SKKN mot so dang toan ve tinh chat chia het trong N

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phần một : đặt vấn đề</b>

Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế
mơn tốn đóng một vai trị quan trọng trong nhà trờng. Thơng qua mơn tốn, học
sinh nắm vững các kiến thức tốn học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác
để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng
trong lao động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa
học.... Để giúp HS học tốt mơn tốn địi hỏi ngời thày giáo phải có sự lao động
sáng tạo nghiêm túc.

Một vấn đề lớn trong chơng trình tốn THCS là vấn đề chia hết. Vấn đề
này đợc đa vào từ lớp 5, phát triển ở lớp 6, lớp 7 và đợc đề cập trong những bài
toán nâng cao dành cho học sinh giỏi ở lớp 8, lớp 9. Trong các kì thi học sinh
giỏi các cấp, đặc biệt là ở lớp 6 thì vấn đề chia hết là một nội dung hay đề cập
đến và thờng là những bài khó. Các bài tốn về chia hết nếu chỉ đơn thuần làm
các bài tập nh SGK thì rất dễ nhng các bài tốn nâng cao thì rất khó, đa dạng và
khơng có một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phơng pháp khác
nhau một cách linh hoạt, sáng tạo. Trong khi năng lực t duy, khả năng phân tích
tổng hợp của HS còn hạn chế nên HS thờng bế tắc trong việc tìm ra cách giải cho
loại tốn này. Vấn đề đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bài tốn
và lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải. Hơn nữa để giải đợc các bài tập nâng
cao về tính chia hết thì ngồi việc nắm kiến thức cơ bản có trong chơng trình, HS
cịn phai nắm vững một số kiến thức bổ sung mở rộng, những kiến thức này
không đợc phân phối trong các tiết học nên HS ít đợc vận dụng và rèn luyện trừ
khi gặp những bài tập khó.Vì thế kỹ năng vận dụng các kiến thức đó cha đợc
thành thạo, nhạy bén, HS thờng mắc sai lầm nh : Khi thấy một tng chia ht cho

m thì vội và kết luận các số hạng chia hết cho m ; hoặc khi thấy am và an

thì kết luận ngay là amn mà không xem xét xem m,n có nguyên tố cùng nhau

hay không.

Để giúp HS gải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến
thức về tính chia hết, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dỡng HS giỏi,
góp phần vào việc “đào tạo và bồi dỡng nhân tài”. Tơi xin trình bày kinh nghiệm
“Hớng dẫn HS lớp 6 giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trong N”.
Đây là sự đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho HS phơng pháp nhận dạng
các bài tốn về tính chia hết và hớng dẫn phơng pháp phân tích để có lời giải hợp
lý.

<b>Phần hai : Giải quyết vấn đề</b>
<b>A. Vấn đề cần giải quyết :</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

đó các em phải nắm đợc phơng pháp cơ bản để giải bài tốn về tính chất chia hết
và các bài tập có liên quan.

Ngồi ra HS cần nắm đợc một số dạng tốn điển hình về chia hết và có
phơng pháp giải quyết phù hợp đối với mỗi dạng. Có đợc kỹ năng này các em sẽ
làm đợc các bài tập một cách nhanh gọn, linh hoạt.

Để giải quyết đợc những vấn nêu trên HS cần phải phát huy tính tích cực,
t duy sáng tạo. Còn giáo viên là ngời thiết kế, hớng dấn các em, khơi dậy t duy,
tạo hứng thú học tập. Có nh vậy chơng trình dạy và học mới đạt hiệu quả cao.

<b>B. C¸c biƯn ph¸p tiÕn hành :</b>

<b>I. Hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhí :</b>

Để HS thuận lợi trong việc giải tốn về tính chất chia hết cần củng cố cho
các em những kiến thức cơ bản về tính chia ht v nhng kin thc cú liờn quan,

ú l:

<i><b>1/ Định nghĩa :</b></i>

cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0). Ta nãi a chia hÕ cho b nếu tồn tại số tự

nhiên q sao cho a = b.q . Ta còn nói a là bội của b hoặc b là ớc của a, hoặc a chia
hÕt cho b.

<i><b>2/ C¸c tÝnh chÊt vỊ chia hÕt :</b></i>

<b>* TÝnh chÊt chung :</b>

a) Sè 0 chia hÕt cho mäi sè b ≠ 0.

b) Mọi số a ≠ 0 đều chia hết cho chính nó.

c) TÝnh chÊt bắc cầu : Nếu ab, bc thì ac.

+ TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu.

d) NÕu a⋮m, b⋮m th× tỉng a + b⋮m, a - b⋮m.

+ HƯ qu¶ :

- NÕu (a + b)m (hoặc a - bm) và am thì bm.

- Nếu (a + b)m (hoặc a - bm) và bm thì a⋮m.

e) NÕu a⋮m, b⋮m th× a + b⋮m, a - b⋮m ;

NÕu a⋮m, b⋮m th× a + b⋮m, a - b⋮m.

f) NÕu mét thõa sè cđa tÝch chia hÕt cho m th× tÝch chia hÕt cho m.

+ Hệ quả: Nếu am thì an_{m (n là số tự nhiên} 0_).

g) Nếu am, bn thì abmn

+ Hệ quả : nếu ab thì an_bn_.

h) Nếu A⋮B th× mA +nB⋮B , mA - nB⋮B.

i) NÕu mét tÝch chia hÕt cho mét sè nguyªn tè p thì tồn tại một thừa số của
tích chia hết cho p.

+ Hệ quả: nếu an_{p (p là số nguyên tố) thì a}_p.

j) Nếu abm, b và m, n guyên tố cùng nhau thì am.

k) Nếu am, an thì aBCNN(m,n) .

+ Hệ quả :

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

- Nếu a chia hết cho các số ngun tố cùng nhau đơi một thì a
chia hết cho tích của chúng.

<i><b>3/ Bỉ sung mét sè dÊu hiƯu chia hÕt :</b></i>

Ngoài các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 mà HS đã đợc học

trong chơng trình SGK, cần bổ sung thêm một số dấu hiệu sau:

a) DÊu hiÖu chia hÕt cho 4, cho 25 :

Một số chia hết cho 4 (hoặc cho25) khi và chỉ khi số đó có hai chữ số tận
cùng chia hết cho 4 ( hoặc cho 25).

b) DÊu hiÖu chia hÕt cho 8, cho 125 :

Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ số
tận cùng chia hết cho 8 ( hoặc cho 125).

c) DÊu hiÖu chia hÕt cho 10:

Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0.
d) Dấu hiệu chia hết cho 11 :

Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các số đứng ở vị trí
lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết chia 11.

<i><b>4/ Bỉ sung kiÕn thøc vỊ ¦CLN và BCNN :</b></i>
a) Thuật toán Ơclit :

+ Nếu ab thì ƯCLN(a,b) = b.

+ Nếu ab thì ƯCLN(a,b) = ¦CLN(b,r).

(r lµ sè d trong phÐp chia a cho b)
b) ¦CLN(a,b). BCNN(a,b) = ab.

<i><b>5/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau :</b></i>

+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, có hai ớc là 1 và chÝnh nã.
Sè 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai íc.

+ Hai hay nhiều số đợc gọi là hai số nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của
chúng bằng 1.

