GIUP HS KHAC PHUC SAI LAM KHI GIAI TOAN HINH HOC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (184.18 KB, 9 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Gióp häc sinh Kh¾c phơc mét sè sai lầm thờng gặp

Khi giải toán MANG nội dung hình häc

Phan duy nghĩa
(Trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh)
Do tính trừu tợng của các yếu tố hình học và đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu học
nên việc tiếp thu các kiến thức hình học của các em trở nên rất khó khăn. Vì vậy, khi giải
các bài tốn mang nội dung hình học, các em thờng mắc một số sai lầm.

Làm thế nào để giúp các em khắc phục đợc một số sai lầm khi giải tốn mang nội
dung hình học là điều mà tôi thờng trăn trở. Sau đây là một vài kinh nghiệm mà tơi tích
luỹ đợc trong q trình dạy học, xin đợc trao đổi cùng các bạn.

1. Sai lầm khi thay đổi vị trí các hình

VÝ dơ: Khi quan s¸t hình thang ở vị trí

không ngay ngắn (hình bên).

Mt số em học sinh lớp 5 không nhận
dạng đợc đúng hình đó.

* Nhận xét: Ngun nhân của sai lầm trên là do nhận thức của học sinh còn dựa vào trực
giác cảm tính. Các hình thang mà các em quan sát đợc thờng đặt ở vị trí ngay ngắn.

* Biện pháp khắc phục: Để khắc phục sai lầm trên, chúng ta đa ra một mảnh bìa hình
thang. Đầu tiên chúng ta cho học sinh quan sát mảnh bìa dán lên bảng ở vị trí ngay ngắn
sau đó chúng ta xoay mảnh bìa đó và cho học sinh quan sát mảnh bìa ở nhiều vị trí khác
nhau. Điều đó "ngầm" giới thiệu cho học sinh: "Một hình thang khơng thể biến dạng khi
ta đặt nó ở những vị trí khác nhau".

Cuối cùng, chúng ta đa ra một số hình thang và hình khơng phải hình thang hc sinh
nhn dng.

* Bài tập áp dụng: Trong các hình dới đây, hình nào là hình thang?

2. Sai lầm khi đếm số hình

Ví dụ: Khi đợc hi cú bao nhiờu hỡnh tam giỏc

đ-ợc tạo thành ở hình bên.

Một số em học sinh lớp 3 trả lời có 4 hình tam
giác, một số em khác lại cho rằng có 5 hình tam
gi¸c (!).

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

cha nắm chắc dấu hiệu đặc trng và các yếu tố tạo thành hình học tơng ứng và khả năng
suy luận cũng hạn chế, nên các em đã khơng đếm đủ số hình khi các hình đợc ghép lại với
nhau mà chỉ đếm đợc số hình đặt rời nhau hoặc hình đơn lẻ dễ nhận thấy.

* Biện pháp khắc phục: Để khắc phục sai làm trên, chúng ta cho các em giải nhiều bài
tập về nhận dạng các hình hình học từ đơn giản đến phức tạp, hớng dẫn các em phân loại
các hình và vận dụng thành thạo các quy tắc, phơng pháp tớnh nh phng phỏp m s

đoạn thẳng; phơng pháp chung c¹nh.

Lời giải (theo phơng pháp đếm số đoạn thẳng)

Điểm A nối với 4 điểm cịn lại (5 - 1 = 4) thì đợc 4 đoạn thẳng. Điểm B nối với 3 điểm
còn lại ta đợc 3 đoạn thẳng. Điểm C nối với 2 điểm còn lại ta đợc 2 đoạn thẳng. Điểm D

nối với 1 điểm còn lại ta đợc 1 đoạn thẳng.

Vậy tổng số đoạn thẳng là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (đoạn thẳng).

Tt c cỏc hình tam giác đều có chung đỉnh M. Mỗi đoạn thẳng có đợc đều là đáy của
hình tam giác. Vì vậy số hình tam giác có ở hình chính bằng số đoạn thẳng đếm đợc.
Số hình tam giác là: 10 hình.

