Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quan hóa vận dụng đa dạng phương pháp để giải nhanh nhất bài toán tổng hợp dao động

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Hệ thống giáo dục nước ta luôn vận động và phát triển không ngừng, từ
phương thức kiểm tra, phương pháp dạy và học, đến nội dung sách giáo khoa
cũng liên tục được cập nhập, sửa đổi. Tất cả những thay đổi này đều nhằm
hướng đến một nền giáo dục phát triển toàn diện và đạt được những mục tiêu
quan trọng cho sự nghiệp phát triển đất nước. Trong quá trình vận động này, sự
nỗ lực của học sinh và giáo viên là nhận tố vơ cùng quan trọng để có thể tiếp cận
với cái mới cái tiến bộ và thay đổi.
Với kinh nghiệm giảng dạy và quan sát quá trình học của học sinh, tôi
nhận thấy với hầu hết các em học sinh đều cho rằng 3 chương đầu tiên của vật lý
12 hiện nay là khó tiếp cận hơn so với 4 chương cịn lại. Trong đó chương “Dao
động điều hịa” có thể nói là nền tảng phát triển rất nhiều cho các chương học
sau. Đặc biệt là phần tổng hợp dao động điều hịa, có nhiều học sinh trong q
trình học cịn lúng túng, thậm trí chỉ biết chăm chăm bấm máy tính là hết, mà
cách bấm máy chỉ làm được các bài tốn thuận, đơn giản.
Với hình thức kiểm tra trắc nghiệm như hiện nay thì tốc độ làm bài là cực
kì quan trọng. Vì vậy, tơi muốn thơng qua nghiên cứu của mình để làm sáng tỏ
vấn đề học sinh cịn chưa nắm kĩ trong các bài tốn tổng hợp dao động, nhằm
đưa ra phương pháp giải ngắn gọn và hay nhất, có thể trong thời gian suy nghĩ
ngắn nhất học sinh đưa ra được đáp án chính xác.
Với những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài ‘‘Hướng dẫn học sinh
lớp 12 trường THPT Quan Hóa vận dụng đa dạng phương pháp để giải
nhanh nhất bài toán tổng hợp dao động ” để nghiên cứu và vận dụng.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh tiếp cận với bài toán tổng hợp dao động một cách dễ
dàng, từ cơ bản đến nâng cao.
- Giúp học sinh hiểu rõ cơng thức mà mình áp dụng, biết tự chứng minh
các cơng thức giải nhanh, nhằm tối ưu hóa thời gian làm bài trắc nghiệm
- Học sinh vận dụng được nhiều phương pháp khi gặp các bài toán cụ thể .
- Học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề theo hướng khoa học nhất

và tối ưu nhất
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Lý thuyết về tổng hợp dao động điều hịa.
- Phương pháp giải bài tốn tổng hợp dao động điều hòa. Nội dung chủ
yếu khai thác tổng hợp dao động điều hịa cùng tần số, các bài tốn từ cơ bản
đến nâng cao, phù hợp cho nhiều đối tượng học sinh.
- Nghiên cứu ở trường THPT Quan Hóa trong năm học 2020 – 2021.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Phương pháp thu thập tài liệu: Gồm các tài liệu chuyên môn, sách
giáo khoa, sách bài tập, tài liệu tham khảo
1.4.2. Phương pháp quan sát: Người thực hiện đề tài tự tìm tịi, nghiên cứu,
đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy .
1


1.4.3. Phương pháp trao đổi, thảo luận: Từ kết quả nghiên cứu, người thực
hiện đề tài tiến hành trao đổi, thảo luận với đồng nghiệp, rút kinh nghiệm để
hoàn thiện đề tài.
1.4.4. Phương pháp thực nghiệm: Giáo viên tiến hành dạy thực nghiệm
theo phương pháp đã nghiên cứu trong đề tài.
1.4.5. Phương pháp điều tra:
Giáo viên ra các bài tập áp dụng để kiểm tra đánh giá kết quả sử dụng
phương pháp mới.
Cho học sinh viết ý kiến về cách làm mà em hay sử dụng cho các bài toán tổng
hợp dao động.
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận
Mơn Vật lý được đưa vào giảng dạy trong nhà trường phổ thông nhằm cung
cấp cho học sinh những kiến thức phổ thơng, cơ bản, có hệ thống toàn diện về
Vật lý. Hệ thống kiến thức này phải thiết thực, có tính tổng hợp và đặc biệt phải

