10 phuong trinh duong thang giáo án pp mới

Tên chủ đề/ Chuyên đề:
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Giới thiệu chung chủ đề:
- Học sinh nắm được các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng trong khơng gian.
Thời lượng dự kiến thực hiện chủ đề: 4 tiết
I. Mục tiêu
1. Kiến thức, kĩ năng, thái độ
- Kiến thức:
- Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng.
- Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau. Phương pháp xét vị trí tương đối của hai
đường thẳng trong khơng gian.
- Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau.
- Kĩ năng:
- Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho
trước.
- Xác định được vectơ chỉ phương, điểm nào đó thuộc đường thẳng khi biết phương trình của đường
thẳng .
- Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Xét được vị trí tương đối của hai đường thẳng trong khơng gian.
- Áp dụng tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau.
- Thái độ:
+ Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm
+ Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tịi nghiên cứu liên hệ thực tiễn
+ Bồi dưỡng đạo đức nghề nghiệp, tình yêu thương con người, yêu quê hương, đất nước.
2. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển
a. Năng lực chung
+ Năng lực hợp tác: Tở chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.
+ Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tịi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải
quyết bài tập và các tình huống.

+ Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các
câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.
+ Năng lực sử dụng công nghệ thơng tin: Học sinh sử dụng máy tính, mạng internet, các phần
mềm hỗ trợ học tập để xử lý các yêu cầu bài học.
+ Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình.
+ Năng lực tính tốn.
b. Mức độ nhận thức
Nội dung
Phương trình
tham số,
phương trình
chính tắc của
đường thẳng.

Nhận biết
Biết được dạng
phương trình tham
số, phương trình
chính tắc.

Thơng hiểu

Vận dụng

Biết cách tìm
Viết được phương
vectơ chỉ phương trình đường thẳng
của đường thẳng. đi qua hai điểm.
Biết được một
đường thẳng có

vơ số phương
trình tham số.
Biết được khi
nào đường thẳng
có phương trình
chính tắc.

Vận dụng cao
Viết được phương
trình đường thẳng
là giao tuyến của
hai mặt phẳng,
đường thẳng đi
qua một điểm và
vng góc với hai
đường thẳng cho
trước.


Vị trí tương đối
giữa đường
thẳng và mặt
phẳng.

Biết được các vị trí
tương đối của
đường thẳng và
mặt phẳng.

Vị trí tương đối

giữa hai đường
thẳng.

Biết được các vị trí
tương đối giữa hai
đường thẳng trong
khơng gian.

Khoảng cách từ
một điểm tới
một đường
thẳng, giữa hai
đường thẳng
chéo nhau.

Nắm được hai
cách xét vị trí
tương đối của
đường thẳng và
mặt phẳng.
Nắm được cách
xét vị trí tương
đối đối giữa hai
đường thẳng
trong khơng
gian.

Thực hiện tìm giao
điểm của đường
thẳng và mặt

phẳng.

Nắm được các
cách tính khoảng
cách từ điểm tới
đường thẳng,
khoảng cách giữa
hai đường thẳng
chéo nhau.

Thực hiện tính
khoảng cách từ
điểm tới đường
thẳng, khoảng cách
giữa hai đường
thẳng chéo nhau.

Thực hiện xét vị trí
tương đối đối giữa
hai đường thẳng

II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên:
- Các phiếu học tập, bảng phụ
- Đồ dùng dạy học của giáo viên: thước kẻ, phấn…
- Computer và Projector (nếu có)
2. Học sinh
- Đồ dùng học tập như: Vở, sách giáo khoa, thước kẻ…
- Bản trong, bút dạ cho các hoạt động cá nhân và hoạt động nhóm
- Chuẩn bị các nội dung liên quan đến bài học theo sự hướng dẫn của giáo viên như chuẩn bị tài

liệu, bảng phụ.
III. Tiến trình dạy học
Hoạt động 1: Tình huống xuất phát/ khởi động
Mục tiêu hoạt động:
Tái hiện dạng phương trình tham số của đường thẳng trong mặt phẳng.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm
 Chuyển giao: Nhắc lại dạng phương trình tham số của đường thẳng trong mặt Nhớ dạng phương
trình tham số của
phẳng ?
đường thẳng trong
 Thực hiện: Tất cả các học sinh trong lớp thảo luận và trả lời
mặt phẳng.
- Trả lời cá nhân.
�x  x0  ta1
�
2
2
�y  y0  ta2 với a1  a2 �0
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp:
- Nhận xét câu trả lời.
- Dẫn dắt vào bài học mới.
Hoạt động 2: Hình thành kiến thức
Mục tiêu hoạt động:
- Học sinh cần nắm được dạng phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng.
Các xác định được vectơ chỉ phương của đường thẳng.
- Nắm được điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau.
- Tái hiện vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Nắm được cách xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh

Dự kiến sản phẩm
 Chuyển giao: Giáo viên phát vấn
Học sinh nắm được


H: Nhắc lại định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng đã học ở hình học
11?
r r
�
a
, b�
H: � �vng góc với những vectơ nào?
r
r
H: Nếu đường thẳng d vng góc với giá hai vec tơ khơng cùng phương a và b
thì xác định VTCP của d như thế nào? Đưa ra nhận xét.
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vec tơ chỉ phương
H:
r Cho đường thẳng d đi qua điểm
u (a; b; c) . Nêu điều kiện để M ( x; y; z ) �d ?
H: Nêu điều kiện để hai vectơ cùng phương?
 Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và trả lời câu hỏi.
TL: Vectơ chỉ phương của đường thẳng.
r r
r
r
�
a
, b�
TL: � �vuông góc với các vectơ a và b .

r
TL: Nếu đường thẳng d vng góc với giá hai vec tơ khơng cùng phương a và
r r
r
�
�
a
b thì một VTCP của d là �, b �.
uuuuuu
r
r
M 0M
M
(
x
;
y
;
z
)
�
d
u
TL: uuuuuu
khi và chỉ khi uuuuuu
r
r cùng
r phương với .
r
M M

M M  tu (t ��)
TL: 0 cùng phương với u khi 0
 Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trả lời câu hỏi..
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học
sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức và hướng dẫn học sinh xây dựng phương
trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng
Hộp kiến thức:
I.Phương trình tham số, phương trình chính tắc
r của
r đường thẳng.
u �0 gọi là vectơ chỉ phương của
a.Vectơ chỉ phương của đường
r thẳng: Vectơ
đường thẳng d nếu giá của u song song hoặc trùng với d.
Nhận xét: Nếu đường thẳng d vng góc với giá hai vec tơ khơng cùng phương
r r
r
r
�
�
a
a và b thì một VTCP của d là �, b �.
b.Phương trình tham số của đường thẳng.
z0 ) và có
Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 ; yu0u;uu
uu
r
r
M 0M
u

(
a
;
b
;
c
)
M
(
x
;
y
;
z
)
�
d
vec tơ chỉ phương uuuuuu
khi và chỉ khi
cùng
r r. Khi đó
r
M M  tu (t ��)
phương với u hay 0
�x  x0  at
�
� �y  y0  bt , t ��
�z  z  ct
� 0
(1)

Hệ phương trình (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng d.
c.Phương trình chính tắc của đường thẳng.
�x  x0  at
�
�y  y0  bt
�z  z  ct
Xét đường thẳng d có phương trình tham số � 0
(1)
abc
�
0
Trong trường hợp
, bằng cách khử t từ các PT của hệ (1) ta được:
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c , với abc �0 (2)
Hệ PT (2) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d.
 Chuyển giao: Giáo viên phát vấn

dạng phương trình
tham số, phương trình
chính
tắc
đường
thẳng. Các xác định
được
vectơ

chỉ
phương của đường
thẳng.