<b>II. Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải:</b>

Bài tập về tính chia hết rất phong phú và đa dạng. Trong phần này tôi chỉ

cp n một số dạng tốn điển hình, có thể phân loại nh sau :

<b>1/ Các bài toán áp dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết</b>
<b>:</b>

<i><b>* Dạng 1: </b></i>

Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số: Để chứng minh một biểu
thức chia hết cho một số nào đó, ngồi việc sử dụng các tính chất chia hết và các
dấu hiệu chia hết đã biết rồi còn phải tuỳ theo từng trờng hợp cụ thể để kết hợp
với một số kiến thức khác nh :Các tính chất của các phép tốn, phép luỹ thừa,
tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa, phép chia có d, cấu tạo số, số nguyên tố cùng
nhau ... Cụ thể là :

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>VÝ dô 1:</b>

Cho A = 2 + 22_{+ 2}3_{+...+ 2}99_{+ 2}100_{. Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 31.}

<i>- Phơng pháp</i> : Chia tổng A thành từng nhóm thích hợp để biến đổi về
dạng A = 31.Q rồi áp dụng tính chất :

<b> Gi¶i:</b>

A = (2 + 22_{+ 2}3_{+ 2}4_{+ 2}5_{) + (2}6_{+ 2}7_{+ 2}8_{+ 2}9_{+ 2}10_{) + ...}

+ (296_{+ 2}97_{+ 2}98_{+ 2}99_{+ 2}100₎

= 2(1 + 2 + 22_{+ 2}3_{+ 2}4_{) + 2}6_{(1 + 2 + 2}2_{+ 2}3_{+ 2}4_{) + ...}

+ 296_{(1 + 2 + 2}2_{+ 2}3_{+ 2}4₎

= 2.31 + 26_{.31 + .... +2}96_{.31 = 31(2 + 2}6_{+... + 2}96₎

VËy A⋮31

<b> VÝ dô 2 : </b>

Chøng minh r»ng 34n + 1_{+ 2}⋮_{5 víi mäi n .}

<i>- Phơng pháp</i> : Tìm chữ số tận cùng của 34n + 1_{+ 2 råi sư dơng dÊu hiƯu}

chia hÕt cho 5.

<b> Gi¶i :</b>

34n + 1_{+ 2 = (3}4₎n _{. 3 + 2 = 81}n _{.3 + 2}

Nh÷ng sè cã ch÷ sè tËn cïng là 1 thì khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nµo

khác 0 cũng vẫn có tận cùng là 1, do đó 81n _{có tận cùng là 1.}

⇒ 81n _{.3 cã tËn cïng lµ 3}⇒₈₁n _{.3 + 2 cã tËn cïng lµ 5.}

vËy 81n _{.3 + 2}⋮_{5 hay 3}4n + 1_{+ 2}⋮_{5 .}

<b> VÝ dô 3: </b>

Chứng minh rằng 1033_{+ 8}_{2 và 9}

<b> Giải :</b>

1033_{+ 8 = 10...0 + 8 = 10...08}

33 ch÷ sè 0 32 ch÷ sè 0

Sè 10...08 cã ch÷ sè tËn cïng là 8 nên 2, có tổng các chữ số

33 ch÷ sè 0 là 9 nên9

<i><b>b) Kết hợp víi kiÕn thøc vỊ phÐp chia cã d</b><b> :</b></i>

<b> VÝ dô 4 :</b>

Chøng tá r»ng hai sè tù nhiên a và b khi chia cho số tự nhiên c≠ cã cïng

sè d th× hiƯu cđa chóng chia hÕt cho c .

- <i>Phơng pháp:</i> Sử dụng kiến thức về phép chia có d để biểu diễn a, b rồi
tìm hiệu của chúng.

<b> Gi¶i :</b>

Ta cã a = cq1 + r (0 ≤ r < c)

b = cq2 + r (0 ≤ r < c)

Gi¶ sư a > b, a – b = (cq1 + r) - (cq2 + r) = cq1 + r – cq2 - r = cq1- cq2 =

= c(q1- q2)

VËy a – b⋮c

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ta biết rằng số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số d trong
phép chia cho 3, cho 9 (theo cách chứng minh dấu hiệu chia hết cho 3, cho9). Từ
đó rút ra nhận xét :

Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, cho9.
(Yêu cầu HS ghi nhớ nhận xét này để vận dụng giải bài tập).

<b> VÝ dô 5: </b>

Cho n∊N. Chøng minh r»ng : n(n + 1)(2n + 1) 6

<b>Giải :</b>

+ Trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có một số là bội của 2

Do đó n(n + 1)(2n + 1) ⋮2.

+ Ta cÇn chøng minh n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 th× n(n + 1)(2n + 1) ⋮6

(V× 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau)
XÐt hai trêng hỵp :

- NÕu n ⋮3 ⇒ n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 ⇒ n(n + 1)(2n + 1) ⋮6

- NÕu n ⋮3 ⇒ n = 3k + 1 hc n = 3k + 2 (k∊ N)

Khi n = 3k + 1 th× 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3⋮3

⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮3⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮6

Khi n = 3k + 2 th× n + 1 = (k + 2) + 1 = 3k + 3⋮3

⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮3⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮6

VËy :Trong mọi trờng hợp ta luôn có n(n + 1)(2n + 1)⋮6

<i><b>c) Sử dụng cấu tạo số để biến đổi:</b></i>

<b> VÝ dô 6:</b>

Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c chia hết cho 7.
- <i>Phơng pháp:</i> Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích abc thành tổng

của hai số hạng: một số hạng là bội của 7, một số hạng là 2a + 3b + c

<b>Gi¶i:</b>

Ta cã abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c
= (98a + 7b) + (2a + 3b + c)

= 7(14a + b) + (2a + 3b + c)
Mµ 7(14a + b) chia hÕt cho 7

Do đó (2a + 3b +c) chia hết cho 7

<b> VÝ dụ 7:</b>

Với a, b là những chữ số 0. H·y chøng minh:

a) aaabbb chia hÕt cho 37

b) (abab – baba) chia hÕt cho 9 vµ 101 (a > b)

- <i>Phơng pháp</i>: Dùng cấu tạo số để biến đổi về dạng A = BQ

<b>Gi¶i:</b> a, aaabbb = 1000 aaa + bbb = 1000.111a + 111b

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>d. Toán về chia hết có liên quan đến hai số nguyên tố cùng nhau:</b></i>

<b> VÝ dô 8:</b>

Cho biÕt 3a + 2b chia hÕt cho 17 (a,b ∊ N), chøng minh r»ng 10a + b chia

hết cho 17.

<b>Giải:</b> Đặt 3a + 2b = X, 10a + b = Y

Ta cã: 2Y – X = 2 (10a + b) – (3a +2b)
= 20a + 2b – 3a – 2b = 17a

Do đó 2Y – X chia hết cho 17, mà X chia hết cho 17 nên 2Y chia
hết cho 17 (hệ quả của tính chất 4). Mặt khác 2 và 17 nguyên tố cùng nhau nên
Y chia hết cho 17 (tính chất 10) hay 10a + 6 chia hết cho 17.

<b> VÝ dô 9:</b>

Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số. Chứng minh rằng nếu chuyển
chữ số tận cùng lên đầu tiên ta vẫn đợc số chia hết cho 7.