phù hợp với quan điểm Vật lý hiện đại. Để học sinh hiểu được một cách sâu sắc
những kiến thức và áp dụng những kiến thức đó vào thực tiễn cuộc sống thì cần
phải rèn luyện cho học sinh những kỹ năng, kỷ xảo thực hành như: kỹ năng, kỹ
xảo giải bài tập theo nhiều cách khác nhau [3].
Bài tập Vật lý có ý nghĩa quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ dạy học
Vật lý ở trường phổ thông. Thông qua việc giải tốt và nhanh các bài tập Vật lý
học sinh sẽ có những kỹ năng so sánh, phân tích, tổng hợp…Do đó sẽ góp phần
to lớn trong việc phát triển tư duy, phẩm chất, năng lực của học sinh. Đặc biệt
bài tập Vật lý giúp học sinh củng cố kiến thức đã học giải quyết những tình
huống cụ thể, làm cho bộ môn trở nên hấp dẫn đối với học sinh.
2.2. Thực trạng học sinh lớp 12 trường THPT Quan Hóa vận dụng các
phương pháp để giải bài tốn tổng hợp dao động
Hiện nay chương trình sách giáo khoa chuẩn bị được đổi mới theo hướng phù
hợp với thực tiễn đời sống, tăng cường tính thực tiễn và kỹ năng thực hành, năng
lực tự học của học sinh, qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy đối với học sinh
trường THPT Quan Hóa việc giải các bài tập Vật lý thực sự khó khăn với các em
vì học sinh trường tơi cịn rất nhiều hạn chế:
Đa số học sinh đều là người dân tộc thiểu số các em có tư duy rất
đơn giản, thầy cơ dạy như thế nào các em sẽ làm giống như thế với tất cả
các dạng bài tập khác
Trường THPT Quan Hóa đóng trên địa bàn vùng kinh tế đặc biết
khó khăn của Tỉnh Thanh Hóa nên hầu hết các em ít được sự quan tâm
của gia đình, ít được mua sắm các thiết bị cho việc học như: Máy tính
cầm tay, điện thoại thông minh…học sinh thiếu điều kiện học tập.
Kiến thức tự nhiên còn hạn chế rất nhiều, 80% học sinh mất gốc
mơn Tốn từ THCS, do đó kiến thức về lượng giác, hình khơng gian,
vectơ…là những vấn đề khó khăn với các em khi vận dụng giải bài tập
Vật lý.
2

Trong những năm qua số lượng học sinh theo học các mơn khoa học tự nhiên
ở trường THPT Quan Hóa rất ít, cả khóa học hơn 200 học sinh nhưng chỉ có
khoảng hơn 10 học sinh có nguyện vọng học khoa học tự nhiên. Từ những thực
tế trên bản thân tơi nhận thấy trách nhiệm của mình phải tìm cách dạy học để
học sinh cảm thấy u thích mơn Vật lý hơn, từ đó học sinh lựa chọn mơn lý là
môn thi sử dụng kết quả để xét tuyển Đại học. Khi dạy học từng chủ đề tơi ln
có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh của mình. Trong phần Tổng
hợp dao động điều hòa bằng kinh nghiệm giảng dạy của mình tơi đưa ra một số
phương pháp sau để học sinh vận dụng đa dạng, linh hoạt các phương pháp đó
vào từng bài tốn cụ thể
2.3. Các biện pháp để giải quyết vấn đề.
Để sử dụng có hiệu quả “ đa phương pháp giải nhanh các bài tốn tổng
hợp dao động điều hịa” trong giờ luyện tập và ôn tập tôi hướng dẫn học sinh
thực hiện một số phương pháp sau :
2.3.1. Phương pháp đại số
Chuẩn bị kiến thức cho học sinh về phần lượng giác để tổng hợp hai dao
động điều hồ có cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ, ta có thể tính tổng đại
số hai li độ của hai dao động thành phần
x1 = A1 cos ( ωt + ϕ1 )

Trong đó,

;

x = x1 + x2

x2 = A2 cos ( ωt + ϕ2 )

.

và

A1 = A2

x = A1cos ( ωt + ϕ1 ) + A2cos ( ωt + ϕ 2 )

=

=

 ωt + ϕ 2 − ( ωt + ϕ1 )
2 A1cos 
2



 ωt + ϕ2 + ( ωt + ϕ1 ) 
÷.cos 
÷
2




ϕ +ϕ 
 ϕ −ϕ 

2 A1cos  2 1 ÷.cos  ωt + 2 1 ÷
2 
 2 



Vậy dao động tổng hợp có biên độ A =

ϕ=

ϕ 2 + ϕ1
2

 ϕ −ϕ 
2 A1. cos  2 1 ÷
 2 

và pha ban đầu

.

Ví dụ 1: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương,
π

π

π

cùng tần số có phương trình: x1 = 5cos( t + /3) (cm); x2 = 5cos t (cm). Dao
động tổng hợp của vật có phương trình
A. x = 5

3

π

π

cos( t - /4 ) (cm)

B.x = 5

3

π

cos( t +

π

/6) (cm)
3


π

C. x = 5cos( t +

π

π

/4) (cm)
Giải:

D.x = 5cos( t -

π

/3) (cm).[2].

Nhận xét hai dao động cùng tần số, cùng biên độ ta sử dụng phương pháp đại số
cộng Lượng giác
π

π

π

π

π

π

π

x= x1 + x2= 5cos( t + /3) + 5cos t = 2.5 . cos /6 . cos ( t +
3

π

/6)

x = 5 cos( t + /6) (cm)
Chọn đáp án B
Phương pháp này chỉ phù hợp khi hai dao động cùng biên độ, nếu biên độ khác
nhau sẽ rất khó áp dụng. Ngay cả khi cùng biên độ thì cần học sinh am hiểu khá
tốt về phần Lượng giác trong toán học mới dễ dàng áp dụng cách này.
Lưu ý học sinh nếu gặp bài toán tổng hợp hai dao động cùng biên độ thì các em
có thể sử dụng cách này
2.3.2. Phương pháp giản đồ Fre - nen
2.3.2.1. Vectơ quay
uuuu
r
OM

Khi điểm M chuyển động trịn đều thì vectơ vị trí
quay đều với cùng
ω
tốc độ góc . Khi ấy x = Acos(ωt + ϕ) là phương trình của hình chiếu của vectơ
quay lên trục x.

