Bo tro luong giac Co ban
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (513.75 KB, 48 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
Nhớ:
<i><b>ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC</b></i>
M
cos
cotg
sin tg
P
Q
O
K
H
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
Cô nằm , sin đứng
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
Nhắc lại kiến thức đã học
sin đi học
cứ khóc hoài
thôi đừng khóc
có khó đâu
Chỉ áp dụng cho tam giác vuông
B A
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
cứ khóc hoài
sin đi học
thôi đừng khóc
có khó đâu
sin
cos
cotg
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
<i>OP</i>
Giá trị đại số của OP
Khi điểm M di chuyển trên đường (O) với bán kính
bằng 1 đơn vị, hình chiếu vuông góc của M lên trục
cos là P có thể nằm về phần âm hay dương của trục
tính từ tâm O.
Vì v y, GIA TRI ĐAI SÔ có thể
â
<b>âm</b>
hay
<b>dương</b>
Lưu ý:
<i>OP</i>
<sub>1</sub>
0
<i><sub>OP</sub></i>
<sub>2</sub><sub></sub>
0
1
<i>P</i>
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>
<i>tg</i>
cos
<i>OQ</i>
<i>OM</i>
1
<i>AH</i>
<i>AH</i>
<i>OA</i>
<i>OQ</i>
sin
<i>AH</i>
1
<i>OQ</i>
<i>OP</i>
<i>PM</i>
<i>OM</i>
1
<i>OP</i>
1
<i>BK</i>
<i>OP</i>
<i>OM</i>
<i>BK</i>
<i>OB</i>
cot
<i>g</i>
<i><sub>BK</sub></i>
Vận dụng vào tam giác OPM vuông tại P:
Xét tam giác OBK vuông tại B :
Xét tam giác OAH vuông tại A :
</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
<i>tg</i>
<sub></sub>
<i>PM</i>
<i>OP</i>
<i>OQ</i>
<i>OP</i>
sin
cos
cot
<i>g</i>
<i>OP</i>
<i>PM</i>
<i>OP</i>
<i>OQ</i>
cos
sin
<i>tg</i>
cot
<i>g</i>
O P
M
α
Q
α
Đối với trục tg ta nhớ gốc đặt tại A , chiều dương hướng theo
chiều mũi tên
Đối với trục cotg ta nhớ gốc đặt tại B , chiều dương hướng theo
chiều mũi tên
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
M
cos
cotg
sin tg
P
Q
O
K
H
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
<i>OP</i>
<i>OQ</i>
0
<i><b>M thu c ptư I:</b></i>
<i><b>ô</b></i>
0
0
0
sin
0
0
<i>tg</i>
0
<i>cotg</i>
<i>AH</i>
<i>BK</i>
cos
0
0
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
0
<i><b>M thu c ptư II:</b></i>
<i><b>ô</b></i>
0
0
0
sin
0
1
<i>P</i>
1
<i>Q</i>
cos
0
1
<i>OP</i>
1
<i>OQ</i>
2
1
<i>AH</i>
1
<i>BK</i>
0
<i>tg</i>
0
<i>cotg</i>
<i>H</i>11
<i>K</i>
M di chuyển trên cung
<i>BA</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
0
<i><b>M thu c ptư III:</b></i>
<i><b>ô</b></i>
0
0
0
0
<i>tg</i>
0
<i>cotg</i>
cos
0
2
<i>H</i>
2
<i>K</i>
2
<i>P</i>
2
<i>Q</i>
sin
0
2
<i>AH</i>
2
<i>BK</i>
2
<i>OP</i>
2
<i>OQ</i>
3
2
M di chuyển trên cung
<i>A B</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
α
M di chuyển trên cung
0
<i><b>M thu c ptư IV:</b></i>
<i><b>ô</b></i>
0
0
0
cos
0
0
<i>tg</i>
0
<i>cotg</i>
sin
0
3
<i>H</i>
3
<i>K</i>
3
<i>Q</i>
3
<i>P</i>
3
<i>OP</i>
3
<i>OQ</i>
3
<i>AH</i>
3
<i>BK</i>
3
2
2
<i>B A</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>
1
PM
2
cos
2
<sub>α</sub>
sin
2
<sub>α </sub>
+
(sinα)
2
<sub> (cosα)</sub>
2
Xét tam giác OPM vuông tại P :
Một số công thức cơ bản :
Áp dụng định lý Pitago , ta có :
OP
2
<sub>OM</sub>
2
+
+
1
O P
M
α
OQ
2
<sub>+</sub>
<sub>OP</sub>
2
1
</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>
Chia 2 vế của pt (*) cho cos
2<sub>α ≠ 0</sub>
2
2
sin
cos
2
2
cos
cos
21
cos
2
2
1
1
cos
<i>tg</i>
Chia 2 vế của pt (*) cho sin
2<sub>α ≠ 0</sub>
2
2
sin
sin
2
2
cos
sin
21
sin
2
2
1
1
sin
<i>cotg</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>
.
