Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán 8 tại trường THCS chu văn an nga sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA

PHỊNG GD & ĐT NGA SƠN
--------------------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG
DỤNG TRONG DẠY HỌC TOÁN 8 TẠI TRƯỜNG
THCS CHU VĂN AN HUYỆN NGA SƠN

Người thực hiện: Mai Văn Trường
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vi công tác: Trường THCS Chu Văn An
SKKN thuộc lĩnh vực ( mơn ): Tốn

1


THANH HĨA NĂM 2021

MỤC LỤC
1. Mở
đầu……………………………………………………………………….
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………………………....

1

1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………….

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………………….

2

1.4. Phương pháp nghiên
cứu…………………………………………………
1.5. Những điểm mới của SKKN……………………………………...........

2

2. Giải quyết vấn đề………………………………………………………….

2

2.1. Cơ sỏ lí luận của
SKKN………………………………………………….
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN…………………............

2

2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện………………………………………….

3

2.4. Hiệu quả của
SKKN………………………………………………………
3. Kết luận, kiến nghị………………………………………………………...

18

3.1. Kết luận…………………………………………………………………….

19

3.2. Kiến
nghị…………………………………………………………………...

19

1

2

3

19

2


1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình THCS, mơn tốn chiếm một vai trị rất quan trọng. Với
đặc thù là một mơn khoa học tự nhiên, tốn học không chỉ giúp học sinh phát
triển năng lực tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tịi khám phá tri thức, và khả
năng vận dụng những kiến thức, hiểu biết của mình vào thực tiễn cuộc sống. Mà
tốn học cịn là mơn khoa học cơng cụ giúp các em học tốt các mơn học khác và
góp phần phát triển năng lực cho học sinh một cách tồn diện.
Chính vì thế việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê tốn học, giúp các

em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức cũng như kèm
cặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém trong học toán là một yêu cầu tất yếu đối với
giáo viên dạy toán. Nhất là đất nước ta đang trong thới kỳ hội nhập, thời kỳ cơng
nghiệp hố, hiện đại hố, rất cần những con người năng động, sáng tạo có hiểu
biết, có tri thức...
Trong q trình dạy tốn 8 tơi nhận thấy khi biến đổi đồng nhất các biểu
thức hữu tỷ, chứng minh chia hết, giải phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên
của phương trình, chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình… có nhiều
bài tốn phải biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy giáo viên cần phải
cung cấp cho các em một cách hệ thống các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử vì nó là cơng cụ giải tốn rất hữu hiệu, giải quyết đa số các dạng
tốn trong chương trình mơn tốn lớp 8 và là cơ sở cho các em học tiếp ở các
lớp trên.
Chính vì vậy mà tơi chọn đề tài này:
“ Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng trong dạy học toán lớp 8
tại trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp giáo viên và học sinh hiểu rõ hơn vai trị đặc biệt quan trọng của việc
phân tích đa thức thành nhân tử trong dạy học toán 8.
- Học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử từ dễ đến khó.
- Học sinh vận dụng thành thạo, có hiệu quả việc phân tích đa thức thành nhân
tử để giải một số bài tập liên quan.
3


1.3. Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp phân tích thành nhân tử và các
dạng bài tập ứng dụng phương pháp phân tích thành nhân tử cho đối tượng học
sinh lớp 8 trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn tỉnh Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu. Khi nghiên cứu đề tài này tôi đã sử dụng các

phương pháp: Khảo sát thống kê, kiểm tra đánh giá. thu thập thông tin số liệu, từ
đó xây dựng cơ sở lí thuyết vững chắc và kết hợp nhuần nhiễn các phương pháp
dạy học như: Nêu và giải quyết vấn đề, Vấn đáp gợi mở, Phân tích tổng hợp, …
trong q trình sử dụng sáng kiến.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm. Ngồi việc sáng kiến kinh
nghiệm rất có hiệu quả trong giảng dạy học sinh đại trà, Sáng kiến còn là nguồn
tài liệu rất hữu ích cho các thầy cơ giáo và học sinh tham khảo trong công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp.
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
- Phân tích đa thức thành nhân tử, là một trong những chuyên đề tốn học
quan trọng có liên quan đến rất nhiều các chuyên đề Đại số lớp 8 và các lớp học
sau này.
- Kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kĩ năng biến
đổi đầu tiên của chương trình đại số.
- Để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta không chỉ sử dụng một
phương pháp mà ta có thể phối hợp sử dụng nhiều phương pháp khác nhau.
- Đặc biệt trong dạy học toán theo chương trình đổi mới thì việc dạy học
theo phương pháp tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, học sinh được
tiếp cận kiến thức một cách chủ động sáng tạo, từ những bài toán cụ thể, các
phương pháp giải cụ thể, sẽ giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản một cách
chắc chắn, và tạo ra sự hứng thú, say mê học tập tìm tịi nghiên cứu các bài tập
nâng cao.
- Dạy học hướng dẫn học sinh “ Phân tích đa thức thành nhân tử và
ứng dụng trong dạy học tốn lớp 8” khơng chỉ phát huy tính năng động sáng
tạo cho học sinh mà nó còn phát huy được khả năng liên hệ kiến thức cũ và mới
cho học sinh. Bên cạnh đó nó cịn có tác động tích cực đến khả năng vận dụng
kiến thức đã học vào thực tế đời sống hàng ngày. Từ đó giúp các em tiến bộ hơn,
thành đạt hơn trong học tập, cũng như trong đời sống, để các em có thể hồn
thành ước mơ, hồi bão của mình trong đời sống, và kế thừa sự nghiệp của đất

