SKKN Ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán

áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán
==================================================================================================================
A. PHN M U.
1. Lí DO CHN TI.
Trong chng trỡnh sỏch giỏo khoa mi Toỏn lp 9 THCS, hc sinh c
lm quen vi phng trỡnh bc hai: Cụng thc tớnh nghim ca phng trỡnh bc
hai, c bit l nh lý Viột v ng dng ca nú trong vic gii toỏn.
Song qua vic ging dy Toỏn 9 ti trng T.H.C.S tụi nhn thy cỏc em
vn dng h thc Viột vo gii toỏn cha tht linh hot, cha bit khai thỏc v s
dng h thc Viột vo gii nhiu loi bi toỏn, trong khi ú h thc Viột cú tớnh
ng dng rt rng rói trong vic gii toỏn.
ng trc vn ú, tụi i sõu vo nghiờn cu ti: p dng nh lý
Vi-ột trong vic gii mt s bi toỏn vi mong mun giỳp cho hc sinh nm vng
v s dng thnh tho nh lý Viột, ng thi lm tng kh nng, nng lc hc
toỏn v kớch thớch hng thỳ hc tp ca hc sinh.
2. I TNG V PHM VI NGHIấN CU.
Trong ti ny, tụi ch a ra nghiờn cu mt s ng dng ca nh lý
Viột trong vic gii mt s bi toỏn thng gp cp T.H.C.S. Do ú ch cp
n mt s loi bi toỏn ú l:
a) ng dng ca nh lý Viột trong gii toỏn tỡm iu kin ca tham s
bi toỏn tho món cỏc yờu cu t ra
b) ng dng ca nh lý trong gii bi toỏn lp phng trỡnh bc hai mt
n, tỡm h s ca phng trỡnh bc hai mt n.
c) ng dng ca nh lý Viột trong gii toỏn chng minh.
d) p dng nh lý Viột gii phng trỡnh v h phng trỡnh.
e) nh lý Viột vi bi toỏn cc tr.
3.TèNH HèNH THC T CA HC SINH LP 9 TRNG THCS NINH XUN:
a s hc sinh khi 9 l con em cỏc gia ỡnh thun nụng nờn ngoi thi
gian hc trờn lp nhiu hc sinh l lao ng chớnh ca gia ỡnh do ú cỏc em ginh
nhiu thi gian cho vic giỳp gia ỡnh lm kinh t nờn ginh rt ớt thi gian cho
vic hc.

===========================================================
Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi
-1-
áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán
==================================================================================================================
Mt khỏc mt s hc sinh coi nh, xem thng vic hc, li hc dn n
vic hng kin thc cỏc lp di v khụng nm vng kin thc trờn lp. Nhiu
hc sinh rt hn ch v kh nng s dng ngụn ng toỏn hc, kh nng trỡnh by
mt bi toỏn .
4. NHNG VIC LM CA BN THN
giỳp hc sinh nm vng kin thc v phng trỡnh bc hai nht l vic
dựng nh lý viột, trong quỏ trỡnh ging dy tụi ó a mt s bi toỏn vic s
dng nh lý viột d gii s dn n kt qu nhanh hn.
B. NI DUNG.
nh lý Viột:
Nu x
1
, x
2
l hai nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) thỡ:
* H qu: (trng hp c bit)
a) Nu phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) cú a + b + c = 0 thỡ phng
trỡnh cú mt nghim l: x
1
= 1 cũn nghim kia l: x
2

=
b) Nu phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) cú a - b + c = 0 thỡ phng
trỡnh cú mt nghim l: x
1
= - 1 cũn nghim kia l: x
2
=
* Nu cú hai s u v v tho món iu kin
thỡ u, v l hai nghim ca phng trỡnh: x
2
Sx + P = 0.
iu kin cú hai s u, v l: S
2
4P 0.
Sau õy l mt s vớ d minh ho cho vic ng dng ca nh lý Viột trong gii
mt s dng toỏn.
===========================================================
Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi
-2-