<i>tg cotg</i>
<sub></sub>
sin
cos
cos
sin
1
Vi d : Ch ng minh u ư
r ng :ă <sub>3</sub> <sub>2</sub>
3
sin
cos
1
cos
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>tg x tg x tgx</i>
<i>x</i>
Gi i:
a
<i>VT</i>
<sub></sub>
sin
cos
cos
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2
1
cos
<i>x</i>
(1
<i>tgx</i>
)
2
(1
<i>tg x</i>
)
3 2
<sub>1</sub>
<i>tg x tg x tgx</i>
<i>VP</i>
sin
cos
cos
cos
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(1
<i>tg x</i>
2)
</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau độc lập với x
Gỉai:
<i>E</i>
3cos
4<i>x</i>
2 cos
2<i>x</i>
cos
4<i>x</i>
3sin
4<i>x</i>
2sin
6<i>x</i>
4 4
3(cos
<i>x</i>
sin
<i>x</i>
)
<sub></sub>
2(cos
6<i>x</i>
sin )
6<i>x</i>
2 2 2 2 2 3 2 3
3[(cos )
<i>x</i>
(sin ) ] 2[(cos )
<i>x</i>
<i>x</i>
(sin ) ]
<i>x</i>
2 2 2 2 2
3[(cos
<i>x</i>
sin )
<i>x</i>
2sin
<i>x</i>
cos ]
<i>x</i>
2 2 4 4 2 2
2[(cos
<i>x</i>
sin )(cos
<i>x</i>
<i>x</i>
sin
<i>x</i>
sin
<i>x</i>
cos )]
<i>x</i>
2 2 2
3(1
2sin
<i>x</i>
cos )
<i>x</i>
2 2 2 2 2 2 2
2.1.[(cos
<i>x</i>
sin )
<i>x</i>
2sin
<i>x</i>
cos
<i>x</i>
sin
<i>x</i>
cos ]
<i>x</i>
2 2 2 2 2
3 6sin
<i>x</i>
cos
<i>x</i>
2(1
3sin
<i>x</i>
cos )
<i>x</i>
2 2 2 2
3 6sin
<i>x</i>
cos
<i>x</i>
2 6sin
<i>x</i>
cos
<i>x</i>
1
4 2 4 2
cos (3 2cos ) sin (3 2sin )
<i>E</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>
Ví dụ : Tính cosx,tgx,cotgx. Biết :
Trả lời:
3
(
2 )
2
<i>x</i>
2 2
sin
<i>x</i>
cos
<i>x</i>
1
cos2 <i>x</i> 1 sin2 <i>x</i>2
1
1
7
<sub></sub>
<sub></sub>
48
49
cos <i>x</i> 0
cos
48
48
4 3
49
7
7
<i>x</i>
sin
cos
<i>x</i>
<i>tgx</i>
<i>x</i>
1
7
4 3
7
1
7
7 4 3
<sub></sub>
<sub></sub>
1
4 3
1
<i>cotgx</i>
<i>tgx</i>
11
4 3
4 3
1
1
<sub></sub> <sub></sub>
4 3
Ta có:
2
cos
<i>x</i>
1 149
Vì:
3 2</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>
<b> </b>
<b> </b><b> </b>
<b> </b>
<b> </b>
<b> </b>
<b> </b>
<b> </b>
<b> </b>
<b> </b>
0
0
0
6
3
4
2
0
30
45
060
090
0
sin
cos
<i>tg</i>
<i>cotg</i>
0
<sub>1</sub>
<sub>2</sub>
3
4
4
3
<sub>2</sub>
1
0
0
3
3
1
3
3
1
<sub>3</sub>
3
0
HSLG
Sin 3 cos 6 nửa phần
</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
sin
0
cos
1
0
<i>tg</i>
<i>cotg</i>
Các điểm đ c bi t khi M di chuyển trên đường
ă
ê
tròn lượng giác
<i>M</i>
<i>A</i>
thì:
0<i>o</i>
0(<i>rad</i>)
0 <i>k</i>.2 <i>k</i>.2
(<i>k</i> )
Khi từ A, điểm M quay thêm
nhiều vòng theo chiều dương
hoặc âm để trở về A, góc α
có giá trị là:
Hay :
hay
0<i>o</i> <i>k</i>.360<i>o</i> <i>k</i>.360<i>o</i>