Dựa vào đó, người ta đưa ra cách biểu diễn phương trình của dao động điều hoà
bằng một vectơ quay được vẽ tại thời điểm ban đầu.
Vectơ quay có những đặc điểm sau:
+ Có gốc tại gốc toạ độ của trục Ox.
+ Có độ dài bằng biên độ dao động, OM = A
+ Hợp với Ox một góc bằng pha ban đầu (chọn chiều dương là chiều dương của
đường tròn lượng giác) [1].
2.3.2.2. Phương pháp giản đồ vectơ Fre-nen
Để tổng hợp hai dao động điều hoà có cùng phương, cùng tần số nhưng biên độ
khác nhau và pha khác nhau, ta thường dùng phương pháp giản đồ vectơ Fre –
nen, do nhà vật lí Fre – nen đưa ra.

Trong đó:
4


Vectơ
Vectơ

uur
A1
uur
A2

Và vectơ

biểu diễn cho dao động :
biểu diễn cho dao động:
ur
A

x1 = A1 cos ( ωt + ϕ1 )

x2 = A2cos ( ωt + ϕ 2 )

là vectơ tổng hợp của hai dao động

Phương trình của dao động tổng hợp:

.

.

x1 và x2

x = x1 + x2 = Aco s ( ωt + ϕ )

Ta có :

A22 + 2A1A2cos( ϕ 2 -

- Biên độ : A2 = A12 +
ϕ 1).[1].

Một số câu hỏi về giá trị biên độ tổng hợp yêu cầu học sinh nắm vững giới
hạn của nó :
A1 − A2 ≤ A ≤ A1 + A2
A sinϕ1 + A2 sinϕ 2
tan ϕ = 1
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
- Pha ban đầu:

ϕ1 < ϕ < ϕ 2

− π ≤ ϕ ≤ π

+ Lưu ý: Khi gặp bài tốn tổng hợp dao động chúng ta tìm mối quan hệ pha của
chúng có phải các trường hợp đặc biệt sau:
* Các trường hợp đặc biệt:
∆ϕ
π
- Hai dao động cùng pha:

= �2 – �1= 2n
với ( n = 0, , ...)
⇒

- Hai dao động
ngược pha:

∆ϕ

– �1 = (2n+1)
( n = 0, , ...)

π

= �2
với
5


⇒

- Hai dao động vuông pha:
⇒

∆ϕ

π
= �2 – �1 = (2n+1) /2 với ( n = 0, , ...)

+ Để tìm cho trường hợp vng pha thì cách tổng qt là bạn phải dùng công

thức

tan ϕ =

A1 sinϕ1 + A2 sinϕ 2
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 đã suy luận ở trên, hoặc bấm máy tính.

+Trong trường hợp đặc biệt (các góc ở bốn vị trị đặc biệt của đường trịn (0 0,
900, 1800) ta có thể dựa trên giản đồ vectơ tính nhanh ra đáp án.
Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hịa cùng phương, cùng
π

π

π

tần số có phương trình: x1 = 5cos( t + /3) (cm); x2 = 5cos t (cm). Dao động
tổng hợp của vật có phương trình
A. x = 5

3

π

π

cos( t - /4 ) (cm)
π

C. x = 5cos( t +

π

B.x = 5

/4) (cm)
Giải:

3

π

cos( t +
π

D.x = 5cos( t -

π

π

/6) (cm)

/3) (cm)

Cách 1: sử dụng trực tiếp công thức
A=

52 + 52 + 2.5.5.cos(π / 3) = 5 3

tan ϕ =

(cm)

5.sin(π / 3) + 5.sin 0 5. 3 / 2
3
=
=
1
5cos(π / 3) + 5.cos 0 5. + 1
3
2

ϕ = π/6. Vậy :x = 5

3

π

cos( t +

π

=>

/6) (cm)
6


Cách 2: Vẽ trên giản đồ Fre-nen

Hướng dẫn học sinh vẽ và nhận ra các dấu hiệu đặc biệt trên hình sử dụng kiến
thức hình học tìm cạnh và góc tìm ra đáp án.
2.3.2.3. Nhược điểm của phương pháp giản đồ vectơ Fre-nen khi làm trắc
nghiệm.
- Xác định A và ϕ của dao động tổng hợp theo phương pháp trên mất nhiều
thời gian và dễ nhầm lẫn.Việc biểu diễn giản đồ véctơ, đơi khi khó biểu diễn
được với những bài toán tổng hợp từ 3 dao động trở lên.
- Xác định góc ϕ thật sự khó khăn đối với học sinh bởi vì cùng một giá trị
tanϕ ln tồn tại hai giá trị của ϕ (ví dụ: tanϕ=1 thì ϕ = π/4 hoặc -3π/4), vậy
chọn giá trị nào cho phù hợp với bài toán! Với học sinh chưa giỏi toán thì đây là
vấn đề khó khăn.
2.3.3. Phương pháp biểu diễn số phức (dùng máy tính cầm tay)
2.3.3.1. Cơ sở tốn học.
Bổ sung kiến thức số phức cho học sinh và hướng dẫn sử dụng một số chức
năng của máy tính cầm tay có liên quan.
+ Dao động điều hồ x = Acos(ωt + ϕ) có thể được biểu diễn bằng vectơ
quay có độ dài tỉ lệ với biên độ A và tạo với trục hồnh một góc bằng góc pha
ban đầu ϕ. Hoặc cũng có thể biểu diễn bằng số phức dưới dạng: z = a + bi .
a 2 + b2

