THI CHON HSG TINH MON TOAN 12 1011VONG1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (175.36 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Sở Giáo Dục & Đào TạoNGhệ an

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thihọc sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT 
nm hc 2010 - 2011

Môn thi: Toán

Ngày thi:

07/10/2010

Thời gian:

180

phút (không kể thời gian giao đề)

Cõu 1 (4,0 điểm).

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:





2 2

1

5

57

4

3 1 .

25 x

y

x

y x

























Câu 2 (4,0 điểm).

Cho dãy số

 

xn

với





1 , n 1 n n 1 ,

x a x  x x    n

.

Tìm điều kiện cần và đủ của

a

để dãy số trên có giới hạn hữu hạn.

Câu 3 (4,0 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC có phân giác trong AD (D nằm trên cạnh BC). Gọi E, F lần

lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Gọi H là giao điểm của BF và CE. Chứng minh

rằng AH vng góc với BC.

Câu 4 (4,0 điểm).

Cho tam giác ABC có diện tích

S

,

BC a CA b AB c ,  , 

.

Chứng minh rằng:













2 2 2

2 3

b c a a

c a b b

a b c c

S

b c

c a

a b

 







.

Câu 5 (4,0 điểm).

Cho số nguyên dương

n2

và tập

M 



1; 2; 3; ... ; n



. Với mỗi tập con A khác rỗng

của M ta ký hiệu

là số phần tử của tập A, minA và maxA tương ứng là phần tử nhỏ

nhất và lớn nhất của tập A. Tính





A M, A

min A max A

A

 







theo

n

.

- - -

HÕt

-Họ và tên thí sinh:... Số báo danh:...

hng dn và biểu điểm Chấm đề chính thức

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

(Híng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Môn: toán (Ngày 07/10/2010)

---I. Hướng dẫn chung

1. Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng
phần như hướng dẫn quy định.

2. Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong Hướng dẫn chấm phải đảm
bảo không sai lệch với Hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng

chấm thi.

II. áp án v thang i mĐ à đ ể

CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

Câu 1
(4,0 đ)

Hệ phương trình đã cho tương đương với

2 2

5 5 1

57
4 3 3

x y

x x xy y

  


   




2 2
2 2

5 5 1

47
2 2 3 3

x y

x y xy x y

  

 
    


1.0



 



2 2

5 5 1

2 2 2 2

x y

x y x y x y x y

  

 
      


1.0
Đặt a2x y b x ;  2y

Hệ đã cho trở thành
2 2 1

47
25

a b
ab a b

  



  











2
2 1
94
2 2
25

a b ab
ab a b

   

 
  











2
2
2 1
144
1
25

ab a b
a b
   

 
  


1.0





7
5
12
25
17
5
132
25
a b
ab
a b
VN
ab
 
 
 
 
  
 
 


  

 



 

 




;



( ; )3 4
5 5

a b

  hoặc ( ; )4 3
5 5



;



( ; )2 1
5 5

x y

  hoặc (11 2; )

25 25 (thỏa mãn).

1.0

Câu 2
(4,0 đ)

Nếu a 1 hoặc a2, khi đó 2x2x3.... Giả sử tồn tại limxn c, ta có:

c c  cc hoặc c2 (mâu thuẫn). Suy ra 1 a 2. 1.0

(*) Ta chứng minh nếu tồn tại k sao cho 0xk 1 thì dãy hội tụ. Thật vậy:

1 2 3 4

1 1

0 1 0, 0 1, 0,0 1,...

4 4

k k k k k

x x x x  x 

            

Dãy



x



đơn điệu giảm vì x x x3



x 2



0

    . Vì vậy tồn tại

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(**) Ta chứng minh nếu tồn tại k sao cho 0xk 2 thì dãy hội tụ. Thật vậy:

0xk  2 xk  xk 2. Nếu xk2 xk1 2.

Nếu xk l  0, l thì dãy



xk l



đơn điệu giảm và bị chặn dưới do đó hội tụ.

Nếu xk l 0 thì 0 xk l 11. Theo chứng minh (*) dãy  xn hội tụ.

1.0

Từ đó, 0 a 2 thì 0 x1 2 suy ra dãy có giới hạn.

Nếu    1 a 0 0x22, suy ra dãy có giới hạn.

Vậy điều kiện cần và đủ để dãy có giói hạn là  1 a2.

1.0
Câu 3

(4,0 đ)

Gọi K là hình chiếu của A trên BC.

0.5

Vì K, E, F theo thứ tự thuộc các đoạn BC, CA, AB nên:

KB FC EA KB FC EA

KC FA EB
KC FA EB .

0.5
Từ giả thiết ta có EA = FA; ED = FD, do đó:

KB FC EA KB KA FC ED cot tan cot tanB C C B 1

KA KC FD EB

KC FA EB   .

