Phuong trinh bac cao

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

1. Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là ta biến đổi phương trình :
.

Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
<i><b>Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng</b></i>

<i><b>Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu </b></i> là một nghiệm của phương trình thì
ta ln có sự phân tích: . Để dự đốn nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:

<i><b>Chú ý : * Nếu đa thức </b></i> có nghiệm ngun thì nghiệm

đó phải là ước của .

* Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có

một nghiệm

* Nếu đa thức có tổng các hệ số chẵn bằng tổng các

hệ số lẻ thì đa thức có một nghiệm .

<i><b>Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho phương trình trình bậc </b></i>
bốn.

<i><b>Ví dụ 1: Giải phương trình : </b></i> (1) .
<b>Giải:</b>

Ta có phương trình (1.1)

. Vậy phương trình có hai nghiệm: .

<i><b>Nhận xét: Mẫu chốt của cách giải trên là chúng ta nhận ra hằng đẳng thức và biến đổi về phương</b></i>
trình (1.1). Trong nhiều phương trình việc làm xuất hiện hằng đẳng thức khơng cịn dễ dàng như
vậy nữa, để làm điều này địi hỏi chúng ta phải có những nhạy cảm nhất định và phải thêm bớt
những hạng tử thích hợp.

<i><b>Ví dụ 2: Giải phương trình : </b></i> .

<b>Giải: Phương trình </b>

.

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: .

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1) Chắc hẳn các bạn sẽ thắc mắc làm sao mà ta biết cách tách như trên ?!. Thật ra thì chúng ta
làm như sau:

Phương trình .

Ta chọn m sao cho biểu thức trong dấu phân tích được hằng đẳng thức, để có điều này ta phải
có:

, phương trình này có
một nghiệm , do đó ta có thể phân tích như trên.

Với phương trình bậc bốn tổng quát (I) ta cũng

có thể biến đổi theo cách trên như sau:

Ta cộng thêm hai vế của phương trình một lượng:

(1.I).

Bây giờ ta chỉ cần chọn sao cho VT của (1.I) phân tích thành hằng đẳng thức, tức là :

(2.I)

Đây là phương trình bậc ba nên bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm. Khi đó ta sẽ đưa phương
trình (1.I) về phương trình tích của hai tam thức bậc hai, từ đây ta giải hai tam thức này ta được
nghiệm phương trình (I).

2) Về mặt lí thuyết thì ta có thể giải được mọi phương trình bậc bốn theo cách trên. Tuy nhiên
trên thực tế thì nhiều lúc việc giải khơng được dễ dàng vậy, vì mẫu chốt quan trọng nhất của
cách giải trên là tìm . Mặc dù (2.I) đã có cách giải nhưng không phải giá trị lúc nào cũng
“đẹp”, nên sẽ khó khăn cho các phép biến đổi của chúng ta.

<i><b>Ví dụ 3: Giải phương trình : </b></i> (4).

<b>Giải: Ta có phương trình:</b>

, phương trình này có nghiệm: .
Do vậy

,

và .

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Khai triển rồi đồng nhất các hệ số ta có được hệ phương trình :

.

Từ phương trình cuối ta chọn: , thay vào ba phương trình đầu ta có:

ta thấy hệ này vơ nghiệm, do đó ta chọn , thay vào ta giải được
và

Vậy: .

<i><b>Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.</b></i>
(5).

<b>Giải: Khi gặp bài tốn này có lẽ các bạn sẽ suy nghĩ khơng biết nên xử lí theo hướng nào? Vì </b>
phương trình này khơng có nghiệm đặc biệt, nếu sử dụng phương trình phân tích bình phương thì
việc giải phương trình (2.I) e rằng sẽ không đi đến kết quả ! Vậy phương pháp hệ số bất định thì

sao? Chú ý đến hệ số tự do của phương trình ta thấy: , điều

này dẫn tới ta nghĩ đến phân tích VT của phương trình về dạng:

(mục đích là làm giảm số ẩn cần tìm xuống cịn 2 ẩn).
Đồng nhất hệ số ta có hệ phương trình :

.
Vậy

(5) có bốn nghiệm phân biệt và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng khơng có
nghiệm chung.

* (a) và (b) cùng có hai nghiệm phân biệt

* Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là , khi đó là nghiệm của hệ:

, hệ này vơ
nghiệm và (b) khơng có nghiệm chung. Vậy là những giá trị cần tìm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

có hai nghiệm thì ta ln có sự phân tích

. Với phương trình trên ta khơng sử dụng được tính chất này vì vế trái là một đa thức bậc 4
khơng có nghiệm đặc biệt. Tuy nhiên nếu chúng ta nhạy bén thì ta thấy VT của phương trình lại
là một tam thức bậc hai đối với ẩn là tham số m. Tức là ta có:

(5’)
Tam thức này có :

Suy ra (5’) có hai nghiệm

và . Do vậy ta có:

. Đây là phương trình mà ta vừa biến đổi ở trên.

<i><b>Ví dụ 5: Giải phương trình : </b></i> .

<b>Giải: Đặt </b> , ta có :

.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

.

<i><b>Ví dụ 6: Giải phương trình : </b></i> .

<b>Giải:</b>

Ta có phương trình

.

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm: .

<i><b>Ví dụ 7: Tìm m để phương trình </b></i> có bốn nghiệm phân biệt.
<b>Giải:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

.

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và (b) đều có hai nghiệm phân biệt và
chúng khơng có nghiệm chung.

(a) và (b) có hai nghiệm phân biệt .

Giả sử (a) và (b) có nghiệm chung là
.

</div>

<!--links-->