=
=+

a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
a
c
a
c




=
=+
Pvu
Svu
.
áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán
==================================================================================================================
I. NG DNG CA NH Lí VIẫT TRONG GII TON TèM IU KIN CA
THAM S BI TON THO MN CC YấU CU T RA.
1. Cỏc vớ d:
Vớ d 1: Tỡm giỏ tr ca m cỏc nghim x
1
, x

2
ca phng trỡnh
mx
2
- 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho món iu kin
1
2
2
2
1
=+
xx
Bi gii:
iu kin phng trỡnh cú hai nghim (phõn bit hoc nghim kộp):
m 0 ; ' 0
' = (m - 2)
2
- m(m - 3) = - m + 4
' 0 m 4.
Vi 0 m 4, theo nh lý Viột, cỏc nghim x
1
; x
2
ca phng trỡnh
cú liờn h:
x
1
+ x
2
=

m
m )2(2
; x
1
.x
2
=
m
m 3
Do ú: 1 =
2
2
2
1
xx
+
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
2
2
)2(4

m
m
-
m
m )3(2
m
2
= 4m
2
- 16m + 16 - 2m
2
+ 6m
m
2
- 10m + 16 = 0
m = 2 hoc m = 8
Giỏ tr m = 8 khụng tho món iu kin 0 m 4
Vy vi m = 2 thỡ
2
2
2
1
xx
+
= 1
Vớ d 2: Cho phng trỡnh x
2
- 2(m - 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0. Tỡm m

phng trỡnh cú 2 nghim x
1
, x
2
phõn bit tho món
5
11
21
21
xx
xx
+
=+

Bi gii:
Ta phi cú:







+
=+

>+=
(3)
(2)
(1)

5
xx
x
1
x
1
0.xx
03)2m(m2))(m(
21
21
21
22'

===========================================================
Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi
-3-
áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán
==================================================================================================================
(1) ' = m
2
- 4m + 4 - m
2
- 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m <
6
7
(2) m
2
+ 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3
(3)
0).5)((

5.
2121
21
21
21
=+
+
=
+
xxxx
xx
xx
xx
Trng hp: x
1
+ x
2
= 0 x
1
= - x
2
m = 2 khụng tho món iu kin
(1)
Trng hp: 5 - x
1
.x
2
= 0 x
1
.x

2
= 5
Cho ta: m
2
+ 2m - 3 = 5 (m - 2)(m + 4) = 0



=
=

K)Đ mãn(thoả 4m
(loại) 2m
Vy vi m = - 4 phng trỡnh ó cho cú 2 nghim x
1
, x
2
phõn bit tho món
5
x
x
1
x
1
21
21
x+
=+
Vớ d 3: Cho phng trỡnh: mx
2

- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m l tham s).
a) Xỏc nh m cỏc nghim x
1
; x
2
ca phng trỡnh tho món
x
1
+ 4x
2
= 3
b) Tỡm mt h thc gia x
1
; x
2
m khụng ph thuc vo m
Bi gii:
a) Ta phi cú:

+=

=+

=
+
=+
0)4()1(('
0
34
4
.
)1(2
2
21
21
21
mmm
m
xx
m
m
xx
m
m
xx
T (1) v (3) tớnh c:
m

m
x
m
m
x
3
85
;
3
2
12
+
=

=
Thay vo (2) c
m
m
m
mm 4
9
)85)(2(
2

=
+
2m
2
- 17m + 8=0
Gii phng trỡnh 2m

2
- 17m + 8 = 0 c m = 8; m =
2
1
tho món iu kin (4).
Vy vi m = 8 hoc m = thỡ cỏc nghim ca phng trỡnh tho món x
1
+ 4x
2
= 3.
b) Theo h thc Viột:
===========================================================
Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi
-4-
(1)
(2)
(3)
(4)
2
1
¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n
==================================================================================================================
x
1
+ x
2
= 2 +
m
2
x

1
+ x
2
= 1 -
m
4
(*)
Thay
m
2
= x
1
+ x
2
- 2 vào (*) được x
1
x
2
= 1 - 2(x
1
+ x
2
- 2)
Vậy x
1
.x
2
= 5 - 2(x
1
+ x

