Chuỗi số Giải tích Đại học Giao Thông Vận Tải

CHAPTER 6

CHƯƠNG 6:

CHUỖI SỐ


CHAPTER 6

Nội dung:
6.1. Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số
6.2. Tính chất và điều kiện hội tụ của chuỗi số
6.3. Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa
6.4. Một số ứng dụng của chuỗi số

2


CHAPTER 6

6.1. Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số
Những ký hiệu cơ bản

1
Cho dãy số sau: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,…có số hạng tổng quát: an   
2

n 1

Khi đó, dãy số được viết như sau: a1, a2, a3, a4, a5, …an
•

an thể hiện dạng chung các số hạng của chuỗi số nên được gọi là số hạng tổng
quát hay số hạng thứ n của chuỗi số.

•

Tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.
0

s0  a0   ak
k 0

1

s1  a0  a1   ak
k 0

...
n

sn  a0  a1  a2  a3  an   ak
k 0

3


CHAPTER 6

6.1. Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số
Định nghĩa về chuỗi

•

Chuỗi số: Chuỗi số là một tổng hình thức các số hạng của một dãy số vô hạn (n tiến
đến vơ cùng). Chuỗi số có thể là chuỗi số dương, chuỗi đan dấu hoặc chuỗi có dấu
bất kỳ. Ký hiệu:




 ak

Ví dụ:

k 0

•

1
1) 
k  0 ( k  1)( k  2)

2)



 (1)k
k 1

1
k

Chuỗi số dương: Chuỗi số là chuỗi mà tất cả các số hạng của nó đều là những số
dương.


a , a
k 0

k

k

 0, k = 0, 1, 2,.., n, ...

Chuỗi đan dấu: Chuỗi:

Ví dụ:

1)  e



1
2
k 1 k

2) 

k

k 0



•



 (1)
k 0

k

ak với ak  0 với k  N, được gọi là chuỗi đan dấu.
Ví dụ:



1
1)  (1) 2
k 1
k 1
k



2)  ( 1) k e k 1
k 0

4

CHAPTER 6

6.1. Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số
Định nghĩa về chuỗi hội tụ, chuỗi phân kỳ
Chuỗi hội tụ: Nếu tổng sn tiến đến một giá trị hữu hạn L khi n  , khi đó ta nói chuỗi

•

số hội tụ và có tổng L.
n

lim sn  lim  ak  L
n 

•

n 

k 0

Chuỗi phân kỳ: Nếu tổng sn không tiến
đến giá trị hữu hạn nào hoặc không tồn
tại khi n   thì ta nói rằng chuỗi số



1
1


k
k 1 2

phân kỳ.

Hình 1. Hình minh họa một chuỗi số hội tụ.

5


CHAPTER 6

6.1. Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số
Định nghĩa về chuỗi hội tụ, chuỗi phân kỳ:
Ví dụ 1: Chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ. Nếu chuỗi hội tụ, hãy tính tổng? a)



1

k  0 ( k  1)( k  2)

b)



2
k 0

a) Số hạng trong chuỗi có thể biểu diễn dưới dạng sau:

1
1
1


Khi đó, tổng n số hạng đầu tiên của dãy:
(k  1)(k  2) k  1 k  2
n

1
1
1
1
1


 ... 

1 2 2  3
n  (n  1) ( n  1)  ( n  2)
k  0 ( k  1)( k  2)

sn  

1   1
1 
 1 1 1
1

 1        ...   


 

 2  2 3
 n n 1   n 1 n  2 
1
 1
n2
Khi n   thì sn  1. Chuỗi hội tụ về giá trị 1.
b)



1

 (k  1)(k  2)  1
k 0

n

sn =  2k  1  2  4  ...  2n
k 0

Khi n   thì 2n   mà sn > 2n nên sn  . Chuỗi phân kỳ.

Hình 2. Minh họa ví dụ 1
6

k


CHAPTER 6

6.1. Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số
Một số chuỗi số thường gặp
Chuỗi số nhân (the infinite geometric series):


r

k

 1  r  r 2  r 3  ...

k 0

•

hội tụ nếu | r | < 1.