Lời giải (theo phơng pháp chung cạnh)

Các hình tam giác có chung cạnh MA là: MAB, MAC, MAD, MAE (4 hình).
Các hình tam giác có chung cạnh MB là: MBC, MBD, MBE (3 hình).

Các hình tam giác có chung cạnh MC là: MCD, MCE (2 hình).
Các hình tam giác có chung cạnhMD là: MDE (1 hình).

Vậy có tất cả số hình tam giác lµ: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (hình).
 * Bài tập áp dụng:

Đếm xem trong hình bên có
tất cả bao nhiêu:

a) Hình tam giác?
b) Hình tứ giác?

3. Sai lầm trong việc vẽ hình

Ví dụ: Khi vẽ đờng cao của hình tam giác xuất phát từ đỉnh góc tù nhiều em học sinh

khơng xác định đợc, thậm chí nhiều em rất lúng túng khi xác định đờng cao của hình tam
giác có một gúc vuụng.

Khi vẽ các hình không gian (nh hình lập phơng, hình hộp chữ nhật) nhiều em thờng vẽ
các mặt bên nh nhìn trong hình học phẳng.

* Nhận xét: Nguyên nhân của sai lầm trên là do khả năng tởng tợng của các em còn hạn
chế, ít đợc luyện tập vẽ hình.

* Biện pháp khắc phục: Để khắc phục những sai lầm trên, chúng ta có thể kết hợp cho
học sinh quan sát và thao tác trên đồ vật có hình dạng hình cần vẽ với việc quan sát các
mơ hình tơng ứng và tập vẽ hình; đồng thời chúng ta hớng dẫn các em sử dụng các dụng
cụ vẽ hình, kiểm tra các hình đã vẽ.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4. Sai lầm khi tính độ dài cạnh của hình

VÝ dơ: Cho h×nh vÏ: BiÕt ABMN là hình

vuông và ABCD là hình chữ nhật (xem hình
vẽ). Chu vi hình ABCD b»ng 108 cm. Chu
vi h×nh MCDN b»ng 58 cm.

Tính cạnh AB, BC của hình ABCD.
Một số học sinh đã giải nh sau:

Lêi gi¶i:

Chu vi của hình ABMN là: 108 - 58 = 50 (cm). §æi: 50 cm = 500 mm.
 Độ dài cạnh AB là: 500 : 4 = 125 (mm).

Nửa chu vi hình chữ nhật ABCD là: 108 : 2 = 59 (cm). Đổi: 59 cm = 590 mm.
 Độ dài cạnh BC là: 590 - 125 = 465 (mm).

Đáp số: AB: 125 mm; BC: 465 mm.
 * Nhận xét: Bài giải trên đã mắc một số sai lầm:

- Chu vi của hình ABMN là: 108 - 58 = 50 (cm). Lời giải này sai vì 108 - 58 = 50 (cm)
chỉ là nửa chu vi hình đó. Từ đó, kết quả tính độ dài AB = 125 mm và BC = 465 mm đều
sai. Do đó đáp số bài toán bị sai.

- PhÐp tÝnh 108 : 2 = 59 (cm) là tính sai vì 108 : 2 = 54 (cm).

* Biện pháp khắc phục: Để giúp học sinh khắc phục sai lầm trên chúng ta có thể cho
học sinh giải bài tốn theo phơng pháp dùng sơ đồ hình nh sau.

Lời giải:
Theo đề bài, ta có sơ đồ sau:

H×nh 1 H×nh 2

Quan sát hình 1 và hình 2, ta thấy: Nửa chu vi hình MCDN là: 58 : 2 = 29 (cm).
Nửa chu vi này đúng bằng độ dài cạnh BC nên BC = 29 cm. Nửa chu vi hình ABCD là:
108 : 2 = 54 (cm). Độ dài cạnh AB là 54 - 29 = 25 (cm).

