bai toan ve tiep tuyen

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (718.58 KB, 42 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Chuyên đề : Các bài toán về tiếp tuyến

Mở đầu

Phần lớn các bài toán về tiếp tuyến là khá đơn giản,ứng dụng thực tế cũng như trong
phạm vi tốn học khơng thực sự nhiều tuy nhiên nó lại có ý nghĩa quan trọng trong
chương trình tốn học phổ thơng.Hầu hết đề thi đại học qua các năm đều có những câu
hỏi liên quan đến tiếp tuyến,có thể là các câu hỏi về hàm số hoặc các câu hỏi về hình
học.Do đó việc nắm vững cách xử lý các bài toán về tiếp tuyến là rất quan trọng đối với
học sinh.Ngồi ra,các bài tốn tiếp tuyến cũng là những “hình ảnh” hết sức cụ thể của 1
khái niệm trừu tượng đối với học sinh cấp 3 đó là khái niệm đạo hàm của hàm số.Dưới
đây,nhóm chúng tơi sẽ cố gắng tổng kết ngắn gọn và tương đối đầy đủ nhất về các bài
toán về tiếp tuyến.

I. Tiếp tuyến và các khái niệm liên quan:

Cho 1 đường cong phẳng (C) và 1 điểm cố định M trên (C).Ký hiệu M là 1 điểm di o
chuyển trên (C).Đường thẳng MM được gọi là cát tuyến của (C). o

1.Định nghĩa tiếp tuyến : Nếu cát tuyến MM có vị trí giới hạn o M T khi điểm M di o
chuyển trên (C) dần tới điểm M thì o M T được gọi là tiếp tuyến của (C) tại o M và o M o
được gọi là tiếp điểm.

* Đây là định nghĩa chính xác nhất về tiếp tuyến,ngồi ra ở chương trình hình học cấp 2
cịn có 1 định nghĩa khác về tiếp tuyến dung riêng đối với trường hợp (C) là đường tròn:
“tiếp tuyến của đường trịn là đường thẳng có duy nhất 1 điểm chung với đường
tròn”,định nghĩa này khơng chính xác nhưng với những bài toán cụ thể liên quan đến
đường trịn ta có thể sử dụng để làm bài toán đơn giản,dễ hiểu hơn.

2.Định nghĩa đạo hàm: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) và xo(a,b).Khi
đó nếu tồn tại giới hạn:

x
xlim

o
o

x
x

)
x
(
f
)
x
(
f




Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ,kí hiệu là f’(o x ). o
3.Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Ta thấy cát tuyến MM có hệ số góc k = tano  ( là góc tạo bởi tia Ox và cát tuyến
MM ) và tano  =

x
x

)
x
(
f
)
x
(
f

o
o




</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

chuyển dần đến M thì xo x tức là vị trí giới hạn o M T của Mo M sẽ có hệ số góc k o
trong đó

k = tan’=
o

x
xlim

o
o

x
x

)
x
(
f
)
x
(
f




= f’(x ). o

Từ đó ta có thể suy ra kết luận sau : Đường cong (C):y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm có
hồnh độ x khi và chỉ khi hàm số y = f(x) khả vi tại o x và khi đó tiếp tuyến sẽ có hệ số o
góc k = f’(x ) o

II. Các bài toán về tiếp tuyến :

1. Bài toán xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

Cho y = f(x) là hàm số khả vi trên tồn tập xác định của nó.
A . Xác định tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị hàm số:

Bài tốn:Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M nằm trên đồ

thị trong đó hồnh độ của M là x . o

Giải : M thuộc đồ thị nên M có tọa độ là (x ,f(o x )).Tiếp tuyến tại M nên tiếp tuyến có o
hệ số góc k = f’(x ).Vậy phương trình của tiếp tuyến tại M là : o

y - f(x ) = f’(o x )(x -o x ) o

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Lời giải : Ta có : y’=3x ; y’’= 6x 2

Do đó điểm uốn của đồ thị hàm số là điểm (0,0)

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là :
y - 0 = 0.(x - 0)

y = 0

Bài tập đề nghị :

1. Cho y x3 3x2 3x5 (C)

Tìm k để (C) ln có ít nhất 1 điểm mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng
y = kx+m

2. Cho yax3 cxd (a0) (C)

Giả sử 3 điểm A,B,C thẳng hàng và cùng thuộc (C) .Các tiếp tuyến của (C) tại A,B,C
cắt (C) tại các điểm tương ứng A ,1 B ,1 C .CM 3 điểm 1 A ,1 B ,1 C thằng hang. 1

3. Cho y x3 mx2 m1 (Cm)

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại các điểm cố định mà (Cm) đi qua.
b. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó khi m thay đổi.

4. Cho

3
x

1
x
3
y




 (C) và M bất kỳ thuộc (C)

Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận.Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.
a. Chứng minh M là trung điểm của A và B

b. Chứng minh SIAB= const

B. Bài tốn lập phương trình tiếp tuyến của đường cong khi biết hệ số góc:

Bài tốn: Cho đồ thị (C):y = f(x) và số thực k.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ

số góc là k.

Giải:

Cách 1: Tìm tiếp điểm

+Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = f(x) tại điểm có hoành độ

x f’(x ) = ki x =x là nghiệm của f’(x) = k i

+Giải phương trình f’(x) = k nghiệm x{x ,0 x ,…..,1 x ,….,i x } n
+Phương trình tiếp tuyến tại x là y = k(x -i x ) + f(i x ) i

Cách 2: Xét điều kiện nghiệm kép

Xét đường thẳng với hệ số góc k có phương trình y = kx + m tiếp xúc với (C)
 phương trình kx + m = f(x) có nghiệm bội

 đưa về 1 phương trình bậc 2 có nghiệm kép tìm được m .Từ đó ta có phương
trình tiếp tuyến cần xác định.

*Nhận xét: Cách 1 thơng dụng hơn,có thể áp dụng được với hầu hết các hàm cịn cách
2 hạn chế hơn vì khơng phải lúc nào cũng đưa được về phương trình bậc 2.Ngồi ra cách
2 cũng khơng được áp dụng trong chương trình tốn phổ thơng hiện nay.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1. Dạng trực tiếp : k = const

2. Tiếp tuyến tạo với trục Ox góc   k = tan

3. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b k = a
4. Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b k =

a
1

 (a0)

5. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = ax + b góc   tan=

a
.
k
1
a
k



Ví dụ : Cho đường cong (C):y =x -x-1.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) sao cho: 3
1. a. tiếp tuyến có hệ số góc k=2

b. tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2010
c tiếp tuyến tại với đường thẳng y = -x + 5 góc 45 o

2. Tìm các điểm trên (C) sao cho tiếp tuyến tại các điểm đó có hệ số góc min.
Lời giải :

1. a. k = 2 là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại M(x,y)  f’(x) = 2 3x -1 = 2 2

 x = 1 2

 





1
x
1
x
 









1
y
,
1
x
1
y
,

1
x

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là y = 2(x - 1) -1 và y = 2(x + 1) -1

b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2010 tiếp tuyến có hệ số góc k = 1
Gọi tiếp điểm là M(x,y)3x -1 = 1 2











3
6
x
3
6
x
Với
3
6

x ta có phương trình tiếp tuyến là y = x -
3

6
4
-1
Với
3
6

x ta có phương trình tiếp tuyến là y = x +
3

6
2

-1
c. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = -x + 5 góc 45 o

 tan45 =o

k
1
1
k



k
1
1
k




=1k = 0 (k1 vì nếu k = 1 thì 1(-1) = -1 tức là tiếp
tuyến vng góc với y = -x + 5)

Gọi tiếp điểm là M(x,y) thì 3x -1 = 02 









3
1
x
3
1
x

Tiếp tuyến là 1
9

3
2

y  và 1

9
3
2
y 

2. Giả sử M(x,y) là tiếp điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vậy k min = -1 với x = 0. Do đó tiếp điểm cần tìm là (0,-1)

*Chú ý: Ta thấy (0,-1) cũng là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho,từ đó ta hồn tồn có
thể chứng minh đc bài toán tổng quát hơn : ”Với đồ thị của mọi hàm bậc 3

y = ax + b3 x + cx + d thì tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc min nếu a>0 2
và max nếu a<0”.

Bài tập đề nghị :

1. Cho

1
x

x
y



 (C).Tìm M trên nhánh phải của (C) để tiếp tuyến tại M vng góc với

đường thẳng qua M và tâm đối xứng của (C).

2. Tìm các điểm trên đường cong y = cosx + 3 sinx sao cho tiếp tuyến tại đó có hệ số
góc lớn nhất

3. Cho

2
x

3
x
5
x
y





 .CMR trên (C) luôn tồn tại vô số các cặp điểm để các tiếp tuyến
tại đó vng góc với nhau.

C. Tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) qua 1 điểm cho trước:

Bài toán: Cho hàm số y = f(x) và điểm A(a,b) cho trước.Viết phương trình tiếp tuyến đi
qua A của đồ thị hàm số y = f(x)

Giải:

Cách 1: Tìm tiếp điểm

Đường thẳng qua A(a,b) có dạng y = k(x - a) + b và đường thẳng này tiếp xúc với đồ thị
hàm số khi và chỉ khi

Hệ phương trình









k
)
x
(
'
f

b
)
a
x
(
k

)
x
(
f

có nghiệm
f(x) = f’(x)(x - a) + b có nghiệm

Giải phương trình trên ta sẽ được nghiệm x



x0,x1,....,xn



Các nghiệm này chính là hồnh độ của tiếp điểm.Với mỗi x thay vào biểu thức f’(x) = k i
ta sẽ được hệ số góc của 1 tiếp tuyến tương ứng với mỗi tiếp điểm có hồnh độ x .Lấy hệ i
số góc k vừa tính được thay vào biểu tức y = k(x - a) + b ta có phương trình tiếp tuyến
cần tìm.

Cách 2: Xét điều kiện nghiệm kép

Đường thẳng qua A(a,b) có dạng y = k(x - a) + b và đường thẳng này tiếp xúc với đồ thị
hàm số khi và chỉ khi phương trình k(x - a) + b = f(x) có nghiệm bội.Từ đó ta sẽ giải và
biện luận điều kiện có nghiệm bội và xác định đc k.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

*Nhận xét: Cách 1 thơng dụng hơn,có thể áp dụng được với hầu hết các hàm còn cách
2 hạn chế hơn vì thường chỉ áp dụng với những hàm có thể biến đổi về phương trình bậc
2,hơn nữa cách 2 cũng khơng được sử dụng trong chương trình phổ thơng

Ví dụ : Cho hàm số y = f(x) = x3 3x2 2 (C)

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua A(2,2)

b. Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm có thể kẻ đến (C) 2 tiếp tuyến vng

góc.

Lời giải:

a. Đường thẳng qua A(2,2) có dạng :

y = k(x - 2) + 2 (1)
(1) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :












x
6
x
3
)
x
(
'
f

k
2
x
3
x
2
)
2
x
(
k
2
2
3
(2)
Ta có

(2) 











x

6
x
3
k
2
x
3
x
2
x
12
x
12
x
3
2
2
3
2
3







0
k
0

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2

b. Lấy M thuộc đường thẳng y = 2  M có tọa độ dạng (m,2)
Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng

y = k(x-m) + 2 (3)
(3) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm











x
6
x
3
k
2
x
3
x

2
)
m
x
(
k
2
2
3
(4)
Ta có :

(4) 









x
6
x
3
k
0
)
m

6
x
)
1
m
(
3
x
2
(
x
2
2
















x

6
x
3
k
0
m
6
x
)
1
m
(
3
x
2
0
x
2
2

Với x = 0 ta có k = 0,tiếp tuyến có phương trình là y = 2.Rõ rang khơng tồn tại tiếp
tuyến nào vng góc với y = 2.

Vậy muốn từ M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vng góc với nhau thì phương trình
0
m
9
x
)
1

m
(
3
x

2 2     phải có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn :
(3x12 6x1)(3x22 6x2)= -1

 9x1x2[x1x2 2(x1 x2)4] = -1

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ta có:

(5) 








1
m
27
0
)
3
m
)(
1

m
3
(
















27
1
m
3
1
x
3
x

m =
27



Vậy điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài có tọa độ (
27



,2)

Bài tập đề nghị :

1. Tìm trên trục Oy các điểm có thể kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến vng góc với nhau trong đó
(C) là đồ thị hàm số:

1
x
1
x
x
2
y
2






2. Cho hàm số

1
x
x
y
2


 (C) .Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ được 2 tiếp
tuyến vuông góc với nhau đến (C)

3. Tìm m để qua A(1,2) kẻ được 2 tiếp tuyến AB và AC đến (C) :

2
x
m
x
y



 (B,C là tiếp
điểm) sao cho ABC đều.

4. Cho hàm số y = f(x) = x4 x2 1 (C) . Tìm các điểm A trên Oy mà từ đó kẻ được 3
tiếp tuyến đến (C)

5. Tìm trên (C) : yax3 bx2 cxd(a 0) các điểm mà từ đó kẻ được đúng 1 tiếp
tuyến đến đồ thị (C)

D. Tiếp tuyến chung của 2 đường cong :

Bài toán: Cho 2 đường cong (C): y = f(x) và (C’): y = g(x).Tìm tất cả các tiếp tuyến
chung của (C) và (C’)

Giải: Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của (C) và (C’),(T) tiếp xúc với (C) và (C’) lần lượt
tại các điểm có hồnh độ là u và v.Khi đó

(T): y = f’(u)(x – u) + f(u) và (T): y = g’(v)(x – v) + g(v).Từ đó ta có hệ








)
v
(
'
vg
)
v
(
g

)
u
(
'
uf
)
u
(
f
)
v
(
'
g
)
u
(
'
f

Giả sử (uj,vj) là với j = 1,2,…,n là các nghiệm của hệ thì các tiếp tuyến cần tìm là:
(Tj): y = f’(uj)(x -uj) + f(uj) với j = 1,2,…,n

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Lời giải: Xét và giải hệ




















)
1
v
2
(
v
3
v
v
u
)
u
2
(
1

1
v
2
u
2

2
2

Ta được u =
2

31
1

.Vậy 2 tiếp tuyến chung là y = (1 31)x

2
31
14


Nhận xét: Ta thấy với bài tốn này,hệ phương trình cần giải là hệ 2 phương trình 2 ẩn
nhưng bậc lớn hơn 1 nên rất khó giải và thậm chí khơng giải được.Do đó bài tốn này là
1 bài tốn khó và ít gặp ở phổ thơng.

Bài tập đề nghị:

1. Tìm tiếp tuyến chung của 2 đường cong y =2x3 và y =x3
2. Xét xem các cặp đường cong sau có bao nhiêu tiếp tuyến chung:

1
x

x
y


 và
1

x
y 2 

3. Biện luận theo m số tiếp tuyến chung của 2 đường cong yx2 x và 
m

x
mx

y 2  

2. Bài toán về sự tiếp xúc của đường cong với đường thẳng và đường

cong với đường cong:

A. Đường cong tiếp xúc với trục hoành :

Nhận xét 1: Đường cong (C) : y = f(x) tiếp xúc với trục hồnh tại điểm có hoành độ x o
khi và chỉ khi f(x ) = f’(o x ) = 0 o

Chứng minh :Vì trục hồnh có hệ số góc k = 0 nên f’(x ) = 0 o

Mặt khác 1 điểm nằm trên trục hồnh thì có tung độ = 0 tức là f(x ) = 0 o
f(x ) = f’(o x ) = 0 o

Ngược lại,ta có tiếp tuyến tại x có dạng : o
y = f’(x )(x -o x ) + f(o x ) o

Do f(x ) = f’(o x ) = 0 nên phương trình tiếp tuyến lúc này là : y = 0 chính o
là trục hồnh.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>






0
)
x
(
'
f
0

)
x
(
f

Mối liên hệ giữa sự tiếp xúc với trục hoành và nghiệm kép của 1 hàm đa thức:
Nhớ lại rằng x là nghiệm bội d của đa thức P(x) nếu d là số nguyên dương và o

)
x
(
g
)
x
x
(
)
x
(

P   o d trong đó g(x) 0.
Nếu d = 1 thì x được gọi là 1 nghiệm đơn o
Nếu d = 2 thì x được gọi là 1 nghiệm kép o
Nếu d = k thì x được gọi là nghiệm bội k o

Chúng ta đã biết P(x) nhận x là nghiệm bội k nếu và chỉ nếu P(o x ) = P’(o x ) = …. = o
)

(

P(k1) 0 và P(k)(x0) 0.Khi đó mối liên hệ giữa nghiệm bội và điều kiện tiếp xúc của
1 hàm đa thức được thể hiện qua mệnh đề sau

Mệnh đề :Với P(x) là 1 hàm đa thức bậc dương thì đường cong y = P(x) tiếp xúc với trục
hoành tại x khi và chỉ khi o x là nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 của đa thức o

Chứng minh :Từ nhận xét 1 ta có đường cong y = P(x) tiếp xúc với trục hoành x khi và o
chỉ khi P(x ) = P’(o x ) = 0 o  x là nghiệm bội k (k o  2) của P(x) đpcm

Hệ quả :Với P(x) là 1 đa thức bậc dương thì đường cong y = P(x) tiếp xúc với trục hồnh
khi và chỉ khi P(x) có nghiệm bội k (k  2).

Ví dụ : Tìm m để đường cong y =mx3 (m1)x2 (4m3)x6m (Cm) tiếp xúc với
trục Ox

Lời giải :

Cách 1 :Xét phương trình :

mx3 (m1)x2 (4m3)x6m= 0
(x + 3)[mx -(2m-1)x + 2m] = 0 2
(x + 3)g(x) = 0

(Cm) tiếp xúc với Ox  (x + 3)g(x) = 0 có nghiệm bội.


















