Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
....

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN
VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Giảng viên hướng dẫn : Th.S Nguyễn Thị Hà Phương
Sinh viên thực hiện

: Lê Thị Diệp

Lớp

: 11CTUD1

Đà Nẵng, 05 năm 2015


Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cơ giáo trường ĐH Sư Phạm – Đà
Nẵng nói chung, các thầy cơ giáo trong khoa Tốn nói riêng đã tận tình giảng dạy tơi
trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn: Thạc sỹ Nguyễn Thị Hà Phương
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và chỉ bảo cho tôi trong suốt q trình hồn thành luận
văn này.

MỤC LỤC
Phần I: MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
I.

Lý do chọn đề tài .................................................................................................... 1

II. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................. 1
III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .............................................................................. 2
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................. 2
V. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 2
Phần II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI ....................................................................................... 3
Chương 1: NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN........................................................ 3
1.1. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ................................................................ 3
1.1.1. Tọa độ của một điểm, tọa độ của véctơ trong xOy .......................................... 3
1.1.2. Phương trình đường thẳng................................................................................ 5
1.1.3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng ............................................................... 6
1.1.4. Góc giữa hai đường thẳng ................................................................................ 7
1.1.5. Khoảng cách và phương trình đường phân giác .............................................. 7
1.1.6. Đường trịn ....................................................................................................... 8
1.1.7. Phương trình các đường Cơníc......................................................................... 8
1.2. Phương pháp tọa độ trong không gian ............................................................... 9
1.2.1. Khái niệm về hệ trục tọa độ trong không gian ................................................. 9
1.2.2. Tọa độ của một điểm và của véctơ trong không gian ...................................... 9
1.2.3. Tích vơ hướng và độ dài................................................................................. 10
1.2.4. Tích có hướng của hai véctơ .......................................................................... 10
1.2.5. Các cơng thức tính diện tích và thể tích ......................................................... 11
1.2.6. Phương trình mặt phẳng trong khơng gian..................................................... 11
1.2.7. Phương trình đường thẳng trong không gian ................................................. 12

1.2.8. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian ................ 13
1.2.9. Góc và khoảng cách ....................................................................................... 14
1.2.10. Mặt cầu ......................................................................................................... 15
Chương 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ............... 18
2.1. Miền trên mặt phẳng tọa độ xác định bởi bất phương trình và hệ bất
phương trình .............................................................................................................. 18
2.1.1. Đường trịn ..................................................................................................... 18
2.1.2. Đường thẳng ................................................................................................... 18
2.1.3. Đường cong y = f(x) bất kỳ ............................................................................ 20
2.2. Phương pháp tọa độ để khảo sát phương trình và bất phương trình ........... 21
2.2.1. Phương trình f(x) = g(x) ................................................................................. 21
2.2.2. Bất phương trình f(x) < g(x) .......................................................................... 21
2.2.3. Bất phương trình một ẩn số x với tham số m ................................................. 22
2.3. Phương pháp tọa độ với bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất ...................................................................................................................... 24
2.4. Phương pháp tọa độ đối với bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất nhỏ
nhất ............................................................................................................................. 26
2.4.1. Dạng 1 ............................................................................................................ 26
2.4.2. Dạng 2 ............................................................................................................ 27
2.4.3. Dạng 3 ............................................................................................................ 27
Chương 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG BÀI TỐN GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH ....................................................................................................... 30
3.1. Các bài toán định lượng ..................................................................................... 30
3.2. Các bài toán định tính ........................................................................................ 44
Chương 4: ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG BÀI TOÁN
VỀ BẤT ĐẲNG THỨC, VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT................... 54

4.1. Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tọa độ ................................... 54
4.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp tọa độ .......................... 62
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 70


1

Phần I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Bằng thực tiễn toán học, lý luận đã khẳng định những kiến thức về véctơ, tọa độ
của mơn hình học giải tích là cần thiết và có hiệu quả trong khi giải mơt số dạng bài
tốn sơ cấp. Chính vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là điều cần thiết.
Hình học giải tích được sáng lập ra do 2 nhà bác học người Pháp: Descartes

