Sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài tập về góc và khoảng cách trong không gian

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TOÁN

Đề tài:
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI CÁC
BÀI TÂP VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG
KHƠNG GIAN

Giáo viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Ngành đào tạo
Lớp

: ThS. Nguyễn Thị Sinh
: Đồn Thị Kim Can
: Sư phạm Tốn
: 11ST

Đà Nẵng, tháng 5/2015

SVTH : Đoàn Thị Kim Can

Trang 1


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN
MỞ ĐẦU ...……………………………………………………………………1
1. Lý do chọn đề tài……………………………………………………….....1
2. Mục đính – Yêu cầu……………………………………………………....2
3. Cấu trúc của luân văn…………………………………………………......2
CHƯƠNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA
ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN…………………………………………………..3
I. Hệ tọa độ đề các trong không gian………………………………………...3
1. Định nghĩa…………………………………………………………………3
2. Tọa độ của một vectơ đối với hệ tọa độ…………………………………...3
3. Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ………………………………………...4
4. Tích có hướng của hai vectơ và tính chất………………………………….5
II. Phương trình mặt phẳng………………………………………………......6
1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng…………………………………….........6
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng……………………………............6
III. Phương trình đường thẳng…………………………………………..........8
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng………………………………............8
2. Phương trình tham số của đường thẳng……………………………..........8
IV. Góc……………………………………………………………………….8
1. Góc giữa hai đường thẳng………………………………………………..8
2. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng………………………………….....9
3. Góc của hai mặt phẳng…………………………………..........................10
V. Khoảng cách……………………………………...……………………...10
1. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng……………………………...10
2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, giữa đường thẳng song song
với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song…………………………......11
3. Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. …………..........12
SVTH : Đoàn Thị Kim Can

Trang 2

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

VI. Dấu hiệu nhận biết và các bước giải hình học khơng gian bằng phương
pháp tọa độ…………………………………...……………………………12
1. Những bài tập hình học khơng gian ở phần giả thiết có những dạng sau thì

nên dùng phương pháp tọa độ…………...………………………………12
2. Các

bước giải hình học khơng gian bằng phương pháp tọa

độ………………………………………………………………………...13
VII. Một số cách đặt trục tọa độ với một số hình đặt biệt mà ta thường sử
dụng..............................................................................................................14
CHƯƠNGII. CÁC DẠNG TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH SỬ
DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.
I. Bài tốn về góc. ..........................................................................................21
1. Bài tốn góc giữa hai đường thẳng...........................................................21
2. Bài tốn góc giữa đường thẳng với mặt phẳng. ........................................29
3. Tính số đo góc của hai mặt phẳng. ..........................................................39
II. Bài toán về khoảng cách. .....................................................................48
1. Bài toán khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng. ...........................48
2. Bài toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, giữa đường thẳng song
song với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song. ...........................55
3. Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. ......................65

SVTH : Đoàn Thị Kim Can

Trang 3


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong tốn học nói chung và trong hình học nói riêng khơng có một
phương pháp nào chung để giải các bài tốn. Mỗi phương pháp đều có những
ưu, nhược điểm riêng. Với mỗi loại bài tốn ln địi hỏi một phương pháp cụ
thể để giải quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phương pháp toạ độ đã
góp phần đơn giản hoá được phần lớn các bài toán trong hình học khơng gian.
Thơng qua phương pháp toạ độ và phương pháp vectơ có thể xây dựng thêm
một cơng cụ giải tốn, cho phép đại số hố hình học, hình học hoá đại số.
Với học sinh lớp 12 hiện nay, thì việc giải các bài tốn hình học khơng
gian sơ cấp là một vấn đề cần thiết. Các bài toán hình học khơng gian tổng hợp
(cổ điển) mà ở đó lời giải đòi hỏi vận dụng khá phức tạp các kiến thức hình học
khơng gian như: chứng minh quan hệ song song, quan hệ vng góc, dựng hình
để tính góc và khoảng cách, tính thể tích khối đa diện…. thường xuất hiện trong
các đề thi Đại học, Cao đẳng. Vì việc tiếp cận các lời giải đó thực tế cho thấy
thật sự là một khó khăn cho học sinh, chẳng hạn như bài tốn tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau. Trong khi đó, nếu bỏ qua yêu cầu bắt buộc
phải dựng hình mà chỉ dừng ở mức độ tính tốn thì rõ ràng phương pháp tọa độ
tỏ ra hiệu quả hơn vì tất cả mọi tính tốn đều đã được cơng thức hóa.
Ở học kỳ II của lớp 12 các em đã được làm quen với phương pháp tọa độ
trong khơng gian, vì thế có thể sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để
giải quyết các bài tốn hình học khơng gian một cách thuận tiện.
Vì những lý do trên nên em đã chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tọa độ
để giải các bài tập về góc và khoảng cách trong khơng gian “ làm đề tài luận
văn của mình.

