Phuong trinh va he phuong trinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Chuyên đề 4: Phơng trình-hệ phơng trình</b>

<b>I. Phương trình bậc I, II, II, bậc cao và quy về bậc I, II, III, bậc cao.</b>
<b>I.1 Phương trình bậc I</b>

VD1: Giải phương trình ) 15₂ ₃ 11₅

3
4
7
3
)(
2
3
6
1
(
)
5
3
3
2
(












 <i>_x</i> <i>_x</i>

(Đề thi chọn HSG TP HCM năm 2004) ĐS: x = 1, 4492.

VD2:

1 1 1

4

3 2 1

2 3 1

5 3 1

4 5 1

7 4 ₂

6 7
8 9
<i>x</i>
 
 

 
 
  
 
  
 
  _  _
 
 

ĐS: 301

16714

<i>x</i>

VD3: Giải phương trình

5
6
7
2
5
3
15




<i>a</i> = 1342

5685

ĐS: a=9

<b>VD4. Tìm x: </b>

4 1 2

4

1 8

2 1

1 ₉

3

2 4 ₄

2 1

4 1

1 2 ₇

5 ₁
8
<i>x</i>
  

  _ _
 
  _
 
 
 
  
 
 
   
 
  _
 
 

VD5: Tìm giá trị gần đúng của x và y <i>(chính xác đến 9 chữ số thập phân</i>):

1)
8
5
6
4
7
5
3
12
9
5
7
4

5
3
2
28






 <i>x</i>
<i>x</i>
2)
5
3
3
3
3
2
1
3
3
2
6
4
2
2
9
7
7

5
3
4









<i>y</i>
<i>y</i>

VD6: Tìm x biết :

x



13,86687956

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

HD:

<b>3</b>

<b>8</b>

<b></b>

<b>3</b>

<b>8</b> <b>3</b>

<b>8</b> <b>3</b>

<b>8</b> <b>3</b>

<b>8</b> <b>3</b>

<b>8</b> <b>3</b>

<b>8</b> <b>3</b>

<b>8</b> <b>3</b>

<b>8</b> <b>₁_1_x</b>



<b>381978</b>

<b>382007</b>

381978 ÷ 382007 = 0.999924085

ấn liên tiếp <i>_x</i>1 × 3 - 8 và ấn 9 l ần phím = .

Ta ấn tiếp: <i>Ans</i> <i>_x</i>



1
1

ti ếp tục ấn Ans <i>_x</i>1 - 1 =

KQ : x = - 1.11963298

<b>I.2 Phương trình bậc II.</b>

VD1: Tính gần đúng với 5 chữ số thập phân của tổng lập phơng các nghiệm của
ph-ơng trình:

1,23785x2_{+ 4,35816x – 6,98753 = 0}

x13+ x23



-103,26484

VD2: Giải pt: 3) 7 log 2 3 0

7
2

sin( 7

3
3

7
2
2 3








 <i>_x</i>  <i>_x</i>

VD3: Giải pt:

_





















498

,0

626

,5

0

254

log

7

25

5

sin

2
1
8,

4
4 73,2

2

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>e</i>

<i>x</i>

(Trích đề thi KV BTTHPT 2006)

<b>I.3 Phương trình bậc III.</b>

VD: 385x3_+261x2_-157x-105=0

ĐS: -5/7; -3/5; 7/11

<b>I.4 Phương trình bâc cao.</b>

VD: 72x4_+84x3_+-46x2_-13x+3=0 _{ĐS: -3/2; -1/3; 1/6; 1/2}

<b>I.5 Phương trình vơ tỉ.</b>

VD1: Giải phương trình: 130307140307 1<i>x</i> 1 130307 140307 1<i>x</i>

(trích đề thi KV THCS 2007)
ĐS: -0,99999338

VD2: Giải phương trình:

1
1332007
26612

178381643
1332007

26614

178408256      

 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

(trích đề thi KV THCS 2007)
ĐS: x1=175744242; x2=175717629

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(trích đề thi KV THCS 2004) ĐS: x= 2 ₂

4

1
4
4

<i>b</i>
<i>a</i>

<i>b</i>  

2) Tính với a = 250204; b=260204 ĐS: 0,999996304

<i>***. Giải phương trình dùng SHIFT SOLVE</i>

VD1: Tìm 1 nghiệm pt: x9_-2x7_+x4_+5x3_+x-12=0

HD: Nhập cơng thức: Shifs Solve; X? nhập 1để dị; Shift Solve
ĐS: 1,26857 (45,85566667)