<i><sub>AOM</sub></i>
<sub>0</sub>
<i>o</i>
O 1
</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
cos 1
<i>cotg</i>
<i>M</i> <i>A</i>
<i>tg</i>sin00Khi từ A’, điểm M quay thêm
nhiều vòng theo chiều dương
hoặc âm để trở về A’, góc α
có giá trị là:
thì: <i>AOA</i> 180<i>o</i>
0
180
(
<i>rad</i>
)
Hay :
hay
0 0
180 <i>k</i>.360
2
<i>k</i>
(
<i>k</i>
)
O
</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
sin 1
cos 0
<i>tg</i>
0
<i>cotg</i>
<i>M</i> <i>B</i>
thì:
Hay :
hay
Khi từ B, điểm M quay thêm
nhiều vòng theo chiều dương
hoặc âm để trở về B, góc α
có giá trị là:
<i><sub>AOB</sub></i> <sub>90</sub><i>o</i>
2
90
02
2 <i>k</i>
0 0
90 <i>k</i>.360
(<i>k</i> )
M
1
</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
thì:
Hay :
hay
Khi từ B’, điểm M quay thêm
nhiều vòng theo chiều dương
hoặc âm để trở về B’, góc α
có giá trị là:
(<i>k</i> )
M
O
B
sin
1
<i>tg</i>
<i>M</i> <i>B</i>
cos
0
0
<i>cotg</i>
<i><sub>AOB</sub></i>
<sub>90</sub>
<i>o</i>
0
90
(
)
2
<i>rad</i>
0 0
90 <i>k</i>.360
2
2 <i>k</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
sin 1
sin 0
sin 1
cos 1
cos 0
cos 1
0
<i>tg</i>
<i>tg</i>
<i>tg</i>
0
<i>cotg</i>
<i>cotg</i>
<i>cotg</i>
<i>M</i> <i>A</i>
<i>M</i> <i>B</i>
<i>M</i> <sub></sub><i>A</i>
<i>M</i> <i>B</i>
sin 00
<i>tg</i>
cos 00
<i>cotg</i>
( <i>k</i>2 )
( <i>k</i>2 )
( 2 )
2 <i>k</i>
( 2 )
2 <i>k</i>
<i>k</i>
2
<i>k</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>
<b>Các cung liên kết</b>
sin(α + k2π) = sinα
cos(α + k2π) = cosα
tg(α + k2π) = tgα
cotg(α + k2π) = cotgα
<i>1.Cung sai kém k2π:</i>
<i><b>Nhớ </b></i>
<i>:</i>
<sub> </sub>
<b>nghĩa là : </b>
<sub>sin</sub>
<sub> bằng </sub>
<sub>sin</sub>
cos
bằng
cos
tg
bằng
tg
cotg
bằng
cotg
Sai thì bằng
(α+ k2π)
α
</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>
+
M
M’
P
P’
Q
Q’
O cos
cotg
-1
-1
1
B
A
A’
B’
1
α
T
Lấy M’ là điểm đối xứng của M qua đường
phân giác thứ nhất OT của hệ trục xOy :
x
y
' '( )
<i>OPM</i> <i>OQ M g c g</i>
s
'
2
<i>đ AM</i>
α
Lập tỉ số rồi suy ra tg và cotg
Nên :
'
<i>OP OQ</i>
<i>PM</i> <i>Q M</i>
<i>OQ OP</i>
cos sin
2
<sub></sub> <sub></sub>
<i>OP OQ</i> '
sin cos2
<sub></sub>
<sub></sub>
s
<i>đ AM</i>
,
s<i>đ AM</i> s<i>đ M B</i>
tg
sin
</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>
Ta có công thức sau về cung phụ với :
2
sin = cosα
cos = sinα
tg = cotgα
cotg = tgα
2
2
2
2
<i><b>Nhớ :</b></i>
nghĩa là :
sin
bằng
cos
cos
bằng
sin
tg
bằng co
tg
cotg
bằng
tg
Phụ thì chéo
2
