chuyên đề khí thực

PHẦN NỘI DUNG
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
MỤC 1: NHỮNG VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ KHÍ THỰC
I. Nhắc lại về khí lí tưởng và sự khơng phù hợp với thực tế
- Các phân tử coi như chất điểm chuyển động tự do → Bỏ qua kích
thước
- Chỉ tương tác với nhau khi va chạm → Khi không va chạm bỏ qua
tương tác.
→ Điều này là khác với thực tế, đặc biệt khi ở áp suất khơng nhỏ.
Vì có những sai lệch so với khí lí tưởng nên người ta cần xây
dựng một mẫu cơ học cho khí thực bằng cách sửa đổi một số điểm của
mẫu cơ học cho khí lí tưởng, đó là:
+ Các phân tử khí thực có kích thước nhất định.
+ Khi không va chạm lực tương tác giữa các phân tử vẫn kể đến.
Hình 1: Lực tương tác và
II. Lực tương tác phân tử và thế năng tương tác phân tử
thế năng tương tác phân tử
- Giữa các phân tử có cả lực hút và lực đẩy tùy theo khoảng cách giữa
các phân tử mà lực tương tác tổng hợp là lực hút hay đẩy. Khi ở xa nhau thì chúng hút
nhau cịn khi lại gần nhau thì chúng lại đẩy nhau. ở trạng thái khí các phân tử thường ở
xa nhau nên lực tương tác giữa chúng thường là lực hút, trừ khi chúng đến sát nhau (va
chạm) thì lực tương tác là lực đẩy.
- Đường biểu diễn của lực tương tác phân tử mô tả trên hình 1a:
Trên đường biểu diễn này ta thấy tại khoảng cách r 0 lực hút và lực đẩy cân bằng
nhau. Khi r > r0 lực hút chiếm ưu thế, khi r < r0 lực đẩy chiếm ưu thế.
- Do có lực tương tác phân tử nên các phân tử có thế năng tương tác: U = - fr
Ta thường chọn khi r =  lực tương tác phân tử bằng khơng và thế năng bằng khơng.
- Hình 1b biểu diễn thế năng tương tác: Trên đường biểu diễn này ta thấy thế năng đạt
một cực trị tại r0 và xung quanh giá trị này có một hố thế.
III. So sánh khí thực và khí lí tưởng
Những sự khác biệt chủ yếu giữa khí thực và khí lí tưởng là:

- Giữa các phân tử khí thực có lực tương tác hút và đẩy, do đó, trong nội năng của khí
thực khơng những có động năng phân tử mà cịn có thế năng tương tác phân tử. Thế
năng tương tác này gây ra sự giảm của áp suất nên thành bình. Thật vậy đối với một
phân tử khí ở trong lịng chất khí thì các lực hút kéo nó về mọi phía cân bằng lẫn nhau.
Cịn đối với một phân tử ở sát thành bình thì tổng hợp của các lực hút sẽ khác khơng và
kéo nó vào trong lịng chất khí. Ở đây ta đã bỏ qua sự tương tác giữa thành bình và chất
khí. Do các lực hút này sẽ làm yếu đi sự va chạm của các phân tử khí thực lên thành
bình. Do đó áp suất gây bởi các va chạm của phân tử khí thực lên thành bình sẽ giảm đi
một lượng bằng pi. Áp suất pi này được gọi là áp suất nội tại hay cịn gọi tắt là nội áp.
- Các phân tử khí thực có kích thước nhất định, chúng chiếm một khoảng khơng gian
nào đấy, cho nên thể tích chuyển động tự do thật của phân tử thực sự sẽ nhỏ hơn thể tích
khí. Trong phương trình trạng thái cần bổ sung số hạng này, số hạng đó được gọi là
cộng tích.
IV. Quãng đường tự do trung bình
a. Khái niệm

1


Trong khi chuyển động các phân tử khí ln va chạm nhau. Do va chạm vận tốc
của các phân tử thay đổi về cả hướng và độ lớn, vì vậy quỹ đạo của chúng là đường gãy
khúc. Đoạn đường đi được của hai phân tử khí giữa hai va chạm liên tiếp được coi là
thẳng vì đã bỏ qua các lực tương tác của các phân tử khác lên phân tử khí đang xét.
Đoạn đường này được coi là quãng đường tự do. Các quãng đường tự do của mỗi phân
tử chuyển động có độ lớn rất khác nhau nên người ta đã chú ý đến trị trung bình của
chúng. Nghĩa là chú ý đến quãng đường tự do trung bình kí hiệu là
b. Cơng thức tính qng đường tự do trung bình
Để đơn giản ta hãy giả thiết rằng trong khối khí chỉ có phân tử A đang khảo sát là
chuyển động cịn các phân tử khí khác đứng n. Coi phân tử A như quả cầu có đường
kính hiệu dụng d = 2r. Trong khi chuyển động, phân tử A sẽ va chạm vào những phân tử

nào có tâm cách đường đi của nó một đoạn bé
hơn
d. Để tính qng đường tự do trung bình ta
cần
A
2
tìm số va chạm trung bình của phân tử A
A
d
A
trong một đơn vị thời gian.
Vì tốc độ trung bình của phân tử khí là
nên
ta có thể nói đến đoạn đường đi của phân tử A
V
trong một giây là s = và số va chạm trung
bình
của phân tử A vơi các phân tử khí khác sẽ
A
A
A
bằng số phân tử nằm trong thể tích hình trụ có
đường kính đáy là 2d và chiều dài là . Thể tích
của
Hình
2
nó là:
V=
Nếu mật độ phân tử khí là n0 thì = n0
(1)

