Phép biến đổi tích phân dạng hankel, hankel hữu hạn, mellin và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TOÁN
−−− −−−

MAI THỊ NGUYÊN PHƯỢNG

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HANKEL,
HANKEL HỮU HẠN, MELLIN
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Cử nhân Toán - Tin

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khoa học:
TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Đà Nẵng, 5/2013


2

MỤC LỤC
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

1.1

1.2

1.3

7

Một số hàm đặc biệt và tính chất của nó

. . . . . . . . . .

7

1.1.1

Hàm Gamma và tính chất của nó

. . . . . . . . . .

7

1.1.2

Hàm Beta và tính chất của nó . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Hàm Bessel và tính chất của nó

9

. . . . . . . . . . .

Phép biến đổi tích phân dạng Hankel . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1

Phép biến đổi tích phân dạng Hankel và ví dụ . . . . 11

1.2.2

Một số tính chất của biến đổi tích phân dạng Hankel 13

Phép biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn . . . . . . . . 16
1.3.1

Phép biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn và ví
dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2

Một số tính chất của biến đổi tích phân dạng Hankel
hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4

Phép biến đổi tích phân dạng Mellin . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1

Phép biến đổi tích phân dạng Mellin và ví dụ . . . . 21

1.4.2

Một số tính chất của biến đổi tích phân dạng Mellin

Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
2.1

23
31

Ứng dụng của phép biến đổi Hankel cho phương trình đạo
hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2

Ứng dụng của phép biến đổi Hankel hữu hạn cho phương
trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3

Ứng dụng của phép biến đổi Mellin cho phương trình đạo
hàm riêng, tích phân và tổng chuỗi . . . . . . . . . . . . . . 36

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng

3

2.4

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


4

Lời cảm ơn!
Em xin chân thành cảm ơn thầy Phan Đức Tuấn, là thầy hướng dẫn,
đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu và hướng dẫn tận tình trong suốt
quá trình em thực hiện đề tài của mình. Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy
cơ khoa Tốn, trường Đại học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng đã tạo điều
kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn cũng như sự tận tình của
các thầy cơ đã dạy bảo em trong suốt 4 năm học qua. Đồng thời em cũng
xin gởi lời cảm ơn đến bạn bè cùng khóa đã giúp đỡ em trong q trình
thực hiện luận văn.

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng

5

Lời nói đầu
Nhiều vấn đề trong kỹ thuật đưa đến việc giải một phương trình vi phân
thường, phương trình đạo hàm riêng hay phương trình tích phân. Như việc
nghiên cứu sự đổi dạng của chùm tia sáng vô hạn trong mơi trường đàn
hồi dẫn đến việc giải một phương trình vi phân thường:

du
d4 u
= W (x),
EI 4 + κ
dx
dx

−∞ < x < ∞.

Khi nghiên cứu các dao động của dây, màng sóng, sóng âm, sóng đàn hồi,
sóng điện trường. . . dẫn đến việc giải các phương trình đạo hàm riêng như
phương trình Eliptic:

uxx + uyy = 0,

−∞ < x < ∞, y ≥ 0,

hay phương trình Hyperbolic:

utt = c2 uxx ,

−∞ < x < ∞, t > 0,

Trong giải phương trình tích phân Predholm với hạt nhân tích chập trong
hình thức:

∞

f (t)g(x − t)dt + λf (x) = u(x).
−∞

Một vấn đề đặt ra là đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân, tích
phân trong các bài tốn kỹ thuật đưa đến. Có rất nhiều hướng tiếp cận
dựa trên nhiều lý thuyết toán học khác nhau trong việc giải quyết vấn đề
trên như: chỉ ra điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm, sự ổn định nghiệm,
giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy rộng, .v.v. Trong số
đó, việc sử dụng các phép biến đổi tích phân để giải các phương trình kể
trên ra đời rất sớm và liên tục phát triển cho đến tận ngày nay. Có vai
trị đặc biệt quan trọng trong lý thuyết này phải kể đến trước hết là phép
biến đổi tích phân Fourier, Fourier sin, Fourier cosin, Hartley, tiếp theo là
Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


6

phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, sau đó là các phép biến đổi
tích phân Hankel, Kontorovich-Lebedev,. . . Cùng với lý thuyết phép biến
đổi tích phân, lý thuyết tích chập của các phép biến đổi tích phân cũng

xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ XX. Tuy nhiên, cho đến trước những năm
50 của thế kỉ trước, khơng có nhiều tích chập của các phép biến đổi tích
phân được xây dựng. Cho đến khi các kết quả của Kachivev V.A. (1967)
và Thao N.x (1998) công bố về phương pháp kiến thiết xây dựng tích chập
suy rộng thì một loạt các tích chập suy rộng mới của các phép biến đổi
tích phân khác nhau ra đời. Nội dung của luận văn, ngoài phần mở đầu,
kết luận, tài liệu tham khảo, gồm có 2 chương:
Chương 1: Trình bày các phép biến đổi tích phân Hankel, Hankel hữu hạn,
Mellin và một số tính chất cơ bản của các phép biến đổi.
Chương 2: Đưa ra các ứng dụng của các phép biến đổi trong việc giải các
phương trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng. Đặc biệt ứng dụng của
biến đổi Mellin trong việc giải tổng chuỗi.

