Tai lieu boi duong HSG Toan phan Dai so

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (323.38 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1. Chuyên đề : Đa thức

1. Chuyên đề : Đa thức

Baứi 1: Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực:

a. A = x4−17x3+17x2−17x+20 taïi x = 16.

b. B = x5−15x4+16x3−29x2+13x taïi x = 14.

c. C = x14−10x13+10x12−10x11+ +... 10x2−10x+10 taïi x = 9

d. D = x15−8x14+8x13−8x12+ −... 8x2+8x−5 taïi x = 7.

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

a. M = 2 1 . 1 1 .3650 4 4
315 651 105 651 315.651 105− − +

b. N = 2 1 . 3 546 1. 4
547 211 547 211 547.211− −

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: 
a. A = 3

(

2 2

)

(

3 3

)

x x −y +y x −y với x = 2; y =1.

b. M.N với x =2.Biết rằng:M = −2x2+3x+5; N = x2− +x 3.

Bài 4: Tính giá trị của đa thức, biết x = y + 5: 
a. x x

(

)

+y y

(

−2 2

)

− xy+65

b. 2

(

2

)

75

x +y y− x +

Bài 5: Tính giá trị của đa thức:

(

1

) (

1

)

x +y −y xy− −x y bieát x+ y = -p, xy = q

Bài 6: Chứng minh đẳng thức:

(

x a x b−

)(

−

) (

+ x b x c−

)(

−

) (

+ x c x a−

)(

−

)

=ab bc ca x+ + − 2 ; biết rằng 2x = a + b

+ c

b. 2bc b+ 2+c2−a2 =4p p a

(

−

)

; biết rằng a + b + c = 2p

Baøi 7:

a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia
hết cho 3.

b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi
tích ab có chia hết cho 3 khơng? Vì sao?

Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với: 
M =a a b a c

(

)(

)

; N =b b c b a

(

)(

)

; P=c c a c b

(

)(

)

Bài 9: Cho biểu thức: M =

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

x a x b− − + x b x c− − + x c x a− − +x . Tính M

theo a, b, c, biết rằng 1 1 1

2 2 2

x= a+ b+ c.

Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, 
y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B
chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho
17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17.

Bài 12: Chứng minh rằng:

a. 81 277− 9−913 chia heát cho 405.

b. 122 1n+ +11n+2 chia heát cho 133.

Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…,

(

)

n n+ , …

Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số
chính phương.

2.

2. Chuyên đ

Chuyên đ

Chuyên đềềềề:

:

: Biển đổi biểu thức nguyên

Biển đổi biểu thức nguyên

Biển đổi biểu thức nguyên

I. Một số hằng đẳng thức cơ bản

1. (a ± b)2 = a2± 2ab + b2 ;

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ;

1 2 n

(a + a + ...+ a ) =

= 2+ 2+ + 2 + + + + + + + + + −

1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n

a a ... a 2(a a a a ... a a a a ... a a ... a a );

2. (a ± b)3 = a3± 3a2b + 3ab2± b3 = a3± b3± 3ab(a ± b);

(a ± b)4 = a4± 4a3b + 6a2b2± 4ab3 + b4 ;

3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ;

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ;

an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ;

4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ;

a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ;

II. B¶ng c¸c hƯ sè trong khai triĨn (a + b)n – Tam giác Pascal

Đỉnh 1

Dòng 1 (n = 1) 1 1

Dßng 2 (n = 2) 1 2 1

Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1

Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1

Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1

Trong tam gi¸c này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ
dòng k (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 +
2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Khai triĨn (x + y)n thµnh tỉng thì

các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Ngời ta gọi bảng
trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với
n = 4 th× :

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

và với n = 5 thì :

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

II. C¸c vÝ dơ

VÝ dơ 1. Đơn giản biểu thức sau :

A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3.

