De thi hoc sinh gioi toan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (154.72 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Båi d ìng HSG th¸ng 9

Chủ đề:căn bậc hai –căn bậc ba

DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Bài 1: Cho biểu thức

P =









1 a3

2
2
a
a
1
2

1
a

1
2









a) Rút gọn P.
b) Tìm Min P.

Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x

Tính giá trị biểu thức : P =

1

-xy

xy
2
y
2

x  

Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = xx-yy
Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức

P =

3
x

x
2
x

-1

2
x
3
3
x
2
x

11
x
15













a) Tìm các giá trị của x sao cho P =

2
1

b) Chứng minh P ≤

3
2
Bài 5: Cho biểu thức

P =

a
2
a
2
a

1
a
2
a
a

3
9a
3a

1













a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.

Bài 6: Cho biểu thức
P =

a
16
a
8

-1

-a
4
a
4

-a
4
a






a) Rút gọn P.

b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.

Bài 7: Cho biểu thức

P = 


























 a 1

2
1
a

1
:
a
a

1
1

a
a

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2

c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

P = 



















 x

2
x
2
x
1
x
:
x
4
8x
x
2
x
4

a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1

c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1.

Bài 9: Cho biểu thức

P = 















 






xy
y
x
x
xy
y
y
xy
x
:
y
x
xy

-y
x

a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.

c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3
Bài 10: Cho biểu thức

P =
x
2007
x
1
x
1
4x
x
1
x
1

-x
1
x
1
x
2
2



















a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.

Bài 11: Rút gọn P.

P = 2

2
2
4
2
2
2

2
2
2
2
2
b
b
a
a
4
:
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a 





















Với | a | >| b | > 0

Bài 12: Cho biểu thức

P = 2

2
x
1
.
1
x
2
x
2
x
1

x
2
x















 







a) Rút gọn P.

b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.

Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
6
x
5
x
10
x
3
x
4
x
1
x
5
2
x
3
x
2x












Không phụ thuộc vào biến số x.

Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
x
x
x







5
2
.
5
4
9
3
4
7
.
3
2
4
6

Không phụ thuộc vào biến số x.

Bài 15: Cho biểu thức

P = x 1

1
x
x
x
x
1
x
x
x

x2 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .

Bài 16: Cho biểu thức
P =

1
x

)
1

2(x
x

x
2x
1
x
x

x
x2











a) Rút gọn P.

b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để biểu thức Q =

P

x

2

nhận giá trị là số nguyên.

Bài 17: Cho biểu thức

P =

1
x
2

x
1

x
2x

1
x
1

x
x
x
1

x
x

x
x
x
2x


























a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.

c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.

Bài 18: Rút gọn biểu thức
P =

5
3
10

5
3
5

3
10

5
3












Bài 19: Rút gọn biểu thức

a) A = 4 7  4 7

b) B = 4 102 5  4 102 5

c) C = 4 15  4 15  2 3 5
Bài 20: Tính giá trị biểu thức

P = x247 2x 1 x4 3 2x 1

Với
2

1 ≤ x ≤ 5.

Bài 21: Chứng minh rằng:
P =

2
6

48
13

5
3
2







là một số nguyên.

Bài 22: Chứng minh đẳng thức:

1
2

3
1
1

2
3
1
2

3
1
1

2
3
1












Bài 23: Cho x = 35 27 35 2 7

Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x
Bài 24: Cho E = 1x xyy 1x xyy







</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

x = 4 8. 2 2 2. 2 2 2

y =

45
27

2
18
3

20
12

2
8
3




Bài 25: Tính P = 2 20082007

2008
2
2007
2

2007

1  

Bài 26: Rút gọn biểu thức sau:

P = 11 5 + 51 9 + ... + 20011 2005

Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức:
P = x3 + y3- 3(x + y) + 2004 biết rằng

x = 332 2 33 2 2

y = 31712 2 31712 2

Bài 28: Cho biểu thức A = 



























a
a
a
a

a
a

a 1

4
1
1
1

a) Rút gọn A.

b) Tính A với a = (4 + 15)( 10- 6) 4 15
Bài 29: Cho biểu thức

A =    

  




















1
1
1
1

1
4
1

2 x x

x

x
x

a) x = ? thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A.