2
)
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một
nghiệm chung:
x
2
+ 2x + m = 0 (1)
x
2
+ mx + 2 = 0 (2)
Bài giải:
Gọi x
0
là nghiệm chung nào đó của 2 phương trình khi đó ta có
02
0
2
0
=++
mxx

02
0
2
0
=++
mxx
Trừ theo từng vế hai phương trình ta được (m - 2)x
0
= m - 2

Nếu m = 2 cả hai phương trình là x
2
+ 2x + 2 = 0 vô nghiệm
Nếu m ≠ 2 thì x
0
= 1 từ đó m = - 3
Với m = - 3: (1) là x
2
+ 2x – 3 = 0; có nghiệm x
1
= 1 và x
2
= - 3
Và (2) là x
2
- 3x + 2 = 0; có nghiệp x
3
= 1 và x
4
= 2
Rõ ràng với m = - 3 thì hai phương trình có nghiệm chung x = 1.
2. Bài tập:
Bài 1: Cho phương trình x
2
- (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x
1
= 2x
2
.

Bài 2: Cho phương trình mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
===========================================================
Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi
-5-
áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán
==================================================================================================================
b) Tỡm m phng trỡnh cú 2 nghim trỏi du. Khi ú trong hai nghim,
nghim no cú giỏ tr tuyt i ln hn?
c) Xỏc nh m cỏc nghim x
1
; x
2
ca phng trỡnh tho món: x
1
+ 4x
2
= 3.
d) Tỡm mt h thc gia x
1
, x
2
m khụng ph thuc vo m.
Bi 3:
a) Vi giỏ tr no m thỡ hai phng trỡnh sau cú ớt nht mt nghim chung.
Tỡm nghim chung ú?
x
2

- (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)
x
2
- (m + 2)x + m + 1 = 0 (2)
b) Tỡm giỏ tr ca m nghim ca phng trỡnh (1) l nghim ca phng
trỡnh (2) v ngc li.
II. NG DNG CA NH Lí VIẫT TRONG BI TON LP PHNG
TRèNH BC HAI MT N, TèM H S CA PHNG TRèNH BC HAI MT
N S
1. Cỏc vớ d:
Vớ d 1: Cho x
1
=
2
13 +
; x
2
=
31
1
+
Lp phng trỡnh bc hai cú nghim l: x
1
; x
2
Ta cú: x
1
=
2
13 +

; x
2
=
31
1
+
=
( )( )
2
1331

=

+
3131
Nờn x
1
.x
2
=
2
13 +
.
31
1
+
=
2
1
x

1
+ x
2
=
2
13 +
+
31
1
+
=
3
Vy phng trỡnh bc hai cú 2 nghim: x
1
; x
2
l x
2
-
3
x+
2
1
= 0
Hay 2x
2
- 2
3
x + 1 = 0
Vớ d 2: Cho phng trỡnh: x

2
+ 5x - 1 = 0 (1)
===========================================================
Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi
-6-
¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n
==================================================================================================================
Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các
nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1)
Cách giải:
Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức viét, ta có:
x
1
+ x
2
= -5; x
1
.x
2
= - 1
Gọi y
1
; y
2
là các nghiệm của phương trình phải lập, ta có:
y

1
+ y
2
=
44
21
xx +
y
1
y
2
=
44
21
xx .
Ta có:
44
21
xx
+
= (x
1
2

+ x
2
2
)
2
- 2x

1
2
.x
2
2
= 729 – 2 = 727
44
21
xx .
= (x
1
.x
2
)
4
= (- 1)
4
= 1
Vậy phương trình cần lập là: y
2
- 727y + 1 = 0
Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: x
2
+ px + q = 0 sao cho hai
nghiệm x
1
; x
2
của phương trình thoả mãn hệ:




=−
=−
35xx
5xx
3
2
3
1
21
Các giải:
Điều kiện ∆ = p
2
- 4q ≥ 0 (*) ta có:
x
1
+ x
2
= -p; x
1
.x
2
= q. Từ điều kiện:



=−
=−
35xx

5xx
3
2
3
1
1 2
⇔
( )
( )
( )



=++−
=−
35xx
xx
21
21
2
221
2
1
2
25
xxxx
⇔
( )
( )
( )




