Bài giảng sáng kiến kinh nghiệm toán 10

SKKN: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10"
A. đặt vấn đề
I. lời nói đầu
Giải phơng trình là một trong những dạng toán cơ bản của chơng trình THPT.
Học sinh đã đợc trang bị cách giải phơng trình bậc nhất và bậc hai từ bậc THCS và
đợc nhắc lại ở lớp 10. Tuy nhiên, đối với phơng trình bậc cao nói chung và phơng
trình bậc bốn nói riêng thì học sinh cha đợc học một cách đầy đủ các phơng pháp
để giải từng dạng phơng trình. Nhng đây lại là một nội dung quan trọng trong các
đề thi Đại học, Cao đẳng, TH chuyên nghiệp và đề thi học sinh giỏi từ trớc đến
nay.
Trong khi giải các phơng trình, hệ phơng trình: vô tỷ, lợng giác, mũ và
lôgarit, chúng ta cũng thờng phải quy về giải phơng trình bậc cao, trong đó có ph-
ơng trình bậc bốn. Một số bài toán trong hình học, trong vật lý sau khi trải qua
một số bớc, cuối cùng cũng đều đi đến việc phải giải một phơng trình bậc bốn.
Cho dù đó chỉ là một bớc nhỏ trong một bài toán nhng nếu không giải quyết đợc
bớc nhỏ này thì chúng ta cũng cha thể đa ra kết luận của bài toán đó.
Nói đến phơng trình bậc bốn, nhiều học sinh tỏ ra ái ngại, lúng túng vì các em
mới chỉ nắm đợc sơ qua cách giải một số phơng trình bậc bốn đơn giản. Vì vậy,
việc trang bị đầy đủ cho học sinh các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn là điều
cần thiết.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
1. Thực trạng.
- Trong chơng trình THPT, do thời lợng chơng trình có hạn mà mảng phơng trình
bậc bậc bốn cha đợc trình bày rõ ràng, đầy đủ. Ngợc lại còn rất sơ lợc, chỉ mang
tính chất giới thiệu qua một số bài tập đơn giản.
- Do cha đợc hệ thống kiến thức và cha đợc học đầy đủ các phơng pháp để giải
từng dạng phơng trình bậc bốn nên khi gặp, hầu hết học sinh thấy lúng túng và
không có hớng giải.
Trờng THPT Thống Nhất GV: Lê Thị Thanh
Hoa
1

SKKN: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10"
- Tuy nhiên, các dạng bài tập về phơng trình bậc bốn thì rất phong phú, đa dạng
và phức tạp.
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên.
- Đa số học sinh cha có phơng pháp để giải từng dạng phơng trình bậc bốn nên rất
nhiều em thờng "bỏ qua" hoặc "bỏ dở" bài toán khi đã quy về phơng trình dạng
này.
Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và từ thực trạng trên, để học sinh có
thể dễ dàng và tự tin hơn khi gặp các bài tập về phơng trình bậc bốn, giúp các em
phát huy đợc khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập nhỏ,
cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua những năm giảng dạy, tôi đa ra
sáng kiến kinh nghiệm Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh
lớp 10". Sáng kiến kinh nghiệm này đã và đang phục vụ đắc lực cho tôi trong việc
giảng dạy.
B. Giải quyết vấn đề.
I. Các giải pháp thực hiện.
1. Phơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu chơng trình SGK THPT, nghiên cứu tài
liệu về phơng trình bậc cao.
2. Phân tích, đánh giá, tổng hợp lời giải của các bài toán, dạng toán.
3. Theo dõi, đánh giá kết quả của học sinh, giáo viên đúc rút kinh nghiệm.
II. Các ph ơng pháp giải ph ơng trình bậc bốn.
1. Ph ơng pháp đ a ph ơng trình về dạng tích.
Cho phơng trình: ax
4
+bx
3
+cx
2
+dx+e =0 (a