nước, tiếp thu vận dụng sáng tạo nền văn minh của nhân loại.
4


2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1. Đối với giáo viên: Có thể nói phân tích đa thức thành nhân tử là cơ sở để
các em có thể biến đổi, rút gọn các biểu thức đại số và đây là một trong những
kỹ năng quan trọng trong học đại số. Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy có nhiều
giáo viên chưa thực sự chú trọng đến vấn đề này, mà lúc nào cũng yêu cầu học
sinh phải rút gọn thành thạo các biểu thức đại số. Trong khi đó: Để rút gọn được
biểu thức đại số, thì học sinh phải biết cộng trừ các phân thức đại số ⇒ phải biết
quy đồng mẫu các phân thức ⇒ phải biết tìm mẫu chung ⇒ phải biết phân tích
các mẫu thức thành nhân tử.
2.2.2. Đối với học sinh:
- Trong thực tế hiện nay mức độ biến đổi tính tốn của các em là rất hạn chế
- Trong cấu trúc các đề kiểm tra, đề thi vào lớp 10 THPT, đề thi học sinh giỏi
THCS ln có phần kiểm tra kĩ năng tính tốn, rút gọn biểu thức.
- Có thể áp dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để giải một số dạng toán
nâng cao rất hiệu quả trong dạy bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Khảo sát học sinh về phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng tại hai lớp
8A và 8B trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn năm học 2019 – 2020 kết
quả phản ánh như sau:
Lớp
8A
8B

Số HS kiểm
tra
30
30

Số bài đạt yêu cầu

Số bài chưa đạt yêu cầu

25
23

5
7

2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
- Trang bị cho học sinh một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử.
- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử.
- Phát huy khả năng suy luận, phán đốn và tính linh hoạt của học sinh.
- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải tốn để
từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.

5


- Thấy được tầm quan trọng của ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong
giải tốn.
2.3. 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó
thành tích của những đa thức.
2.3.1.1. Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 4x2 – 12x = 4x(x – 3)

b. 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
= 2(x – y)(5x +4y)
Chú ý:
- GV cần nhấn mạnh cách xác định nhân tử chung cho học sinh.
- Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.
2.3.1.2. Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a. 4x2 - 12x + 9

c. 16x2 - 9(x + y)2

b. 27 - 27x + 9x2 - x3

d. 1 - 27x3y6
Giải

a. 4x2 - 12x + 9 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = (2x - 3)2
b. 27 - 27x + 9x2 - x3 = 33 - 3.32x + 3.3x2 - x3 = (3 -x)3
c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2
= (x - 3y)(7x + y)
d. 1 - 27x3y6 = 13 - (3xy2)3 = (1- 3xy2)(1 + 3xy2 + 9x2y4)
Chú ý:
- Nắm vững hằng đẳng thức.
6


- Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn:
- x4y2 - 8x2y - 16 = - (x4y2 + 8x2y + 16) = - (x2y + 4)2
2.3.1.3. Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2)
b. ax + x + a + 1 = (ax + x) + (a + 1) = x(a + 1) + (a + 1)
= (a + 1)(x + 1)
c. x2 + 2x + 1 - y2 = (x2 + 2x + 1) - y2
= (x + 1)2 - y2 = (x + y +1)(x - y + 1)
Chú ý:
- Thông thường mỗi nhóm phải xuất hiện nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức
- Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm khác nhau.
Chẳng hạn ở ví dụ b ta có thể nhóm bằng cách khác như sau:
ax + x + a + 1 = (ax + a) + (x + 1) = a(x + 1) + (x + 1)
= (x + 1)(a + 1)
- Nếu đa thức có nhân tử chung thì nên đặt nhân tử chung trước khi nhóm.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
5x5y2 - 10x4y2 - 5x3y4 - 10x3y3z - 5x3y2z2 + 5x3y2
= 5x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)
= 5x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] = 5x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2]
= 5x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)