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Mai Thị Nguyên Phượng

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


7

Chương 1
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

1.1
1.1.1

Một số hàm đặc biệt và tính chất của nó
Hàm Gamma và tính chất của nó

Hàm Gamma (hay cịn gọi là hàm giai thừa) được định nghĩa bởi tích
phân trong đó biến đóng vai trị như một tham số:
∞

Γ(x) =

e−t tx−1 dt,

x > 0.

(1.1)

0

Tích phân (1.1) là dạng hội tụ với mọi x trong đoạn [a, b] trong đó 0 <

a ≤ b < ∞, do đó hàm Γ(x) là một hàm liên tục với mọi x > 0. Tích
phân từng phần (1.1) cho ta tính chất cơ bản của hàm Gamma:

Γ(x) =

[−e−t tx−1 ]∞
0

∞

+ (x − 1)

e−t tx−2 dt

0

= (x − 1)Γ(x − 1),

x − 1 > 0.

Khi thay x bởi x + 1 cho ta kết quả:

Γ(x + 1) = xΓ(x).

(1.2)

Đặc biệt, khi x = n là một số thực dương, chúng ta có thể đưa (1.2) về
dạng:

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = . . .
= n(n − 1)(n − 2) . . . 3.2.Γ(1) = n!,

(1.3)

trong đó Γ(1) = 1.
Chúng ta đặt t = u2 thì (1.1) trở thành:
∞

exp(−u2 )u2x−1 du,

Γ(x) = 2

x > 0.

(1.4)

0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


8

Ví dụ 1.1.1. Với x = 21 , ta tìm được:

√

∞

π √
= π.
2

2

Γ(x) = 2

exp(−u )du = 2

0

(1.5)

Sử dụng (1.2), ta được:

√

1
1
= Γ
2
2

3
Γ
2

π
.
2

=

Tương tự, chúng ta tính được các giá trị của Γ

5
2

(1.6)

,Γ

7
2

...Γ

2n+1
2

.

Hàm Gamma cũng được định nghĩa bởi các giá trị âm của x có dạng
như (1.2):

Γ(x) =

Γ(x + 1)
,
x

x = 0, −1, −2, . . .

(1.7)

Ví dụ 1.1.2.

−1
Γ

2
1.1.2

=

Γ

−1
2
−3
2

=

4√
π.
3

Hàm Beta và tính chất của nó

Hàm Beta biểu thị bởi B(x, y) được định nghĩa bởi một tích phân sau:
1

tx−1 (1 − t)y−1 dt, x > 0, y > 0.

B(x, y) =

(1.8)

0

Hàm Beta là một hàm đối xứng:

B(x, y) = B(y, x).

(1.9)

Theo (1.8) và thay đổi biến 1 − t = u ta nhận được:
1

uy−1 (1 − u)x−1 du = B(y, x).

B(x, y) =
0

Nếu chúng ta thay đổi biến t =

u
1+u

trong (1.8) thì chúng thu được một

biểu diễn khác của hàm Beta là:
∞
x−1

B(x, y) =

u
0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

−(x+y)

(1 + u)

∞

du =

uy−1 (1 + u)−(x+y) du.

0

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


9

Vài kết quả quan trọng được ghi nhận dưới đây thì khơng cần chứng minh:

B(1, 1) = 1,

B

= π,

x−1
B(x − 1, y),

x+y−1

B(x, y) =

B(x, y) =
1.1.3

1 1
,
2 2

Γ(x)Γ(y)
.
Γ(x + y)

Hàm Bessel và tính chất của nó

Hàm Bessel với bậc v (trong v là số thực không âm) được định nghĩa
bởi Jv (x) có dạng:
∞
v

Jv (x) = x

r=0

(−1)r x2r
.
22r+v r!Γ(r + v + 1)

(1.10)

Chuỗi này hội tụ với mọi x.
Hàm Bessel y = Jv (x) thỏa mãn phương trình Bessel sau:

x2 y + xy + (x2 − v 2 )y = 0.

(1.11)

Khi v không phải số thực dương và khác không, Jv (x) và J−v (x) là 2 hệ
độc lập và nghiệm chung chung của phương trình Bessel là:

y = AJv (x) + BJ−v (x),

(1.12)

trong đó A và B là các hằng số tùy ý.
Tuy nhiên khi v = n (với n là số thực dương và khác không), Jn (x) và

J−n (x) có mối quan hệ như sau:
J−n (x) = (−1)n Jn (x).

(1.13)

Do đó, khi n là số thực dương khác khơng thì (1.11) có một nghiệm duy
nhất đó là:

∞

Jn (x) =

r=0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

(−1)r
x
r!(n + r)! 2

n+2r

.

(1.14)

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


10

Từ đó suy ra:
∞

J0 (x) =
r=0
∞

J1 (x) =
r=0

(−1)r x

r!2
2

2r

.

