SKKN ung dung cua BDT

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b> céng hoµ x· héi chđ nghÜa ViƯt nam</b>
<i> §éc lËp </i>–<i> Tù do </i>–<i>H¹nh phóc</i>
==================

<b> </b>

<b>s¸ng kiÕn</b>

dạy học bộ môn toán học

<i><b> </b></i>

<i><b> H</b></i><b>_{ọ và tên}</b><i> : Nguyễn duy niệm</i>

<b> Phã HiÖu trëng</b>

<b> Trêng</b><i> : thcs hång lý</i>
<i> <b>_{Năm học 2006-2007}</b></i>

<b> Tên ti:</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Phòng giáo dục hng hà Céng hoµ x· héi chđ nghÜa viƯt nam </b>
<b> Trêng thcs t©n lƠ </b><i><b>Độc lập - Tự do- Hạnh phúc </b></i>

<i><b> --- *****************</b></i>

<i><b> </b></i>

<b>Bản thành tích cá nhân</b>

<b>Năm học 2006-2007</b>

<b> </b>

<b>---Họ và tên : Vũ träng qun.</b>

<b>Sinh ngµy : 18 /3 /1981</b>

<b>Q qn : Minh Quang - Vũ Th - Thái Bình.</b>
<b>Trình độ chun mơn : Cao đẳng s phm Toỏn - Lớ.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Năm vào ngành : 2003.</b>

<b>I. Nhiệm vụ c giao</b>

<b> </b> <i><b>1/ Chuyên môn</b></i>

- Dạy toán lớp 6B; 9A.
- Bồi giỏi môn toán lớp 6.
<b> </b> <i><b>2/ Công tác chủ nhiệm </b></i>

Chđ nhiƯm líp 6B.

<b>II. Danh hiu t c</b>

<i><b>1/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2003 - 2004</b></i>
<i><b> 2/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2004 - 2005</b></i>
<i><b>3/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm häc 2005 </b></i>–<i><b> 2006</b></i>

<i><b> 4/ Giáo viên giỏi cấp huyện năm học 2006 </b></i><i><b> 2007</b></i>

<b>III. Thành tích năm học 2007 - 2008</b>

<i><b> 1/ T tng đaọ đức chính trị </b></i>

- Lập trờng t tởng, chính trị vững vàng, nghiêm túc thực hiện các chủ trơng
chính sách của Đảng, pháp luật của Nhà nớc, quy chế của ngành đề ra.

- Có ý thức tham gia đầy đủ vào các hoạt động chính trị, xã hội của đất nớc
và địa phơng, hon thnh cỏc nhim v c giao.

- Giữ gìn lối sống trong sáng lành mạnh, gây dựng mối đoàn kết nhất trí trong chi
bộ, trong cơ quan.

<i><b> 2/ Công tác chuyên môn </b></i>

- Thc hin y quy ch chuyên môn của ngành cũng nh của nhà trờng đề
- Tìm tịi, học hỏi áp dụng phơng pháp dạy học bằng phơng tiện hiện đại vào
trong giờ học. Thực hiện đầy đủ có hiệu quả các chuyên đề giáo án điện tử của Phòng
cũng nh của trng ra.

- Làm tốt công tác bồi giỏi, phụ kém, chất lợng học tập tăng.

- Chỳ ý rốn luyn ý thức đạo đức kỷ luật ý thức tự quản tự phấn đấu vơn lên trong
học tập, rèn luyện của học sinh.

- Chất lợng các công việc đợc giao t hiu qu.

<i><b> 3/ Các công tác kh¸c </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

- Chất lợng bộ mơn phụ trách đạt kết quả cao.

- Kết quả bồi giỏi toán 6: Đạt 7 HSG cấp huyện trên tổng số 7 học sinh dự thi
trong đó:

+ 01 em đạt giải nhất.
+ 01 em đạt giải nhì.
+ 05 em đạt giải ba.

- Thi giáo viên dạy giỏi mơn tốn 9 (giáo án điện tử ) đạt:
Loại Giỏi: 18,5điểm.