7


2.3.1.4. Phương pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Đối với cách này để tách một cách nhanh chóng ta thường dựa vào nghiệm
của đa thức.
Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức
- Định nghĩa nghiệm của đa thức
Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0, như vậy nếu đa thức f(x)
có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a.
Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau:

- Định lý 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x = 1 là nghiệm của
đa thức.
- Định lý 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng
các hệ số của luỹ thừa bậc lẻ thì - 1 là nghiệm của đa thức.
- Định lý 3: Nếu đa thức f(x) với các hệ số ngun có nghiệm ngun thì nghiệm
ngun đó sẽ là ước của hệ số tự do.
- Định lý 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ
p

x = q thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
* Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do, không là nghiệm
của đa thức có thể dùng nhận xét sau:
Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì
đều là số nguyên.

f (1)
f (−1)
và
a −1
a +1

Phân tích đa thức bậc hai: F(x) = ax2 + bx + c
* Cách 1: Tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho: b1.b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích a.c
Bước 2: Tìm hai số ngun có tích bằng a.c mà có tổng bằng b
Ví dụ: Phân tích đa thức:

x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 = (x2 – x) - (2x – 2)
8

= x(x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2)
Nhưng trong thực tế không phải lúc nào cũng sử dụng được cách 1. Chính vì thế
ta có cách sau.
* Cách 2: Biến đổi tam thức như sau.
b
c
b
c
b2
b2
2
F(x) = ax + bx + c = a(x + x + ) = a(x + 2 x + 2 - 2 + )
a
a
2a
a
4a
4a
2

= a(x +

2

b 2
4ac − b 2
) +
2a

4a

- Nếu b2 – 4ac < 0 thì F(x) khơng phân tích được.
- Nếu b2 – 4ac > 0 thì F(x) sẽ phân tích được thành hai đa thức bậc nhất.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1
= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4)
* Chú ý: Đa thức thuần nhất ax2 + bxy + cy2 khi phân tích thành nhân tử ta
cũng làm tương tự như đa thức bậc hai một biến.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2
Cách 1:

4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 = 4x(x - y) - 3y(x - y)
= (x - y)(4x - 3y)

Cách 2:

4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2
= 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)
= 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)

Đa thức bậc cao:
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18
Ta có các ước của 18 là: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6; ± 9; ± 18.
9


f(1) = 4 - 13 + 9 - 18 = - 18
f(-1) = - 4 - 13 - 9 - 18 = - 44

Hiển nhiên ± 1 không là nghiệm của f(x), ta thấy:

− 18
− 18
− 18
;
;
;
(−3 − 1) (±6 − 1) (±9 − 1)

− 18
− 44
không nguyên nên - 3; ± 6; ± 9; ± 18 không là nghiệm của f(x);
(±18 − 1)
(2 + 1)

không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x), chỉ còn - 2 và 3, kiểm tra ta
thấy 3 là nghiệm của f(x). Nên ta có thể tách như sau:
f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18 = 4x3 - 12x2 - x2 + 3x + 6x – 18
= 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3) = (x – 3)(4x2 – x + 6)
2.3.1.5. Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Thêm bớt cùng một số hạng để xuất hiện hằng đẳng thức
Ví dụ: Phân tích đa thức:

4x4 + 81

Ta nhận thấy đa thức đã cho là tổng của hai bình phương (2x 2)2 + 92 tương ứng
với hai số hạng A2 + B2 của hằng đẳng thức A2 + 2AB + B2 còn thiếu 2AB.
Vậy cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức:
Ta có: 4x4 + 81 = (2x2)2 + 92 + 2.2x2.9 - 2.2x2.9