SVTH : Đồn Thị Kim Can

Trang 4


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài “ Sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài tập về góc và
khoảng cách trong khơng gian “ nghiên cứu và đưa ra phương pháp giải các bài
tốn hình học khơng gian trong chương trình tốn trung học phổ thông.
3. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm hai chương:
Chương I : “Một số kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong khơng
gian”, chương này hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ
trong khơng gian, đưa ra các bước giải bài tốn hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ và giới thiệu một số cách đặt trục tọa độ với một số dạng
hình đặc biệt.
Chương II : “Các dạng tốn về góc và khoảng cách sử dụng phương pháp
tọa độ trong không gian để giải”, chương này trình bày một số dạng tốn về góc
và khoảng cách và nêu lên cách giải các dạng tốn này bằng phương pháp tọa
độ.

SVTH : Đồn Thị Kim Can

Trang 5


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

CHƯƠNG I.
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
I. Hệ tọa độ đề các trong không gian
1. Định nghĩa

z

Trong không gian
xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz
có chung điểm góc O và đơi một
vng góc với nhau được gọi là
hệ trục tọa độ vng góc trong khơng gian.

y

O

Kí hiệu: Oxyz
Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz

x

⃗⃗ .
lần lượt là 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘
Điểm O là gốc tọa độ , Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao.
Các mặt phẳng đi qua hai trong ba trục tọa độ gọi là các mặt phẳng tọa độ
Kí hiệu: (Oxy), (Oxz), (Oyz).
2. Tọa độ của một vectơ đối với hệ tọa độ

*Tọa độ của một vectơ

z

m

Trong không gian tọa độ Oxyz
⃗⃗ cho vectơ 𝑚
với các vectơ đơn vị 𝑖⃗ , 𝑗⃗ , 𝑘
⃗⃗⃗

M

khi đó tồn tại duy nhất bộ số (x;y;z) sao
cho m  xi  y j  zk . Bộ ba số đó được gọi

O

y

là tọa độ của vectơ 𝑚
⃗⃗⃗
Kí hiệu : m  ( x, y, z )
SVTH : Đoàn Thị Kim Can

x

Trang 6

LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

m  ( x, y, z )  m  xi  y j  zk

*Tính chất
Cho các vectơ a  (a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) và số 𝑘 tùy ý.

a1  b1

a) a  b  a2  b2
a  b
 3 3
b) a  b  (a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 )
c) ka  k (a1 ; a2 ; a3 )  (ka1 , ka2 , ka3 ),(k ℝ )
d) a.b  a1b1  a2b2  a3b3 (biểu thức tọa độ tích vơ hướng của hai vectơ).




a  a12  a22  a32

⃗⃗ , 𝑏⃗⃗ ≠ 0
⃗⃗, gọi 𝜑 là góc hợp bởi 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗, ta có
e) Với 𝑎⃗ ≠ 0
cos 

ab
ab



a1b1  a2b2  a3b3
a12  a22  a32 . b12  b22  b32

 a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0

3. Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ
z

*Tọa độ của điểm
Trong khơng gian Oxyz, nếu gọi
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ thì ta
(x ; y ; z) là tọa độ của 𝑂𝑀
nói (x ; y ; z) là tọa độ của điểm M
Kí hiệu: M = (x ; y ; z) hoặc M(x ; y ; z)
SVTH : Đoàn Thị Kim Can



i





k

j

M

y
x
Trang 7


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

*Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ giữa hai điểm mút
Đối với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm 𝐴(𝑥𝐴 ; 𝑦𝐴 ; 𝑧𝐴 ) ; 𝐵(𝑥𝐵 ; 𝑦𝐵 ; 𝑧𝐵 ) thì
AB  ( x B  xA ; yB  y A ; zB  z A )

