Gián án chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử

I./ Đặt vấn đề
ở trờng phổ thông học sinh đợc học rất nhiều bộ môn khác nhau. Một trong
những bộ môn đợc các em yêu thích đó là môn toán Bởi lẽ nó là bộ môn khoa học
có tác dụng phát triển t duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, phát huy tính tích cực
trong học tập. Việc học tốt môn toán là cơ sở để giúp các em học tốt những môn
khác. Là một giáo viên dạy toán tôi thấy việc hớng dẫn các em biết cách giải đối
với từng loại toán là rất cần thiết.
Trong chơng trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng,
việc nắm vững phơng pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong
việc giải các bài toán khác đó là dạng toán: Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài
toán phân tích đa thức thành nhân tử đợc ứng dụng rất nhiều trong các bài toán khác
nh giải phơng trình, rút gọn phân thức, tính giá trị của biểu thức... Qua năm năm
giảng dạy bộ môn toán 8 tôi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài toán phân
tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình, học sinh yếu. Ngợc
lại đối với học sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích phân tích đa thức thành nhân tử
làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập. Trong tôi lúc nào cũng đặt ra một
câu hỏi làm thế nào để cho các đối tợng học sinh đều thích thú,say mê học đối
dạng toán này". Trong phạm vi đề tài này tôi muốn đa ra các phơng pháp để giúp
các em học sinh lớp 8 có một kĩ năng thành thạo, phơng pháp giải tốt nhất đối với
dạng toán này. Tôi chọn đề tài này bởi lẽ nó rất cần cho tất cả các đối tợng học
sinh. Trong các năm gần đây bài toán phân tích đa thức thành nhân tử có mặt thờng
xuyên trong các các đề thi học sinh giỏi khối 8. Vì vậy việc tập hợp hệ thống các
bài toán ở dạng này là rất cần thiết đối với các đối tợng học sinh đặc biệt là học sinh
giỏi. Qua đó giúp các em biết vận dụng dạng toán này để giải các bài toán khác.
Trong chơng trình đại số 8 sách giáo khoa có đa ra bốn phơng pháp phân tích đa
thức thành nhân tử đó là: đó là đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các
hạng tử và phối hợp các phơng pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử. Trong
thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng các phơng
1
pháp trên mà giải đợc. Gặp các bài nh vậy thì các em lại lúng túng không biết làm
thế nào và sử dụng phơng pháp nào để giải.

Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là qua năm năm dạy lớp thay sách tôi thấy
việc hệ thống các phơng pháp giải đối với từng loại là rất cần thiết, giúp các em
thấy đợc sự đa dạng và phong phú về nội dung của từng loại toán. Đồng thời giúp
cho các em có một cách nhìn nhận dới nhiều góc độ khác nhau. Từ đó kích thích
các em có một sự tìm tòi, sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học
tập, có nhiều hứng thú khi học bộ môn toán .
II./GiảI quyết vấn đề
1- Biện pháp thực hiện
Có đợc kết quả cao trong việc dạy và học môn toán đặc biệt là dạng toán phân
tích đa thức thành nhân tử từ đó vận dụng bài toán này để giải các bài toán khác thì
một trong các biện pháp thực hiện đó là xây dựng hệ thống bài tập về dạng phân
tích đa thức thành nhân tử. Trong mỗi phơng pháp giải tôi luôn đa ra hệ thống bài
tập từ dễ đến khó . Đối với bài dễ dùng cho đối tợng học sinh trung bình, yếu còn
đối với bài tập khó nâng cao dùng cho học sinh khá giỏi để các đối tợng học sinh
không cảm thấy chán. Tuy nhiên trong mỗi bài toán đa ra cần lu ý cho học sinh
khong chỉ có một cách giải .Trong mỗi bài toán đa ra tôi đều tìm tòi những lời giải
khác nhau để tìm ra lời giải thích hợp nhất. Mỗi phơng pháp giải tôi đều đa ra các
bài tập khác nhau nhằm mục đích phát triển bài toán .
Với kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn không thể tránh
khỏi những khiếm khuyết trong quá trình vận dụng. Tôi rất mong nhận đợc ý kiến
đóng góp của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc để xây dựng và hoàn thiện hơn nữa
các phơng pháp giải bài toán Phân tích đa thức thành nhân tử
2- Nội dung
Trớc hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài toán
Phân tích đa thức thành nhân tử .
2
a- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đa thức khác.
b- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
a. (A+B)