Hs ghi nhận thêm một


H: Nêu các vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong khơng gian? Vẽ hình
biểu diễn các vị trí tương đối. Biểu diễn một điểm và một vectơ chỉ phương của
mỗi đường thẳng.
H: Điều kiện để hai đường thẳng trùng, song song, cắt, chéo nhau.
 Thực hiện: Chỉ định một học sinh trả lời..
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học
sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức. HS viết bài vào vở.
Hộp kiến thức:
II. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau.
r
Đường thẳng d đi qua điểm M 0 có vectơ chỉ phương u .
ur
M 0'
u
Đường thẳng d’ đi qua điểm
có vectơ chỉ phương '
r
ur
*d // d’ � u  ku ' và M 0 �d ' .
r
ur
�
u


ku
' và M 0 �d ' .
�
*d d’
*d , d’ cắt nhau � hệ phương trình …. có đúng một nghiệm
*d , d’ chéo nhau � rhệ
ur phương trình …. vơ nghiệm
Nhận xét: d  d ' � u.u '  0
 Chuyển giao: Phát vấn
H: Nêu các vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng? Vẽ hình biểu diễn
các vị trí tương đối.
H: Chỉ ra số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng trong mỡi trường hợp?
H: Suy ra cách xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng?
H: Biểu diễn một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng, biểu diễn
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
H: Nhận xét vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng, suy ra vị trí tương đối.
 Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm bài toán vào giấy nháp.
TL: Song song, cắt, đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
TL: Khơng có điểm chung, một điểm chung, vơ số điểm chung.
TL: Tìm số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng, suy ra vị trí tương đối.
TL: Hai vectơ khơng vng góc trong trường hợp đường thẳng cắt mặt phẳng.
TL: Hai vectơ vng góc, điểm của đường thẳng khơng thuộc mặt phẳng trong
trường hợp đường thẳng song song mặt phẳng.
TL: Hai vectơ vng góc, điểm của đường thẳng thuộc mặt phẳng trong trường
hợp đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
 Báo cáo: Chỉ định một học sinh trả lời.
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học
sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức. HS viết bài vào vở

Hộp kiến thức:
2.Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng.
�x  x0  ta1
�
�y  y0  ta2
�z  z  ta
3
Cho đường thẳng d có phương trình tham số: � 0
(1)
và mặt phẳng (P) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0
(2)
Cách 1: Thay (1) vào (2) ta được phương trình (*) theo ẩn t.
-Nếu (*) vơ nghiệm thì d//(P).
-Nếu (*) có vơ số nghệm thì d �( P) .
-Nếu(*)có nghiệm duy nhất thì d cắt (P).

r
a
Cách 2: Đường thẳng d đi qua điểm M 0(x0; ry0; z0), có vectơ chỉ phương = (a1;
a ; a ). Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n  ( A; B; C ) .
2

3

cách xác định vectơ
pháp tuyến của mặt
phẳng.

Các vị trí tương đối
giữa đường thẳng và

mặt phẳng.


rr
r
r
n
.
a
�
0
n
a
-Nếu
(hay khơng vng góc với ) thì d cắt (P).
rr
r r
n.a  0 ( n  a)
�
�
M ( x ; y ; z ) �( P)
-Nếu � 0 0 0 0
thì d//(P)
rr
r r
�
n.a  0 (n  a)
�
M ( x ; y ; z ) �( P )
-Nếu � 0 0 0 0

thì d �( P)
Hoạt động 3: Luyện tập
Mục tiêu hoạt động:
- Học sinh viết được phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng thỏa
điều kiện cho trước.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm
 Chuyển giao:
Lời giải các bài tập
của học sinh.
Học sinh làm việc cá nhân giải quyết ví dụ sau.
VÍ DỤ
GỢI Ý
Ví dụ 1. Cho đường thẳng d có PTTS: Trả lời ví dụ 1.
a/
�x  1  2t
r Một vec tơ chỉ phương
�
u  (2;1; 2) .
�y  2  t
�z  2t
b/ (1;2;0), (–1;3;2), (5;0;–4).
�
c/A, C không thuộc d, B thuộc d.
a/Hãy tìm tọa độ một vec tơ chỉ phương
Cả lớp nhận xét.
của d.
Lên bảng trình bày ví dụ 2.
b/Xác định tọa độ các điểm thuộc d ứng
-Tìm một vectơ chỉ phương.

với giá trị t=0, t = 1, t = –2.
-Viết phương trình tham số.
c/Trong các điểm A(3;1; –2), B(–3;4;2),
Cả lớp nhận xét.
C(0,5;1) điểm nào thuộc d, điểm nào
Thảo luận nhóm ví dụ 3.
khơng?
-Chứng minh hai mặt phẳng cắt
Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của
1: 2 : 1 �1:1: 2 nên hai
đường thẳng d đi qua hai điểm A(2;0;– nhau. Vì
mặt phẳng cắt nhau.
1), B(1;1;2).
-Vec tơ chỉ phương của đường
Ví dụ 3. Cho hai mặt phẳng ( ) và thẳng là tích có hướng hai vectơ
( ') lần lượt có phương trình
pháp tuyến của rhai mặt phẳng,
x+2y–z+1=0 và x+y+2z+3=0.
1: 2 : 1 �1:1: 2 , u  (5; 3; 1) .
Chứng minh hai mặt phẳng đó cắt nhau
và viết phương trình tham số của giao
tuyến hai mặt phẳng đó.
 Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm ví dụ vào giấy nháp.
 Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học
sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải.
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học
sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải. HS viết bài vào vở.
 Chuyển giao:
Lời giải các bài tập
Học sinh làm việc cá nhân giải quyết ví dụ sau.