0) (1)
a) Ph ơng pháp:
Cách 1: Nhóm các hạng tử, sau đó đặt thừa số chung để đa vế trái về dạng tích.
Cách 2:
- Bớc 1: Đoán nghiệm x
0
của phơng trình dựa vào các kết quả sau:
+ Nếu a+b+c+d+e=0 thì (1) có nghiệm x = 1.
Trờng THPT Thống Nhất GV: Lê Thị Thanh
Hoa
2
SKKN: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10"
+ Nếu a-b+c-d+e=0 thì (1) có nghiệm x = -1.
+ Nếu a, b, c, d, e nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ
p
q
thì p, q theo thứ tự là ớc của
e và a.
- Bớc 2:
+ Bằng cách chia đa thức hoặc dùng lợc đồ Hoócne, phân tích (1) thành:
(x- x
0
)(ax
3
+b
1
x
2
+c
1

x+d
1
) = 0
0
3 2
1 1 1
0 (1.1)
x x
ax b x c x d
=



+ + + =

+ Giải phơng trình (1.1) bằng cách:
- Đoán nghiệm x
1
của phơng trình (1.1) dựa vào các kết quả sau:
+ Nếu a+b
1
+c
1
+d
1
=0 thì (1.1) có nghiệm x = 1.
+ Nếu a-b
1
+c
1

-d
1
=0 thì (1.1) có nghiệm x = -1.
+ Nếu a, b
1
, c
1
,d
1
nguyên và (1.1) có nghiệm hữu tỉ
p
q
thì p, q theo thứ tự là ớc
của d
1
và a.
+ Nếu
3 3
1 1 1 1
( , 0)ac b d a b=
thì (1.1) có nghiệm x =
1
1

c
b
.
- Phân tích (1.1) thành: (x- x
1
)(ax

2
+b
2
x +c
2
) = 0 bằng cách chia đa thức hoặc
dùng lợc đồ Hoócne.
* L ợc đồ Hoócne :
Nếu f(x) có nghiệm x=x
0
thì f(x) chứa nhân tử (x-x
0
), tức là : f(x) =(x-x
0
).g(x).
Trong đó : f(x) = a
n
x
n
+ a
n -1
x
n -1
+ ... + a
1
x + a
0

g(x)= b
n-1

x
n-1
+ b
n - 2
x
n - 2
+ ... + b
1
x + b
0
với :
n 1
n 2 0 n 1 n 1
i 1 0
0 0 1 1
b a
b x b a
...
b x b a
...
b x b a
n
i i
=


= +

= +



= +


Ta có bảng sau ( Lợc đồ Hoócne).
x
i
a
n
a
n - 1
... a
i
... a
0
Trờng THPT Thống Nhất GV: Lê Thị Thanh
Hoa
3
SKKN: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10"
x
0
b
n-1
... x
0
b

i
... x
0
b
0
x = x
0
b
n-1
=a
n
b
n-2
... b
i-1
... 0
b) Ví dụ:
Ví dụ 1 : (Đề đại học Ngoại thơng - 2000)
Giải phơng trình: (x
2
+3x-4)
2
+3(x
2
+3x-4)=x+4 (1.2)
Giải: Phơng trình (1.2)

(x-1)
2
(x+4)

2
+3(x-1)(x+4)-(x+4)=0


(x+4)[(x-1)
2
(x+4)+3(x-1)-1]=0


(x+4)x(x
2
+2x-4)=0
0
4
1 5
x
x
x

=

=


=

Vậy phơng trình có 4 nghiệm : x=0, x= -4,
1 5x =
.
Ví dụ 2: Giải phơng trình: x

4
-4x
3
-x
2
+16x-12 =0 (1.3)
Giải: Ta có a+b+c+d+e=0 nên phơng trình có 1 nghiệm x= 1.
Đa phơng trình về dạng: (x-1)(x
3
-3x
2
-4x+12)=0.
Phơng trình x
3
-3x
2
-4x+12=0 có một nghiệm x = 2 nên
(1.3)

(x-1)(x-2)(x
2
-x-6)=0
2
1
1 0
2
2 0
2
x x 6 0
3

x
x
x
x
x
x
=


=

=


=


=

=


=

Vậy phơng trình có 4 nghiệm phân biệt x =1, x= 2, x= -2, x= 3.
* Nhận xét: Phơng pháp đa phơng trình về dạng tích là phơng pháp thờng đợc
nghĩ đến đầu tiên khi giải phơng trình. Nhng nếu việc đa về dạng tích gặp khó
khăn, chúng ta nên nghĩ đến việc sử dụng các phơng pháp khác.
2. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ.
2.1. Dạng 1 (PT trùng phơng): ax