0
g
0
m
0
3
m
17
)
3
(
g











2
2
1
m
17
3
m

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>































0
)
3
m
4
(
x
)
1
m
(
2
mx
3
0
m
2
x

)
1
m
2
(
mx
0
)
3
m
4
(
x
)
1
m
(
2
mx
3
3
x
2
2
2
có nghiệm

























0
m
2
x
)
1
m
2
(
mx

m
10
3
x
)
m
8
1
(
0
3
m
17
3
x
2
có nghiệm

































8
1
m
0
m
2
m
8
1
m
10

3
).
1
m
2
(
m
8
1
m
10
3
.
m
17
3
m
2










2
2

1
m
17
3
m

B. Đường cong tiếp xúc với đường thẳng bất kì:

Mệnh đề: Đường cong (C) : y = f(x) tiếp xúc với đường thẳng y = ax + b khi và chỉ khi
hệ sau có nghiệm







a
)
x
(
'
f
b
ax
)
x
(
f

Ví dụ: Cho (C) là đồ thị của hàm số y =

1
x
9
x
x2




.Viết phương trình parabol (P) đi qua
điểm cực đại và cực tiểu của (C) và tiếp xúc với đường thẳng 2x - y = 10.

Giải: Ta dễ dàng xác định được cực đại và cực tiểu của (C) là M1(4,7) và M2(2,5).
(P) có phương trình dạng : y = ax2 bxc (

a  )

(P) đi qua M và 1 M nên ta có: 2












5
c
b
2
a
4
7
c
b
4
a
16










)
1
a
8

(
c
2
a
2
b

Thay kết quả vào phương trình ban đầu của (P) ta có:
(P): y =ax2 (2a2)x(8a1)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

)
2
(
)
1
(
2
)
2
a
2
(
ax
2
10
x
2
)
1

a
8
(
x
)
2
a
2
(
ax2















Ta thấy (2) có nghiệm x = 1 nên để hệ có nghiệm thì (1) phải có nghiệm x = 1
a + (-2a + a) – (8a + 1) = 2 – 10a = 1

Vậy phương trình của Parabol cần tìm là : y = x - 9 2

Bài tập đề nghị:

1. Viết phương trình của Parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị (C) : yx3 3x2 4
và tiếp xúc với đường thẳng y = -2x + 2

2. Cho đồ thị (C) : yx4 4x3 3.Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tại 2
điểm phân biệt

3. Tìm m để đồ thị hàm số

2
x
1
m
2
mx
3
mx
y
2





 tiếp xúc với đường thẳng y = m

4. Chứng minh rằng họ (Cm) :

m
x
1
m
x
)
m
1
(
x
2
y
2






 (m0) luôn tiếp xúc với 1
đường thẳng cố định.

D. Đường cong tiếp xúc với đường cong bất kì :

Mệnh đề: Cho đường cong (C) : y = f(x).Điều kiện cần và đủ để (C) tiếp xúc với
(C’) : y = g(x) là hệ sau có nghiệm :







)
x
(
'
g
)
x
(
'
f
)
x
(
g
)
x
(
f

Ví dụ: Tìm m để 2 đường cong (C) :

1
x
1
x
x
y

2




 và (C’) : yx2 m tiếp xúc với
nhau

Giải: (C) và (C’) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm

)
2
(
)
1
(
x
2
)
1
x
(
x
2
x
m
x
1
x
1

x
x
2
2
2
2
















Giải điều kiện để hệ có nghiệm ta có m = -1

Mối liên hệ giữa sự tiếp xúc của 2 đường cong và nghiệm kép của 1 hàm đa thức:
Cho 2 đường cong (C) : y = f(x) và (C’) : y = g(x).Ở phần này ta chỉ xét f và g là các hàm
đa thức.Ta đặt P(x) = f(x) – g(x).

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>








0
)
x
(
'
P

0
)
x
(
P

o
0

Áp dụng kết quả đã nói đến ở phần Mối liên hệ giữa sự tiếp xúc với trục hoành và
nghiệm kép của 1 hàm đa thức đối với P(x) = f(x) – g(x) ta có :

Mệnh đề : Cho 2 đường cong (C) : y = f(x) và (C’) : y = g(x).Ta đặt P(x) = f(x) – g(x)
Khi đó (C) và (C’) tiếp xúc với nhau tại điểm có hồnh độ x khi và chỉ khi o x là o
nghiệm bội k (k  2) của P(x)

Hệ quả : Cho 2 đường cong (C) : y = f(x) và (C’) : y = g(x).Ta đặt P(x) = f(x) – g(x)
Khi đó (C) và (C’) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi P(x) có nghiệm bội k (k  2).

Bài tập đề nghị :

1. Chứng minh rằng họ đường cong (Cm) của hàm số :
yx3 mx2 (2m1)xm1 ln tiếp xúc lẫn nhau.

2. Tìm m để 2 đường cong yx3 6x2 12x1 và y4x2 mx1 tiếp xúc với nhau.

3. Tìm m để 2 đường cong (C) : yx4 6x3 12x2 14x2m2 m
(C’) : y2x3 10x2 10x1

tiếp xúc với nhau

III. Bài tốn tiếp tuyến trong hình học

A. Tiếp tuyến của đường tròn.

Định lý: Trong mặt phẳng oxy, cho đường trịn (C) có phương trình:

  

C : xa



2



y b



2 R2

Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M xo yo( , )

 

C có dạng

  

d : x a



x0a

 

 y b



y0b



R2 (1)
Chứng minh:

Ta có: M x y( ,0 0)

 

C 



x0a



2(y0b)2 R2.

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M x y( ,0 0) được cho bởi:

 

0 0

( , )
:

( , )

quaM x y
d

vtpt IM x a y b





 






 ( ) : (d x0a x)( x0) ( y0b y)( y0)0

 



 





 



 











0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

: ( ) 0

: ( ) ( )

d x a x a x a y b y b y b

d x a x a y b y b x a y b

          

         

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Chú ý:

1. Nếu (C) có phương trình tổng quát:

 

2 2

: 2 2 0

C x y  ax by c với

2 2

a b  c thì tiếp tuyến (d) có phương trình

 

d :xxo yyoa x



xo



b y( yo) c 0

2. Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) của đường trịn
(C) có tâm I, bán kính R khi và chỉ khi:

d I d( , ( ))R

3. Họ tiếp tuyến của đường tròn:
Cho đường trịn (C) có phương trình:

  

C : xa



2



y b



2 R2

Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M(x0,y0)(C) có phương trình:

  

d : x a



x0a

 

 y b



y0b



R2



x a



xo a



y b



yo b R

R R

 

   

      

   

.
Vì M xo yo( , )

 

C









2 2

2 2 2

o o

x a y b

x a y b R

R R

 

   

        

   

Do đó có thể đặt:





sin

, 0, 2
cos

o

x a

t
R

t

y b

t
R
















 




Khi đó mọi tiếp tuyến

 

d1 của (C) có dạng:

  

d1 : x a



sint



y b



costR

Ta gọi các tiếp tuyến

 

d1 với tham số t là họ tiếp tuyến của (C).
Tọa độ tiếp điểm của (C) với

 

d1 là:

sin
cos

x a R t

y b R t

 




 


Bài tốn 1:

Lập phương trình tiếp tuyến của đường trịn

Cho đường trịn (C) có tâm I(a, b), bán kính R. Lập phương trình tiếp tuyến (d) thỏa mãn
điều kiện K

Giải:
Cách 1:

Bước 1: Dựa vào điều kiện K giả sử phương trình (d) có dạng: Ax + By + C = 0,
Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C)  d(I, d) = R.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1. Tiếp tuyến qua điểm M cho trước.
a. Nếu M x y( ,0 0)

 

C tức d(M,(C)) = 0 thì

 

0 0

( , )

quaM x y
d

vtpt IM x a y b





 






 ( ) : (d x0a x)( x0) ( y0 b y)( y0)0
b. Nếu d(M,(C))< 0 tức M nằm trong (C) thì khơng tồn tại tiếp tuyến từ M tới (C).

c. Nếu d(M,(C)> 0 tức M nằm ngồi (C) thì có 2 tiếp tuyến từ M tới (C)
Khi đó pt

 

d : (A xx0)B y( y0)0

2. Tiếp tuyến có phương cho trước :

(d): Ax + By + C = 0 (trong đó A,B là những hằng số cho trước)
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k:

(d): y = kx + m.

4. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng () góc 

b
.
a
1

b
a
tan





 với a,b theo thứ tự là hsg của (d), (). (1)

|
b
|
.
|
a

|
b
.
a
|

cos  






 , với a, b theo thứ tự là vtcp của (d),

 

 (2)
Từ (1) ta sẽ tính được b rồi xác định tiếp tuyến qua mối liên hệ d(I, d) = R.

Từ (2) ta sẽ xác định được vtcp của

 

 rồi xác định tiếp tuyến qua mối liên hệ
d(I, d) = R.