4. Tích có hướng của hai vectơ và tính chất
* Tích có hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ không cùng phương a  (a1 ; a2 ; a3 ) , b  (b1 ; b2 ; b3 ) . Khi đó tích
có hướng của hai vectơ a và b , kí hiêu a  b hoặc [a , b ]
a
a b  2
 b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1
;
b1 b1

a2 


b2 

Hay
[a, b ]  (a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 )

* Tính chất
a.Vectơ u, v  vng góc với cả hai vectơ 𝑢
⃗⃗ và 𝑣⃗, tức là:
u, v  .u  u, v  .v  0
 
 

 

b. u, v   u . v .sin u, v

c. u, v   0 khi và chỉ khi hai vectơ 𝑢
⃗⃗ và 𝑣⃗ cùng phương

SVTH : Đoàn Thị Kim Can

Trang 8


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

II. Phương trình mặt phẳng
1.Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
⃗⃗ được gọi là một vectơ pháp tuyến
a) Định nghĩa. Vectơ 𝑛⃗⃗ khác vectơ 0

của mặt phẳng (𝛼) nếu nó nằm trên đường thẳng vng góc với (𝛼).
Kí hiệu : 𝑛⃗⃗ ⊥ (𝛼)
Nhận xét : Một mặt phẳng có vơ số vectơ pháp tuyến, đó là các vectơ khác
vectơ ⃗0⃗ và vng góc với mặt phẳng ấy. Các vectơ này cùng phương với
nhau.
b) Chú ý.
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu a   a1 ; a2 ; a3  và

b   b1 ; b2 ; b3  là hai vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa
chúng song song (hoặc nằm trên) một mặt phẳng (𝛼) thì vectơ.
a
na b  2
 b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1
;
b1 b1

a2 

b2 

Là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (𝛼).
 Nếu M1 , M 2 , M 3 là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng
(𝛼) thì các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀1 𝑀2 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑀1 𝑀3 là một cặp vectơ chỉ phương của (𝛼) và
do đó vectơ n   M1M 2 , M1M 3  là một vectơ pháp tuyến của (𝛼).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a) Định nghĩa. Phương trình dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2  B2  C 2  0
SVTH : Đoàn Thị Kim Can

Trang 9


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

Được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng .
Từ định nghĩa của mặt phẳng ta có .
 Nếu mặt phẳng (𝛼) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một vectơ pháp
tuyến 𝑛⃗⃗ = ( A ; B ; C ) thì phương trình của (𝛼) là :
A x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0

 Nếu (𝛼) là mặt phẳng có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (1)
thì 𝑛⃗⃗ = ( A ; B ; C ) là một vectơ pháp tuyến của (𝛼).
b) Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát.
 Nếu D = 0, mặt phẳng Ax + By + Cz = 0 đi qua gốc tọa độ.
 Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, mặt phẳng By + Cz + D = 0 (không có
mặt x ) chứa hoặc song song với trục Ox.Tương tự cho trường hợp khơng
có mặt y hoặc z trong phương trình mặt phẳng.
 Nếu phương trình mặt phẳng có dạng Cz + D = 0 (khơng có mặt x,
y) thì mặt phẳng đó song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy. Tương tự
cho trường hợp khơng có mặt x , z hoặc y , z trong phương trình mặt
phẳng.

 Nếu A, B, C, D ≠ 0 thì đặt a =

D
D
D
, b =
, c =
ta đưa
A
B
C

phương trình (1) về dạng.
x y z
   1 (2)
a b c

Mặt phẳng đó cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm
(a ;0 ;0 ) , (0 ;b ;0 ) , (0 ;0 ;c ). Phương trình (2) được gọi là phương
trình mặt phẳng theo đoạn chắn.