=+−+
=−+
35xx
5x4xxx
21
2121
2121
2
2
25
2
xxxx
⇔





=−
=−
7qp
25p
2
1
q
4
Giải hệ này tìm được: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6

Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)
2) Bài tập:
===========================================================
Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi
-7-
áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán
==================================================================================================================
Bi 1: Lp phng trỡnh bc hai cú 2 nghim l
3
+
2
v
23
1
+
Bi 2: Lp phng trỡnh bc hai tho món iu kin:
Cú tớch hai nghim: x
1
.x
2
= 4 v
1
1
1
x
x
+
1
2
2

x
x
=
4
7
2
2


k
k
Bi 3: Xỏc nh cú s m, n ca phng trỡnh: x
2
+ mx + n = 0
Sao cho cỏc nghim ca phng trỡnh lm m v n.
III. NG DNG CA NH Lí VIẫT TRONG GII TON CHNG MINH.
1. Cỏc vớ d:
Vớ d 1: Cho a, b l nghim ca phng trỡnh: x
2
+ px + 1 = 0 v b, c l
nghim ca phng trỡnh x
2
+ qx + 2 = 0
Chng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6.
Hng dn hc sinh gii. õy khụng phi l mt bi toỏn chng minh ng
thc thụng thng, m õy l mt ng thc th hin s liờn quan gia cỏc nghim
ca 2 phng trỡnh v h s ca cỏc phng trỡnh ú. Vỡ vy ũi hi chỳng ta phi
nm vng nh lý Viột v vn dng nh lý Viột vo trong quỏ trỡnh bin i v
ca ng thc, suy ra hai v bng nhau.
Cỏch gii:

a,b l nghim ca phng trỡnh: x
2
+ px + 1 = 0
b,c l nghim ca phng trỡnh: x
2
+ qx + 2 = 0. Theo nh lý viột ta cú:





=
=+
1a.b
p -ba
v





=
=+
2b.c
q -cb
Do ú: (b a)(b c) = b
2
+ ac - 3 (1)
pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b
2

+ ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b
2
+ ac +3 6 = b
2
+ ac - 3 (2)
T (1) v (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (pcm)
===========================================================
Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi
-8-
¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n
==================================================================================================================
Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:
a + b + c = - 2 (1); a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn






−
0;
3

4
khi biểu diễn trên
trục số:
Cách giải:
Bình phương hai vế của (1) được:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1
⇒ bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a
2
+ 2a + 1
Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phương trình:
X
2
+ (a + 2)X + (a
2
+ 2a + 1) = 0 (*)
Để (*) có nghiệm thì ta phải có:
∆ = (a+2)
2
- 4(a
2
+2a+1) ≥ 0
⇔ a(3a + 4) ≤ 0 ⇔ -
3

4
≤ a ≤ 0
Chứng minh tương tự ta được: -
3
4
≤ b ≤ 0; -
3
4
≤ c ≤ 0
2. Bài tập:
Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x
2
+ px + 1 = 0. Gọi
c, d là hai nghiệm của phương trình: y
2
+ qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)
2
Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = ()
200
dưới dạng thập phân, ta được
chữ số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
III. ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ VIÉT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình:







+
−
1
5
x
x
x






+
−
+
1
5
x
x
x
=6
Hướng dẫn:
===========================================================
Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi
-9-
¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n
==================================================================================================================
ĐKXĐ: {x∈R  x ≠ - 1}

Đặt:





+
−
+=
+
−
=
1
5
1
5
.
x
x
x
x
x
xu
ν
⇒



=
=+

?.
?
ν
ν
u
u
Tính: u, v, rồi từ đó tính x.
Bài giải:
ĐKXĐ: {x ∈ R  x ≠ - 1}
Đặt:





+
−
+=
+
−
=
1
5
1
5
.
x
x
x
x

x
xu
ν
(*) ⇒













+
−
+






+
−
=







+
−
++






+
−
=+
1
5
.
1
5

1
5
1
5
.
x
x

x
x
x
xu
x
x
x
x
x
xu
ν
ν
⇒



=
=+
6.
5
ν
ν
u
u
u, v là nghiệm của phương trình: x
2
- 5x + 6 = 0
∆ = 25 – 24 = 1
x
1

