Tài liệu Chuyên đề rút gọn BT căn bậc hai

182 bài tập ôn tập vào lớp 10
( Su tập )
Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức

Bài 1: Cho biểu thức :
+
+

+
+
=
6
5
3
2
aaa
a
P
a

2
1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 2: Cho biểu thức: P=

+
+
+

+
+

+








+

65
2
3
2
2
3
:
1
1
xx

x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức: P=








+

+
+



13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
5
6
Bài 4: Cho biểu thức : P=

+










+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P<1
c) Tìm giá trị của P nếu
3819
=
a
Bài 5: Cho biểu thức; P=

















+
+

+


+

a
a
a
a
a
a
a
aa
1
1
.
1
1
:
1
)1(
332
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức M=a.(P-
2
1

)
Bài 6: Cho biểu thức: P=









+

+
+
+










+
+
+
+

12
2
12
1
1:1
12
2
12
1
x
xx
x
x
x
xx
x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x
( )
223.
2
1
+=
Bài 7: Cho biểu thức: P=

+
+










+
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P

0

Bài 8: Cho biểu P=









+
+








++

+
a
a
a
aa
a
a
a

1
1
.
1
12
3
3
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P.
a

1
Bài 9: Cho biểu thức: P=
.
1
1
1
1
1
2
:1

+

++
+
+

+
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thức : P=









+
+

+


a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P<
347

Bài 11: Cho biểu thức: P=

+


+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x

x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P<
2
1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức : P=








+





+

3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức : P=
3

32
1
23
32
1115
+
+



+
+

x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
2
1
c) Chứng minh P
3
2

Bài 14: Cho biểu thức: P=
2
2

44
2
mx
m
mx
x
mx
x



+
+
với m>0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P=0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
Bài 15: Cho biểu thức : P=
1
2
1
2
+
+

+
+
a
aa
aa

aa
a) Rút gọn P
b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P
c) Tìm a để P=2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thức P=








+

+

+
+

+
+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a=
32

và b=
31
13
+

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
4

=+
ba
Bài 17: Cho biểu thức : P=








+

+

+






+
+
+



1
1

1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức: P=









+

+

1
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức: P=
( )
ab
abba
ba

abba

+
+
.
4
2
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a=
32
và b=
3
Bài 20: Cho biểu thức : P=
2
1
:
1
1
11
2

+
++
+

+
x
xxx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P>0

x
1

Bài 21: Cho biểu thức : P=








++
+

+
1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx
a) Rút gọn P
b) Tính
P
khi x=
325
+
Bài 22: Cho biểu thức P=
xx

x
x
x 24
1
:
24
2
4
2
3
2
1
:1
















+

+
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức P=
( )
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
+
+










+


2
33
:
a) Rút gọn P

b) Chứng minh P
0

Bài 24: Cho biểu thức : P=








++

+
+
+
baba
ba
bbaa
ab
babbaa
ab
ba
:
31
.
31
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a=16 và b=4
Bài 25: Cho biểu thức: P=
12
.
1
2
1
12
1

+


+
+
a
aa
aa
aaaa
a
aa
a) Rút gọn P
b) Cho P=
61
6
+
tìm giá trị của a
c) Chứng minh rằng P>
3
2
Bài 26: Cho biểu thức: P=

+
+
+

+












3
5
5
3

152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P<1
Bài 27: Cho biểu thức: P=
( )
( )
baba
baa
babbaa
a
baba
a
222
.1
:
133
++

+


++
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức: P=









+


+

1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P>
6
1
Bài 29: Cho biểu thức: P=
33
33
:
112
.