2
= A
2
+2AB+B
2
b. (A-B)
2
= A
2
-2AB+B
2
c. A
2
-B
2
= ( A-B)(A+B)
d. (A+B)
3
= A
3
+3A
2
B +3AB
2
+B
3
e. (A-B)
3
= A
3

-3A
2
B +3AB
2
-B
3
f. A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
+AB +B
2
)
g. A
3
+B
3
=(A+B)(A
2
+AB +B
2
)
c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp thông thờng
a. Đặt nhân tử chung
b. Dùng hằng đẳng thức
c. Nhóm các hạng tử
d. Phối hợp các phơng pháp trên
d. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp khác

a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
b. Thêm, bớt cùng một hạng tử
c. Đặt ẩn phụ
d. Dùng phơng pháp hệ số bất định
e. Nhẩm nghiệm
e. Đổi dấu một hạng tử A=-(-A)
f. Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0
h. Cho đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n -1
x
n-1
+ ..... + a
2
x + a
Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ớc của a.
Các ví dụ cụ thể
1. Ph ơng pháp 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân
tử chung.
3
Đây là phơng pháp đợc dùng cho các bài toán phân tích ở mức độ đơn giản.
Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bớc mới xuất hiện nhân tử
chung.
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
- 3x b. 12x

3
- 6x
2
+3x
c.
5
2
x
2
+ 5x
3
+ x
2
y d. 14x
2
y-21xy
2
+28x
2
y
2
Giải
a. x
2
- 3x =x(x-3)
b. 12x
3
- 6x
2
+3x =3x(4x

2
-2x +3)
c.
5
2
x
2
+ 5x
3
+ x
2
y = x
2
(
5
2
+ 5x + y)
d. 14x
2
y-21xy
2
+28x
2
y
2
= 7xy(2x -3y +4xy)
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 5x
2
(x -2y) -15xy(x -2y)

b. x(x+ y) +4x+4y
Giải
a. 5x
2
(x -2y) -15xy(x -2y) = (x -2y)(5x
2
-15xy)
= (x -2y)5x(x-3y)
b. x(x+ y) +4x+4y = x(x+ y)+(4x+4y)
= x(x + y)+(x + y)4
= (x+ y)(x + 4)
ở hai ví dụ trên việc phân tích thức đa thành nhân tử ở mức độ đơn giản.
Học sinh nhận thấy ngay đợc nhân tử chung. Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung
phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức nh ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 10x(x-y)-8y(y-x)
b. 5x(x-2000) - x + 2000
Giải
4
a.10x(x-y)-8y(y-x)
= 10x(x-y)+8y(x-y)
= (x-y)(10x+8y)
=2(x-y)(5x+4y)
b. 5x(x-2000) -x+2000
=5x(x-2000) -(x-2000)
=(x-2000)(5x -1)
Việc phân tích đa thức thành nhân tử đợc ứng dụng trong các bài tập khác
nh tìm x chứng minh, tính giá trị của biểu thức.
Ví dụ 4
Tính giá trị của biểu thức x(x-1)-y(1-x) tại x=2000, y=1999.

Giải:
Nếu theo cách làm thông thờng ta sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu thức
để tính giá trị. Cách làm đó phải tính rất phức tạp mới cho kết quả. Vì vậy giáo viên
gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số tính giá trị biểu
thức.
Ta có x(x-1)-y(1-x) =x(x-1)+y(x-1)
=(x-1)(x+y)
Thay x=2001, y=1999 ta đợc
(2001-1) (2001+1999)
= 2000.4000
= 8000000.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng 55
n+1
- 55
n
Ta sẽ biến đổi vế trái thành một tích trong đó có một thừa số chia hết cho 54
Ta có 55
n+1
-55
n
=55
n
.55 55
n
=55
n
(55 -1)
=55
n
.54

Ví dụ 6: Tìm x biết
5
5x(x-1) = x-1
5x(x-1) -(x-1) = 0
(x-1)(5x-1) = 0
x-1= 0 hoặc 5x-1= 0
x=1 hoặc x=
1
5
2. Ph ơng pháp 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng
hằng đẳng thức
Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là cách
làm thông dụng nhất đợc áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phơng pháp này yêu cầu
học sinh phải nắm chắc bảy hằng đẳng thức đắng nhớ
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
-6x +9
b. x
2
-6
c. 1- 27x
3
d. x
3
+
3
1
x
e. -x