Cách 2:

Bước 1: Giả sử điểm M x y( ,0 0) là tiếp điểm. Khi đó phương trình tiếp tuyến có
dạng

 

d :xx0yy0a x( x0) ( yy0) c 0 (1)
Hoặc 2

0 0

(x a x )( a) ( y b y )( b)R

Điểm M(C)  x02y022ax02by0 c 0 (2)
Hoặc



x0a



2



y0b



2 R2

Bước 2: Sử dụng điều kiện K của giả thiết ta thiết lập thêm 1 phương trình theo

0, 0

x y (3)
Bước 3: Giải hệ tạo bởi (2),(3) ta được tọa độ tiếp điểmM x y( ,0 0) , từ đó thay vào
(1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định.

Ví dụ: Cho điểm M(2, 3). Lập pttt của đường tròn (C) đi qua M biết:
a. (C):



x3



2



y1



2 5

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a. Ta thấy d(M,(C)) = 0  M 

 

C

Vậy pttt (d) của (C) tại M có dạng



3 2 3



 

1 3 1





2 8 0

x y

     

   

b. Ta thấy d M C



 



0M ở trong

 

C

không tồn tại tiếp tuyến kẻ từ M tới

 

C .

c. Ta thấy d M C



 



0M ở ngoài (C) tồn tại 2 tiếp tuyến kẻ từ M tới (C).
Đường trịn (C) có tâm T(1, 4), bán kính R = 5.

Đường thẳng (d) đi qua M có phương trình:

(d): A x



4



B y



6



0

 

d : AxBy4A6B0
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)

 





2 2

2 2
2

| 4 4 6 |

, 5 | 2 |

3 4 0 4

A B A B

d I d R A B A B

A B

B

B AB A

B

  

       






   

  



Với B=0, ta được tiếp tuyến:

 

d1 : (A x4)0

 

d1 :x 4 0
Với 4

A

B  ta được tiếp tuyến:

 

2 : ( 4) 4 ( 6) 0

 

2 : 3 4 12 0
3

A

d A x  y   d x y 

Vậy qua M kẻ được 2 tiếp tuyến

   

d1 , d2 tới đường tròn (C).

Bài tập đề nghị :

1. Cho đường thẳng () và đường tròn

 

C có phương trình:

 

2 2

: 3 4 12 0

: 2 6 9 0

x y

C x y x y

   

    

Xác định phương trình tiếp tuyến của (C) vng góc với ().

2. Cho đường tròn (C) có phương trình :

  

C : x1



2



y1



2 10

Lập pttt của (C) biết tiếp tuyến tạo với

 

 : 2x  y 4 0 một góc 45 . 0
Bài toán 2:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

 

C1 có tâm I a b1( , )1 1 , bán kính R1.

 

C2 có tâm I a b2( ,2 2), bán kính R2.
Lập phương trình tiếp tuyến chung (d) của 2 đường trịn
Giải:

Bước 1: Giả sử

 

d : AxBy C 0 với 2 2

A B  là tiếp tuyến chung của

   

C1 , C2

Bước 2: Thiết lập điều kiện tiếp xúc của (d) với

   

C1 , C2



 



 





1 1
2 2
,
,

d I d R




Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến chung (d).

Ví dụ:Cho 2 đường trịn (C1), (C2) có phương trình:

  







  







2 2
1
2 2
2

: 1 1 1

: 2 1 4

C x y

   

   

Lập pttt chung của 2 đường tròn trên.
Lời giải:

Ta có:

Đường trịn

 

C1 có tâm I1(1,1), bán kính R1 = 1
Đường trịn

 

C2 có tâm I2(2, 1) , bán kính R2 = 2

Giả sử

 

d : AxBy C 0 với A2B2 0 (1)
là tiếp tuyến chung của

   

C1 , C2 .
Ta có (d) tiếp xúc với

   

C1 , C2 khi và chỉ khi























2
B
A
C
B
A
2
1
B
A
C
B
A
2
R

)
d
,
I
(
d
1
R
)
d
,
I
(
d
2
2
2
2
2
1











































B

A
4
3
1
C
B
3
C
B
A
C
B
A
B
A
2
C
B
A
2
B
A
C
B
A
2
2
2
2
2

2























4
B
3
A
B
3

C
0
B
B
3
C

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

 

1 1

2 2

: Ax 0 : 0

: 3 0 ( ) : 3 4 12 0

d d x

B

d x By B d x y

  

      

Vậy tồn tại 2 tiếp tuyến chung

   

d1 , d2 của

   

C1 , C2 .
Bài toán 3:Điểm và tập hợp điểm

Giải:

Bước 1: Thiết lập tọa độ của điểm M lần 1.

Bước 2: Thiết lập tọa độ của điểm M lần 2 (liên quan đến tiếp tuyến với đường tròn).
Bước 3: Kết luận.

Ví dụ:

Cho đường thẳng (d) và đường trịn (C) có phương trình:

 

2 2

: 2 5 0

: 20 50 0

d x y

C x y x

  

   

Tìm các điểm M thuộc (d) sao cho từ đó:
a. Khơng thể kẻ tiếp tuyến nào tới (C).
b. Kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới (C).
c. Kể được 2 tiếp tuyến tới (C).

d. Kẻ được 2 tiếp tuyến vng góc với nhau tới (C).
Lời giải:

Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:

 











R
t
,
5

t
2
y

t
x
:
d

Khi đó mọi điểm M

 

d ln có M t t( , 2 5), suy ra:

d M C( ,

 

)t2



2t5



220t505t240t75
a. Để M không thể kẻ tiếp tuyến nào tới (C)



 



, 0 5 40 75 0 3 5

d M C t t t

        

Vậy tập hợp điểm M(x, y) có hồnh độ thỏa mãn 3<x<5 sẽ không thể kẻ tiếp tuyến nào
tới (C).

b. Để qua M kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới (C)



 



2 1

(3,1)
3

, 0 5 40 75 0

5 (2,5)

M
t

d M C t t

t M

 



        



 

Vậy tại 2 điểm M M1, 2 thuộc (d) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến tới (C).
c. Để qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C)



 



2 5

, 0 5 40 75 0

t

d M C t t

t



       




Vậy tập hợp các điểm M x y( , )( )d có hồnh độ thỏa mãn x<3 hoặc x>5 sẽ kẻ được 2
tiếp tuyến tới (C).

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

)
11
2
3
,
11
4
(
M
),

11
2
3
,
11
4
(
M
11
4
t
0
5
t
8
t
100
)
5
t
2
(
)
10
t
(
100
MI
10
2

2
50
4
sin
R
4
sin
AI
MI
4
AMI
2
AMB
4
3
2
2
2
2



































Vậy tại 2 điểm M M3, 4 thuộc (d) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài toán 4:Chứng minh tính chất tiếp tuyến của đường trịn
Giải:

Bước 1: Xác định phương trình tiếp tuyến (thường sử dụng dạng phân đôi tọa độ)
Bước 2: Chứng minh tính chất của tiếp tuyến đó.

Ví dụ: Cho đường thẳng (d) và đường trịn (C) có phương trình:

 

2 2

: 1 0

: 2 4 4 0

d x y

C x y x y

  

    

Từ M ( )d kẻ 2 tiếp tuyến MT MT1, 2 tới (C), trong đó T T1, 2 là các tiếp điểm. CMR khi
đó các đường thẳngT T1 2 luôn đi qua 1 điểm cố định.

Lời giải:

Xét đường trịn (C) có tâm I(1, 2), bán kính R=1.
Ta có:

( , ) |1 2 1| 2 1
1 1

d I d      R


Do đó qua M

 

d ln kẻ được 2 tiếp tuyến MT MT1, 2 tới (C).

Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:

 








R
t
,
t
y
1
t
x
:
d

Khi đó M( )d M



1t t,



và giả sử tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến qua M tới (C) là

1 1

( , )

T x y , ta có:

Tiếp tuyến có dạng:



x1



x11

 

 y2



y12



1
Tiếp tuyến trên đi qua điểm M, ta có:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>





3 3 0,





2 3 0,

3 0 3

2 3 0 2

tx t y t t x y t y t

x y

y

            
  



   

  



Vậy



T T1 2



luôn đi qua điểm cố định ( , )3 3
2 2

N .

Bài tập đề nghị :

1. Cho điểm M(2, 4) và đường trịn (C) có phương trình:

  

C : x1



2



y3



2 4

a. Lập phương trình đường thẳng đi qua M và cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B sao
cho M là trung điểm AB.

b. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường trịn có hệ số góc k = 1.
2. Cho điểm A(3, 5) và đường trịn (C) có phương trình:

 

C :x2y22x4y 4 0
a. Tìm phương trình các tiếp tuyến kẻ từ A đến (C).

b. Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại M, N. Hãy tính độ dài MN.
3. Cho 2 đường trịn (C) và



Cm



có phương trình:

2 2
2 2

( ) : 1

( m) : 2( 1) 4 5

C x y

C x y m x my

 

    

a. CMR có 2 đường tròn



Cm1

 

, Cm2



tiếp xúc với đường tròn (C) ứng với 2 giá trị

1, 2

m m của m.

b. Xác định phương trình đường thẳng tiếp xúc với cả 2 đường tròn



Cm1

 

, Cm2



4. Cho 2 đường trịn (C) và



Cm



có phương trình:

 





2 2

2 2 2 2

: 3 0

: ( 1)( ) 2 2 3 0

m

C x y ax

C m x y ax amy a

  

     

Với a là hằng số, m là tham số.

