
sinh.
Để trang bị cho HS tri thức phương pháp giải bài tốn có nội dung thực tiễn
như đã nêu trên và cần tăng cường rèn luyện cho học sinh khả năng và thói quen
ứng dụng kiến thức, kỹ năng và phương pháp tốn học vào những tình huống cụ
thể khác nhau ( trong học tập, trong lao động sản xuất, trong đời sống…)
7.1.2. Xây dựng hệ thống các ví dụ và bài tốn có nội dung thực
tiễn trong dạy học một số chương đại số 10 cơ bản - THPT
Chương1: Mệnh đề - Tập hợp
1. Tóm tắt kiến thức cơ bản chương I: mệnh đề - tập hợp.
Một mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
Một câu khẳng định đúng gọi là một mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai
6


gọi là một mệnh đề sai.
+Cho mệnh đề P. Mệnh đề “không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định
của P và được kí hiệu là P .
+ Mệnh đề chứa biến, cho mệnh đề chứa biến P(x) với x X . Mệnh đề phủ
định của mệnh đề '' x X , P (x)'' là '' x X , P (x)''
+Định lí những mệnh đề đúng , được phát biểu dưới dạng
'' x X , P (x ) Q (x)'' trong đó P(x) và Q(x) là những mệnh đề chứa biến, X là
một mệnh đề nào đó.

Phép CM định lí thường sử dụng phép CM trực tiếp hay phép CM bằng
phản chứng.
'' x X , Q (x ) P (x)'' đúng được gọi là định lí đảo. Định lí

Mệnh đề

thuận và đảo có thể viết gộp thành một định lí '' x X , Q (x ) P (x)''
+ Tập hợp; tập con; hai tập hợp bằng nhau kí hiệu là A=B.
+Hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A

B

+ Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A B = x X / x A và x B + Hiệu
của hai tập hợp A và B, kí hiệu là
B=

A\

Ta gọi a − a

, kí
a
Sai số tương đối của số gần đúng a là tỉ số
giữa sai số tuyệ
hiệu là

a

. Ta có

a

2.Các ví dụ và các bài tập có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí
thuyết và bài tập.
Trong chương I: Mệnh đề - tập hợp phần đại số lớp 10 cung cấp cho học
sinh kiến thức mở đầu về lô gíc tốn và tập hợp. Các khái niệm và các phép toán
về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp chúng ta diễn đạt các nội dung toán học thêm rõ
ràng và chính xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và
chứng minh trong toán học. Bởi vậy chương này có ý nghĩa quan trọng đối với
7


việc học tập hợp mơn tốn.
Tiếp đó, để học sinh hiểu thêm khái niệm mệnh đề ta có thể đưa thêm nhiều
ví dụ hoặc yêu cầu học sinh đưa ra các ví dụ thực tế về mệnh đề.
*Ứng dụng trong dạy lí thuyết
Chẳng hạn:
1. “Hà Nội là thủ đơ của nước Việt Nam ” là mệnh đề đúng.
2. “Việt Nam nằm ở Châu Âu” là mệnh đề sai.
3. “10 là số chẵn” là mệnh đề đúng.
4. “25 lớn hơn 30” là mệnh đề sai.
5. “Bao giờ lớp mình đi thăm quan Hà Nội?”.
6. “Tất cả hãy anh dũng tiến lên” đều khơng phải là mệnh đề.
*Phép tốn trên mệnh đề.
+Phép phủ định.
Ví Dụ 1: Nếu C = “Chuyến tàu Hà Nội đi Sài Gịn hơm nay bãi bỏ” thì
mệnh đề phủ định của mệnh đề C có thể diễn đạt như sau: “Chuyến tàu
Hà Nội đi Sài Gịn hơm nay không bãi bỏ”.
Nếu qua xác minh mệnh đề C đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định của C sẽ sai
(hoặc đúng).