= (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2 - 6x + 9)(2x2 +6x + 9).
* Chú ý:
- Trong phương pháp này ta thường sử dụng hai hằng đẳng thức:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 và hằng đẳng thức a2 – b2 = (a – b)(a + b)
- Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương thì mới làm tiếp bài tốn được.
Thêm bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung
Ví dụ:

x7 + x2 + 1 = x7 - x + x2 + x + 1

= x(x3 + 1)(x3 - 1) + (x2 + x + 1)
10


= x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x3 + 1)(x - 1) + 1)]
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x2 - x + 1).
2.3.1.6. Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến
Thực hiện đổi biến của đa thức đã cho được đa thức mới có bậc nhỏ hơn và đơn
giản hơn.
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
Ta thấy nếu đặt (x2 + x) = y thì đa thức có dạng y2 + 4y - 12.
Ta có: y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y - 12
= y(y + 6) - 2(y + 6) = (y + 6)(y - 2)
Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x - 2)
= (x2 + x +6)[x(x + 2) - (x + 2)]
= (x2 + x +6)(x + 2)(x - 1)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24

Biến đổi đa thức đã cho
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = [(x + 2)(x + 3)][(x + 4)(x + 5)] - 24
= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x - 12) - 24 (*)
Đặt x2 + 7x + 11 = y thì (*) = (y - 1)(y + 1) - 24
= y2 - 1 - 24 = y2 - 25 = (y + 5)(y - 5)
Tương đương với (x2 + 7x + 6)(x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6)(x2 + 7x + 16)
2.3.1.7. Phương pháp 7: Phương pháp hệ số bất định
11


Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Các hệ số ± 1; ± 3 là Ư(3) nhưng không phải là nghiệm của đa thức nên
đa thức khơng có nghiệm hữu tỷ.
Như vậy, đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
Phép nhân này cho kết quả:
x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được hệ:
 a + c = −6
ac + b + d = 12


ad + bc = 14
bd = 3

Xét bd = 3 với b, d ∈ z; b ∈ {± 1; ± 3}; với b = 3 thì d = 1.
Hệ trên thành:
 a + c = −6


ac = 8
a + 3c = −14


 a = −2
⇔ 
c = −4

Vậy đa thức đã cho phân tích thành: (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
* Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách hạng tử:
x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
= x4 - 2x3 + 3x2 - 4x3 + 8x2 - 12x + x2 - 2x + 3
= x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + (x2 - 2x + 3)
= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
2.3.1.8. Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị riêng
Trong phương pháp này trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến
của đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
12


Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
Nếu thay x bằng y thì P = y2(y - z) + y2(z - y) = 0
Như vậy P chứa thừa số x - y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P chứa
x - y thì cũng chứa y - z và z - x.
Vậy dạng của P là k(x - y)(y - z)(z - x)
Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z cịn tích
(x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z
Ta có: x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với ∀ x, y, z.

Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng x = 1, y = 0, z = -1
Ta có: 1.1 + 0 + 1.1 = k.1.1.(-2)
2 = - 2k => k = - 1
Vậy P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y)
= x2(y - z) + y2(z - y + y- x) + z2(x - y)
= x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y)
= (y - z)(x - y)(x + y) + (x - y)(z - y)(z + y)
= (x - y)(y - z)(x + y - z - y)
= (x - y)(y - z)(x - z)
2.3.2. ỨNG DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG GIẢI TỐN
2.3.2.1. Chứng minh chia hết.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)
Giải
Nhận xét: Ta cần phân tích 55n + 1 – 55n thành tích của 54 với một số nào đó.
13


Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n(55 – 1) = 54. 55n
Nên 55n + 1 – 55n luôn chia hết cho 54 với mọi n là số tự nhiên
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x – 3 luôn chia hết cho x2 – 4x – 3.
Giải
Ta có: 2x4 – 13x3 + 15x2 + 11x – 3
= 2x4 – 5x3 + x2 – 8x3 + 20x2 – 4x – 6x2 + 15x – 3
= x2(2x2 – 5x + 1) – 4x(2x2 – 5x + 1) – 3(2x2 – 5x + 1)
= (2x2 – 5x + 1)(x2 – 4x – 3)
2.3.2.2. Giải phương trình bậc cao:
f(x) = 0 nếu có nghiệm thường được giải bằng cách phân tích f(x) thành nhân tử
đẻ đưa về phương trình tích.
Ví dụ 1: Giải phương trình:

(x2 - 1)(x2 + 4x + 3) = 192
Giải

⇔ (x - 1)(x + 1)2(x + 3) = 192
⇔ (x + 1)2[(x - 1)(x + 3)] = 192
⇔ (x2 + 2x + 1)(x2 + 2x - 3) = 192

Đặt x2 + 2x - 1 = y ta có: (Điều kiện y ≥ -2)
(y + 2)(y - 2) = 192 ⇔ y2 - 4 = 192 ⇔ y2 = 196 ⇔ y = ± 14
Chỉ có y = 14 thoả mãn
* Với y = 14 ta có x2 + 2x - 1 = 14
⇔ x2 + 2x - 15 = 0 ⇔ (x - 3)(x + 5) = 0 ⇔ x = 3 và x = - 5

