Gián án vấn đề 4: PHÉP VỊ TỰ

Trương Đình Dũng Trương THPT Trưng Vương - Quy Nhơn
PHÉP VỊ TỰ
1 Định nghĩa:
Phép vị tự tâm O (cố định) tỉ số k ( k ≠ 0, khơng đổi), KH: V
(O,k)

+) V
(O,k)
(M) = M’
'OM kOM⇔ =
uuuur uuuur
2. Tính chất:
+) V
(O,k)
(M) = M′, V
(O,k)
(N) = N′ ⇒
' ' .M N k MN=
uuuuuur uuuur
và M’N’ =
k
MN
+) V
(O,k)
biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, khơng làm thay đổi thứ tự.
+) V
(O,k)
(d) = d’ thì d//d’ hoặc d ≡ d’
+) V
(O,k)
biến tia thành tia

+) V
(O,k)
(M) = M′, V
(O,k)
(N) = N′ thì M’N’ =
k
MN
+) V
(O,k)
(∆ABC) = ∆A’B’C’ thì ∆ABC ∼ ∆A’B’C’ với tỉ số
k
+) V
(O,k)
biến góc thành góc bằng nó.
3.Ảnh của đường tròn qua V
(O,k)
V
(O,k)
[(I;R)] = (I’;R’) và R’ =
k
R
4. Tâm vị tự của hai đường tròn:
(I;R) và (I’;R’) phân biệt.
a) I khơng trùng I’ và R ≠ R’:
IM//I’M’
Có hai phép vị tự:
'
( , )
R
O

R
V
;
'
( ', )
R
O
R
V
−
Biến (I;R) thành (I’;R’)
b) I khơng trùng I’ và R = R’:
Phép vị tự tỉ sơ k = -1 Vậy
( , 1)O
V
−
≡
Đ
O
c) I
≡
I’ và R ≠ R’
O ≡ I ≡ I’, k =
'R
R
±


*) Biểu thức toạ độ của phép vị tự:
Trong mpOxy: I(a;b) , M(x;y), M’(x’;y’)

V
(I,k)
: M(x; y)
a
M′(x′; y′). Khi đó:

' (1 )
' (1 )
x kx k a
y ky k b

= + −

= + −

CÁC DẠNG BÀI TẬP:
DẠNG 1: Xác định ảnh của một hình qua phép vị tự.
1. Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vò tự tâm I(2; 3), tỉ số k = –2: A(2; 3), B(–3; 4), C(0; 5), D(3; 0), O(0; 0).
2. Phép vi tự tâm I tỉ số
1
2
k =
biến điểm M thành M’. Tìm toạ độ của điểm I trong các trường hợp sau:
a) M(4; 6) và M’(–3; 5). b) M(2; 3) và M′(6; 1) c) M(–1; 4) và M′(–3; –6)
3. Phép vò tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’. Tìm k trong các trường hợp sau:
a) I(–2; 1), M(1; 1), M’(–1; 1). b) I(1; 2), M(0; 4) và M′(2; 0)
4. Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép vò tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
a) x + 2y – 1 = 0 b) x – 2y + 3 = 0 c) y – 3 = 0 d) x + 4 = 0
5. Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vò tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau:
a) k = 1 b) k = 2c) k = – 1 d) k = – 2 e) k =

1
2
f) k =
1
2
−
6. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ∆
1
: x – 2y + 1 = 0 và ∆
2
: x – 2y + 4 = 0 và điểm I(2; 1). Tìm tỉ số k để
phép vò tự V
(I,k)
biến ∆
1
thành ∆
2
.
7. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1)
2
+ (y – 3)
2
= 9 qua phép vò tự tâm I(2; 1) tỉ số k trong các trường hợp sau:
a) k = 1 b) k = 2c) k = – 1 d) k = – 2 e) k =
1
2
f) k =
1
2
−