Bài 30: Cho biểu thức
P =

x
x

x
x
x

x
x


















1
1
1

1
1
1
1

1
1
1

a) Rút gọn P.
b) So sánh P với

2
2 .

Bài 31: Cho biểu thức

P = 1 1 3 1 2 1







 x x x x

x

a) Rút gọn P.

b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.

Bài 32: Cho biểu thức

P = a aa aa a a










3
1
2
2
3
6

5
9
2

a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1

c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.

Bài 33: Cho biểu thức

P = xyx y x x xxy y xx










 1

1
2

2
2
2

a) Rút gọn P.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 34: Cho biểu thức

P = xyx y x x xxy y xx










 1

1
2

2
2
2

a) Rút gọn P.

b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 35: Cho biểu thức

P =

y
x
xy

y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y

x 3 3

3
3

:
1
1
2

1
1
































a) Rút gọn P.

b) Cho xy = 16. Tìm Min P.

DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.

Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab.

Tính giá trị của biểu thức: P =

b
a





Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy

Tính giá trị biểu thức E = xx yy
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0

CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc

2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:

M = 2 2 z2

xy
y
xz
x
yz




Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:

P = 


















a
c
c
b
b
a

1
1

Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3

b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 .

Tính giá trị của biểu thức: A = x2007+ y2007 + z2007

Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức:

P = a4 + b4 + c4

Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102

Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007

Bài 8: Cho  1

b
y
a
x

và 2

ab
xy

. Tính 33 33
b
y
a
x



Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức

P = 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1
1

c
b
a
b
c
a
a
c

b        

Bài 10: Cho

b
a
b
y
a
x




 1

4
4

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a) bx2 = ay2;

b) 1004 1004

2008
1004

2008

)
(

b

a
b

y
a

x





Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:

x xy y yz zxz






 1

1
1

= 1
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:

A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3

Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:
P = (a ba)(2a c) (b cb)(2b a)(c bc)(2c a)







Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.

Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:

a bb ac c b cc bb a c aa cb b a b b cc a





















 2 2 2

)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(

Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p

Chứng minh rằng: p1a p1b p1 c 1p p(p a)(abcp b)(p c)





Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh :

3
)
2
(
2
1

1 3 2 2







 a b

ab
a

b
b

a

Bài 18: Cho   1

c
z
b
y
a
x

và   0

z
c
y
b
x
a

Tính giá trị biểu thức A = 22 22 22

c
z
b
y
a
x



Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và 0






 a b

c
a
c

b
c
b

a
Tính giá trị của P = ( )2 ( )2 (a c)2

c
a

c
b
c

b

a







Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz

Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức
A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0.

Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d.

Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2.

Tính giá trị biểu thức: A = xx yy

Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy.

Tính giá trị của phân thức A = 6 2 2

y

xy
x

xy





Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007.

Tính giá trị của biểu thức: P = 2 2 2

2
2
2

)
(
)
(
)

(y z ac x z ab x y
bc

cz
by
ax







</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:

P = (x yx)(3x z) (y xy)(3y z)(z yz)(3z x)







Bài 27: Cho























1

3
3
3

2
2
2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

Tính giá trị của biểu thức: P = x2007+ y2007+ z2007
.

Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức:
P =







2 2



2
2

)
(
)
(

)
(

b
c
a
c
b
a

c
b

a
c
b
a












Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2.

Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0.
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:























15

8

3 z

x

zx

z

y

yz

z

y

xy

Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.

Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:

















1

3
3
3

2
2
2

z

y

x

z

y

x

Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003)
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =

4
3
2

4
8
6
3
2









b) Tính giá trị biểu thức: Q = xx yy

Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)

Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:

2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)

Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2.

a) So sánh a và b + c.

b) So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)

Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0

2) Tính A = 3 20 14 2 3 20 14 2




 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn

điều kiện 2
1
x + 2

x  10.

Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:

 

















ac

bc

ab

a

c

2

0

Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 ln ln có nghiệm.

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0.

Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai

nghiệm x1, x2 thỏa mãn:















35

5

3
2
3
1

2
1

x

Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình

(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 ln có nghiệm.

Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b

Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0

Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm nếu 2  4

a
c
a

b

Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa

mãn: 2
1
x - 2

2
x =

9
5

Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai

nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN

b) B = x12 + x22 - đạt GTNN.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 khơng phụ thuộc vào m.

Bài 11: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:

3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:

S = 3

2
3
1

1
1

x
x 

Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x

1,x2. Khơng giải phương

trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
A =

2
3
1
3
2
1

2
2
2
1
2
1

4
4

3
5

x
x

x
x
x
x





Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)

1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với mọi giá trị của a.
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

x1 < 1 < x2.

Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)

a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1) .

Tìm GTNN của M = x12 + x22

Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:

2
1
1
1




b
a

CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0.

Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)

a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.

Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:

ax2 + 2bx + c = 0 (1)

bx2 + 2cx + a = 0 (2)

cx2 + 2ax + b = 0 (2)

Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)

a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.

Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)

1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

x12 + x22  10.

3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

E = x12 + x22 đạt GTNN.

Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.

CMR: a2 + b2 là một hợp số.

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.

Giải phương trình:

Bài 1: x3 + 2x2 + 2 2x + 2 2.

Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)

Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2

Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144

Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272

Bài 7: a) (x + 2)4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2

b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64

Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0

b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 9: a) x4 = 24x + 32

b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0

Bài 10: x 85  x 93 1

Bài 11: 1

2
5
3
7
2
3
2
2
2 






 x x

x
x

Bài 12: x2 +

 2 12

4
2
2


x
x

Bài 13: 20 0

1
4
48
1
2
5

1
2
2
2
2
2





















x
x
x

x
x
x

Bài 14: a) 4

1
7
1
3
3
2

2 






 x x

x
x
x
x
b)
15
12
4

15
6
15
10
2
2
2







x
x
x
x
x
x
x
c)
4
1
5
6
5
5
5
4

5
3
2
2
2
2











x
x
x
x
x
x
x
x

Bài 15: a) x2 +

 9 40

81
2
2


x
x

b) x2 +

 12 15
2



x

x

Bài 16: a) 1 2 212 409














 
x
x
x
x

b) 0

1
4
2
5
1
2
1
2
2
2
2
2






















x
x
x
x
x
x

c) x. 15

1
8
1
8













x
x
x
x
x
Bài 17: x2 + 1 2






 
x
x

= 8( Đề thi HSG V1 2004)
Bài 18: x 1 5x1 3x 2

Bài 19: 3 1 3 7 2





 x

x

Bài 20: x2 x1 x 2 x12

Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2

2
7
7
2


 x
x
Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1

b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0

c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0

Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)

Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24

Bài 25: a) x3 - 6x + 4 = 0

b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0

Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0

b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0

Bài 27: 4 0

3
10
48
3 2
2










x
x
x
x

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5

3

x
( Đề thi HSG 1998)

Bài 29: 3

5
3

5 








x
x
x

Bài 30: x4 - 4 3x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)

Bài 31: 5 0

2
4






x
x

x ( Đề thi HSG V2 2003)

Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0

b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0

Bài 33: (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
Bài 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 2x3

b) 3 3 8



x = 2x2 - 6x + 4

c) 2

3
2

2 






x
x

Bài 35: 3 x13 x23 x30

Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m

a) Giải phương trình khi m = 5.

b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương

trình có nghiệm.

Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0

Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0.

Bài 40: x2 + 9x+ 20 = 2 3x10

Bài 41: x2 + 3x+ 1 = (x + 3)



x
Bài 42: x2 + 2006



x =2006

DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1) Với a, b > 0 thì ab ab

2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:




 )( )

(a2 b2 x2 y2 (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: ab cd  acbd

Bài 4) CM bất đẳng thức:

 2  2
2

2
2

2 b c d a c b d

a       

Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức:

2
2

2 a b c

b
a

c
a
c

b
c
b

a  








Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì:

2
1
2

1
...