=
2
15 +
= 3
x
2
=
2
15 −
= 2
u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3
Nếu:



=
=
2
3
ν
u
thì (*) trở thành: x
2
- 2x + 3 = 0
∆' = 1 – 3 = - 2 < 0
Phương trình vô nghiệm:
Nếu:




=
=
3
2
ν
u
thì (*) trở thành: x
2
- 3x + 2 = 0
Suy ra: x
1
= 1; x
2
= 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
= 2.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình:
a)





=
=+
31xy
11yx

b)





=+
=++
12y
2
x
2
xy
7yxyx
===========================================================
Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi
-10-
áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán
==================================================================================================================
Bi gii:
a) x,y l nghim ca phng trỡnh: x
2
- 11x +31 = 0
=(-11)
2
- 4.1.31 = 121 124 = - 3 < 0
Phng trỡnh vụ nghim
Vy h phng trỡnh ó cho vụ nghim.
b) t x + y = S v xy = P
Ta cú h:

=
=+
12S.P
7PS
Khi ú S v P l hai nghim ca phng trỡnh: t
2
7t + 12 = 0.
Gii phng trỡnh ny c t = 4 v t = 3.
+ Nu S = 4 thỡ P = 3 khi ú x, y l nghim ca phng trỡnh:
u
2
- 4u + 3 = 0
u = 1 v u = 3
Suy ra (x = 1; y = 3) v (x = 3; y = 1)
+ Nu S = 3 thỡ P = 4 khi ú x, y l nghim ca phng trỡnh:
v
2
3v + 4 = 0
Phng trỡnh ny vụ nghim vỡ = 9 - 16 = - 7 < 0
Vy h ó cho cú hai nghim s l:
(x = 1; y = 3) v (x = 3; y =1)
2. Bi tp:
Bi 1: Gii phng trỡnh: x
3
+ 9x

2
+ 18 + 28 = 0
Bi2: Gii cỏc h phng trỡnh sau:
a)



=+
=+
4yx
9yx
22
b)



=+
=+
17yx
3yx
44
V. NH Lí VIẫT VI BI TON CC TR:
1. Cỏc vớ d:
Vớ d 1: Gi x
1
, x
2
l cỏc nghim ca phng trỡnh:
===========================================================
Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi

-11-
¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n
==================================================================================================================
x
2
- (2m - 1)x + m – 2 = 0
Tìm m để
2
2
2
1
xx
+
có giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
Xét: ∆ = 4m
2
- 4m + 1 - 4m + 8 = 4m
2
- 8m + 9 = 4(m - 1)
2
+ 5 > 0
Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m
Theo định lý Viét ta có: x
1
+ x
2
= 2m - 1; x
1
.x

2
= m - 2
⇒
2
2
2
1
xx
+
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= (2m - 1)
2
- 2(m - 2)
=4m
2
- 6m + 5 = (2m -
2
3
)
2
+

4
11
≥
4
11
Dấu “=” xảy ra khi m =
4
3
Vậy Min(x
1
2
+ x
2
2
) =
4
11
khi m =
4
3
Ví dụ 2: Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình:
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2

Cách giải:
Để phương trình đã cho có nghiệm thì:
∆' = (m + 1)
2
- 2(m
2
+ 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) ≥ 0
⇒ - 5 ≤ m ≤ - 1 (*)
Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x
1
+ x
2
= - m - 1
x
1
.x
2
=
2
34
2

++ mm
Do đó: A = 
2
78
2
++ mm

Ta có: m
2
+ 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì:
(m + 1)(m + 7) ≤ 0.
Suy ra: A =
2
78
2
−+− mm
=
2
)4(9
2
+− m
≤
2
9
Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)
2
= 0 hay m = - 4
===========================================================
Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi
-12-

¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n
==================================================================================================================
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là:
2
9
khi m = - 4, giá trị này thoả mãn điều kiện
(*).
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
A=(x
4
+ 1) (y
4
+ 1), biết x, y ≥ 0; x + y =
Cách giải:
A = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) = x
4
+ y
4
+ y
4
x
4
+ 1
Ta có: x + y = ⇒ x
2
+ y