SVTH : Đồn Thị Kim Can

Trang 10


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

III. Phương trình đường thẳng
1.Vectơ chỉ phương của đường thẳng.

⃗⃗ mà đường thẳng chứa vectơ 𝑢
a) Định nghĩa. Vectơ u   u1 ; u2 ; u3  ≠ 0
⃗⃗
song song hoặc trùng với ∆ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.
2. Phương trình tham số của đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có
vetơ chỉ phương u   u1 ; u2 ; u3  ≠ ⃗0⃗ là phương trình có dạng

 x  x0  tu1

 y  y0  tu2 (trong đó t là tham số).
 z  z  tu
0
3


IV. Góc
4. Góc giữa hai đường thẳng
𝜑

Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng:

𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗1
𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗2

Góc giữa hai đường thẳng ∆1 , ∆2 là góc giữa
hai đường thẳng ∆′1 , ∆′2 cùng đi qua một điểm và

∆1

𝜑

∆2

lần lượt song song với ∆1 , ∆2 . Kí hiệu: (∆1 , ∆2 )
Nhận xét: + Góc giữa hai đường thẳng khơng vượt quá 90𝑜 .
+ ( ∆1 , ∆2 ) = 0𝑜 thì ∆1 // ∆2 hoặc ∆1 ≡ ∆2 .
+ (∆1 , ∆2 ) = 90𝑜 thì đường thẳng ∆1 ⊥ ∆2 .
Gọi 𝜑 là góc giữa đường thẳng ∆1 , ∆2 có vectơ chỉ phương lần lượt là a và

b thì :
SVTH : Đồn Thị Kim Can

Trang 11


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

cos 

a.b
ab

+ ∆1 ⊥ ∆2 ⟺ cos  0 ⟺ a . b = 0
+ Gọi  là góc giữa đường thẳng 𝐴𝐵, 𝐶𝐷. Khi biết tọa độ 𝐴, 𝐵,

cos 

𝐶, 𝐷 thì :

AB.CD
AB CD

2. Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Định nghĩa: Nếu đường thẳng 𝑑 vng góc với mặt phẳng (𝛼) thì ta nói
góc giữa đường thẳng 𝑑 và mặt phẳng (𝛼) bằng 90𝑜 .

𝑑

Nếu đường thẳng 𝑑 khơng vng
góc với mặt phẳng (𝛼) thì góc giữa 𝑑 và hình

𝑑′

𝜑

O

𝛼

chiếu 𝑑′ của nó trên (𝛼) gọi là góc giữa đường thẳng 𝑑 và
mặt phẳng(𝛼).
Nhận xét: + Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng khơng vượt quá 90𝑜 .
+ (𝑑, (𝛼)) = 00 thì d // (𝛼) hoặc 𝑑 ⊂ (𝛼).
+ (𝑑, (𝛼)) = 900 thì d ⊥ (𝛼) .
Cho đường thẳng 𝑑 cắt mặt phẳng (𝛼), gọi  là góc giữa đường thẳng 𝑑 và
(𝛼), a là vectơ chỉ phương của 𝑑 và n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

sin   cos(a, n) 

(𝛼) thì

a.n
a n

+ 𝑑//(𝛼) hoặc 𝑑 ⊂ (𝛼) ⟺ sin   0 ⟺ a . n  0

SVTH : Đoàn Thị Kim Can

Trang 12


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

3. Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng (), () là góc giữa hai đường thẳng
lần lượt vng góc với (), ().

m

𝛼

Nhận xét:+ Góc giữa hai mặt phẳng khơng
vượt q 90𝑜 .

n

0

+((𝛼), (𝛽)) = 90 thì ( 𝛼) ⊥ (𝛽) .

𝛽

+((𝛼), (𝛽)) = 00 thì ( 𝛼) ≡ (𝛽) hoặc ( 𝛼)// (𝛽).
Mặt phẳng () có vetơ pháp tuyến n , () có veto pháp tuyến n , gọi  là
góc giữa hai mặt phẳng thì :

cos 

n .n
n n

+ ( 𝛼) ⊥ (𝛽) ⟺ cos  0 ⟺ n .n = 0

V. Khoảng cách
1. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng
Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm 𝑀 đến đường thẳng ∆ là khoảng cách
giữa hai điểm 𝑀 và 𝐻 trong đó 𝐻 là hình chiếu của điểm 𝑀 trên đường
thẳng ∆.
Kí hiệu: d ( M ; )
Khoảng cách từ điểm 𝑀 đến đường thẳng ∆ với ∆ đi qua điểm 𝑀𝑜 có
vectơ chỉ phương là 𝑢
⃗⃗
u, MM 0 


