sang kien kinh nghiem

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i> B . </i>

<i>PHẦN NỘI DUNG</i>

Phaàn I

<b>PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BAØI TOÁN</b>

<b> MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ </b>

<b>BCNN</b>

Trong chương trình tốn số học lớp 6 ,sau khi học khái niệm ƯCLN và CBNN các
bạn sẽ gặp dạng tốn tìm hai số ngun dương khi biết một số yếu tố trong đó có
các dữ kiện về ƯCLN và BCNN

Phương pháp chung để giải :

1) Dựa vào định nghĩa ƯCLN,để biểu diễn hai số phải tìm , liên hệ với các yếu
tố đã cho để tìm hai số .

2) Trong một số trường hợp ,có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN và
BCNN và tích của hai số nguyên dương a,b đó là : ab = (a,b) .[a,b] trong đó
(a,b) là ƯCLN và [a,b] là BCNN của a và b .Việc chứng minh định nghĩa này
khơng khó :

Theo định nghĩa ƯCLN gọi d=(a,b)  a= md ; b = dn với m,n



Z+ và (a,b) =

1 (*)

Từ (*)  ab = mnd2 ; [a,b] = mnd  (a,b) .[a,b] = d.(nmd) = mnd2 = ab

 ab = (a,b) .[a,b] (**)

Từ bài toán hết sức đơn giản giúp ta giải nhanh một số bài tốn khó và phức
tạp hơn

<i><b>Bài toán gốc 1</b></i><b> : </b><i><b> So sánh tích ƯCLN(a;b) . BCNN(a;b) với tích a.b</b></i>

<i><b> (Bài 115 b – Sgk lớp 6 – tập 1 )</b></i>
<b> </b><i><b>Giải:</b></i>

<i><b>Gọi d = (a;b) thì a = da’ , b = db’ (1) trong đó (a’;b’) = 1 </b></i>
<i><b> Đặt </b></i> <i>ab_d</i> <i><b> = m (2) ta cần chứng minh rằng [a,b]= m</b></i>

<i><b> Để chứng minh điều này , ta cần chứng tỏ tồn tại các số tự nhiên x,y sao cho</b></i>
<i><b> m = ax , m = by và (x;y ) = 1 </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b> m = b.</b></i> <i>_da</i> <i><b>= ba’. Do đó : ta chọn x = b’; y = a’; thế thì ( x;y ) = 1</b></i>
<i><b> Vậy : </b></i> <i>ab_d</i> <i><b> = [ a,b ], tức là : [a,b].(a,b) = a.b</b></i>

<i><b> </b></i>

Chúng ta hãy xét một số bài toán minh hoạ :

<i><b>Bài tốn 1.1</b></i> : Tìm hai số ngun dương a,b biết [a,b] = 240 và (a,b) = 16.
<i><b> Lời giải </b></i>

Do vai trị của a,b là như nhau, khơng mất tính tổng quát , giả sử a  b .

Từ (*) , do (a,b) = 16 nên a= 16m ; b = 16n (m n do a  b ) với m,n



Z+; (m,n) =
1.

Theo định nghóa CBNN :[a,b] = nmd = mn.16 = 240  mn = 15
 






5
,
3
15
,
1
<i>n</i>
<i>m</i>
<i>n</i>
<i>m</i>
 






80
,
48
240

,
16
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>

Chú ý Ta có thể áp dụng cơng thức (**) để giải bài toán này : ab = (a,b) .[a,b]
 mn.162 = 240.16  mn= 15

<i><b>Bài toán 1.2</b></i>: Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab = 216 và (a,b) = 6
<i><b> Lời giải </b></i>

Lập luận như bài 1 , giả sử a  b . Do (a,b) = 6  a= 16m;b= 16n với n,m



Z+

(m,n) =1;mn . Vì vậy a = 6m.6n = 36mn  ab = 216  mn=6



_





























18

,12

36

,6

3

,2

6

,1

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>n</i>

<i>m</i>

<i>n</i>

<i>m</i>

<i><b>Bài toán 1.3</b></i> : Tìm hai số nguyên dương a,b biết ab = 180,[a,b] = 60
<i><b>Lời giải :</b></i>