(1956  1650) và Fermar (1601 – 1655). Cốt lõi của phương pháp này là xác lập một
sự tương ứng giữa các cặp số thực có thứ tự với các véctơ, các điểm trong mặt phẳng
hay trong khơng gian; nhờ đó, chúng ta có thể sắp xếp một sự tương ứng giữa các dữ
kiện cố định của bài toán giúp cho việc giải một bài tốn hình học được chuyển sang
tính tốn một cách định lượng.
Nói đến phương pháp tọa độ, mọi người thường hay nghĩ đến các bài toán về
khảo sát hàm số, vẽ đồ thị cũng như các bài tốn của hình học giải tích. Suy nghĩ ấy là
hồn tồn tự nhiên và đúng đắn. Tuy nhiên sẽ khơng có nhiều người nghĩ rằng dùng
phương pháp tọa độ cịn có thể cho những lời giải hay đối với các bài tốn khác, thậm
chí đối với các bài toán số học, suy luận logic mà trong nó đã tiềm ẩn cái hồn hình học
mà thoạt nhiên ta chưa nhìn ra nó.
Gần đây trong nhiều kỳ thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp
chí tốn học có nhiều bài tốn khơng liên quan đến hình học nhưng được giải bằng
phương pháp tọa độ, đó là các bài tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương
trình, hay các bài tốn chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị.

Với các lí do đó tơi chọn đề tài “Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải một số
bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình,
bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất” làm luận văn tốt nghiệp của mình.
II. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống hóa một cách chi tiết các vấn đề lý thuyết về phương pháp tọa độ.
- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng để từ đó thấy được tầm quan trọng và
tính thiết thực của lý thuyết phương pháp tọa độ đối với các dạng bài toán.


2
III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương pháp tọa độ và một số bài tập sử
dụng phương pháp tọa độ để giải.
- Phạm vi nghiên cứu: các bài toán sơ cấp.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình, wed liên quan đến phương pháp tọa độ để
rút ra một số dạng toán và phương pháp giải các bài toán liên quan về ứng dụng của
phương pháp tọa độ.
V. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan đến ứng
dụng của phương pháp tọa độ để phân dạng và hệ thống hóa các bài toán.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân và các
bạn bè, anh chị để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đây
đủ và khoa học kết hợp với đưa vào các ví dụ minh họa chi tiết.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng
dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của
khóa luận.


3

Phần II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chương 1
NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1.1. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Hệ trục tọa độ Đề các vng góc trong mặt phẳng.
x’Ox ⊥ y’Oy.
Véctơ đơn vị e1  x’Ox.
Véctơ đơn vị e 2  y’Oy.
2

2

e1  e2  1 ; e1.e2  0 .
1.1.1. Tọa độ của một điểm, tọa độ của véctơ trong xOy
 Tọa độ của điểm
 Tọa độ của 1 điểm:

M  x, y   OM   x, y   OM  x.e1  y.e2 .
 Tọa độ của các điểm đặc biệt
Cho A  x1 , y1  ; B  x 2 , y2  , C  x 3 , y3 .
 x  x 2 y1  y 2 
 Trung điểm của AB có tọa độ là: I  1
,
.
2 
 2

Điểm J chia AB với tỉ số k là điểm thỏa mãn

JA
 k  tọa độ điểm J là:
JB

 x  kx 2 y1  ky 2 
J 1
,
.
1 k 
 1 k
 x  x 2  x 3 y1  y 2  y3 
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: G  1
,
.
3
3



 Tọa độ của một véctơ
Cho a   a1 ,a 2  , b   b1 , b2  .
Khi đó: a  a1.e1  a 2 .e2 , b  b1.e1  b2 .e2 .


4
Nếu A  x1 , y1  , B  x 2 , y2  thì AB   x 2  x1 , y2  y1  .
Phép toán: a  b   a1  b1 ,a 2  b2  ,
.a  .b   .a1  .b1, .a 2  .b2  .

 Các công thức trong mặt phẳng

 

 a.b  a . b .cos a, b .
 a.b  a1.b1  a 2 .b2 .
 a  a12  a 2 2 , b  b12  b2 2 .

 a1  b1    a 2  b2 

 ab 
 AB 

2

 x 2  x1    y2  y1 
2

2

2

.
.

 ab  a  b.
 ab  a  b .
 a.b  a . b .
Dấu bằng xảy ra khi a, b là hai véctơ cùng phương cùng chiều hoặc có một trong
hai véctơ là véctơ khơng.
 ab  a  b .

 ab  a  b .