11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
+
+++








++
+








+
a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức P=
x

x
yxyxx
x
yxy
x


+


1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2
Phần 2: Các bài tập về hệ ph ơng trình bậc 2:
Bài 31: Cho phơng trình :
( )
2
2
2122 mxxm
+=
a) Giải phơng trình khi
12
+=
m

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
23
=
x
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 32: Cho phơng trình :
( )
0224
2
=+
mmxxm
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
2
=
x
.Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính
2
2
2
1
xx
+
theo m
Bài 33: Cho phơng trình :
( )
0412
2

=++
mxmx
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M=
( ) ( )
1221
11 xxxx
+
không phụ thuộc vào m.
Bài 34: Tìm m để phơng trình :
a)
( )
012
2
=+
mxx
có hai nghiệm dơng phân biệt
b)
0124
2
=++
mxx
có hai nghiệm âm phân biệt
c)
( )
( )
012121
22

=+++
mxmxm
có hai nghiệm trái dấu
Bài 35: Cho phơng trình :
( )
021
22
=+
aaxax
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
.Tìm giá trị của a để
2
2
2
1
xx
+
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 36: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức:
2
111
=+
cb

CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có nghiệm
0

0
2
2
=++
=++
bcxx
cbxx
Bài 37:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm số chung:

( )
( )
)2(036294
)1(012232
2
2
=+
=++
xmx
xmx

Bài 38: Cho phơng trình :
0222
22
=+
mmxx
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình
Bài 39: Cho phơng trình bậc hai tham số m :
014
2

=+++
mxx
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn điều kiện
10
2
2
2
1
=+
xx
Bài 40: Cho phơng trình
( )
05212
2
=+
mxmx
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 41: Cho phơng trình
( )
010212
2
=+++
mxmx
(với m là tham số )

a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là
21
; xx
; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa
21
; xx
mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để
2
2
2
121
10 xxxx
++
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 42: Cho phơng trình
( )
0121
2
=++
mmxxm
với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
1

m
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của
phơng trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phơng trình có nghiệm
21
; xx
thoả mãn hệ thức:

0
2
5
1
2
2
1
=++
x
x
x
x

Bài 43: Cho phơng trình :
01
2
=+
mmxx
(m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm
21
; xx
với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có) của phơng trình
và giá trị của m tơng ứng
b) Đặt

21
2
2
2
1
6 xxxxA
+=

Chứng minh
88
2
+=
mmA
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
BT) Cho phơng trình
0122
2
=+
mmxx
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm
21
; xx
với mọi m.
b) Đặt A=
21
2
2
2

1
5)(2 xxxx
+
CMR A=
9188
2
+
mm
Tìm m sao cho A=27
c)Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 44: Giả sử phơng trình
0.
2
=++
cbxxa
có 2 nghiệm phân biệt
21
; xx
.Đặt
nn
n
xxS
21
+=
(n nguyên d-
ơng)
a) CMR
0.
12
=++

++
nnn
cSbSSa
b) áp dụng Tính giá trị của : A=
55
2
51
2
51









+








+
Bài 45: Cho f
(x)

= x
2
- 2 (m+2).x + 6m+1
a) CMR phơng trình f
(x)
= 0

có nghiệm với mọi m
b) Đặt x=t+2 .Tính f
(x)
theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f
(x)
= 0

có 2 nghiệm lớn hơn
2

Bài 46: Cho phơng trình :
( )
05412
22
=+++
mmxmx

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi
21
; xx

là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính
2
2
2
1
xx
+
theo m
Bài 47: Cho phơng trình
0834
2
=+
xx
có hai nghiệm là
21
; xx
. Không giải phơng trình , hãy tính giá
trị của biểu thức :
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx

xxxx
M
+
++
=
Bài 48: Cho phơng trình
( )
0122
=+++
mxmx
x

a) Giải phơng trình khi m=
2
1

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :
2
1221
)21()21( mxxxx
=+
Bài 49: Cho phơng trình
03
2
=++
nmxx

(1) (n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm
21
; xx
của phơng trình (1) thoả mãn hệ :



=
=
7
1
2
2
2
1
21
xx
xx
Bài 50: Cho phơng trình:
( )
05222
2
=
kxkx
( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi
21

; xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho

18
2
2
2
1
=+
xx
Bài 51: Cho phơng trình
( )
04412
2
=+
mxxm
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 52:Cho phơng trình :
( )
0332
22
=+
mmxmx
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
21
, xx

thoả mãn
61
21
<<<
xx
Phần 3: Hệ ph ơng trình:
Bài53: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ;

( )
( )



=+
+=+
21
11
ymx
myxm

Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
a)



=
=+
xy
yx

52
1
b)





=+
=
1
44
2
yx
yx
c)



=
=+
123
11
xy
xy
Bài 55: Cho hệ phơng trình :



=

=+
5
42
aybx
byx
a)Giải hệ phơng trình khi
ba
=
b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm : * (1;-2)
* (
2;12

)
*Để hệ có vô số nghiệm
Bài 56:Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:



+=
=
mmyx
mymx
64
2

Bài 57: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :



=+

=+
2ã
1
yax
ayx
a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm
Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau:



=+
=++
1
19
22
yxyx
yxyx
Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau có nghiệm:
( ) ( )



=++
=+
01
121
2
yxyxmyx
yx

Bài 60 :GiảI hệ phơng trình:




=
=+
624
1332
22
22
yxyx
yxyx
Bài 61*: Cho a và b thoả mãn hệ phơng trình :



=+
=++
02
0342
222
23
bbaa
bba
.Tính
22
ba
+

Bài 61:Cho hệ phơng trình :



=+
=+
ayxa
yxa
.
3)1(
a) Giải hệ phơng rình khi a=-
2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Phần 4: Hàm số và đồ thị
Bài 62: Cho hàm số : y= (m-2)x+n (d) .Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1-
2
và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+
2
.
c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0
d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 63: Cho hàm số :
2
2xy
=
(P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d)
1
=
mxy
theo m
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 64 : Cho (P)
2
xy
=
và đờng thẳng (d)
mxy
+=
2
1.Xác định m để hai đờng đó :
a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1. Tìm hoành độ điểm
còn lại . Tìm toạ độ A và B
2.Trong trờng hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N.
Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi
m thay đổi.
Bài 65: Cho đờng thẳng (d)
2)2()1(2
=+
ymxm

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P)
2
xy
=

tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 66: Cho (P)
2
xy
=

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau và tiếp
xúc với (P)
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng
2

Bài 67: Cho đờng thẳng (d)
3
4
3
=
xy

a) Vẽ (d)
b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 68: Cho hàm số
1
=
xy
(d)
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)

b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình
mx
=
1
Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng : (d)
2)1(
+=
xmy
(d')
13
=
xy
a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau
Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :

12.)(
2)(
52)(
3
2
1
=
+=
=
xayd
xyd
xyd
đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ

Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 72: Cho (P)
2
2
1
xy
=
và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-
1;0) và tiếp xúc với (P).
Bài 73: Cho hàm số
21
++=
xxy
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
mxx
=++
21
Bài 74: Cho (P)
2
xy
=
và đờng thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 75: Cho (P)
4
2
x
y

=
và (d) y=x+m
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ
bằng -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)
Bài 76: Cho hàm số
2
xy
=
(P) và hàm số y=x+m (d)
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách
giữa hai điểm A và B bằng
23
Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (
1
d
) y=-2(x+1)
a) Điểm A có thuộc (
1
d
) ? Vì sao ?
b) Tìm a để hàm số
2
.xay
=
(P) đi qua A

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (
2
d
) đi qua A và vuông góc với (
1
d
)
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (
2
d
) ; C là giao điểm của (
1
d
) với trục tung . Tìm toạ độ của B
và C . Tính diện tích tam giác ABC
Bài 78: Cho (P)
2
4
1
xy
=
và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt là -2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
4;2

x
sao cho tam giác MAB có diện

tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
4;2

x
có nghĩa là A(-2;
A
y
) và B(4;
B
y
)

tính
BA
yy ;
;
)
Bài 79: Cho (P)
4
2
x
y
=
và điểm M (1;-2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi
BA

xx ;
lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
22
BABA
xxxx
+
đạt giá trị nhỏ nhất và
tính giá trị đó
d) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.
*Tính S theo m
*Xác định m để S=
)28(4
22
+++
mmm
Bài 80: Cho hàm số
2
xy
=
(P)
a) Vẽ (P)
b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P)
2
4
1
xy
=
và đờng thẳng (d)