</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>
+
O cos
cotg
-1
-1
1
B
A
A’
B’
1
x
y tg
sin
M
M’
Q
Q’
P
-α
α
3.Cung đối:
(-α)
<i><sub>AM</sub></i> <sub></sub><i><sub>AM</sub></i> <sub></sub>
s<i>đ AM</i> s<i>đ AM</i>
Lấy M’ là điểm đối xứng
của M qua trục cos:
<i>OPM</i> <i>OPM</i>
<i>OP OP</i>
<i>OP OP</i>
cos cos( )
sin sin( )
cos( ) cos
sin( ) sin
(
)
<i>tg</i>
<i>tg</i>
( )
<i>cotg</i>
<i>cotg</i>
<i>PM</i> <i>PM</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>
sin(-α ) =
-
sinα
cos(-α ) = cosα
tg(-α ) =
-
tgα
cotg(-α ) =
-
cotgα
Từ đó suy ra các công thức về cung đối:
(-α)
Nhớ :
nghĩa là :
sin
bằng
-
sin
cos
bằng
cos
tg
bằng
-
tg
cotg
bằng
-
cotg
Đối “-” bỏ cos
</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>
+
O cos
cotg
-1
-1
1
B
A
A’
B’
1
x
y tg
sin
M
M’
P
P’
Q
α
α
4.Cung bù:
(π-α)
Lấy M’ là điểm đối xứng của M quatrục sin:
<i><sub>AM</sub></i>
<sub></sub>
<i><sub>A M</sub></i>
<sub> </sub>
s<i>đ AM</i> s<i>đ M A</i>
s<i>đ AM</i>
s
<i>đ AM</i>
=
s
<i>đ M A</i>
sin
sin
cos cos
cos
cos
sin
sin
<i>tg</i> <i>tg</i>
<i>cotg</i> <i>cotg</i>
<i>OP</i>
<sub></sub>
<i>OP</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>
sin(π-α ) = sinα
cos(π-α ) =
-
cosα
tg(π-α ) =
-
tgα
cotg(π-α ) =
-
cotgα
Ta có công thức sau về cung bù:
(π-α)
Nhớ :
nghĩa là :
sin
bằng
sin
cos
bằng
-
cos
tg
bằng
-
tg
cotg
bằng
-
cotg
Bù “-” bỏ sin
</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>
5.Cung hơn kém nửa pi:
sin = cosα
cos = - sinα
tg = - cotgα
cotg = - tgα
<i><b>Nhớ </b></i>
:
<b>Nghĩa là </b>
:
sin
bằng
cos
cos
bằng
-
sin
tg
bằng
-
co
tg
cotg
bằng
-
tg
Nửa pi sin cos chéo “-”
2
2
2
2
2
2
Chứng minh :
sin sin ( ) cos( ) cos
2 2
<sub></sub> <sub></sub>
cos cos ( ) sin( ) sin
2 2
<sub></sub> <sub></sub>
( ) ( )
2 2
<i>tg</i> <sub></sub> <sub></sub> <i>tg</i> <sub></sub> <sub></sub> <i>cotg</i> <i>cotg</i>
( ) ( )
2 2
<i>cotg</i> <sub></sub> <sub></sub> <i>cotg</i> <sub></sub> <sub></sub> <i>tg</i> <i>tg</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>
sin(π+α ) =
-
sinα
cos(π+α ) =
-
cosα
tg(π+α ) = tgα
cotg(π+α ) =
cotgα
6.Cung hơn kém nguyên pi:
(π+α)
Nhớ :
nghĩa là :
sin
bằng
-
sin
cos
bằng
-
cos
tg
bằng
tg
cotg
bằng
cotg
Nguyên pi hai đối,
kỳ dư thì bằng
(π+α )
<sub>α</sub>
Chứng minh :
sin( ) sin ( ) sin( ) sin
cos( ) cos ( ) cos( ) cos
( ) ( ) ( )
<i>tg</i> <i>tg</i> <i>tg</i> <i>tg</i>
( ) ( ) ( )
</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>
Sai thì bằng, phụ thì chéo
Đối “-” bỏ cos, bù “-” bỏ sin.