Từ đó suy ra
(2)
Trên thực tế thì các phân tử khí đều chuyển động, vì vậy ta phải thay tốc độ trung
bình trong cơng thức (2) bằng tốc độ trung bình tương đối giữa các phân tử. Để giải bài
tốn này ta có thể lập luận một cách gần đúng như sau. Khi các phân tử đều chuyển
động hỗn loạn, chúng va chạm dưới những góc khác nhau, giá trị của nằm trong khoảng
. với góc = 0 thì hai phân tử khí chuyển động cùng chiều, với =thì hai phân tử khí
chuyển động ngược chiều, cịn có giá trị trung gian thì hai phân tử khí chuyển động
xiên góc. Vì các phân tử khí chuyển động hỗn loạn nên ta có thể cho rằng khi tính trung
bình thì các phân tử khí sẽ va chạm vng góc =/2. Nếu hai phân tử chuyển động với
cùng tốc độ theo hai phương vng góc và đến gặp nhau thì tốc độ tương đối là . Đưa
giá trị này vào cơng thức (1) ta có:
= n0
(3)
và
(4)
thay biểu thức ta được
(5)
Theo cơng thức (5) với một chất khí và nhiệt độ đã cho thì quãng đường tự do
trung bình tỉ lệ nghịch với áp suất. Ở áp suất đủ thấp thì qng đường tự do trung bình
có thể lớn hơn kích thước của bình đựng. Lúc đó các phân tử khí có thể chuyển động từ
thành bình này sang thành bình kia mà khơng va chạm với nhau.
Độ lớn của qng đường tự do trung bình có ý nghĩa quan trọng trong nhiều dụng
cụ và hiện tượng vật lý. Thí dụ trong các đèn điện tử, trong ống phóng điện tử, trong
hiện tượng ion hóa do va chạm, trong các máy gia tốc...
2


Thực ra với khí lí tưởng cũng có qng đường tự do trung bình, xong vì ở đó ta
bỏ qua kích thước các phân tử khí nên ta khơng đặt vấn đề này ra

V. Phương trình trạng thái của khí thực
1. Đặt vấn đề
Từ yêu cầu cần hiệu chỉnh mô hình khí lí tưởng cho phù hợp thực tế, bằng các
cách tiếp cận khác nhau các nhà vật lý đã xây dựng một số mơ hình khí thực khác nhau.
Trong các mơ hình đó, mơ hình tương đối đơn giản và có tính áp dụng phù hợp thực tế
cao, đó chính là mơ hình xây dựng lên phương trình trạng thái cho khí thực do nhà vật
lý người Hà Lan Van- đơ-Van (Johannes Diderik Van der Waals, 1837-1923) được thiết
lập năm 1873.
Van-đơ-Van đã sửa đổi phương trình Clapêrơn bằng cách đưa vào hai đại lượng hiệu
chỉnh liên quan đến hai điểm khác biệt giữa khí thực và khí lí tưởng, đó là kích thước
phân tử và lực tương tác giữa các phân tử.
2. Hiệu chỉnh do kích thước phân tử
Phương trình Clapêrơn đối với một mol khí lí tưởng là: p= RT
Ở đây là thể tích của một mol khí và cũng là thể tích của bình đựng khí. Vì thể tích của
khí lí tưởng được coi là chất điểm nên cũng là thể tích tự do đối với chuyển động nhiệt
của các phân tử khí trong bình. Nhưng đối với khí thực ta khơng bỏ qua được kích
thước riêng của phân tử, cho nên thay cho ở phương trình Clapêrơn phải là (-b) tích
riêng của một phân tử khí trong đó b là một thể tích nào đó liên qua đên các thể tích
riêng của các phân tử khí có trong một mol khí thực.
Bây giờ ta hãy tính độ lớn của b. Vì ở đây chúng ta khảo sát vai trị của thể tích
riêng khi các phân tử khí chuyển động và va chạm với nhau nên số hiệu chỉnh b khơng
phải là tổng thể tích riêng các phân tử khí có trong lượng khí.
Giả sử trong khí chỉ xảy ra va chạm giữa hai phân tử. Điều này cũng hợp lí vì va
chạm của nhiều phân tử rất ít khi xảy ra. Từ hình ta thấy rằng tâm của một trong hai
phân tử tham gia va chạm khơng thể xâm nhập vào hình câu bán kính d=2r, với d và r
lần lượt là đường kính và bán kính hiệu dụng của phân tử khí thực. Thể tích hình cầu
lúc này bằng , nghĩa là bằng 8 lần thể tích riêng của một phân tử khí. Vì ở đây là va
chạm của hai phân tử nên thể tích riêng khơng xâm nhập vào
được tính trung bình cho mỗi phân tử khí là nghĩa là 4 lần thể
d

tích riêng của một phân tử khí. Vì một mol có N A phân tử nên
O
O
số hiệu chỉnh b sẽ là:
’
B = NA
(6)
ta nhắc lại đường kính hiệu dụng của phân tử khí thực sẽ liên
quan đến lực đẩy giữa các phân tử nên số hiệu chỉnh b cịn có
Hình 3
thể hiểu là số hiệu chỉnh do lực đẩy giữa các phân tử.
b
a
c
3. Hiệu chỉnh do lực hút giữa các phân tử
Ở trạng thái khí, khoảng cách trung bình giữa các phân
tử
thường lớn nên lực tương tác tổng hợp trong phần lớn thời gian
là
lực hút. Sự tồn tại của lực hút này làm cho lớp phân tử khí ở sát
thành bình bị kéo vào trong lịng chất khí, làm cho lớp khí
ngồi cùng này ép lên khói khí bên trong một áp suất p i nào đó,
gọi
là áp suất nội tại. Như vậy nó cũng làm giảm áp suất mà khí tác
dụng lên thành bình một lượng bằng p i. do đó thay cho ở
phương trình Clapêrơn ta phải viết p + p i, trong đó p là áp suất
thực đo được ở thành bình.
3
Hình 4