d ( M , ) 
u

SVTH : Đoàn Thị Kim Can

Trang 13


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

2. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, giữa đường thẳng song
song với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song
*Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
Định nghĩa: Cho điểm 𝑀 và mặt phẳng (), gọi 𝐻 là hình chiếu của 𝑀 lên
mặt () khi đó khoảng cách giữa 𝑀 và 𝐻 là khoảng cách từ 𝑀 đến ().
Kí hiệu: 𝑑(𝑀, ())
Khoảng cách từ điểm 𝑀(𝑥𝑜 ;𝑦𝑜 ;𝑧𝑜 ) đến mặt phẳng () có phương trình
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
d ( M ,( )) 

Axo  Byo  Czo  D
A2  B 2  C 2

*Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Định nghĩa: khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng () song song
với ∆ là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến ().
Kí hiệu: khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng () song song với
∆ là 𝑑(∆; ()).
𝑑(∆ ; ()) = 𝑑(𝐴 ; ()) với 𝐴 ∈ ∆
*Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Định nghĩa: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Kí hiệu: khoảng cách của hai mặt phẳng song song (), () là

d(() , ()).
𝑑((), ()) = 𝑑(𝐴, ( )) = 𝑑(𝐵, ()) trong đó 𝐴 là một điểm bất kì thuộc
() và 𝐵 là một điểm bất kì thuộc ().
SVTH : Đoàn Thị Kim Can

Trang 14


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

Nhận xét : Bài tốn tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song có thể quy về bài tốn
tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.
3. Bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆1 , ∆2 . Đường thẳng ∆ được gọi là đường
vng góc chung của hai đường thẳng ∆1 và ∆2 nếu đường thẳng ∆ cắt cả ∆1 và
∆2 đồng thời cùng vng góc với cả hai ∆1 , ∆2 . Đường vng góc chung cắt hai
đường thẳng chéo nhau tại 𝐼 và 𝐽 thì đoạn thẳng 𝐼𝐽 được gọi là đoạn vng góc
chung của hai đường thẳng đó.
Định nghĩa: khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vng góc chung của hai đường thẳng đó.
Kí hiệu: khoảng cách giữa đường thẳng ∆1 , ∆2 là 𝑑(∆1 , ∆2 ).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 , ∆2 biết ∆1 đi qua điểm
𝑀1 có vetơ chỉ phương ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑢1 ∆2 đi qua điểm 𝑀2 có vetơ chỉ phương ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢2
u1 , u2  .M 1 M 2


𝑑( ∆1 , ∆2 ) =

u1 , u2 



VI. Dấu hiệu nhận biết và các bước giải hình học khơng gian bằng
phương pháp tọa độ:
1. Những bài tập hình học khơng gian ở phần giả thiết có những dạng sau
thì nên dùng phương pháp tọa độ
- Hình tam diện vng .
- Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy, đáy có thể là tam giác vng,
tam giác đều, hình vng, hình chữ nhật, hình thoi....
-Hình lập phương hình hộp chữ nhật, hình chóp đều.
-Một vài hình chưa có sẵn tam diện vng nhưng có thể tạo được tam diện
vuông chẳng hạn hai đường thẳng chéo nhau mà vng góc, hoặc hai măt phẳng
SVTH : Đồn Thị Kim Can

Trang 15


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

vng góc.
Ngồi ra một số bài tốn mà giả thiết khơng cho những hình quen thuộc như
đã nêu trên thì ta có thể dựa vào giả thiết đã cho như tính chất song song, vng
góc, số đo góc để thiết lập trục tọa độ.
5. Các bước giải hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp
+ Vẽ hình theo u cầu bài tốn.
+ Tìm một quan hệ vng góc ở mặt đáy (tức là xác định hai đường thẳng cố
định ở mặt đáy vng góc với nhau) nơi giao nhau của hai đường thẳng vng