2
1
1
1







 n n

n

Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b  2.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn 





  ;0

3
4

khi biễu diễn trên trục số.
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5.

CMR: 2a2 + 3b2  5.

Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1.
CM: a2 + 4b2 

5
1

. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003).

Bài 11) Chứng minh: 31

2
2
2
2

2
2
2
2
2












(Đề thi HSG 2001).
Bài 12) Chứng minh:

a) (a2 b2)(x2 y2) (ax + by)2

b) 0 x 2 4 x2

Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm:

2
3







 a b

c
a
c

b

c
b

a
Bài 14) Cho

100
1
...
3
1
2
1

1   



S .

CMR: S không là số tự nhiên.

Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR: 1x 1yx4y. Dấu bằng xảy ra khi nào?

b) Tam giác ABC có chu vi Pa2bc.

Cm: 

















 a p b p c a b c
p

1
1
1
2
1
1

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 16) a) CM x > 1 ta có: 2

1 


x

x

b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của:

1
1

2
2






a
b
b

a
P

Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 1 1 19











c
b

a .

Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2.
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).

Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b

 10.

Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab.

CMR: 8

8 2 2




a b .
Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT: 1 1 2 3





</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

a) 1a5 thì 3 a 14 5 a10

b) a + b 0;b10;ab2 thì a1 b12 2

Bài 25) Cho biểu thức Px4  x33x1 x4 x31 x1 x5 x4x34 x2x 1

CMR: 0P329 với x1.

Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và Cmr ba ba kk
b

a





1. :

b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
b

a
c
a
c

b
c
b

a






 < 2.

Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.
Chứng minh rằng: 1 1 1 19


















b
a

(Đề thi HSG V2 2003 - 2004)

Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:















x
y
y
x
x

y
y
x

3
4

2
2
2
2

( Đề thi HSG V2 2006 - 2007)

DẠNG 6: CỰC TRỊ

Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y.

Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P = 2 2

1 1

x y

 

   

 

   

Bài 3) Cho P =





2
2

2 1

x x
x

 

 . Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x.

Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y  0, x + y = 10

Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.

Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1

Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 22

1
1

x x
x x

 
 

Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2 x

Bài 9) Tìm GTLN của P = xyzyzx với x, y, z > 0.

Bài 10) Tìm GTLN của P = (x 1990)2 (x 1991)2

  

Bài 11) Cho M = a 3 4 a1 a15 8 a1

a) Tìm điều kiện của a để M được xác định.
b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng.
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:

1 1 1

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 13) Tìm GTNN của P = 2 1

1 x x

Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

P = x + 2y.

Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3.
Tìm GTNN của E = x2 + 2y2.

Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức

P = 2 2

x y +

xy + 4xy

Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = 2 2 1

x x
x

 

 với x bất kỳ.

Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức

A = 2 2

1 2

x y xy

Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =

2
2

1 1

x y

 

   

 

   

Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + 1
4xy
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 1 1 1 1

x y

 

   

 

   

Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4.

Tìm GTNN của biểu thức P =

2 2

1 1

x y

y x

   

  

   

 

Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
E =

2 2 2

1 1 1

a b c

     

    

     

     

Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
P = a3 + b3

Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.
Tìm GTNN của P = 1 1

1 1

a b

Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P =

2 2

x y
x y




Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của
P = 8(x4 + y4) + 1

xy

Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0

Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1

Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x x + y y biết x + y = 1
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P = x2 2x2 2000

x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15></div>

De thi hoc sinh gioi toan









P

x

2

<b>DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.</b>





























1

1

1

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>



<sub></sub>



<sub></sub>





























15

8

3

<i>z</i>

<i>x</i>

<i>zx</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>yz</i>

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>xy</i>





















1

1

<i>z</i>

<i>y</i>

<i>x</i>