* Bài tập áp dụng: Một miếng bìa hình chữ nhật có chu vi là 208 cm. Cắt miếng bìa đó
thành một hình vng và một hình chữ nhật thì tổng chu vi hai hình vừa cắt là 296 cm.
Tính: a) Chiều dài, chiều rộng miếng bìa lúc đầu.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

5. Sai lÇm khi tÝnh diƯn tích các hình

Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên

cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM =
MN = NB vµ P lµ điểm chia cạnh DC thành
hai phần bằng nhau. ND cắt MP tại O, nối
PN (hình vẽ). Biết diện tích tam giác DOP
lớn hơn diện tích tam giác MON là 3,5 cm2.

TÝnh diƯn tÝch h×nh ch÷ nhËt ABCD.

Một số học sinh đã giải nh sau:
Lời giải: Ta có SNPD = 1,5 x SMPN (có đáy

DP = 1,5 x MN; cùng đờng cao là chiều
rộng hình chữ nhật). Hai tam giác này có
phần chung là tam giác NOP nờn: SDOP =

1,5 x SMON, mặt khác SDOP - SMON = 3,5 cm2

nªn SDOP = 10,5 cm2, SMON = 7 cm2.

Lại có: SDOP = SPOC (cùng đờng cao hạ từ

O xuống DC, đáy DP = PC) nên SDOC =

10,5 + 10,5 = 21(cm2) (1).

Tơng tự ta có: SAOM = SMON = SNOP (chung đờng cao hạ từ O xuống AB và đáy AM =

MN = NB) nªn: SAOB = 7 + 7 + 7 = 21 (cm2) (2). KỴ EF song song DC; IK vuông góc với

EF và vuông góc với cạnh hình ch÷ nhËt qua O.

Ta cã: SAIO = SAEO; SBOI = SBOF nªn SAEO + SBOF = SAIO + SBOI = 21 cm2 (3).

T¬ng tù: SEOD + SFOC = SDOK + SCOK = 21 cm2 (4).

Tõ (1), (2), (3), (4) ta cã: SABCD = 21 + 21 + 21 + 21 = 84 (cm2).

* Nhận xét: Lời giải trên nêu SNPD = 1,5 x SMPN (đúng). Hai tam giác này có phần chung

là tam giác NOP (đúng) nên SDOP = 1,5 x SMON (sai). Từ bớc giải sai này kéo theo thêm

nhiỊu bíc sai khác nên kết quả cuối cùng cũng sai.
Nguyên nhân của sai lầm trên là ở chỗ lập tỉ số:

SNPD 3 SDOP + SNOP 3 SDOP 3

= ; = ; = . 
 SMPN 2 SMON + SNOP 2 SMON 2

Các em đã cùng bớt cả tử số và mẫu số đi cùng SNOP . Khi đó tỉ số sẽ thay đổi chứ khơng

thĨ b»ng

2
3

đợc nữa.

Lời giải đúng (Tóm tắt): SNDP =

4
1

SABCD (1); SPMN =

6
1

SABCD(2). Tõ (1) vµ (2) ta cã:

SDOP = SNDP - SNOP =

4
1

SABCD - SNOP (3). SMON = SPMN - SNOP =

6
1

SABCD - SNOP (4).

Tõ (3) vµ (4) ta cã: SDOP - SMON =

4
1

SABCD

-

6
1

SABCD =

12
1

SABCD

.

V×

SDOP - SMON = 3,5 (cm2

)

nên diện tích ABCD là 3,5 x 12 = 42 (cm2

).

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

* Bài tập áp dụng: Cho hình thang ABCD, hai đờng

chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính tỷ số 2 đáy hình
thang biết diện tích tam giác AOB = 1 cm2, din tớch

tam giác DOC = 4 cm2.

Bài giải: Kí hiệu S là diện tích. Tam giác ABC và BDC

cú chung chiều cao là chiều cao của hình thang nên tỷ
số diện tích bằng tỷ số hai đáy.

SABC AB

= .

SBDC DC

Nhng tam giác ABC và BDC đều có phần chung là BCO
 SAOB AB 1

VËy: = = .
 SDOC DC 4

Theo em tỷ số trên tính đúng cha? Nếu sai thì sai ở đâu?

Ví dụ 2: Hình chữ nhật ABCD có chu vi
là 68 cm, đợc chia thành 7 hình chữ nhật
bằng nhau nh hình vẽ.