<b>Gi¶i:</b> Gäi sè chia hết cho 7 gồm 6 chữ số là: X = abcdeg

Nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta đợc số: Y = gabcde
Đặt abcde = n thì X = 10n + g, Y = 100000g + n

Ta cã: 10Y – X = 10(100000g +n) – (10n + g)

= 1000000g + 10n – 10n – g = 999999g ⋮7

10 Y – X chia hÕt cho 7, X chia hÕt cho 7 nªn 10Y ⋮7

Mà 10 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nªn Y⋮ 7 hay abcdeg ⋮7

<i><b>e/ Sư dơng mét sè tÝnh chÊt kh¸c:</b></i>

<b> VÝ dơ 10:</b>

Chøng minh r»ng 10n_{+ 18n – 1 chia hÕt cho 27}

- <i>Phơng pháp</i>: biến đổi 10n_{+ 18n – 1 thành tổng các số hạng đều chia hết}

cho 27.

<b>Gi¶i:</b> Ta cã 10n_{+ 18n – 1 = 10}n_{– 1 – 9n + 27n}

<b> = 99.</b>...9 – 9n + 27n

<b> n</b>

= 9 (11...1 – n) + 27n
n

Dùa vµo nhËn xÐt ë vÝ dơ 4 ta cã:

Sè 11...1 và tổng các chữ số của nó (bằng n) có cïng sè d trong
n

phÐp chia cho 3 nªn hiƯu cđa chóng chia hÕt cho 3, nghÜa lµ :

11...1 – n chia hết cho 3, do đó 9(11... 1 – n) chia hết cho 27 .
n n

VËy 9(11...1 – n) + 27n chia hÕt cho 27
n

Hay 10n_{+ 18n – 1 chia hÕt cho 27.}

<b>VÝ dơ 11:</b>

Chøng minh r»ng sè gåm 27 ch÷ sè 1 th× chia hÕt cho 27

- <i>Phơng pháp</i>: biến đổi số đó thành tích của hai thừa số, một thừa số chia
hết cho 9, một thừa số chia hết cho 3 rồi áp dụng tính chất 7.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Tỉng c¸c chữ số của B là 9 nên B9 (1)

Ly A chia B đợc thơng là: 100...0100...0 (d 0)
8 chữ số 0 8 chữ số 0

Ta viết đợc A = B.C

Tổng các chữ số của C bằng 3 nên C⋮3 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra B.C⋮27 hay A7

<i><b>* Dạng 2</b><b>:</b></i>

<i><b>Tìm các chữ số theo điều kiƯn vỊ chia hÕt.</b></i>

<b>VÝ dơ 12:</b>

Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để A = 52*2* chia hết cho 36

<i>- Phơng pháp</i> : Xét điều kiện để A⋮4 và cho 9 từ đó tìm ra các chữ s.

<b> Giải :</b>

Để A34 thì A4 và 9 hai chữ số tận cùng của A tạo thµnh sè chia hÕt cho

4, nghÜa lµ 2*⋮4 ⇒ 2*∊ {20 ; 24 ; 28}

- Trêng hỵp 1 : A = 52*20. Để A9 thì 5 + 2 + * + 2 + 0 ph¶i chia hÕt cho 9, tøc

là 9 + * phải chia hết cho 9, do đó * ∊{ 0 ; 9 }

- Trêng hỵp 2 : A = 52*24. Lập luận tơng tự nh trên ta cã * = 5.
- Trêng hỵp 3 : A = 52*28, ta cã * = 1

Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp vừa tìm ở trên, ta tìm đợc các số :52020 ;

52920; 52524 ; 52128 đều chia hết cho 36.

<b> VÝ dô 13</b> <b>: </b>

Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 vµ 7a5b1⋮3.

<b>Giải :</b>

Vì 13 : 3 d 1 a + b : 3 d 2 (1)

Do a, b lµ chữ số và a b = 4 nên :

4≤ a ≤ 9 vµ 0≤ b ≤ 5 ⇒ 4≤ a + b ≤ 14 (2)

Do a – b là số chẵn nên a + b cũng là sè ch½n (3)

Tõ (1),(2),(3) ⇒ a + b ∊ {8 ; 14}

Víi a + b = 8 , a – b = 4 ⇒ a = 6, b =2

Víi a + b = 14, a – b = 4 ⇒ a = 9, b = 5

Ta đợc các số 76521 ; 79551 ⋮ 3

<b> VÝ dô 14: </b>

Tìm chữ số a để 1aaa1⋮11.

<b>Gi¶i</b> <b>:</b>

Tổng chữ số hàng lẻ là 1 + a + 1 = a + 2
Tổng chữ số hàng chẵn lµ a + a = 2a

- NÕu 2a ≥ a + 2, ta cã 2a – (a + 2) = a - 2

để 1aaa1⋮11 thì a - 2⋮11, mà 2 – a < 2 ⇒ 2 – a = 0 ⇒ a = 2

- NÕu 2a < a + 2, ta cã a + 2 – 2a = 2 - a

để 1aaa1⋮ 11 thì 2 - a⋮ 11 mà 2 – a < 2 ⇒ 2 – a = 0 ⇒ a = 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>Ví dụ 15 :</b>

Tìm chữ số a, biết r»ng 20a20a20a⋮7

<b> Gi¶i :</b>

Ta cã 20a20a20a = 20a.20a.1000 + 20a

= (20a.1000 + 20a).1000 + 20a
= 1001.20a.1000 + 20a

= 7.143.20a.1000 + 20a⋮7

mµ 7.143.20a.1000⋮7⇒20a⋮7

20a = 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a)⋮7

mà 196⋮7 ⇒ 4 + a⋮7. Vì a là chữ số ⇒ a = 3. Ta đợc số 2032032037

<i><b>* Dạng 3 :</b> <b>Tìm số tự nhiên theo ®iỊu kiƯn cho tríc</b></i>

<b> VÝ dơ 16:</b>

T×m các số tự nhiên x và y sao cho:
(2x + 1)(y -3) = 10

- <i>Phơng pháp</i> : Xét các ớc của 10

<b> Giải</b> <b>:</b>

x và y là các số tự nhiên nên 2x + 1 và y -3 là các ớc của 10 (y>3). Các ớc của 10

là 1 ; 2; 5; 10. Vì 2x + 1 là số lẻ nên 2x + 1 ∊ {1 ; 5}

Ta cã b¶ng sau :

2x + 1 y - 3 x y

1 10 0 13

5 2 2 5

<b>VÝ dơ 17</b> <b>:</b>

T×m sè tù nhiªn n sao cho n + 6 ⋮ 2n - 1

<b>Gi¶i</b> <b>:</b>

n + 6 ⋮ 2n - 1 ⇒ [2(n+6) - (2n -1)] ⋮2n - 1

⇒ (2n + 12 - 2n + 1) ⋮ 2n - 1

⇒ 13⋮2n - 1

⇒ 2n - 1 lµ íc cđa 13 ⇒ 2n - 1 ∊ {1; 13}

Ta cã b¶ng sau:

2n -1 1 13

n 1 7

<b>VÝ dô 18:</b>

Tìm số tự nhiên n lớn nhất có hai chữ sè sao cho n2_{– n chia hÕt cho 5}

<b> Gi¶i:</b>

Ta cã n2_{- n = n(n -1)}

n2_{- n chia hết cho 5}⇒ _{n(n -1)}⋮_{5 do đó n}⋮_{5 hoặc n - 1}⋮₅

NÕu n⋮5 ⇒n cã ch÷ sè tận cùng là 0 hoặc 5

Nu n - 1⋮5 ⇒ n có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6. Do đó n có thể có chữ số tận

cïng lµ 0 ; 1 ; 5 ; 6. Để n là lớn nhất có hai chữ số sao cho n2_{- n}⋮_{5 ta chän n =}