Nửa pi sin cos chéo “-”
Nguyên pi hai đối, kỳ dư thì bằng.
<i><b>Nhớ : </b></i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>
Đồ thị của các hàm số lượng giác:
1. Hàm số y = sinx
<b> X</b> <b>0</b> <b> π/2</b> <b> Π</b>
y=sinx
0
1
0
Hàm y = sinx là một
hàm lẻ và tuần hoàn
với chu kỳ T=2π
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-3
-2
-1
1
2
3
<b>x</b>
<b>y</b>
y=sinx
0
y=1
</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>
-3π -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π
-3
-2
-1
1
2
3
<b>x</b>
<b>y</b>
y=cosx
y=1
0
y=-1
<b> X</b> <b>0</b> <b> π/2</b> <b> Π</b>
y=cosx
1
0
-1
2. Hàm số y = cosx
Hàm y = cosx là một
hàm chẵn và tuần
hoàn với chu kỳ T=2π
Bảng biến thiên:
</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>
<b> X</b> <b>0</b> <b> π/2</b>
y = tgx
0
||
3. Hàm số y = tgx
Hàm y = tgx là một
hàm lẻ và tuần hoàn
với chu kỳ T = π
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
-3
-2
-1
1
2
3
<b>x</b>
<b>y</b>
y=tgx
y=tgx
</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>
<b> X</b> <b>0</b> <b> π/2</b> <b> Π</b>
y=cotgx
||
0
||
4. Hàm số y = cotgx
Hàm y = cotgx là một
hàm lẻ và tuần hoàn
với chu kỳ T = π
Bảng biến thiên:
Đồ thị :
-3π/2 -π -π/2 π/2 π 3π/2
-3
-2
-1
1
2
3
<b>x</b>
<b>y</b>
y=cotgx
y=cotgx
y=cotgx
</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>
<b>Tính chất của các hàm số lượng giác</b>
Hàm số y = f(x) có miền xác định D được gọi là tuần hoàn
nếu tồn tại ít nhất một số L≠0 sao cho, với mọi x Є D ta có :
x ± L Є D
f(x ± L) = f(x)
Giá trị dương nhỏ nhất của L, nếu có, được ký hiệu là T và
được gọi là chu kỳ của hàm sớ.
<b>1. Tính tuần hoàn:</b>
<b>a. Định nghĩa :</b>
<b>Định lý :</b>
• Các hàm sớ y = sinx và y = cosx là hàm tuần hoàn và
có chu kỳ 2π
</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>
<i>Chứng minh :</i>
Xét hàm số :
<i>y</i>
sin
<i>x</i>
0
0; 2
2
<i>T</i>
Vận dụng cung sai kém k2π :
Xét ngoài giá trị 2π còn giá trị nào nhỏ hơn thỏa mãn
sin(x±L) = sinx hay không?