TÝnh diƯn tích hình chữ nhật ABCD.

(§Ị thi OLYMPIC
 To¸n tiĨu häc Sin - ga - po)

Một số học sinh đã giải nh sau:

Từ hình trên ta thấy ngay chiều dài AB của hình chữ nhật ABCD phải là số chia hết cho
2 và 5 nên chữ số tận cùng của nó là 0. Do nửa chu vi của hình ABCD là 34 cm, nên
chiều dài AB chỉ có thể là 10; 20; 30. AB khơng thể là 10 cm vì nh thế AB < AD; AB
khơng thể là 30 cm vì khi đó AD là 4 cm và diện tích hình ABCD là 30 x 4 = 120(cm2),

mà 120 không chia hết cho 7. Vậy AB lµ 20 cm; AD = 14 cm.
 DiƯn tÝch ABCD lµ 20 x 14 = 280(cm2).

* Nhận xét: Lời giải trên đã lập luận sai ngay từ bớc đầu tiên: "Chiều dài AB của hình

chữ nhật ABCD phải là số chia hết cho 2 và 5". Nh thế đã ngộ nhận rằng số đo chiều dài
AB phải là số tự nhiên (mà trong đề bài không cú iu kin ny).

* Biện pháp khắc phục: Để khắc phục sai lầm trên chúng ta có thể cho các em làm quen
và luyện giải nhiều bài tập dạng nh trên.

* Li gii ỳng: Nhìn vào hình vẽ ta thấy AB gấp 5 lần chiều rộng của hình chữ nhật
nhỏ và gấp 2 lần chiều dài của nó nên tỉ số chiều rộng và chiều dài hình chữ nhật nhỏ là

5
2

. Coi chiều rộng hình chữ nhật nhỏ là 2 phần bằng nhau thì chiều dài của nó là 5 phần
nh thế. Do đó AD là 5 + 2 = 7 (phần), AB là 5 x 2 = 10 (phần). Hay tỉ số của chiều rộng
(AD) và chiều dài (AB) là

10
7

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

* Bài tập áp dụng: Quảng đó Ninh: ''Vờn

nhà mình là hình chữ nhật có chu vi 62 m,
đợc chia thành 10 mảnh nhỏ cũng là hình
chữ nhật và có diện tích bằng nhau (nh
hình vẽ). Cậu có biết diện tích vờn nhà
mình là bao nhiêu mét vuông không?''.
Ninh nghĩ một lúc rồi lắc đầu chịu thua.
Em có tính giỳp Ninh c khụng

(Đề thi "Vận dụng toán vào cuộc sống" tại giao lu Toán Tuổi Thơ lần thứ hai - 2006)
6. Sai lầm khi xét thiếu trờng hợp

Ví dụ 1: Trong một vờn hoa hình chữ nhật dài 60 m, rộng 30 m ngời ta làm bốn luống
hoa hình chữ nhật bằng nhau. Xung quanh các luống hoa đều có đờng đi rộng 3 m.

Tính diện tích các đờng đi trong vờn hoa.

Một số học sinh đã giải nh sau: Giả sử các luống hoa có thể dời đến một góc vờn nh
hình vẽ dới đây.

Bốn luống hoa ghép lại đợc một hình chữ nhật có chiều rộng là: 30 - 3 x 3 = 21 (m).
Chiều dài là: 60 - 3 x 3 = 51 (m). Diện tích bốn luống hoa là: 51 x 21 = 1071 (m2).

DiƯn tÝch vên hoa lµ: 60 x 30 = 1800 (m2).

Diện tích đờng đi là: 1800 - 1071 = 729(m2).

* Nhận xét: Bài giải trên mới chỉ xem xét một trờng hợp là 4 luống hoa với 6 đờng đi
xung quanh các luống hoa. Tuy nhiên bài tốn trên cịn có thêm hai trờng hợp khác nữa
nh hình vẽ dới đây.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Trêng hỵp 2
 Lêi giải (Trờng hợp 1):

Diện tích 4 luống hoa lµ: (60 - 3 x 2) x (30 - 3 x 5) = 810 (m2).