Sau đây chúng ta khảo sát độ lớn của p i. Vì lực tương tác tương tác giữa các phân
tử tác dụng ở khoảng cách ngắn nên chúng ta chỉ cần quan tâm đến lớp khí
bc kề với lớp khí ab sát thành bình (hình 4). Rõ ràng lực hút của lớp khí bc lên một
phân tử khí ở lớp ab phải tỉ lệ với mật độ phân tử n 0 ở lớp bc. Mặt khác áp suất pi còn
tỉ lệ với chính mật độ phân tử khí của lớp ab vì số phân tử khí đên va chạm vào thành
bình tỉ lệ với mật độ khí này. Tóm lại, p i tỉ lệ với tích (n,n0) hoặc ta viết pi = cn02 trong
đó c là hằng số tỉ lệ.
Đối với một mol khí thì , cho nên:
(7)
2
trong đó a = cNA là số hiệu chỉnh do lực hút.
4. Thành lập phương trình Van-đơ- Van
Bây giờ ta có thể viêt phương trình trạng thái cho một mol khí thực như sau
(p + pi)(- b) = RT
Đưa biểu thức (7) vào phương trình này ta được:
(p + )(- b) = RT
(8)
Đó là phương trình Van-đơ-Van đối với một mol khí thực trong đó a và b là những hằng
số, phụ thuộc vào bản chất chất khí được xác định bằng thực nghiệm.
Ta có thể viết phương trình Van-đơ-Van cho một khối lượng m khí thực bằng cách
thay V= sau các phép biến đổi ta được :
Phương trình Van-đơ-Van mơ tả khá tốt trạng thái khí thực và có khả năng diễn tả
sự biến đổi liên tục từ khí sang lỏng, song phương trình này cũng chỉ là gần đúng.
Nguyên nhân là do ta đã đơn giản hóa một số điểm khi mơ tả khí thực, như ta đã coi
phân tử có dạng hình cầu, bỏ qua sự thay đổi đường kính hiệu dụng theo nhiệt độ (vì
khi nhiệt độ tăng chẳng hạn thì phân tử va chạm nhau mạnh hơn, chúng có thể lại gần
nhau hơn, khoảng cách giữa hai phân tử ngắn hơn đường kính hiệu dụng sẽ nhỏ hơn)
VI. Đường đẳng nhiệt Van- đơ -Van
Xét 1 kilomol khí:

là một phương trình bậc 3 đối với V 0. Nếu cho T và p, giải phương trình ta được 3 nghiệm V 0;
trong đó hoặc là: 3 nghiệm đều thực; hay 1 nghiệm thực và 2 nghiệm ảo. Nghiệm ảo không có
ý nghĩa vật lý. Ta chỉ xét các nghiệm thực. Cho T xác định, ta vẽ được đường biểu diễn của p
theo V: đường đẳng nhiệt.
Nhận xét:
+ Khi nhiệt độ T cao, đường đẳng nhiệt dịch về bên phải.
+ Nhiệt độ cao ta có đường cong đơn điệu theo định luật Bôi-Mariôt.
+ Ðường ứng với nhiệt độ Tk phân chia các đường đẳng nhiệt ra hai loại: mấp mô và đơn điệu,
có 1 điểm uốn k, có tiếp tuyến song song trục hoành.
+ Tại nhiệt độ TV0. Ðó là một điều kì lạ. Ðể tìm hiểu điều này, ta vẽ họ đường đẳng nhiệt tại các nhiệt độ T
như trên.

4


Nhận xét:
-Ứng với đoạn mấp mô là đoạn nằm ngang. Ðoạn này ứng với q trình chuyển pha
(hóa lỏng) khi ta nén khí, thể tích hệ giảm mà áp suất khơng tăng vì mật độ phân tử khơng đổi.
NQ: trạng thái q bão hịa: đáng lẽ ngưng tụ (hơi hóa lỏng) mà chưa hóa lỏng: nén thì
áp suất tăng.
QP: nung thì áp suất giảm theo thể tích, khó thấy trong thực nghiệm.
MP: giãn thì áp suất giảm: chậm hóa hơi, chậm hóa hơi và q bão hịa là các trạng thái
cân bằng không bền.

3. Xác định các thông số tới hạn nhờ phương trình Van-đơ-Van
Trạng thái tới hạn ứng với điểm uốn của đường đẳng nhiệt Van-đơ-Van. Ta có thể
tìm các thông số tới hạn pk, Tk và Vk từ phương trình Van-đơ-Van viết dưới dạng :
(6.1)
Và hai phương trình suy ra từ điều kiện của điểm uốn có tiếp tuyến nằm ngang là

đạo hàm bậc nhất và bậc hai của p theo biến số =0 nghĩa là:
(6.2)
(6.3)
Từ (6.2) và (6.3) suy ra :
vậy
(6.4)
thay (6.4) vào các phương trình ta suy ra :
và tìm được (6.5)
(6.6)
Kết quả thu được:
(6.7)
Từ kết quả trên ta có thể viết:; so sánh hệ thức này với phương trình trạng thái của khí lí
tưởng ta thấy có sự sai lệch khá nhiều.
Trong một số bài tốn với phép đặt:
trình Van-đơ-Van dưới dạng:



p
pk

;

5



V
Vk

;



T
Tk

. Ta có thể viết lại phương


� 3�
� 1� 8
 2 �
  � 
�
�
� 3� 3
�  �

Dạng này được gọi là dạng quy chuẩn của phương trình Van-đơ-Van, nó sẽ thuận lợi khi
ta biết trạng thái tới hạn của chất khí.
VII. Nội năng khí thực. Hiệu ứng Joule-Thomson
1. Nội năng khí thực
Đối với khí lí tưởng nội năng bằng tổng động năng chuyển động nhiệt của các
phân tử. Đối với khí thực, do các phân tử tương tác với nhau nên nội năng khí thực gồm
tổng động năng chuyển động nhiệt của các phân tử và thế năng tương tác giữa các phân
tử
W  Wđ  Wt

Wđ 

mi
RT
2
là động năng chuyển động nhiệt của khối khí, cịn thế năng tương

Ở đây
tác dễ dàng tìm được có biểu thức.Wt= Vậy trong mơ hình khí lí tưởng của Van-đơ-Van nội năng có biểu thức:
U=

W

mi
ma
RT 
2
V =

dU =
Với 1mol khí thì dU =
Như vậy ta thấy đối với khí thực ta thấy nội năng khơng chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ mà
cịn phụ thuộc vào thể tích khí (khoảng cách trung bình của các phân tử khí).
2. Hiệu ứng Joule-Thomson
Hiệu ứng Joule-Thomson là một trong những hiện tượng chứng tỏ nội năng của
khí thực phụ thuộc vào thể tích.
a. Hiệu ứng:
Xét một khối khí đựng trong
xilanh có vỏ cách nhiệt với hai pittong
và một màng xốp ngăn sao cho khí chỉ
thấm qua chậm và giữ cho áp suất hai