+ Trong tọa độ cực: z =A(sinϕ +i cosϕ) (với mơđun: A=
) hay Z =
Ae
.
+ Vì các dao động có cùng tần số góc ω nên thường viết quy ước
z = AeJϕ, trong các dịng máy tính CASIO fx- 570ES, fx- 570VN plus, fx- 580
kí hiệu dưới dạng là: r ∠ θ (ta hiểu là: A ∠ ϕ).
+ Đặc biệt giác s,ố ϕ trong phạm vi : -1800 < ϕ < 1800 hay -π <ϕ < π rất phù
hợp với bài toán tổng hợp dao động trên. Vậy tổng hợp các dao động điều hoà
cùng phương, cùng tần số bằng phương pháp Fre-nen đồng nghĩa với việc cộng

các số phức biểu diễn của các dao động đó.
+ Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO fx –
570ES, 570VNPlus.[4].
j(ωt + ϕ)

7


[4].
Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hịa cùng phương, cùng
π

π

π

tần số có phương trình: x1 = 5cos( t + /3) (cm); x2 = 5cos t (cm). Dao động
tổng hợp của vật có phương trình
A. x = 5

3

π

π

cos( t - /4 ) (cm)
π

C. x = 5cos( t +

π

/4) (cm)

B.x = 5

3

π

cos( t +
π

D.x = 5cos( t -

π

π

/6) (cm)

/3) (cm)

Giải
Dùng đơn vị đo góc là Rad (R): SHIFT MODE 4
Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX. Tìm dao động tổng hợp:
Nhập: 5 SHIFT (-).∠ (π/3) + 5 SHIFT (-) ∠ 0 = Hiển thị: 5∠ Hay:
Các bước Chọn chế độ

Nút lệnh

Cài đặt ban đầu (Reset Bấm: SHIFT 9 3 = =
all):

Ý nghĩa- Kết quả
Reset all

Chỉ định dạng nhập / Bấm: SHIFT MODE Màn hình xuất hiện
xuất tốn
1
Math.
Thực hiện phép tính về Bấm: MODE 2
số phức

Màn hình xuất hiện
CMPLX

Dạng toạ độ cực: r∠θ Bấm: SHIFT MODE Hiển thị số phức kiểu
32
r ∠θ
(ta hiêu:A∠ϕ)
Dạng toạ độ đề các: a + Bấm: SHIFT MODE Hiển thị số phức kiểu
ib.
31
a+bi
Chọn đơn vị đo góc là Bấm: SHIFT MODE Màn hình hiển thị
độ (D)
3
chữ D

Chọn đơn vị đo góc là Bấm: SHIFT MODE Màn hình hiển thị
Rad (R)
4
chữ R
Để nhập ký hiệu góc ∠

x=5

3

Bấm SHIFT (-).
π

cos( t +

π

Màn hình hiển thị ký
hiệu ∠

/6) (cm)

Chọn đáp án B
2.3.3.2. Tổng hợp nhiều dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số
bằng phương pháp số phức.
8


Cho các dao động cùng phương, cùng tần số sau x1 = A1cos (ωt + ϕ1), x2 =
A2cos (ωt + ϕ2), x3 = A3cos (ωt + ϕ3) ... Dao động tổng hợp cũng là dao động

điều hoà cùng phương cùng tần số: x = Acos (ωt + ϕ) .
Chiếu lên trục Ox và trục Oy trong hệ xOy. Ta được:
Ax = Acos ϕ = A1cos ϕ1+ A2cos ϕ2+ A3cos ϕ3 + ..
Ay = A sin ϕ = A1sin ϕ1+ A2sin ϕ2+ A3sin ϕ3 + ..

Ay

A +A
2
x

2
y

Ax

Biên độ: A =
và pha ban đầu ϕ: tan ϕ =
,với ϕ ∈ [ϕ Min, ϕ Max]
2.3.3.3. Khi biết dao động thành phần và dao động tổng hợp tìm dao
động thành phần cịn lại
Giả sử cho x1=A1cos (ωt + ϕ1) và dao động tổng hợp x = Acos(ωt + ϕ) thì dao
động thành phần cịn lại là x2 = x - x1 với x2 = A2cos (ωt + ϕ2) .
Cách 1: Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen
Phương trình dao động tổng hợp x2 có dạng: x2 = A2cos(ωt + ϕ2)
x = x1 + x2 ⇒ x2 = x − x1

uur uur uu
r uur
uu

r
A2 = A − A1 = A + − A1

hay
Biên độ: A2 =A + A1 -2A1Acos(ϕ -ϕ1);
2

2

( )

2

A sin ϕ − A1 sin ϕ1
A cos ϕ − A1 cos ϕ1

Pha tan ϕ2=
với ϕ1≤ ϕ ≤ ϕ2
(nếu ϕ1≤ ϕ2)
Cách 2: Dùng phương pháp biểu diễn số phức (máy tính cầm tay)
Ta bấm máy tính như tổng hợp hai dao động, nhưng thay dấu cộng bằng dấu
trừ.
2.3.4. Vận dụng linh hoạt từ các phương pháp trên để giải quyết các bài
toán tổng hợp dao động điều hòa.
2.3.4.1. Các bài tập tổng hợp 2 dao động cùng phương,cùng tần số dạng
cơ bản.
Để làm nhanh các dạng bài tập này thì tơi khuyến khích học sinh nên hiểu
và nhớ các trường hợp đặc biệt của phương pháp Fre – nen. Việc nhớ các trường
hợp đặc biệt giúp học sinh có thể nhìn bài tốn và ra đáp án ngay lập tức.

Ví dụ 4

: Hai dao động cơ điều hồ có cùng phương:

x2 = 5cos(2π t +

cm;

3π
)
4

π

x1 = 7 cos 2πt − 
4


cm

cm. Tìm dao động tổng hợp x = x1 +x2 ?