Lêi gi¶i

A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3

= [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 –

z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3]

= 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz

VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trị của các biểu thức sau :

a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5

Lêi gi¶i
a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b

b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab

c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2

d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y)

Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2

Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2
 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b)

= (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) 
Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :

a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ;

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a)

Lêi gi¶i

a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2

= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3)

= (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2)

= (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]

= 3(a + b)(b + c)(c + a)
VÝ dô 4. Cho x + y + z = 0.

Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

Lời giải
Vì x + y + z = 0 nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3

Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2)

= x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2)

Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (vì x + y = z). Tơng tự :

y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx.

V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 –

2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bµi tËp:

1. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14.

Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4.

2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009.

3. Cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2.

4. Chøng minh r»ng nÕu:

5. (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2

th× x = y = z.

6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì a b

x= y.
b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2

và x, y, z khác 0 th× a b c
x= y= z.

7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng :

a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;

b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;

c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).

8. Chứng minh các hằng đằng thức sau :

a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ;

b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.

9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m`n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2.

Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4

10. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1.

Tính giá trị của biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945.

11. Hai số a, b lần lợt thỏa m`n c¸c hƯ thøc sau :

a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H`y tÝnh : D = a + b.

12. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H`y tÝnh : E = a2 + b2.

13. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;

e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008.

3. Chuyên đề:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

I- Ph−¬ng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tö

2 2

, 5 6 d , 1 3 3 6
, 3 8 4 e , 3 1 8
, 8 7 f , 5 2 4
, 3 1 6 5 h , 8 3 0 7
, 2 5 1 2 k , 6 7 2 0

a x x x x

b x x x x

c x x x x

g x x x x

i x x x x

− + − +

− + + −

+ + − −

− + + +

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

(Đa thức đ cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)

II- Phơng pháp thêm và bít cïng mét h¹ng tư

1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiu ca hai

bình phơng: A2 B2 = (A B)(A + B)

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

3 2 3

3 2 3 2

1,

5

8 4 2,

2

3 3,

5

8 4 4,

7

6 5,

9

6 16 6, 4

13

9

18 7,

4

8 8 8,

6

1 x

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

3 2 3

3 3 2

3 2 3 2

3 3

9, 6

486 81 10,

7

6 11,

3 2 12,

5

3

9 13,

8

17 10 14,

3

6

4 15,

2 4 16, 2

x

−

+

−

+

−

+

−

3 2 3 2

3 2 4 3 2

12

17

2 17,

4 18,

3

2 19,

9

26 24 20, 2

3

1 21, 3

14

4 3 22,

2

1 x

−

+

−

+

−

+

−

+

+ +

(

)

2 2 2 2

4 4

4 4 4

4 4 4 2

1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64

5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,

x x x x

x x

x x y

x y x x

+ − − − +

+ +

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

III- Phng phỏp i bin

Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

IV- Phơng pháp xét giá trị riêng

Phng phỏp: Trc ht ta xỏc nh dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán
cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số cịn lại.

VÝ dơ: Ph©n tÝch các đa thức sau thành nhân tử:

Giải

a, Giả sư thay x bëi y th× P = y2(y−z)+y z2( −y)=0

Nh− vËy P chøa thõa sè x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P khơng đổi(ta nói đa thức P
có thể hốn vị vịng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đ` chúa thùa số x – y thì
cũng chúa thừa số y – z, z – x. Vậy P phải có dạng

P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3 đối
với tập hợp các biến x, y, z cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập
hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2,
y = 1, z = 0

ta ®−ỵc k = -1

7 2 7 5

5 4 5

8 7 5 4

5 10 5

1,

1 2,

1 3,

1 4,

1 5,

1 6,

1 7,

1 8,

1 x

+ +

− −

+ −

+ +

2 2 2 2 2 2 2

2 2 4

1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x xy y x y x a x a x a x a a

x x

+ + + + + + + + −

+ + + + + + + + + −

+ + + + − + + + + +

− 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20
11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16

x x x x

x xy y x y x x x x

x xy y x y x x x x

+ + + + +

− + + − − + + + +

− + − + − + + + + +

4 3 2

2 2 2 2 2

1, 6 7 6 1

2, ( )( ) ( )

x x x x

x y z x y z xy yz zx

+ + − +

+ + + + + + +

2 2 2

, P = (

)