 

 cos a, b 

 

 sin a, b 

a1b1  a 2b 2
a12  a 22 b12  b 22
a1b2  a 2 b1
a12  a 22 b12  b 22

 Sự thẳng hàng

 

det a, b 

a1 a 2
 a1b 2  a 2 b1.
b1 b 2

.

.

5

 

a / /b  det a, b  0 .





A, M, B thẳng hàng ⇔ det AB, AM  0 .
 Diện tích tam giác

A  x1 , y1  ;B  x 2 , y2  ;C  x 3 , y3  khi đó diện tích tam giác ABC là:
SABC 

1
1 x 2  x1
det AB, AC 
2
2 x 3  x1





y2  y1
.
y3  y1

1.1.2. Phương trình đường thẳng
 Phương trình tham số của đường thẳng (Δ) đi qua M  x 0 , y0  và có véctơ chỉ
phương u   a, b  có dạng:

 x  x 0  at
t 


 y  y0  bt

.

 Phương trình chính tắc của đường thẳng (Δ) đi qua M  x 0 , y0  và có véctơ chỉ
phương u   a, b  có dạng:
x  x 0 y  y0

,  a  0; b  0  .
a
b

 Phương trình hệ số góc của đường thẳng (Δ) có hệ số góc a là:
y = ax + b.
 Phương trình tổng quát đường thẳng (Δ)
Ax + By + C = 0 với A2 + B2 > 0.
Có véctơ pháp tuyến n   A,B và véctơ chỉ phương u   B,A  hoặc véctơ
chỉ phương u   B, A  .
 Phương trình đường thẳng (Δ) đi qua M  x 0 , y0  với hệ số góc k là:

y  k  x  x 0   y0 .
 Phương trình tổng quát của đường thẳng (Δ) đi qua M  x 0 , y0  và có véctơ

pháp tuyến n   a, b  có dạng:


6

a(x  x 0 )  b(y  y0 )  0.
 Phương trình đường thẳng (Δ) đi qua 2

điểm phân biệt M1  x1 , y1  và

M2  x 2 , y2  có dạng:
x  x1
y  y1

,  x 2  x1; y2  y1  .
x 2  x1 y2  y1

 Phương trình đoạn chắn đi qua A(a, 0) và B(0, b) là:
x y
  1.
a b

 Phương trình chùm đường thẳng
Cho 2 đường thẳng cắt nhau (1 ) : a1 x  b1y  c1  0;(2 ) : a 2 x  b2 y  c2  0 với

I  (1 )  ( 2 ) . Đường thẳng (∆) đi qua I là:

p  a1x  b1y  c1   q  a 2 x  b2 y  c2   0 với p2  q 2  0 .
1.1.3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
 Dạng tham số

 x  x1  a1t
(t  ) có véctơ chỉ phương v1  (a1 , b1 )
Cho hai đường thẳng (1 ) : 
 y  y1  b1t

 x  x 2  a 2 t
(t  ) có véctơ chỉ phương v2  (a 2 , b2 ) .
và đường thẳng ( 2 ) : 
 y  y 2  b 2 t
Lấy M1   1  , M2    2  khi đó:
 Nếu v1  (a1 ,b1 ) / / v2  (a 2 ,b2 )  a1b2  a 2b1  0 thì (1 )  ( 2 ) tại điểm I.

a1b 2  a 2 b1  0
 Nếu v1  (a1 , b1 ) / /v 2  (a 2 , b 2 ) / / M1M 2  
thì
a
(y

y
)

b
(x

x
)

0


1
1
2
1
 1 2

(1 ) / /(2 ).
 Nếu

(1 )  ( 2 ) .


a1b 2  a 2 b1  0
thì
v1  (a1 , b1 ) / /v 2  (a 2 , b 2 ) / /M1M 2  
a
(y

y
)

b
(x

x
)

0

1

1
2
1
 1 2


7
 Dạng tổng quát
Cho (1 ) : a1x  b1y  c1  0;(2 ) : a 2 x  b2 y  c2  0 .
D

a1
a2

b1
b
; Dx  1
b2
b2

c1
c
; Dy  1
c2
c2

a1
a2

 D Dy 

 Nếu D ≠ 0 ⇔ a1b2  a 2b1  0 thì (1 )  ( 2 ) tại điểm I có tọa độ: I  x ,
.
 D D
 Nếu D = 0 và D2x  D2y  0 
 Nếu D  Dx  D y  0 

a1 a 2 c1

 thì (1 ) / /(2 ) .
b1 b 2 c2

a1 a 2 c1
thì (1 )  ( 2 ) .