9


x = 5 2 cos(2π t +

A.

π

)
2

π

x1 = 2 cos 2πt − 
4


cm

B.

x = 5 2 cos(2π t )

cm

π
x = 5 2 cos(2π t + )
4

C.
cm
D.
cm
Với bài này, học sinh chỉ cần nhẩm nhanh
=> A = A1 - A2
vì A1 > A2
Như vậy chọn đáp án C
Ví dụ 5: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hịa cùng

phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x 1 = 3cos10t (cm) và x2 =
π
4sin(10t + )
2

(cm). Gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng
A. 7 m/s .
B. 1 m/s2.
C. 0,7 m/s2.
2

π
4sin(10t + )
2

D. 5 m/s2.[2].

Ta có : x2 =
= 4scos(10t)
=>
=> A = A1 + A2 = 7cm => a =
Như vậy chọn đáp án A
Ví dụ 6: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng
tần số có phương trình: x 1 = √3cos(ωt + π/2) cm, x2 = cos(ωt + π) cm. Phương
trình dao động tổng hợp:
A. x = 2cos(ωt - π/3) cm

B. x = 2cos(ωt + 2π/3)cm
D. x = 2cos(ωt - π/6) cm

C. x = 2cos(ωt + 5π/6) cm

Cách 1: Bài này tính ta không thể nhẩm ra , mà phải vẽ giản đồ vector hoặc
dùng cơng thức.
Ta có:

A

A1

Từ giản đồ vecto =>
Hạn chế của cách này đó là việc tìm pha ban đầu khơng
phải dễ dàng vớix học
A2
sinh khơng giỏi tốn.
Cách 2: Dùng máy tính:Với máy FX570 – VN PLUS: Bấm MODE 2 màn
hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn chế độ máy tính theo rad: SHIFT MODE 4
3

Tìm dao động tổng hợp: Nhập máy:
 SHIFT (-).∠ (π/2) + 1 SHIFT (-) ∠
π = Hiển thị số dạng số phức. Sau đó bấm shift  bấm 2  bấm 3  bấm =, trên
máy hiển thị: 2∠2π/3
Như vậy chọn đáp án B
10


Ví dụ 7: Cho hai dao động điều hịa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ
2cm và có các pha ban đầu ℓà và - . Pha ban đầu và biên độ của dao động tổng

hợp của hai dao động trên ℓà
A. 0 rad; 2 cm.
B. π/6 rad; 2 cm.
C. 0 rad; 2 cm.
D. 0 rad; 2 cm.[2].
Hướng dẫn: [Đáp án C]
Cách 1: Phối hợp dùng giản đồ vector và công thức:
A1
A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos( ϕ 2 - ϕ 1)
=> A = cm
x
=0
ϕ
Từ giản đồ => = 0
A
A2

Cái hay của cách này là bạn nào làm quen giản đồ thì vừa nhìn là thấy ϕ =0 do
hai góc ϕ thành phần cùng độ lớn và trái dấu.
Cách 2: Bài này ta có thể dùng máy tính cầm tay (phương pháp biểu diễn số
phức)
Cách 3: Biến đổi lượng giác.
Ví dụ 8: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương có phương trình
π
3

3

π
6

π
2

dao động: x1= 2 cos(2πt + ) cm, x2 = 4cos (2πt + ) cm ;x3= 8cos (2πt - )
cm. Giá trị vận tốc cực đại của vật và pha ban đầu của dao động lần lượt là:
−

A. 12πcm/s và

C. 16πcm/s và

π
6

π
6

rad .

B. 12πcm/s và

π
3

−

rad.

D. 16πcm/s và

rad.
π
6

rad.

HD:
Cách1: Tổng hợp x2 và x3 ta có.
π
 π
4sin + 8sin − ÷
6
 2 = − 3 → ϕ = − π
tanϕ23 =
23
π
3
 π
4cos + 8cos − ÷
6
 2

π

A 23 = 42 + 82 + 2.4.8.cos∆ϕ = 4 3 ⇒ x23 = 4 3sin 2πt − ÷
3


11

Tổng hợp

A=

x23 với x1 có:

( 2 3) + ( 4 3)
2

2

π
 π
2 3sin + 4 3sin − ÷
3
 3 = − 1
tanϕ =
π
 π
3
2 3cos + 4 3cos − ÷
3
 3

+ 2.2 3.4 3cos∆ϕ = 6

π
π


⇒ x = 6cos 2πt − ÷( cm) ⇒ vmax = A ω = 12π;ϕ = − rad
6
6



Đáp án A

Cách 2: Với máy FX570ES: Bấm: MODE 2 ;Đơn vị đo góc là độ (R)bấm:
SHIFT MODE 3
Nhập: 2  SHIFT (-)∠ π/3 + 4 SHIFT (-) ∠ π/6 + 8 SHIFT (-) ∠ -π/2 =
Hiển thị kết quả: 6∠ -π/6
( Nếu hiển thị dạng : 3 -3i thì bấm SHIFT 2 3 = Hiển thị: π/6=> vmax= Aω
=12π (cm/s) ; ϕ=π/6
NHẬN XÉT: bài toán này nếu dùng giản dồ vecto thì khá dài và khó, ta nên ưu
tiên cách bấm máy để giải quyết nhanh nhất.
2.3.4.2. Tìm dao động thành phần (khi đã biết dao động tổng hợp và một
dao động thành phần - bài toán ngược).
Ví dụ 9: Một vật thực hiện 2 dao động điều hịa cùng phương, cùng tần số với
phương trình x1 = 4cos(ωt + ) cm; x2 = A2cos(ωt + ϕ2) cm. Biết rằng phương
trình tổng hợp của hai dao động là x = 4cos(ωt + ) cm. Phương trình dao động
thứ hai là
A. x2 = 5cos(ωt) (cm).
B. x2 = 4cos(ωt) (cm).
C. x2 = 4cos(ωt - ) (cm).
D. x2 = 4cos(ωt+ ) (cm).
Hướng dẫn: |Đáp án B|
Cách 1: Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen
Phương trình dao động tổng hợp x2 có dạng: x2 = A2cos(ωt + ϕ2)