(

)

(

)

, Q = (

)

(

)

(

)

(

) (

)(

)

a

x y z

y z x

z x y

b

a b c a

b c a b

c a b c

a b c b c a c a b

− +

−

+ −

+

+ −

+

+ −

+ + −

+ −

2 2 2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x y)(y z)(x - z)
Các bài toán 
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nh©n tư:

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

M =a b c a+ − +b c+ −a b +c a b c+ − + a b c b c a c+ − + − + −a b

2 2 2

( ) ( ) ( )

N =a m a− +b m b− +c m c− −abc, víi 2m = a+ b + c.

Bài 2: Ph©n tÝch các đa thức sau thành nhân tử:

3 3

2 2 2 2 2 2

3 2 3 2 3 2

3 3 3

2 2

) ( )( ) .

) ( 2 ) (2 ) .

) ( ) ( ) ( ).

) ( )( ) ( )( ) ( )( )

) ( ) ( ) ( ) ( 1).

) ( ) ( ) ( ) .

) (

a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b

c C ab a b bc b c ac a c

d D a b a b b c b c c a c a
e E a c b b a c c b a abc abc

f f a b c b c a c a b
g G a b a b

= + + + + −

= + − +

= + − + + −

= + − + + − + + −

= − + − + − + −

= − + − + −

= − 2 2 2 2

4 4 4

) ( ) ( ).

) ( ) ( ) ( ).

b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b

+ − + −

= − + − + −

V-Ph−ong pháp hệ số bất định

Bài 1: Ph©n tích các đa thức sau thành nhân tử:

4 3 2

2 2

4 3 2

) 6 12 14 3

) 4 4 5 2 1

) 3 22 11 37 7 10

) 7 14 7 1

) 8 63

a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x

= − + − +

= + + + +

= + + + + +

= − + − +

= − +

Bµi tËp:

VÝ dơ . Ph©n tÝch biĨu thøc sau thành nhân tử :

A = x3 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3)

Lêi gi¶i
Đặt S = a + b và P = ab, th× a2 + b2 = S2 2P

- ; a3 + b3 = S3- 3SP. V× vËy :

A = x3 – 3(S2 2P

- )x + 2(S3- 3SP) = (x3- S ) (3S x 3S )3 - 2 - 3 + (6Px 6SP)

= (x S)(x- 2+ Sx+ S ) 3S (x2 - 2 - S)+ 6P(x- S)
= (x S)(x- 2+ Sx 2S- 2+ 6P)

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab]

= (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2

Ph©n tÝch các đa thức sau thành nhân tử :
a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ;

b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ;

c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ;

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1.

f) x8 + x4 + 1;

g) x10 + x5 + 1 ;

h) x12 + 1 ;

i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ;

k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5.

4.

4. Chuyên đề

Chuyên đề

: Xác định đa thức

Xác định đa thức

Xác định đa thức

Xỏc nh a thc

* Định lí Beout (BêZu) và ứng dụng:
1) Định lí BêZu:

D− trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (giá trị của f(x) tại x
= a): f(x)=(xa)q(x)+ f(a)

(Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp)

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hÕt cho x - a.

áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện
nh− sau:

B−ớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của
f(x) khơng.

B−ớc 2: Nếu f(a) = 0, theo nh lớ BờZu ta cú: f(x)=(xa)p(x)

Để tìm p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a.

B−ớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu cịn phân tích đ−ợc. Sau đó
viết kết quả cuối cùng cho hợp lí.