12
=
mmxy

a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 82: Cho (P)
2
4
1
xy
=
và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m.
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
Rm

b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 83: Cho (P)
4
2
x
y
=
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
1;
2
3
) có hệ số góc là m
a) Vẽ (P) và viết phơng trình (d)

b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 84: Cho (P)
4
2
x
y
=
và đờng thẳng (d)
2
2
+=
x
y
a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 85: Cho (P)
2
xy
=

a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 86: Cho (P)
2
2xy
=
a) Vẽ (P)

b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n
để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB
Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
1)(
)(
2
1
=+
=+
ymxd
myxd
cắt nhau tại một điểm
trên (P)
2
2xy
=
Phần 5: Giải toán bằng cách lập ph ơng trình
1. chuyển động
Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ
B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30
phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi
Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ .
Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nớc là 4
km/h.
Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về A .Thời
gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc
dòng nớc là 5 km/h
Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng
dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn
đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút .

Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã đi.
Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xe con
đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc
4
3
quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng
đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.
Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời
đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận
tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Bài 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều nhau . Sau 1h40 thì
gặp nhau . Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngợc
9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 Km/h.
Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10
Km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và
chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?
Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian, một ngời đi xe máy
cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B .
Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB , ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngòi gặp nhau
tại C cách B 10 Km . Tính quãng đờng AB
Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi đến B ngời đó nghỉ 20
phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính quãng đờng AB biết rằng thời gian cả đi
lẫn về là 5 giờ 50 phút.
Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ngợc từ B về A .
Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận
tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi .
Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h . Lúc đầu ô tô đi
với vận tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10
Km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB.
Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy với vận tốc 20

Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy .
Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc .
Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một ngời đi xe máy
cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần
vận tốc xe đạp.
Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 Km và ngợc dòng 63 Km. Một lần
khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngợc dòng 84 Km . Tính vận tốc dòng nớc
chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.
Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giờ 20 phút . Tính vận tốc
của tầu khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 Km/h.
Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến
sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng
ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài 120 Km trong một
thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận
tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định . Sau khi đi đ-
ợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6
Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30 Km , ngời đó
nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5
Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.
2. Năng xuất
Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một
mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi
đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?
Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nhng do cải tiến kỹ
thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24
ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng đã vợt mức đợc

6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn .
Tính mức kế hoạch đã định
Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó đợc bổ xung thêm 3
xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng
chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành
đợc
3
2
mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong
bao lâu ?
Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định . Họ làm
chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại
trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 114: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và
ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì
xong .
3. Thể tích
Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút .
Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi
vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 116: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút . Nếu
chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì
mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ
phải bơm đợc 10 m
3
. Sau khi bơm đợc
3
1

thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn ,
mỗi giờ bơm đợc 15 m
3

. Do vậy so với quy định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể
chứa.
Bài 118: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể .
Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đợc
5
1

bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 119: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể . Nếu
chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy
đầy bể trong bao lâu ?
Phần 6 : Hình học
Bài tập Hình tổng hợp
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại
H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải:
1) Xét tứ giác CEHD ta có:
CEH = 90
0
( Vì BE là đờng cao)

CDH = 90
0
( Vì AD là đờng cao)
=> CEH + CDH = 180
0

Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2) Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEC = 90
0
.
CF là đờng cao => CF AB => BFC = 90
0
.
Nh vậy E và F cùng nhìn BC dới một góc 90
0
=> E và F cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn.
3) Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: AEH = ADC = 90
0
; Â là góc chung
=> AEH ADC =>
AC
AH
AD
AE
=
=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC = ADC = 90
0
; C là góc chung

