DE VA DAP AN THI HSG TOAN 9 VINH PHUCMoinhat

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC</b>
<b>——————</b>

<b>ĐỀ CHÍNH THỨC</b>

<b>KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012</b>
<b>ĐỀ THI MƠN: TỐN</b>

<i>Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề</i>

————————————

<b>Câu 1 (3,0 điểm).</b>

1. Cho

 

3
2

1 3 3
<i>x</i>
<i>f x</i>

<i>x</i> <i>x</i>



  . Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

1 2 2010 2011

...

2012 2012 2012 2012

<i>A</i><i>f</i> _ _ <i>f</i> _ _  <i>f</i>_ _<i>f</i> _ _

       

2. Cho biểu thức 2 1 1 2₂ 2
1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>P</i>

<i>x x</i> <i>x x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

  

   

Tìm tất cả các giá trị của <i>x</i>_{sao cho giá trị của}<i>_P</i>_{là một số nguyên.}

<b>Câu 2 (1,5 điểm).</b>

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương



<i>x y</i>;



_{thỏa mãn}

_

<i>x y</i>

_

3 

_

<i>x y</i>  6

_

2.
<b>Câu 3 (1,5 điểm).</b>

Cho <i>a b c d</i>, , , _{là các số thực thỏa mãn điều kiện:}

2012

<i>abc bcd cda dab a b c d</i>       
Chứng minh rằng:



<i>_a</i>2 ₁

 

<i>_b</i>2 ₁

 

<i>_c</i>2 ₁

 

<i>_d</i>2 ₁



₂₀₁₂

     .

<b>Câu 4 (3,0 điểm).</b>

Cho ba đường tròn

  

<i>O</i>1 , <i>O</i>2



và

 

<i>O</i> (kí hiệu

 

<i>X</i> chỉ đường trịn có tâm là điểm <i>X</i>). Giả sử

  

<i>O</i>1 , <i>O</i>2



tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm <i>I</i> và

  

<i>O</i>1 , <i>O</i>2



lần lượt tiếp xúc trong với

 

<i>O</i> tại

1, 2

<i>M M</i> _{. Tiếp tuyến của đường tròn}

_{ }

<i>O</i>₁ _{tại điểm}<i>_I</i>_{cắt đường tròn}

_{ }

<i>O</i> _{lần lượt tại các điểm}

, '

<i>A A</i> _{. Đường thẳng}<i>AM</i>₁_{cắt lại đường tròn}

_{ }

<i>O</i>₁ _{tại điểm}<i>N</i>₁_{, đường thẳng}<i>AM</i>₂_{cắt lại đường}
tròn



<i>O</i>2



tại điểm <i>N</i>2.

1. Chứng minh rằng tứ giác <i>M N N M</i>1 1 2 2 nội tiếp và đường thẳng <i>OA</i> vng góc với đường

thẳng <i>N N</i>1 2.

2. Kẻ đường kính <i>PQ</i>_{của đường trịn}

_{ }

<i>O</i> _{sao cho}<i>PQ</i>_{vng góc với}<i>_AI</i>_(điểm<i>_P</i>_{nằm trên}
cung 

1

<i>AM</i> khơng chứa điểm <i>M</i>2). Chứng minh rằng nếu <i>PM</i>1, <i>QM</i>2 khơng song song thì các

đường thẳng <i>AI PM</i>, 1 và <i>QM</i>2 đồng quy.
<b>Câu 5 (1,0 điểm)</b>

Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tơ bởi một trong 3 màu
xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó ln tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc
các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.

—Hết—

<i>Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.</i>

Họ và tên thí sinh:……….………..…….…….….….; Số báo danh……….

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài 1:

1. Chứng minh: với a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1, trong đó

 

3
2

1 3 3
<i>x</i>
<i>f x</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 

Từ đó: A = 1005,2.

2. Cho biểu thức 2 1 1 2₂ 2
1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>P</i>

<i>x x</i> <i>x x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

   

  

   

ĐKXĐ: x 0;<i>x</i> 1
Rút gọn:

1
2







<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>P</i> _{= 1+}

1
1





<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

Dễ thấy P > 0 và P <= 2. Từ đó P = 1 hoặc P = 2, từ đó x = 0 hoặc x = 1 (Loại)
Câu 2:

Vì x , y nguyên dương nên x + y >1 suy ra (x+y)3_{> ( x +y )}2
Do đó: (x + y)2_{<= (x – y- 6)}2

Xét hai trường hợp:

+ Nếu x – y – 6 >=0 thì x + y < x – y – 6 nên y < -3 ( vơ lí vì y ngun dương)

+ Nếu x – y – 6 < 0 thì x + y < y + 6 – x suy ra x < 3 suy ra x = 1 hoặc x = 2.
Xét x = 1 và x = 2 là OK.

Bài 3:
Ta có:





2





 

 

 





2

2012 <i>abc bcd cda dab a b c d</i>        <i>ab</i> 1 <i>c d</i>  <i>cd</i>1 <i>a b</i>



<i>ab</i> 1



2



<i>a b</i>



2



<i>cd</i> 1



2



<i>c d</i>



2

   

      

   



<i>_{a b}</i>2 2 <i>_a</i>2 <i>_b</i>2 ₁

 

<i>_{c d}</i>2 2 <i>_c</i>2 <i>_d</i>2 ₁

 

<i>_a</i>2 ₁

 

<i>_b</i>2 ₁

 

<i>_c</i>2 ₁

 

<i>_d</i>2 ₁



           

Bài 4:

Câu a:

Áp dụng tính chất của đoạn tiếp tuyến và cát tuyến cắt nhau:
+ Trong (O1): AI2_{= AN}

1.AM1
+ Trong (O2): AI2_{= AN}

2.AM2.

Do đó: AN1.AM1= AN1.AM1 nên tứ giác M1N1N2M2 nội tiếp.
Bài 5:

Cách 1: Vẽ 7 - giác đều ABCDEFG: Vì có 7 điểm mà được tơ bởi ba màu nên tồn tại ít
nhất 3 điểm được cùng được tô bởi cùng một màu, giả sử màu xanh.

- Nếu ba điểm liên tiếp hoặc một đỉnh cùng hai đỉnh cách nhau hai đỉnh cùng có màu
xanh thì bài tốn được chứng minh

- Nếu không như vậy ta xét các trường hợp sẽ tỉm được tam giác thỏa mãn yêu cầu đề
bài

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Do</b>

<b>Do</b>

<b>Xanh</b>

<b>Xanh</b>
<b>Xanh</b>

<b>Tím</b>

<b>Tím</b>

E

D

C

F

B

A

G

Do có 7 điểm được tơ bởi ba màu nên sẽ có ít nhất 3 điểm cùng màu, giả sử là màu xanh.
- Nếu 3 điểm đó là A và hai điểm khác trong số các điểm là đỉnh của lục giác thì bài

tốn được chứng minh.

- Nếu ba điểm liên tiếp của lục giác cùng tô màu xanh => btđcm.
- Nếu chỉ có hai đỉnh liên giả sử là B, C. Ta xét các TH:

+ Nếu E tím; F xanh.; A đỏ thì xong

</div>

<!--links-->