+Phép kéo theo.
Mệnh đề kéo theo thường được diễn tả dưới hình thức khác, chẳng hạn
“a suy ra b”. “Nếu a thì b”. “Có b khi có a”.
Ví Dụ 2.a: “Nếu dây tóc bóng đèn có dịng điện chạy qua thì bóng đèn
sáng”.
Ví Dụ 2.b: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở Châu
Âu” là mệnh đề đúng, vì ở đây hai mệnh đề a = “mặt trời quay quanh trái đất”
và b = “Việt Nam nằm ở Châu Âu” đều sai.
Mệnh đề kéo theo a b, người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội
dung của hai mệnh đề a, b, không phân biệt trường hợp a có phải là nguyên nhân
của b hay khơng mà chỉ quan tâm đến tính đúng sai của chúng.
8


Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn tả như sau :
“ Bao giờ bánh đúc có xương,
Bấy giờ gì ghẻ mới thương con chồng”.
Hoặc “Chuồn chuồn bay thấp thì mưa
Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”.
+ Phép tương đương
Ví Dụ 3.a: “Tháng 12 có 31 ngày khi và chỉ khi trái đất quay quanh mặt
trời” là mệnh đề đúng.
Ví Dụ 3.b: “12 giờ trưa hơm nay Hải có mặt ở Hà Nội nếu và chỉ nếu vào
giờ đó anh ấy đang ở thành phố Hồ Chí Minh” là mệnh đề sai.
Ta có thể mở rộng thêm cho các phép toán về mệnh đề đối với các
học sinh khá giỏi thơng qua các ví dụ thực tiễn :
+Sử dụng biểu đồ ven đề giải bài toán tập hợp.
Bài 1: Trong một buôn làng của người dân tộc, cư dân có thể nói được
tiếng dân tộc, có thể nói được tiếng kinh hoặc nói được cả hai thứ tiếng. Kết quả
của một đợt điều tra cơ bản cho biết.

Có 915 người nói tiếng dân tộc;
Có 650 người nói tiếng kinh;
Có 435 người nói được cả hai thứ tiếng.
Hỏi bn làng có bao nhiêu cư dân?
Giải:
Ta vẽ hai hình trịn. Hình A kí hiệu cho số cư dân nói tiếng dân tộc. Hình B
kí hiệu cho số cư dân nói tiếng kinh. Ta gọi số phần tử của một tập hữu hạn A
bất kỳ là n(A).

A

435
B
915

650
9


Như vậy:
n(A) = 915; n(B) = 650; n ( A B ) =435.
Ta cần tìm số phần tử của tập hợp A hợp B. Trước hết, ta cộng các số n(A) và
n(B). Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được kể làm
hai lần. Do vậy từ tổng n(A) + n(B) ta phải trừ đi n ( A B ) và được:
n ( A B ) = n ( A ) + n (B ) − n ( A

B)

Thay các giá trị này của n(A); n(B); n ( A B ) ta được
n ( A B )= 915 + 650 – 435 =1130.

Đáp số: Cư dân của buôn làng 1130 người.
* Số gần đúng và sai số.
Số gần đúng và sai số là những khái niệm cơ bản của các ngành toán học
ứng dụng. Vì nói chung trong đo đạc, tính tốn ta nhận được các số liệu gặp
trong thực tế là những số gần đúng. Ví dụ: Khi đọc các thơng tin sau em hiểu đó
là số đúng hay gần đúng. “ Bán kính đường xích đạo của trái đất là 6378 km,
khoảng cách từ mặt trời đến trái đất là 148600000 km.”
Qua đó học sinh nhận thấy được các số liệu trong đo đạc, tính tốn thường
chỉ là số gần đúng . Số gần đúng có sai số tuyệt đối càng nhỏ càng biểu thị chính
xác kết quả.
Ví dụ 1(SGK đại số10): các nhà thiên văn tính được thời gian để Trái
Đất quay một vịng quanh mặt trời là 365 ngày ¼ ngày. Cịn bạn Nam tính đi
từ nhà đến trường là 30 phút 1 phút.
Trong hai phép đo trên phép đo nào chính xác hơn ?
6

Ví dụ 2:Dân số Việt nam hiện tại vào khoảng 97.10 người (97 triệu
6

người). Ở đây , k=6 nên độ chính xác của số gần đúng này là 1/2.10 =500000.
Do đó ta biết được dân số Việt Nam trong khoảng 97,5 triệu người đến 88,5
10


triệu người.
Ví dụ 3:
Một cái sân hình chữ nhật với chiều rộng là x=2,56m
và chiều dài là y= 4,2 m
p=13,52m

0,01m. Chứng minh rằng chu vi p của sân là

0,04m.