VÍ DỤ
GỢI Ý
Ví dụ 1: Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song :
�x  1  t
�x  2  2t '
�
�
d : �y  2t
d ' : �y  3  4t '
�z  3  t
�z  5  2t '
�
�
và
Ví dụ 2: Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau :


�x  3  t
�x  2  3t '
�
�
d : �y  4  t
d ' : �y  5  3t '
�z  5  2t
�z  3  6t '
�
�
và
Ví dụ 3: Tìm giao điểm của hai đường thẳng :
�x  1  t

�x  2  2t '
�
�
d : �y  2  3t
d ' : �y  2  t '
�z  3  t
�z  1  3t '
M  0; 1; 4 
�
�
và
ĐS:
.
Ví dụ 4: Chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc :
�x  5  t
�x  9  2t '
�
�
d : �y  3  2t
d ' : �y  13  3t '
�z  4t
�z  1  t '
�
�
và
 Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm ví dụ vào giấy nháp.
 Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày lời giải, các học
sinh khác thảo luận để hoàn thiện lời giải.
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học
sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải. HS viết bài vào vở.

Hoạt động 4: Tìm tịi, mở rộng
Mục tiêu hoạt động:
- Học sinh vận dụng được kiến thức đã học để giải quyết một số bài tốn khó.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm
 + Chuyển giao: Học sinh làm việc độc lập giải quyết vấn đề sau:
Nội dung
Gợi ý
d
d
Cho hai đường thẳng 1 và 2 lần lượt có phương trình
�x  2t
�
d1 : �y  1  t
x y 1 z  6

�z  2  5t d 2 : 
�
1
4
6
,
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d3 đi qua điểm
M(1;–1;2) và vuông góc với cả d1 và d 2 .
 Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm bài tập
 Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày, các học sinh khác
thảo luận để hoàn thiện lời giải.
Lời giải của bài tập
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học
sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải, từ đó nêu lên một số sai lầm hay gặp của

học sinh. HS viết bài vào vở.
Nội dung
Gợi ý
Tính khoảng cách từ điểm M(4;–3;2) tới
378
x2 y2 z


Đáp số: 14
2
1
đường thẳng d: 3
 Thực hiện: Học sinh suy nghĩ và làm bài tập
 Báo cáo, thảo luận: Chỉ định một học sinh bất kì trình bày, các học sinh khác
thảo luận để hồn thiện lời giải.
 Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học
sinh, giáo viên chuẩn hóa lời giải. HS viết bài vào vở.
IV. Câu hỏi/ bài tập kiểm tra, đánh giá chủ đề theo định hướng phát triển năng lực
1. Mức độ nhận biết


Câu 001.
A.
B.
C.
D.

x 1 y  2 z 1



2
1
1 . Trong các mặt phẳng
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng
dưới đây, tìm một mặt phẳng vng góc với đường thẳng d
4x  2 y  2z  4  0 .
d:

4x  2 y  2z  4  0 .
2x  2 y  2z  4  0 .

4x  2 y  2z  4  0 .

Lời giải
Chọn A
A2.X.T0

Câu 002.
A.
B.
C.
D.

r
u   2;  1;1
d
Đường thẳng có vec tơ chỉ phương là
.
r
n   4;  2; 2 

Mặt phẳng 4 x  2 y  2 z  4  0 có vectơ pháp tuyến
.
2 1 1


r
r
Ta có 4 2 2 nên u cùng phương với n do đó đường thẳng d vng góc với mặt
phẳng 4 x  2 y  2 z  4  0 .
Giả sử mặt phẳng
 Q : 2x  3 y  z  2  0
y  3z  0

 P

chứa trục

. Phương trình của

Ox

 P

và vng góc với mặt phẳng

là.

.
x  3z  0 .
y  3z  0

.
x  3y  0
.
Lời giải
Chọn A

A1.X.T0
Ta có

Câu 003.

�
qua O  0; 0; 0 
r
r r
VTPT n Q   �
n Q  , i �  0; 1; 3
�
�
�
�
.

 P : �
�

Trong không gian với hệ tọa độ vng góc
�x  2  3t
�
d : �y  5  4t , t ��

�z  6  7t
�
. Đi qua điểm.

A.

M  3; 4;7 

B.

M  7; 4;3

C.

M  2;5;6 

D.

.
M  2;5; 6 

Oxyz,

cho đường thẳng

.
.

.
Lời giải

D1.X.T0
Câu 004.

Chọn D
M  2;5; 6 

.

�x  1  2t
�
d : �y  2  3t
�z  3
 t �� . Tọa độ một vectơ
�
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
,


A.
B.
C.
D.

chỉ phương của d là
 2;3;0 

 2;3;3
 1; 2;3
 2;3;0 

Lời giải
A1.X.T0

Câu 005.
A.
B.
C.
D.
A1.X.T0
Câu 006.

A.
B.
C.
D.
C2.X.T0

Câu 007.

A.

Chọn A
Dựa vào hệ số của t trong phương trình tham số của đường thẳng d ta có một vectơ
 2;3; 0  .
chỉ phương là
A  4;1; 0  B  2;  1; 2 
Cho hai điểm
,
. Trong các vectơ sau, tìm một vectơ chỉ phương

của đường thẳng AB .
r
u   1;1;  1
.
r
u   3;0;  1
.
r
u   6;0; 2 
.
r
u   2; 2;0 
.
Lời giải
Chọn A
uuu
r
r
AB   2;  2; 2  � u   1;1;  1
Ta có
.
�x  1  2t
�
d : �y  3  t  t ��
�z  4  t
�
Cho đường thẳng
. Khi đó phương trình chính tắc của d là:
x  2 y 1 z 1



1
3
4
x 1 y  3 z  4


2
1
1
x 1 y  3 z  4


2
1
1
x 2 y 3 z 5


2
1
1
Lời giải
Chọn C
�x  1  2t
�
d : �y  3  t  t ��
r
�z  4  t
M


1;

3;
4

u
�
đi qua điểm
và nhận   2;1; 1 làm vtcp.
x 1 y  3 z  4
d:


2
1
1 .
Vậy

A  1; 2; 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng
 P  : 4 x  3 y  7 z  1  0 . Tìm phương trình của đường thẳng đi qua A và vng góc
 P .
với
x 1 y  2 z  3


8
6

14 .


B.
C.
D.

x 1

4
x 1

3
x 1

4

y2

3
y2

4
y2

3

z 3
7 .
z 3

7 .
z3
7 .

Lời giải
Chọn B
B2.X.T0

Câu 008.
A.
B.
C.
D.

 P
VTPT của

là

r
n   4;3; 7 

.

Đường thẳng cần tìm đi qua A và có VTCP là

r r
a  n   4;3; 7 

.

x 1 y  2 z  3


3
7 .
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng là: 4
A  1; 4; 7 
Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm
và vng góc với mặt
x

2
y

2
z

3

0
phẳng
có phương trình là
x 1

1
x 1

1
x 1


1
x 1

1

y4

2
y4

4
y4

2
y4

2

z 7
2 .
z 7
7 .
z 7
2 .
z 7
2 .