b1 b 2 c2

1.1.4. Góc giữa hai đường thẳng
 Dạng hệ số góc
Cho (1 ) : y  a1x  b1 và (2 ) : y  a 2 x  b2 ; đặt góc  1 ,  2     0;900  ta có

tan  

a1  a 2
.
1  a1a 2

 Dạng tổng quát
Cho 2 đường thẳng  1  : a1x  b1y  c1  0 có véctơ pháp tuyến n1   a1, b1  và

 2  : a 2x  b2 y  c2  0 có véctơ pháp tuyến

n 2   a 2 , b2  .

Góc  1,  2     0;900  :

cos  

a1a 2  b1b 2
a12  b12 a 22  b 22

.

1.1.5. Khoảng cách và phương trình đường phân giác
 Khoảng cách từ M0  x 0 , y0  đến (∆): ax + by + c = 0 là:

d  M,   

ax 0  by0  c
a b
2

2

.

 Cho (1 ) : a1x  b1y  c1  0;(2 ) : a 2 x  b2 y  c2  0 cắt nhau thì phương trình
hai đường phân giác là:

8

a1x  b1y  c1
a12

 b12



a 2 x  b2 y  c2
a 22

 b 22

.

1.1.6. Đường trịn
 Phương trình đường trịn
 Dạng chính tắc của đường trịn tâm I  a,b  bán kính R là:

(C) :  x  a    y  b   R 2 .
2

2

 Dạng khai triển của phương trình đường tròn

(C) : x 2  y2  2ax  2by  c  0.

 Tâm I  a,b  ; bán kính R  a 2  b2  c với a 2  b2  c  0 .

 Tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn
 (C) :  x  a    y  b   R 2  tiếp tuyến tại M0  x 0 , y0   (C) :
2

2

 x 0  a   x  a    y0  b   y  b   0 .
 (C) : x 2  y2  2ax  2by  c  0  tiếp tuyến tại M0  x 0 , y0   (C) :

x 0 x  y0 y  a  x  x 0   b  y  y0   c  0.
 Phương tích của một điểm so với đường tròn
Cho (C) : x 2  y2  2ax  2by  c  0 ; điểm M  m,n  .
Đặt P  M / (C)   m2  n 2  2am  2bn  c . Khi đó:
 Nếu P  M / (C)   0 thì M nằm ngồi đường tròn (C).
 Nếu P  M / (C)   0 thì M nằm trong đường trịn (C).
 Nếu P  M / (C)   0 thì M nằm trên đường trịn (C).
1.1.7. Phương trình các đường Cơníc
 Phương trình chính tắc của parabol

y2  2px, p  0 .
 Phương trình chính tắc của elip
x 2 y2

 1,a  b  0 .
a 2 b2


9
 Phương trình chính tắc của hypebol
x 2 y2


 1, a  0, b  0 .
a 2 b2

1.2. Phương pháp tọa độ trong không gian

z

1.2.1. Khái niệm về hệ trục tọa độ trong không gian

L

Hệ trục tọa độ Đề các vng góc trong khơng gian

M

 x 'Ox  y 'Oy  z 'Oz  x 'Ox


e1  x 'Ox;e 2  y 'Oy;e3  z 'Oz

e 2  e 2  e 3  1
2
3
 1

e1.e 2  e 2 .e3  e3.e1  0

e3
e2

e1 O
H

y

M’

x
1.2.2. Tọa độ của một điểm và của véctơ trong không gian
 Tọa độ của điểm
 Tọa độ của một điểm
Tọa độ của một điểm M  x, y  ⟺ OM  x, y, z   OM  xe1  ye2  ze3.
 Tọa độ các điểm đặc biệt
Cho A  x1 , y1 ,z1  , B  x 2 , y 2 ,z 2  , C  x 3 , y3 ,z3  .
Trung điểm của AB có tọa độ là:
 x  x 2 y1  y2 z1  z 2 
I 1
,
,
.
2
2 
 2

Điểm chia AB tỉ số k là điểm thỏa mãn

JA
 k  tọa độ điểm J là:
JB

 x  kx 2 y1  ky 2 z1  kz 2 
J 1
,
,
.
1 k
1 k 
 1 k


10
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC:
 x  x 2  x 3 y1  y2  y3 z1  z 2  z3 
G 1
,
,
.
3
3
3