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b> Ví dụ 19 :</b>

Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 ⋮7

<b>Gi¶i</b> <b>:</b>

18n + 3 ⋮7 ⇒ 21n - (18n + 3) ⋮7 ⇒ 21n - 18n - 3⋮7 ⇒ 3n - 3⋮7 ⇒ 3(n

-1)7

Vì 3, 7 là 2 số nguyên tố cïng nhau nªn n - 1 ⋮7

⇒ n = 7k + 1 (k∊ N)

<b> VÝ dơ 20</b> <b>:</b>

Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó

<b>Gi¶i</b> <b>:</b>

Gäi sè có hai chữ số phải tìm là ab, theo bài ra ta cã ab ⋮ab

ab = 10a + b⋮ab (1)

⇒ 10a + b ⋮a mµ 10a ⋮a ⇒ b⋮a

⇒ b = ka (2) (k∊N; k<10)

Thay (2) vµo (1) ta cã: 10a + ka⋮aka

⇒ 10a + ka⋮ka ⇒ 10a ⋮ka ⇒ 10⋮ka ⇒ k ∊ {1; 2; 5} (v× k < 10)

+ Nếu k = 1 ta có b = a. Thay vào (1) đợc :

10a + a⋮a2 ⇒₁₁⋮_a⇒_{a = 1, do đó b = 1. Vậy ab = 11}

+ NÕu k = 2 ta cã b = 2a

Lần lợt xét các số có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục
là: 12; 24; 36; 48 ta thấy các số 12; 24; 36 thoả mãn đầu bài.

+ NÕu k = 5 ta cã b = 5a. Ta thÊy sè 15 thoả mÃn đầu bài.
Vậy có 5 số thoả mÃn lµ: 11; 12; 15; 24; 36

<b> VÝ dơ 21:</b>

Tìm số có ba chữ số nh nhau biết rằng số đó có thể viết đợc dới dạng tổng các số
tự nhiên liên tiếp từ 1.

<b>Gi¶i:</b>

Gọi số cần tìm là aaa. Theo bµi ra ta cã:

Vì n (n+1)37 nên tồn tại một trong hai thõa sè ⋮37. Mµ:

là số có 3 chữ số nên (n + 1) và n đều nhỏ hơn 74.

⇒ n = 37 hc n + 1 = 37

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

VËy số phải tìm là 666

<b>2/ Các bài toán về số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau</b> <b>:</b>

<b> * Dạng 1</b> <b>:</b>

<i>Chứng minh một số là số nguyên tố, hợp số.</i>

<b>Ví dụ 22</b> <b>:</b>

Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n 0 thì số

11...1211...1 là hợp số

n n

- <i>Phơng pháp</i> : Phân tích số đã cho thành tích của hai thừa số lớn hơn 1.

<b> Gi¶i:</b>

Ta cã : 11...1211...1 = 11...100...0 + 11...1 = 11...1. (10n_{+1) lµ tÝch}

cđa

n n n + 1 n n + 1 n + 1

hai thừa số lớn hơn 1.
Vậy tích đã cho là hợp số.

<b>VÝ dơ 23:</b>

Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là số
nguyên tố hay hợp số.

- <i> Phơng pháp:</i> Xét các khả năng có thể xảy ra cđa p råi thay vµo 4p + 1
<b> Gi¶i:</b>

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p⋮3. Do đó p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2.

Với p = 3k + 1 ⇒ 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 ⋮3 nên là hợp số, trái với

bài cho 2p + 1 là số nguyên tố.

Do đó p = 3k + 2, khi đó 4p + 1 = 4(3p + 2) + 1 = 12k + 9 ⋮9 và 12k + 9 > 3.

VËy 4p + 1 là số nguyên tố.

<b>* Dạng 2:</b>

Tìm số nguyên tố theo các điều kiện của nó.

<b>Ví dụ 24</b> <b>:</b>

Tìm sè nguyªn tè p sao cho p + 2, p + 4 cũng là số nguyên tố.

<b> Giải</b> <b>:</b>

Xét các trờng hợp:

Vi p = 2 thỡ p + 2, p + 4 đều là hợp số, không thoả mãn.

Với p = 3 thì p + 2 = 5, p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố, tho món.

Với p > 3, do p là số nguyên tố nên p3 p có dạng 3k + 1 hc 3k + 2

NÕu p = 3k + 1 ⇒ p + 2 = 3k + 3 là hợp số, không thoả mÃn.

Nếu p = 3k + 2 p + 4 = 3k + 6 là hợp số, không thoả mÃn.

Vậy p = 3 là giá trị duy nhất phải tìm.

<b>* Dạng 3:</b>

Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau.

<b>VÝ dơ 25:</b>

Chøng minh r»ng 2n + 1 vµ 3n + 1 (nN) là hai số nguyên tố cùng nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Gäi d lµ íc chung cđa 2n + 1 vµ 3n + 1

Ta cã: 2n + 1 ⋮ d; 3n + 1⋮d

⇒[3(2n+1) - 2(3n + 1)]⋮d

⇒ 6n + 3 - 6n - 2⋮d

⇒ 1⋮d ⇒ d = 1

VËy 2n + 1 vµ 3n + 1 lµ hai sè nguyªn tè cïng nhau.

<b> VÝ dơ 26</b> <b>:</b>

Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, chøng minh r»ng ab vµ a + b cịng là
hai số nguyên tố cùng nhau.

- <i>Phơng pháp</i> <i>:</i> Chứng minh bằng phản chứng.

<b> Giải:</b>

Giả sử ab và a + b cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d tồn tại một thừa số a

hoặc b chia hết cho d.

Giả sử ad mà a + b⋮d⇒ b⋮d ⇒ d lµ íc chung cđa a và b nhng (a,b) = 1 nên

iu ú trỏi vi đề bài. Vậy ab và a + b là hai sốngun tố cùng nhau.

<b> * D¹ng 4:</b>

Tìm điều kiện để hai số ngun tố cùng nhau.

<b> VÝ dơ 27:</b>

Tìm số tự nhiên n để 4n + 3 và 2n + 3 nguyên tố cùng nhau

<i>- Phơng pháp:</i> ta tìm ƯC (4n + 3; 2n + 3) rồi xét điều kiện để ƯCLN của chúng
bằng nhau.

<b> Gi¶i:</b>

Gi¶ sư d ∊ ¦C (4n + 3; 2n + 3), ta cã 4n + 3⋮d vµ 2n + 3⋮d

⇒ [2(2n + 3) - (4n + 3)] ⇒ 3⋮d ⇒ d ∊ {1; 3}

Để ƯCLN(4n + 3; 2n + 3) = 1 th× 2n + 3⋮3 hay 2n⋮3 ⇒n⋮3

⇒ n = 3k + 1 hc n = 3k + 2.

VËy víi n = 3k + 1 hc n = 3k + 2 thì 4n + 3 và 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng
nhau.