•

phân kỳ nếu | r |  1. r được gọi là cơng bội.

Chuỗi Dirichlet (the p series):


1

1
1
1

1



 ...

p
p
p
p
2
3
4
k 1 k
•

Hội tụ nếu p > 1.

•

Phân kỳ nếu p  1. Khi p = 1 được gọi là chuỗi điều hòa.

7


CHAPTER 6

6.1. Các định nghĩa cơ bản về chuỗi số
Một số chuỗi số thường gặp
Chứng minh sự hội tụ của chuỗi số nhân:
Tổng n số hạng đầu tiên của chuỗi số:
n

sn   r k  1  r  r 2  r 3  ...  r n
k 0

Nhân cả 2 vế của biểu thức với r. Ta được:
n

 rsn  r  r k  r (1  r  r 2  r 3  ...  r n )  r  r 2  r 3  ...  r n 1
k 0

Ta có:
•

sn  rsn  1  r

n 1

1  r n 1
với r  1, ta có: sn 
1 r

Với | r | < 1:

n   nên rn+1 0, tổng của n số hạng đầu tiên:

sn 
•

1
 chuỗi số hội tụ.
1 r

Hình 3. Chuỗi số nhân

Với r = 1:
n

sn   r k  1  1  12  13  ...  1n 1  n  1 khi n   thì sn  . Chuỗi số phân kỳ.
k 0

•

Với r = - 1: Chuỗi số có giá trị bằng 0 (n lẻ) hoặc 1 (n chẵn). Chuỗi số phân kỳ.
8


CHAPTER 6

6.2. Tính chất và điều kiện hội tụ của chuỗi số
Các tính chất của chuỗi số hội tụ
Tính chất 1: Tổng của các chuỗi số




Nếu chuỗi số


a
k 0

k

a
k 0

k

hội tụ và có tổng bằng L và

b
k 0

k

hội tụ và có tổng bằng M.

 bk hội tụ và có tổng bằng L + M.

Tính chất 2: Tích của một số với một chuỗi số




Nếu chuỗi số


Ngược lại,

a
k 0

a
k 0

k

hội tụ và có tổng bằng L. Khi đó,

 a
k 0

k

hội tụ và có tổng bằng L.



k

phân kỳ. Khi đó,

 a
k 0

k

cũng phân kỳ ( là một hằng số).

Tính chất 3: Sự lược bỏ số hạng
Sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số không thay đổi khi bỏ đi một số hữu hạn các số đầu của
chuỗi.
Lưu ý: Trong định lý bỏ đi số hạng đầu nhưng cũng có thể bỏ đi một số số hạng hữu hạn ở quãng
giữa cũng thế (vì tổng hữu hạn này hội tụ), vì thế có thể bỏ đi các số hạng đầu đến hết quãng giữa.
9


CHAPTER 6

6.2. Tính chất và điều kiện hội tụ của chuỗi số
Các tính chất của chuỗi số hội tụ (tiếp):


Tính chất 4:

a

Nếu chuỗi số

k 0

k

hội tụ thì số hạng tổng quát ak  0 khi k  .



Lưu ý (1): Điều ngược lại của TC 4 không luôn đúng. Nghĩa là, ak  0 khi k   thì chuỗi

a
k 0

k

vẫn có thể phân kỳ.


Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số
n

Nhưng chuỗi phân kỳ: sn  
k 1





n chuỗi phân kỳ 

k 1




k 1


k 1

1
1
Mặc dù: k  ,
0
k
k

1 1 1
1
1
1
1
1
1
 

 ... 



 ... 
 n
k 1
2
3
n

n
n
n
n

1
chuỗi phân kỳ.
k

Lưu ý (2): Nếu lim ak  0 thì chuỗi phân kỳ.
k 



Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của chuỗi số

k

 k 1
k 0

k
Ta có: k  ,
 1  0 Khi đó chuỗi
k 1



k

 k 1

phân kỳ.

k 0

10


CHAPTER 6

6.2. Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số
Chuỗi số dương, tiêu chuẩn hội tụ
Điều kiện cần và đủ để chuỗi dương hội tụ sn của nó phải bị chặn trên.



Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của chuỗi số:

sn 

1
1
1
1



...


 ...

n
2
n
2

1
2

1
2

1
2

1
k 1

1
1
1
1
1 1
1



...





...

2n  1 2  1 22  1
2n  1 2 22
2n

Lại có:

1
1 1
1 1
2n  1  1  1
 2  ...  n 
Chuỗi số bị chặn trên nên hội tụ.
2 2
2
2 1 1
2n
2
1

11


CHAPTER 6

6.2. Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số

Chuỗi số dương, các tiêu chuẩn hội tụ
Tính chất 1: So sánh
Cho 2 chuỗi số dương



a
k 0

b
k 0


k

k 0

k

hội tụ thì

a
k 0

 ak phân kỳ thì

2) Nếu

b

. Với mọi giá trị của k, ta có:





1) Nếu



k



k 0

k

hội tụ.



b
k 0

k

phân kỳ.

Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số dương: 1)



 2k
k 1

1

1)

2k 3  1


 2k
k 1



1
3

1

3

1

2)



1

 3k  1
k 1



1
2k 3

Ta lại có:

1
(p = 3 > 1) hội tụ vì đây là chuỗi Dirichlet.

3
k 1 2k

hội tụ.

1
1
2)

3k  1 4k


1



Ta lại có:

1

phân kỳ.
k 1 3k  1

1 (p = 1 > 1) phân kỳ vì đây là chuỗi điều hòa.

k 1 4k

12


CHAPTER 6

6.2. Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số
Chuỗi số dương, các tiêu chuẩn hội tụ
Tính chất 2: So sánh


Cho 2 chuỗi số dương



 a ; b
k 1

k

k 1

k

ak
 L (với L hữu hạn) thì 2 chuỗi ấy đồng thời hội tụ hoặc đồng thời phân kỳ.
k  b
k
lim



Ví dụ 6: Xét sự hội tụ của chuỗi số dương sau:
Nhận xét:

1

k
k 1 5  3

1
1

5 k  3 5k

an
1
1

5k
 lim( k
: )  lim k
1
Ta có: lim
n  b
n  5  3 5k
n  5  3
n


Mà

1
là chuỗi số nhân hội tụ vì r = 1/5 < 1.

k
k 1 5


1
Khi đó, chuỗi  k
k 1 5  3

cũng hội tụ.
13


CHAPTER 6

6.2. Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số
Chuỗi số dương, các tiêu chuẩn hội tụ
Tính chất 3: Quy tắc D’Alembert (The ratio test)


Cho chuỗi số dương  ak

ak 1

k  a
k

Nếu: lim

k 1

•

 < 1, chuỗi hội tụ

•

 > 1, chuỗi phân kỳ

•

 = 1, chưa đánh giá được tính hội tụ hoặc phân kỳ.


Ví dụ 7: Xét tính hội tụ của chuỗi số dương sau:

1

 k!
k 1

Áp dụng quy tắc D’Alembert ta có:



1
1
k!
1
:   lim
 lim  0  1  Chuỗi hội tụ.
k  ( k  1)! k !

 k  (k  1)! k  k

  lim 

14


CHAPTER 6

6.2. Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số
Chuỗi số dương, các tiêu chuẩn hội tụ
Tính chất 4: Quy tắc Cauchy (The root test)



Cho chuỗi số dương

a
k 1

k

Nếu: lim k ak  p
k 

•

p < 1, chuỗi hội tụ

•

p > 1, chuỗi phân kỳ

•

p = 1, chưa đánh giá được tính hội tụ hoặc phân kỳ.


1
Ví dụ 8: Xét tính hội tụ của chuỗi số dương sau:  (ln k ) k
k 2
k
Áp dụng quy tắc Cauchy ta có: p  lim

k 

1
1

lim
 0  1  Chuỗi hội tụ.
(ln k ) k k  ln k

Lưu ý:
•

Quy tắc D’lambert có thể sử dụng cho cả số hạng tổng quát dạng hàm số mũ và giai thừa.