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 và x = - 5
Ví dụ 2: Giải phương trình (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16
14


Giải
Đặt x - 7 = y, phương trình đã cho là (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16
⇔ 2y4 + 12y2 + 2 = 16 ⇔ y4 +6y2 + 1 = 8 ⇔ y4 +6y2 - 7 = 0
⇔ (y2 - 1)(y2 + 7) = 0

(y2 + 7) > 0 với mọi y nên (y2 - 1) = 0; y = ± 1 tức là x = 6, hoặc x = 8
Vậy x = 6 và x = 8 là nghiệm của phương trình.
2.3.2.3. Tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức
Muốn tìm điều kiện xác định và rút gọn một phân thức đại số bao giờ ta cũng
phải phân tích mẫu thức và tử thức thành nhân tử.
Ví dụ: Tìm điều kiện định và rút gọn phân thức sau

A=

x3 - 5x2 - 2x + 24
x3 - x2 - 10x – 8

Phân tích tử thức: x3 - 5x2 - 2x + 24
= x3 + 2x2 - 7x2 - 14x + 12x + 24 = x2(x + 2) - 7x(x +2) + 12(x + 2)
= (x + 2)(x2 - 7x + 12) = (x + 2)(x - 3)(x - 4)
Phân tích mẫu thức: x3 - x2 - 10x - 8
= x3 + 2x2 - 3x2 - 6x - 4x - 8 = x2(x + 2) - 3x(x + 2) - 4(x + 2)
= (x + 2)(x2 - 3x - 4) = (x + 2)(x + 1)(x - 4)
Điều kiện xác định của phân thức là x ≠ -1; x ≠ -2; x ≠ 4
Phân thức được rút gọn là
A=

(x + 2)(x - 3)(x - 4)
x-3
=
(x + 2)(x + 1)(x - 4)
x+1

2.3.2.4. Giải bất phương trình
Ví dụ: Giải bất phương trình sau: x2 - x - 12 < 0 (4)
Giải
15


(4) ⇔ x2 - 4x + 3x - 12 < 0
⇔ x(x - 4) + 3(x - 4) < 0
⇔ (x - 4)(x + 3) < 0

Lập bảng xét dấu:
x
x +3
x-4
(x - 4)(x + 3)

+

-3
0
0

4
+
-

0
0

+
+
+

Từ bảng xét dấu ta có nghiệm của bất phương trình là: - 3 < x < 4
2.3.2.5. Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ: Cho x4 + y4 = 1 Tính giá trị của biểu thức: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4
Giải
Để giải bài toán trên ta phải biến đổi biểu thức M xuất hiện (x4 + y4 )
Ta có: M = 3x8 + 4x4y4 + y8 + 2y4 = (x8 + 2x4y4 + y8) + (2x4y4 + 2x8) + 2y4

= (x4 + y4)2 + 2x4(x4 + y4) + 2y4 = 1 + 2x4 + 2y4 = 1 + 2(x4 + y4) = 3
2.3.2.6. Chứng minh đẳng thức:
Ví dụ: Cho (x + y)3 = x3 + y3
Chứng minh: (x + y)7 = x7 + y7 (*)
Giải
Từ (x + y)3 = x3 + y3 ⇔ x3 + y3 + 3xy(x + y) = x3 + y3 ⇔ 3xy(x + y) = 0
⇔ x = 0; y = 0; hoặc x = - y

- Nếu x = 0, hoặc y = 0 thì (*) ln được chứng minh
- Nếu x = - y thì (*) có dạng: 0 = 0
Vậy đẳng thức (*) đã được chứng minh.
2.3.2.7. Chứng minh bất đẳng thức:
16


Ví dụ: Chứng minh rằng với x, y ≠ 0 , chứng minh: x 4 + y4 ≤

x6 y6
+
y2 x2

Giải
Ta dùng phép biến đổi tương đương.
x6 y6
Ta có: x + y ≤ 2 + 2
y
x
4

4

⇔ x2y2(x4 + y4) ≤ x8 + y8 ⇔ x8 + y8 – x6y2 – x2y6 ≥ 0
⇔ x6(x2 – y2) – y6(x2 – y2) ≥ 0 ⇔ (x2 – y2) (x6 – y6) ≥ 0
⇔ (x2 – y2)2(x4 + x2y2 + y4) ≥ 0