<b>3/ Các bài toán về ƯCLN, BCNN :</b>
<b>* Dạng 1 :</b>

Tìm ƯCLN của hai số bằng thuật toán Ơclit : nếu = bq + r (0 < r < b) th×

ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r). Từ đó có cách tìm ƯCLN của hai số nh sau :

LÊy a chia cho b d r, LÊy b chia cho r d r1, LÊy r chia cho r1 d r2... Cø tiÕp tôc

nh vậy cho đến khi đợc số d bằng 0 thì số d cuối cùng khác 0 là ƯCLN phải tìm.

<b>VÝ dơ 28 :</b>

Tìm ƯCLN(A;B) biết rằng A gồm 1991 chữ số 2, B gồm 8 chữ số 2.
<b> Giải :</b>

A = 22...2, B = 22...2

1991 ch÷ sè 2 8 ch÷ sè 2

Ta có 1991 chia cho 8 d 7; 8 chia 7 d 1 nên khi chia A cho B ta đợc d là
22...2 . Tiếp tục phép chia B cho số d trên ta đợc số d là 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Theo thuật toán Ơclit ta có ƯCLN(22...2 ; 22...2) =

1991 ch÷ sè 2 8 ch÷ sè 2

¦CLN(22...2 ; 22...2) =

8 ch÷ sè 2 7ch÷ sè 2

¦CLN(22...2 ; 2) = 2
7 ch÷ sè 2

<b> * Dạng 2:</b>

Tìm ƯCLN, BCNN của các biểu thức.

<b> Ví dụ 28:</b>

Tìm ƯCLN của 2n + 1 và 9n + 4 (nN)

<b> Giải</b> <b>:</b>

Gọi d là ớc chung cđa 2n - 1 vµ 9n + 4

⇒ 2(9n + 4) - 9(2n - 1)⋮d ⇒ 17 ⋮d ⇒ d ∊ {1; 17}

Ta cã 2n - 1⋮17 ⇔ 2n - 18⋮17 ⇔ 2(n - 9)⋮17 ⇔ n - 9⋮17

⇔ n = 17k + 9 (k∊N)

- NÕu n = 17k + 9 th× 2n - 1⋮17 vµ 9n + 4 = 9(17k + 9 + 4) = béi cđa 17 + 85

⋮17.

Do đó ƯCLN (2n - 1; 9n +4) = 17

- NÕu n 17k + 9 thì 2n - 1 không chia hÕt cho 17

Do đó ƯCLN (2n - 1; 9n + 4) = 1.

<b> VÝ dơ 29:</b>

T×m BCNN cđa ba sè tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1, n + 2 (n≠ 0)

<b> Gi¶i:</b>

Ta cã [n, n + 1, n + 2] = [(n, n + 1), n + 2] = [n(n + 1), n + 2] v× [n, n + 1] = n(n
+1)

Ta cã : (n + 1, n + 2) = 1 nªn [n(n + 1), n + 2] = (n, n + 2) = (n, 2)

- Nếu n chẵn thì (n,2) = 2. Do đó

- Nếu n lẻ thì (n,2) = 1. Do đó [n, n + 1, n + 2] = n(n + 1)(n + 2)

<b>* D¹ng 3:</b>

Tìm hai số trong đó biết ƯCLN, BCNN

Khi giải các bài tốn về tìm hai số trong đó biết ƯCLN, BCNN ta th ờng sử dụng
các kiến thức sau:

a = da,

2]
n
1),
[n(n

2)
1)(n

n(n

2]
n
1),
[n(n
n
nê
b)
(a,

ab
b]
[a,
:
Mặt khác

2

2)
1)(n
n(n

2]
n
1,
n

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

(1)ƯCLN (a,b) = d b = db,

(a,_{, b},_{) = 1}

(2) ¦CLN (a, b) . BCNN (a, b) = ab

(3) Tõ (1) vµ (2) ⇒ BCNN (a, b) =

<b>Ví dụ 30 :</b>

Tìm hai số tự nhiên a và b (a b), biết rằng ƯCLN (a, b) = 12 ;BCNN (a, b) =

72

<b>Gi¶i</b> <b>:</b>

a = 12a,

¦CLN (a,b) = 12 ⇔ b = 12b,

(a,_{, b},_{) = 1}

a.b = ¦CLN (a, b).BCNN (a, b) = 12.72 ⇒12a,_{. 12b},_{= 12.72}⇒_a,_.b,_{= 6}

Do a ≥ b nªn a, ≥_b,_{. Chän hai sè cã tÝch b»ng 6, nguyªn tè cïng nhau vµ a}, ≥

b,_{, ta đợc}

a, ₆ ₃

Do đó a 72 36

b, ₁ ₂ _b ₁₂ ₂₄

<b> Ví dụ 31 :</b>

Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯCLN và BCNN của chúng có tổng bằng 55.

<b> Giải :</b>

Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a b) và d là ¦CLN (a, b). Ta cã :

a = da,₌

Theo đề bài ƯCLN(a, b) + BCNN(a, b) = 55 nên da, _b, _{+ d = 55}⇒_d(a,_b,_{+ 1) =}

55

Do đó a,_b,_{+ 1 là ớc của 55 và a},_b,_{+ 1}≥_{2. Vì a}≤_b⇒_a,≤_b,

Ta cã b¶ng sau:

d a,_b,_{+ 1} _a,_b, _a, _b, _a _b

1 55 54 1

2

54
27

1
2

54
27

5 11 10 1

2

10

5

5
10

50
25

11 5 4 1 4 11 44

Vậy có 5 cặp số thoả mÃn là (1;54) ; (2;27) ; (5;50) ; (10;25) ; (11;44).

<b>III. Giúp đỡ học sinh tìm tịi một số lời giải bài tốn</b>

,
,
,
,

.b
da
d

.db
da
d
ab




,
,
,
,

.b
da
d

.db
da
b)
CLN(a,
¦

ab

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

ở phần II đã nêu một số dạng tốn điển hình, cách giải các dạng tốn đó. Song
các bài tốn về chia hết rất phong phú, đa dạng và khơng có một quy tắc chung
nào để giải, có những bài cùng nằm trong những dạng đã nêu trên nhng khi giải
tơng tự thì lại gặp bế tắc. Vì vậy khi hớng dẫn học sinh cần phân tích kỹ đầu bài
để lựa chọn phơng pháp thích hợp, đi đến lời giải hợp lý. Sau đây là một số bài
tốn cụ thể:

<b> Bµi 1:</b>

Cho B = 3 + 33_{+ 3}5_{+...+ 3}1991

Chứng minh rằng B chia hết cho 13, cho 41.

<i><b>1, Phân tích đề bi:</b></i>

Đề bài cho B là tổng các lũy thừa cùng cơ số nhng lu ý các số mũ là số lẻ liên
tiếp.

<i><b>2, Hớng dẫn cách tìm lời gi¶i:</b></i>

Qua phân tích đề bài học sinh thấy ngay đợc bài này thuộc dạng chứng minh
một biểu thức chia hết cho một số. Từ đó, về phơng pháp giải cần hớng cho các
em là phải biến đổi B = 13P, B = 13Q bằng cách nhóm các số hạng thích hợp rồi
sử dụng các phép biến đổi để xuất hiện các số là bội của 13, bội của 41. Việc
chia nhóm các số hạng cũng khơng phải là đơn giản, giáo viên cần hớng dẫn học
sinh xem xét tổng B có m số hạng và chia B thành từng nhóm, mỗi nhóm có n số

hạng sao cho n ∊ Ư (m). Từ đó chọn cách chia nào xuất hiện bội của 13, bội của

41. Để tạo cho học sinh “phản xạ” khi gặp dạng toán này, giáo viên có thể đặt ra
một số câu hỏi phân tích, dẫn dắt:

? Biến đổi B thành tổng các nhóm có bao nhiêu số hạng? (học sinh có thể dùng
phơng pháp thử tính tổng các số hạng tìm ra cách chia đúng, chẳng hạn chia B
thành tổng các nhóm, mỗi nhóm có n số hạng).