1.5
Vậy theo định lý Ceva, với chú ý AK, BF, CE khơng thể đơi một song song, ta có

AK, BF, CE đồng qui. 1.0

Điều đó có nghĩa là AK đi qua H. Vậy AH vng góc với BC. 0.5
A

B D K C

F
H

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C1 A B

1
B

Câu 4
(4,0 đ)

Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau:

Bổ đề 1: Với a b c, , là ba cạnh của một tam giác có diện tích S thì:
2(ab bc ca) a2 b2 c2 4S 3

      .

Chứng minh: Vận dụng kết quả



x y z 



23



xy yz zx 



. Ta có



(p a p b )(  ) ( p b p c )(  ) ( p c p a )(  )



2 3 (p p a p b p c )(  )(  )

(với

a b c
p   )

 (p a p b )(  ) ( p b p c )(  ) ( p c p a )(  )S 3

2(ab bc ca) a2 b2 c2 4S 3

      

1.0

Bổ đề 2: Với a b c, , là ba cạnh của một tam giác có diện tích S và x y z, , là các số
thực dương. Ta ln có

2 2 2

2 3

xa yb zc

S
y z  z x  x y  .
Chứng minh:

Ta có









2 2 2

( ) ( ) ( )

a b c

y z z x x y a b c
y z z x z x

 

         

 

  

 

2 2 2

2( )

xa yb zc

ab bc ca a b c

y z z x x y

        

   .

Áp dụng Bổ đề 1 ta có

2 2 2

2 3

xa yb zc

S
y z  z x  x y  .

1.0

Trở lại bài toán:

Gọi A1, B1, C1 lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp của các góc A, B, C của tam

giác ABC.

Ta có





1 1 1 1

( )

dt A BC a
A BC A B C

dt A B C x

 

    

2 '

a

ar a

S x

 
  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

2 2 2

( ) ( ) ( )

'( ) '( )

a a

b c a a ar b c a x r p a ax

b c S b c S b c

    

  

  

2 2

( )

b c a a S ax
b c S b c

 

 

 

Tương tự

2 2

( )

,
'

c a b b S by
c a S c a

 



 

2 2

( )

a b c b S cz
a b S a b

 



  với C A y A B z1 1 , 1 1 .

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

b c a a c a b b a b c b S ax by cz

b c c a a b S b c c a a b

 

     

       

       .

Áp dụng Bổ đề 2, đối với tam giác A1B1C1 ta có

2 2 2

2 ' 3

ax by cz

S
b c  c a  a b 



b c a a





c a b b





a b c c



2 2 3

S

b c a c a b

     

   

  

(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều.

1.0

Câu 5
(4,0 đ)

Với mỗi 1 k n,

đặt Ek 



A M A k 



và



min ax



k

A E

x A m A A







  .

Khi đó
1

n
k
k

T x





1.0

Với mỗi A



a a1; ;...;2 ak



Ek đặt





1 2

1 ; 1 ;...; 1 k

A n  a n  a n  a .

Ta có

 

* , *

k

A E A A Ek



A M A k 

 

 A A M A k*  , 





* *



2 min ax min ax 2

k

k
A E

x A m A A m A A



 



   

1.0

Giả sử minA a m 1, axA a k. Khi đó

* *

minA   n 1 a mk, axA   n 1 a .

Do đó minA maxA minA* maxA* 2 A 2(n 1) 2k

      









2 2 1 2 1

k

k n

A E

x n k n k C



 



    



1



k

k n

x n k C

    .

1.0





n

k
n
k

T n k C



 



  .

Ta có





1 1





0 0

1 n n k n k ( 1)n ( 1)n n 1 k n k

n n

k k

x x C x   x nx x  n k C x 

 

 



    



  .

Thay x1, ta có 1





2n .2n n 1 k 1

n
k

n  n k C n T



 



     .
Vậy T 2n n.2n1 n 1

    .

1.0

HÕt

</div>

THI CHON HSG TINH MON TOAN 12 1011VONG1

Ngày thi:

<b>07/10/2010</b>

Thời gian:

<b>180</b>

phút (không kể thời gian giao đề)

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:





1

5

57

4

3

3

1 .

25

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>y x</i>















<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>





Cho dãy số

 

với





.

Tìm điều kiện cần và đủ của

<i>a </i>

để dãy số trên có giới hạn hữu hạn.

Cho tam giác nhọn ABC có phân giác trong AD (D nằm trên cạnh BC). Gọi E, F lần

lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Gọi H là giao điểm của BF và CE. Chứng minh

rằng AH vng góc với BC.

Cho tam giác ABC có diện tích

<i>S</i>

,

<sub>.</sub>

Chứng minh rằng:













2 3

<i>b c a a</i>

<i>c a b b</i>

<i>a b c c</i>

<i>S</i>

<i>b c</i>

<i>c a</i>

<i>a b</i>

 

 

 













.

Cho số nguyên dương

và tập