(−1)r
x
r!(r + 1)! 2

(1.15)
2r+1

.

(1.16)

Từ 2 kết quả vừa rút ra ở trên ta rút ra được:

J0 (x) = −J1 (x).

(1.17)

Và đây là các mối quan hệ của 3 hàm Bessel:

v
Jv (x) − Jv (x),
x
v

Jv−1 (x) =
Jv (x) + Jv (x),
x
2v
Jv−1 (x) + Jv+1 (x) =
Jv (x),
x
Jv−1 (x) − Jv+1 (x) = 2Jv (x).
Jv+1 (x) =

(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)

Tích phân hàm Bessel Jv (x) có dạng:

1
Jn (x) =
π

π

cos(nθ − x sin θ)dθ.

(1.22)

0

Tích phân Lommel có dạng:

a

xJn (px)Jn (qx)dx =
0

a
[pJn (qa)Jn (pa) − qJn (pa)Jn (qa)],
(q 2 − p2 )
(1.23)

với q ≤ p, (1.23) tương đương với:
a

xJn2 (px)dx =
0

a
[pJn (qa)Jn (pa) − qJn (pa)Jn (qa)].
(q 2 − p2 )

(1.24)

Và đây là các tích phân liên quan đến hàm Bessel áp dụng cho biến đổi
Hankel.
∞

(2b)v Γ v + 21
exp(−at)Jv (bt)t dt = √
1 ,
π (a2 + b2 )v+ 2

v

0
∞

exp(−at)Jv (bt)t
0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

v+1

2a(2b)v Γ v + 32
dt = √
3 ,
π (a2 + b2 )v+ 2

1
v>− ,
2
v > −1.

(1.25)

(1.26)

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


11

1.2

Phép biến đổi tích phân dạng Hankel

1.2.1

Phép biến đổi tích phân dạng Hankel và ví dụ

Chúng ta giới thiệu định nghĩa biến đổi Hankel từ biến đổi Fourier và
nghịch đảo trong khơng gian 2 chiều của nó như sau:

−1

∞

∞

1
{f (x, y)} = F (k, l) =
2π

exp{−i(κ.r)}f (x, y)dxdy,

(1.27)

−∞ −∞
∞

1

{F (k, l)} = f (x, y) =
2π

∞

exp{−i(κ.r)}F (k, l)dkdl, (1.28)
−∞ −∞

với r = (x, y) và κ = (k, l). Tọa độ cực (x, y) = r(cos θ, sin θ) và (k, l) =

κ(cos φ, sin φ) để κ.r = κrcos(θ − φ) thì
∞

1
F (κ, φ) =
2π

2π

exp[−iκr cos(θ − φ)]f (r, θ)dθ.

rdr
0

(1.29)

0

Giả sử f (r, θ) = exp(inθ)f (r) và đổi biến θ − φ = α −

π
ta rút gọn (1.29)
2

được:

1
F (κ, φ) =
2π

∞

2π+φ0

rf (r)dr
0

φ0

π
exp[in(φ − ) + i(nα − κr sin α)dα]
2
(1.30)

π
− φ).
2
Ta sử dụng biểu diễn tích phân của hàm Bessel như sau:

với φ0 = (

π

1
Jn (κr) =
π

cos[(nα − κr sin α)]dα,
0

theo định nghĩa hàm Bessel lại được biểu diễn:

1
Jn (κr) =
2π

2π+φ0

exp[i(nα − κr sin α)]dα.

(1.31)

φ0

Khi đó tích phân (1.30) trở thành

π
F (κ, φ) = exp in φ −
2
π

= exp in φ −
2
Khóa Luận Tốt Nghiệp

∞

rJn (κr)f (r)dr
0

f˜n (κ).

(1.32)

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


12

Định nghĩa 1.2.1. (Phép biến đổi Hankel của hàm f (r)). f˜n (κ) được gọi
là biến đổi Hankel của f (r) được định nghĩa là:
∞

Hn {f (r)} = f˜n (κ) =

rJn (κr)f (r)dr.

(1.33)

0

Giả sử rằng f (x, y) = f (r, θ) = einθ f (r) với (1.32) thì nghịch đảo biến đổi
Fourier (1.28) trở thành

e

inθ

∞

1
f (r) =
2π
1
=
2π

2π

exp[iκr cos(θ − φ)]F (κ, φ)dφ

κdκ
0

0
∞

2π

κf˜n (κ)dκ

0

π
exp[in(φ − ) + iκ cos(θ − φ)]dφ,
2

0

đổi biến θ − φ = −(α + π2 ) và θ0 = −(θ + π2 ),
∞

1
=
2π

2π+θ0

κf˜n (κ)dκ

0
∞

inθ

= e

exp [in(θ + α) − iκr sin α] dα
θ0

κJn (κr)f˜n (κ)dκ.

(1.34)

0

Định nghĩa 1.2.2. Phép biến đổi Hankel ngược. Nghịch đảo biến đổi
Hankel được xác định:
Hn−1

∞

f˜n (κ) = f (r) =

κJn (κr)f˜n (κ)dκ.