Hình 7
bên màng ln ln khác nhau như hình
7. Ta cho các pittong dịch chuyển từ trái sang phải chậm tới mức có thể coi q trình là
cân bằng và giữ sao cho áp suất bên trái màng là p 1 không đổi và áp suất bên phải màng
là p2 cũng khơng đổi. Khi tồn bộ khối khí đã di chuyển sang bên phải màng xốp (dãn
khí V2 > V1), ta thấy nhiệt độ của khối khí lúc này T 2 khác với nhiệt độ khối khí lúc đầu
là T1. Nếu xét theo mơ hình khí lí tưởng thì điều đó là vơ lí. Hiện tượng đó được gọi là
hiệu ứng Joule-Thomson. Như vậy hiện tượng nhiệt độ của một khối khí thay đổi khi
khối khí giãn đoạn nhiệt vô cùng chậm gọi là hiệu ứng Joule-Thomson.
Nếu T2 < T1 ta có hiệu ứng Joule-Thomson dương, cịn nếu T2 > T1 ta có hiệu ứng
Joule-Thomson âm. Tùy theo nhiệt độ và thể tích ban đầu cũng như loại khí mà ta có
hiệu ứng Joule-Thomson dương hay hiệu ứng Joule-Thomson âm.
b. Giải thích
Dựa vào nguyên lí I của NĐLH và mơ hình khí thực ta hồn tồn có thể xây dựng
biểu thức định lượng để giải thích được kết quả mà hiệu ứng Joule-Thomson thu được.
Hiệu ứng này chỉ sảy ra đối với khí thực ngun nhân là do có tương tác giữa các phân
tử khí góp phần vào nội năng của khí thực.
6


c. Ứng dụng
Hiệu ứng Joule-Thomson âm được áp dụng vào để xây dựng phương án làm lạnh
và hóa lỏng khí đặc biệt là là các khí khó hóa lỏng như Heli, Hidro, Nito...

7


B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
I. BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Cã 10g khÝ He chiÕm thÓ tÝch 100cm3 ở áp suất 108N/m2. Tìm nhiệt độ

của khí trong hai trờng hợp
a. Coi khí He là lý tởng
b. Coi khí He là khí thực
Giải
a. Khí He là lý tởng, nhiệt độ đợc xác định từ phơng trình M C
b. Khí He là khí thực, nhiệt độ đợc xác định từ phơng trình Van e Van-x

Đối với He: a = 4,121.10-4 J.m3/kmol2; b = 2,3.10-5 m3/kmol
Thay vào (*) ta được T  205 K

Bài 2: Một bình kín có thể tích V = 0,5cm3 chứa 0,6 kmol khí CO2 ở áp suất 3.106 N/m2. Hỏi
khi áp suất của khối khí tăng lên gấp 2 lần thì nhiệt độ khối khí tăng lên bao nhiêu lần nếu:
a. Xem CO2 là khí thực. Cho: a = 3,64.105 J.m3/kmol2.
b. Xem CO2 là khí lý tưởng.
Giải
a. Khi xem CO2 là khí thực ta áp dụng phương trình Van đe Van-xơ đối với trạng thái 1:
(1)
và đối với trạng thái 2:
(2)
Vì là quá trình đẳng tích nên V1 = V2 = V. Chia (2) cho (1) ta có:
Đối với khí CO2: a = 3,64.105 Jm3/kmol2. Thay số vào ta có:
b. Khi xem CO2 là khí lý tưởng, ta áp dụng phương trình trạng thái của khí lý tưởng đối với
trạng thái (1):
p1V1 = �RT1
và đối với trạng thái (2):

(3)

p2V2 = �RT2 (4)
Vì quá trình đẳng tích nên V1 = V2 = V

Chia (4) cho (3) ta có:

Bài 3: Trong mét b×nh thĨ tÝch 10 lÝt chứa 0,25 kg khí nitơ ở nhiệt độ 27oC.
a. Tìm tỉ số giữa nội áp và áp suất do khí tác dụng lên thành bình
b. Tìm tỉ số giữa cộng tích và thể tích của bình
Giải
Các hằng số Van e Van-xơ cđa khÝ Nit¬
a = 0,141 Jm3/mol2 ; b = 3,92.105 m3/mol
Phơng trình Van e Van-x
(1)
a. Tỉ số giữa nội áp và áp suất do khí tác dụng lên thành bình
Nội áp
Chia hai vế của (1) cho p ta có:

8


(2)
Tỉ số giữa cộng tích và thể tích của bình Cộng
tích
b.

Tỉ số

Bi 4: Tìm áp suất của khí cacbonic ở 3 oC nếu biết khối lợng riêng của nó ở
nhiệt ®é ®ã lµ 550kg/m3.

Biết rằng đối với khí CO2: a = 0,141 Jm3/mol2.
Giải
Phơng trình Van e Van-x

Bi 5: Tính nội áp của khí cácbonic lúc khối l ợng riêng của nó là 550 kg/m3. Cho
biết đối với khí cacbonic có: Tk = 304 K và pk = 7,4.106 N/m2
Giải
Nội áp cđa khÝ Cacbonic
Nhưng do
Nªn

Bài 6.
Hãy tìm cơng do 1 mol khí Van-đơ-Van khi giãn đẳng nhiệt ở nhiệt độ T từ thể tích
V1 đến thể tích V2.
Hướng dẫn:
Phương trình Van- đơ - Van cho 1 mol khí là:
(p + )(V - b) = RT
│+│=
Bài 7: Hãy tính nhiệt lượng cần truyền cho � = 2 mol khí CO2 để ki giãn trong chân khơng từ
thể tích V1= 5 lít tới V2= 10 lít ở nhiệt độ khơng đổi . Coi khí là khí Van đe Van-xơ.
Giải
Vì giãn khí trong chân khơng nên chất khí khơng sinh cơng
Q trình đẳng nhiệt (dT=0) nên
theo nguyên lý 1
│=
thay số