A 2 = A 2 + A12 + 2AA1 cos( ϕ − ϕ1 )

Ta có:
tanφ2 =

A sin ϕ − A1 sin ϕ1
A cos ϕ − A1 cos ϕ1

= 4 cm.
= 0 ⇒ ϕ2 = 0
12


Vậy phương trình x2 = 4cos(ωt) (cm).
Cách 2: Dùng phương pháp biểu diễn số phức (MTCT)
Bài này, có thể dùng phương pháp biểu diễn số phức cần chú ý thay dấu cộng
bằng dấu trừ. Sau khi bấm máy tính, hiển thị kết quả là 4. Vậy phương trình
x2 = 4cos(ωt) (cm).
Ví dụ 10: Cho hai dao động điều hồ cùng phương x 1 = 5cos10πt (cm) và
x2= A2sin10πt (cm). Biết biên độ của dao động tổng hợp ℓà 10cm. Giá trị của A 2
là
A. 5cm
B. 4cm
C. 8cm
D. 6cm
Hướng dẫn: [Đáp án A]
Ta có: x1 = 5cos10πt (cm); x2 = A2 sin10πt (cm) = A2cos(10πt - )
Ta ℓại có: A2 = A12 + A22 + 2.A1A2.cos(ϕ2 - ϕ1)
⇒ 102 = 3.52 + A22 + 2.5.3.A2.0 ⇒ A2 = 5 cm.
Ví dụ 11: Khi tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số có biên

độ thành phần a và a được biên độ tổng hợp ℓà 2a. Hai dao động thành phần đó
A. vng pha với nhau.
B. cùng pha với nhau.
C. lệch pha.
D. lệch pha .
Hướng dẫn: [Đáp án A]
A 2 − A12 − A 22
2 A1A 2

Ta có: A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos∆ϕ ⇒ cos∆ϕ =
= =0
⇒ ∆ϕ = .
Ví dụ 12: Một chất điểm dao động điều hồ có phương trình dao động tổng hợp
2

x=5 cos(πt+5π/12)(cm) với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần
số là x1=A1 cos(πt + ϕ1) và x2=5cos(πt+π/6)(cm), Biên độ và pha ban đầu của
dao động 1 là:
A. 5cm; ϕ1 = 2π/3
B.10cm; ϕ1= π/2
C.5

2

(cm) ϕ1 = π/4

D. 5cm; ϕ1= π/3

Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
-Chọn đơn vị đo góc là rad (R): SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành

phần:
2

Nhập máy : 5  SHIFT(-) ∠ (5π/12) – 5 SHIFT(-) ∠ (π/6 = Hiển
thị: 5 ∠, chọn A
Ví dụ 13: Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có
3

phương trình dao động: x1 = 2 cos(2πt + π/3) (cm), x2 = 4cos(2πt +π/6) (cm)
và x2 = A3 cos(2πt + ϕ3) (cm). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x =
6cos(2πt - π/6) (cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành
phần thứ 3:
13


A. 8cm và - π/2 .
B. 6cm và π/3.
C. 8cm và π/6 .
D. 8cm và π/2.[2].
Chọn đáp án A
Giải: Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 . Tìm dao động thành phần thứ
3: x3 = x - x1 –x2
3

Nhập: 6 SHIFT(-) ∠ (-π/6) - 2  SHIFT(-) ∠ (π/3) - 4 SHIFT(-) ∠ (π/6 =
Hiển thị: 8 ∠-.
2.3.4.3. Một số bài toán tổng hợp và nâng cao.
Ví dụ 14: Hai dao động điều hịa cùng phương, cùng tần số, dao động 1 có
biên độ A1= 10 cm, pha ban đầu π/6 và dao động 2 có biên độ A2, pha ban đầu

-π/2. Biên độ A2 thay đổi được. Biên độ dao động tổng hợp A có giá trị nhỏ nhất
là bao nhiêu?
A. A = 2

3

C. A = 2,5

(cm)
3

B. A= 5

(cm)

D. A=

3

3

(cm)

(cm). [2].

Cách 1: Ta biểu diễn các dao động bằng giản đồ véc tơ quy như hình vẽ bên:
Ta vẽ giản đồ vecto dựa trên biểu thức:

với cùng hướng trực chuẩn.

Hình vẽ dễ dàng ta thấy:

/6

O

M

Amin khi Biên độ dao động tổng hợp A trùng với OM.
A= A1cos (π/6) =10

3

/2 = 5

3

(cm) .Chọn B

Và A2 = A1sin (π/6) =10.1/2 = 5 (cm)
Cách 2: Dùng đạo hàm
ta có : A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos( ϕ 2 - ϕ 1)
14


Ta xem A như hàm f(x) và A2 như x, ta sẽ có một tam thức bậc 2:
(A2)’ = 2A2 -10 = 0 => A2 = 5
=> A(min) =
Nhận xét: Cách một mới nhìn ta thấy có vẻ gọn, nhưng khơng dễ dàng áp dụng,
cách này địi hỏi học sinh có kiến thức tốn tốt. Cách 2 dùng cho bài này khá

nhanh, nếu học sinh tính tốn tốt thì nhẩm là ra đap án rồi.
Ví dụ 15: Hai dao động cùng phương có phương trình x 1 =
x2 =

π
6 cos(π t − )
2

x = A cos(π t + ϕ )

ϕ=−
A.
B.