(1.35)

0

Định nghĩa 1.2.3. Cơng thức tích phân Hankel:
∞

f (r) =

∞

κJn (κr)dκ
0

pJn (κp)f (p)dp.

(1.36)

0

Công thức này được sử dụng để xác định biến đổi Hankel và nghịch đảo
của nó.
Ví dụ 1.2.1. Biến đổi Hankel bậc 0 của r−1 exp(−ar) là
∞

1
f˜(κ) = H0 { exp (−ar)} =
r

exp (−ar)J0 (κr)dr = √
0

1
.
κ2 + a2

Ví dụ 1.2.2. Biến đổi Hankel bậc 1 của f (r) = e−ar là
∞

f˜(κ) = H1 e−ar =
0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

re−ar J1 (κr)dr =

κ
(κ2 + a2 )

.
3
2

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


13

1.2.2

Một số tính chất của biến đổi tích phân dạng Hankel

Định lý 1.2.1. Nếu Hn {f (r)} = f˜n (κ) thì
Hn {f (ar)} =

1 ˜ κ
fn
, a > 0.
a2
a

(1.37)

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:
∞

Hn {f (ar)} =
0

1
rJn (κr)f (ar)dr = 2
a

∞
0

1
κ
κ
.
sJn ( s)f (s)ds = 2 f˜n
a
a
a

Định lý 1.2.2. (Đẳng thức dạng Parseval). Nếu f˜(κ) = Hn {f (r)} và

g˜(κ) = Hn {g(r)} thì
∞

∞

rf (r)g(r)dr =
0

κf˜(κ)˜
g (κ)dκ.

(1.38)

0

Chứng minh. Về mặt hình thức ta được:
∞

∞

κf˜(κ)˜
g (κ)dκ =

rJn (κr)g(r)dr.
0

0

0

∞

κf˜(κ)dκ

Hốn vị thứ tự phép lấy tích phân
∞

=

∞

rg(r)dr
0

∞

κJn (κr)f˜(κ)dκ =

0

rg(r)f (r)dr.
0

Định lý 1.2.3. (Biến đổi Hankel của đạo hàm). Nếu f˜n (κ) = Hn {f (r)}
thì
Hn {f (r)} =

κ
[(n − 1)f˜n+1 (κ) − (n + 1)f˜n−1 (κ)], n ≥ 1,
2n
H1 {f (r)} = −κf˜0 (κ),

(1.39)
(1.40)

với [rf (r)] triệt tiêu khi r → 0 và r → ∞.
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:
∞

Hn {f (r)} =

rJn (κr)f (r)dr,
0

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


14

tích phân từng phần ta được:

=

[rf (r)Jn (κr)]∞
0

∞

−

f (r)
0

d
[rJn (κr)]dr.
dr

(1.41)

Bây giờ, chúng ta sử dụng tính chất của hàm Bessel sau:

Jn−1 (κr) =

n
Jn (κr) + Jn (κr),
κr

suy ra:

d
[rJn (κr)] = Jn (κr) + rκJn (κr) = Jn (κr) + rκJn−1 (κr) − nJn (κr)
dr
= (1 − n)Jn (κr) + rκJn−1 (κr).
(1.42)
Khi r → 0 và r → ∞ đồng thời thay (1.42) vào (1.41) ta có:
∞

Hn {f (r)} = (n − 1)

f (r)Jn (κr)dr − κf˜n−1 (κ).

(1.43)

0

Tiếp theo, chúng ta sử dụng tiêu chuẩn về mối quan hệ giữa các hàm Bessel

sau:

Jn (κr) =

κr
[Jn−1 (κr) + Jn+1 (κr)].
2n

(1.44)

Do đó (1.43) được viết lại là:
∞

n−1
Hn [f (r)] = − κf˜n−1 (κ) + κ
2n

rf (r){Jn−1 (κr)
0

+Jn+1 (κr)}dr]
n−1
= − κf˜n−1 (κ) + κ
f˜n−1 (κ) + f˜n+1 (κ)
2n
κ
=
(n − 1)f˜n+1 (κ) − (n + 1)f˜n−1 (κ) .
2n
Đặc biệt, khi n = 1 thì (1.40) được thỏa mãn.