<i><b> </b></i>

<i> T©n LƠ, ngày 20 tháng 05 năm 2008</i>

<b> Xác nhận và đề nghị của nhà trờng</b>

<b>Ngời viết</b>

ứng dụng của bất đẳng thc

trong giảI phơng trình

<b>A. t vn </b>
1. Giới thiệu

Từ yêu cầu đổi mới phơng pháp dạy học mơn Tốn hiện nay là tích cực
hố hoạt động học tập của học sinh , khơi dậy và phát triển khả năng tự học

nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng
lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học
sinh .

Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán học. Học sinh - chủ thể của
hoạt động dạy học - cần phải đợc cuốn hút vào những hoạt động học tập do
giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thơng qua đó học sinh tự lực khám phá những
điều mình cha biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sp t
sn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

vừa giảng vừa luyện kết hợp với ôn tập hệ thống hoá từng bớc kiến thức, chú ý
rèn luyện các kĩ năng cơ bản

Qua vic ging dạy chơng trình Đại số lớp 9, tơi thấy phần "Bất đẳng thức"
là một phần kiến thức rất quan trọng và có nhiều ứng dụng, rất cần sự khai
thác và phát triển cho học sinh nhiều hơn, tạo cho học sinh khả năng nâng cao
ứng dụng vào giải toán nh giải phơng trình, hệ phơng trình, tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất<b>…</b>

Qua thực tế giảng dạy và kinh nghiệm của bản thân , tơi xin trình bày kinh
nghiệm : “<i><b>ứ</b><b>ng dụng của bất đẳng thức trong giải phơng trình” trong giảng</b></i>
dạy, luyện tập , ơn tập học sinh lớp 9.

2. Thùc tÕ
+ Víi häc sinh

Để giải tốn nói chung, đơng nhiên các em cần phải biết vận dụng linh
hoạt, tổng hợp các kiến thức của mình, trong đó các kiến thức phức tạp đợc
hình thành từ chính các kiến thức đơn giản nhất, các kiến thức cơ bản, để giải

một bài tốn khó đơi khi chỉ cần hoặc cần phải sử dụng đến những kiến thức cơ
bản. Tuy nhiên trong q trình học, các em có thể gặp đây đó những bài tốn
có vẻ lạ , khơng bình th<b>“ ” “</b> ờng , những bài tốn khơng thể giải bằng cách áp<b>”</b>
dụng trực tiếp các quy tắc, các phơng pháp quen thuộc ( hay cịn đợc gọi là
khơng mẫu mực). Những bài tốn này có tác dụng khơng nhỏ trong việc rèn
luyện t duy toán học và thờng là sự thử thách đối với học sinh trong các kì thi
học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT,<b>…</b>Khi gặp những bài toán này , các em th
-ờng lúng túng, mất phơng hớng trong việc tìm lời giải

Qua điều tra 40 học sinh lớp 9A Trờng THCS Tân Lễ, tôi thấy rằng: 38/40
học sinh (=95%) nắm đợc nội dung, cách chứng minh hai bất đẳng thức: x2 ≥ 0
và x + y ≥ x + y . Nhng sau đó giáo viên cho học sinh giải những phơng
trình có sử dụng các bất đẳng thức trên để giải thì chỉ có một số em giải đợc
những phơng trình dạng đơn giản, nếu cho những phơng trình dạng tổng quát
hơn, hoặc khác dạng (song vẫn cùng phơng pháp làm) thỡ cỏc em khụng bit
cỏch gii.

+ Với giáo viên

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

rõ hơn về BĐT, khắc phục sự bi quan, t tởng chán nản khi gặp loại tốn có vận
dụng bất đẳng thức, từ đó rèn luyện và nâng cao khả năng t duy sáng tạo của
học sinh, kỹ năng giải bài tập của học sinh đặc biệt trong các dạng tốn giải
phơng trình khơng mẫu mực.

3. Phạm vi đề tài

Trong phạm vi bài viết này, tôi muốn hớng dẫn các em học sinh lớp 9 biết
cách giải một số phơng trình nhờ ứng dụng của bất đẳng thức.

<b>B. Néi dung </b>

I. Chuẩn bị

Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn bám sát kiến thức cơ bản , trọng tâm và
lu ý học sinh:

- Nm vững định nghĩa bất đẳng thức.

- Nắm vững các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.

- Có kĩ năng vận dụng các bất đẳng thức quen thuộc vào giải phơng trình
- Biết trình bày bài tốn giải phơng trình.