VD2: Tìm 1 nghiệm pt: x60_+x20_-x12_+8x9_+4x-15=0

ĐS: Dị với x = 1: 1,011458; Dò với x = 10: -1.05918

<b>* Mt s bi tp ỏp dng:</b>

Bài tập 1: giải các phơng trình bậc 2 dạng tổng quát : ax2 + bx +c = 0 ( a ≠ 0)
a) x2_{-4x + 3 = 0} _{b) 3x}2_{- 5x +2 = 0}

<b>Cách giải </b>

a, cách ân : 3

<i>MODE</i> ,1,,2, 1,= (-4) = 3 =

Ta ấn tiếp dấu = để tìm nghiệm thứ 2 ta đợc kết quả 1

2

3
1

<i>x</i>
<i>x</i>

Bài tập 2; Cho hai phơng trình
2

<i>x</i> - 4x + 3 = 0
2x2_{-5x +3 = 0}

a.Chøng minh r»ng hai phơng trình có nghiệm chung x = 1

b.Chứng tỏ x = 2 là nghiệm của (1) nhng không là nghiệm cña ( 2 )

c.Chứng tỏ x = 3/2 là nghiệm của phơng trình (2) nhng khơng là nghiệm của (1)

d.Hai phơng trình đã cho có tơng tơng với nhau hay khụng ? vỡ sao?

<b>Cách giải:</b> Ta lần lợt thực hiện;
+) Nhập (1) vào máy tính ta ấn
2 ALPHA, X , <i>_x</i>2_{- 5, ALPHA, X - 3}

§Ĩ kiĨm nghiệm các giá trị x= 1, x =2, x= 3

2 ta ấn

CALC , 1 màn hình hiện kết quả
=> x = 1 lµ nghiệm

CALC , 2 màn hình hiện kết quả 0
=> x = 2 là nghiệm của phơng trình
CALC , 3/2 màn hình hiệ kết quả 1/4

=> x = 3/2 không là nghiệm của phơng trình

+) Nhập phơng trình (2), rồi thử các giá trị x =1, x =2 ,x=3ta thÊy x= 1, x=3/2 lµ
nghiƯm , x= 2 không là nghiệm của phơng trình (2)

Vậy a) 2 pt cã nghiƯm chung lµ x = 1

b) x =2 là nghiệm của (1) nhng không là nghiệm của (2 )

c ) x = 3/2 là nghiệm của phơng trình (2) nhng không lµ nghiƯm cđa (1)

d) 2 ph.trình khơng tơng đơng vì x = 2 là nghiệm của (1) nhng không là n0_{của (1)}
Bài tập 3 Giải phơng trình đa đợc về dạng ax+b= 0

a. 4(x -1) - ( x + 2 ) = - x b. 5 2 1 2

6 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>



c.(3x-4)(2x +1)- (6x +5)(x-3) = 3
Cách giải

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Bớc 1: Nhập phơng trình vào máy tính

Bớc 2:Để tìm nghiệm ta ấn SHIFT,SLOVE,=,SHIFT, SLOVE
a.Nhập phơng trình vào máy tính ta ấn

4( ALPHA, X - 1) - (ALPHA, X + 2)ALPHA, = (-)ALPHA, X
Để tìm nghiệm ta Ên

SHIFT,SLOVE,=,SHIFT, SLOVE
VËy phơng trình có nghiệm x= 1,5

Bài tập 4 Giải phơng trình tích

+, Bớc 1:nhập phơng trình vào m¸y tÝnh

+, Bớc 2: Sử dụng hàm SLOVE nhiều lần để tìm các nghiệm bằng cách ấn
SHIFT, SOLVE ,= , SHIFT, SLOVE Lần 1

SHIFT, SOLVE ,=k , SHIFT, SLOVE lÇn tiếp với k (khác nghiệm )
ví dụ ; Giải phơng trình <i>_x</i>2_{- 5x + 4 = 0}

+, Nhập phơng trình vào máy tính ta ấn

ALPHA, X, <i>_x</i>2_{- 5 ALPHA ,X + 4 , ALPHA= 0}

Để tìm nghiệm ta Ên

SHIFT, SOLVE ,= , SHIFT, SLOVE
SHIFT, SOLVE, 3 = SHIFT, SLOVE
Vậy phơng trình có nghiệm x =1, x= 4

Bài tập t ơng tự G iải các phơng trình sau

a. <i>_x</i>2_{- 4x + 4 = 0} _b.<i>_x</i>2_{+ x + 4 = 0} _c.<i>_x</i>3 ₉<i>_x</i> ₀