góc đó chính là nơi đặt góc tọa độ đồng thời hai đường thẳng đó chứa trục tung
và trục hồnh. Từ góc tọa độ dựng đường thẳng vng góc với đáy ta được trục
cao nằm trên đường thẳng vng góc đó. Ta đã thiết lập được hệ trục tọa độ.
Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến u cầu bài tốn
+Nếu điểm đó thuộc trục tọa độ phải tính được độ dài cạnh (khoảng cách từ
điểm đó đến gốc tọa độ).
+Nếu điểm khơng thuộc trục tọa độ thì xét xem điểm đó thuộc mặt phẳng tọa
độ nào, tìm hình chiếu của điểm xuống hai trục tọa độ, rồi tính rồi tính khoảng
cách từ hình chiếu đến góc tọa độ.
+Nếu điểm khơng thuộc trục tọa độ cũng không thuộc mặt phẳng tọa độ thì
tìm hình chiếu của điểm lên ba trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧. Rồi tính khoảng cách từ hình
chiếu đến góc tọa độ.
+ Chú ý vào chiều âm, dương của các trục tọa độ để kết luận tọa độ điểm.
Bước 3: Giải bài tập bằng kiến thức tọa độ.
Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học.
SVTH : Đồn Thị Kim Can

Trang 16


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

VII. Một số cách đặt trục tọa độ với một số hình đặt biệt mà ta thường sử
dụng.
Với hình lập phương.
ABCD.A' B'C' D' có AB = a.
Chọn hệ trục tọa độ như hình sẽ sao cho :
A(0; 0; 0) , B(a; 0; 0) , C(a; a; 0) , D(0; a ;0)
A'

z

D'

A'(0; 0; a) , B '(a; 0; a) , C '(a; a; a) , D'(0;a; a)
B'

C'

Với hình hộp chữ nhật.
ABCD.A' B'C' D' có AB = a, AD = b, AA’ = c

y

A
D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho :
B
C

A(0; 0; 0) , B(a; 0; 0) , C(a; b; 0) , D(0;b;0)

x

A'(0; 0; c) , B '(a; 0; c) , C '(a; b; c) , D'(0;b;c)
Với hì nh lăng trụ đứng ABCD.A' B'C' D' có đáy ABCD là hình thoi.
̂ = 𝛼.
ABCD.A' B'C' D' có chiều cao h, đáy ABCD có cạnh bằng a, 𝐵𝐴𝐷
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm 𝑂 (0; 0; 0) của hai đường chéo của hình
thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷
A'

z

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy.

D'

O'
B'

C'


 



A  a cos ;0;0  , D '  0; a sin ; h 
2
2 



A








C  a cos ;0;0  , A '  a cos ;0; h  ;
2
2





SVTH : Đoàn Thị Kim Can

D
B

y

O
C

x

Trang 17


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC



 



C '  a cos ;0; h  , B  0; a sin ;0  ,
2
2 




 
 


D  0; a sin ;0  , B '  0; a sin ; h 
2 
2 


Với hì nh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là ∆ ABC vuông tại A
z

Tam giác ABC vuông tại A có

B'

A'

AB = a , CA = b , AA’ = h

C'

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
x

A(0 ; 0 ; 0) , B(a ; 0 ; 0) , C(0 ; b ; 0)

A

A’(0 ; 0 ; h) , B’(a ; 0 ; h) , C’(0 ; b ; h).

B

C
y

Với hì nh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ∆ ABC là tam giác đều
Tam giác ABC là tam giác đều có
AB = a , AA’ = h

z
A'

C'

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
B'

a
3a

O(0 ; 0 ; 0) , A(0;
;0) , B(
; 0 ; 0)
2
2

y
A

O

a
a
C(0 ; ; 0) , A’(0 ;
; h) ,
2
2
B’(

a
3a
; 0; h) , C’(0 ; ; h).
2
2

C

B
x

Với hì nh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy
∆ ABC là tam giác cân tại A
Tam giác ABC là tam giác cân có
SVTH : Đồn Thị Kim Can

Trang 18


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

̂=𝛼
AB = AC = a, 𝐵𝐴𝐶

và A A’ = h

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0 ; 0 ; 0) , B( a.sin

C(- a.sin


2

; a cos


2



C’(- a.sin

2

; a cos

; a cos

2

z

; 0) ;

A'

B'

; 0) ;
C

A’(0 ; 0 ; h) , B’( a.sin



2



C'