Dạng 1: Tìm đa thức th−ơng bằng ph−ơng pháp đồng nhất hệ số(ph−ơng pháp hệ số
bất định), ph−ơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức.

*Ph−ơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :

Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai
đa thức phải có hệ số phải có hệ số b»ng nhau.

VÝ dô: P(x)=ax2+2bx−3; Q(x)=x2 −4x− p

NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã:

a = 1(hƯ sè cđa lịy thõa 2)

2b = - 4 (hÖ sè cđa lịy thõa bËc 1)

- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)
*Ph−ơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa m`n deg P(x) > deg Q(x)
Gọi th−ơng và d− trong phép chia P(x) cho Q(x) lần l−ợt là M(x) và N(x)
Khi đó ta có: P(x)=Q(x).M(x)+N(x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)

Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : x=α

(α là hằng số). Sau đó ta đi giải ph−ơng trình hoặc hệ ph−ơng trình để tìm các hệ số
của các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức th−ơng, đa thức chia, đa thức b chia, s

d).

Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập ¸p dơng)

Gäi th−¬ng cđa phÐp chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã:

)
(
).
1
(
2
6

3 2

3
2

x
Q
x
a
x
ax
x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược:





=
−
=
⇒
=
+
+
−
⇒
=
−
+
+
−

3
2
0

6
0

2
6

3 2

a
a
a

a
a

Với a = -2 thì A=4x3−6x2 −6x+4,Q(x)=4x2−10x+4

Với a = 3 thì A=9x3+9x2 −6x−6,Q(x)=9x2−6

*Ph−¬ng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK) 
Bài tËp ¸p dơng

Bài 1: Cho đa thức 2 3 2

( ) 3 6 2 ( )

A x =a x + ax − x− a a∈Q . X¸c ñịnh a sao cho A(x) chia hết
cho x + 1.

Bài 2: Phân tích đa thức 4 3

( ) 2 4

P x =x −x − x− thµnh nhân tử, biết rằng một nhân tử có
dạng: x2+dx+2

Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì ®a thøc : x3+ax2+2x+b chia hÕt cho ®a thøc:

1
2+x+

x . H`y giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau.

Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f(x)= x4−9x3+21x2+x+k chia hết cho đa thức:

2
)

(x = x2−x−

g .

Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k ñể cho ña thức: f(k)=k3+2k2+15 chia hết cho nhị
thức: g(k)=k+3.

Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: f(x)= x4−3x3+3x2+ax+b chia hết cho
ña thức: g(x)= x2−3x+4.

Bài 7: a) Xác ñịnh các giá trị của a, b và c ñể ña thức: P(x)= x4+ax2+bx+c
Chia hết cho (x−3)3.

b) Xác ñịnh các giá trị của a, b ñể ña thức: Q(x)=6x4−7x3+ax2+3x+2 chia hết
cho ña thức M(x)= x2 −x+b.

c) Xác ñịnh a, b ñể P(x)=x3 +5x2 −8x+a chia hết cho M(x)=x2 +x+b.
Bài 8: Hãy xác ñịnh các số a, b, c ñể có đẳng thức:

(ðể học tốt ðại số 8)

Bài 9: Xác ñịnh hằng số a sao cho:
a) 10x2−7x+a chia hết cho 2x−3.

b) 2x2 +ax+1 chia cho x−3 dư 4.

c) ax5+5x4 −9 chia hết cho x−1.
Bài 10: Xác ñịnh các hằng số a và b sao cho:

a) x4 +ax2+b chia hết cho x2 −x+1.

b) ax3+bx2 +5x−50 chia hết cho x2 +3x+10.
c) ax4 +bx2+1 chia hết cho 2

)
1
(x− .
d) x4 +4 chia hết cho x2 +ax+b.

Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho x3+ax+b chia cho x+1thì dư 7, chia cho

−

x thì dư -5.

Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax3+bx2+cchia hết cho x+2, chia cho x2 −1

thì dư x+5.