Bài toán 5 : Giải phơng trình chứa ẩn ở mẫu
Phơng pháp

+,Bớc 1 nhập phơng trình vào máy

+, Bc 2 S dng hm SLOVE nhiu lần để tìm các nghiệm
+Bớc 3 Kiểm tra điều kiện có nghĩa cho nghiệm tìm đợc
ví dụ ; Giải phơng trình

x +2 1

1

<i>x</i>
<i>x</i>



 = - 1

- §KX§ x #1

- Nhập phơng trình vào maý ta ấn

ALPHA, X + (2, ALPHA, X - 1)  ( 1 - ALPHA, X) ALPHA = (- 1)
Để tìm nghiệm ta ấn

SHIFT, SOLVE ,1 = , SHIFT, SLOVE
SHIFT, SOLVE ,2 = , SHIFT, SLOVE
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x= 0 và x= 2

Bài tập 6 Giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Phơng pháp

+, Bớc 1 Thiết lập phơng trình cho bài toán

+, Bc 2 s dng máy tính giải phơng trình tìm đợc ở bớc 1
Ví dụ : tổng 2 số bằng 72 , hiệu của chúng bằng 6. Tìm 2 số đó.
Giải

Gọi x là số lớn trong 2 số đã cho ĐK: 6 x72

V× tỉng 2 sè b»ng 72 nªn sè nhá = 72 - x

HiÖu 2 sè b»ng 6 nªn ; x- (72 - x) = 6 <=> x =39 ( thỏa mÃn ĐK)

Cách ấn ALPH A, X - ( 72 - ALPH A, X) ALPHA = 6 SHIFT, SOLVE ,1 =

1

4

0
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

SHIFT, SOLVE
VËy sè lín b»ng 39, sè nhá b»ng 33.
Bµi tËp lun tËp

Bài 1 Tổng 2 số bằng 33, số này gấp đôi số kia. Tìm 2 số đó
Bài 2 Hiệu 2 số bằng 29, số này gấp đơi số kia . tìm 2 số đó
Bài tốn 7 Giải một số phơng trình cha du giỏ tr tuyt i

Phơng pháp ; nhập phơng trình vào máy tính rồi sử dụng hàm SOLVE
Ví dụ :giải các phơng trình sau

a)2<i>x</i>3 - <i>x</i> 3 = 0 b) <i>x</i>4 + 3x = 5
Giải

a) Cách ấn

2, ALPH A, X + 3 ,ALPHA = ALPH A, X - 3 (*)
SHIFT, SOLVE ,1 =SHIFT, SOLVE

Dùng phím để hiện lại biểu thức(*), rồi sửa nó thành 2x + 3 = 3 - x tiếp đến ta ấn
SHIFT, SOLVE ,1 =SHIFT, SOLVE

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x = - 6 và x = 0
b) Biến đổi tơng đơng phơng trình

4

<i>x</i> + 3x = 5 <=>

5 3 0
4 5 3
4 3 5

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 




  





 _{ } _




<=>

5
3
1
4
9
2

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>










 _



<=>x = 1

4

B»ng c¸ch Ên ALPHA, X,+ 4 ALPHA, = 5 - 3 ALPHA ,X (*)
SHIFT, SOLVE ,1 =SHIFT, SOLVE

Dùng phím  để hiện lại biểu thức , rồi sửa nó thành x + 4 = 3x - 5 tiếp đến ta ấn
SHIFT, SOLVE ,1 =SHIFT, SOLVE

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x = 1

4và x =
9
2

Bài tập luyện tập

Bài 1 Giải các phơng tr×nh sau

1
2
2 2

1 0
1

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>





 


3 2
2 1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>



Bài 2 Giải các phơng trình sau

3 2
2 1 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

 

  

39

- 6
0

0,25

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Bài 3 Giải các phơng trình sau

2
2

1

2 4 2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

Bài toán 7 Giải phơng trình bậc 3 một ẩn có dạng a 3

<i>x</i> + b 2

<i>x</i> + cx + d = 0
ách ân : 3

<i>MODE</i> ,1,,3 rồi nhập các hệ số a, b, c, d
Ví dụ Giải phơng trình 3

<i>x</i> - 5 2

<i>x</i> + 8x - 6 = 0
Ta Ên 3

<i>MODE</i> ,1, ,3, 1=(-5) = 8= (- 6)
Khi đó màn hình có dạng

ấn tiếp dấu = để nhận nghiệm tiếp theo của phơng trình, khi đó nhận đợc màn hình có
dạng