•

Quy tắc Cauchy chỉ thích hợp cho số hạng tổng quát là hàm số mũ.

•

Trước khi sử dụng một quy tắc kiểm tra sự hội tụ của một chuỗi dương nào đó, kiểm tra số hạng
tổng quát là điều đầu tiên. Nếu ak tiến đến một giá trị khác 0 khi k , hiển nhiên chuỗi phân kỳ.
15


CHAPTER 6

6.2. Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số
Chuỗi số đan dấu, các tiêu chuẩn hội tụ


Xét chuỗi số đan đấu


  1

k

k 1



k 1

ak   ak
k 1

 (1)
Với

k

ak , ta ln có:



a
n 1

k

là một chuỗi số dương.

Định nghĩa hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ (đặc tính hội tụ):


 ak hội tụ thì chuỗi

Nếu chuỗi

k 1



•

Chuỗi

a
k 1



  1
k 1

Chuỗi

a
k 1

ak cũng hội tụ.

hội tụ thì chuỗi số dương này được gọi là hội tụ tuyệt đối.

k



•

k

k



phân kỳ nhưng chuỗi

  1
k 1



k

ak

hội tụ thì chuỗi

a
k 1

k

được gọi là bán hội tụ (hội tụ bán tuyệt đối).

16


CHAPTER 6

6.2. Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số
Chuỗi số đan dấu, các tiêu chuẩn hội tụ

(1) k 1
Ví dụ 9: Xét tính hội tụ của chuỗi số sau: 
k2
k 1

(1) k 1
1 1 1 1

1

 2  2  2  ...

2
2
k

2
3 4 5
k 1




1
1 1 1 1

1

 2  2  2  ...
2
2
k
2
3 4 5
k 1

Xét chuỗi số dương: 



Chuỗi số này hội tụ p = 2 > 1 (chuỗi Dirichlet).

k 1

(1) k 1


k2
k 1

1

k

2

hội tụ tuyệt đối.



hội tụ.

17


CHAPTER 6

6.2. Tính chất và tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số
Chuỗi số đan dấu, các tiêu chuẩn hội tụ
Dấu hiệu Leibnitz: Cho ak là dãy số đơn điệu giảm (khi k đủ lớn) và lim an  0
n 





 (1)

k

k 1

ak hội tụ.


Lưu ý: Nếu dùng Quy tắc D’Alembert (the ratio test) hoặc quy tắc Cauchy xét chuỗi số dương


mà chuỗi này phân kỳ thì chuỗi đan dấu

 (1)
k 1

k

a
k 1

ak phân kỳ

k

(1) k 1
Ví dụ 10: Xét tính hội tụ của chuỗi số và đặc tính hội tụ của chuỗi số sau: 
k
k 1
1



Dãy số

là dãy số đơn điệu giảm dần về 0 khi k  .

k

Theo dấu hiệu Leibnitz thì chuỗi


Xét chuỗi số dương:


Chuỗi số

(1) k 1
hội tụ.

k
k 1



k 1


k 1

1

k chuỗi số này phân kỳ vì nó là chuỗi Dirichlet (p = ½ < 1).

1
hội tụ bán tuyệt đối.
k
18


CHAPTER 6

6.3. Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa
Chuỗi hàm
Định nghĩa : Cho dãy hàm fn xác định trên D. Ta gọi tổng hình thức:
f1 ( x)  f 2 ( x)  ...


là một chuỗi hàm và ký hiệu là

f
n 1

n

( x)

Điểm x0  D được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm nếu chuỗi



f

n 1

n

( x0 ) hội tụ.

Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm.

19


CHAPTER 6

6.3. Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa
Định nghĩa: Chuỗi lũy thừa đối với biến thực x là chuỗi có dạng:

1)



a x
n0

2)

n



n

 a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...

 a ( x  a)
n 0

n

n

 a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a) 2  ...  an x n  ...