Giải:
Giả sử x= 2,56 +u, y= 4,2 +v là giá trị đúng của chiều rộng và chiều dài của
sân. Ta có p=2(x+y)=2(2,56+4,2)+2(u+v) =13,52+2(u+v)
Theo giả thiết −0, 01 u
Vì vậy

0, 01 và − 0, 01 v 0, 01

p = 13,52 m 0, 04m

11

−0, 04 2(u + v) 0, 04


Chương2: Hàm số bậc nhất – Hàm số bậc
hai 1.Tóm tắt kiến thức cơ bản chương II
+Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b với a khác 0 , tập xác
định R Khi a >0, hàm số y = ax + b đồng biến trên R. Khi a < 0, hàm số
y = ax + b nghịch biến trên R.
Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳng, có hệ số góc a.
+ Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 +bx +c trong đó a,b.c là các hằng số khác 0.
Đồ thị hàm số bậc hai là một parabol có đỉnh I

thẳng x=-b/2a
a<0.

khoảng

Khi a<0, hàm số nghịch biến trên khoảng

;

−

đồng biến trên

2. Các ví dụ và bài tốn có nội dung thực tế được ứng dụng trong lí thuyết
và bài tập.
*Ứng dụng trong lí thuyết
+ Hàm số bậc nhất.
Trong cuộc sống và trong tự nhiên có rất nhiều các sự vật, hiện tượng có


12


quan hệ với nhau theo mối tương quan hàm số chẳng hạn để củng cố khái niệm
hàm số, ta cho học sinh biết về một số hàm số toán học và thể hiện hàm số đó
trong thực tiễn, hoặc các em tự tìm ra những mối quan hệ giữa các sự vật, hiện
tượng xung quanh thể hiện là mối tương quan hàm số. Sau khi học dạy hàm số y
= ax. Hàm số thấy được áp dụng trong cuộc sống như:
-Nhiệt độ T ( C) phụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t (giờ).
-

Khối lượng m (m) của một thanh kim loại đồng chất có khối lượng riêng

là d tỉ lệ thuận với thể tích .
+ Trong vật lí: S = v.t

S: Qng đường.
v: Vận tốc trung bình.8887
t: Thời gian.

Q = I.t

Q: Nhiệt lượng.
I: Cường độ dòng điện.
t: Thời gian.

+ Trong hoá học: M = 29d

M: Phân tử g của chất khí.
d: Tỉ khối của chất khí đối với chất khí.

m = n.M

m: Khối lượng của một chất.

n: Số mol.
M: Khối lượng của mol phương trình của
chất đó. v…v…
+ Trong cuộc sống: T = n.G

G: giá tiền một đồ vật.

n: Số lượng đồ vật.
T: Số tiền phải trả.
Số lượng công việc làm được = năng suất x số thời gian làm
việc…
Ví dụ 1: Thơng qua thực tế khái niệm về hàm số theo tình hình kinh tế và
xã hội của đất nước như: Theo thông báo của ngân hàng BIDV, ta có bảng
dưới đây vì lãi suất giữ tiết kiệm kiểu bậc thang với số tiền gửi tiết kiệm VND
được áp dụng từ ngày 30/6/2020.
13


Kì hạn (số tháng)
Lãi suất (% tháng)

Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa lãi suất % theo tháng ( kí hiệu là y)
là hàm số của kì hạn x (tính theo tháng).
Ví dụ 2: Biểu đồ sau (hình 3) biểu thị sản lượng vịt, gà và ngan lai qua 5
năm của một trang trại. Coi y = f (x), y = g(x) và y = h(x) tương ứng là các hàm số
biểu thị sự phụ thuộc số vịt, số gà và số ngan lai vào thời gian x. Qua biểu đồ,
hãy:
a)Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã nêu;
b)Tìm các giá trị f(2017), g(2018), h(2020) và nêu ý nghĩa của chúng;
c)Tính hiệu h(2020) – h(2018) và nêu ý nghĩa của nó.
7
6
5
4
3
2
1

0
2017 2018 2019

2020 2021

Sản lượng vịt
Sản lượng gà
14


Sản lượng ngan lai
Trả lời:
a) Tập xác định của cả ba hàm số y = f(x), y = g(x) và y = h(x)
là : D = {2017; 2018; 2019; 2020; 2021}.
b) f(2017) = 470000 (con); g(2018) = 380000 (con); h(2020) = 1500000
(con). Năm 2017 sản lượng của trang trại là 470000 con vịt, năm 12018 sản
lượng là 380000 con gà; năm 2020 trang trại có sản lượng là 150000 con ngan
lai.
c)

h(2020) – h(2018) = 150000 – 30000 = 120000 ( con). Sản lượng ngan

lai của trang trại năm 2020 tăng 120000 con so với năm 2018.
+

Hàm số bậc hai: Thấy được ý nghĩa của hàm số và đồ thị hàm số bậc hai

trong đời sống thực tế, đó là đường parabol.
Trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp những hình ảnh của
đường parabol. Như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc được chiêm ngưỡng

cảnh bắn pháo hoa muôn màu, mn sắc. Nhiều cơng trình kiến trúc cũng được
tạo dáng theo hình parabol, như cây cầu, vịm nhà, cổng ra vào… Điều đó khơng
chỉ đảm bảo tính bền vững mà cịn tạo nên những vẻ đẹp của cơng trình.
*Ứng dụng trong bài tập
Bài tập 1 : Một hãng taxi qui định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn
đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng với các km tiếp theo. Một hành
khách thuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Trong
đó, y là một hàm số của x với x 0
a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng
[0;10] và khoảng (10;0)
b) Tính f(8), f(10) và f(18).
Gợi ý:

15

1
a) Khi

x 10 tức là quãng đường đi nằm trong 10 km đầu tiên, số tiền phải


trả là:

Từ cơng thức trên ta có:

f(8) = 6.8 = 48; f(10) = 6.10 = 60; f(18) = 2,5. 18 + 35 = 80.
+Hàm số bậc hai
Bài tập 2: (Bài tốn bóng đá).
Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống.
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với toạ độ

0 t.h, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên, h
là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ
cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ
cao 6 m.
a)

Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ

thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên.
b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng ( tính chính xác đến hàng
phần
nghìn).
c)

Sau bao lần thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên ( tính chính xác

đến háng phần trăm)?
Gợi ý:
a) Giả sử h = f(t) = at2 + bt +c. Ta cần tìm các hệ số a, b và
c. Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m,
nghĩa là: f(0) = c= 1,2.
Sau đó 1 giây, nó đạt được độ cao 8,5m nên:
f(1) = a + b + 1,2 = 8,5.
Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 6m, nghĩa
là: f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6.
Thu gọn cái hệ thức trên, ta có hệ phương trình bậc nhất.
a + b = 7,3
2 a + b = 2,4
16

Vậy hàm số cần tìm là : f(t) = -4,9t2 + 12,2t + 1,2
Vì a<0 nên độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh
b)
parabol, cụ thể là: y = −

c) Giải phương trình: -4,9t2 + 12,2t + 1,2 = 0, ta được hai nghiệm gần đúng
là: t1 = -0,09 và t2 = 2,58 (loại giá trị âm), ta được kết quả là: Quả bóng chạm
đất sau gần 2,58 giây.
Bài tập 3 : (Bài toán về thực tế).
Khi di lịch đến thành phố XanhLu-i (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có
hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ác- xơ. Giả sử ta lập một hệ
toạ độ 0xy sao cho một chân cổng đi qua gốc 0(x và y tính bằng mét), chân kia
của cổng ở vị trí (162 ; 0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là
(10; 43).
a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên.
b)