Tương tự, áp dụng (1.39) ta có kết quả sau:

κ
[(n − 1)Hn+1 {f (r)} − (n + 1)Hn−1 {f (r)}]
2n
κ2
n+1 ˜
n2 − 3 ˜
=
fn−2 (κ) − 2
fn (κ)
4
n−1
n2 − 1
n−1 ˜
+
fn+2 (κ) .
n+1

Hn {f (r)} =

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


15

Định lý 1.2.4. Nếu Hn {f (r)} = f˜(κ) thì
Hn

n2
r2

∇2 −

f (r)

n2
1 d df
(r ) − 2 f (r)
r dr dr
r

= Hn

= −κf˜n (κ)
(1.45)

với rf (r) và rf (r)triệt tiêu khi r → 0 và r → ∞.
Chứng minh. Theo định nghĩa (1.44) ta có:
Hn

∞

n2
− 2 f (r)
r

1 d

df
r
r dr
dr

=

Jn (κr)
0
∞

−
0

df
d
r
dr
dr

dr

n2
[rJn (κr)]f (r)dr,
r2

tích phân từng phần ta được:

df
r

Jn (κr)
dr

=

∞

∞

−κ
0

0

df
r Jn (κr)dr −
dr

∞
0

n2
[rJn (κr)]f (r)dr,
r2

tích phân từng phần lần nữa, ta có:

=

∞

−[κrf (r)Jn (κr)]∞
0 +
0

d
[κrJn (κr)]f (r)dr −
dr

∞
0

n2
[rJn (κr)]f (r)dr.
r2

Chúng ta sử dụng giả thiết đã cho và phương trình của hàm Bessel khác
như sau:

d
n2
2
[κrJn (κr)] + r κ − 2
dr
r

Jn (κr) = 0,

(1.46)

ta thu được là:
Hn

n2
∇ − 2
r
2

∞

f (r)

n2
κ − 2 rf (r)Jn (κr)dr
r
∞ 2
n
[rf (r)]Jn (κr)dr
−
2
r
0
2

=−
0

∞

rJn (κr)f (r)dr = κ2 Hn [f (r)]

= − κ2
0

= − κ f˜n (κ).
2

Đó là điều cần chứng minh.
Đặc biệt, khi n = 0 và n = 1 thì:
H0

1 d
df
r
r dr
dr

Khóa Luận Tốt Nghiệp

1 df
= H0
+
r dr
= −κ2 f˜0 (κ),

d2 f
dr2
(1.47)

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng

16

df
1 d
r
r dr
dr

H1

−

1
f (r)
r2

= −κ2 f˜1 (κ).

(1.48)

1.3

Phép biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn

1.3.1

Phép biến đổi tích phân dạng Hankel hữu hạn và ví dụ

Cũng như vấn đề về các khoảng hữu hạn −a < x < a dẫn đến chuỗi
Fourier, các vấn đề trên các khoảng hữu hạn 0 < r < a, trong đó r là tọa
độ hình trụ, dẫn đến các đại diện chuỗi Fourier-Bessel của hàm f (r) mà
có thể được ghi trong các định lý sau đây:
Định lý 1.3.1. Nếu f (r) được định nghĩa trong 0 ≤ r ≤ a và
a

f˜n (ki ) =

rf (r)Jn (rki )dr,

(1.49)

0

f (r) có thể được đại diện bởi chuỗi Fourier-Bessel như:
2
f (r) = 2
a

∞

i=1

Jn (rki )
f˜n (ki ) 2
.
Jn+1 (aki )

(1.50)

Trong đó ki (0 < k1 < k2 < ...) là nghiệm của phương trình Jn (aki ) = 0,
điều đó có nghĩa là:

Jn (aki ) = Jn−1 (aki ) = −Jn+1 (aki ),

(1.51)

đó là mối quan hệ tiêu chuẩn giữa Jn (x), Jn−1 (x) và Jn+1 (x).
Chứng minh. Chúng ta viết chính thức chuỗi Bessel mở rộng của f (r) như
sau:

∞

f (r) =

ci Jn (rki ),

(1.52)

i=1

trong đó phép lấy tổng được thực hiện trên tất cả các số không âm

k1 , k2 , . . . của hàm Bessel Jn (aki ).

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng

17

Nhân (1.52) với rJn (aki ), lấy tích phân cả hai vế từ 0 đến a, sau đó sử
dụng tính chất trực giao của hàm Bessel,
a

a

rJn2 (rki )dr.

rf (r)Jn (rki )dr = ci
0

0

Ta lại có tích phân Lommel liên quan đến hàm Bessel dạng sau:
a

rJn2 (rki )dr
0

a2
n2
2
=
(Jn ) (aki ) + 1 − 2 2 Jn2 (aki )
2
a ki
n2

a2 2
Jn+1 (aki ) + 1 − 2 2 Jn2 (aki ) ,
=
2
a ki

mà theo giả thiết ta có ki là nghiệm của phương trình Jn (aki ) = 0 nên:
a

rJn2 (rki )dr =
0

Do đó ta được:

a2 2
J (aki ).
2 n+1

a2 c i 2
˜
J (aki ),
fn (ki ) =
2 n+1

suy ra:

ci =

2 f˜n (ki )
2 (ak ) .

a2 Jn+1
i

(1.53)

Thay các giá trị ci vào (1.52) ta được (1.50).
Định nghĩa 1.3.1. Phép biến đổi Hankel hữu hạn bậc n của một hàm
f (r) được kí hiệu là Hn {f (r)} = f˜n (ki ) và được xác định bởi
a

Hn {f (r)} = f˜n (ki ) =

rf (r)Jn (rki )dr.