Bài 8.
Một mol khí được đựng trong một bình có thể tích V = 0,25 l. Ở nhiệt độ T1 = 300
K, áp suất khí là p1 = 90 atm, còn ở T2 = 350 K thì áp suất là p 2 = 110 atm. Hãy tìm các
hằng số Van-đơ-Van đối với chất khí này.
Hướng dẫn:
Áp dụng phương trình Van-đơ-Van đối với một mol khí thực

(p1+)(V - b) = RT1
(1)
(p2+)(- b) = RT2
(2)
9


chia (1) cho (2) ta có
Từ đây suy ra:
Bài 9.
Hãy thiết lập phương trình đoạn nhiệt theo các biến số T, V của một khí Van-đơVan nếu nhiệt dung mol của nó khi thể tích khơng đổi là C V. Biết nội năng của khí Van
der Waal có dạng: U = nCVT- n2a/V.
Hướng dẫn:
Theo ngun lí 1: (1) (vì đoạn nhiệt nên Q = 0)
từ phương trình Van-đơ-van: (p+)(- b) = RT
cơng khí thực hiện
cịn dU = CVdT + .
Vậy (1) biến đổi thành CVdT + = (2)
hay
Lấy tích phân hai vế ta có : CVlnT + Rln(V - b) = const
hay
Bài 10.
Hãy xác định hiệu các nhiệt dung mol Cp - CV của khí Van-đơ –Van theo nhiệt độ T
và thể tích V của khối khí.
Hướng dẫn
Từ phương trình: (p + )(- b) = RT
(1)
Áp dụng nguyên lý 1 cho quá trình đẳng áp:
suy ra

(C p  CV )

(2)
(p

a 2ab
a
 3 ) p 2
2
V
V
V

R
thay (1) vào (2) ta có
từ phương trình Van-đơ-Van cho 1 mol khí ta suy ra:
(4)
thay (4) vào (3) ta có:

(3)

Vậy
Bài 11.
Hãy tính nhiệt lượng cần truyền cho 2 mol khí CO 2 để khí giãn trong chân khơng
từ thể tích V1= 5 lít tới V2 = 10 lít ở nhiệt độ khơng đổi. Coi khí là khí Van- đơ -Van.
Hướng dẫn:
Vì giãn khí trong chân khơng nên chất khí khơng sinh cơng
Q trình đẳng nhiệt (dT=0) nên:
theo nguyên lý 1:
│=

thay số
Bài 12.
10


Một chất khí đi qua một vách ngăn châm lỗ đặt trong một ống cách nhiệt có kèm
theo sự dãn nở và biến đổi nhiệt độ của khí. Nếu trước khi giãn khí được coi là khí Vanđơ -Van, sau khi giãn khí được coi là khí lí tưởng thì số gia tương ứng của nhiệt độ là
Hãy thiết lập công thức trên bằng cách vận dụng nguyên lý 1 của nhiệt động lực học
cho một mol khí đi qua vách ngăn. Coi quá trình là đoạn nhiệt
- Nhận xét: - Do trước khi giãn khí có áp suất lớn là khí thực, sau khi qua vách ngăn
châm lỗ bị giãn ở áp suất thấp khí là khí lí tưởng. Biến thiên nội năng U = U2 – U1;
U2 là nội năng khí lí tưởng; U1 là nội năng khí thực.
- Suy luận để thấy khi đưa một lượng khí thể tích V 1 áp suất p1 qua vách ngăn
châm lỗ sang trở thành khí có thể tích V2 ở áp suất p2 thì cơng mà khối khí nhận là: A =
p1V1- p2V2
- Trạng thái 1 phải áp dụng phương trình VanderWaal cịn trạng thái 2 phải dùng
phương trình khí lí tưởng.
- Hướng dẫn:
Nội năng của một mol khí Van- đơ -Van là ;
Quá trình đoạn nhiệt nên
Biểu thức của ngun lý 1 thành dU = dA
(1)
Cơng mà khối khí nhận vào là A= p1V1- p2V2
a. trước khi giãn
Phương trình trạng thái: (p1+)(V1-b) = RT1
nên ;
b. sau khi giãn A2 = p2V2 = RT2
Vậy
thay vào (1): CV(T2- T1)+

vậy (đpcm)
Bài 13.
Hai bình thể tich V1 và V2 được nối với nhau bằng một ống có van. Khi van khóa
trong mỗi bình có chứa một mol của cùng một loại khí tn theo phương trình Van- đơ Van. Trước khi mở van nhiệt độ của hai bình là như nhau và bằng T. Hỏi sau khi mở
van thì khí sẽ nóng lên hay lạnh đi ? Xác định áp suất khí sau khi mở van. Coi các thành
bình và ống nối là cách nhiệt với bên ngồi, cịn nhiệt dung C V không phụ thuộc vào
nhiệt độ.
Hướng dẫn
Xét cho cả hệ dQ = dU1 + dU2 + dA1 + dA2 = 0
do quá trình là đoạn nhiệt nên dQ = 0, dA1 + dA2 = 0
 dU1 + dU2 = 0
+=0
2CV(T'- T) -

│ -│= 0
11


p

4

1

đẳng tích
đơ
phụ

2
3

V

Từ biểu thức ta thấy khí lạnh đi
Bài 14.
Xác định hiệu suất của chu trình gồm hai quá trình
V1 và V2 và hai quá trình đoạn nhiệt. Tác nhân là khí Van Van , các hằng số a, b cho trước, cịn nhiệt dung C V khơng
thuộc vào nhiệt độ.
Hướng dẫn:
Áp dụng nguyên lý 1:
Q = A+
- Đối với quá trình 1-2 : Q12 = 0; A12= với ta tìm mối liên giữa T1 và T2
từ nguyên lý 1, do quá trình là đoạn nhiệt nên dU = - dA
hay
- Quá trình 2-3: A23 = 0; Q23 < 0
- Quá trình 3-4: Q34 = 0; A34 = với ta tìm mối liên giữa T3 và T4
từ nguyên lý 1, do quá trình là đoạn nhiệt nên dU =- dA
hay