 Tọa độ của véctơ
Cho a   a1, a 2 , a 3  , b   b1, b 2 , b3  khi đó:

a  a1e1  a 2 e2  a 3 e3 , b  b1e1  b2 e2  b3 e3 .
Nếu A  x1 , y1 , z1  , B  x 2 , y2 , z 2  thì AB  (x 2  x1 , y2  y1 ,z 2  z1 ) .
Phép toán: a  b   a1  b1,a 2  b2 ,a 3  b3  ;
a  b   a1  b1, a 2  b2 , a 3  b3  .

1.2.3. Tích vơ hướng và độ dài

 

 a.b  a . b .cos a, b .
 a.b  a1.b1  a 2 .b2  a 3.b3 .
 a  a12  a 22  a 32 , b  b12  b22  b32 .
 ab 

 a1  b1 2   a 2  b2 2   a 3  b3 

 AB 

 x 2  x1 2   y2  y1 2   z2  z1 2 .

 

 cos a, b 

 

 sin a, b 

a1b1  a 2b 2  a 3b3
a12

 a 22

 a 33

b12

 b22

 b32

2

.

.

 a1b2  a 2b1 2   a1b3  a 3b1 2   a 2b3  a 3b2 2
a12  a 22  a 32 b12  b 22  b32

1.2.4. Tích có hướng của hai véctơ
Cho a   a1 , a 2 , a 3  ; b   b1, b 2 , b3 .

a
Định nghĩa: a, b   p   2
 b2

a3 a3
,
b3 b3

a1 a1 a 2 
,
.

b1 b1 b 2 

.


11
Tính chất: a  p  b ; a cùng phương b  a, b   0 .

a, b  
 

a2

a3

b2

b3

2



a3

a1

b3

b1

2

2

 

a a2
 1
 a . b .sin a, b .
b1 b 2

1.2.5. Các cơng thức tính diện tích và thể tích

SABC 
VABCD 





2
1
1
2
2
 AB, AC  
AB
.AC


AB,
AC
.
 2
2

1
 AB, AC  .AD .

6

VABCDA 'B'C'D'   AB, AD  .AA ' .
1.2.6. Phương trình mặt phẳng trong khơng gian
 Phương trình tham số mặt phẳng (α) đi qua M(x 0 y0 ,z0 ) với cặp véctơ chỉ

 u   a1 , a 2 , a 3 

phương 
là:
 v   b1 , b 2 , b3 
 x  x 0  a1t1  a 2 t 2

 y  y0  a 2 t1  b 2 t 2  t1, t 2 

z  z 0  a 3t1  b3t 2
 Phương

trình

tổng

quát

mặt

phẳng

.

   : Ax  By  Cz  D  0

với

A2  B2  C2  0 .
 Nếu D = 0 thì Ax + By + Cz = 0 ⟺ (α) đi qua gốc tọa độ.
 Nếu A  0, B  0, C  0 thì () : By Cz D  0 sẽ song song hoặc chứa trục

x 'Ox .
 Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì (α): Ax + Cz + D = 0 sẽ song song hoặc chứa trục
y'Oy .

 Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì (α): Ax + By + D = 0 sẽ song song hoặc chứa
trục z'Oz .


12
 Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( ) đi qua M(x0, y0, z0) với cặp véctơ

 u   a1 , a 2 , a 3 


chỉ phương 
hay véctơ pháp tuyến n   u, v  là:
 v   b1 , b 2 , b3 
a2
b2

 Phương

a3
a
 x  x0   3
b3
b3

trình

tổng

quát

a1
a a
 y  y0   1 2  z  z 0   0 .
b1
b1 b2

của

mặt

phẳng

(α)

đi

qua

3

điểm

A  x1 , y1 ,z1  ; B  x 2 , y2 ,z 2  ; C  x 3 , y3 ,z3  khơng thẳng hàng có véctơ pháp tuyến
 y  y 2 z1  z 2 z 2  z1 x 2  x1 x 2  x1 y 2  y1 
n   AB, AC   1
,
,
   a, b, c  là:
 y3  y1 z3  z1 z3  z1 x 3  x1 x 3  x1 y3  y1 

a  x  x1   b  y  y1   c  z  z1   0.
 Phương trình chùm mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng (1 ) : a1x  b1y  c1z  d1  0;(2 ) : a 2 x  b2 y  c2z  d 2  0 với