(1.54)

0

Định nghĩa 1.3.2. Phép biến đổi Hankel hữu hạn ngược. Nghịch đảo biến
đổi Hankel hữu hạn được xác định:
Hn−1 {f˜n (ki )}

2
= f (r) = 2
a

∞

i=1

Jn (rki )
f˜n (ki ) 2
,
Jn+1 (aki )

(1.55)

trong đó phép lấy tổng được thực hiện trên tất cả các nghiệm dương của

Jn (ak) = 0.

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


18

Biến đổi Hankel hữu hạn bậc 0 và nghịch đảo của nó được xác định:
a

H0 {f (r)} = f˜0 (ki ) =

rf (r)J0 (rki )dr,

(1.56)

0

H0−1 {f˜0 (ki )}

2
= f (r) = 2
a

∞

i=1

J0 (rki )
f˜0 (ki ) 2
.
J1 (aki )

(1.57)

Tương tự, biến đổi Hankel hữu hạn bậc 1 và nghịch đảo của nó là
a

H1 {f (r)} = f˜1 (ki ) =

rf (r)J1 (rki )dr,

(1.58)

0

H1−1 {f˜1 (ki )}

2

= f (r) = 2
a

∞

i=1

J1 (rki )
f˜1 (ki ) 2
.
J2 (aki )

(1.59)

trong đó ki được chọn là một nghiệm dương của phương trình J1 (ak) = 0.
Ví dụ 1.3.1. Nếu f (r) = rn thì
a

Hn {r } =
n

r
0

n+1

an+1
Jn+1 (aki ).
Jn (rki )dr =
ki

Khi n = 0,
H0 {1} =

a
J1 (aki ).
ki

(1.60)

(1.61)

Ví dụ 1.3.2. Nếu f (r) = (a2 − r2 ) thì
a

H0 {(a − r )} =
2

2

4a
2a2
r(a − r )J0 (aki )dr = 3 J1 (aki ) − 2 J0 (aki ).
ki
ki
2

0

2

Khi ki là các nghiệm của phương trình J0 (ak) = 0, chúng ta được
H0 {(a2 − r2 )} =

1.3.2

4a
J1 (aki ).
ki3

(1.62)

Một số tính chất của biến đổi tích phân dạng Hankel
hữu hạn

Chúng ta phát biểu các tính chất của biến đổi Hankel hữu hạn:
Hn {f (r)} =

ki
[(n − 1)Hn+1 {f (r)} − (n + 1)Hn−1 {f (r)}] , n ≥ 1,
2n
(1.63)

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


19

với điều kiện f (r) hữu hạn tại r = 0.
Khi n = 1, chúng ta có biến đổi Hankel hữu hạn của đạo hàm

Hn

H1 {f (r)} = −ki H0 {f (r)} = −ki f˜0 (ki ),

(1.64)

n2
1 d
{rf (r)} − 2 f (r) = −ki2 f˜n (ki ) − aki f (a)Jn (aki ).
r dr
r

(1.65)

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có:
a

Hn {f (r)} =

rJn (ki r)f (r)dr,
0

tích phân từng phần ta được:
a

=

[rf (r)Jn (ki r)]a0

−

f (r)
0

d
[rJn (ki r)]dr.
dr

(1.66)

Bây giờ, chúng ta sử dụng tính chất của hàm Bessel sau:
n
Jn (ki r) + Jn (ki r),
Jn−1 (ki r) =
ki r
suy ra:
d
[rJn (ki r)] = Jn (ki r) + rki Jn (ki r) = Jn (ki r) + rki Jn−1 (ki r) − nJn (ki r)
dr
= (1 − n)Jn (ki r) + rki Jn−1 (ki r).
(1.67)
Khi r → 0 và r → ∞ đồng thời thay (1.66) vào (1.67) ta có:
a

Hn {f (r)} = (n − 1)

f (r)Jn (ki r)dr − ki f˜n−1 (ki ).

(1.68)

0

Tiếp theo, chúng ta sử dụng tiêu chuẩn về mối quan hệ giữa các hàm Bessel
sau:

ki r
[Jn−1 (ki r) + Jn+1 (ki r)].
2n
Do đó (1.68) được viết lại là:
Jn (ki r) =

Hn {f (r)} = − ki f˜n−1 (ki ) + ki

n−1
2n

(1.69)

a

rf (r){Jn−1 (ki r)
0

+Jn+1 (ki r)}dr]
n−1
f˜n−1 (ki ) + f˜n+1 (ki )
= − ki f˜n−1 (ki ) + ki

2n
ki
=
(n − 1)f˜n+1 (ki ) − (n + 1)f˜n−1 (ki ) .
2n
Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


20

Đặc biệt, khi n = 1 thì (1.64) được thỏa mãn.
Tương tự, áp dụng (1.63) ta có kết quả sau:

ki
[(n − 1)Hn+1 {f (r)} − (n + 1)Hn−1 {f (r)}]
2n
n+1 ˜
n2 − 3 ˜
ki2
fn−2 (ki ) − 2
fn (ki )
=
4
n−1
n2 − 1
n−1 ˜
+
fn+2 (ki ) .