8. Xét phép vò tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C) thành (C′). Tìm phương trình của đường tròn (C) nếu biết
phương trình đường tròn (C′) là:
M
1
O
O
Trương Đình Dũng Trương THPT Trưng Vương - Quy Nhơn
a)
2 2
( 1) ( 5) 4x y- + - =
b)
2 2
( 2) ( 1) 9x y+ + + =
c)
2 2
1x y+ =
11. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(1,2) và đường tròn tâm I, bán kính 2. Viết phương trình đường tròn là ảnh của
đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp :
a/Phép quay tâm O, góc
0
45
và phép vị tự tâm O, tỉ số 2.
b/ Phép đối xứng trục Oy và phép vị tự tâm O. tỉ số
2
.
c/ Phép đối xứng tâm O và phép vị tự tâm O. tỉ số -2
D ẠNG 2 : Tìm quỹ tích
Tìm quỹ tích ( hay tập hợp) của điểm M
Cg: - Tìm V
(O,k)

và các điểm N sao cho V
(O,k)
(N) = M
- Tìm đường (C) cố định khi N chạy trên đó. [Thơng thường (C) là đường tròn hoặc đường thẳng]
- Thì quỹ tích của M là đường (C’) là ảnh của (C) qua V
(O,k)
( có thể giới hạn quỹ tích – nếu có)
-------------
9. Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố đònh, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn (O). Tìm q tích trọng tâm G của
∆ABC.
HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vò tự
1
( , )
3
I
V
(A) = G.
10. Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là một đường kính thay đổi của
(O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.
b) Tìm q tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi.
HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình.
b) Xét các phép vò tự V
(C,2)
(Q) = M;
1
( , )
2
C
V

(Q) = N.
11. Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ
các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O).
a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố đònh.
b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O′ của đường tròn ngoại tiếp ∆MPQ, trực tâm H của ∆MPQ.
HD: a) Kẻ OI
⊥
d, OI cắt PQ tại N.
2
.OI ON r=
uur uuur

⇒
N cố đònh.
b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O
1
) đường kính NO.
Tập hợp các điểm O
′
đường trung trực đoạn OI.
Tập hợp các điểm H là đường tròn (O
2
) = V
(O,2)
.
12. Trong mp Oxy cho điểm A(-2;2) và đường thănngr d đi qua A có hệ số góc bằng – 1. Gọi B là điểm di động trên d.
Gọi C là điểm sao cho tứ giác OABC là hình bình hành. Tìm phương trình tập hợp
a) Các tâm đối xứng I của hình bình hành.
b) Các trọng tâm G của tam giác ABC.
13. Trong mặt phẳng cho bốn điểm A, B, C, D. Biết các điểm A,B,C cố định , BC = a ( khơng đổi). Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của AC và BD. Tìm tập hợp trung điểm P của MN.
DẠNG 3: Tốn chứng minh
14. Cho ∆ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh ba điểm G, H, O thẳng hàng
và
2GH GO= −
uuur uuur
.
HD: Xét phép vò tự V
(G,–2)
(O) = H
15. Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O. AM và AN cắt đường tròn (O)
tại B và C.
a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố đònh khác A.
b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố đònh.
HD: a) AO cắt (AMN) tại D.
2
. .OA OD OM ON R= = −
uuur uuur uuuur uuur

⇒
D cố đònh.
b) AO cắt BC tại E.
2 2
.AE AD AO R= −
uuur uuur

⇒
E cố đònh.
16. .Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại một điểm C ở ngoài đường tròn.
Một điểm M chạy trên đường tròn. AM cắt d tại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E.

a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vò trí của điểm M.
b) Tứ giác CDNE là hình gì?
HD: a) AM.AD = AB.AC (không đổi) b) NE // CD
⇒
CDNE là hình thang.
Trương Đình Dũng Trương THPT Trưng Vương - Quy Nhơn
D ẠNG 4: Toán dựng hình
Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép V
(O,k)
. hoặc xem M
như là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép V
(O,k)
.
19. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) ở M và cắt (O’) tại N
sao choM là trung điểm của OM
20. Cho tam giác ABC. Dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên hai cạnh AB, AC và hai đỉnh còn lại nằm trên cạnh BC
của tam giác đó.
21. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm
trên đường kính AB của nửa đường tròn đó.
--------------------------------------------------