ϕ=−
C.

(cm). Dao động tổng hợp của hai udao
ur động này có phương trình

A1

(cm). Thay đổi A1 cho đến khi biên độπ A đạt giá trị cực tiểu thì
O

ϕ

rad.

x

uur
A

rad.

π
3

ϕ =0

(cm) và

3

π
6

ϕ =π

π
A1 cos(π t + )
6

rad.

D.

Cách 1: Dùng giản đồ
Bài này không thể dùng phương pháp biểu diễn số phức hay phương pháp

lượng giác được, mà phải vẽ giản đồ vectơ.
Tiếp theo áp dụng định lí hàm số sin
A
A
= 2
π sin α
sin
3

A nhỏ nhất khi

ϕ =−
Suy ra

α

( là góc giữa
α

π
3

=

uu
r
A1

uur
A

và

)

π
2

rad.

Cách 2: Dùng đạo hàm
ta có : A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos( ϕ 2 - ϕ 1)
15


Ta xem A như hàm f(x) và A2 như x, ta sẽ có một tam thức bậc 2:
(A2)’ = 2A1 -6 = 0 => A1 = 3

ϕ =−

π
3

Có A1 thì ta bấm máy tính (phương pháp số phức): ta có
Ví dụ 16: Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao động điều hòa
cùng phương. Hai dao động này có phương trình là x 1 = A1cosωt và x2 =
A2cos(ωt +

π
2

). Gọi E là cơ năng của vật. Khối lượng của vật bằng

E

ω

A.
C.
Giải:

2

2E

ω

A +A
2
1

2
2

E
2
ω ( A12 + A22 )

.

2

B.

.

A12 + A22

2E
2
ω ( A12 + A22 )

D.

.
.[2].

= A12 + A22

Hai dao động này vuông pha nhau nên: A
Áp dụng cơng thức tính cơ năng, ta dễ dàng chọn đáp áp D.
2.3.5. Thực hiện kiểm tra khả năng vận dụng các phương pháp để tổng
hợp dao động điều hòa.
2.3.5.1. ĐỀ KIỂM TRA TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.[2].
(thời gian 10 phút)
∆ϕ

Câu 1. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số. Gọi
là độ
lệch pha của hai dao động thành phần. Dao động tổng hợp có biên độ cực tiểu:

∆ϕ
∆ϕ
π ∈
π ∈
A. = 2n ; n Z
B. = n ; n Z
C.

∆ϕ

Câu 2

π

= (2n+1) ; n Z

D.

∆ϕ

π

∈

= (2n+1) /2; n Z

. Hai dao động cơ điều hoà có cùng phương:

x2 = 5cos(2π t +

cm;

∈

π

x1 = 7 cos 2πt − 
4


cm

3π
)
4

cm. Tìm dao động tổng hợp x = x1 +x2 ?
π
x = 5 2 cos(2π t + )
x = 5 2 cos(2π t )
2
A.
cm
B.
cm
π

π
x1 = 2 cos 2πt − 
x = 5 2 cos(2π t + )

C.



4

cm

D.

4

cm
16


Câu 3. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng
tần số theo các phương trình. Vận tốc của vật có độ lớn cực đại là
A.
C.

10 2π (cm / s )

10 2(cm / s)

B.

10π (cm / s)

10(cm / s )

D.

Câu 4. Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là x 1=2Acos(10
π

π

π

π

π

π

t+ /6), x2=2Acos(10 t+5 /6) và x3=A(10 t- /2) (với x tính bằng m, t tính
bằng s). Phương trình tổng hợp của ba dao động trên là.
π

π

π

A. x=Acos(10 t+ /2) cm
C. x=Acos(10

π

π

B. x=Acos(10 t- /2) cm
π

π

t+5 /2) cm

π

D. x=Acos(10 t-5 /2) cm

Câu 5. Dao động của một chất điểm có khối lượng 100g là tổng hợp của hai
π

dao động điều hòa cùng phương có phương trình li độ lần lượt là x 1=5cos(10 t)
π

cm, x2=10cos(5 t) cm (t tính bằng s). Chọn mốc thế năng ở VTCB. Cơ năng
của chất điểm bằng
A. 220J

B. 0,1125J

C. 0,22J

D. 112,5J

Câu 6. Một vật đồng thời tham gia 2 dao động cùng phương, cùng tần số có
phương trình dao động: x1 = 8cos(2πt + π/2) (cm) và x2 = A2 cos(πt + ϕ 2) (cm).
2

Phương trình dao động tổng hợp có dạng x=8 cos(2πt + π/4) (cm). Tính biên
độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 2:
A. 8cm và 0 .

B. 6cm và π/3.

C. 8cm và π/6 .

D. 8cm và π/2.

Câu 7. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng
5π
x = 3cos(10π t − )(cm)
tần số. Biết phương trình của dao động tổng hợp là
phương trình của thành phần dao động thứ nhất là
Phương trình của thành phần dao động thứ hai là
x2 = 8cos(10π t +

A.

π
)(cm)
6

B.

6

π

x1 = 5cos(10π t + )(cm)
6

,
.