CMR (C) và



Cm



luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến với (C) và



Cm



tại mỗi điểm chung này vng góc với nhau.
5. Cho 2 đường tròn

   

C v1 à C2 có phương trình:

 

2 2
1

2 2
2

: 4 6 5 0

25
:

C x y x y

C x y

    
 

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

6. Cho đường trịn (C) có tâm I(1, 2) và bán kính R = 3. Lập phương trình quỹ tích các
điểm M từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo với nhau 1 góc 60.

7. Cho 2 đường tròn

   

C v1 à C2 có phương trình:

 

2 2 2

1 1

2 2 2

2 2

( ) :

C x y R

 

  với R2 R1

Điểm M



C2



kẻ 2 tiếp tuyến MT MT1, 2 tới

 

C1 , trong đó T T1, 2 là các tiếp điểm.
a. Viết phương trình đường thẳng T T1 2 theo tọa độ của M

b. CMR khi đó các đường thẳng T T1 2 ln tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.

8. Cho đường trịn

 

C1 có tâm I1, bán kính R1 và đường trịn

 

C2 có tâm I2, bán kính

R với R2 R1và I I1 2 R2R1. Từ M



C2



kẻ 2 tiếp tuyến MT MT1, 2 tới

 

C1 , trong
đó T T1, 2 là các tiếp điểm và giả sử 2 tiếp tuyến này cắt

 

C2 tại E E1, 2.

a. CMR đường thẳng T T1 2luôn tiếp xúc với 1 đường cong cố định.
b. CMR đường thẳng E E1 2 luôn tiếp xúc với 1 đường cong cố định.
B. Tiếp tuyến của elip

Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) và đường thẳng (d) có phương trình:

 

2 2

:x y 1& ( ) : Ax 0

E d By C

a b     với

2 2

A B 

Điều kiện cần và đủ để (d) tiếp xúc với (E) là: 2 2 2 2 2

A a B b C

Chứng minh:

Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (E) là:

2 2

2 2 1

Ax 0

x y

a b

By C


 




   


(I)

Vì A2B2 0nên 0
0

A
B








. Khơng mất tính tổng quát , ta giả sử B0. Khi đó rút y từ

(2) thay vào (1) ta được:





2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( Ax ) 0

2 0

B b x a C a b B

B b A a x a ACx a C a b B

    

      (3)
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E)

hệ (I) có nghiệm duy nhất phương trình (3) có nghiệm kép



 





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

0 a AC b B a A a C a b B 0

C A a B b



       

  

Ta có đpcm

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b 

Phương trình tiếp tuyến (d) của (E) tại điểm M x y



o, o

  

 E có phương trình:
( ) :d xx2o yy2o 1

a  b 

Chứng minh:

Điểm M x y



o, o

  

 E suy ra:

2 2

2 2 1

o o

x y

a b  (1)

Đường thẳng (d) đi qua Mo( ,x yo o)có phương trình:

( ) : (d A xxo)B y( yo)0 với A2 B2 0



 

d : AxByAxoBy0 0 (2)

Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi:
2 2 2 2 2

(Axo o)

A a B b  By (3)
Xét hệ phương trình tạo bởi (1) và (3) ta được:

Ax
o

o o

o

o o

x A

a By

y B

b By




 




 

 



(I)

Khi đó bằng việc viết lại (d) dưới dạng:

 

: 1

 

: 2o 2o 1

o o o o

xx yy

Ax By

d d

Ax By  Ax By   a  b  (đpcm)

Chú ý: Họ tiếp tuyến của elip
Cho elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b 

Phương trình tiếp tuyến (d) của (E) tại điểm M x y



o, o

  

 E có phương trình:
( ) :d xx2o yy2o 1

a  b 

Điểm M x y



o, o

  

 E suy ra:

2 2

2 2 1

o o

x y

a b 

Do đó có thể đặt:





sin

, 0, 2
cos

o

x

t
a

t
y

t
b











 



Khi đó mọi tiếp tuyến

 

d1 của (E) có dạng:

 

d1 :xsint ycost 1

a b  .

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

sin
cos
o

o

x a t

y b t








Bài tốn 1: Lập phương trình tiếp tuyến của elip
Cho elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b 

Lập phương trình tiếp tuyến của (E)
Giải:

Để lập phương trình tiếp tuyến (d) của elip (E) thỏa mãn điều kiện K, ta có thể lựa chọn
một trong hai cách sau:

Cách 1:

Bước 1: Dựa trên điều kiện K ta giả sử đường thẳng (d) có phương trình:

 

d : AxBy C 0

Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (E)

2 2 2 2 2

A a B b C

  

Bước 3: kết luận về tiếp tuyến (d)
Điều kiện K thường gặp:

1. Tiếp tuyến đi qua điểm M cho trước, khi đó:
Nếu M x y( ,o o)( )E tức là d(M, (E))=1, ta có:
( ) :d xx2o yy2o 1

a  b  - phân đôi tọa độ

Nếu d M E( , ( )) 1 M ở trong (E)Không tồn tại tiếp tuyến kẻ từ M tới (E)

Nếu d M E( , ( )) 1 M ở ngoài (E)tồn tại hai tiếp tuyến kẻ từ M tới (E). Ta được
(d) đi qua M có phương trình:

 

d : (A xxo)B y( yo)0( ) : Axd ByAxoByo 0

2. Tiếp tuyến có phương cho trước :

Ax+By+C=0 (trong đó A,B là những hằng số cho trước)

3. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng k, khi đó,

 

d :ykxm

 

d :kx y m0

4. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng

 

 một góc  , khi đó ta linh hoạt sử dụng cơng
thức:

|
b
|
.
|
a
|

|
b
.
a
|

cos  






 , với a, b theo thứ tự là vtcp của (d),

 



1 2
1 2

tan | |

k k

k k

  

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Cách 2: Đi tìm tiếp điểm

Bước 1: Giả sử điểm M x y( ,o o) là tiếp điểm. Khi đó, phương trình tiếp tuyến có
dạng:

( ) :xx2o yy2o 1

d

a  b  (1)

Điểm M( )E



2 2

2 2 1

o o

x y

a b  (2)

Bước 2: Sử dụng điều kiện K của giả thiết, ta thiết lập thêm một phương trình theo
,

o o

x y .

Bước 3: Giải hệ tạo bởi (2), (3) tạo ra được tọa độ tiếp điểm M x y( ,o o), từ đó thay
vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định.

Ví dụ :Cho điểm M(3, -4) và elip (E) có phương trình:

 

2 2

: 1

9 4

x y

E  

a. CMR qua M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến (E).

b. Xác định phương trình 2 tiếp tuyến và lập phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp
điểm của (E) với 2 tiếp tuyến trên.

Giải :

a. Ta có: ( , ( )) 9 16 1

9 4

d M E    M nằm ngoài (E)
 qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (E).
b. Đường thẳng (d) đi qua M có phương trình:

 

d : (A x3)B y( 4)0

 

d : AxBy3A4B0(A2B2 0)
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (E)

9 2 4 2



3 4



2 12 2 24 0 0
2

B

A B A B B AB

B A




        



+ Với B= 0 ta được tiếp tuyến:

 

d1 :A x



3



0( ) :d1 x 3 0.
Và tọa độ điểm M1là nghiệm hệ phương trình:





2 2

3
1

3, 0
9 4

0
3 0

x y

x

M
y

x




 


 

 



  



+ Với B= 2A ta được tiếp tuyến:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

2 2

1 5 9 8

( , )
9 4

8 5 5

2 5 0

x

x y

M
y

x y



   

 

 

   

 

      

 



Phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm M M1, 2là:

(M M1 2) :x3y 3 0

Bài tập đề nghị: Cho đường thẳng

 

 và elip (E) có phương trình:

 

2 2

: 2 1 0

: 1

9 4

x y

E

   
 

Lập phương trình tiếp tuyến của (E) tạo với đường thẳng

 

 1 góc bằng 45o.
Bài tốn 2:Lập phương trình tiếp tuyến chung

Giải:

Bước 1: Giả sử

 

d : AxBy C 0 với A2B2 0là tiếp tuyến chung của

 

E và

 

C1 (là (E) hoặc (C)).

Bước 2: Thiết lập điều kiện tiếp xúc của (d) với (E) và

 

C1

Bước 3: Kết luận về tiếp tuyến chung (d),
Ví dụ :Lập phương trình tiếp tuyến chung.