Lời giải
Chọn D
D2.X.T0

Câu 009.

A  1; 4; 7 

và vng góc với mặt phẳng x  2 y  2 z  3  0
x 1 y  4 z  7
r


.
u   1; 2; 2 
2
2
nên có một vectơ chỉ phương
có phương trình là: 1
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  có phương trình tham số
Đường thẳng đi qua điểm

�x  1  t
�
�y  2  2t , t ��.
�z  3  t
�

A.

M  3; 2;5

B.

M  3; 2;5 

Hỏi điểm M nào sau đây thuộc đường thẳng  ?

.

C.

.
M  3; 2; 5 

D.

M  3; 2; 5 

.

.
Lời giải

A1.X.T0

Chọn A

Câu 010.

 d  có phương trình
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
x 1 y  2 z  3



3
2
4 . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng  d  ?

M  3; 2;5 
Ứng với tham số t  2 ta được điểm
.


A.

P  7; 2;1

B.

.
M  1; 2;3 

C.

N  4;0; 1

D.

.
.

Q  2; 4;7 

.

.
Lời giải
Chọn A

A1.X.T0

Thế tọa độ điểm

P  7; 2;1

thuộc đường thẳng

 d .

 d
vào đường thẳng

1
22�
2 nên P  7; 2;1 khơng
ta có:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  có phương trình tham số
�x  1  t
�
Câu 011.
�y  2  2t , t ��.

�z  3  t
�
Hỏi điểm M nào sau đây thuộc đường thẳng  ?
M  3; 2;5
A.
.
M  3; 2;5 
B.
.
M  3; 2; 5 
C.
.
M  3; 2; 5 
D.
.
Lời giải
Chọn
A
A1.X.T0
M  3; 2;5 
Ứng với tham số t  2 ta được điểm
.
2. Mức độ thông hiểu
 P  song song
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng
Câu 012.
x2 y z
x y 1 z  2
d1 :
 

d2 : 

1
1 1,
2
1
1 .
và cách đều 2 đường thẳng
A.
B.
C.
D.
D2.X.T0

 P  : 2x  2z 1  0 .
 P  : 2 y  2 z 1  0 .
 P : 2x  2 y 1  0 .
 P  : 2 y  2z 1  0 .

Lời giải
Chọn D
d1 / /  P  , d 2 / /  P 
 P
Do ur cách đều hai đường thẳng nên
.
uu
r
a   1;1;1
a   2; 1; 1
Gọi 1

là VTCP của d1 , 2
là VTCP của d 2 suy ra
ur uu
r
�
a1 , a2 �
�
�  0;1; 1 là VTPT của mặt phăng  P  loại đáp án B và
C.
d
 d  d 2 , P   � d  M ,  P    d  N ,  P  
M  2; 0;0  �d1 , N  0;1; 2  �d 2
Lấy
do  d1 , P  
thay vào ta
thấy đáp án D thỏa mãn.
Cách khác : Ta có:


r
d1 đi qua điểm A  2; 0;0  và có VTCP u1   1;1;1 .
r
d 2 đi qua điểm B  0;1; 2  và có VTCP u2   2; 1; 1 .
 P  song song với hai đường thẳng d1 và d 2 nên VTPT của  P  là
Vì
r r r
n  [u1 , u2 ]   0;1; 1
.
 P  có dạng y  z  D  0 .
Khi đó

� loại đáp án A và
C.
� 1 �
M�
 P  cách đều d1 và d 2 nên  P  đi qua trung điểm �0; 2 ;1�
�của AB .
Lại có
Do đó
Câu 013.
A.
B.
C.
D.

A1.X.T0

Câu 014.

A.
B.
C.
D.

 P  : 2 y  2z 1  0 .

Trong không gian Oxyz , mặt phẳng chứa trục Oz và vng góc với mặt phẳng
   : x  y  2 z  1  0 có phương trình là
x y 0
x  2y  0
x y 0

x  y 1  0
Lời giải
Chọn A
r
   : x  y  2 z  1  0 có vec tơ pháp tuyến n   1;  1; 2 
Mặt phẳng
r
k
  0;0;1
Trên trục Oz có vec tơ đơn vị
   là mặt phẳng qua O và nhận
Mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng
r r
�
�
n
� ; k �  1;  1;0  làm vec tơ pháp tuyến. Do đó có phương trình
x  y  0 � x  y  0 .
�x  1  t
d :�
�y  2  t
�z  t
A  1;1;0  mp  P 
�
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
và điểm
,
 d  và điểm A có phương trình là.
chứa
x yz 0.

x  z  1  0 .
y  z  2  0.
x  y  0.

Lời giải
Chọn B

B1.X.T0

r

 d  đi qua điểm M  1; 2;0  và có véctơ chỉ phương u  1; 1;1 . Ta có:
Đường
thẳng
uuuu
r
AM   0;1;0 
.
mp  P 
 d  và điểm A nên véctơ pháp tuyến của mp  P  là
Vì
chứa
r
r uuuu
r
�  1; 0;1
n�
u
,

AM
�
�

. Suy ra phương trình tởng qt của
  x  1  0  y  1  z  0 �  x  z  1  0 � x  z  1  0
.

mp  P 

là.


Câu 015.
A.
B.
C.
D.

D1.X.T0

Câu 016.
A.
B.
C.
D.

M  3;0; 0  N  0; 2;0 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
,

và
P  0; 0; 2 
 MNP  có phương trình là
. Mặt phẳng
x y z

  1
3 2 2
.
x y z

 0
3 2 2
.
x y z
 
1
3 2 2
.
x y z

 1
3 2 2
.
Lời giải
Chọn D
x y z
MNP

 có phương trình là 3  2  2  1 .

Mặt phẳng

 P  đi qua hai điểm A  1; 2; 0  , B  2; 3; 1 và
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng
song song với trục Oz có phương trình là.
x  y 1  0 .
x y 3  0.

x z 3 0.
x y3 0.
Lời giải

A1.X.T0

Câu 017.
A.
B.
C.
D.

A1.X.T0

Chọn A
 P  // Oz �  P  : ax  by  d  0 .
a  2b  d  0
�a  2b  d  0
�
��
��
A, B � P 

ab  0
�2a  3b  d  0
�
.
Chọn b  1 ta suy ra a  1 , d  1 .
 P : x  y 1  0 .
Vậy
Cách 2
Thay tọa độ các điểm A , B vào các phương án đã cho. Chỉ có phương án A thỏa mãn.
x 1 y z  1
d:
 
P

2
1
3 và vng góc
Viết phương trình mặt phẳng
chứa đường thẳng
với mặt phẳng
x  2 y 1  0 .

 Q : 2x  y  z  0 .

x  2 y 1  0 .

x  2y  z  0 .
x  2y  z  0 .

