Gioi Han Ham So Co HD BT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (109.16 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

VẤN ĐỀ 4

. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa



Ta có định nghĩa giới hạn hữu hạn:

 

0 n n 0 n 0 n

xlim f ( x ) Lx    x ,x x ,lim x x  lim f ( x ) L

 

0 n n 0 n 0 n

x

lim f ( x )

x

  

x ,x



x ,lim x



x



lim f ( x )



 

0 n n 0 n 0 n

x

lim f ( x )

x

   

x ,x



x ,lim x



x



lim f ( x )

 

1. a) Cho hàm số

2 8

( )

x

y f x

x



 



và một dãy bất kỳ

 

x

n



2 sao cho

lim n 2.

n x 

Tìm

 

lim

n

n 

f x

từ đó suy ra

 

lim

.

x

f x

b) Cho hàm số

2 3 2

( )

x x

y f x

x

 

 



và một dãy bất kỳ

 

x

n



1 sao cho

lim n 1.

n x 

Tìm

n

lim

f x

 

n

 

từ đó suy ra

x

lim

 1

f x

 

.

2. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau:

a)

4
x
3
x
lim

2
1

x 






b)

1
5
x
lim

x

 

c)





k
xlim cxx

3. Sử dụng nguyên lý kẹp của giới hạn dãy số và định nghĩa giới hạn hàm số, hãy tìm

a)

lim0 sin1

x x x

 

 

 

b)

lim os

x xc x

 

 

 

4. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn

a)

lim os0 1

x c x

 

 

 

b)

1
lim sin

x x

 

 

 

Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức



Ta thừa nhận định lý: Cho

 

0 0

xlim f xx a, lim g xxx b

. Khi đó ta có

 

xlim f xx  g x   a b x x0

 

lim f x g x a b

     

   

xlim f x g xx    ab

 





0
x x

f x a

lim , b

g x b



 

 

 

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

a)

lim

|

x

8

|

x



b)

)
3
x
)(
1
x
2
(
x
x
lim 4
3
1

x  




c)

3
x
x
lim 2
3
1
x 

d)

1
x
2
1
x
3
x
lim 2
4
2
x 




e)

2
3

x x 6

)
1
x
(
x
2
lim




g)

3
x
x
2
x
3
x
1
lim 2
3
2

x  






h)

2
2

2 1 5

3 lim

2

3

x

 

 





6. Tìm các giới hạn sau

a)

x 0

1 lim x(1

)

x





b)

2
9

x 9x x

3
x
lim




c)

2
x
2
2
x
lim 2
3
2
x 




d)

9
x
3
x

2
x
27
x
lim 2
4
3

x  





e)

x 6x 8

16
x

lim 2

4
2

x  





g)

2x x 1

1
x

lim 2

2
1

x  



h)
3
x
4
x
2
x
3
x
lim 4
3
1

x  




 h) x 2x 1

1
x
2
x
lim 5
3
1

x  





i)
16
x
4
x
2
x
3
x
2
lim 3
2
2

x  





ĐS: c)

2
2
3


d) 9

e) 16



7. Tìm các giới hạn sau:

a)

2
3
5
lim
2
2 



 x
x
x

b)

2
3

1
lim

1  


 x
x
x

c)

x
x
x
1
1
lim
0




d)

3
7
2
lim

2  




 x

x

e)

6x 3 3x

1
x
lim
2
1
x







g)

1 2 3

1 lim

x
x

x x

x






 



h)
3
x
2
3
7
x
2
lim
1

x  




 i) x 4x 3

4
x
7
x
2

lim 3 2

x  







8.

Tính

các

giới hạn sau

3
3

x 1 x 1 x

x
1
x
1
lim







 b) x 3 2

1
x
lim
2
3
1
x





 c) x 1

2
x
3
x
lim
3
1
x 



d)
3
3
2

x x 6 2 3x 5

3
x
2
3
7
x
lim







 e) x

1
x
1
limm
0
x




9.

Tính các giới hạn sau

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Chú ý: Ta thừa nhận x 0

sin x

lim

1 x





. Tổng quát hơn ta có

 

x 0

sin u x

lim 1

u x

 

với

u 0

 



0.

10.

Tính các giới hạn sau

a) 2

x x

x
6
cos
1

lim 

 b) 1 cos5x

x
3
cos
1
lim

x 



 c) x 0 x3

x
sin
tgx

lim 



x
1

1
x
cos
lim

x 




 e) )

4
x
sin(

tgx
1
lim

x  




 g) 3

x x

x
sin
1
tgx
1

lim   



lim

(

1 cos

2 x

)

tgx





 i)

1 cot

gx

tgx

1 lim





 k)

1 tgx

x

cos

x

sin

lim






l) )

x
sin
x
(
lim




 m) sinx

x
1
x
2
1
lim

3 2

0
x







Dạng 3. Giới hạn một phía

11.

Tìm giới hạn bên trái, giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) tại x = x0 và xét xem

lim

f

(

x

)

0
x

x có

tồn tại hay không trong những trường hợp sau đây

a) f(x) =























1 x

khi

2 x

1 x

khi

1 x

2 x

3 x

2
2

tại x0 = 1 b) f(x) =



















2 x

khi

x

2

1

2 x

khi

2 x

4

tại x0 = 2

c ) f(x) = 2 3
x
x

 tại x = 0 d ) f(x) =























0 x

khi

1 x

0 x

khi

2

3

tại x0 = 0

12.