 

2 2

: 1

4 9

x y

E   và

 

2 2

: 5

C x y 

Giải :

Đường trịn (C) có tâm O, bán kính R 5
Giả sử tiếp tuyến chung (d) có phương trình:

 

d : AxBy C 0 với 2 2

A B 

Điều kiện để (d) tiếp xúc với (E) là: 4A29B2 C2 (1)
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi:



2 2



2 2

| |

( , ( )) C 5 5

d O d R C A B

A B

     



(2)
Từ (1) và (2) ta được:

4A29B2 5(A2B2) A 2BC 5B
Với A2 &B C5B ta được tiếp tuyến:

 

d1 : 2xy 5 0

Với A2 &B C 5B ta được tiếp tuyến:

 

d2 : 2x y 5 0
Với A 2 &B C5B ta được tiếp tuyến:

 

d3 : 2x  y 5 0

Với A 2 &B C 5B ta được tiếp tuyến:

 

d4 : 2xy 5 0
Vậy (E) và (C) có 4 tiếp tuyến chung là

       

d1 , d2 , d3 , d4

Bài toán 3:Điểm, tập hợp điểm

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Bước 1: Thiết lập tọa độ của điểm M lần 1.

Bước 2: Thiết lập biểu thức tọa độ của điểm M lần 2(liên quan đến tiếp tuyến đối với
(E))

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ : Cho elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b 

Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vng góc với nhau tới (E).
Lời giải:

Giả sử M x y( ,o o)từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vng góc với nhau tới (E).
Hai đường thẳng qua M vuông góc với nhau có dạng:

 

d1 : (A xxo)B y



yo



0

 

d1 : AxByAxoByo 0

 

d2 : (B xxo)A y



yo



0

 

d2 : x - B AyBxoAyo 0
Điều kiện để

   

d1 , d2 tiếp xúc với (E) là:









2
2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2
2 2 2 2

2 2 2 2

( )( ) ( )( )

o

o o

A a B b Ax By

A B a b A B x y

B a A b Bx Ay

x y a b

    



     



   




   

Vậy tập hợp các điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vng góc với nhau tới (E) là đường
trịn có phương trình: x2y2 a2b2.

Bài tập đề nghị: Cho elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b  với a>b.

Tiếp tuyến (d) của elip (E) cắt các trục tọa độ tại A, B. Xác định phương trình của (d) để
ABC

 có diện tích nhỏ nhất.

Bài toán 4:Chứng minh tính chất tiếp tuyến của elip
Giải:Ta có thể chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1:

Bước 1: Lấy điểm M x y( ,o o)( )E ta có:

2 2

2 2 1

o o

x y

a b  (1)

Phương trình tiếp tuyến (d) của (E) có phương trình:
( ) :xx2o yy2o 1

d

a  b  (2)

Bước 2: Chứng minh tính chất K dựa vào điều kiện ràng buộc (1).
Cách 2:

Bước 1: Chuyển (E) về dạng tham số:

( ) : a sin ,



0, 2



cos

x t

E t

y b t 











</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

a sin
cos
o

o

x t

y b t








(2)
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

 

d :xsint ycost 1

a b  (3)

Bước 3: Chứng minh tính chất K.

Định lý (pascal):Tiếp tuyến của elip tạo với 2 bán kính qua tiêu điểm ứng với tiếp điểm
những góc bằng nhau.

Chứng minh:

Lấy điểm M x y( ,o o)( )E ta có:

2 2

2 2 1

o o

x y

a b  (1)

Phương trình tiếp tuyến (d) của (E) có phương trình:
( ) :d xx2o yy2o 1

a  b  (2)

+)NếuMo( ,x yo o)là 1 đỉnh của (E) thì hiển nhiên định lý đúng.

+)Giả sử Mo( ,x yo o)không là đỉnh của (E), tiếp tuyến với (E) tại Mocắt ox tại N. Ta
đi chứng minh M No là đường phân giác ngồi của góc đỉnh Motrong F1M0F2.

Tọa độ điểm N là nghiệm hệ phương trình:

2 2 1 ( , )

o o

o

xx yy

a

N o

a b

x
y



 







 


Ta có F1(c, 0),F c2( , 0).Từ đó:

1 1

2 2

2 2 2

ex ex

o o o o o

o o o o

o

a
c

x cx a a a F M

NF NF

a cx a a a

NF NF F M

c
x

 

    

     

  





 

  

Suy ra M No là đường phân giác ngồi góc đỉnh Motrong F1M0F2.
Ví dụ: Cho elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b  với a>b.

CMR tích các khoảng cách từ các điểm tới 1 tiếp tuyến bất kì của (E) bằng bình phương
độ dài nửa trục nhỏ của (E).

Giải:

Chuyển (E) về dạng tham số:

( ) : a sin ,



0, 2



cos

x t

E t

y b t 










(1)
Lấy điểm M x y( ,o o)( )E ta có: M(a sin , cos )t b t

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

 

d : xsint ycost 1 ( ) :d bxsint aycost ab 0

a b     

Khi đó với F1(c, 0),F c2( , 0)ta có:

1 1 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

| sin |

( , ( ))

sin os

| sin |

( , ( ))

sin os

| sin | | ( ) sin | ( sin os )

sin os sin os sin os

bc t ab

h d F d

b t a c t

bc t ab

h d F d

b t a c t

b c t a b a b t a b b t a c t

h h b

b t a c t b t a c t b t a c t

 

 




 



   

   

  

đpcm

Bài tập đề nghị:

1. Cho elip (E) có phương trình:

 









2 2

1 3

: 1

25 16

x y

E    

Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết:
a. Tiếp tuyến đi qua điểm A(-1, 1)

b. Tiếp tuyến đi qua điểm B(1, -2). Tìm tọa độ tiếp điểm B B1, 2.Lập phương trình
đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm và phương trình đường tròn ngoại tiếp BB1B2.

c. Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

 

 : 5x3y100
2. Lập phương trình tiếp tuyến chung của:

2 2

( ) : 1& ( ) : 9

9 4

x y

E   C x y  .

2 2 2 2

( ) : 1& ( ) : 1

9 4 4 9

x y x y

E   E  

3. Cho elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b  với a>b.

Từ điểm M tùy ý trên đường chuẩn

 

 kẻ được 2 tiếp tuyến đến (E) và tiếp xúc với (E)
tại P và Q.

a. CMR đường thẳng (PQ) đi qua F.

b. Xác định vị trí của M để độ dài đoạn PQ nhỏ nhất.

4. Cho elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b  với a>b.

Gọi A A1 2là trục lớn của (E). Dựng các tiếp tuyến A t A t1, 2 . Một tiếp tuyến đi qua
( )

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

a. CMR các tiêu điểm F F1, 2của (E) nhìn đoạn MN dưới góc vng.
b. CMR tích A M A N1 . 2 không phụ thuộc vào T.

c. Xác định tiếp tuyến sao cho FMNcó diện tích nhỏ nhất, trong đó F là một trong hai
tiêu điểm của (E).

d. Tìm quỹ tích giao điểm I của A M2 &A N1 khi T chạy trên (E).

5. Cho elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b 

Điểm M chạy trên đường thẳng (d) cố định không cắt (E) đã cho. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến

1, 2

MT MT tới (E), trong đó T T1, 2là các tiếp điểm.

a. Viết phương trình đường thẳng T T1 2theo tọa độ M.

b. CMR khi đó các đường thẳng T T1 2ln đi qua một điểm cố định.
6. Cho đường tròn (C) và elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b  và

 

2 2 2

C x y R với 0baR

Điểm M

 

C kẻ 2 tiếp tuyến MT MT1, 2tới (E), trong đó T T1, 2là các tiếp điểm.
a. Viết phương trình đường thẳng T T1 2theo tọa độ M.

b. CMR khi đó các đường thẳng T T1 2ln tiếp xúc với một (E) cố định.
7. Cho elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b  với 0<b<a

Có 2 tiêu điểm F F1, 2. Đường thẳng di động (d) luôn đi qua F2cắt (E) tại P, Q.
a. Đặt (Ox,F2P),02.Tính độ dài F P F Q2 , 2 theo a b, , .

b. CMR

2 2

1 1

F PF Qkhơng đổi.

c. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn PQ.
d. Đường thẳng F P2 cắt (E) tại SP. CMR 2 1

2 2

F P F P

F QF S không đổi.

e. CMR đường thẳng SQ luôn tiếp xúc với một elip cố định.
8. Cho elip (E) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

E

a b  với a>b.

Tiếp tuyến tại M của (E) cắt đường chuẩn 2tại N. CMR tiêu điểm F2nhìn MN dưới
góc vng.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Phần này chúng tơi xin khơng trình bày ở đây vì phần chứng minh các định lý và các bài
tập, phương pháp làm tương tự như trong phần tiếp tuyến của elip.

Chú ý:

Không tồn tại tiếp tuyến của (H) tiếp xúc với cả hai nhánh của (H).

Thật vậy: Đường thẳng (d) tiếp xúc với că 2 nhánh của (H)(d) đi qua tâm O của
(H), do đó phương trình của (d) có dạng: y = kx.