(Một số vấn đề phát triển ðại số 8)

)
)(
)(
(
2

c
x
b
x
a
x
c
bx
ax

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 13: Cho ña thức: P(x)= x4+x3−x2+ax+b và Q(x)=x2+x−2. Xác ñịnh a, b ñể

P(x) chia hết cho Q(x).

Bài 14: Xác ñịnh a và b sao cho ña thức P(x)=ax4 +bx3+1 chia hết cho ña thức

2
)
1
(
)
(x = x−
Q

Bài 15: Cho các ña thức P(x)=x4−7x3+ax2+3x+2 và Q(x)=x2 −x+b. Xác ñịnh a và
b ñể P(x) chia hết cho Q(x).

(23 chuyên ñề toán sơ cấp)

Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn

Phương pháp:

ðể tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của ña thức tại n + 1 ñiểm

1
3

1,C ,C , ,Cn+

C L ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:

)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)

(x b0 b1 x C1 b2 x C1 x C2 bn x C1 x C2 x Cn

P = + − + − − +L+ − − L −

Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị C1,C2,C3,L,Cn+1 vào biểu thức

P(x) ta lần lượt tính được các hệ số b0,b1,b2,L,bn.

Bài tập áp dụng

Bi 1: Tỡm ủa thc bc hai P(x), biết: P(0)=25,P(1)=7,P(2)=−9.

Giải

ðặt P(x)=b0+b1x+b2x(x−1)(1)

Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta ñược:

1
1
.
2
.
2
.
18
25
9
18
25
7
25
2
2
1
1
0
=
⇔
+
−
=
−
−
=
⇔
+
=

=
b
b
b
b
b

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

25
19
)
(
)
1
(
18
25
)

(x = − x+x x− ⇔ P x = x2 − x+

P .

Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: P(0)=10,P(1)=12,P(2)=4,P(3)=1

Hướng dẫn: ðặt P(x)=b0+b1x+b2x(x−1)+b3x(x−1)(x−2)(1)

Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho (x−1),(x−2),(x−3) ñều ñược
dư bằng 6 và P(-1) = - 18.

Hướng dẫn: ðặt P(x)=b0+b1(x−1)+b2(x−1)(x−2)+b3(x−1)(x−2)(x−3)(1)
Bài 4: Cho ña thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:

)
1
(
),
1
2
)(
1
(
)
1
(
)
(
0
)
1
(
+
+
=
−
−
=
−
x

x
x
x
P
x
P
P
a) Xác ñịnh P(x).

b) Suy ra giá trị của tổng S =1.2.3+2.3.5+K+n(n+1)(2n+1),(n∈N*).

Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào(1), ta ñược :

36
)
2
(
5
.
3
.
2
)
1
(
)
2
(
6

)
1
(
3
.
2
.
1
)
0
(
)
1
(
0
)
0
(
0
)
1
(
)
0
(
,
0
)
2
(

0
)
2
(
)
1
(
=
⇔
=
−
=
⇔
=
−
=
⇔
=
−
−
=
−
⇔
=
−
−
−
P
P
P

P
P
P
P
P
P
P
P
P

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

2
1
)
4
)(
3
)(
2
)(
1
(
)
3
)(
2
)(
1
.(

3
)
2
)(
1
.(
3
0
3
1
.
2
.
3
.
2
.
3
.
3
36
,
3
1
.
2
.
6
,
0

0
0
4
4
3
3
2
2
1
1
0
=
⇔
−
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
=
=
⇔
+
=
=

⇔
=
=
⇔
=
=
b
b
b
b
b
b
b
b
b

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

( 1) ( 2)

2
1
)
2
)(
1
(
)
1
(

2
1
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
3
)

(x = x+ x+ x+ x x− + x+ x x− x− = x x+ 2 x+

P

(Tuyển chọn bài thi HSG Tốn THCS)

Bài 5: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c,(a,b,c≠0). Cho biết 2a+3b+6c =0

1) Tính a, b, c theo , (1)
2
1
),
0

( P P

P 





.
2) Chứng minh rằng: , (1)

2
1
),
0

( P P

P 






không thể cùng âm hoặc cùng dương.

Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:

1985
)

2
(
85
)
1
(
19
)
0
(
=
=
=
P
P
P

5. Chuyên đề:

5. Chuyên đề: B

B

Biển đổi phân thức hữu tỉ

iển đổi phân thức hữu tỉ

iển đổi phân thức hữu tỉ

VÝ dô 1.

a) Chứng minh rằng phân số 3n 1

5n 2

+ là phân số tối giản nN ;

b) Cho phân số

2
n 4
A
n 5
+
=

+ (n∈N). Cã bao nhiªu sè tù nhiên n nhỏ hơn 2009 sao

cho phõn s A ch−a tối giản. Tính tổng của tất cả các số t nhiờn ú.
Li gii

a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1) Μ d hay 1 Μ d ⇒ d =
1.

Vậy phân số 3n 1

5n 2

+ là phân số tối giản.

b) Ta có A n 5 29

n 5

= - +

+ . Để A cha tối giản thì phân số

n+ 5 phải cha tối
giản. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 Μ 29

⇒ n + 5 =29k (k ∈ N) hay n=29k – 5.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa m`n điều kiện đề bi.

Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690.

VÝ dơ 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m`n ®iỊu kiÖn 1 1 1 1

a+ b+ c= a+ b+ c.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :

2009 2009 2009 2009 2009 2009

1 1 1 1

a + b + c = a + b + c .

Lêi gi¶i

Ta cã : 1 1 1 1

a+ b+ c= a+ b+ c ⇔

1 1 1 1

0
a + b+ c- a+ b+ c=

⇔ a b a b 0

ab c(a b c)

+ +

+ =

+ + ⇔

c(a b c) ab

(a b). 0

abc(a b c)

+ + +

+ =

+ +

⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔

a b 0

b c 0

c a 0

é + =
ê
ê + =
ê
ê + =
ë

⇔

a b

b c

c a

é =
-ê
ê =
-ê
ê =
-ë

⇒ đpcm.
Từ đó suy ra : 20091 20091 20091 20091 12009 20091 20091

a + b + c = a + ( c)- + c = a

2009 20091 2009 2009 12009 2009 20091

a + b + c = a + -( c) + c = a

⇒ 20091 20091 20091 2009 20091 2009

a + b + c = a + b + c .

Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức :

3 3 3 4 2 2 5

1 1 1 3 1 1 6 1 1

(a b) a b (a b) a b (a b) a b

ỉ ư ỉ ư ổ ử

ữ ữ ữ

ỗ ỗ ỗ

= ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ+ ỗỗ + ữữ

ố ứ ố ứ ố ứ

+ + + .

Lời giải

Đặt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2 2P

-a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3 3SP

- .

Do đó : 1 1 a b S;

a b ab P

+ = =

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 a b S 2P

;

a b a b P

-+ = =

3 3 3

3 3 3 3 3

1 1 a b S 3SP

a b a b P

-+ = =

Ta cã : A =

3 2

3 3 4 2 5

1 S 3SP 3 S 2P 6 S

. . .

S P S P S P

-+ +

2 2 4 2 2 2 2 4

2 3 4 2 4 4 3 4 3

S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S

S P S P S P S P S P

- - - + - +

+ + = =

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

VÝ dơ 4. Cho a, b, c lµ ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau
không phụ thuộc vào giá trị của x :

(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)

S(x)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

- - -

-= + +

- - - .