(Bất đẳng thức luôn đúng)

x6 y6
Vậy x + y ≤ 2 + 2 .
y
x
4

4

2.3.2.8. Giải bài toán liên quan đến số nguyên tố:
Ví dụ 1: Tìm số ngun tố a sao cho 2a + 1 là lập phương của một số
Giải
* Nếu a là số chẵn, ⇒ a = 2. Thì 2a + 1 = 5 (loại)
* Nếu a là số lẻ, thì 2a + 1 cũng là một số lẻ.
Khi đó ta có: 2a + 1 = (2k + 1)3 ⇔ 2a + 1 = 8k3 + 12k2 + 6k + 1 ( k ∈ N)
⇔ a = k(4k2 + 6k + 3)

Vì k ∈ N nên 4k2 + 6k + 3 ≠ 1 ⇒ k = 1
Nên a = 13 (Thoả mãn), vì 2a + 1 = 27 = 33
Ví dụ 2: Tìm các cố tự nhiên m, n để m4 + 4n4 là số nguyên tố.
Giải
Ta có: m4 + 4n4 = m4 + 4n4 + 4m2n2 - 4m2n2 = (m2 + 2n2) – (2mn)2
= (m2 + 2n2 – 2mn)(m2 + 2n2 + 2mn)
Do m, n là các số tự nhiên. Nên để m4 + 4n4 là số nguyên tố thì:

17


m2 + 2n2 – 2mn = 1 ⇔ (m – n)2 = 1- n2 ⇒ -1 ≤ n ≤ 1
⇒ n = 1, hoặc n = 0

* Nếu n = 1 thì m = 1 (Thoả mãn). Vì m4 + 4n4 = 5 là số nguyên tố
* Nếu n = 0 thì m = 1 (Loại).

Vì m4 + 4n4 = 1 không phải là số nguyên tố

Vậy với m = n = 1 thì m4 + 4n4 là số nguyên tố.
2.3.2.9. Giải phương trình nghiệm ngun:
Ví dụ: Tìm nghiệm ngun của phương trình. x + y = xy
Giải
Ta có: x + y = xy ⇔ xy – x – y = 0 ⇔ (x – 1)(y – 1) = 1
x − 1 = 1
x = 2
 x − 1 = −1
x = 0
⇔ 
⇔ 
⇔ 
hoặc 
y −1 = 1
y = 2
 y − 1 = −1
y = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là: (2 ; 2) và (0 ; 0)

2.3.3. BÀI TẬP VẬN DỤNG
2.3.3.1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
14)
16)
18)
20)
22)
24)

(x2 + y2 - 5)2 - 4x2y2 - 16xy - 16
(P2-Nhóm)
x2y2(y - x) + y2z2(z - y) - z2x2(z - x)
(Khai triển và nhóm lại)
2
2
(x - y + 4) - (2x + 3y- 1)
(HĐT)
2

2
9x + 90x + 225 - (x-7)
(HĐT)
xyz - (xy + yz + zx) + (x + y + z) - 1
(Khai triển ra nhóm lại)
2
2
2
2
2
2
x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz
(Nhóm thành 3 nhóm)
yz(y + z) + xz(z - x) - xy(x + y)
(Nhân ra nhóm lại)
2
2
2
a + 2b - 2c + 3ab + ac
a4 + 2a3 + 1
(Tách)
2
2
4a - 4b - 4a + 1
(Nhóm)
2
2
2
a - 2b - 2c - ab + 5bc - ac
a2 + b2+ 2a - 2b - 2ab

13) 8b2 + 2b - 1
25x2(x - y) – x + y
15) 4x3y + 0,5yz3
x9 + x8- x- 1
17) x6 + 2x5 + x4- 2x3 - 2x2 + 1
(x2 + x + 1)(x2 + x + 2) -12
19) (x + 1)(x +3)(x + 5)(x + 7) + 15
x(x + 1)(x + 2)(x + 3) +1
21) (x2 + 4x + 8)2-3x(x2+ 4x + 8) + 2x2
x4 + 324
23) a7 + a5 + 1
a7 - 1
25) (x - a)4 + 4a4
18


26) x5 + x4+1
27) a5 + a + 1
28) x4 + 64
29) x3 + 3x2 + 3x + 2
30) a10 + a5+ 1
31) a8 + a + 1
32) a16 + a8b8+ b16
33) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
34) x4 + 6x3 + 7x2- 6x + 1
35) x3 - 2x - 4
36) (x2- 8)2 + 36
37) 81x4 + 64
38) ab(x2 + y2)+ xy(a2 + b2)
39) (2x + 3y)2-4(2x + 3y)