Đường thẳng (d)là tiếp tuyến của (H) 2 2 2

0 b

a k b k

a

     

Vậy ta được 2 tiếp tuyến là:



d1,2



:y bx
a

  (loại) vì đây là hai tiệm cận của (H).
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol (H) và đường thẳng (d) có phương trình:

 

2 2
2 2

: x y 1& ( ) : Ax 0

H d By C

a b     với

2 2

A B 

Điều kiện cần và đủ để (d) tiếp xúc với (H) là:

A a2 2B b2 2 C2

Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình:

 

2 2
2 2

: x y 1

H

a b 

Phương trình tiếp tuyến (d) của (H) tại điểm M x y( ,0 0)(H)có phương trình:
( ) :d xx2o yy2o 1

a  b 

Định lý pascal: Tiếp tuyến của (H) tạo với 2 bán kính qua tiêu điểm ứng với tiếp điểm
những góc bằng nhau.

Bài tập đề nghị:

1. Cho đường thẳng () và hypebol (H) có phương trình:

 

 : 2xy 8 0

 

2 2

: 1

16 9

x y

H  

Lập phương trình tiếp tuyến của (H) tạo với () một góc bằng 45o
.

2. Cho điểm M(-2, 9) và hypebol (H) có phương trình:

 

2 2

( 1) ( 1)

: 1

9 16

x y

H    

Lập phương trình tiếp tuyến của (H) đi qua điểm M
3. Lập phương trình tiếp tuyến chung của:

 

2 2

: 1

16 4

x y

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>





2 2

1 : 1

9 4

x y

H   và





2 2

2 : 1

4 9

x y

H  

 

2 2

: 1

9 4

x y

H   và

 

2 2

: 1

4 9

x y

E  

4. Cho (H) có phương trình:

 

2 2
2 2

: x y 1

H

a b 

Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vng góc với nhau tới (H).
5. Cho (H) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

H

a b 

Một tiếp tuyến bất kỳ của (H) là (d) tiếp xúc với (H) tại điểm T. Gọi M, N là các giao
điểm của tiếp tuyến (d) với các đường tiệm cận của (H).

a. CMR T là trung điểm của đoạn MN.

b. CMR diện tích OMN khơng phụ thuộc tiếp tuyến (d).
6. Cho (H) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

H

a b 

Điểm M chạy trên đường thẳng (d) cố định không đi qua O. Từ M kẻ hai tiếp tuyến

1, 2

MT MT tới (H), trong đó T T1, 2là các tiếp điểm.

a. Viết phương trình đường thẳng T T1 2theo tọa độ của M.

b. CMR khi đó các đường thẳng T T1 2luôn đi qua 1 điểm cố định.
7. Cho hypebol (H) và đường trịn (C) có phương trình:

 

2 2
2 2

:x y 1

H

a b  và

 

2 2 2

C x y R với 0Ra

a. Từ M(H)kẻ 2 tiếp tuyến MT MT1, 2tới (C), trong đó T T1, 2là các tiếp điểm. CMR
đường thẳng T T1 2luôn tiếp xúc với hypebol cố định.

b. Từ N( )C kẻ 2 tiếp tuyến ME ME1, 2tới (H), trong đó E E1, 2là các tiếp điểm. CMR

đường thẳng E E1 2luôn tiếp xúc với elip cố định.

D. Tiếp tuyến của parabol

Phần này chúng tơi xin khơng trình bày ở đây vì phần chứng minh các định lý và các bài
tập, phương pháp làm tương tự như trong phần tiếp tuyến của elip.

Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình:

 

: 2 & ( ) : Ax 0

P y  px d By C  với 2 2

A B 

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

pB2 2AC

Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho parbol (P) có phương trình:
2

( ) :P y 2px

Phương trình tiếp tuyến (d) của (P) tại điểm M x y( ,o o)( )P có phương trình:

 

d :yyo  p x( xo)

Định lý pascal:Tiếp tuyến của parabol tạo với bán kính qua tiêu điểm ứng với tiếp điểm
và trục của parabol những góc bằng nhau.

Bài tập đề nghị:

1. Cho đường thẳng

 

 và parabol (P) có phương trình:

 

: 2 1 0

( ) : 2

x y

P y x

   



a. Lập phương trình tiếp tuyến của parabol (P) vng góc

 

 .

b. Gọi M là tiếp điểm của (P) với tiếp tuyến (d), hãy lập phương trình đường trịn tâm
M và tiếp xúc với đường thẳng

 

 .

2. Cho đường thẳng

 

d1 và parabol (P) có phương trình:

 

: 2

( ) : 2 3

d y x

P y x x



  

Đường thẳng (d) là đường thẳng cùng phương với đường thẳng

 

d1 sao cho (d) cắt (P)
tại 2 diểm phân biệt A, B.

a. Lập phương trình của (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vng góc với nhau.
b. Lập phương trình của (d) khi độ dài AB = 40.

3. Lập phương trình tiếp tuyến chung của:
a.

 

2 2

: ( 2) 4

C x y  và

 

: 12

P y  x

 

2 2

: 1

9 4

x y

H   và

 

: 12

P y  x

 

2 2

: 1

9 4

x y

E   và

 

P :y2 2x

 

1 : 2 2

P yx  x và 2

(P) :yx

4. Cho parabol (P) có phương trình:

 

P :y2 2px

Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vng góc với nhau tới (P).

5. Lấy 2 điểm M, N theo thứ tự thuộc parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình:
( ) :P y264 & ( ) : 4x d x3y460

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

b. Với kết quả đã tìm được ở câu a) chứng tỏ rằng khi đó đường thẳng MN vng
góc với tiếp tuyến tại M của parabol.

6. Cho parabol (P). CMR hai tiếp tuyến tại hai đầu mút của dây cung qua tiêu vng góc
với nhau tại một điểm trên đường chuẩn.

7. Cho parabol (P) có phương trình:

 

P :y2 2px

Và điểm M chạy trên đường thẳng (d) cố định, không cắt (P) đã cho. Từ M kẻ
hai tiếp tuyến MT MT1, 2 tới (P),trong đó T T1, 2là các tiếp điểm.

a. Viết phương trình đường thẳng T T1 2theo tọa độ của M.

b. CMR khi đó các đường thẳng T T1 2ln đi qua 1 điểm cố định.
8. Cho parabol (P) và đường trịn (C) có phương trình:

( ) :P y2 2px và

 

C : (x a )2y2 R2 với 0M( )C kẻ 2 tiếp tuyến MT MT1, 2tới (P), trong đó T T1, 2là các tiếp điểm.
a. Viết phương trình đường thẳng T T1 2theo tọa độ của M.

b. CMR đường thẳng T T1 2luôn tiếp xúc với hypebol cố định.
9. Cho parabol (P) và elip (E) có phương trình:

( ) :P y 2x và

 

2 2

( 3)

: 1

4 1

x y

E   

Điểm M( )E kẻ 2 tiếp tuyến MT MT1, 2tới (P), trong đó T T1, 2là các tiếp điểm. CMR
đường thẳng T T1 2luôn tiếp xúc với hypebol cố định.

IV. Bài tập mở rộng trong toán cao cấp:

Với các dạng bài toán tiếp tuyến,chúng ta đã khá quen thuộc ở chương trình tốn phổ
thơng.Ở phần này nhóm chúng tơi xin giới thiệu phần mở rộng cho bài toán tiếp tuyến
trong chương trình tốn cao cấp,cụ thể là trong mơn hình học xạ ảnh.

1. Định nghĩa

Định nghĩa :Trong không gian xạ ảnh P (nn 1) cho siêu mặt bậc 2 (G) có phương trình





n
0
j
,
i

j
i
ijx x

a = 0

2 điểm M(y0 :...:yn) và N(z0 :...:zn) đc gọi là liên hợp với nhau đối với (G) nếu





n
0
j
,
i

j
i
ijy z

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Nếu M là 1 điểm của P nhưng không là điểm kì dị của S thì tập các điểm liên hợp với n
M là 1 siêu phẳng  có phương trình :

(ytA)x0
Hay

n

M
n
0

M
0

x
x
2

F
2
...
x
x
2

F
2




















= 0

Ta gọi  là đối cực của M và gọi M là cực của 

Nếu M(G) và M là điểm chính quy của (G) thì đối cực  của M gọi là tiếp diện của
(G) tại M ;mỗi đường thẳng trên  đi qua M gọi là 1 tiếp tuyến của (G) tại M

Ví dụ: Trong P cho đường bậc 2 không suy biến (G) ;4 tiếp tuyến phân biệt a,b,c,d của 2
(G) tại A,B,C,D tương ứng.Đặt {P}ab ; {Q}bc ; {L}dc ; {M}ad ;

c
a
}
N

{   ; {K}bd
a. Xét {E}PLQM
{F}PLNK

{H}QMNK

CMR mỗi điểm trong 3 điểm E,F,H là cực của đường thẳng nối 2 điểm còn lại.
b. CMR : AC,BD,PL,QM đồng quy

Lời giải :

a. Xét hình 4 đỉnh tồn phần PQLM ta có [HEMQ] = -1


















1
LQ
,
LM
,
LE
,
LH

1
PQ
,
PM
,
PE
,
PH

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Vì PE =LE = FE nên PH và LH cùng liên hợp với FE đối với (G).Vậy PH và LH cùng