II. Híng thùc hiƯn
Ph ơng pháp chung:

- Đối với phơng trình mét Èn:

+) Biến đổi phơng trình về dạng h(x) = a ( với a là hằng số) mà ta ln có
h(x) ≥ a hoặc h(x) ≤ a thì nghiệm của phơng trình là các giá trị của x làm cho
dấu đẳng thức xảy ra.

+) Biến đổi phơng trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) ≥ m và g(x) ≤ m ( với
m là hằng số)

Nghiệm của phơng trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) = m và
g(x) = m.

+) á_{p dụng các bất đẳng thức quen thuộc:}

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

a + b ³a+b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0
Bất đẳng thức Cơsi:

Víi a1, a2, ...., an không âm ta có:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Du = xảy ra khi và chỉ khi a<b>“ ”</b> 1 = a2 = .... = an
Bất đẳng thức Bunhiacơpxki.

Víi: a1, a2, ..., an vµ b1, b2, ..., bn ta cã:

(a1b1 + a2b2 + ... + aabn)2



 



2 2 2 2 2 2

a + a + ... + a_n b + b + ... + b_n

1 2 1 2



DÊu = xảy ra khi và chỉ khi<b> </b> bn

n
a
...
2
b
2

a
1
b
1
a



.

-Đối với phơng trình nhiều ẩn: về phơng pháp tơng tự nh phơng trình một
ẩn.

ø _{ng dơng cơ thĨ}_:

1. ứ_{ng dụng bất đẳng thức A}2 ≥ 0 ()

Đây là một bất đẳng thức cơ bản, nhng nó lại là cơng cụ rất quan trọng để
giải toán. các bài toán sau sẽ cho ta thấy tầm quan trọng của bất đẳng thức
A2≥ 0 với mi A.

Bài toán 1:

<b> </b>_{Giải phơng trình:}

2x+2 4 2 1

3 + 3<i>x</i> 6<i>x</i> 7 1 2.3<i>x</i>

    

<i>Bµi gi¶i:</i>

Ta cã:

2x+2 4 2 1

3 + 3<i>x</i>  6<i>x</i>   7 1 2.3<i>x</i>



2x+2 1 4 2

3 - 2.3<i>x</i> +1+ 3(<i>x</i> 2<i>x</i> 1) 4 2

   



1 2 2 2

(3<i>x</i> -1) + 3(<i>x</i>  1)  4 2₍₁₎

Ta thÊy

1 2

(3<i>x</i> -1) 0

 _vµ 3(<i>x</i>2  1)2 4 2



1 2 2 2

(3<i>x</i> -1) + 3(<i>x</i>  1)  4 2

nªn

x+1 x+1

2

3 -1= 0 3 = 1

(1)Û Û Û x = -1

(x -1)(x +1) = 0
-1= 0
<i>x</i>
 

 _  _ 
 


</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

x + <i>x</i> 2 2 <i>x</i> 1
<i> Bài giải: Điều kiện x ≥ 2 </i>

Ta cã:

 

2

2

1 Û x -1 - 2 x -1 + 1+ x - 2 =0
Û

( x -1 - 1) + x - 2 = 0
x -1 - 1= 0

Û (Do( x -1 - 1) ³ 0; x - 2 ³ 0)
x - 2 = 0





 _  



 x = 2 (TM§K)

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

<i>Nhận xét: ở bài toán này, ta vận dụng thêm bất đẳng thức </i> A ³ 0 <i>với mọi A ≥ 0.</i>

<i>Nhờ bất đẳng thức này, ta có bi toỏn khú sau:</i>

Bài toán 3: ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2006-2007)
Gi¶i phơng trình:

( x + 9 + 3)( x + 1 + 2 x - 7) = 8x (1)

<i>Bài giải: Điều kiÖn x ≥ 7</i>
Ta cã:

2

(1) ( x + 9 - 3)( x + 9 + 3)( x + 1 + 2 x - 7) = 8x( x + 9 - 3)
x( x + 1 + 2 x - 7) = 8x( x + 9 - 3)

x + 1 + 2 x - 7 = 8( x + 9 - 3)
x + 1 + 2 x - 7 8 x + 9 24 0
(x + 9 8 x + 9 16) + 2 x - 7 0
( x + 9 4) + 2 x - 7 0

x + 9 4 0
2 x - 7 0





   