()  (1 )  (2 ) . Mặt phẳng (α) chứa (∆) là:

p  a1x  b1y  c1z  d1   q  a 2 x  b2 y  c2z  d 2   0 với p2  q 2  0 .
 Phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua M(x 0 y0 ,z0 ) có véctơ pháp
tuyến n   a, b, c  có dạng:

a  x  x 0   b  y  y0   c  z  z 0   0 .
1.2.7. Phương trình đường thẳng trong khơng gian
 Phương trình tham số đường thẳng (∆) đi qua Mo (x 0 , y0 ,z0 ) và có véctơ chỉ
phương u   a, b, c  :

 x  x 0  at

 y  y0  bt (t  ).

z  z 0  ct
 Phương trình chính tắc đường thẳng (∆) đi qua Mo  x 0 , y0 , z0  và có véctơ chỉ
phương u   a, b, c  :


13
x  x 0 y  y0 z  z 0


.
a
b
c

 Phương trình đường thẳng (∆) tổng quát là giao tuyến của hai mặt phẳng:

A1x  B1y  C1z  D1  0
với A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 .

A
x


B
y

C
z

D

0

2
2
2
 2

 Phương trình đường thẳng (∆) đi qua 2 điểm M  x1, y1,z1 ; N x 2, y 2,z 2  :
x  x1
y  y1
z  z1
.


x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1

1.2.8. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian
 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Cho (1 ) đi qua M1  x1 , y1 ,z1  với véctơ chỉ phương u1   a1 , b1 ,c1  , ( 2 ) đi qua

M2  x 2 , y2 ,z 2  với véctơ chỉ phương u 2   a 2 , b2 ,c2  .

 Nếu  u1 , u 2  .MN  0 thì (1 ),( 2 ) chéo nhau.
 Nếu  u1 , u 2  .MN  0 và a1 : b1 : c1  a 2 : b2 : c2 thì (1 ),( 2 ) cắt nhau.
  u1 , u 2  .M1M 2  0
( 1 )


 Nếu 
và hệ phương trình của 
vơ nghiệm thì
a
:
a
:
a

b
:
b
:
b
(

)
 1 2 3
 2
1
2
3


(1 ),( 2 ) song song nhau.
  u1 , u 2  .M1M 2  0
( 1 )


 Nếu 
và hệ phương trình của 
có nghiệm thì
a
:
a
:
a

b
:
b
:
b
(

)
 1 2 3
1
2
3
 2


(1 ),( 2 ) trùng nhau.

 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho (∆) đi qua Mo (x 0 , y0 ,z0 ) với véctơ chỉ phương u   a, b, c  và mặt phẳng

() : Ax  By  Cz  D  0 với véctơ pháp tuyến n   A, B, C  .
 Nếu n.u  0  Aa + Bb +Cc  0 thì () cắt () .
 Nếu n / /u  a : b : c  A : B : C thì ()  () .


14
n.u  0


Aa  Bb  Cc  0
 Nếu 
thì () / /() .

Ax 0  By0  Cz o  D  0


 M 0  ( )
n.u  0


Aa  Bb  Cc  0
 Nếu 
thì ()  () .

M

(


)
Ax

By

Cz

D

0
 0

0
o

 0

 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho 2

(1 ) : a1x  b1y  c1z  d1  0

mặt phẳng

có

véctơ pháp

tuyến

n1   a1 , b1 ,c1  và (2 ) : a 2 x  b2 y  c2z  d 2  0 có véctơ pháp tuyến n 2   a 2 , b2 ,c2  .

 Nếu n1 , n 2 khơng cùng phương thì (1 ) cắt ( 2 ) .
 Nếu n1 , n 2 cùng phương và (1 ), (2 ) khơng có điểm chung thì (1 ) / /(2 ) .
 Nếu n1 , n 2 cùng phương và (1 ), (2 ) có điểm chung thì (1 )  (2 ) .
1.2.9. Góc và khoảng cách
 Góc giữa hai mặt phẳng
Cho 2

(1 ) : a1x  b1 y  c1z  d1  0 có véctơ pháp

mặt phẳng

tuyến

n1   a1 , b1 , c1  và (2 ) : a 2 x  b2 y  c2z  d 2  0 có véctơ pháp tuyến n 2   a 2 , b2 ,c2  .