? Nếu các số hạng không chia hết cho n thì sao? (sẽ tìm ra một hoặc vài số
hạng mà tổng của chúng cha chắc là bội của 13, 41).

? Nh vậy để đảm bảo không bị rơi vào trờng hợp nêu trên, học sinh sẽ kiểm tra
ở tổng B có:

(1991 - 1) : 2 + 1 = 996 (sè h¹ng)

996 chia hÕt cho 2, 3, 4, 6.... nhng khi chia B thành các nhóm 3 số hạng, 4 số
hạng sÏ xt hiƯn béi cđa 13, béi cđa 41.

<i><b>3, Lêi giải vắn tắt:</b></i>

a, B = (3 + 33_{+ 3}5_{) + (3}7_{+ 3}9_{+ 3}11_{) +...+(3}1987_{+ 3}1989_{+ 3}1991₎

= 3(1 + 32_{+ 3}4_{) + 3}7_{(1 + 3}2_{+ 3}4_{) + ...+ 3}1987_{(1 + 3}2_{+ 3}4₎

= 91(3 + 37_{+...+ 3}1987_{) = 13.7. (3 + 3}7_{+...+ 3}1987₎

VËy B∶13

b, Tơng tự biến đổi:

B = (3 + 33_{+ 3}5₊₃7₎₊₍₃9_{+ 3}11_{+ 3}15_{) +...+(3}1985_{+ 3}1987_{+ 3}1989_{+ 3}1991₎

= 820.(3 + 39_+...+31985_{) = 41.20.(3 + 3}9_+...+31985₎

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

<b>Bµi 2</b> <b>:</b>

Chøng minh r»ng : 10n_{- 36n - 1}⋮₂₇

<i><b>1) Ph©n tÝch: </b></i>

Đề bài cho biểu thức ở dạng tổng quát và trong biểu thức có 10n_{- 1 để có thể đa}

vỊ ¸p dơng nhËn xÐt ë vÝ dơ 4 (hiƯu cđa sè tù nhiên và tổng các chữ số của nó
chia hết cho 3 và cho 9).

<i><b>2) Hớng dẫn cách tìm lời giải:</b></i>

§Ĩ chøng minh 10n_{- 36n - 1 ta kh«ng thể dùng cách tính kết quả cụ thể, biến}

i 10n_{- 36n - 1 về dạng 27Q cũng rất khó khăn. Giáo viên nên gợi ý cho học}

sinh phơng hớng biến đổi biểu thức đã cho về dạng hiệu của hai số là bội của 27.
Nhận thấy 36n có thể tách thành 27n + 9n, nên dẫn dắt học sinh biến đổi

10n_{- 1 - 9n thành bội của 27 bằng cách khai thác 10}n_{- 1 và vận dụng nhận xét đã}

nªu trên.

<i><b>3, Lời giải vắn tắt:</b></i>

Ta có 10n_{- 36n - 1 = [(10}n_{- 1 - 9n] - 27n = (99...9 - 9n ) - 27}

n

= 9(11...1 - n) - 27

n

Theo nhËn xÐt nªu trªn :

(11...1 - n) ∶3 ⇒ 9(11...1 - n) ∶ 27 ⇒9(11...1 - n) - 27n ⋮ 27

n n n

<i><b> 4, Khai thác bài toán</b><b>:</b></i>

Cú th thay i biu thc hoặc thay đổi 27 bằng các số khác nhau nh: 9; 36;
72... ta sẽ đợc các bài toán cùng dạng để học sinh luyện tập.

<b>Bµi 3:</b>

Cho biÕt a + 4b chia hÕt cho 13 (a,b ∊ N). Chøng minh r»ng 10a + b ⋮13.

<i><b> 1, Phân tích đề bài:</b></i>

Đề bài cho biết a + 4b ⋮ 13 và phải chứng minh 10a + b⋮13. Do đó cần nghĩ

ngay đến việc sử dụng giả thiết này bằng cách làm xuất hiện tổng hoặc hiệu của
hai số, một số chứa a + 4b, một số chứa 10a + b rồi xét tổng hoặc hiệu của
chúng.

<i><b>2, Híng dÉn c¸ch tìm lời giải:</b></i>

cho gn ta t a + 4b = X, 10a + b = Y. Học sinh dễ dàng thấy đợc khi xét
tổng hoặc hiệu của X và Y thì khơng thấy xuất hiện bội của 13. Vì vậy có thể
nhân X hoặc Y lên một số lần để sao cho khi cộng hay trừ hai biểu thức thì xuất
hiện bội của 13.

Vậy cần nhân X và Y với bao nhiêu để khử đi số hạng a (hoặc b)? làm thế nào
để xuất hiện hệ số của a (hoặc b) là 13?

Giáo viên gợi ý cho học sinh thấy hệ số của a ở X là 1, ở Y là 10 nên có thể
nhân X với 10 rồi xét hiệu 10X - Y nhằm khử a hoặc nhân X với 3 rồi xét tổng
3X + Y, nhằm tạo ra hệ số của a bằng 13. Nếu xét hệ số của b ta cũng làm tơng

tự nh vậy, từ đó hớng dẫn học sinh tìm đợc nhiều cách giải bài tốn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Đặt a + 4b = X, 10a + b = Y

<i>Cách 1</i> <i>:</i>

X13 nên 10X 13

10X - Y = 10(a + 4b) - (10a + b) = 39b ⋮13

Nh vËy 10X - Y ⋮13, mµ 10X ⋮13 ⇒ Y⋮13 hay 10a + b13

<i>Cách 2</i> <i>:</i>

X13 nên 3X13

XÐt 3X + Y = 3(a + 4b) + (10a + b) = 13a + 13b

Nh vËy 3X + Y ⋮13 mµ X⋮13 ⇒ Y⋮13 hay 10a + b ⋮13

<i>C¸ch 3</i> <i>:</i>

XÐt X + 9Y = a + 4b + 9(10a + b) = 91a + 13b

Nh vËy X + 9Y⋮13 mµ X⋮13 ⇒ 9Y⋮13

Do (9; 13) = 1 nên Y13 hay 10a + b 13

<i>Cách 4:</i>

XÐt 4Y - X = 4(10a + b) - (a + 4b) = 39a

Nh vËy 4Y - X ⋮13 mµ X⋮13 ⇒ 4Y⋮13

Do (4; 13) = 1 nªn Y⋮13 hay 10a + b⋮13

<b> Bµi 4:</b>

Tìm số tự nhiên n sao cho 4n - 5 chia hết cho 13.
<i><b>1, Phân tớch bi:</b></i>

Khác với 3 bài trên, bài này yêu cầu tìm số tự nhiên n sao cho 4n 5 chia hết

cho 13 chứ không yêu cầu chứng minh 4n - 513. Mặt khác, tập hợp các béi lµ

vơ hạn nên khơng thể tìm đợc các giá trị cụ thể của n mà chỉ tìm đợc dạng tng
quỏt ca n.

