Bài giảng vấn đề 3: PHÉP QUAY - PHẾP ĐỐI XỨNG TÂM

Trương Đinh Dũng Trường THPT Trưng Vương- Quy Nhơn
PHÉP QUAY – PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
1. PHÉP QUAY :
+)ĐN: ϕ: Góc lượng giác ; O là điểm cố định

( )
;
'
( ) '
( , ')
O
OM OM
Q M M
OM OM
ϕ
ϕ
=

= ⇔

=


+) Phép quay là một phép dời hình
2. PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM:
Đ
O
≡ Q
(O,
π
)

Vậy Đ
O
(M) = M’ ⇔ O là trung điểm của MM’

'OM OM⇔ = −
uuuur uuuuur
Biểu thức toạ độ: Trong mặt phẳng Oxy: M(x;y), M’(x’;y’), I(a;b)
+) Đ
I
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
' 2
' 2
x a x
y b y

= −

= −

+) Q
(O,90
0
)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'

x y
y x

= −

=

+) Q
(O,–90
0
)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:
'
'
x y
y x

=

= −

CÁC DẠNG TỐN:
DẠNG 1: Tìm ảnh của điểm; của đường
1. Cho các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm với:
a) Tìm ảnh của các điểm qua phép đối xứng tâm G( Glà trọng tâm của tam giác ABC)
b) Tìm ảnh của các điểm qua phép quay tâm O góc quay 90
0
, - 90

0
c) Tìm ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua phép quay 90
0
2. Cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0 và d’: x – 2y – 8 = 0. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành
d’ và trục Ox thành chính nó.
3.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1, -3) và đường thẳng d có phương trình :
2x + y – 3 = 0, đường tròn (C) có phương trình :
2 2
4 6 3 0x y x y+ − + − =
.
a. Tìm tọa độ điểm A’ và phương trình d’ lần lượt là ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm A
b. Viết phương trình đường tròn
( )
'C
là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A
c. Tìm ảnh của (C) và d qua phép quay tâm O góc quay 90
0
4. Tìm ảnh của các elip sau qua phép đối xứng tâm I(1; –2):
a)
2 2
1
16 9
x y
+ =
b) x
2
+ 4y
2
= 1 c) 9x
2

+ 16y
2
= 144
5. Tìm ảnh của các hypebol sau qua phép quay tâm O. góc quay - 90
0
:
a)
2 2
1
16 9
x y
- =
b) x
2
– 4y
2
= 1 c) 9x
2
– 25y
2
= 225
6.Cho tam giác đều ABC , O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Với giá trị nào sau đây
của góc
ϕ
thì phép quay Q
(O;
ϕ
)
biến tam giác ABC thành chính nó ?
DẠNG 2: Tốn dựng hình: Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nólà ảnh của một điểm

đã biết qua Đ
O
; V
(O,k)
, hoặc xem M là giao của một đường cố định và là ảnh của một đường đã biết.
1. Cho góc xOy và A là điểm thuộc miền trong của nó. Hãy dựng đường thẳng d đi qua A và cắt
Ox và Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điếm của MN
2. Cho hai đường tròn (O,R); (O
1
,R
1
) và một điểm M tuỳ ý. Tìm hai điểm N và N’ lần lượt thuộc
đường tròn (O,R); (O
1
,R
1
) sao cho M là trung điểm của đoạnNN’
DẠNG 3: Tìm quỹ tích
Tìm quỹ tích ( hay tập hợp) của điểm M
Cg: - Tìm Đ
O
hoặc Q
(O,
ϕ
)
và các điểm N sao cho Đ
O
(N) = M (hoặc Q
(O,
ϕ

)
(N) = M
Trương Đinh Dũng Trường THPT Trưng Vương- Quy Nhơn
- Tìm đường (C) cố định khi N chạy trên đó. [Thơng thường (C) là đường tròn hoặc đường
thẳng]
- Thì quỹ tích của M là đường (C’) là ảnh của (C) qua các phép trên ( có thể giới hạn quỹ tích)
1.Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố đònh và một điểm A thay đổi. Gọi H là trực tâm
của ∆ABC và H′ là điểm sao cho HBH′C là hình bình hành. Chứng minh rằng H′ nằm trên đường
tròn (O). Từ đó suy ra q tích của điểm H.
2.Trên đường tròn (O) cho hai điểm A, B cố đònh. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M’ sao
cho
'MM MA MB= +
uuuuur uuur uuur
.Tìm quỹ tích M’ khi M chạy trên (O)
D ẠNG 4 : Tốn chứng minh
1.Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm giữa A và C. Dựng về một phía của đường thẳng AC
các tam giác đều ABE và BCF
a. Chứng minh AF = EC và góc giữa hai đường thẳng À và EC bằng 60
0
.
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AF và EC. Chứng minh tam giác BMN đều.
2.Cho hai tam giác đều OAB và O’A’B’. Gọi C và D lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng Â’
và BB’. Chứng minh rằng OCD là tam giác đều.
3.Cho ∆ABC. Dựng về phía ngoài tam giác đó các hình vuông ABEF và ACIK. Gọi M là
trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc vơi FK và AM =
1
2
FK.
HD: Gọi D = Đ
(A)

(B). Xét phép quay Q
(A,90
0
)
.
---------------------------------------------------------------