   

  

 _ _


 




(V× ( x + 9  4)2 0; 2 x - 7 0 )
 x = 7(TM§K)

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i>Nhận xét: Nếu ta kết hợp bất đẳng thức () và bất đẳng thức </i> A + m ³2 2 ³m <i>với m </i>
<i>là hằng số không âm và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0, ta có bài tốn </i>
<i>sau:</i>

Bài toán 4: Giải phơng trình:

2 2 2

3x +6x +7 + 5x +10x +14 =4 -2x - x

(1)
<i>Bài giải: </i>

(1)

2 2 2

3(x +1) 4 + 5(x +1) 9 =5 -(<i>x</i>1)



2 2 2 2 2

3(x +1) 2 + 5(x +1) 3 =5 -(<i>x</i>1)

Mµ

2 2 2 2

3(x +1) 2 + 5(x +1) 3  2 3 =5

vµ 5 – (x +1)2 ≤ 5
Nªn ta cã (x + 1)2_{= 0  x + 1 = 0}

 x = -1

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1.
Bài tốn 5:

<b> </b>_{Giải phơng tr×nh: 2008x}2_{+ y}2_{- 2xy - 4014x + 2007 = 0}
<i>Híng dÉn:</i>

Đây là phơng trình nhiều ẩn, ta có thể biến đổi vế trái thành tổng bình phơng
các biểu thức còn vế phải bằng 0, rồi áp dụng bất ng thc ().

<i>Bài giải:</i>

Ta có: 2008x2_{+ y}2_{- 2xy - 4014x + 2007 = 0}

 (2007x2_{- 4014x+ 2007) + (x}2_{- 2xy + y}2_{)= 0}
 2007(x - 1)2_{+ (x - y)}2_{= 0 (1)}
V× 2007(x - 1)2 ≥ 0  x vµ (x - y)2 ≥ 0  x, y nªn









2

2

2007 x -1 = 0 _{x -1= 0}

(1)Û Û Û x = y = 1

x - y = 0
x - y = 0

 _



 _  _ 




Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = 1
Bài toán 6: Giải phơng trình:

(16x4_{+ 1)(y}4_{+ 1) = 16x}2_y2₍₁₎
<i>Bài giải: Phơng trình (1) tơng đơng với</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

 (4x2_y2_{- 1)}2_{+ (4x}2_{- y}2₎2_{= 0 (2)}
V× (4x2_y2_{- 1)}2 ≥ 0  x,y vµ (4x2_{– y}2₎2 ≥ 0  x, y nªn

2 2 4

2 2 2 2

1
4x y -1= 0 16x = 1 x =±

(2)Û Û Û 2

4x - y = 0 y = 4x _{y =±1}



 

  

 _  _  _

 

  _

VËy cã tÊt cả 4 cặp số (x , y) là nghiệm của phơng trình (1)

1 1 1 1

( ;1) ; ( ;1) ; ( ; 1) ; ( ; 1)
2  2  2  2 

Nhận xét: <i>ở_{bài toán trên, ta đ tách hạng tử của đa thức để đ}</i>_ã <i>_{a về hằng đẳng}</i>
<i>thức bình phơng của một tổng ( hoặc hiệu). Tuy nhiên, trong một số bài tốn, </i>
<i>việc tách và nhóm các hạng tử để làm xuất hiện hằng đẳng thức lại là rất khó, </i>
<i>vớ d nh bi toỏn sau:</i>

Bài toán 7: Giải phơng trình:

2x2_{+ 2xy +y}2_{-2x + 2y + 5 = 0}
<i>Bài giải: Phơng trình đã cho tơng đơng với</i>

(x2_+y2_{+1 +2xy + 2x + 2y) + (x}2_{– 4x + 4) = 0}
 (x + y + 1)2_{+ (x - 2)}2_{= 0 (1)}

V× (x + y + 1)2 ≥ 0  x,y vµ (x - 2)2 ≥ 0  x nªn

x + y + 1 = 0 x =±2

(1)Û Û

x - 2 = 0 y =± - 3

 

 _  _

 

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2 ; 3)

2. ứ_{ng dụng bất đẳng thức} a + b a+b ₍₎

Bài toán 8:

<b> </b>_{Giải phơng tr×nh:}

2 2

x  2007<i>x</i>2006  x 2007<i>x</i> 2008 4014

(1)

<i>Bài giải:</i>

Ta cã:
(1) 

2 2 2 2

x  2007<i>x</i>2006 -x 2007<i>x</i>2008 x  2007<i>x</i>2006 (-x 2007<i>x</i>2008)
 (x2_{- 2007x +2006)(-x}2 + 2007x + 2008) ≥ 0 (¸p dơng B§T ())

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

 -1≤ x ≤ 1 hc 2006≤ x ≤ 2008

Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: -1≤ x ≤ 1 hoặc 2006≤ x ≤ 2008
Bài toán 9:

<b> </b>_{Giải phơng trình:} <i>x</i> 3 4 <i>x</i>  1  <i>x</i> 8 6 <i>x</i>  1  1

<i>Hớng dẫn: Nếu ta để ý kỹ biểu thức dới dấu căn lớn là bình phơng của một biểu</i>

thức, sau đó sử dụng hằng đẳng thức

2

<i>A</i> <i>A</i>

và áp dụng BĐT ().
<i>Bài giải: Điều kiện x ≥ 1</i>

Ta cã: <i>x</i> 3 4 <i>x</i>  1  <i>x</i> 8 6 <i>x</i>  1  1



2 2

( <i>x</i>  1 2)  ( <i>x</i>  1 3)  1

 <i>x</i>  1 2  <i>x</i>  1 3 1

 <i>x</i>  1 2  3 <i>x</i> 1  <i>x</i>  1 2 3   <i>x</i>  1

 ( <i>x</i>  1 2 )(3  <i>x</i>  1) 0

 2 <i>x</i>  1 3   5 <i>x</i> 10 (TMĐK)
Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: 5≤ x ≤ 10

3. ứ_{ng dụng bất đẳng thc Cụsi, Bunhiacụpxki.}

Bài toán 10:

<b> </b>_{Giải phơng tr×nh:}

2 2 2

3 3,5 ( 2 2)( 4 5)

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>Bài giải:</i>

Ta có: x2_{- 2x +2 =(x-1)}2_{+1 > 0}

x2_{- 4x +5 =(x-2)}2_{+1 > 0}

Mµ

2 2

2 ( 2 2) ( 4 5)

3 3,5

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>  <i>x</i>      

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

2 2

2 2

( 2 2) ( 4 5)

( 2 2)( 4 5)
2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

    

    

Hay

2 2 2

2 3,5 ( 2 2)( 4 5)

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>x</i>  <i>x</i>
DÊu = x¶y ra <b>“ ”</b>  x2_{- 2x +2 = x}2_{- 4x +5}
 x = 1,5

Vậy nghim phng trỡnh ó cho l: x = 1,5

Bài toán 11:

<b> </b>_{Giải phơng tr×nh:}

2 2 2 2 2 2

13[(<i>x</i>  3<i>x</i>6) (<i>x</i>  2<i>x</i>7) ] (5 <i>x</i>  12<i>x</i>33) ₍₁₎

<i>Híng dÉn:</i>

á_{p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 4 số}

(a2_{+ b}2_)(c2_{+ d}2) ≥ (ac + bd)2

DÊu = x¶y ra <b>“ ”</b>  ad = bc

Víi a = 2; b = 3; c = x2_{– 3x + 6; d = x}2_{2x + 7}
<i>Bài giải:</i>

Ta có phơng trình (1) tơng đơng với

2

2 2 2 2 2 2 2 2

(2 3 )[(<i>x</i>  3<i>x</i>6) (<i>x</i>  2<i>x</i>7) ]_2(<i>x</i>  3<i>x</i>6) 3( <i>x</i>  2<i>x</i>7)_
(2)
á_{p dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 4 số}

2

2 2 2 2 2 2 2 2

(2 3 )[(<i>x</i>  3<i>x</i>6) (<i>x</i>  2<i>x</i>7) ]_2(<i>x</i>  3<i>x</i>6) 3( <i>x</i>  2<i>x</i>7)_
Do đó phơng trình (2)  3(x2_{- 3x + 6) = 2(x}2_{– 2x + 7)}

 x2_{- 5x + 4 = 0}
 x1 = 1; x2 = 4

Vậy nghiệm phơng trình đã cho là: x1 = 1; x2 = 4
Bài toán 12:

Giải phơng trình: 2007x2008_-2008x2007_{+1 = 0 (1)}
<i>Bài giải:</i>

Ta có phơng trình (1) tơng đơng với

2007x2008_{+1 = 2008x}2007

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

á_{p dụng bất đẳng thức Côsi cho 2008 số dơng gồm số 1 và 2007 số x}2008_ta
có:





2007

2008 2008 2008 2008 ₂₀₀₈ 2008

2007<i>x</i>  1 <i>x</i>_{          }<i>x</i> ....<i>x</i>  1 2008 1. <i>x</i>

2007 s/h

=2008x2007
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x2008_{=1 mà x > 0 nên x = 1}

Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1

Trên đây là một số bài tốn giải phơng trình bằng cách áp dụng bất đẳng
thức. Đặc biệt lu ý với các em học sinh, muốn giải đợc những bài toán khó thì
càng khơng nên coi nhẹ kiến thức cơ bản. Trớc khi kết thúc bài viết, tôi xin đa
ra một số bài tập tơng tự để các em luyn tp.

Bài 1: Giải phơng trình:
a)

2

4 5 2 2 3

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> _{(TS lớp 10-THPT chuyên Thái Bình 2006)}

b)
2
2
2
6 15
6 18
6 11
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 
  
 
c)

2 ₆ ₁₁ 2 ₆ ₁₃ 4 2 ₄ _{5 3} ₂

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  

d)
8
2
4

2 2
16
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>

Bài 2:(Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- chuyên ngoại ngữ Hà Nội năm học
<i>2005) </i>

Tìm cặp số (x;y) sao cho y nhá nhÊt tho¶ m·n:
x2_{+ 5y}2_{+ 2y -4xy -3 = 0}

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
a) x2_{-25 = y(y + 6)}

b) x2_{+ x + 6 = y}2

c) 3x2_{- 12y}2_{= 2x + 664}
Bài 4: Giải phơng trình:

a)

2

6 11 2 4

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>    <i>x</i>

b)

2

10 27 4 6

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

c)

2 2

2 5 2 10 29

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> 
d) 42 <i>x</i>4 <i>x</i>2 3<i>x</i>3

III. Kết quả đạt đợc

Việc khai thác và đa ứng dụng của bất đẳng thức vào giải phơng trình trong
quá trình giảng dạy bộ mơn Tốn lớp 9 nh trên , tôi thấy học sinh nắm đợc kiến
thức cơ bản và vận dụng vào làm bài tập một cách chủ động, tích cực và đạt
kết quả cao. Rèn luyện đợc cho học sinh kỹ năng giải các loại toán và đặc biệt
là rèn luyện học sinh khả năng t duy toán học, hình thành các phơng pháp giải
tốn cơ bản.Từ đó tạo sự hứng thú cho học sinh khi học tập bộ môn, nâng cao
khả năng tự học, tự nghiên cứu tốn học , nâng cao năng lực giải quyết tình
huống do thực tế tạo ra.

Trong quá trình thực hiện theo sáng kiến kinh nghiệm trên, tôi thờng xuyên
kiểm tra mức độ tiếp thu của học sinh trong từng giai đoạn:

- Đợt 1: Kiểm tra kiến thức cơ bản về bất đẳng thức .

- Đợt 2: Kiểm tra kỹ năng giải phơng trình có ứng dụng bất đẳng thức trong
bài tập đơn giản.

- Đợt 3: Kiểm tra khả năng giải phơng trình có ứng dụng bất đẳng thức trong
bài tập nâng cao.

- Trong mỗi đợt có 2 bài khảo sát trớc và sau khi thực hiện đề tài.
Kết quả thu đợc nh sau:

Sè TT

Sè HS
tham dù
kiÓm tra

Số HS đạt từ điểm 5 trở lên Số % tăng so với
tr-ớc khi thc hin

ti

Trớc Sau

Đợt 1 40 20/40 = 50% 35/40 = 87,5% 37,5%

Đợt 2 40 18/40 =45 % 34/40 = 85% 40%

Đợt 3 40 4/40 =10% 17/40 = 42,5% 32,5%

<b> Những bài học rút ra: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

bài dạy theo một trình tự t duy hợp lý , tổ chức học sinh học tập tích cực, chủ
động . Biết tổng hợp , khai thác , phát triển từ những vấn đề cơ bản.