2
= 10 - 2xy
⇒ x
4
+ y
4
+ 2y
2
x
2
= 100 - 40xy + 4x
2
y
2
⇒ x
4
+ y
4
= 100 - 40xy + 2x
2
y
2
Đặt : xy = t thì x
4
+ y
4
= 100 - 40t + 2t
2
Do đó A = 100 - 40t + 2t
2

+ t
4
+ 1 = t
4
+ 2t
2
– 40t + 101
a) Tìm giá trị nhỏ nhất:
A = t
4
- 8t
2
+ 16 + 10t
2
- 40t + 40 + 45
= (t
2
- 4)
2
+ 10(t - 2)
2
+ 45 ≥ 45
Min(A) = 45 ⇔ t = 2, khi đó xy = 2; x + y = nên x và y là nghiệm của
phương trình X
2
- X + 2 = 0.
Tức là x =
2
210 +
; y =

2
210 −
hoặc x =
2
210 −
; y =
2
210 +
b) Tìm giá trị lớn nhất:
Ta có: 0 ≤ xy ≤
2
2






+ yx
=
2
2
10









=






2
5
⇒ 0 ≤ t ≤






2
5
(1)
Viết A dưới dạng: A = t(t
3
+ 2t - 40) + 101.
Do (1) nên t
3
≤
8
125
; 2t ≤ 5 ⇒ t
3

+ 2t - 40 ≤
8
125
+ 5 - 40 < 0 còn t ≥ 0 nên
A ≤ 101
Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0; y = hoặc x = ; y = 0
===========================================================
Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi
-13-
áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán
==================================================================================================================
2. Bi tp:
Bi 1: Gi x
1
, x
2
l cỏc nghim ca phng trỡnh.
x
2
+ 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0
Tỡm m
2
2
2
1
xx
+
cú giỏ tr nh nht.
Bi 2: Cho phng trỡnh: x
2

- m + (m - 2)
2
= 0
Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc
A = x
1
x
2
+ 2x
1
+ 2x
2
Bi 3: Cho phng trỡnh: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m l tham s). Tỡm
m sao cho 2 nghim x
1
; x
2
ca phng trỡnh tho món 10x
1
x
2
+
2
2
2
1
xx
+

t giỏ tr
nh nht. Tỡm giỏ tr ú.
C. KT LUN.
ng dng ca nh lý Viột trong vic gii toỏn l mt vn ln, ũi hi
ngi hc phi cú tớnh sỏng to, cú t duy tt v k nng vn dng lý thuyt mt
cỏch linh hot. Chớnh vỡ l ú, trong quỏ trỡnh ging dy, ngi giỏo viờn cn
chun b chu ỏo, t m, rừ rng tng th loi bi tp c th hc sinh hiu sõu
bn cht v cỏch vn dng. Xõy dng cho cỏc em nim am mờ, hng thỳ trong
hc tp, tụn trng nhng suy ngh, ý kin v sỏng to ca cỏc em. Cn thng
xuyờn kim tra, ỏnh giỏ kt qu hc tp, b sung thiu sút kp thi, dy sõu, dy
chc v kt hp nhun nhuyn, lụgic gia cỏc bi khỏc nhau.
Nghiờn cu ti ng dng ca nh lý Viột trong vic gii toỏn khụng
ch giỳp cho hc sinh yờu thớch hc b mụn toỏn, m cũn l c s giỳp cho bn
thõn cú thờm kinh nghim trong ging dy. Mc dự ó rt c gng khi thc hin
ti, song khụng th trỏnh khi thiu sút v cu trỳc, ngụn ng v kin thc khoa
hc. Vỡ vy, tụi mong s quan tõm ca cỏc ng chớ, ng nghip gúp ý kin chõn
thnh ti ny hon thin hn.
Xin chõn thnh cm n!
Ninh Xuõn, ngy 16 thỏng 4 nm 2009
Ngi vit

===========================================================
Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi
-14-
¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n
==================================================================================================================
Trần Danh Lợi
===========================================================
Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi
-15-