Diện tích các lối đi lµ: 60 x 30 - 810 = 990 (m2).

(Trờng hợp 2): Diện tích 4 luống hoa là: (60 - 3 x 5) x (30 - 3 x 2) = 1080 (m2).

Diện tích các lối đi là: 60 x 30 - 1080 = 720 (m2).

Ví dụ 2: Bác Phong có một mảnh đất hình chữ nhật, chiều rộng mảnh đất dài 8 m. Bác
ngăn mảnh đất đó thành hai phần, một phần để làm nhà, phần cịn lại để làm vờn. Diện
tích phần đất làm nhà bằng

2
1

diện tích mảnh đất cịn chu vi phần đất làm nhà bằng

3
2

chu vi mảnh đất. Tính diện tích mảnh đất của bác.

* Nhận xét: Phần lớn học sinh khi giải bài toán này chỉ giải một trờng hợp sau:
 Gọi mảnh đất hình chữ nhật là ABCD và

phần đất làm nhà là AMND. Vì diện tích
phần đất làm nhà bằng nửa diện tích mảnh
đất nên M, N lần lợt là trung điểm của AB
và CD. Do đó AM = MB = CN = ND.
Chu vi của phần đất làm nhà là: 
(AM + AD) x 2 = (AM + 8) x 2 =

= AM x 2 + 8 x 2 = AB + 16. Chu vi mảnh đất là: (AB + AD) x 2 = (AB + 8) x 2 = 
 = AB x 2 + 8 x 2 = AB x 2 + 16. Hiệu chu vi mảnh đất và chu vi phần đất làm nhà là:

(AB x 2 + 16) - (AB + 16) = AB. Hiệu này so với chu vi mảnh đất thì chiếm: 1 -

3
2

=

3
1

(chu vi mảnh đất). Do đó ta có: AB x 3 = AB x 2 + 16, ta tìm đợc AB = 16 (m).
Vậy diện tích mảnh đất là: 16 x 8 = 128 (m2).

Tuy nhiên bài toán trên còn có một trờng hợp nữa (xem hình vẽ)

Li gii (Trờng hợp 2): Lập luận tơng tự
trờng hợp 1 tìm đợc AB = 4 m. Điều này vơ
lí vì AB là chiều dài của mảnh đất hình chữ
nhật, đơng nhiên phải lớn hơn 8 m.

Do đó trờng hợp này bị loại.

VÝ dô 3: Mét thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Ngời ta mở
rộng về bên trái, bên phải và phía trên mỗi bên 3 m thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 120
(m2). Hỏi diện tích thửa ruộng ban đầu là bao nhiêu?

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Mở rộng về bên trái, bên phải và
phía trên mỗi bên 3 m thì ta đợc phần
diện tích tăng thêm chính là 5 hình A,

B, C, D, E (hỡnh bờn).

Diện tích hình vuông B (hay D) lµ:
 3 x 3 = 9 (m2).

Vì ba hình chữ nhật A, C, E đều có một chiều là 3 m và chiều cịn lại của hình C gấp 3
lần chiều cịn lại hình A (hay E) nên tổng diện tích của ba hình A, C, E đúng bằng 5 lần
diện tích hình A và chính bằng: 120 - 9 x 2 = 102 (m2).

Diện tích hình A là: 102 : 5 = 20,4 (m2). ChiỊu réng cđa thưa rng ban đầu là: 20,4 : 3

= 6,8 (m). Chiều dài của thửa ruộng ban đầu là: 6,8 x 3 = 20,4 (m).
Diện tích của thửa ruộng ban đầu là: 20,4 x 6,8 = 138,72 (m2).

Bài toán trên mới chỉ giải một trờng hợp là: Thửa ruộng ban đầu có chiều dài theo phơng
nằm ngang. Học sinh bỏ sót trờng hợp thửa ruộng ban đầu có chiều dài theo phơng thẳng
đứng (nh hình vẽ phía dới).

Khi đó hình chữ nhật A có một chiều là 3m và
một chiều bằng chiều rộng của thửa ruộng ban
đầu sẽ có diện tích là: 102 : 7 =

7
102

(m2).