Tính chiều cao của cổng (tính từ đỉnh cao nhất trên cổng xuống mặt đất,

làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Giải
a/ Ta cần tìm hàm số có dạng f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn f(0)=c; f(10)=
100a + 10b = 43; f(126) = 1622 a + 162b = 0 hay 162a + b = 0. Từ đó suy ra
a −0, 028; b 4,583
Vậy hàm số cần tìm là f(x) = ax2 + bx, trong đó a −0, 028; b 4,583
b/ Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol do đó:
h = f(162/2) = f(81)

188 phút

17


Chương 3. Phương trình và hệ phương trình.
1.Tóm tắt kiến thức cơ bản của chương III .
-

Các phép biến đổi tương đương các phương trình

-

Phép biến đổi cho phương trình hệ quả

-

Giải và biện luận phương trình ax + b = 0

-

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c =0 (a 0)
Giải và biện luận phương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

-

Định vi-ét .

-

Giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn

-

Các tính chất của bất đẳng thức. BĐT cô-si và BĐT chứa giá trị tuyệt

đối. Bất PT tương đương
-

Bất PT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn, định lí về dấu của nhị thức bậc

nhất và tam thức bậc hai.
-

Bất PT và hệ BPT bậc hai.

-

Một số PT và BPT qui về bậc hai.

2. Các ví dụ và bài tốn có nội dung thực tế ứng dụng trong lí thuyết và
bài tập.
Trong thực tế đời sống, kỹ thuật, sản xuất có nhiều đại lượng biến đổi và
phụ thuộc lẫn nhau và ta phải tìm ra cụ thể hoặc là tất cả, hoặc là một trong các
đại lượng ấy. Để giải quyết các vấn đề ấy ta cần “toán học hoá” các mối quan hệ
phụ thuộc giữa các đại lượng thành các phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình. Khi đó việc giải các phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình sẽ giúp ta giải quyết được những vấn đề mà thực tiễn đòi hỏi.
18

Chúng ta quan tâm đến vấn đề: phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình trong tốn học giúp con người giải quyết các bài toán thực tế như thế nào
và việc hình thành kỹ năng đưa bài tốn của thực tiễn thành các phương trình, hệ
phương trình, bất phương trình ở học sinh.
Ở

trường phổ thơng, dạy học phương trình, hệ phương trình, bất phương

trình khơng dừng lại ở việc dạy giải phương trình, hệ Phương trình, bất phương
trình mà cần quan tâm dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình. Đối với
hệ phương trình, bất phương trình cũng được lý luận tương tự như phương trình.
Vậy giải bài tốn bằng cách lập phương trình để học sinh thấy được ứng
dụng thực tế của lí luận trong khoa học và đời sống.
*Ứng dụng trong lí thuyết
Trong việc dạy giải bài tốn bằng cách lập phương trình khâu mấu chốt là
dạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát tình huống thực tế của bài tốn.
để làm được điều đó, điều quan trọng là tập cho học sinh biết xem xét những đại
lượng trong những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan với
nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lượng giữa chúng để trên cơ sở đó mà
lập được phương trình, ta xét ví dụ sau; “Một xí nghiệp dự định sản suất 600 sản
phẩm trong một thời gian nhất định. Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất
thêm 5 sản phẩm mỗi ngày và do đó đã hồn thành kế hoạch trước thời hạn 6
ngày. Tính năng suất dự định của xí nghiệp đó.”
Trước hết ta có thể hướng dẫn học sinh kí hiệu x là năng suất dự kiến của
xí nghiệp. Bằng cách gọi ra mối liên hệ “năng suất dự kiến cộng thêm 5 bằng
năng suất thực tế, ta có thể dẫn họ đi đến biểu thị năng suất thực tế qua năng
xuất dự kiến là x+5. Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối liên hệ “ Tổng sản
lượng bằng năng suất nhân với thời gian sản xuất, có thể dẫn dắt họ biểu thị thời
gian dự kiến là
Bằng cách gợi ý mối liên hệ “ Thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày bằng thời

gian sản xuất

19


Qua ví dụ minh hoạ trên, ta thấy trong dạy học lập PT, HPT, BPT cần xoáy vào
hai khâu mấu chốt như sau:
+