Từ (**)  (a,b) =

  60 3
180

,<i>b</i>  

<i>a</i>

<i>ab</i>

Tìm được (a,b) =3 ,
bài toán được về dạng bài toán 1.2

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(5)

Chú ý : ta có thể tìm (a,b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN và BCNN : theo
(*)

ta coù ab = mnd2_{= 180 ; [a,b] = mnd= 60}_ _{d= (a,b) = 3 .}

<i><b>Bài toán 1.4</b></i> : Tìm hai số ngun dương a,b biết 2,6

<i>b</i>
<i>a</i>

và (a,b) = 5
<i><b>Giaûi :</b></i>

Theo (*) ta có (a,b) = 5  a= 5m ; b= 5n với :( m,n) = 1.
Như vậy : <i>_ba</i> = <i>m_n</i> =2,6 

<i>n</i>
<i>m</i>

= 13₅













5

13

<i>n</i>

<i>m</i>













25

65

<i>b</i>

<i>a</i>

Chú ý ; Phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m,n)=1

<i><b> Bài tốn1. 5:</b></i>

Tìm hai số a,b biết <i>_ba</i> = ₅4 và [a,b] = 140
<i><b>Giải</b></i>

Đặt (a,b) = d . Vì <i>_ba</i> = ₅4 mặt khác (4,5) = 1 nên a= 4d, b = 5d
Lưu ý [a,b] = 4.5.d = 20d = 140

 d = 7  a = 28; b = 35

<i><b>Bài toán 1.6</b><b> </b></i>:

Tìm hai số nguyên dương a,b biết a + b = 128 vaø (a,b) = 16
<i><b>Giaûi:</b></i>

Lập luận như bài 1.1, giả sử a  b

Ta có : a = 16m ; b = 16n Với : n,m



Z+; (m,n) =1; m  n
Vì vậy : a +b = 128  16 ( m+n) = 128

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>


















80
,
48
112
;
16
5
;
3
7
;
1
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>n</i>
<i>m</i>
<i>n</i>
<i>m</i>
(6)

<i><b>Bài tốn 1.7</b></i> : Tìm a,b biết a+b = 42 và [a,b] = 72 .
<i><b> Giải </b></i>

Gọi d = ( a,b)  a = md;b = nd Với : n,m



Z+; (m,n) =1 ;(n,m) = 1

Khơng mất tính tổng quát , giả sử a  b

 m  n . do đó a+ b = d (m+n) = 42 (1)
[a,b] = mnd = 72 (2)

 d là ước chung của 42 và 72

 d



1;2;3;6 Lần lược thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m,n ta thấy

chỉ có trường hợp d = 6

























4

3

12

7

<i>n</i>

<i>m</i>

<i>mn</i>

<i>nm</i>

Vậy d = 6 và















24

6.

4

18

6.

3

<i>b</i>

<i>a</i>

<i><b>Bài tốn 1.8</b></i>: tìm hai số , biết rằng bội chung nhỏ nhất của chúng và ước chung lớn
nhất của chúng có tổng bằng 19

Giải : Gọi a và b là hai số phải tìm , d là ƯCLN ( a,b).
ÖCLN(a,b) = d

'

'
( ', ') 1

<i>a da</i>
<i>b db</i>
<i>a b</i>
 

 _ 
 _


BCNN(a,b) = . '. ' ' '

( , )

<i>a b</i> <i>da db</i>

<i>da b</i>

<i>UCLN a b</i>  <i>d</i> 

Theo đề bài : BCNN(a,b) + ƯCLN (a,b) = 19
Nên : da’b’ + d =19 . Suy ra d(a’b’ + 1) = 19
Do đó a’b’ + 1 là ước của 19, và a’b’ + 1 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

d a’b’ a’ b’ a b

1 18 = 2.32 18₉ 1₂ 18₉ 1₂

</div>

<!--links-->