40. a2(x2 + b4) - b2(x2 + a4)
2.3.3.2. Giải phương trình:
1) x2+ 3x – 18 = 0
2) 8x2 +30x +7 = 0
3) x3- 11x2 + 30x = 0
6) x3- 6x2- x +30 = 0

5) x2- x + 1 = 0

7) x10+ x5+ 1=0
8) x3- x - 4=0
9) (5x2 + 3x-2)2- (4x2-x-5)2 = 0
2.3.3.3. Chứng minh rằng với n là số ngun ta ln có:
1) 5n3 + 15n2 + 10n chia hết cho 30
2)

n 5 − 5n 3 + 4n
n+2

chia hết cho 24 (n là số tự nhiên)

3) n3 - n chia hết cho 6
4) n4 - 1 chia hết cho 8
2.3.3.4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để các số có dạng:
1) n3- n2 + n- 1
2) n3- 6n + 4
3) n5 - 2n3 – n - 1
4) n3- 4n2 + 4n- 1
5) n3- 6n2+ 9n - 2
6) n3 - n2- n - 2

Là số nguyên tố
2.3.3.5. Cho: a + b + c = 1 và

1 1 1
+ + = 0 Tính giá trị của biểu thức
a b c

P = a2 + b2 + c2
2.3.3.6. Cho A = x3 + y3+ z3 – 3xyz
a. Chứng minh rằng nếu x + y+ z=0 thì A = 0
b. Điều ngược lại có đúng khơng?
2.3.3.7. Giải các bất phương trình:
2

1) 2x -7x + 5

≥ 0

2)

2− x
>0
3x + 1

3)

x 2 − x − 12
≤0
2x 2 + 1

2.3.3.8. Giải các phương trình nghiệm nguyên:
1) y3 – x3 = 91
3) p(x + y) = xy

2) 3x3 – xy = 1
với p là số nguyên tố.

2.3.3.9. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1)

a4 + b4 ≥ a3b + ab3
19


2)
3)

a
b

− a≥ b−

2 ab
a+ b

b

( với a > 0, b > 0)

a

≤ 4 ab

( với a > 0, b > 0)

2.3.3.10. Tính giá trị của biểu thức:
1) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:
a
b

b
c

c
a

A = (1 + )(1 + )(1 + )
2) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức:
B = a4 + b4 + c4 .
2.3.3.11. Rút gọn các phân thức sau:
2y2 + 5y + 2
1) Q = 3
2 y + 9 y 2 + 12 y + 4

a 3 + b 3 + c 3 − 3abc
2) P = 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Với những kinh nghiệm như đã trình bày, sau nhiều năm dạy và bồi dưỡng

học sinh giỏi toán lớp 8, bản thân tơi thấy trình độ học sinh được nâng lên rõ rệt.
Hầu hết học sinh đã nắm vững các phương pháp phân tích thành nhân tử đơn
giản, học sinh khá giỏi đã sử dụng linh hoạt các phương pháp như đặt ẩn phụ,
thêm bớt, hệ số bất định ... vào việc phân tích các đa thức phức tạp thành nhân
tử. Học sinh còn tỏ rõ sự sáng tạo hơn trong quá trình giải bài tập, một bài tập
các em có thể giải theo nhiều cách, sau đó các em lựa chọn cách giải dễ hiểu
nhất để trình bày.
Mặt khác qua việc áp dụng kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử để giải
một số dạng toán khá phổ biến trong chương trình trung học cơ sở, một lần nữa
nói lên tầm quan trọng của việc phân tích đa thức thành nhân tử. Điều đó cịn
khẳng định, để trở thành học sinh khá giỏi, học sinh không thể thiếu được kĩ
năng này. Chính vì thế chất lượng học sinh ngày một tăng lên thể hiện qua kết
quả khảo sát học sinh đại trà ở hai lớp 8A và 8B trong năm học 2020 – 2021 như
sau:
Lớp Số HS kiểm tra
8A 30
8B 30