Góc giữa 2 mặt phẳng (1 ) và ( 2 ) là  (0    900 ) thỏa mãn:
cos  

n1.n 2



n1 . n 2

a1a 2  b1b 2  c1c2
a12

 b12

 c12

a 22

 b 22

 c22

.

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho (∆) đi qua M0  x 0 , y0 , z0  với véctơ chỉ phương u   a, b, c  và mặt phẳng

() : Ax  By  Cz  D  0

với

véctơ

pháp

tuyến

n   A, B, C  . Góc

 (),()    0;900  xác định bởi:
sin  

u.v
u.v

 Góc giữa hai đường thẳng



aA  bB  cC
a b c
2

2

2

A B C
2

2

2

.

giữa


15
Cho (1 ) đi qua M1  x1 , y1 , z1  với véctơ chỉ phương u1   a1 , b1 ,c1  , ( 2 ) đi
qua

M2  x 2 , y2 ,z 2 

với

 (1 ),(2 )    0;900 

véctơ

chỉ

phương

u 2   a 2 , b2 ,c2  .

Góc

giữa

xác định bởi

cos  

n1.n 2



n1 . n 2

a1a 2  b1b 2  c1c2

a12  b12  c12 a 22  b 22  c22

.

 Khoảng cách từ M  x 0 , y0 , z0  đến mặt phẳng (α): Ax + By +Cz +D = 0 là:

d  M,   

Ax 0  By0  Cz 0  D
A 2  B2  C 2

.

 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

d  1 ,  2   d  M, 1  , M  (1 ).
d  1 ,  2   d  M,  2  , M  ( 2 ).
 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho (∆) đi qua M0  x 0 , y0 , z0  với véctơ chỉ phương u   a, b, c  . Khoảng cách
từ điểm A  x a , ya , za  đến đường thẳng () là:

 u, M 0 A 


d  A,   
.
u
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho (1 ) đi qua M1  x1 , y1 ,z1  với véctơ chỉ phương u1   a1 , b1 ,c1  , ( 2 ) đi qua

M2  x 2 , y2 ,z 2  với véctơ chỉ phương u 2   a 2 , b2 ,c2  . Giả sử (1 ),(2 ) chéo nhau khi
đó:
d  1 ,  2  

[u1 , u 2 ].M1M 2
[u1 , u 2 ]

1.2.10. Mặt cầu
 Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I  a,b,c  bán kính R:

.


16

 x  a  2   y  b 2   z  c 2  R 2 .
Dạng khai triển x 2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 với tâm I  a, b, c  và
R  a 2  b 2  c2  d .

 Phương tích của điểm đối với mặt cầu
Phương tích của điểm M  x1, y1, z1  đối với mặt cầu (S) có phương trình ở dạng
khai triển là:

P M/(S)  x1  y1  z1  2ax1  2by1  2cz1  d .
2

2

2

 Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có tâm I  a, b,c  , bán kính R:  x  a    y  b    z  c   R 2
2



2

2



và mặt phẳng (P) Ax  By  Cz  D  0 A2  B2  C2  0 .
Gọi H là hình chiếu của I lên (P).

IH  d  I,(P)  

Aa  Bb  Cc  D
A 2  B2  C2

khi đó:

 IH  R  (P) không cắt mặt cầu (S).
 IH  R  (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt
cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0  x 0 , y0 , z0   (S) là:

 x 0  a   x  a    y0  b   y  b    z 0  c   z  c   R 2 .
 IH  R  (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) tâm H bán
 x  a 2   y  b 2   z  c 2  R 2


kính r  R 2  IH2 có phương trình: 
.
Ax  By  Cz  D  0


 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

 x  x 0  a1t

Cho đường thẳng () :  y  y0  a 2 t

z  z 0  a 3t
và mặt cầu (S) :  x  a    y  b    z  c   R 2 ta xét phương trình:
2

2

2


17

 x0  a1t  a 2   y0  a 2t  b 2   z0  a 3t  c 2  R 2  At 2  Bt  C  0.

(1)

Số giao điểm của (∆) và (S) là số nghiệm của phương trình (1).
Trường hợp (∆) cắt (S) tại 2 điểm M, N thì độ dài đoạn MN là:
MN  2 R 2  IH2 với IH là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (∆).