Ta có :
Nhưng : ( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên
ta chỉ xét 0<x<2π )
Áp dụng tương tự cho hàm y = cosx
sin(
<i>x</i>
2 ) sin
<i>x</i>
sin(
<i>x k</i>
2 ) sin
<i>x</i>
sin(
<i>x</i>
0) sin
<i>x</i>
(
<i>x</i>
2 )
<i>R</i>
<i>x R</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>
Xét hàm số :
<i>y tgx</i>
(
)
<i>tg x</i>
<i>tgx</i>
Vận dụng cung nguyên π cho tg(x+π) :
<i>tg x</i>
(
<sub></sub>
<sub></sub>
)
<sub></sub>
<i>tgx</i>
Vận dụng cung đối và cung bù cho tg(x-π) :
(
)
[ (
)]
(
)
(
)
<i>tg x</i>
<i>tg</i>
<i>x</i>
<i>tg</i>
<i>x</i>
<i>tgx</i>
<i>tgx</i>
Ta có :
<i><sub>tg x</sub></i>
<sub>(</sub>
<sub>0)</sub>
<i><sub>tgx</sub></i>
0
0;
Nhưng : ( Vì định nghĩa , số L ≠ 0, nên
ta chỉ xét 0<x<π )
Áp dụng tương tự cho hàm y = cotgx
<i>T</i>
<i>x D</i>
(
<i>x</i>
)
<i>D</i>
\
2
<i>D R</i>
<sub></sub>
<i>x x</i>
<sub></sub>
<i>k</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>
<b>2. Tính chẵn lẻ của một hàm số lượng giác:</b>
<b>Định lý:</b>
y = cosx là hàm số chẵn
y = sinx , y = tgx, y = cotgx là các hàm số lẻ
<i>Chứng minh :</i>
a. Hàm số y = cosx có D=R nên :
<i>x D</i>
<sub> </sub>
(
<i>x</i>
)
<sub></sub>
<i>D</i>
cos(
<i>x</i>
) cos
<i>x</i>
<i>f</i>
(
<i>x</i>
)
<i>f x</i>
( )
hàm chẵn
b. Hàm số y = sinx, y= tgx,
y = cotgx có miền xác định D :
<i>x D</i>
(
<i>x</i>
)
<i>D</i>
sin(
<i>x</i>
)
sin
<i>x</i>
<i>tg x</i>
(
)
<i>tgx</i>
(
)
<i>cotg x</i>
<i>cotgx</i>
(
)
( )
</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>
• Hàm sớ y = sinx tăng trên
[0;π/2] và giảm trên
[π/2;π]
• Hàm sớ y = cosx giảm
trên [0;π]
• Hàm sớ y = tgx tăng trong
[0; π/2)
• Hàm sớ y = cotgx giảm
trong (0; π/2]
<b>3.Tính đơn điệu của các hàm số lượng giác :</b>
<b>a. Định lý :</b>
cos
cotg
sin tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
M’
P
P’
Q
Q’
<i>OP</i>
<i>OQ</i>
<i>M</i> <i>AB</i>
<i>OP</i>
<i>OQ</i>
Hàm cosx giảm
Hàm sinx tăng
Hàm cosx giảm
Hàm sinx giảm
(M tăng dần từ 0 đến π/2)
(M’ tăng dần từ π/2 đến π)
</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>
sin
.
cos
<i>x</i>
<i>tgx</i>
<i>x</i>
1
cot
<i>gx</i>
<i>tgx</i>
<i>OP</i>
<i>OQ</i>
<i>M</i> <i>AB</i>
<i>M</i> <i>BA</i> <i>OP</i>
<i>OQ</i>
Hàm cosx giảm
Hàm sinx tăng
Hàm cosx giảm
Hàm sinx giảm
(M tăng dần từ 0 đến π/2)
(M tăng dần từ π/2 đến π )
0
2
<i>x</i>
0
2
<i>x</i>
Hàm tgx tăng, vì:
</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>
<b>b. Miền giá trị của các hàm số lượng giác:</b>
Với mọi x Є D , ảnh của x là y = f(x) có các giá trị thuộc về
một tập hợp T , thì T được gọi là miền giá trị của hàm số f.
cos
cotg
tg
O
+
-1
-1
1
1
B
A
A’
B’
M
P
Q
sin
Khi M di chuyển trên đường
tròn (0) với R=1 đvị, thì hình
chiếu của nó lên các trục sin
và cos là P và Q luôn nằm
trong giá trị từ -1 đến +1. Do
đó :
<sub> </sub>
<sub>1 sin</sub>
<i><sub>x</sub></i>
<sub></sub>
<sub>1</sub>
1 cos
<i>x</i>
1
Đối với các điểm H và K lần lượt
xác định trên trục tg và cotg khi kéo
dài OM (trừ M≡B đối với tg và M≡A
đối với cotg) nên : T = (-∞;+∞)
H
K
</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>
<i><b>Các ví dụ :</b></i>
i. Tính các hàm số lượng giác của các góc (cung ) sau:
1
.