Ta tiếp tục ấn dấu = để nhận nghiệm tiếp theo của phơng trình , khi đó nhận đợc màn
hình có dạng nh trên

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x= 3
Bài tập 8 Giải phơng trình có chứa căn

2 1

<i>x</i> <i>x</i> = 1

2

Biến đổi phơng trình về dạng

2

( <i>x</i> 1) =1

2<=>

1
1

2

<i>x</i>  <=> 1 1
2

<i>x</i>  <=> x=₍₁ 1₎2

2

<=>x=21

4và x=
1
4

Dùng máy tính ấn các giá trị của x

<b>II. Hệ ph ơng trình</b>

Bài toán 9 Giải hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn

1 1 1

2 2 2

<i>a x b y c</i>
<i>a x b y c</i>

Cách giải

Ta n <i>_MODE</i>3_{,1,2 chn chơng trình giải hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn, sau ú nhp}

các hệ số của từng phơng trình
ví dụ : giải hệ phơng trình

2 4 0

2 3

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x y</i>

  




 



Trớc tiên ta biến đổi về hệ phơng trình dạng chính tắc
2 4

2 3

<i>x</i> <i>y</i>

<i>x y</i>

Ta lần lợt thực hiện

3

<i>MODE</i> ,1,2 ,1=2=4=2=(-1)=3=

Khi đó màn hình có dạng

Vậy hệ phơng trình có nghiệm là x =2 và y =1

Bài toán 10 Giải hệ phơng trình bậc nhất 3 Èn

1

<i>x</i>

=

₃

R<=> i

2

<i>x</i> 1

X=

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ta biến đổi đa hệ phơng trình về dạng

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0
0
0

<i>a x b y c z</i>
<i>a x b y c z</i>
<i>a x b y c z</i>

  




  



 _  

Cách giải :ấn 3

<i>MODE</i> ,1,3 chn chng trình giải hệ phơng trình bậc nhất 3 ẩn
Ví dụ : Giải hệ phơng trình

6 0
2 3 4 16

<i>x y z</i>
<i>x y z</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

  

  

Cách giải : Ta đa hệ phơng trình về dạng tổng quát

0
0
2 3 4 16

<i>x y z</i>
<i>x y z</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

  




  



   

Ta lần lợt thực hiện

3

<i>MODE</i> ,1,3,1 = 1=1=(-6) =1 =1 =(-1) 2= (-3)=(-4)=(-16)=
Khi đó màn hình có dạng

Ên tiếp phím =

Màn hình hiện

Ên tiÕp phÝm =

Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm x=1, y=2, z=3
Bài tập tơng tự :giải các hệ phơng trình sau

7
1
3

<i>x y z</i>
<i>x y z</i>
<i>y z x</i>

  




  



   


3 5 34
6 3 18

<i>x</i> <i>y z</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

  






 




<b>III. Nghiệm nguyên của ph ơng trình</b>

Ví dụ :tìm các số nguyên x và y sao cho xy - x - y

Ta biến đổi phơng trình thành x(y- 1) - ( y- 1) = 6 + 1 <=>(x-1)(y-1) = 7
Do x và y là các số nguyên nên x-1 ,y- 1 là ớc của 7

Gỉa sử xy khi đó x -1y -1

x-1 7 - 1

y-1 1 -7

Khi đó

x 8 0

y 2 -6
Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình
A.<i>_x</i>2 <i>_y</i>2 ₁₅

B.(2x-y)(x+y) = 9

C.(5x- y)(x+2y) = 15 D.xy- 3x- 3y = 2
Bµi 2 Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình

X=
1

Y=

2
Z=

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Bài tốn 3 Tìm giá trị ngun của x để các biểu thức sau có giá trị ngun
ví dụ : Tìm giá trị ngun của x để biểu thức A có giá trị nguyên A=

2 ₁

2

<i>x</i>
<i>x</i>




Cách giải : ta biến đổi về dạng A= x-2 + 3

2

<i>x</i>

Do x là các giá trị nguyên nên 3

2

<i>x</i> l s nguyên, do đó x +2 là ớc của 3

x +2 -3 -1 1 3

x -5 -3 -1 1

Dùng máy tính để tính các giá trị của x

Ta tính đợc với x = -5,-3,-1,1 thì biểu thức A nhận các giá trị nguyên
Bài 4 Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên
A=

2 ₂

1

<i>x</i>
<i>x</i>



 B =

2

3 2 6
1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

</div>

<!--links-->