Trong giai đoạn hiện nay, việc thực hiện đổi mới chơng trình giáo dục phổ
thông nhằm đào tạo ra những con ngời năng động sáng tạo đáp ứng yêu cầu
của thời đại mới, thời đại cơng nghiệp hố , hiện đại hố đất n ớc.Mỗi ngời giáo
viên chúng ta cần nắm vững chơng trình đổi mới, nghiên cứu kỹ chơng trình và
tích cực đổi mới phơng pháp dạy học, lấy học sinh làm nhân vật trung tâm, tổ
chức hớng dẫn học sinh chủ động trong lĩnh hội kiến thức.

<b>C. KÕt luËn</b>

Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ đợc đúc rút từ kinh nghiệm của bản thân,
sự học hỏi các đồng nghiệp, từ đặc điểm của chơng trình sách giáo khoa mới
và thực trạng học sinh đồng thời dựa trên đặc điểm của môn học.

Kinh nghiệm này đã mang lại cho tôi kết quả tốt trong q trình giảng dạy,
ơn luyện thi cho học sinh đặc biệt là ôn thi vào lớp 10- THPT . Học sinh tiếp thu
kiến thức chủ động và có hiệu quả cao. Từ đó tạo nên kết quả kiểm tra và chất
lợng thi tốt.

Tơi rất mong có sự đóng góp của các đồng nghiệp và bên chun mơn để
sáng kiến kinh nghiệm này đạt kết quả cao hơn nữa.

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Ngêi viÕt:

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Nhận xét đánh giá của Ban giám hiệu

Trờng THCS TÂN Lễ:

………
………
………
………
………
………
………
………
………
………
………

………
………
………
………
………

………
Nhận xét , đánh giá của hội đồng thi đua cấp huyện:

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

bá phÇn díi

<i>Bài 1:</i> Tìm x để biểu thức <i>y</i>=<i>x</i>
2

+<i>x</i>+4

<i>x</i>2+<i>x</i>+2 nhận giá trị nguyên.
ở bài này học sinh đọc lớt qua thấy thật là dễ ?

Rất nhiều học sinh đã giải: <i>y</i>=1+<i>_x</i>2 2

+<i>x</i>+2 và yêu cầu (x2 + x + 2) là ớc của 2

Mà quên mất rằng x R th× biĨu thøc x2_{+ x + 2 không phải lúc nào cũng có}

giá trị nguyên.

ở đây x2_{+ x + 2 > 0 nên các em thử dùng miền giá trị để xét xem y cú th nhn}

những giá trị nguyên nào nhé!
<i><b>Giải :</b></i> <i>y</i>=<i>x</i>

2
+<i>x</i>+4
<i>x</i>2+<i>x</i>+2=1+

2

<i>x</i>2+<i>x</i>+2 nhận giá trị nguyên khi

2

<i>x</i>2+<i>x</i>+2

nhận giá trị nguyên . Mà x2_{+ x + 2}≥ 7

4 => 0<
2

<i>x</i>2+<i>x</i>+2<i>≤</i>

8
7

Vậy giá trị nguyên của <i>_x</i>2 2

+<i>x</i>+2 lµ 1

<i>_x</i>2 2

+<i>x</i>+2=1 => x2 + x + 2 = 2

=> x1 = 0 ; x2 = - 1

Khi đó y1 = y2 = 1 + 1 = 2

Vậy giá trị cần tìm của x là : 0 , -1 khi đó giá trị ngun của y là 2

<i>Bµi 2:</i> Cho biĨu thøc C =

(

_√<i>_xx</i>₊₁<i>−</i>_√<i>_x</i>3₊₁

)

.√<i>_xx</i>₊+₁1
Rót gän biĨu thøc

Tìm x để C nhận giá trị nguyên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Khi đó C = 1 - <i>_x</i>4₊₁ nhận giá trị nguyên khi <i>_x</i>4₊₁ nhận giá trị nguyên. Mà x

0 nên

0 < <i>_x</i>4₊₁ 4 . vậy các giá trị nguyên có thĨ cã cđa <i>_x</i>4₊₁ lµ 1, 2, 3, 4.