Số bài đạt yêu cầu
30
30

Số bài chưa đạt yêu cầu
0
0
20


Đặc biệt là kết quả học sinh giỏi khối 8 cấp huyện năm học 2020 – 2021 có 10
em đi thi đều đạt giải cao: 1 giải nhất, 7 giải nhì, 2 giải ba.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3. 1. Kết luận.
Qua thực tế áp dụng sáng kiến vào công tác giảng dạy học sinh lớp 8 tại
trường THCS Chu Văn An huyện Nga Sơn, bản thân Tôi thấy đa số các em học
sinh đều hứng thú học tập, đều nắm vững các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử một cách có hệ thống từ dễ đến khó, và đặc biệt là khả năng tư
duy quan sát, lựa chọn phương pháp áp dụng cho từng bài tập rất nhanh gọn và
phù hợp. Các phương pháp, các bài tập được lựa chọn trình bày trong đề tài này
được chắt lọc, lựa chọn, xây dựng theo một hệ thống khoa học từ dễ đến khó, từ
đơn giản đến phức tạp, nên nó phù hợp cho mọi đối tượng học sinh. Vì vậy đề
tài này không chỉ sử dụng cho học sinh của trường THCS Chu Văn An, mà có
thể sử dụng giảng dạy cho mọi đối tượng học sinh.
Hướng phát triển của sáng kiến kinh nghiệm: Ta có thể mở rộng, xây
dựng thêm hệ thống bài tập, các dạng bài tập nâng cao vào phần ứng dụng phân
tích đa thức thành nhân tử, để áp dụng vào công tác ôn luyện bồi dưỡng học sinh
giỏi các cấp.
3.2. Kiến nghị.
Qua việc giảng dạy thực tế, tôi xin được kiến nghị, đề xuất một số vấn đề
như sau:
- Đề nghị nhà trường, Phòng giáo dục quan tâm hơn nữa về các thiết bị phục
vụ cho việc giảng dạy theo phương pháp mới.
- Nhà trường cần bố trí giáo viên dạy theo lớp để có cái nhìn tổng thể hơn về
phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó.
- Giáo viên dạy mơn tốn cần tích cực cho học sinh thảo luận nhóm để học
sinh giao lưu và phát hiện ra những cách giải hay.
- Phần “phân tích đa thức thành nhân tử” ở lớp 8 là một nội dung quan trọng,
bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, là tiền đề để học sinh học tốt các kiến
thức về sau. Do vậy trước tiên giáo viên nên cho học sinh nắm thật vững phương
pháp phân tích đã nêu trong SGK, tiếp đến là phương pháp tách hạng tử, đặc biệt
là tách tam thức bậc 2 bởi phương pháp này rất hay sử dụng ở lớp 9.

- Với học sinh khá giỏi cần hướng dẫn thêm cho các em phương pháp thêm
bớt, đặt ẩn phụ, phương pháp hệ số bất định... Để học sinh nắm vững và hứng
thú học tập.

21


- Giáo viên cần chọn lọc hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến
khó, tạo sự tìm tịi cho các em.
Trong khn khổ đề tài này, tôi hy vọng giúp các em học sinh tự tin hơn
khi làm các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử và thấy được tầm quan
trọng của nó. Tuy nhiên, trong khi trình bày đề tài của mình khơng tránh khỏi
những khiếm khuyết. Rất mong sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp,
HĐKH để đề tài của tơi hồn chỉnh hơn và đạt hiệu quả cao./.
Tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa toán 8; Sách bài tập toán 8; Bài tập
nâng cao và một số chuyên đề toán 8 - Tác giả Bùi Văn Tuyên; Nâng cao phát
triển tốn 8 - Tác giả Vũ Hữu Bình; Chuyên đề Đại số - Tác giả Nguyễn Vũ
Thanh.
Danh mục các đề tài SKKN đã được Hội đồng SKKN đánh giá đạt từ loại C
trở lên.
STT

1

2
3
4
5
6

Tên đề tài

Xếp Hội đồng
Năm học
loại đánh giá
SKKN
cấp
Tổng qt hóa bài tốn trong dạy học C
Tỉnh
2008 - 2009
tốn
Tổng qt hóa bài tốn trong dạy học A
Huyện
2008 - 2009
tốn
Hướng dẫn học sinh tìm nhiều phương B
Huyện
2011 - 2012
pháp giải cho một bài tốn
Một số tổng có quy luật
B
Huyện
2012 – 2013
Phân tích đa thức thành nhân tử và ứng B
Huyện
2013 – 2014
dụng trong dạy học toán 8 tại trường
thcs Chu Văn An huyện Nga Sơn
Tổng quát hóa các bài toán trong dạy B
Huyện

2014 – 2015
học toán 7 tại trường THCS Chu Văn
An
Tổng có quy luật, cách tính và ứng B
Huyện
2017 - 2018
dụng trongv dạy học toán 7 tại trường
THCS Chu Văn An

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯƠNG
ĐƠN VỊ

Nga Sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2021
CAM KẾT KHÔNG COPY
22


Mai Văn Trường

23