3
+9x
2
-27x +27
Giải
a. x
2
-6x +9 =(x-3)
2
b. x
2
-6 =(x-
6
) (x+
6
)
c. 1- 27x
3
= (1-3x)(1+3x+9x
2
)
d. x
3
+
3
1
x
= (x+
1
x

)(x
2
-1+
2
1
x
)
e. -x
3
+9x
2
-27x +27 =-(x
3
-9x
2
+27x -27) =-(x-3)
3
ở ví dụ trên là các hằng đẳng thức đã đợc khai triển. Việc phân tích chỉ là
cách viết theo chiều ngợc lại của các hằng đẳng thức.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. 8x
3
+12x
2
y +6xy
2
+y
3
6
b. (xy+1)

2
-(x-y)
2
Giải
a. 8x
3
+12x
2
y +6xy
2
+y
3
=(2x)
3
+3.(2x)
2
y +3.2x.y
2
+y
3
=(2x+y)
3
b.(xy+1)
2
-(x-y)
2
=[(xy+1)-(x-y)].[(xy+1) +(x-y)]
=(xy-x-y+1)(xy+x-y+1)
3- Ph ơng pháp 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm các
hạng tử.

Đối với phơng pháp này cần ly ý cho học sinh khi nhóm các hạng tử phải
chú đến dấu trớc ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc.
Ví dụ 1:Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. x
2
- x - y
2
- y b. x
2
- 2xy + y
2
- z
2
c. x
2
-3x + xy - 3y d. 2xy +3z + 6y + xz
Giải
a, x
2
- x - y
2
- y b, x
2
- 2xy + y
2
- z
2
=( x
2
- y

2
) - (x +y) =(x
2
- 2xy + y
2
)- z
2
= (x + y) (x - y)- (x +y) =(x-y)
2
-z
2
=(x + y) (x- y -1) =(x-y-z)(x-y+z)
c, x
2
-3x + xy - 3y d, 2xy +3z + 6y + xz
=(x
2
+xy) -(3x+3y) =(2xy+6y)+(3z+xz)
=x(x+y)-3(x+y) =2y(x+3)+z(3+x)
=(x+y)(x-3) =(x+3)(2y+z)
ở ví dụ 1 khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các phơng pháp
nh : Nhóm các hạng tử đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
b. a
3
(b
2
-c
2

)+b(c
2
-a
2
)+c(a
2
-b
2
)
Giải
7
Phơng pháp chung để làm loại toán này là khai triển hai trong số ba hạng tử
còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số
hạng thử ba. Ví dụ a ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba
để làm xuất hiện nhân tử chung là a+
a. bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=b
2
c+bc
2
+c
2
a-ca
2
-ab(a+b)
=(b
2
c -ca
2
) +(bc

2
+c
2
a) -ab(a+b)
=c(b
2
-a
2
) +c
2
(b+a)- ab(a+b)
=c(b-a)(b+a)+c
2
(b+a) - ab(a+b)
=(b+a)(cb-ca +c
2
)- ab(a+b)
=(a+b)(cb-ca +c
2
- ab)
=(a+b)[(cb+c
2
)-(ca+ba)
=(a+b)[c(b+c)-a(c+b)]
=(a+b)(b+c)(c-a)
b.a
3
(b
2
-c

2
)+b
3
(c
2
-a
2
)+ c
3
(a
2
-b
2
)
=a
3
b
2
- a
3
c
2
+

b
3
c
2
- b
3

a
2
+c
3
(a
2
-b
2
)
=(a
3
b
2
-b
3
a
2
) (a
3
c
2
-b
3
c
2
) +c
3
(a
2
-b

2
)
=a
2
b
2
(a-b) c
2
(a
3
-b
3
)+c
3
(a
2
-b
2
)
=a
2
b
2
(a-b) c
2
(a-b)(a
2
+ab+b
2
)+c

3
(a-b)(a+b)
= (a-b)(a
2
b
2
-c
2
a
2
-c
2
ab- c
2
b
2
+ c
3
a + c
3
b)
= (a-b)[( a
2
b
2
-c
2
b
2
)+ (c

3
b-c
2
ab) + (c
3
a -c
2
a
2
)]
=(a-b)[b
2
(a-c)(a+c) + c
2
b(c-a) + c
2
a(c-a)]
=(a-b)(a-c)(b
2
a+b
2
c -c
2
b c
2
a)
=(a-b)(a-c)[(b
2
a -c
2

a) + (b
2
c -c
2
b )]
=(a-b)(a-c)[ a(b-c)(b+c) +bc(b-c)]
=(a-b)(a-c) (b-c)(ab+ac +bc)
8