π
x2 = 2 cos(10π t + )(cm)
6
17


x2 = 8cos(10π t −
C.

5π
)(cm)
6

x2 = 2 cos(10π t −

D.

5π
)(cm)
6

Câu 8. Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x 1 = 3cos10t (cm) và x2 =
π

4sin(10t + )
2

(cm). Gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng

A. 7 m/s2.

B. 1 m/s2.

C. 0,7 m/s2.

D. 5 m/s2.

Câu 9. Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có
phương trình dao động: x1 = a.cos(2πt + π/2) , x2 = 2a.cos(2πt -π/2) và x3 = A3
2

cos(πt + ϕ 3). Phương trình dao động tổng hợp có dạng x = a cos(2πt - π/4)
(cm). Tính biên độ dao động và pha ban đầu của dao động thành phần thứ 3:
B. 2a và π/3.

A. a và 0 .
C. a

2

và π/6 .

D. 2a

2

và π/2.

Câu 10. Hai phương trình dao động điều hịa cùng phương cùng tần số có
ω

phương trình x1 = A1cos( t -

π

ω

/6) cm và x2 = A2cos( t ω

tổng hợp có phương trình x = 9cos( t thì A1 có giá trị là:
A. 15

3

cm

B. 9

3

cm

ϕ

π

) cm. Dao động

) cm. Để biên độ A2 có giá trị cực đại

C. 7 cm

D. 18

3

cm

2.3.5.2. Phiếu khảo sát sử dụng phương pháp tổng hợp dao động điều
hòa nhanh nhất trong bài kiểm tra
pp
Câu

Phương
pháp đại số

Phương
Phương
Phương pháp
pháp giản đố pháp
biểu khác
Fres-nen
diễn số phức

1
2
3
4
5
6
7
8
18


9
10
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này cho học sinh trong những năm
gần đây và thu được những kết quả khả quan.
Với học sinh
- Số lượng học sinh đăng kí thi khoa học tự nhiện và lựa chọn môn Vật lý xét
tuyển Đại học tăng hơn những năm trước.
- Năm học gần đây nhất là năm 2020-2021 tôi giảng dạy phương pháp này ở
lớp những học sinh có nguyện vọng thi khoa học tự nhiên thì kết quả 100%
các em đều hiểu và biết cách áp dụng giải nhanh các bài cơ bản. Kết quả cụ
thể khi tôi giao bài kiểm tra như sau:
Kết quả bài kiểm tra
Làm được
8  10 câu

Làm được
6  8 câu

Làm được
5 câu

Làm được
dưới 5 câu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

10

66,67
%

5

33,33
%

0

0

0

0

Thống kê phiếu khảo sát số học sinh sử dụng các phương pháp giải
pp

Phương
pháp đại số

Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

5

Phương
Phương
Phương pháp
pháp giản đố pháp
biểu khác Fres-nen
diễn số phức (kết hợp các
phương pháp)
15
5
10
3
7
10
5
10
5
2
13
15
11
4
9
6
8
7

Với bản thân tác giả
19

Cần nghiên cứu, học hỏi ở nhiều nguồn tài liệu để có được những phương
pháp, kiến thức bổ ích giúp học sinh mở rộng khả năng học tập và ứng dụng
nhanh nhất vào từng bài tập, tình huống cụ thể.
Khi giảng dạy phải lựa chọn kiến thức phù hợp đối tượng, phải có hệ thống
kiến thức tổng quát, và nắm vững những dạng câu hỏi, bài tập mà thực tế những
năm qua xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
Sau khi áp dụng thành công đề tài này, bản thân tôi đã thu được những kết
quả đáng kể và những kinh nghiêm quý báu cho bản thân như sau:
- Khi đưa ra các cơng thức, phương pháp tính cần dẫn dắt học sinh chứng
minh được nguồn gốc phương pháp giải hay công thức áp dụng. Từ đó giúp học
sinh hiểu bài đúng bản chất, nhớ lâu và có hứng thú học tập hơn.
- Mỗi phương pháp cũng áp dụng cho những đối tượng học sinh nhất định,
mỗi dạng bài tập dành cho các đối tượng học sinh nhất định. Cần lựa chọn
phương pháp và cấp độ bài tập phù hợp với đối tượng mình giảng dạy.
3.2. Kiến nghị
Xuất phát từ cơ sở lý luận, thực tiễn, mục đích dạy học cũng như những
thành công và hạn chế trong khi thực hiện đề tài, để góp phần vào việc giảng
dạy bộ mơn đạt kết quả tốt, tơi có những kiến nghị sau:
Đối với tổ chuyên môn, đưa các phương pháp này vào thảo luận trong họp tổ,
nếu thầy cô nào chưa áp dụng hoặc áp dụng hiệu quả chưa cao thì có thể sử dụng
để giảng dạy cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, tạo hứng thú cho
học sinh.
Trên đây là một số suy nghĩ, tìm tịi của tơi khi giảng dạy cho học sinh về
phần này và đã thu nhận được những kết quả khả quan, gây hứng thú cho học
sinh trong học tập và đã nhận được những phản ứng tích cực của học sinh. Tuy
nhiên do điều kiện về năng lực và thời gian nên vấn đề đưa ra sẽ có những chỗ
cịn hạn chế. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự góp ý của bạn bè, đồng nghiệp để

xây dựng các phương pháp dạy học bộ môn ngày càng hiệu quả hơn.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG

Thanh Hóa, ngày 06 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung của
người khác.
m
n
g
a
o
Bùi Thị Tính
20


21