Rèn cho HS khả năng phát hiện những hệ thức giữa những đại lượng đó

là cần làm cho HS ý thức được rằng những mối liên hệ giữa những đại lượng
trong bài tốn có thể chia thành hai loại: Những mối liên hệ cụ thể ở bài toán đó
và những mối liên hệ tổng qt có tính chất qui luật.
Thuộc về loại thứ nhất có thể kể:
-Năng xuất dự kiến +5 = năng xuất thực
tế. -Thơi gian dự kiến -6 = Thời gian thực
tế,
- Vận tốc ô tô gấp 3 vận tốc xe đạp ..…
Thuộc loại liên hệ thứ hai có thể nêu:
-

Tổng sản lượng = năng xuất x với thời gian sản xuất

-

đường đi = vận tốc x thời gian (trong chuyển động đều),

-

nửa chu vi hình chữ nhật= chiều dài + chiều rộng.

…..
Trong khi những mối liên hệ loại thứ nhất được nêu ra trong đề tốn thì
những mối liên hệ loại thứ hai được coi là những kiến thức học sinh phải nắm
vững, những mối liên hệ này khơng được nêu ra trong bài tốn, học sinh cần
dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng.
Người thầy giáo cần nhấn mạnh cho HS, thấy rằng phát hiện những mối
liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán là cơ sở để lập phương trình giải bài
tốn đó. Làm như vậy cũng là tập dượt cho HS biết xem xét sự vật trong mối
liên hệ với nhau chứ không tách rời nhau một cách cơ lập, đó là một yếu tố của
tư duy biện chứng.
Rèn luyện cho HS khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị
những tình huống thực tế đó là trong dạy học cần chú trọng cho HS lập phương
trình là tập luyện cho họ biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu

20


thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết. Cần tập cho
HS một mặt biết chuyển từ những tình huống thực tế sang những biểu thức biểu
thị chúng và mặt khác biết chuyển từ những biểu thức sang những tình huống
thực
tế phù hợp với chúng chính vì thế ta nên tiến hành theo từng bước sau:
a/ Đặt ấn số. Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm. Thơng thường bài tốn
u cầu tìm cái gì (các cái gì ) thì ta đặt cái đó (các cái đó ) làm ẩn (các
ẩn). Cũng có khi ta đặt những bài toán và với cách đặt ẩn như thế mà
phương trình lập nên q phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn
hoặc chọn thêm ẩn. Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta
lập phương trình dễ dàng hơn.

b/ Lập phương trình. Sau khi đặt ẩn (nêu điều kiện cho ẩn nếu có) ta tiến
hành biểu thị các đại lượng qua các số đã biết và ẩn số. để lập được phương
trình (các phương trình) ứng với bài tốn cần giải, ta có gắng hình dung thật cụ
thể và rõ ràng điều kiện của bài toán (quan hệ giữa cái cần tìm cái chưa biết và
những cái đã cho). Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra
từng phần, phiên dịch mỗi phần theo ngơn ngữ đại số, sắp xếp chúng theo một
trình tự hợp lí, sau đó kết hợp những phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một
lượng bằng hai cách khác nhau thành một đảng thức. Như vậy ta sẽ có phương
trình.
Thơng thường ở mỗi bài tốn ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy
nhiêu phương trình. Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ
vào và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến PT nghiệm
nguyên.
Chú ý: trong những bài tốn thực tế giải bằng cách lập phương trình (hệ PT,
BPT) có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau khi nói đến đại lượng này
ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài tốn khơng nói đến đại lượng
quan hệ đó.
c/ Trình tự các bước trong lời giải bài tốn bằng cách lập phương trình
(HPT, BPT)
21


-

Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn (nếu có)

-

Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho

-

Lập phương trình (HPT, BPT)

-

Chọn nghiệm thích hợp trả lời.