Trong đó: a0, a1, a2…là các hằng số.

Phương trình (1) thường được dùng biểu diễn chuỗi lũy thừa, phương trình (2) là dạng tổng quát.
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi lũy thừa thì được gọi là miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. Đối với
phương trình (2) luôn tồn tại một số dương R sao cho:  R  x  a  R
Khi đó, R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.

0R

Hội tụ khi

Phân kỳ khi


k
2

3
Ví dụ 11: Miền hội tụ của chuỗi  x  1  x  x  x  ...

là -1 < x < 1 (Chuỗi số nhân)  R = 1.

k 0

20


CHAPTER 6

6.3. Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa (tiếp)
Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa có thể xác định bằng công thức sau:

1) R  lim
k 

ak
ak 1

2) R  lim

k  k

1
ak

(Theo tiêu chuẩn D’Alembert)

(Theo tiêu chuẩn Cauchy)

Chuỗi Taylor
•

Chuỗi lũy thừa dạng:

f ' ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f ( n ) ( x  x0 ) n
f ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 )  
1!
n!
n!
n0

được gọi là chuỗi Taylor.
•

Các hệ số của chuỗi:

f '( x0 )
f ''( x0 )
f ( n ) ( x0 )
a0  f ( x0 ); a1 
; a2 
;...; an 
1!

2!
n!

được gọi là các hệ số của chuỗi Taylor của hàm f(x).
•

Khi x0 = 0 được gọi là chuỗi Maclaurin.
21


CHAPTER 6

6.3. Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa
Chuỗi Maclaurin cơ bản và miền hội tụ:
Bảng 1. Các chuỗi Maclaurin cơ bản và bán kính hội tụ (Source: Caculus 7th Edition, James Stewart, P. 786)

22


CHAPTER 6

6.4. Một số ứng dụng của chuỗi số
1. Ứng dụng trong tốn học
•

Giải các phương trình vi phân

•

Biến đổi dạng gần đúng của hàm số

2. Ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật
•

Sự truyền nhiệt, sóng điện từ, dao động, bài tốn động lực

•

Các bài tốn về bức xạ.

3. Ứng dụng trong khoa học máy tính
•

Tạo hàm (to create functions)

4. Ứng dụng trong tài chính
•

Tính các số nhân (fiscal multipliers)
23


CHAPTER 6

6.4. Một số ứng dụng của chuỗi số
1. Ứng dụng trong toán học:

s1
s5

Biến đổi Taylor, Maclaurin
Các hàm số như ex, sin x, ln(1+x), ...(bảng 1), ta có thể biến đổi
thành chuỗi lũy thừa tương ứng. Khi đó, các hàm số phức tạp sẽ
được biến đổi thành các chuỗi lũy thừa, từ đó có thể thuận tiện

s3

cho việc khảo sát, tính tốn gần đúng và ứng dụng trong các
chun ngành khác nhau.

(a)

f ( x) 

1
, |x| < 1
1 x

(c)

(b)
Hình 4. Hàm f(x) và một vài tổng của x

24


CHAPTER 6

6.4. Một số ứng dụng của chuỗi số
1. Ứng dụng trong tốn học:

Sử dụng chuỗi số để tính gần đúng kết quả:
Ví dụ 10: Sử dụng chuỗi số của hàm sine tính gần đúng sin 0.5 sai số cho phép 0.001.
Tại x = 0.5, chuỗi hàm sin 0.5 được biểu diễn như sau:

0.53 0.55 0.57
sin 0.5  0.5 


 ...
3!
5!
7!
Khi đó số hạng tổng quát: an 

0.5n 1
1
 n 1
( n  1)! 2 ( n  1)!

Sai số 0.001, nên:

1
 0.001  2n 1 (n  1)!  1000  n  4
n 1
2 (n  1)!
Vậy giá trị gần đúng của sin 0.5 với sai số cho
phép 0.001 là:

0.53 0.55
sin 0.5  0.5 


 0.47942
3!
5!

Hình 5. Hàm ex và các khai triển Taylor gần đúng
25