<i><b>2, Hớng dẫn cách tìm lời gi¶i:</b></i>

Giáo viên gợi ý cho học sinh: để tìm dạng tổng quát của n thì phải làm cho hệ
số của n bằng 1, ta thấy hệ số n của biểu thức đã cho là 4 nên phải tìm cách đ a 4
ra ngồi ngoặc. Do đó đặt ra câu hỏi cho học sinh phải thêm bớt hoặc tách các số
hạng nh thế nào để xuất hiện thừa số chung là 4. Từ đó học sinh sẽ tìm đợc các
cách giải nh sau:

<i><b>3, Lêi gi¶i vắn tắt:</b></i>

- Cách 1:

4n - 5 13 4n + 8 - 13 ⋮13 ⇒ 4n + 8 ⋮13 ⇒ 4(n + 2)⋮13

Do (4; 13) = 1 ⇒ n + 2 ⋮13 ⇒ n = 13k - 2 (k∊N*₎

- C¸ch 2 :

4n - 5 ⋮13 ⇒ 4n - 5 + 13⋮13 ⇒ 4n + 8 ⋮13

Từ đó giải tơng tự cách 1 sẽ cú n = 13k - 2 (kN*₎

<b> Bài 5</b> <b>:</b>

Tìm sè tù nhiªn n sao cho n2_{- 4 chia hÕt cho n}2_{+ 2}

<i><b> 1, Phân tích đề bài</b></i> <i><b>:</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<i><b>2, Hớng dẫn cách tìm lời giải</b></i> <i><b>:</b></i>

Giáo viên có thể gợi ý học sinh suy nghÜ theo híng sau:

? Sè mị cđa n là 2 nên muốn khử n2_{ta làm nh thế nào?}

(nhân (n + 2) với n rồi trừ hai biÓu thøc cho nhau)

? Sau khi khử n2_{vẫn còn lại thì làm nh thế nào?}

(khư tiÕp n nh c¸ch vÉn thêng làm (ví dụ 17)
Hoặc:

? HÃy viết n2_{+ 4 thành tổng (hoặc hiệu) các bội của n + 2 và một số cụ thÓ.}

Với hớng này, giáo viên cần hớng dẫn cho học sinh cách biến đổi:
thêm, bớt, nhóm các số hạng một cách linh hoạt sao cho xut hin cỏc s cn

thiết. Chẳng hạn: Muốn có thừa số n + 2 từ n2_{thì phải thªm, bít 2n, tõ sè 2n bít}

ra muốn có n + 2 thì phải bớt, thêm 4....
Từ đó cú cỏc cỏch gii:

<i><b>3, Lời giải vắn tắt:</b></i>

- Cách 1:

n2_{+ 4}⋮_{n + 2}⇒_[(n2_{+ 4) – n(n + 2)]}⋮_{n + 2}

⇒ 4 – 2n ⋮ n + 2 ⇒ [4 – 2n + 2(n + 2)] ⋮ n + 2

⇒ 8 ⋮n + 2 hay n + 2 ∊ {2; 4 ; 8} (vì n + 2 2)

Ta có bảng sau :

n + 2 2 4 8

n 0 2 6

- C¸ch 2 :

n2_{+ 4 = n}2_{– 2n – 2n – 4 + 8 = n(n + 2) – 2(n + 2) – 8}

n2_{+ 4}⋮_{n + 2}₈_{n + 2}

(phần còn lại giải nh c¸ch 1)

* Yêu cầu học sinh ghi nhớ dạng này để sang phần phân số vận dụng vào dạng
bài tập tìm điều kiện để phân số là số tự nhiờn, s nguyờn.

<b> Bài 6:</b>

Giả sử p1 > p2 là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp, chứng minh r»ng

<i><b> 1, Phân tích đề bài:</b></i>

Đề bài cho p1 và p2 đều là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên ta thấy ngay

đ-ợc

p1 + p2 là số chẵn nên 2 và

<i><b>2, Hớng dẫn cách tìm lời giải</b></i> <i><b>:</b></i>

Giáo viên cần nhắc lại cho HS : Giữa hai số lẻ bao giờ cũng có ít nhất một số

chẵn. Mà p1, p2 là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên giữa p1 và p2 phải có ít nhất

một

số
hợp
là
2

p
p₁ ₂

2

p

p

N;

2

p

p

2
1
2

1







p
p
tỏ
chứng
ta
số
hợp
là
p

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

hợp số. Từ đó HS thấy đợc muốn chứng minh

nằm giữa hai số p1 và p2 trên tia sè. NghÜa lµ chøng tá

Với bài này vì HS cha đợc học các kiến thức về bất đẳng thức nên giáo viên cần
hớng dẫn cụ thể. Muốn chứng minh

Muèn chøng tá

điều này đều phải xuất phát điều kiện bài toán là p1 > p2.

<i><b>3) Lời giải vắn tắt:</b></i>

Vỡ p1 , p2 là hai số nguyên tố lẻ nên (p1 + p2)⋮2, do đó

Mặt khác, vì p1 > p2 nên p1 + p2 > 2p2, do đó

Vì p1 > p2 nên 2p1 > p1 + p2, do đó

Nh vËy :

<b> Bµi 7 :</b>

Cho a = 123456789; b = 987654321. Tìm ƯCLN (a, b)
<i><b>1, Phân tích đề bài:</b></i>

Đề bài yêu cầu tìm ƯCLN của hai số rất lớn nên không thể làm theo quy tắc
thông thờng. Ta để ý rằng tuy a, b là hai số khác nhau nhng tổng các chữ số của
chúng lại nh nhau.

<i><b>2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:</b></i>

Khi đọc đề bài học sinh cũng dễ dàng nhận thấy khơng thể tìm ƯCLN (a, b)
theo quy tắc thơng thờng mà có thể tìm ƯCLN (a,b) theo thuật tốn Ơclit, địi
hỏi các em thật cẩn thận, chính xác trong các phép tốn thì mới tìm đợc kết quả.
Do vậy giáo viên nên khai thác đề bài để hớng dẫn học sinh ngồi cách dùng
thuật tốn Ơclit cịn có thể tìm ra cách giải khác.

Trớc hết, yêu cầu các em nhận xét về hai số a, b, học sinh thấy ngay a và b đều
chia hết cho 9. Vậy chỉ cần chứng minh mọi ƯC của a, b đều là ớc của 9. Bằng
cách xét hiệu b – 8a, từ đó suy ra đợc ƯCLN (a, b).

<i><b>3, Lời giải vắn tắt:</b></i>

Vì a và b gồm các chữ số giống nhau nên tổng các chữ số nh nhau và
bằng

1 + 2 + 3....+ 9 = 45 chia hÕt cho 9 nên a và b cùng chia hết cho 9.

Ta l¹i cã b – 8a = 9 9 nên nếu ƯC (a, b) = d thì 9d

Nh vậy mọi ớc chung của a và b đều là ớc của 9 hay ƯCLN (a, b) = 9

<b> Bài 8:</b>

Trong các số gồm toàn chữ số 1, h·y t×m sè nhá nhÊt chia hÕt cho 33...3

100
2
2

1
1

p

2

p

p

p







2
1
1
2

1

1

cÇn

chøng

minh

2p

p

p

2

p

p

p









hai

có

Muốn

p

p

p

minh

chứng

cần

p

2

p

p

2
1
2
2

1

2

.