Lêi gi¶i
 C¸ch 1

2 2 2

x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca

S(x)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

- + + - + + - + +

= + +

- - - = Ax

2 – Bx +

víi : A 1 1 1

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

= + +

- - - ;

B a b b c c a

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

+ + +

= + +

- - - ;

C ab bc ca

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)

= + +

- - -

Ta cã : A b a c b a c 0

(a b)(b c)(c a)

- + - +

-= =

- - - ;

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)

(a b)(b c)(c a)

+ - + + - + +

- -

-2 2 2 2 2 2

b a c a a c

(a b)(b c)(c a)

- + - +

-= =

- -

ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)

(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)

- + - + - - + - + - +

-= =

- - -

(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) 1

(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)

- - + - - - -

-= = =

- - - .

VËy S(x) = 1∀x (®pcm).
 C¸ch 2

Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc khơng v−ợt q 2. Do đó, P(x)
chỉ có tối đa hai nghiệm.

NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x).
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tøc lµ P(x) = 0 ∀x.
Suy ra S(x) = 1 ∀x ⇒ ®pcm.

VÝ dơ 9. Cho x 1 3
x

+ = . TÝnh gi¸ trị của các biểu thức sau :

a) 2

2
1

A x

= + ; b) B x3 13

= + ; c) C x4 14

= + ; d) D x5 15

= + .

Lêi gi¶i
a)

2
2

1 1

A x x 2 9 2 7

x x

ổ ử

ữ
ỗ

= + =ỗ + ữ - = - =
ữ

ỗ

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

3
3

1 1 1

B x x 3 x 27 9 18

x x x

ỉ ư ổ ử

ữ ữ

ỗ ỗ

= + =ỗ + ữữ- ỗ + ữữ= - =

ỗ ỗ

ố ứ ố ứ ;

4 2

1 1

C x x 2 49 2 47

x x

ổ ử

ữ
ỗ

= + = ỗỗ + ữữ - = - =

è ø ;

d) 2 3 5

2 3 5

1 1 1 1

A.B x x x x D 3

x x x x

ổ ửổ ử

ữ ữ

ỗ ç

= ç + ÷ç + ÷= + + + = +

ữ ữ

ỗ ỗ

ố ứố ứ D = 7.18 3 = 123.

Ví dụ 5. Xác định các số a, b, c sao cho : 2 2 ax2 b c

(x 1)(x 1) x 1 x 1

= +

+ - + - .

Lêi gi¶i
Ta cã :

2 2

2 2 2

ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b)

x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1)

+ + - + + + + - +

-+ = =

+ - + - +

§ång nhÊt phân thức trên với phân thức 2 2

(x + 1)(x 1)- , ta đợc :

a c 0 a 1

b a 0 b 1

c b 2 c 1

ì + = ì =

-ï ï

ï ï

ï - = Û ï =

-í í

ï ï

ï - = ï =

ï ï

ỵ ỵ

. VËy 2 2 2x 1 1

(x 1)(x 1) x 1 x 1

-= +

+ - + - .

6. Chuyên đề: Giải ph−ơng trình

6. Chuyên đề: Giải ph−ơng trình

I/Phương trỡnh ax+b=0 (1) và phương trỡnh ủưa về dạng (1)

*Cách giải: (Biến ñổi và ñưa hết về một vế sau ñó rút gọn thành dạng
ax+b=0)

TH1:a=0 nếu b≠0 thì phương trình (1)vơ nghiệm
nếu b=0 thì phương trình (1) vơ số nghiệm
TH2:a≠0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x= b

a

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

*Ví dụ: a)3x+1=7x-11

b1: 3x+1-7x+11=0 (biến ñổi và chuyển về một vế)
b2: -4x+12=0 (rút gọn về dạng ax+b=0)
b3: x= 12 3

−
=
−

b)1,2-(x-0,8)= -2(0,9+x)
⇔1,2-x+0,8+1,8+2x=0
⇔x+3,8=0

⇔x= -3,8
*Các bài tập tương tự:

a)7x+21=0 b)12-6x=0

c)5x-2=0 d)-2x+14=0

e)0.25x+1,5=0 f)6,36-5,3x=0
g)4 5 1

3x− =6 2 h)