2


2

; a cos


2

A

; h);

H

y

B
x

; h)

Với hì nh lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy
ABCD là hình thang cân
̂ = 𝛼,
ABCD là hình thang cân có AB = a, AD = b , 𝐵𝐴𝐷
và A A’ = h

z

D'

A'

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
A(0 ; 0 ; 0) , B( a.sin  ; a cos ; 0) ;

B'

C( a.sin  ; b  a cos ;0) ; D(0;b;0)

C'

A

y
D

A’(0 ; 0 ; h) , B’ ( a.sin  ; a cos ; h)
x

C’( a.sin  ; b  a cos ; h) , D’(0 ; b ; h).

B

C

Với hì nh chóp tứ gi ác đều S.ABCD.
S.ABCD có AB = a, SO = h.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc 𝑂 (0; 0; 0) là tâm của hình vng.

SVTH : Đồn Thị Kim Can

Trang 19


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC
Sz

 a 2

Khi đó: A  
;0;0  ,
2


A

y


a 2 
B  0; 
;0  ,
2



D
O
B

C

a 2
  a 2 
C
;0;0  D  0;
;0  , S  0;0; h 
2
2

 


x

Với hì nh chóp tam gi ác đều S.ABC.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ tam giác đều có cạnh bằng a và đường cao
bằng h . Gọi 𝐼 là trung điểm của 𝐵𝐶.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

z S

sao cho 𝐼(0;0;0)

 a

 2




a
2




Khi đó: A   ;0;0  , B  ;0;0 

y
A

C

 a 3 
 a 3 
C  0;
;0  , S  0;
;h
2
6





H
I
x

B

Với hì nh chóp S.ABCD có ABCD l à hì nh chữ nhật và
SA ⊥ (ABCD).

z
S

ABCD là hình chữ nhật AB = a;
AD = b , chiều cao bằng h.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A (0 ; 0 ; 0)

y
O

B
x

SVTH : Đoàn Thị Kim Can

D

A

C

Trang 20


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

Khi đó : B ( a ; 0 ; 0 ) , C ( a ; b ; 0 )
D(0 ; b ; 0) , S (0 ; 0 ; h)
Với hì nh chóp S.ABCD có ABCD l à hì nh thoi và SA ⊥ (ABCD).
ABCD là hình thoi cạnh a,

S

̂ = 𝛼, chiều cao bằng h.
𝐵𝐴𝐷

z

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho :
A

Gốc tọa độ trùng với giao điểm

y
D

O

𝑂 (0; 0; 0) hai đường chéo
B

x

C

của hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Khi đó:







A  acos ;0;0  , C  acos ;0;0 
2
2














B  a sin ;0;0  , D  a sin ;0;0  , S  acos ;0; h 
2
2
2






Với hì nh chóp S.ABC có 𝑺𝑨 ⊥ (𝑨𝑩𝑪) và ∆ ABC vuông tại A.
Tam giác ABC vng tại A có
z

AB = a; AC = b, đường cao bằng h .

S

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
C

sao cho A(0 ; 0 ; 0)

y

A

Khi đó : B ( a ; 0 ; 0 )
B

C(0;b;0),

SVTH : Đoàn Thị Kim Can

x

S (0 ; 0 ; h)

Trang 21


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

Với hì nh chóp S.ABC có 𝑺𝑨 ⊥ (𝑨𝑩𝑪) và ∆ ABC vuông tại B
S

Tam giác ABC vng tại B có BA = a;

z

BC = b, đường cao bằng h .
y

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho

x
C

A

B(0 ; 0 ; 0)

Khi đó : A ( a ; 0 ; 0 ) , C ( 0 ; b ; 0 ) , S (a ; 0 ; h)

B

Với hì nh chóp S.ABC có (𝑺𝑨𝑩) ⊥ (𝑨𝑩𝑪) ∆ ABS cân tại S và ∆ ABC
z

S

vuông tại C
∆ABC vuông tại C, CA = a;
BC = b, chiều cao bằng h .
H là trung điểm của AB.