 Vị trí tương đối của hai mặt cầu
Cho hai mặt cầu S  I, R  và S'  J, R ' . Ta có:
 IJ  R  R '  S , S' lồng nhau.
 IJ  R  R '  S , S' tiếp xúc trong.
 R  R '  IJ  R  R '  S , S' cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn.
 IJ  R  R '  S , S' tiếp xúc ngoài.
 IJ  R  R '  S , S' ở ngoài nhau.


18
Chương 2
MỘT SỐ DẠNG TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
2.1. Miền trên mặt phẳng tọa độ xác định bởi bất phương trình và hệ bất
phương trình
2.1.1. Đường trịn
Ta biết rằng (x – a)2 + (y – b)2 = R2 là phương trình đường trịn có tâm tại điểm
I(a, b) và có bán kính bằng R. Gọi 1 là tập hợp các điểm M(x, y) nằm bên trong hình
trịn thì 1 được xác định như sau: 1  (x, y) (x  a)2  (y  b)2  R 2 .
Tương tự: 2 

 x, y  x  a 

2



  y  b   R 2 biểu diễn các điểm M  x, y 
2

nằm ngồi hình trịn trên.
y

2

R
b

1

O

a

x

2.1.2. Đường thẳng
Ta biết rằng ax  by  c  0 chia mặt phẳng tọa độ thành hai phần:
1 

 x, y  ax + by + c < 0

2 

 x, y  ax + by + c > 0

Trong thực tế để xác định được ta chỉ cần xét một miền (thường chọn miền có
chứa gốc tọa độ, cịn khi c = 0 thì ta xét một miền bất kỳ). Dựa vào tính liên tục của
hàm số f(x, y) = ax + by +c khi xét dấu của một miền thì chỉ cần xét dấu của f(x, y) tại
một điểm (x, y) bất kỳ của miền ấy.

Ví dụ 1:
a) Xét đường thẳng x – 2y + 4 = 0. Xét miền nằm dưới đường thẳng (vì miền đó
chứa gốc O). Thay O  0,0  vào biểu thức x – 2y + 4 ta được giá trị 4 > 0 đó là miền

 2 . Do đó phần nằm trên đường thẳng là miền 1 .


19

y
x – 2y + 4 = 0
2

1

2

-4

x

b) Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ miền D được xác định như sau:


x  2y  8  0 


D   x, y  x  y  2  0 



2x  y  4  0 

Bằng cách dùng ở ví dụ 1.a, ta tìm được miền 2 
tạo thành bởi đường thẳng x – 2y + 8 = 0. Miền  '2 
thành bởi đường thẳng x + y + 2 = 0. Miền  "1 

 x, y  x  2y  8  0 được

 x, y  x  y  2  0 được tạo

 x, y  2x  y  4  0 được tạo bởi

đường thẳng 2x – y + 4 = 0.
Khi đó D  2   '2   "1 và nó được biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ
sau: Đó là tam giác ABC kể cả 3 cạnh với tọa độ các đỉnh A  0,4  ;B  2,0  ;C  4,2  .
y
A
C

 x  2y  8  0

4

2

2
O

B
-2

-8

 "1

 '2

 2x  y  4  0

x
xy20


20
2.1.3. Đường cong y = f(x) bất kỳ
Một cách tổng quát đường cong y = f(x) chia mặt phẳng tọa độ thành hai phần:
1 

 x, y  y  f (x)  0

2 

 x, y  y  f (x)  0

Do tính liên tục của f(x) nên khi xét một miền, ta chỉ cần xét một một điểm bất
kỳ  x 0 , y0  của miền ấy. Dấu của đại lượng  y0  f  x 0   chính là dấu của miền ấy.
Ví dụ 2:
Xét miền D trên mặt phẳng tọa độ xác định bởi:



x 2  2x  y  0 

D   x, y 

x 2  4x  6y  0 

Bài giải
Bằng cách vẽ parabol y  x 2  2x .
Ta tìm được miền 1 

 x, y  x

2



 2x  y  0 .

x 2  4x
.
Sau đó vẽ parabol y 
6
Ta sẽ tìm được miền  '1 

 x, y  x

2



 4x  6y  0 .

Miền D sẽ là giao của 1 và  '1 được biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ:
y

1 '

y
1
O
-1

1

2

4
x

3

2
y  x 2  2x

x 2  4x
6