Lời giải

Chọn A
r
r
�
n P   u d
�
r r
r
r
�r
�
n

4;

8;
0
Q ; u d �



n
n P   n Q 
P   1; 2;0 
�
�
Ta có
và �
. Nên chọn  
.

P
M
1;0;

1
  đi qua điểm 
 nên phương trình mặt phẳng  P  là
Vì mặt phẳng
x  2 y 1  0 .


 S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 . Viết
 S  theo một đường trịn có bán kính
và cắt

Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu
Câu 018.
A.
B.
C.
D.

phương trình mặt phẳng
bằng 3 .
   : x  2y  0 .
  : 2y  z  0 .
   : y  2z  0 .
   : y  2z  0 .



chứa Ox

Lời giải
Chọn D

 S  có tâm I (1; 2; 1) và bán kính R  3 .
   cắt  S  theo một đường trịn có bán kính bằng 3 thì    đi qua tâm I
Mặt phẳng
   chứa trục Ox nên vectơ pháp tuyến của    là.
của mặt cầu. Mặt khác mặt phẳng
Mặt cầu

D1.X.T0

uur uur r
n  �
OI , i �
�
�  0; 1; 2 

.

Phương trình mặt phẳng

Câu 019.

A.
B.
C.

D.

B2.X.T0

Câu 020.
A.



là

  y  2   2  z  1  0 �  y  2 z  0 � y  2 z  0

.

 S  có phương trình là
Trong khơng gian Oxyz
cho mặt cầu
( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  11  0 và cho mặt phẳng  P  có phương trình là
 P  : 2 x  2 y  z  18  0 . Mặt phẳng  Q  song song với mặt phẳng  P  đồng thời  Q 
 S  ,  Q  có phương trình là:
tiếp xúc với mặt cầu
 Q  : 2 x  2 y  z  22  0 .
 Q  : 2 x  2 y  z  12  0 .
 Q  : 2 x  2 y  z  28  0 .
 Q  : 2 x  2 y  z  18  0 .
Lời giải
Chọn B
 S  có tâm I (1; 2;3) có bán kính R  5 .
mặt cầu

 Q  song song với mặt phẳng  P  nên  Q  có phương trình là
Mặt phẳng
 Q  : 2 x  2 y  z  D  0; D �18 .
 Q  tiếp xúc với mặt cầu  S  nên d ( I , (Q))  R .
Mặt phẳng
D  18
2.1  2.2  1.3  D
�
�
 5 � 3  D  15 � �
2
D  12
�
22  22   1
.
 Q  là
Kết hợp với điều kiện ta có phương trình của mặt phẳng
 Q  : 2 x  2 y  z  12  0 .
 S  : x2  y 2  z 2 – 2 x – 4 y – 6z  5  0
Hai mặt phẳng nào sau đây tiếp xúc với mặt cầu
 P : x – 2 y  2z – 6  0 ?
và song song với mặt phẳng
x  2 y  2 z – 6  0 và x  2 y – 2 z  6  0 .


B.
C.
D.

x – 2 y  2 z  10  0 và x – 2 y  2 z –10  0 .

x – 2 y  2 z  6  0 và x – 2 y  2 z –12  0 .
x – 2 y  2 z  6  0   và x – 2 y  2 z – 6  0 .

Lời giải

C2.X.T0

Câu 021.
A.
B.
C.
D.

D1.X.T0

Chọn C
 S  có tâm I  1; 2;3 và bán kính R  3 .
 Q  song song với  P  nên  Q  : x  2 y  2 z  m  0, m �6 .
m6
�
d  I, Q   R � �
 Q  tiếp xúc  S  khi và chỉ khi
m  12 .
�

 P  : x  y  2 z  5  0 và các điểm A  1; 2;3 ,
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
B  1;1;  2 
C  3;3; 2 
M  x0 ; y0 ; z0 

 P  sao cho
,
. Gọi
là điểm thuộc
MA  MB  MC . Tính x0  y0  z0 .
6
4
7
5
Lời giải
Chọn D
�M � P 
�x0  y0  2 z0  5  0
�x0  9
�
�
�
4 x0  2 y0  10 z0  8  0 � �y0  14
�MA  MB � �
�MA  MC
�
�z  0 � x  y  z  9  14  0  5
4 x0  2 y0  2 z0  8  0
�
�
�0
0
0
0
.

A.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 2 x  2 y  z  4  0 và
x2 y2 z2
d:


1
2
1 . Tam giác ABC có A( 1; 2;1) , các điểm B , C
đường thẳng
   và trọng tâm G nằm trên đường thẳng d . Tọa độ trung điểm M của
nằm trên
BC là.
M (0;1; 2) .

B.

M (2;1; 2) .

Câu 022.

C.
D.
D1.X.T0

M (1; 1; 4) .

M (2; 1; 2) .

Lời giải
Chọn D
G �d � G  2  t ; 2  2t; 2  t 
Vì
.
B  x1 ; y1 ; z1  C  x2 ; y2 ; z2 
Giả sử
,
.
�x1  x2  1
 2t
� 3
�x1  x2  3t  7
�
�y1  y2  2
�
 2  2t � �y1  y2  6t  4
�
� 3
�
�z1  z 2  3t  7
�z1  z2  1
 2  t
� 3
�
G
ABC
Vì
là trọng tâm

nên ta có:
.
3
t

7
6
t

4

3
t

7
�
�
M�
;
;
�
2
2
2
�
�.
Vậy trung điểm của đoạn BC là


Câu 023.

A.
B.
C.
D.

B4.X.T0

Câu 024.
A.
B.
C.
D.
D1.X.T0

Câu 025.
A.
B.
C.
D.
A2.X.T0

   nên M �   � t  1 � M  2; 1; 2  .
Do B , C nằm trên
�x  1  t
�x  1  2t �
�
�
d : �y  2  t
d�

: �y  1  2t �
�z  3  t
�z  2  2t �
�
�
Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
và
. Mệnh
đề nào sau đây đúng?
Hai đường thẳng d và d �chéo nhau.
Hai đường thẳng d và d �song song với nhau.
Hai đường thẳng d và d �cắt nhau.
Hai đường thẳng d và d �trùng nhau.
Lời giải
Chọn B
ur
u
  1;1; 1 .
Đường thẳng d có VTCP 1
uu
r
u
  2; 2; 2  .
Đường thẳng d �có VTCP 2
uu
r
uu
r
u  2.u1
Ta có 2

nên đường thẳng d và d �song song hoặc trùng nhau.
M  1; 2;3
Chọn điểm
thuộc đường thẳng d , thay tọa độ điểm M vào phương trình
1  1  2t �
�
�
d�
: �2  1  2t �
�
3  2  2t �
�
đường thẳng d �
, ta có
vơ nghiệm, vậy M khơng thuộc đường thẳng
d �nên 2 đường thẳng song song nhau.
A  1; 2; 1 B  3;1; 2  C  2;3; 3
Trong không gian tọa độ Oxyz cho
,
,
và G là trọng
tâm tam giác ABC . Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng OG .
r
u   1; 2; 2 
.
r
u   1; 2; 1
.
r
u   2;1; 2 

.
r
u   2; 2; 2 
.
Lời giải
Chọn D
uuur
OG
 2; 2; 2  .
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
A  2; 1; 2 
Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng  đi qua
và nhận
r
u  1; 2; 1
làm vecto chỉ phương có phương trình chính tắc là :
x  2 y 1 z  2
:


1
2
1 .
x 1 y  2 z 1
:


2
1

2 .
x  2 y 1 z  2
:


1
2
1 .
x 1 y  2 z 1
:


2
1
2 .
Lời giải
Chọn A


Đường thẳng  đi qua

r
u  1; 2; 1

A  2; 1; 2 

và nhận
x  2 y 1 z  2
:



1
2
1 .
phương trình chính tắc là :
Câu 026.