n+1

Hn {f (r)} =

(1.70)
(1.71)
(1.72)

Đã chứng minh xong (1.63).
Theo định nghĩa (1.54) ta có:

df
1 d
r
r dr
dr

Hn

a

n2
− 2 f (r)
r

=

df
d
r

dr
dr
dr
a 2
n
−
[rJn (ki r)]f (r)dr,
2
0 r

Jn (ki r)
0

tích phân từng phần ta được:

=

df
Jn (ki r)
r
dr

a

a

− ki

r
0

0

df
J (ki r)dr −
dr n

a
0

n2
[rJn (ki r)]f (r)dr,
r2

mà ki là nghiệm của phương trình Jn (aki ) = 0,
suy ra

df
r dr
Jn (ki r)

a
0

= 0,

tích phân từng phần lần nữa, ta có:
a

=

−[ki rf (r)Jn (ki r)]a0 +
0

d
[ki rJn (ki r)]f (r)dr−
dr

a
0

n2
[rJn (ki r)]f (r)dr.
r2

Chúng ta sử dụng giả thiết đã cho và phương trình của hàm Bessel khác
như sau:

d
n2
2
[ki rJn (ki r)] + r ki − 2
dr
r

Khóa Luận Tốt Nghiệp

Jn (ki r) = 0,

(1.73)

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


21

ta thu được là:
Hn

1 d
df
r
r dr
dr

n2
− 2 f (r)
r

= − aki f (a)Jn (aki )
a

ki2 −

−
0
a

−
0

n2
r2

rf (r)Jn (ki r)dr

n2
[rf (r)]Jn (ki r)dr
r2
a

= − aki f (a)Jn (aki ) −

ki2

rJn (ki r)f (r)dr
0

= − aki f (a)Jn (aki ) − ki2 Hn [f (r)]
= − aki f (a)Jn (aki ) − ki2 f˜n (ki ).
Đó là điều cần chứng minh.
Khi n = 0

1
H0 f (r) + f (r) = −ki2 f˜0 (ki ) + aki f (a)J1 (aki ).
r

(1.74)

Nếu n = 1, (1.33) trở thành

1
1
H1 f (r) + f (r) − 2 f (r) = −ki2 f˜1 (ki ) − aki f (a)J1 (aki ).
r
r

(1.75)

Các kết quả (1.34) và (1.35) là rất hữu ích cho việc tìm thấy các giải pháp
khác nhau trong phương trình tọa độ cực hình trụ.

1.4
1.4.1

Phép biến đổi tích phân dạng Mellin
Phép biến đổi tích phân dạng Mellin và ví dụ

Phép biến đổi Mellin và nghịch đảo của nó xuất phát từ phép biến đổi
Fourier phức tạp và nghịch đảo của Fourier. Chúng được định nghĩa như
sau:

1
I{g(ξ)} = G(k) = √
2π
1
I−1 {G(k)} = g(ξ) = √
2π
Khóa Luận Tốt Nghiệp

∞

e−ikξ g(ξ)dξ,

(1.76)

−∞
∞

eikξ G(k)dk.

(1.77)

−∞

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


22

Những thay đổi của các biến số exp(ξ) = x và ik = c − p, trong đó c là
một hằng số, trong kết quả (1.76) và (1.77) ta thu được
∞

1
G(ip − ic) = √
2π

xp−c−1 g(log x)dx,

(1.78)

0

c+i∞
1
g(log x) = √
xc−p G(ip − ic)dp.
(1.79)
2π c−i∞
Bây giờ chúng ta viết √12π x−c g(log x) ≡ f (x) và G(ip − ic) ≡ f˜(p) để xác

định biến đổi Mellin của f (x) và biến đổi Mellin ngược.
Định nghĩa 1.4.1. Phép biến đổi Mellin và biến đổi Mellin ngược của
hàm f (x) là:
∞

M{f (x)} = f˜(p) =

xp−1 f (x)dx,

(1.80)

0
c+i∞

1
M {f˜(p)} = f (x) =
2πi
−1

x−p f˜(p)dp,

(1.81)

c−i∞

f (x) là một hàm thực có giá trị được xác định trên (0, ∞) và biến p của
biến đổi Mellin là một số phức. Đôi khi, biến đổi Mellin của f (x) biểu thị
một cách rõ ràng là f˜(p) = M[f (x), p].
Ví dụ 1.4.1. Nếu f (x) = e−nx trong đó n > 0 thì
−nx

M e

∞

= f˜(p) =

xp−1 e−nx dx,

0

bằng cách đặt nx = t, ta lại có
M{e

−nx

Ví dụ 1.4.2. Nếu f (x) =

1
ex −1

1
M x
e −1
và bằng cách sử dụng

1
M{ x
}=
e −1
trong đó ς(p) =

∞

∞

xp−1
0

=

1
1−e−x

Γ(p)
.
np

(1.82)

e

0

1
dx,
ex − 1

và do đó
∞

p−1 −nx

∞
1
n=1 np , (Re(p)

Khóa Luận Tốt Nghiệp

0

= f˜(p) =

x
n=1

tp−1 e−t dt =

thì

∞
−nx
n=0 e

∞

∞

1
}= p
n

dx =
n=1

∞
−nx
n=1 e

=

Γ(p)
= Γ(p)ς(p),
np

1
ex −1 .