Quá trình 4-1: A41=0; Q41 = vì q trình này có dV = 0
Thay vào và rút gọn các đại lượng ta tính được hiệu suất của chu trình
H

A
Qnhan

CV / R

�V  b �
A  A41
 12

 1  �1
�
Q41
V2  b �
�

Bài 15. (QG 2013)
1. Một mol khí thực đơn ngun tử có các thơng số trạng thái liên hệ với nhau theo
công thức p(V-b) = RT, với b là hằng số phụ thuộc vào bản chất khí. Xác định hiệu các
nhiệt dung mol đẳng áp Cp và đẳng tích Cv.
2. Xét một mol khí thực đơn ngun tử có kích thước ngun tử khơng đáng kể
nhưng giữa các ngun tử có lực tương tác. Ở nhiệt độ T, thể tích mol khí trên là V. Cho
rằng thế năng tương tác giữa các nguyên tử khí tỉ lệ với mật độ khí: ET   với  là
hằng số,  là mật độ số hạt. Xác định hiệu các nhiệt dung mol đẳng áp C p và đẳng tích
Cv của khí trên ở nhiệt độ T.
Hướng dẫn:
dU  C p dT  pdV  C V dT � C P  C V  p

dV
dT

1. Xét quá trình đẳng áp:
p(V  b)  RT � pdV  RdT �

Mặt khác:
2. Tìm CP - CV.

dV R

dT p Thay vào có CP  CV  R

NA
N
� dE T  2A dV
V
V
Tìm Cp – Cv:
N
�N �
dU  dU LT  dE T  C V dT  2A dV  C V dT  � 2A �
dV
V
�V � ;
E T    

12


Theo phương trình khí thực ta có:
Do đó

a �N A
�
V 2 �V 2

� a
p 2
�
� V

a
�
V  RT
dU  CV dT  2 dV
�
�
V
có

�
�� a  N A
�

Xét q trình đẳng áp

� N A
dQ  C p dT  C V dT  �
p 2
� V

RT dV
�
dV � C p  C V 
�
V dT
�

(1)

RT N A

R
RT 2N A �
� N A �
�
p 2 �
V  RT � p 

� 0  dT  � 2 
dV
�
�
V
V
V
V3 �
� V �
�V
dV
RV 2
RT
RV 2
R 2TV
�

� CP  CV 
 CV 
dT RTV  2N A
V RTV  2N A
RTV  2N A

CP  C V 

R 2TV
RTV  2N A

Vậy:
Bài 16. Một mol khí thực có áp suất p , thể tích V , nhiệt độ tuyệt đối T tuân theo
phương trình trạng thái Van der Waals là:
� a �
p 2 �
(V  b)  RT
�
� V �
trong đó a và b là các hằng số, R là hằng số khí. Hãy thiết lập:

a. Phương trình đường cong đoạn nhiệt theo các thông số trạng thái T và V.
b. Hiệu nhiệt dung mol Cp – Cv như một hàm số của T và V.
c. Tính hiệu suất của động cơ nhiệt làm việc theo chu trình Carnot với tác nhân là khí
thực này và từ đó so sánh với hiệu suất của động cơ nhiệt cũng làm việc theo chu trình
Carnot nhưng tác nhân là khí lí tưởng.
Giải
a. Theo cơng thức Error: Reference source not found về nội năng khí thực:
U

1
a
iRT 
2
V

1
a
dU  iRdT  2 dV
2
V
Vi phân hai vế ta được:
RT
a
p
 2
Vb V
Từ phương trình trạng thái ta có

Ngun lí I viết cho quá trình đoạn nhiệt là
dU  pdV →

C V dT 

a
a �
�RT
dV   �
 2�
dV
2
V
�V  b V �
hay

dT

R dV

T
CV V  b .

R
CV

T(V  b)  const
Tích phân hai vế ta được
b. Xét khối khí biến đổi trạng thái theo quá trình đẳng áp, lấy vi phân hai vế phương
dV
R
� a 2ab �
p 2  3 �
dV  RdT �

�
V �
dT � a 2ab �
� V
p 2  3 �
�
V
V �
�
trình Vander Waals ta được:

13

a �
�RT
dU  Q  pdV  Cp dT  �
 2�
dV
�V  b V �
CV dT 

Cp  CV 

a
a �
�RT
dV  C p dT  �
 2�
dV
2
V
�V  b V �

RT dV
RT
R
RT
R


2a 2ab �
V  b dT V  b � a 2ab � V  b �RT

 2 3 �
�p  2  3 �
�
V �
V �
� V
�V  b V
R
Cp  CV 
2a(V  b) 2
1
RTV 3
Cp  CV  R

(Với a = 0, b =0 ta thu được

đúng với khí lí tưởng)

c. Từ nguyên lí I là

Q  dU  pdV

với

a
RT
a
dU  C V dT  2 dV p 
 2
V

V  b V ta có được:
,
RT
Q  CV dT 
dV
Vb
.

1

4

Nhiệt nhận vào trong quá trình đẳng nhiệt 1-2 là
Q12 

V2

RT1
�

dV
V b
 RT1 ln 2
Vb
V1  b

3

.
Nhiệt nhả ra trong quá trình đẳng nhiệt 3-4 là

V1

V4

Q�
RT2
34   �

dV
V b
 RT2 ln 3
Vb
V4  b

.
Với hai quá trình đoạn nhiệt 2-3 và 3-4, sử dụng phương trình đoạn nhiệt đã tìm được
ở câu c ta có
V3

T1 (V2  b)

R
CV

 T2 (V3  b)

R
CV

và T1 (V1  b)

R
CV

 T2 (V4  b)

R
CV

V2  b V3  b

V

b
V4  b .
hay 1

34 ở trên ta có
Kết hợp với biểu thức tính Q12 và Q�

Q�
T
34
 2
Q12 T1 .

Vậy hiệu suất của chu trình này là
H  1

Q�

T
34
 1 2
Q12
T1 .