4
+ bx
2
+c =0 (a

0) (2)
a) Ph ơng pháp:
- Đặt t = x
2
(t

0), đa (2) về phơng trình bậc hai: at
2
+bt+c=0 (2')
- Giải (2'), nếu (2') có nghiệm
0
0t
thì (2) có nghiệm
0
x t=
* Chú ý:
Trờng THPT Thống Nhất GV: Lê Thị Thanh
Hoa
4
SKKN: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10"
- (2) vô nghiệm

(2') vô nghiệm hoặc (2') có nghiệm t
1

t
2
<0
- (2) có nghiệm duy nhất

(2') có nghiệm t
1


0 =t
2
- (2) có 2 nghiệm phân biệt

(2') có nghiệm t
1
< 0 <t
2
hoặc t
1
=t
2
>0
- (2) có 3 nghiệm phân biệt

(2') có nghiệm 0=t
1
<t
2
- (2) có 4 nghiệm phân biệt

(2') có nghiệm 0< t
1
<t
2
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
mx
4
-2(m-1)x
2
+m-1=0 (2.1)
Giải: Đặt t = x
2
(t

0). Phơng trình trở thành:
mt
2
-2(m-1)t+m-1 =0 (2.2)
Phơng trình (2.1) có 3 nghiệm phân biệt


(2.2) có 2 nghiệm phân biệt t
1
, t
2
thoả mãn: 0=t
1
<t

2


0
0
1 0
0
' 0
1
1
0
0
1
0 2( 1)
0
m
m
m
m
m
m
P
m
m
S m
m

>




>


<

=
=

=


>

>


(không có m thoả mãn)
Vậy không tồn tại m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng:
x
4
-2(m+1)x
2
+2m+1 =0 (2.3)

Giải: Đặt t = x
2
(t

0) . Phơng trình trở thành:
t
2
-2(m+1)t+2m+1 =0 (2.4)
(2.3) có 4 nghiệm phân biệt

(2.4) có 2 nghiệm t
1
, t
2
thoả mãn : 0< t
1
<t
2
2
' ( 1) 2 1 0
1
2( 1) 0 0
2
2 1 0
m m
b
m m
a
c
m

a


= + >


= + > <



= + >


Khi đó 4 nghiệm của (2.3) là : -
2
t
; -
1
t
;
1
t
;
2
t
Trờng THPT Thống Nhất GV: Lê Thị Thanh
Hoa
5
SKKN: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10"
Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng

2 1 1
2 1 2 1
1 2 1
2
3 9
2
t t t
t t t t
t t t

+ =

= =

+ =


(*)
Theo định lý Viét ta có:
1 2
1 2
2( 1)
2 1
t t m
t t m
+ = +


= +

(**)
Thay (*) vào (**) ta đợc:
1
1 1
2
2
1 1
1
4
5 1
9 2( 1)
9 32 16 0
4
.9 2 1
9 2 1
9
m
t m
t t m
m m
t t m
m
t m
=

= +
+ = +

=


= +
=
= +



Vậy với m = 4 hoặc m = -
4
9
thì phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập
thành cấp số cộng.
2.2. Dạng 2: Phơng trình có dạng : ( a
1
x +a
2
)(b
1
x+b
2
)(c
1
x+c
2
)(d
1
x+d

2
) = m,
với
1 1 1 1
1 2 2 1 1 2 2 1
a b c d
a b a b c d c d
=


+ = +

(3)
a) Ph ơng pháp:
- Viết lại phơng trình dới dạng:
[a
1
b
1
x
2
+(
1 2 2 1
a b a b+
)x+a
2
b
2
].[
1 1

c d
x
2
+(
1 2 2 1
c d c d+
)x+c
2
d
2
]=m
- Đặt t = a
1
b
1
x
2
+(
1 2 2 1
a b a b+
)x+a
2
b
2
, suy ra
1 1
c d
x
2
+(

1 2 2 1
c d c d+
)x+c
2
d
2
=t-a
2
b
2
+c
2
d
2
.
Ta đa (3) về phơng trình bậc hai ẩn t: t(t-a
2
b
2
+c
2
d
2
)=m
* Đặc biệt: Khi a
1
=b
1
=c
1

=d
1
=1, phơng trình có dạng :
(x +a
2
)(x+b
2
)(x+c
2
)(x+d
2
) = m với
2 2 2 2
b a d c+ = +
ta cũng có cách giải tơng tự.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x-1)(x+1)(x+3)(x+5)= 9 (3.1)
Giải: Phơng trình (3.1)