<i>i</i>
2
.
<i>i</i>
0 0 0
135 ; 495 ;1305
13
17 ;
6
Trả lời :
1
.
<i>i</i>
0 0 0 0 0
sin1305 sin(225 1080 ) sin(225 3.360 )
0 0 0 0 2
sin 225 sin(180 45 ) sin 45
2
Tính :135
0và 1305
00
sin135
0
cos135
0
135
<i>tg</i>
0
135
<i>cotg</i>
0 0
sin(90 45 ) cos 450 <sub>2</sub>2
0 0
cos(90 45 ) sin 450 2
2
0 0
(90 45 )
<i>tg</i> cot 45<i>g</i> 0
1
0
1
135
<i>tg</i>
1
1
1
</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>
Tương tự : Áp dụng cung sai kém k3600 (hay sai kém k2π) vào
góc 13050 đối với các hàm cos , tg và cotg.
2
.
<i>i</i>
Tính : 17π và -13π/6
sin17 sin 16
sin 2.8
sin
0
cos17 cos 16
<sub></sub>
<sub></sub>
cos 2.8
<sub></sub>
<sub></sub>
cos<sub></sub>
1
17 16 2.8
<i>tg</i> <i>tg</i> <i>tg</i> <i>tg</i> <i>tg</i>(
0) <i>tg</i>0 01
17
17
<i>cotg</i>
<i>tg</i>
1
0
13
sin
6
13
sin
6
<sub></sub>
<sub></sub>
(12 1)
sin
6
<sub></sub> <sub></sub>
sin 2
6
<sub></sub> <sub></sub>
1
sin
6 2
</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>
ii. Tính giá trị biểu thức :
2 2
2 2
sin 2sin cos 2cos
2sin 3sin cos 4cos
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>M</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Với cotgx = -3
Vì cotgx = -3 nên sinx ≠ 0 , do đó chia tử và mẫu cho sin2x
Trả lời :
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
sin 2sin cos 2 cos
sin sin sin
2sin 3sin cos 4 cos
sin sin sin
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>M</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
2
2
2
2
cos cos
1 2. 2.
sin sin
cos cos
2 3. 4.
sin sin
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
2
2
1 2 2
2 3 4
<i>cotgx</i> <i>cotg x</i>
<i>M</i>
<i>cotgx</i> <i>cotg x</i>
2
2
1 2( 3) 2( 3)
2 3( 3) 4( 3)
</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>
iii. Đơn giản biểu thức :
Trả lời :
sin
sin
cos
cos
sin
cos
<i>N</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
sin
cos
2<i>N</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
sin
cos
<i>N</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>N</i>
<sub></sub>
sin
<i>x</i>
<sub></sub>
cos
<i>x</i>
2 2
sin
1
cos
1
<i>N</i>
<i>x</i>
<i>cotgx</i>
<i>x</i>
<i>tgx</i>
2
cos
2sin
sin
1
cos
1
sin
cos
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>N</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
2
sin
cos
2cos
sin
sin
cos
sin
cos
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>N</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
sin
cos
sin
cos
</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>
iv. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh
rằng :
sin
cos
2
2
<i>B C</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
Trả lời :
Theo giả thiết A, B, C là ba góc của một tam giác nên:
A + B + C = π A + A + B + C = π + A
2A + B + C = π + A
2
2
<i>B C</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
2
2
2
<i>B C</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
sin
sin
2
2
2
<i>B C</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
sin
cos
2
2
<i>B C</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>
Vài cảm nghĩ:
•
<sub>Khi học Lượng giác, các em chú ý học kỹ </sub>
đường tròn của bài này.
•
Những cơng thức các em học sẽ dễ dàng hơn
nếu đưa những dòng thơ gần gũi vào nơi cần
thiết.
•
Chúc các em học tớt !
</div>
<!--links-->