5 2

1 10

9 x 3x

−

+ = −

i)11-2x=x-1 k)5-3x=6x+7
l)2(x+1)=3+2x m)2(1-1,5x)+3x=0

n)2,3x-2(0,7+2x)=3,6-1,7x o)3,6-0,5(2x+1)=x-0,25(2-4x)
p)3(2,2-03x)=2,6+(0,1x-4) q) 3 6 1 2

5 3

x− − x

= −

v)2 3 5 13

5 5

x x

 + = − + 

   

    w)

3 2 3 2( 7)

6 4

x− − x+

− =
s)7 5( 9) 20 1, 5

8 6

x x

x +

− − = y)5( 1) 2 7 1 2(2 1) 5

6 4 7

x− + − x− = x+ −

II/Phương trình tích:

*Cách giải: Pt:A.B=0 ⇒ 0

A
B

=

 =

 (A=0 (1) B=0 (2) )

Ta có pt (1),(2) là phương trình bậc nhất cách giải tương tự
phần trên

(Chú ý các phương trình chưa có dạng A.B=0 ta ñưa về dạng A.B=0 bằng cách phân
tích thành nhân tử )

*Ví dụ:

a)(4x-10)(24+5x)=0
⇔ 4 10 0 (1)

24 5 0 (2)

x
x

− =


 + =



Từ (1) x=10 5

4 =2 (2)⇒x=
24
5

−

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=10 5

4 =2 hoặc x=
24
5

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

⇔(x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0
⇔(x-1)(2x+11)=0

⇔

1 0 1

2 11 0

x x

− = ⇔ =



 −

 + = ⇔ =



*Các bài tập tương tự:

a)(3,5-7x)(0,1x+2,3)=0 b)(3x-2) 2( 3) 4 3 0

7 5

x+ x−

 − =

 

 

c)(3,3-11x) 7 2 2(1 3 ) 0

5 3

x+ − x

 + =

 

  d)( 3−x 5)(2x 2 1)+ =0
e)(2x− 7 )(x 10+3)=0 f)(2 3− x 5)(2,5x+ 2)=0

g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)
i)(2x2+1)(4x-3)=(2x2+1)(x-12) k)(2x-1)2+(2-x)(2x-1)=0
l)(x+2)(3-4x)=x2+4x+4 m)(x-1)(x2+5x-2)-(x2-1)=0
n)x3+1=x(x+1) 0)x2+(x=2) (11x-7)=4
p)x3+x2+x+1=0 q)x2-3x+2=0

r)4x2-12x+5=0 s)-x2+5x-6=0

t)2x2+5x+3=0 y)

(

x− 2

)

+3(

x

2−2)=0

</div>

Tai lieu boi duong HSG Toan phan Dai so

<i>1. Chuyên đề : Đa thức</i>

<i>1. Chuyên đề : Đa thức</i>

<i>1. Chuyên đề : Đa thức</i>

<i>1. Chuyên đề : Đa thức </i>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

(

)

<i>2. </i>

<i>2. </i>

<i>2. </i>

<i>2. Chuyên đ</i>

<i>Chuyên đ</i>

<i>Chuyên đ</i>

<i>Chuyên đềềềề: </i>

<i>: </i>

<i>: </i>

<i>: Biển đổi biểu thức nguyên</i>

<i>Biển đổi biểu thức nguyên</i>

<i>Biển đổi biểu thức nguyên</i>

<i>Biển đổi biểu thức nguyên </i>

<i>3. Chuyên đề:</i>

<i>3. Chuyên đề:</i>

<i>3. Chuyên đề:</i>

1,

5

8

4 2,

2

3

3,

5

8

4 4,

7

6

5,

9

6

16 6, 4

13

9

18