ChiỊu rộng của thửa ruộng ban đầu là:

102

: 3 =

7
102

(m).

Chiều dài của thửa ruộng ban đầu là:

7
34

x 3 =

7
102

(m).

Diện tích của thửa ruộng ban đầu lµ:

7
102
x
7
102
=
49

3468

(m2).

* Biện pháp khắc phục: Một bài giải đúng và trọn vẹn là bài giải phải xét tất cả mọi 
tr-ờng hợp xảy ra (nếu có) trong tình huống đã cho. Để khắc phục sai lầm trên chúng ta có
thể cho các em làm quen và luyện giải nhiều bài tập dạng nh trên.

* Bài tập áp dụng: Một hình chữ nhật có chu vi là 200 m. Nếu tăng một cạnh 5 m và
giảm cạnh kia 5 m thì hiệu diện tích giữa hình cũ và hình mới sẽ là 175 m2.

Tính diện tích hình ban đầu.
7. Một số sai lầm khác

Vớ d 1: Khi mơ tả một hình, học sinh tiểu học thờng khơng mô tả đầy đủ các dấu hiệu
đặc trng của một hình, có khi mơ tả thừa, cũng có khi mơ tả thiếu các dấu hiệu. Chẳng
hạn học sinh có những mụ t nh sau:

- Hình vuông là hình có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
- Hình vuông là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau vµ 4 gãc b»ng nhau.

- Hình vng là hình tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau, trong đó mỗi góc
đều bằng một vng.

* Nhận xét: Nguyên nhân của sai lầm trên do học sinh không nắm chắc khái niệm về
các hình hình học cần mô tả.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ví dụ 2: Khi dùng chữ để đọc và viết các hình hình học, học sinh tiểu học thờng tự tiện
đổi chỗ các chữ trong tên gọi một hình. Chẳng hạn, các em coi cách đọc và viết hình tứ
giác ABCD cũng nh các hình tứ giác ACDB, ADBC, ADCB,…

* Nhận xét: Nguyên nhân của sai lầm trên là do khả năng suy luận của học sinh tiểu học
thờng dựa vào phán đốn khơng có căn cứ, có thể do các em bị ảnh hởng tính chất giao
hoán của phép cộng và phép nhân các số tự nhiên, số thập phân, cũng có thể do trong thực
hành các em bị ảnh hởng phép đo đạc các đoạn thẳng AB và BA đều có độ dài nh nhau,
hoặc khi đổi chỗ các chữ trong kí hiệu tên gọi tam giác ABC và tam giác ACB vẫn là tam
giác đó. Từ đó dẫn các em tới một suy luận sai lầm: "Việc đổi chỗ các chữ trong kí hiệu
tên gọi một hình tứ giác khơng làm thay đổi hình tam giác đó".

* Biện pháp khắc phục: Để khắc phục sai lầm trên, chúng ta nên phân tích trên hình vẽ
cho các em thấy đợc khi đổi chỗ thứ tự các chữ trong kí hiệu gọi hình tứ giác, đoạn thẳng
đóng vai trị yếu tố cạnh của hình tứ giác sẽ trở thành đờng chéo của hình tứ giác đó.
Trên đây là một vài kinh nghiệm giúp học sinh khắc phục một số sai lầm thờng gặp
khi giải toán mang nội dung hình học mà tơi tích luỹ đợc trong q trình hớng dẫn học
sinh học tốn.

Thành công lớn nhất mà kinh nghiệm mang lại là học sinh đã khắc phục đợc những
sai lầm thờng gặp khi giải toán mang nội dung hình học. Tạo sự hứng thú, óc phân tích và
khả năng sáng tạo cho học sinh.

Một thành công nữa mà kinh nghiệm mang lại là giúp cho học sinh có đợc một kinh
nghiệm giải tốn q báu đó là: Trong q trình làm bài các em phải bình tĩnh đọc kĩ đề
bài, cần sử dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức cơ bản, để không mắc phải những sai
lầm đáng tiếc nh kinh nghiệm đã nêu, để không bị rơi vào những "bẫy" sai mà bài toán đã
"giăng" ra.

</div>