A.
B.
C.
D.

C1.X.T0

Câu 027.

A.

B.

C.

D.
D4.X.T0

Trong không gian
 Q  : x  3 y  2z  1  0

Oxyz ,

cho

mặt

phẳng

làm vecto chỉ phương có

 P  : 2 x  3 y  2z  2  0

và

. Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song
 P  ,  Q  là
với hai mặt phẳng
x y
z
 
12 2 9 .
x
y
z


9 12 2 .
x
y
z



12 2 9 .
x y
z


9 12 2 .
Lời giải
Chọn C
r
r
 P  có VTPT n   2;3; 2  ,  Q  có VTPT n�  1; 3; 2  .
 P  ,  Q  nên
Do đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với hai mặt phẳng
r r r
u   n , n�
   12; 2; 9  .
đường thẳng có VTCP
x
y
z


Vậy phương trình đường thẳng là 12 2 9 .

A  2;1; 0  , B  1;1;3  , C  5; 2;1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
. Tìm
tất cả các điểm cách đều ba điểm A, B, C .
Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm A, B, C là đường thẳng
3

y
3 x
2  z2

3
10
1 .
Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm A, B, C là đường thẳng
3
y
x 3
2  2 z

3
10
1 .
Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm A, B, C là đường thẳng
3
x 3
2  z2

3
10
1 .
y

Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm A, B, C là đường thẳng
3
y
x 3

2  z2

3
10
1 .
Lời giải
Chọn
D
uuur
uuur
AB   1;0;3 , AC   3;1;1 .
.


Câu 028.

A.
B.
C.
D.

A2.X.T0

Câu 029.

A.

B.

uuu

r uuur
AB
. AC  0 suy ra tam giác ABC vuông tại A , suy ra tất cả các điểm cách đều
Khi đó
�3 �
I�
3; ; 2 �
ABC 

A
,
B
,
C
2 �
�
ba điểm
nằm trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng
tại
r
uuur uuur
u�
AB, BC �
�
�  3;10; 1 .
(với I là trung điểm cạnh BC ). VTCP của đường thẳng
3
y
x 3
2  z2


10
1 .
Suy ra phương trình của đường thẳng là 3
M  2;1;0 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và đường thẳng d có
x 1 y  1 z
d:


2
1
1 . Phương trình của đường thẳng  đi qua điểm M ,
phương trình
cắt và vng góc với đường thẳng d là:
x  2 y 1 z


1
4
2 .
x  2 y 1 z


1
4
2.
x  2 y 1 z



1
3
2.
x  2  y 1 z


3
4
2 .
Lời giải
Chọn A
r
u
d có VTCP   2;1; 1 .
uuur
A  1  2a; 1  a;  a 
MA   2a  1; a  2;  a 
A


�
d
Gọi
. Suy ra
và
.
2
uuur r
uuur r

� 2  2a  1  a  2  a  0 � a 
3.
Ta có   d nên MA  u � MA.u  0
uuur �1 4 2 �
ur
MA  � ;  ;  �
�
M
2;1;0
u
  1; 4; 2 


3
3
3
�
�
Do đó,  qua
có VTCP
, chọn
là VTCP
x  2 y 1 z


4
2 .
của  nên phương trình của đường thẳng  là: 1
M  1; 2; 2 
Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm

, song song với mặt
x 1 y  2 z  3
 P  : x  y  z  3  0 đồng thời cắt đường thẳng d : 1  1  1 có
phẳng
phương trình là
�x  1  t
�
�y  2  t
�z  2
�
.
�x  1  t
�
�y  2  t
�z  3  t
�
.


C.

�x  1  t
�
�y  2  t
�z  3
�
.

D.

�x  1  t
�
�y  2  t
�z  3
�

.
Lời giải

Chọn A

A1.X.T0

Câu 030.

A.
B.
C.
D.
C2.X.T0

d � I �d � I  1  t; 2  t;3  t  .
Gọi đường thẳng cần tìm là  . Gọi I   �
u
u
u
rr
uuu
r
MI .n P   0 � t  t   1  t   0 � t  1

MI //  P 
MI   t ; t ;1  t 
mà
nên
uuu
r
� MI   1; 1;0 
uuu
r
M
1;
2;
2
MI
  1; 1;0 


Đường thẳng  đi qua
và I có véctơ chỉ phương là
có
�x  1  t
�
�y  2  t
�z  2
phương trình tham số là �
.
M  0;  1; 2 
Trong không gian với hệ tọa độ Descartes Oxyz , cho điểm
và hai đường
x 1 y  2 z  3

x 1 y  4 z  2
d1 :


d2 :


1
1
2 ,
2
1
4 . Phương trình đường thẳng đi
thẳng
qua M , cắt cả d1 và d 2 là
x
y 1 z  3


9
9
8

2
2
.
x y 1 z  2


3

3
4 .
x y 1 z  2


9
9
16 .
x
y 1 z  2


9
9
16 .

Lời giải
Chọn C
Gọi  là đường thẳng cần tìm.
 �d1  A  t1  1;  t1  2; 2t1  3  �d 2  B  2t2  1;  t2  4; 4t2  2 
.
uuur
uuur ;
MA   t1  1;  t1  1; 2t1  1 MB   2t2  1;  t2  5; 4t2 
;
.
M , A, B
Ta
có:
thẳng

� 7
t1 
�
2
t1  1  k  2t2  1
�
�
� 7
uuur
uuur
�
t 
1
�
�
� MA  k MB � �
t1  1  k  t2  5  � �
k   � �1 2
2 �
�
�
t2  4
�
2
t

1

4
kt

1
2
�
kt2  2
�
�
�
.
uuur
� MB   9; 9;  16 
.

hàng


Đường thẳng  đi qua
x y 1 z  2
: 

9
9
16 .

Câu 031.