(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)= 9


( x
2
+ 4x-5)(x
2
+4x+3) = 9
Đặt t = x
2
+ 4x-5, phơng trình (3.1) trở thành: t(t+8) = 9

Trờng THPT Thống Nhất GV: Lê Thị Thanh
Hoa
6
SKKN: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10"


t
2
+ 8t 9 = 0

1
9
t
t
=


=

. Với t=1 thì x
2
+ 4x 5 = 1

x
2
+ 4x - 6 = 0

x=
102

. Với t= 9 thì x
2
+ 4x 5 = -9

x
2
+ 4x + 4 = 0

x

= - 2
Vậy phơng trình có 3 nghiệm : x =
102
+
; x =
102

; x

= -2
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (2x-1)(x-1)(x-3)(2x+3)=-9 (3.2)
Giải: Phơng trình (3.2)

(2x
2
-3x+1)(2x
2
-3x-9)=-9
Đặt t = 2x
2

-3x+1, suy ra 2x
2
-3x-9=t-10, phơng trình (3.2) trở thành:
t(t-10)=-9

t
2
-10t+9=0
1
9
t
t
=



=

. Với t=1 thì 2x
2
-3x+1=1
0
3
2
x
x
=

=

. Với t = 9 thì 2x
2
-3x+1=9

2x
2
-3x-8=0
3 73
4
x

=
Vậy phơng trình có 4 nghiệm phân biệt: x=0,
3
2
x =
,
3 73
4
x

=
2.3. Dạng 3 : Phơng trình có dạng:
ax
4
+ bx
3

+cx
2
+dx+e =0 (a

0), với
2
; 0
e d
e
a b

=
ữ

(4)
a) Ph ơng pháp:
- Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (4), chia hai vế cho x
2


0, ta đợc:
2
2
1 1
( . ) ( . ) 0
e d
a x b x c
a x b x
+ + + + =

- Đặt t=
d
x
bx
+
, suy ra
2 2
2
1
. 2.
e d
x t
a x b
+ =
, phơng trình (4) trở thành:
at
2
+bt +c - 2a
d
b
=0. Đây là phơng trình bậc hai quen thuộc.
* Đặc biệt: Khi a=e, phơng trình có dạng: ax
4
+ bx
3
+cx
2

bx+a =0 (a

0)
ta cũng có cách giải tơng tự.
Trờng THPT Thống Nhất GV: Lê Thị Thanh
Hoa
7
SKKN: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10"
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2x
4
- 21x
3
+74x
2
-105x + 50 = 0 (4.1)
Giải: Nhận thấy x =0 không phải là nghiệm của (4.1), chia hai vế của (4.1) cho
x
2


0, ta đợc phơng trình:
2
2
25 5
2( ) 21( ) 74 0x x
x x
+ + + =
Đặt t =
5
x
x

+
(
2 5t
), suy ra
2 2
2
25
10x t
x
+ =
. Phơng trình (4.1) trở thành:
2
6
2 21 54 0
9
2
t
t t
t
=


+ =

=

(thỏa mãn đk)
. Với t = 6 thì
5
x

x
+
=6
2
1
6 5 0
5
x
x x
x
=

+ =

=

. Với t =
9
2
thì
5
x
x
+
=
9
2

2
2

2 9 10 0
5
2
x
x x
x
=


+ =

=

Vậy phơng trình có 4 nghiệm phân biệt là: x=1, x=2, x=5, x=
5
2
.
Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x-2)
4
+(x-2)(5x
2
-14x+13)+1=0 (4.2)
Giải: Đặt y=x-2. Phơng trình trở thành: y
4
+5y
3
+6y
2
+5y+1=0 (4.3)
Nhận thấy y=0 không là nghiệm của phơng trình (4.3), chia 2 vế của (4.3) cho y

2

0 ta đợc phơng trình :

2
2
1 1
( ) 5( ) 6 0y y
y y
+ + + + =

Đặt t =
1
y
y
+
(
2t
). Phơng trình trở thành:
t
2
+ 5t +4 = 0
1
4
t
t
=

=

Với
4t =
thì
1
4y
y
+ =
2
4 1 0 + + =y y



2 3 3y x= =
Vậy phơng trình có 2 nghiệm : x=
3
Trờng THPT Thống Nhất GV: Lê Thị Thanh
Hoa
8
(loại)
(t/m)