Tìm a để

lim

x1

f

(

x

)

tồn tại, trong đó f(x) =



















1 x

khi

2 ax

1 x

khi

1 x

Dạng 4. Giới hạn của hàm số tại vơ cực

13. Tìm các giới hạn sau:

a)

1
x
2

7
x
x
3

lim 3

x 








b)

x 1

15
x
7
x
2

lim 4

3
4

x 








c)

3x 1

x
lim 3

x 





d)

1
x
3

2
x
lim 3

x 






e)

3
2

x 8x x 3

x
2
x
lim









g)

2
x
x

x
x
lim 2

x  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a)

2
2

1
2

lim

x
x

x 








b)

2 3

2
3

3
lim

x
x

x 








c)

4
3
2

lim 3 2











 x x

x
x
x

d)

3
)
2
1
)(
1
(

lim 7

5
2









 x x

x
x

x

e)

2 1

1
4

lim 2

4
2










 x x

x
x
x

x

g)

x
x
x
x

x 1 2

1
4

lim










15. Tìm các giới hạn sau:

a)

lim( x2 1 x)

x  

b)

2

3
lim 2





 x

x
x

x

c)

lim( 1)

2
2








 x x x

x

d)

lim( 2 2 1







 x x x

x

e)

lim( 1)

2






 x x x

x

f)

lim( 1 )

2 x x

x

x   

g)

lim( x2 1 x)

x  

h)

3
4

12
15
2

lim 2

1  




 x x

x
x

x

16.

Tính

các

giới hạn sau
A =

x
2

x
3
1
lim

x 




 B = x 2x 1

3
x
2

lim 3 2

x  






C =

1
x

1
x
2
x

lim 3

2
5

x 







17.

Tính các giới hạn sau

M =

x
2
1
x
4

1
x
4
3
x
2
x
lim

2
2
x












 N = 4x 1 x 1

x
3
2
x
x
lim

2
2
x












P =

1
x

1
x
2
x
4
1
x
x
9
lim

2
2

x 











18.

Tính các giới hạn sau
A = lim( x2 x x)

x   B = lim(2x 1 4x 4x 3)

x    

C =

lim

(

x

1 x

1 )

x





D =

lim

(

x

3 x

)

3 2 3

x





Dạng 5. Hàm số liên tục

19.

Xét tính liên tục của các hàm số sau

a) f(x) =













2
x
khi
1

2
x
khi
x

2
3
x
2
1

tại x0 = 2 b) f(x) =

















0 x

khi

4

1

0 x

khi

x

sin

x

cos

1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

c) f(x) =
















1
x
khi

1
x
khi
1
x

x
sin

tại x0 = 1

20.

Tìm m để các hàm số sau liên tục tại x0= 0.

a) f(x) =

























0 x

khi

2 x

4 m

0 x

khi

x

1 x

1

b) f(x) =



















0 x

khi

m

1 x

4 x

0 x

khi

x

2 sin

x

4 cos

1

21.

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên R

a) f(x) =









0
x

khi
1

0
x
khi
|
x

x
sin
|

b) f(x) =









0
x
khi
1

0
x

khi
|
x
|

x
sin

22.

Tìm m để hàm số f(x) =





















2 x

khi

4

1 mx

2 x

khi

2 x

3

liên tục trên R

23.

Không giải phương trình, hãy chứng minh các phương trình sau ln có nghiệm

a) cosx + mcos2x = 0 b) m(x – 1)3(x + 2) + (2x + 3) = 0

</div>

Gioi Han Ham So Co HD BT

<b>VẤN ĐỀ 4</b>

<b>. ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ</b>

<b>Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa</b>



Ta có định nghĩa giới hạn hữu hạn:

 

 

<i>lim f ( x )</i>

  

<i>x ,x</i>



<i>x ,lim x</i>



<i>x</i>



<i>lim f ( x )</i>



 

<i>lim f ( x )</i>

   

<i>x ,x</i>



<i>x ,lim x</i>



<i>x</i>



<i>lim f ( x )</i>

 

1. a) Cho hàm số

và một dãy bất kỳ

 

<i>x</i>



2

sao cho

Tìm

 

lim

<i>f x</i>

từ đó suy ra

<sub> </sub>

lim

.

<i>f x</i>

b) Cho hàm số

và một dãy bất kỳ

 

<i>x</i>



1

sao cho

Tìm

lim

<i>f x</i>

 

từ đó suy ra

lim

<i>f x</i>

 

.

2. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số, tìm các giới hạn sau:

a)

b)

c)

<sub></sub>

<sub></sub>

3. Sử dụng nguyên lý kẹp của giới hạn dãy số và định nghĩa giới hạn hàm số, hãy tìm

a)

b)

4. Chứng minh rằng không tồn tại giới hạn

a)

b)

<b>Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức</b>



Ta thừa nhận định lý: Cho

 

 

. Khi đó ta có

 