A.
B.
C.
D.

A1.X.T0

M  0; 1; 2 

, một VTCP là

r
u   9;  9;16 

có phương trình là:

M  0; 2; 0 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và đường thẳng
�x  4  3t
�
d : �y  2  t
�z  1  t
�
. Đường thẳng đi qua M , cắt và vuông góc với d có phương trình là
x
y2 z


1
1
2
x 1 y
z



1
1  2
x 1 y 1 z


1
1
2
x
y z 1
 
1 1
2
Lời giải
Chọn A
�
qua N  4; 2; 1
�
d : � uu
r
vtcp
u
d   3;1;1
Ta có : �
uuuur uu
r
�MH  d � �MH .ud  0
��
�

�H �d
�H �d
Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên d
�x  4  3t
�y  2  t
�
��
�z  1  t
�
3 x  y  2  z  0 � H  1;1;  2  .
�
Đường
thẳng  đi qua M và vng góc với d có véctơ chỉ phương là
uuuur
MH   1;  1;  2 
.
x
y2 z
: 

1
1
2.
Phương trình

Câu 032.

A.

B.

C.

Cho

A  1; 3; 2 

 P  : 2 x  y  3z  1  0 .
A , vng góc với  P  .

và mặt phẳng

đường thẳng d đi qua
�x  2  t
�
�y  1  3t
�z  3  2t
�
.
�x  1  2t
�
�y  3  t
�z  2  3t
�
.
�x  1  2t
�
�y  3  t
�z  2  3t
�

.

Viết phương trình tham số


D.

�x  1  2t
�
�y  3  t
�z  2  3t
�
.
Lời giải
Chọn C

C1.X.T0

Câu 033.

A.

r
P
a
  2; 1;3


d
d

* Vì đi qua A , vng góc với
nên có một vectơ chỉ phương là
.
�x  1  2t
�
�y  3  t
�z  2  3t
* Vậy phương trình tham số của d là �
.
x  2 y  3 z 1
d:


Oxyz
1
1
1 và mặt phẳng
Trong không gian
, cho đường thẳng

 P  : x  2 y  2 z  3  0 . Phương trình đường thẳng

với d là.
�x  1  4t
�
�y  4  3t
�z  2  t
�
.

B.

�x  1  4t
�
�y  4  3t
�z  2  t
�
.

C.

�x  1  4t
�
�y  4  3t
�z  2  t
�
.

D.

�x  2  4t
�
�y  3  3t
�z  1  t
�
.

A1.X.T0

a nằm trong  P  , cắt và vng góc

Lời giải
Chọn A
�x  2  t
�
d : �y  3  t
r
�z  1  t
u  1; 1;  1
 P  có vectơ pháp tuyến
�
có vectơ chỉ phương
.Mặt phẳng
r
n  1; 2; 2 
.
r
r r
�
�
v

u
�; n �  4;  3; 1 .
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d :
 P  là :
Tọa độ giao điểm của d và
t  1
�x  2  t
�

�y  3  t
�x  1
�
�
��
�
�z  1  t
�y  4
�
�
�x  2 y  2 z  3  0
�z  2 .


�x  1  4t
�
�y  4  3t
�z  2  t
Đường thẳng d cần tìm là : �
.

Câu 034.

A.
B.
C.
D.

C1.X.T0

   là mặt phẳng chứa đường thẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi
x  2 y 1 z
:


1
1
2 và vng góc với mặt phẳng    : x  y  2 z  1  0 . Khi đó giao
tuyến của hai mặt phẳng
x  2 y 1 z


1
5
2.
x  2 y 1 z


1
5
2.
x y 1 z


1
1
1 .
x y  1 z 1



1
1
1 .

 ,   

có phương trình

Lời giải
Chọn C
x  2 y 1 z
r
:


M
2;1;0
vtcp
:
u
  1;1;  2 


1
1
2 đi qua
và có
.
r

   : x  y  2 z  1  0 có vtpt : n   1;1; 2  .
�đi qua M
r r
   :�
� �
vtpt �
u, n�
�  4;  4;0   4  1;  1; 0  .
�
   : x  2    y  1  0 � x  y  1  0 .
Phương trình
Gọi

 d

   ,    . Ta có:

là giao tuyến của hai mặt phẳng
đi qua N  0;  1;0 
�
�
 d  : � �r uur�
vtcp n, n  2; 2;  2   2  1;1;  1
�
� � � 
.
x y 1 z

 d : 
1

1
1 .
Phương trình

Câu 035.

A.
B.
C.

�x  1  t
�
d : �y  0
�z  5  t
�
Trong khơng gian Oxyz , đường vng góc chung của hai đường thẳng
�x  0
�
d�
: �y  4  2t �
�z  5  3t �
�
và
có phương trình là
x4 y z2
 
1
3
1 .
x4 y z2



2
3
2 .
x4 y z2
 
2
3
2 .


D.

x4 y z2
 
2
3
2 .

Lời giải

D2.X.T0

Câu 036.

A.

B.

C.

D.

B1.X.T0

Chọn D
d
d �với A �d , B �d �
AB
Giả sửuu
.
r là đườnguurvng góc chung của và
u   1; 0;1 ud �  0; 2;3
Ta có d
,
,
uuu
r
�
�A  a  1;0; a  5
� BA   a  1; 2b  4; a  3b  10 
�
�B  0; 4  2b;3b  5 
.
uu
r uuu
r
�
�

ud .BA  0
 a  1   a  3b  10   0
d  AB
a3
�
�
�
�
� �uur uuu
��
��
r
�
d�
 AB
b  1
ud �.BA  0
�
�
�2  2b  4   3  a  3b  10   0
Khi đó �
uuu
r
r
�
�A  4;0; 2 
��
� BA   4; 6; 4  � u   2;3; 2 
�B  0;6; 2 
là một VTCP của AB .

x4 y z2
� AB :
 
A
4;0;

2


2
3
2 .
Kết hợp với AB qua
x  2 y  3 z 1
d:


1
2
3 . Viết
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
 Oyz  .
phương trình đường thẳng d �là hình chiếu vng góc của d lên mặt phẳng
�x  2  t
�
d�
: �y  3  2t
�z  0
�
.

�x  0
�
d�
: �y  3  2t
�z  1  3t
�
.
�x  t
�
d�
: �y  2t
�z  0
�
.
�x  0
�
d�
: �y  3  2t
�z  0
�
.
Lời giải
Chọn B
uu
rr
d � Oyz  � ud .i  0 �
Do
loại đáp án A,
B.
d � Oyz   M  0; 7; 5  � M �d �

�
Lại có
đáp án
C.

3. Mức độ vận dụng
Câu 037.
Trong

không

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz cho

mặt
cầu
x  2 y  3 z 1
 S  : x 2  y 2  z 2  6 x  4 y  2 z  5  0 và đường thẳng d : 1  1  5 . Viết


A.