=> BEC ADC =>
AC
BC
AD
BE
=
=> AD.BC = BE.AC.
4. Ta có C
1
= A
1
( vì cùng phụ với góc ABC)
C
2
= A
1
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)
=> C
1
= C
2
=> CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB HM => CHM cân tại C
=> CB cũng là đơng trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn
=> C
1
= E
1
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

C
1
= E
2
( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
E
1
= E
2
=> EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tơng tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là
tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác AHE.
1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Chứng minh ED =
2
1
BC.
4. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
5. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải:
1) Xét tứ giác CEHD ta có:
CEH = 90
0
( Vì BE là đờng cao)

CDH = 90
0

( Vì AD là đờng cao)
=> CEH + CDH = 180
0
Mà CEH và CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đờng cao => BE AC => BEA = 90
0
.
AD là đờng cao => AD BC => BDA = 90
0
.
Nh vậy E và D cùng nhìn AB dới một góc 90
0
=> E và D cùng nằm trên đờng tròn đờng kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đờng cao nên cũng là đờng trung tuyến
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có BEC = 90
0
.
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE =
2
1
BC.
Vì O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác
AOE cân tại O => E
1
= A
1
(1).
Theo trên DE =
2

1
BC => tam giác DBE cân tại D => E
3
= B
1
(2)
Mà B
1
= A
1
( vì cùng phụ với góc ACB) => E
1
= E
3
=> E
1
+ E
2
= E
2
+ E
3

Mà E
1
+ E
2
= BEA = 90
0
=> E

2
+ E
3
= 90
0
= OED => DE OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. áp dụng định lí Pitago cho
tam giác OED vuông tại E ta có ED
2
= OD
2
OE
2
ú ED
2
= 5
2
3
2
ú ED = 4cm
Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc
nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC
cắt nhau tại N.
1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh COD = 90
0
.
3. Chứng minh AC. BD =
4

2
AB
.
4. Chứng minh OC // BM
5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD.
6. Chứng minh MN AB.
7. Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM.
Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD
2) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân
giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 90
0
.
3) Theo trên COD = 90
0
nên tam giác COD vuông tại O có OM CD ( OM là tiếp tuyến ).
áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông ta có OM
2
= CM. DM,
Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R
2
=> AC. BD =
4
2
AB
.
4) Theo trên COD = 90
0
nên OC OD .(1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM
=> BM OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).
5) Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác COD đờng kính CD có
IO là bán kính.
Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC AB; BD AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại
có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đờng trung bình của hình thang ACDB
=> IO // AC , mà AC AB => IO AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đờng tròn đờng kính CD
6. Theo trên AC // BD =>
BD
AC
BN
CN
=
, mà CA = CM; DB = DM nên suy ra
DM
CM
BN
CN
=
=> MN // BD mà BD AB => MN AB.
7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi
tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD
nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB =>
M phải là trung điểm của cung AB.
Bài 4 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3. Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Lời giải: (HD)

1. Vì I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc
A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B
Do đó BI BK hay IBK = 90
0
.
Tơng tự ta cũng có ICK = 90
0
nh vậy B và C cùng nằm trên đờng tròn
đờng kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đờng tròn.
2) Ta có C
1
= C
2
(1) ( vì CI là phân giác của góc ACH.
C
2
+ I
1
= 90
0
(2) ( vì IHC = 90
0
).

I
1
= ICO (3) ( vì tam giác OIC cân tại O)
Từ (1), (2) , (3) => C
1
+ ICO = 90

0
hay AC OC. Vậy AC là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
3) Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.
AH
2
= AC
2
HC
2
=> AH =
22
1220

= 16 ( cm)
CH
2
= AH.OH => OH =
16
12
22
=
AH
CH
= 9 (cm)