(1.83)

> 1) là hàm Riemann zeta.
SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


23

Ví dụ 1.4.3. Biến đổi Mellin của hàm f (x) = cos(kx) và g(x) = sin(kx).
Từ ví dụ (1.4.1) ta có:
M[e−ikx ] =

Γ(p)
Γ(p)
pπ
pπ
=
cos
−
sin
.
(ik)p
kp
2
2

Tách phần thực và phần ảo, chúng ta tìm thấy rằng:

pπ
,

2
pπ
M[sin kx] = k −p Γ(p) sin
.
2
Kết quả (1.84) ta có thể viết lại là:
M[cos kx] = k −p Γ(p) cos

∞

(1.84)
(1.85)

Γ(p)
pπ
cos
.
p
k
2

cos kxdx =
0

hoặc tương đương với
Tc

π p−1
x
2

=

Γ(p)
pπ
cos
.
kp
2

Hoặc
Tc xp−1 =

2 Γ(p)
pπ
cos
.
π kp
2

(1.86)

pπ
2 Γ(p)
sin
.
π kp
2

(1.87)

Tương tự ta cũng có:
Ts xp−1 =

1.4.2

Một số tính chất của biến đổi tích phân dạng Mellin

Định lý 1.4.1. Nếu M{f (x)} = f˜(p) thì:
M{f (ax)} = a−p f˜(p), a > 0.

(1.88)

Chứng minh. Theo định nghĩa, chúng ta có
∞

M{f (ax)} =

xp−1 f (ax)dx,
0

và bằng cách thay ax = t, ta có

1
M{f (ax)} = p
a

Khóa Luận Tốt Nghiệp

∞

p−1

t
0

f˜(p)
f (t)dt = p .
a

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


24

Định lý 1.4.2. Nếu M{f (x)} = f˜(p) thì:
M[xa f (x)] = f˜(p + a).

(1.89)

Chứng minh. Theo định nghĩa, chúng ta có:
∞

M {x f (x)} =
a

xp−1 xa f (x)dx
0

=

∞

x(p+a)−1 f (x)dx = f˜(p + a).

0

Định lý 1.4.3. Nếu M{f (x)} = f˜(p) thì:

1
p
M{f (xa )} = f˜
,
a
a
1
f
x

M

1
x

(1.90)

= f˜(1 − p),

(1.91)

dn ˜

M{(log x) f (x)} = n f (p), n = 1, 2, 3 . . .
dp
n

(1.92)

Chứng minh. Theo định nghĩa chúng ta có:
∞

M {f (x )} =
a

xp−1 f (xa )dx.

(1.93)

0

Đặt
1

xa = t ⇔ a ln x = lnt ⇔ x = t a .

(1.94)

1 1
dx = t a −1 dt,
a

(1.95)

Từ (1.94) ta có:

1

p

1

xp−1 = t a (p−1) = t a − a .

(1.96)

Thay (1.95) và (1.96) vào (1.93) ta được:
∞

p 1
1 1
t a − a f (t) t a −1 dt
a
0
∞ p
1
1
p
=
t a −1 f (t)dt = f˜
.
a 0
a

a

M {f (x )} =
a

Khóa Luận Tốt Nghiệp

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng


25

Đã chứng minh xong (1.90).
Theo định nghĩa chúng ta có:
∞

1
x

1
f
M
x

=
0

1
xp−1 f
x

1
dx.
x

(1.97)

Đặt

1
1
=t⇔x= .
x
t

(1.98)

Từ (1.98) ta suy ra được:

xp−1

1
dx = − 2 dt,
t
p−1
1
=
= t1−p .
t

(1.99)
(1.100)

Đổi cận:

x → 0 ⇒ t → ∞, x → ∞ ⇒ t → 0.

(1.101)

Thay (1.99), (1.100) và (1.101) vào (1.119) ta được:
∞

−

t

1−p

0

1
tf (t) − 2
t

∞

t(1−p)−1 f (t)dt

dt = −
0

= f˜(1 − p).
Đã chứng minh xong (1.91).
Ta sử dụng cơng thức

d p−1
dp x

= (log x)xp−1 . Do đó, ta có:
∞

M {(log x) f (x)} =
n

0

dn p−1
x f (x)dx
dpn

dn ˜
=
f (p).
dpn
Đã chứng minh xong (1.92).
Định lý 1.4.4. (Biến đổi Mellin của đạo hàm)
Nếu M{f (x)} = f˜(p) thì :
M[f (x)] = −(p − 1)f˜(p − 1),

(1.102)

để [xp−1 f (x)] triệt tiêu khi x → 0 và x → ∞.
M[f (x)] = (p − 1)(p − 2)f˜(p − 2).
Khóa Luận Tốt Nghiệp

(1.103)

SVTH: Mai Thị Nguyên Phượng