B.
C.
D.

phương trình mặt phẳng
 S .
 P  : 3x  2 y  z  6  0 .
 P  : 3x  2 y  z  6  0 .
 P  : x  y  5z  4  0 .
 P  : x  y  5z  4  0 .

 P

vng góc với đường thẳng d và đi qua tâm của mặt cầu

Lời giải
Chọn D

�I  3;  2;1
�
S
R3

Ta có: mặt cầu
có �
.

D2.X.T0

r

u
 1;1;  5  .
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là:
r
P
u

 1;1;  5  làm véc tơ pháp tuyến, và đi
Mặt phẳng
vng góc với d nên có nhận
I  3;  2;1
qua tâm
.
 P  là: x  3  y  2  5  z  1  0 � x  y  5 z  4  0 .
Vậy phương trình mặt phẳng
Oxyz ,
Trong
khơng
gian
với
hệ
tọa
độ
cho
mặt
cầu
2

Câu 038.

A.
B.
C.
D.

:

 S  :  x  1   y  2    z  3  9
2

2

x6 y2 z 2


.
3
2
2
Phương

và đường thẳng
 P  đi qua điểm M  4;3; 4  song song với đường thẳng  và tiếp xúc
trình mặt phẳng
 S  là:
với mặt cầu
x  2 y  2z 1  0 .
2 x  2 y  z  18  0 .

2 x  y  2 z  10  0 .

2 x  y  2 z  19  0 .

Lời giải
Chọn D

r

 P  là n   a; b; c  , a 2  b2  c 2  0 .
Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
 P  : a  x  4   b  y  3  c  z  4   0 .
Phương trình mặt phẳng
 P  //  nên 3a  2b  2c  0 � 3a  2  b  c 
Do
3a  b  c

D2.X.T0

 P
 S
a 2  b2  c2
Mặt
phẳng
tiếp
xúc
với
nên
2
� 9 a 2  b2  c 2   3a  b  c   *
.
3a  2  a  b 

Thay
vào (*) ta được:
2
2
2
2
4  b  c   9 b  c  9  b  c  � 2b 2  5bc  2c 2  0 �  2b  c   b  2c   0









�  P  : 2 x  y  2 z  19  0
TH1: 2b  c  0 , chọn b  1 ; c  2 � a  2
(thỏa).
 P  : 2 x  2 y  z  18  0 (loại do
TH2: b  2c  0 , chọn c  1 ; b  2 � a  2 �
 � P 
).

3


Câu 039.

A.

B.
C.
D.

�x  3  t
�
d1 : �y  2  t
�z  1  2t
�
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
, gọi d 2 là giao
 P  : x  y  2 z  0 và  Q  : x  2 y  z  3  0 . Viết phương
tuyến của hai mặt phẳng
   chứa d1 và song song với d 2 .
trình mặt phẳng

   :19 x  13 y  3z  80  0 .
   :19 x  13 y  3z  80  0 .
   :19 x  13 y  3z  28  0 .
   :19 x  13 y  3z  28  0 .

Lời giải
Chọn C
C2.X.T0

Câu 040.

ur
uu
r

u1   1; 1; 2  , u2   5;8;3

d
,
d
1
2
Đường thẳnguuur urcó u
VTPT
lần lượt là
. Mặt phẳng
u
r
n  u1 �u2   19; 13;3
   :19 x  13 y  3z  28  0 .
có VTPT là   
. PTMP
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm

A  1;1;1 , B  2;0;2  C  1; 1;0  , D  0;3; 4 
,
. Trên các cạnh AB, AC , AD lần lượt lấy
AB AC AD


4
các điểm B ', C ', D ' thỏa: AB ' AC ' AD '
. Viết phương trình mặt phẳng

 B ' C ' D '

A.
B.
C.
D.

biết tứ diện AB ' C ' D ' có thể tích nhỏ nhất?
16 x  40 y  44 z  39  0 .
16 x  40 y  44 z  39  0 .
16 x  40 y  44 z  39  0 .

16 x  40 y  44 z  39  0 .

Lời giải
Chọn A

AB AC AD
AB. AC. AD


�3 3
AB ' AC ' AD '
AB '. AC '. AD '
Áp dụng bất đẳng thức AM  GM ta có:
VAB 'C ' D ' AB '. AC '. AD ' 27
AB '. AC '. AD ' 27
27

�


VAB 'C ' D '  VABCD
AB. AC. AD
64
AB. AC. AD
64 � VABCD
64
AB ' AC ' AD ' 3



V
AC
AD 4
Để AB 'C ' D ' nhỏ nhất khi và chỉ khi AB
uuuu
r 3 uuu
r
�7 1 7 �
� AB '  AB � B ' � ; ; �
4
�4 4 4 �
�7 1 7 �
B '� ; ; �
B
'
C
'
D
'
BCD


 song song với mặt phẳng 
 và đi qua �4 4 4 �
Lúc đó mặt phẳng
4

A2.X.T0

�  B ' C ' D '  :16 x  40 y  44 z  39  0

Câu 041.
A.

.

   đi qua điểm M  1; 2;3 và
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng
cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực
   có phương trình là
tâm tam giác ABC . Mặt phẳng
x  2 y  3 z  14  0 .


B.
C.
D.

x y z
  1  0
1 2 3

.
3 x  2 y  z  10  0 .
x  2 y  3z  14  0 .

Lời giải
Chọn A

Cách 1:Gọi H là hình chiếu vng góc của C trên AB , K là hình chiếu vng góc B
trên AC . M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M  BK �CH
AB  CH �
�� AB   COH  � AB  OM (1)
Ta có: AB  CO �
(1)
A2.X.T0

Chứng minh tương tự, ta có: AC  OM (2).
OM   ABC 
Từ (1) và
(2),
uuuu
r ta có:
OM   1; 2;3 
Ta có:
.
uuuu
r

M  1; 2;3
OM   1; 2;3


Mặt phẳng
đi qua điểm
và có một VTPT là
nên có phương
 x  1  2  y  2   3  z  3  0 � x  2 y  3z  14  0 .
trình là
Cách 2:
+) Do A, B, C lần lượt thuộc các trục Ox, Oy, Oz nên A(a; 0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) (
a, b, c �0 ).

x y z
  1
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng ( ABC ) là a b c
.
uuuu
r uuur
�AM .BC  0
r uuur
�
�uuuu
BM
� . AC  0
�M �( ABC )
+) Do M là trực tâm tam giác ABC nên �
. Giải hệ điều kiện trên ta được
a , b, c
Vậy phương trình mặt phẳng: x  2 y  3z  14  0 .

Câu 042.

A.
B.
C.

A  a ;0;0  B  0; b ;0  C  0;0; c 
Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
,
với a, b, c là
2
2
2
các số thực dương thay đổi tùy ý sao cho a  b  c  1 . Khoảng cách từ O đến mặt
 ABC  lớn nhất là
phẳng
1
3.
1.
1
3.