Vai trò PT, HPT, BPH đối với đời sống thực tiễn được thể hiện rất phong
phú, đa dạng ở nhiều lĩnh vực, Giúp con người giải quyết các bài tốn trong
cuộc sống như về kinh tế, kỹ thuật,..thơng qua một số ví dụ sau:
*Ứng dụng trong bài tập
+Tốn tìm số.
Bài toán 1. Số trứng ở rổ thứ nhất gấp đôi số trứng ở rổ thứ hai. Nếu bớt đi 20
quả ở rổ thứ nhất và bỏ thêm 10 quả vào rổ thứ hai thì số trứng ở rổ thứ gấp 4/3
lần số trứng ở rổ thứ hai. Tính số trứng ban đầu ở mỗi rổ?
Trước những bài toán thực tế trên, điều quan trọng là phải hướng dẫn học
sinh phân tích bài tốn để biết được trong bài tốn có những đại lượng nào ?
quan hệ giữa chúng ra sao ? Toán học hoá các đại lượng và các mối quan hệ ấy?
Trong ví dụ của bài tốn trên, ta gặp các đại lượng. Số trứng ở rổ thứ nhất
(chưa biết) gấp đôi số trướng ở rổ thứ hai (chưa biết) chính vì thế cần chọn ẩn là
các đại lượng chưa biết.
Ta gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự là x và y (x>y>0)
Theo bài ra quan hệ giữa số trứng thêm, bớt ở rổ thứ nhất và rổ thứ hai là
bước tiếp theo là toán học hoá các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng thì tỉ số
giữa số trứng ở hai rổ sau khi thêm bớt là:

4
3

Từ đó ta lập hệ thống phương trình để giải
Gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai

thứ tự x và y (x>y và x, y

theo nguyên dương).
Theo đầu bài ta có phương trình:

Giải ra tìm được x= 100 ; y=50. Thoả mãn điều kiện đầu bài, Vậy rổ trứng


22


thứ nhất có 100 quả, rổ trứng thứ hai có 50 quả.
Bài tốn2. Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng
là 157.
a)
Phân tích tìm lời giải. Nếu ta đặt ẩn với cả hai số là x và y thì ta có
ngay hệ
phương trình bậc hai:

x + y =17
x2 + y2 =157

Bài toán trên cố thể sử dụng kiến thức đơn giản hơn, phù hợp với đa phần
học sinh, có thể chuyển sang chỉ tìm một số rồi từ đó tìm số kia sau. Vì lẽ đó ta
sắp xếp và viết bài tốn dưới dạng:
Tổng các bình phương của chúng là 157. Khi đó ta có phương trình
: X2+(17-x)2=157. Giải phương trình ta có hai số là 6 và 11

b/Khai thác bài toán . Đây là loại toán bậc hai, để tạo những bài toán tương
tự ta có thể điều kiện, chẳng hạn
1.Biết hiệu hai số và tổng các bình phương của chúng.
2.Biết tổng hoặc hiệu hai số và tổng hoặc hiệu các nghịch đảo của hai số. Ta
có thể thay đổi ẩn như tìm ba số…
Bài toán3. ( bài toán cổ)
Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho một trăm người cùng vui
Chia ba mỗi quả quýt rồi.
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh
Trăm người trăm miếng ngọt lành
Quýt, cam mỗi loại tính rành là sao ?
Hướng dẫn giải:
Gọi x(quả) là số quả quýt và y là số quả cam. (điều kiện:
x, y<17; x , y

* ).

Theo đề bài ta có : x+y=17

Chia ba mỗi quả quýt và chia mười mỗi quả cam được một trăm
miếng, nghĩa là : 3x+10y=100
Ta có hệ phương trình:

x+y

=17

3x + 10 y =100
23