*) <i>_x</i>4₊₁ =1 <i>⇒</i> x =3 khi đó C=0
*) <i>_x</i>4₊₁ =2 <i>⇒</i> x = 1 khi đó C = -1
*) <i>_x</i>4₊₁ =3 <i>⇒</i> x = 1₃ khi đó C = -2
*) <i>_x</i>4₊₁ = 4 <i>⇒</i> x = 0 khi đó C = -3

Vậy các giá trị nguyên của C là 0, -1,-2, -3 tại giá trị tơng ứng của x
lµ 3, 1, 1₃ , 0.

Ngoài việc tìm giá trị nguyên của biểu thức ra phải tìm miền giá trị
của hàm số còn giúp cho chúng ta tìm cực trị của biểu thức.

<i> </i>

<i> Bài 3:</i> Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:
<i>y</i>=<i>_x</i>42<i>x</i>

+1

<i><b> Giải:</b></i> Giả sử y0 là một giá trị của hàm số, tồn tại giá trị của x để

y0 =

4<i>x</i>

<i>x</i>2+1 <i>⇔</i> phơng trình y0x2 - 4x +y0 = 0 có nghiệm

*)XÐt y0=0 phơng trình có nghiệm x = 0.

*)Xét y0 0 phơng trình cã nghiÖm <i>⇔</i> <i>Δ</i>

<i>'</i>

=4 -y02 0

<i>⇔</i> -2 <i>y</i>0<i>≤</i>2 (y₀ 0)

Vậy giá trị của y để phơng trình có nghiệm là -2 <i>y ≤</i>2

<i>⇒</i> ymin = -2, ymax=2.

Trớc khi kết thúc bàiviết tôi đa ra một số bài tập để các em luyện tập:

<i>Bài 1:</i> Tìm x Z để biểu thức nhận giá trị nguyên.
<i>A</i>= <i>x</i>+2

<i>x −</i>3

<i>C</i>=2<i>x</i>
2

+5<i>x</i>+4
<i>x</i>+2

<i>E</i>= <i>x</i>

3

+4
<i>x</i>2<i>− x</i>+1

<i>B</i>=2<i>_xx</i>2+1
+3

<i>D</i>=2<i>x −</i>1
<i>x</i>+3

<i>F</i>= <i>x</i>
2

<i>−</i>5<i>x</i>+4

2<i>x</i>2+3<i>x −</i>5
<i>Bài 2:</i> Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên:
a) <i>y</i>=√<i>x −</i>1

√<i>x</i>+3

b) <i>y</i>=<i>x</i>
2

<i>− x</i>+1
<i>x</i>2+<i>x</i>+1

b) <i>y</i>=1<i>−</i>2√<i>x</i>

2√<i>x</i>+3

d) <i>y</i>=3<i>x</i>
2

<i>− x</i>+1

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

<i>Bµi 3</i>: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
a) <i>y</i>=2<i>x</i>

2
<i>−</i>1
1<i>− x</i>2

b) <i>y</i>=<i>x −_x</i>21

c) <i>y</i>=<i>x</i>
2

+<i>x</i>+1

1+2<i>x</i>

d) <i>y</i>=<i>x</i>
2

<i>−</i>2<i>x</i>+2
<i>x</i>2+1

III. <b>KÕt lu©n :</b>

Với những suy nghĩ và thực hiện nh trên khi hớng dẫn học sinh trên lớp tôi
thấy các em hào hứng và say mê giải các bài tập dạng tơng tự một cách linh hoạt
và sáng tạo .Trớc những bài toán về giá trị nguyên của biểu thức , các em khơng
tỏ ra lúng túng nh trớc mà bình tĩnh biến đổi biểu thức và sử dụng thành thạo các
phơng pháp đã học để làm .

Trên đây là một số trao đổi nhỏ của tơi với các đồng nghiệp về bài tốn giá
trị nguyên của biểu thức . Rất mong sự góp ý , giúp đỡ từ các đồng nghiệp để tơi
hồn thiện mình hơn và có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy .

<i> T«i xin chân thành cảm ơn </i>

Th¸ng 4/2006

NhËn xÐt cđa ban gi¸m hiƯu Ngêi viÕt :

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21></div>

<!--links-->