2

n
nhiê
tự
số
là
2
p
p₁ ₂

2
2
1

_p

2

p

p

2

p

p

p

₁

1

2

số.

là hợp

2

p

p

nnê

p

2

p

p

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

<i><b>1, Phõn tớch bi:</b></i>

Đề bài yêu cầu tìm số nhỏ nhất gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 33...3

100

chứ không đơn thuần là tìm số gồm tồn chữ số 1 chia hết cho 33...3

100

<i><b>2, Hớng dẫn cách tìm lời giải:</b></i>
- Trớc hết cần viết đợc dạng của số phải tìm là 11...1 rồi đi xét các điều kiện để
n
tìm ra n.
- Muốn tìm n để 11...1 chia hết cho 33...3 thì cần đa 33...3 về dạng tích hai
n 100 100

thừa số ngun tố cùng nhau, mà có thể tìm điều kiện của n để 11...1 chia hết
cho
n
hai thừa số đó.
Từ gợi ý này học sinh sẽ biến đổi 33...3 thành tích của 3.11...1 và tìm đợc n.
100 100

<i><b> 3, Lêi gi¶i</b></i> <i><b>:</b></i>
Gọi số phải tìm là 11...1

n
Ta cã : 11...1⋮33...3 tøc lµ 11...1⋮3.11...1 ⇒11...1⋮3 ⇒ n⋮3 (1)
n 100 n 100 n
11...1⋮11...1 ⇒ n⋮100 (2)
n 100

Mà n là số nhỏ nhất thoả mãn điều kiện (1)và(2). Do đó n = BCNN(3 ;100) =
300
Vậy số phải tìm là số gồm 300 chữ số 1 : ( 11...1)

300
<b> C. KÕt qu¶ :</b>

<b> </b> Trên đây là một bài tốn nâng cao điển hình vể tính chất chia hết trong N đợc

phân ra từng dạng, giúp HS dễ dàng trong việc tìm lời giải bài tốn và giúp giáo
viên làm tài liệu bồi dỡng HS khá, giỏi. Qua thực tế bồi dỡng HS tôi thấy rằng
khi cha áp dụng chuyên đề này thì HS tiếp thu bài cịn khó khăn, sau một thời
gian gặp lại bài đã làm lại quên cách giải. Khi áp dụng kinh nghiệm này dới hình
thức giảng dạy theo chuyên đề cho HS khá giỏi tơi thấy kết quả là có tới 80% HS
hiểu sâu sắc bản chất từng vấn đề nên khi gặp các bài toán khác nhau các em đã
nhận dạng và vận dụng cách giải linh hoạt với mỗi dạng. Số còn lại cũng làm tốt
các dạng cơ bản hay gp.

<b>Sau đây là một vài số liệu so sánh cụ thể :</b>

Kỹ năng Trớc khi

áp dụng áp dụngSau khi

Nhn dng v gii quyết đợc các bài tốn áp dụng tính

chÊt chia hÕt. 40% 80%

Nhận dạng và giải quyết đợc các bài toán về số ngun

tè, hỵp sè. 30% 75%

Nhận dạng và giải quyết đợc các bài tốn về ƯCLN,

BCNN. 30% 75%

NhËn d¹ng bài toán và vận dụng cách giải linh hoạt với

mỗi bµi. 32% 80%

Tìm đợc lời giải các bài tốn đặc biệt, có nội dung phức

hỵp. 10% 50%

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Qua những năm bồi dỡng HS giỏi, nhất là với HS giỏi lớp 6, tôi thấy rằng để
giúp HS hiểu sâu sắc từng vấn đề thì ngồi việc nghiên cứu kỹ các dạng bài tập,
chuẩn bị bài một cách chu đáo, giáo viên còn cần có “nghệ thuật giảng dạy” –
Phơng pháp giảng dạy hợp lý. Kinh nghiệm cho thấy, với bài tập nâng cao về
tính chia hết cho HS lớp 6 cần phải hớng dẫn các em một cách dần dần, đi từ
những vấn đề đơn giản, cơ bản, sau đó thay đổi một vài chi tiết để nâng dần đến
bài tập phức tạp hơn. Sau mỗi bài giáo viên cần củng cố phơng pháp giải quyết
và có thể khai thác thành bài toán mới bằng cách thay đổi dữ kiện để HS tự mình
vân dụng.

Việc bồi dỡng chuyên đề này sẽ giúp HS có thêm kiến thức cơ bản và kỹ năng
giải quyết bài tập trong các kỳ thi HS giỏi, góp phần nâng cao chất lng mi
nhn trong nh trng.

<b>E. Điều kiện áp dụng:</b>

Để hớng dẫn HS lớp 6 giải một số dạng bài tập nâng cao về tính chia hết trong
N có hiệu quả, thì nên thực hiện một số ®iỊu kiƯn sau ®©y :

<b> 1/ Đối với học sinh: </b> Các em cần phải nắm đợc các kiến thức v tỡnh chia ht,

các kiến thức có liên quan, các em cần có sự say mê, hứng thú với loại toán chia
hết và có điều kiện tiếp cận với nhiều dạng bài tập điển hình.

<b>2/ i vi giáo viên : </b> Ngời thầy giáo phải có trách nhiệm đem lại niềm say mê
hứng thú với môn học, hớng dẫn các em cách khai thác, vận dụng từng vấn đề
trong mảng kiến thức mà các em đã có. Để đạt hiệu quả cao khi áp dụng chuyên
đề này giáo viên nên dành thời gian bồi dỡng từ 3 - 4 buổi /tuần cho HS khá giỏi.
Còn đối với HS đại trà thì tuỳ theo từng đối tợng (có thể chỉ giới thiệu các dạng
cơ bản, lấy ví dụ minh hoạ đơn giản...).

<b>F. Vấn đề còn hạn chế, bỏ ngỏ, hớng tiếp tục nghiên cứu :</b>

<b> </b> Trên đây chỉ là một vấn đề về toán nâng cao đối với tính chất chia hết trong N,

là một trong những mảng kiến thức mà HS khá giỏi lớp 6 cần nắm chắc. Kinh
nghiệm đa ra mới chỉ đề cập đến đối tợng HS khá giỏi, chứ cha đề cập nhiều đến
các đối tợng khác, nội dung của chuyên đề cũng cha đề cập đến mảng kiến thức
về tính chất chia hết trong Z, các bài tập có liên quan đến dãy, phân số.... Đó là
định hớng cho việc tiếp tục nghiên cứu sau này.

<b>PhÇn ba : KÕt luËn</b>

Sau một thời gian tự nghiên cứu với phơng pháp tìm đọc tài liệu tham khảo su
tầm các bài tập, ví dụ, kết hợp với thực tế giảng dạy, với kiến thức, lý luận đã tích
luỹ. Tơi cố gắng hệ thống một số vấn đề xung quanh tính chất chia hết trong N
từ đơn giản đến phức tạp, đặc biệt là các kiến thức, bài tập nâng cao dành cho HS
giỏi.

Tuy nhiên với năng lực và thời gian có hạn, trong tài liệu này cách nhìn nhận
về các vấn đề và phơng pháp giảng dạy cũng nh cách trình bày chắc chắn khơng
tránh khỏi thiếu sót.

</div>

<!--links-->