Biểu thức này giống với hiệu suất của khí lí
tưởng hoạt động theo chu trình Carnot.
Bài 17. Cho một mol khí CO2 có áp suất ban đầu
và thể tích ban đầu V0, thực hiện chu trình như đồ
14

p0
thị


hình vẽ. Xem CO2 là khí thực tn theo phương trình Van der Waals với hằng số
a  36p0 V02 và b = 0. Hãy lập tỉ số công do khí thực hiện và nhiệt lượng mà khí trao đổi

với môi trường xung quanh.

‘

Giải
Công sinh ra
A  A 23  p 0 V0

Xét q trình 1-2
Ta có phương trình trạng thái
� a �

p
V0  RT � V0dp  RdT
�
�
V
0 �
�
a
dU  C V dT  2 dV  C V dT
V
(vì dV = 0)
T2

p0

T1

2 p0

Q12  �
C V dT 

6

�2 V dp  3V p
0

0 0

Quá trình 2-3 là quá trình đẳng áp

a �
a �
�
�
p0  2 �
V  RT � �
p0  2 �
dV  RdT
�
� V �
� V �
a
a
2a
dU  3RdT  2 dV � dQ 23  p 0dV  3RdT  2 dV  4p 0dV  2 dV
V
V
V
2V0

2V

0
2a
72p0 V02
Q 23  �
(4p 0  2 )dV  �
(4p 0 
)dV   32p 0V0
V

V2
V0
V0

A
1
1


29
Vậy tỉ số Q12  Q 23 3  32
Bài 18: Một lượng khí thực lưỡng ngun tử tn theo phương trình trạng thái thực hiện quá
trình dãn nở từ trạng thái đến trạng thái biểu diễn trên giản đồ như
hình vẽ. Biết rằng trong quá trình biến đổi đoạn nhiệt thuận nghịch khí
tn theo phương trình , giả thiết rằng nhiệt dung mol đẳng tích . Cho , ,
,,.
a. Tìm nhiệt độ cực đại của khí trong q trình 12.

15


b. Nội năng của lượng khí trên tuân gần đúng theo phương trình trong đó là hằng số. Áp
dụng ngun lí I cho q trình đoạn nhiệt thuận nghịch vơ cùng bé, tìm .
c. Từ trạng thái 2 thực hiện quá trình nén đẳng áp đến trạng thái , sau đó thực hiện q
trình tăng áp đẳng tích để trở về trạng thái . Tính hiệu suất của chu trình.
d. Nếu khí đang xét là khí lí tưởng lưỡng nguyên tử () thì hiệu suất của chu trình đang xét
bằng bao nhiêu?

Giải
a. Từ đồ thị đường ta dễ dàng lập được phương trình đường thẳng đi qua

Từ phương trình trạng thái cho mol khí:
Kết hợp với phương trình trạng thái ta có
Thay số ta được
Vì thế ta có
b. Lấy vi phân biểu thức loga phương trình đoạn nhiệt , ta được
Trong quá trình đoạn nhiệt . Kết hợp với giả thiết ta có
c. Trong q trình 12, và
nên khi . Do đó, trong q trình 12 hệ nhận nhiệt ở giai đoạn tăng từ đến , với
Trong quá trình nén đẳng tích 23, , nên , hệ tỏa nhiệt. Trong q trình tăng áp đẳng tích
31 hệ nhận nhiệt. Nhiệt lượng hệ nhận được trong q trình này là
Do đó hiệu suất của chu trình này là
d. Hồn tồn tương tự, nếu tác nhân là khí lý tưởng ta có
Do đó
Bài 19.
Xét một khối khí khơng lí tưởng có nội năng U được xác định theo biểu thức U = 3PV,
trong đó P và V tương ứng là áp suất và thể tích của khí.
1. Tìm mối liên hệ giữa áp suất và thể tích của khí trong q trình đoạn nhiệt.
2. Thực nghiệm cho thấy nhiệt độ tuyệt đối T của khí này chỉ phụ thuộc vào áp suất P
mà khơng phụ thuộc vào thể tích của nó. Để đơn giản chọn đơn vị sao cho khi T = 1 thì P = 1.
Biết khối khí thực hiện một chu trình Carnot gồm hai quá trình đẳng nhiệt xen kẽ hai quá trình
đoạn nhiệt như sau:
}
�

�
a�
ng nhie�
t

( P1,V1)

( P1,V 2)

}
�

đoa�
n nhie�
t

}
�

�
a�
ng nhie�
t

( P2,V 3)
16

( P2,V 4)

}
�

�
oa�
n nhie�
t

( P1,V1)


trong đó P1, P2, V1, V2, V3, V4 coi như đã biết.
a. Tính nhiệt lượng Q1, Q2 mà khí đã trao đổi lần lượt trong quá trình đẳng nhiệt đầu
tiên và trong quá trình đẳng nhiệt thứ hai theo các thơng số đã cho.
T1
Q
 1
Q2 . Tìm
b. Nhiệt độ tuyệt đối T của khí này có thể được định nghĩa từ hệ thức: T2

mối liên hệ giữa nhiệt độ T của khí theo áp suất P.
c. Tìm nhiệt dung đẳng tích của khí theo T và V.
d. Tìm biến thiên entropy S của khí theo P và V. Biết khi T = 0 thì S = 0.

Hướng dẫn:

1. Từ nguyên lí I nhiệt động lực học: dU   PdV   Q ; dQ = 0
- Do quá trình là đoạn nhiệt nên ta có:
 Q  dU  PdV  d  3PV   PdV  4 PdV  3VdP  0
� PV

- Biến đổi ta thu được:
2. Chu trình biến đổi:

}
�

4/3

 ha�
ng so�

�
a�
ng nhie�
t

( P1,V1)

( P1,V 2)

}
�

đoa�
n nhie�
t

(1)
}
�

�
a�
ng nhie�
t

( P2,V 3)

}
�

�
oa�
n nhie�
t

( P2,V 4)

( P1,V1)

a. Nhiệt lượng trao đổi:
- Trong q trình đẳng nhiệt đầu tiên:
Cơng khí nhận vào A = -P1V = P1(V1 – V2)
Biến thiên nội năng của khí: U = 3P1(V2 – V1)
- Từ nguyên lí I ta thu được:

Q1  U  A  4 P1  V2  V1 

.