x
A

y
B

H

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0 ; 0 ; 0)
C

Khi đó: A ( a ; 0 ; 0 ) ,

a b 

B ( 0 ; b ; 0 ) , S  ; ;h  .
2 2 

Với hì nh chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ ABS cân tại S và
∆ ABC vuông cân tại C

z
S

Tam giác ABC vng cân tại C có
CA = CB = a, c h i ề u cao bằng h .
H là trung điểm của AB

y

B
A

H

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
C

cho H(0;0;0). Khi đó:

x

a 
 a


 a 

C
;0;0  , A  0;
;0  , B  0; 
;0  , S  0;0; h  .
2 
2 
 2



SVTH : Đoàn Thị Kim Can

Trang 22


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

CHƯƠNG II.
CÁC DẠNG TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH SỬ DỤNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

I. Bài tốn về góc.
1. Bài tốn góc giữa hai đường thẳng
Bài toán 1 : (ĐH – A 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên
bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 𝑎√3 và hình chiếu
vng góc của đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC.
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
Giải:

M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường thẳng song
song với AB cắt AC tại N
⟹ N là trung điểm của AC ⟹ MN 

AB a

2
2
z

Từ M kẻ đường thẳng song song

A'

C'

B'

AC a 3

với AC cắt AB tại P ⟹ MP 
2
2
Vì AB ⊥ AC nên khi ta dựng trục Az

y
A

Với Az // A’M

C
M
B

Ta sẽ chọn trục tọa độ Oxyz sao cho:

x

A ≡ O(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0) ∈ 𝑂𝑥, C(0; a 3 ;0) ∈ 𝑂𝑦
SVTH : Đoàn Thị Kim Can

Trang 23


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

a a 3
a a 3
;0) ∈ 𝑂𝑥𝑦, A’ ( ;
; a 3)
Ta có : M ( ;
2 2
2 2
Đường thẳng AA’ có vtcp

𝑎⃗ = (1; √3; 2√3)

Đường thẳng B’C’ có vtcp

𝑏⃗⃗ = (−1; √3; 0)

Gọi 𝜑 là góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ ⟹ cos(a, b) 

a.b

1
 .
a.b 4

Bài tốn 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều cạch a
(a > 0 ) cạch SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = a√3 . M là một
điểm khác B trên SB sao cho AM ⊥ MD tính cos(AM,SD) .
Giải:
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AD. Trong mp(ABCD) ta dựng trục Ay với
Ay ⊥ AD,sẽ chọn trục tọa độ Oxyz sao cho
A≡ O(0 ; 0 ; 0), D(2a ; 0 ; 0) ∈ 𝑂𝑥,

z
S

S(0 ; 0 ; a√3) ∈ 𝑂𝑧,
M

a a 3
;0 )
Ta có : B( ;
2 2

D

A

x

⃗⃗⃗⃗⃗ = ( a ; a 3 ; a 3)
SB
2 2

B
C
y

x=
Phương trình đường thẳng SB qua S có vtcp ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝐵 :

y=

{z =
SVTH : Đoàn Thị Kim Can

a
t
2

a 3
t
2

3a - 3a t

Trang 24


LUẬN VĂN ĐẠI HỌC

a a 3
t; 3a  3at )
M ∈ 𝑆𝐵 ⟹ M( t;
2
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( a t; a 3 t; 3a  3at ),
𝐴𝑀
2
2

a
a 3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
t ; 3a  3at )
𝐷𝑀 = ( t  2a;
2
2
Vì AM ⊥ MD ⟹ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝑀 = 0
2

a a
 a 3 
t 

⟹ t .  t  2a   
2 2
  2 



3a  3at



2

0

𝑡=1

⟺ 4a t  7a t  3a  0 ⟺ [𝑡 = 3
2 2

2

2

4

a a 3
Với t = 1 thì M( ;
; 0)
2 2
Với t =

(loại vì M ≡ B)

3
3a 3a 3 a 3
thì M( ;
;
)
4
4
8
8





⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 3a ; 3a 3 ; a 3 ) = 3a 1; 3;2 3  3a .a ,
𝐴𝑀
4
8
8
8
8





⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆𝐷 = (2a;0; a 3) = a 2;0;  3  a.b

a.b
cos(AM,SD) =

a.b

SVTH : Đoàn Thị Kim Can



2.1  6
1  3  12. 4  3



4
4 7



1
7

Trang 25