đi qua cực của FE,nói cách khác PHLH{H} H là cực của FE

CMTT ta có F là cực của EH ; E là cực của HF
b. Ta có N là cực của AC

K là cực của BD
 ACBD là cực của NK
E là cực của HF

 EACBD

AC,BD,PL,MQ đồng quy tại E

Bài tập đề nghị :

1. Trong P thực cho đường bậc 2 (G) có phương trình 2
x0x1x1x2 x0x2 0

đối với mục tiêu



S0,S1,S2;E



.Viết phương trình các tiếp tuyến của (G) lần lượt đi qua
các điểm S0,S1,S2,E

2. Trong P cho đường bậc 2 (G) và 2 điểm phân biệt A,B trên (G).Giả sử tại A,B có 2 2
tiếp tuyến a,b của (G).Chứng minh rằng đường thẳng AB có cực là Cab

3. Trong P cho 1 đường bậc 2 không suy biến (G) và 2 bộ 3 điểm độc lập (A,B,C) và 2
(A’,B’,C’).Chứng minh rằng nếu A,B,C,D lần lượt có đối cực là B’C’,C’A’,A’B’ thì các
điểm A’,B’,C’ lần lượt có các đối cực là BA,CA,AB

4. Trong P cho 1 đường bậc 2 không suy biến (G) và 3 điểm độc lập A,B,C mà mỗi 2
điểm là cực của đường thẳng nối 2 điểm còn lại.1 đường thẳng m cắt BC,CA,AB lần lượt

tại P,Q,R.Gọi P’,Q’,R’ lần lượt là các điểm nằm trong BC,CA,AB và liên hợp với P,Q,R
đối với (G).Chứng minh rằng AP’,BQ’,CR’ đồng quy.

5. Trong P cho 2 đường bậc 2 không suy biến (G) và (S),1 tiếp tuyến biến thiên m của 2
(S).Gọi D là cực của m đối với (G).Tìm quỹ tích của D

2. Những định lý cổ điển về đường bậc 2 xạ ảnh

A. Định lý Steiner :

Định lý: Trong P cho 2 điểm phân biệt A,B và 1 ánh xạ xạ ảnh 2
f:ch

 

A ch

 

B (f(AB) AB)

Giả sử m là 1 đường thẳng thay đổi trong ch

 

A .Khi đó quỹ tích mf(m) là 1 đường
bậc 2 không suy biến (G) đi qua A,B và nhận các đường thẳng f(AB), f1(BA) làm tiếp
tuyến lần lượt tại B,A.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

f(AB) = BM là 1 ánh xạ xạ ảnh không phối cảnh mà f(AB); f1(BA) là các tiếp tuyến
của (G) tại B,A

Hệ quả:

a. Có 1 đường bậc 2 không suy biến duy nhất tiếp xúc với các cạnh của 1 hình 5 đỉnh
cho trước.

b. Cho hình 4 đỉnh và 1 điểm thuộc vào 1 cạnh nhưng không thuộc các cạnh cịn lại thì
có 1 và chỉ 1 đường bậc 2 không suy biến tiếp xúc với các cạnh của hình bốn đỉnh đã cho
và nhận điểm đã cho làm 1 tiếp điểm.

c. Cho hình 3 đỉnh và 2 điểm thuộc vào 2 cạnh nhưng khơng là đỉnh thì có 1 và chỉ 1
đường bậc 2 khơng suy biến nội tiếp hình 3 đỉnh đã cho nhận 2 điểm đã cho là tiếp điểm.

d. Cho 4 tiếp tuyến phân biệt a,b,c,d của 1 đường bậc 2 không suy biến (G) và 1 tiếp
tuyến bất kì của (G) thì tỉ số kép



ma,mb,mc,md



là 1 hằng số.(Hằng số này
gọi là tỉ số kép của 4 tiếp tuyến a,b,c,d và kí hiệu là [abcd])

B. Định lý Pascal(P)-Brianchon(B):
a. Về hình 6 đỉnh:

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

(B): Điều kiện cần và đủ để có 1 đường bậc 2 không suy biến (G) tiếp xúc với các cạnh
của 1 hình 6 đỉnh ABCDEF là 3 đường AD,BE,CF đồng quy

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

(P): Cho hình 5 đỉnh ABCDE và đường thẳng a đi qua A nhưng không đi qua B,C,D,E.
Điều kiện cần và đủ để có 1 đường bậc 2 khơng suy biến (G) đi qua các đỉnh của hình 5
đỉnh đã cho và nhận a làm 1 tiếp tuyến là 3 điểm ABDE,BCAE,aCD thẳng hang.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

c. Về hình 4 đỉnh:

(P): Cho hình 4 đỉnh ABCD và 4 đường thẳng a,b,c,d lần lượt đi qua A,B,C,D sao cho
mỗi đường chỉ đi qua 1 đỉnh như vậy mà không đi qua các đỉnh khác.Điều kiện cần và đủ
để có 1 đường bậc 2 không suy biến (G) đi qua 4 đỉnh A,B,C,D nhận a,b,c,d làm 4 tiếp
tuyến là 4 điểm ABCD,ADBC,ac,bd thẳng hang.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

d. Về hình 3 đỉnh:

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

(B): Cho hình 3 đỉnh ABC và 3 điểm A’,B’,C’ lần lượt nằm trên BC,CA,AB sao cho
không có điểm nào trùng với đỉnh.Điều kiện cần và đủ để có 1 đường bậc 2 khơng suy
biến (G) tiếp xúc với 3 cạnh của ABC và nhận A’,B’,C’ làm 3 tiếp điểm là 3 đường thẳng
AA’,BB’,CC’ đồng quy.

C. Định lý Fregier:

Định lý: Cho đường bậc 2 không suy biến (G);điểm A cố định thuộc (G) và 2 điểm M,N
biến thiên trên (S).Điều kiện cần và đủ để có biến đổi xạ ảnh đối hợp

g:ch

 

A ch

 

A
AMAN

là các đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định F nào đó.

D. Định lý Desargues thứ 2:

Định lý: Trong P cho hình 4 đỉnh ABCD và đường thẳng d không đi qua A,B,C,D.1 2
đường bậc 2 (G) biến thiên đi qua A,B,C,D và cắt d tại 2 điểm M,N.Khi đó ánh xạ

f :hg

 

d hg

 

d
MN

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Hệ quả: Cho hình 3 đỉnh ABC và 3 điểm A’,B’,C’ lần lượt thuộc các cạnh BC,CA,AB
mà không phải là đỉnh.Điều kiện cần và đủ để 3 đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng quy là
có 1 đường thẳng d cắt 3 cặp đường thẳng (AA’,BC),(BB’,AC),(CC’,AB) thành 3 cặp
điểm tương ứng của 1 biến đổi xạ ảnh đối hợp của hg

 

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

1. Trong P cho 2 đường bậc 2 không suy biến (G) và (S).Giả sử có 1 đơn hình ABC mà 2
3 đỉnh nằm trên (G) còn 3 cạnh tiếp xúc với (S) thì mọi đơn hình có 3 đỉnh trên (G) cũng
có 3 cạnh tiếp xúc với (S).

2. Trong P cho 2 đơn hình ABC và A’B’C’.Chứng minh rằng nếu 3 đường thẳng 2
AA’,BB’,CC’ đồng quy thì 6 điểm {M}= ABA’C’,{N}= ABB’C’,{K}= CAC’B’
,{P}= CAA’B’,{Q}= BCB’A’,{R}= BCC’A’ cùng nằm trên 1 đường bậc 2
khơng suy biến (G) nào đó.

3. Trong P cho đường bậc 2 không suy biến (G),2 điểm phân biệt A,B trên (G),1 điểm 2
C trên đường thẳng AB nhưng C(G),1 đường thẳng thay đổi đi qua C cắt (G) tại
N,N’.Gọi (d) là tiếp tuyến của (G) tại A.Đặt {M}= BN(d),{M’}= BN’(d).2 tiếp
tuyến xuất phát từ M,M’(mà khơng phải là d) cắt nhau tại Q.Tìm quỹ tích của Q.

4. Trong P cho đường bậc 2 không suy biến (G),4 diểm A,B,C,D trên (G).Gọi P là giao 2
2 tiếp tuyến tại A và D.Gọi Q là giao 2 tiếp tuyến tại B và C.Đặt {M}= ACDP,

</div>

bai toan ve tiep tuyen

Chuyên đề : Các bài toán về tiếp tuyến

Mở đầu

I. Tiếp tuyến và các khái niệm liên quan:

II. Các bài toán về tiếp tuyến :

1. Bài toán xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số:





2. Bài toán về sự tiếp xúc của đường cong với đường thẳng và đường

cong với đường cong:

III. Bài tốn tiếp tuyến trong hình học

  







 

  



 





 





 

 



 





 



 











<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

  







  



 





<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

 











<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub>  </sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>

<sub> </sub>