- Tương tự trong quá trình đẳng nhiệt thứ 2 ta thu được

Q2  4 P2  V4  V3 

4/3
PV

 P2V34/3
1 2

b. Từ phương trình (1) ta có:

4/3
4/3
PV
 PV
2 4
1 1

P1  V2  V1 
P11/ 4 P23/ 4  V3  V4  P11/4
T1
Q1



 1/4
T2
Q2
P2  V4  V3 
P2  V4  V3 
P2

- Từ định nghĩa:
.
1/4
- Do đó ta có thể định nghĩa nhiệt độ tuyệt đối T như sau: T  AP , với A là một hằng số được

xác định từ điều kiện khi T = 1 khi P = 1.
1/ 4
Từ đó ta suy ra: T  P
(2)
4
c. Thay phương trình (2) vào biểu thức nội năng ta thu được: U  3T V .
U�
��
CV  � �  12T 3V
T�
��
V
Từ đây ta tính được nhiệt dung đẳng tích
.

d. Do entropy là hàm trạng thái, ta có thể tính theo q trình:
T
dT
 12V �
T 2 dT  4T 3V  4 P 3/4V
0
0
T
.
5
3
2
Bài 20: §èi víi khÝ cacbonic : a = 3,64.10 Jm /kmol , b = 0,043 m3/kmol. Hái:
a. 1g c¸cbonic láng cã thĨ tích lớn nhất là bao nhiêu?
b. áp suất hơi bÃo hòa lớn nhất là bao nhiêu?

T

S
CV

c. CO2 lỏng có nhiệt độ cao nhất là bao nhiêu?
d. Cần phải nén khí CO2 với áp suất bằng bao nhiêu để thành CO 2
lỏng ở nhiệt độ 31oC và 50oC.
Giải

17


a. ThĨ tÝch lín nhÊt cđa c¸cbonÝc láng øng với trạng thái tới hạn (suy ra từ các
đờng đẳng nhiệt Van de Van-xơ)
( Với b = 0,043 m3/kmol = 0,043.10-3m3/mol)
b. p suất hơi bÃo hoà cực đại ứng với điểm ba (suy ra từ các đ ờng đẳng
nhiệt Van e Van-xơ)
(a = 3,64.105 Jm3/kmol2 = 0,364 Jm3/mol)
c. NhiƯt ®é cao nhất mà nitơ còn ở thể lỏng ứng với nhiệt độ điểm ba
d. Cácboníc lỏng ở 31oC cần nén tới ¸p st b»ng ¸p st tíi h¹n
p k = 7,4.10 6 (Pa )
Đó cũng là nhiệt độ lớn nhất mà cácboníc ở thể lỏng ở mọi áp suất. Với
nhiệt độ 51oC là không thể thực hiện hoá lỏng với bất cứ áp suất nào

II. BI TP T GII
Bi 1.
Bng thc nghiệm người ta thấy rằng lực tương tác giữa các phân tử chất khí vừa
là lực hút vừa là lực đẩy, trong đó lực hút tỉ lệ nghịch theo hàm bậc 7 của khoảng cách
trung bình, lực đẩy tỉ lệ theo hàm bậc 13 của khoảng cách trung bình, có dạng:

f 

a b

r 7 r13

a. Tìm khoảng cách d để lực đó bằng 0.
b. Tìm khoảng cách r0 để lực hút đạt giá trị lớn nhất. Tìm lực hút lớn nhất này.
Bài 2.
Xét một lượng khí thực có khối lượng m, khối lượng mol µ, thể tích V.
a. Ước lượng biểu thức nội áp gây ra bởi chất khí.
b. Ước lượng thể tích riêng của chất khí, coi phân tử khí như một quả cầu có bán
kính R.
Gợi ý: Xét một lớp khí sát thành bình, do lực tương tác của các phân tử bên trong
tác động làm giảm áp lực của nó lên thành bình; lực tương tác giảm nhanh theo
khoảng cách cho nên thực sự lực tương tác của các phân tử bên trong lên lớp khí sát
thành cũng chỉ bằng lực tương tác của lớp khí sát nó. Như vậy lực tương tác này sẽ tỉ lệ
với bình phương mật độ phân tử khí hay tỉ lệ nghịch với bình phương thể tích khí..Từ
đó ta sẽ suy ra biểu thức.
Bài 3.
Một lượng khí nito có khối lượng 10 g, thể tích V 1 = 0,1 dm3 áp suất 100 at. Biết
các hằng số Van der Waal của Nito: a = 0,1408; b = 3,913.10-5 (đơn vị chuẩn).
a. Tìm nhiệt độ của khí trong hai trường hợp: khí lí tưởng; khí thực tn theo phương
trình Van der Waal.
b. Hãy tìm cơng do khối khí Van-đơ-Van đó khi giãn đẳng nhiệt ở nhiệt độ T đó từ thể
tích ban đầu V1 đến thể tích V2 = 2V1.
Đs: b.

A'  RT ln(

Bài 4:
18

V2  b  a  a
)

V1  b
V2 V1

= 701 J.


Tìm biểu thức của áp suất, nhiệt độ và thể tích khí tại điểm tới hạn của một mol
khí. Coi rằng chất khí tn theo phương trình Vandecvan.
Bài 5.
Viết phương trình Vandecvan theo các đại lượng quy chuẩn



p
pk

;



V
Vk

;



T
Tk

.

� 3�
� 1� 8
 2 �
  � 
�
�

3� 3
�
�
�
Đáp số:

Bài 6.
Khí quyển của sao Kim gần như chỉ tồn CO 2. Tìm áp suất trên bề mặt hành tinh
nếu khối lượng riêng của khí  = 0,07 g/cm3 và nhiệt độ của nó T = 750 K. Biết khí tn
theo phương trình Vandecvan với các giá trị tới hạn p k = 73 atm, Vk = 94 cm3/mol và Tk
= 304 K. So sánh với áp suất khí lý tưởng ở cùng nhiệt độ.

19