CD phan tich da thuc thanh nhan tu cuc hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phần 1: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử</b>
<b>Các phơng pháp cơ bản</b>

<b>I/ Phng phỏp t nhõn t chung</b>

<b>1. Phơng pháp .</b>

+ Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có matự trong tất ca\r
các hạng tử.

+ Ph©n tÝch mỗi hạng tử thành tích nhân tử chung và một nhân tử.

+ Viết nhân tử chung ra ngoàI dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc <i>(kể cả hạng tử của chúng).</i>

2. <b>Ví dụ</b>: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) –3xy + x _❑2 _y

❑2 – 5x ❑2 y
b) 2x(y – x) + 5y(z – y)

c)10x _❑2 _{(x + y) – 5(2x + 2y)y}
❑2
Bµi Lµm
a) –3xy + x _❑2 _y

❑2 – 5x ❑2 y = xy(- 3 + y – 5x)

b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x _❑2 _{(x + y) – 5(2x + 2y)y}

❑2 = 10x ❑2 (x + y) – 10y ❑2 (x
+ y)

= 10(x + y)(x _❑2 _{– y}

❑2 ) = 10(x + y)(x + y)(x – y)
= 10(x + y) _❑2 _{(x – y)}

<b>3. Bµi tập</b>

<i>Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

a) 12xy _❑2 _{– 12xy + 3x}
b) 15x – 30 y + 20z

c) 5

7 x(y – 2007) – 3y(y – 2007)
d) x(y + 1) + 3(y + 2y + 1)

<i>Bµi 2: Tính giá trị của các biểu thức sau</i>

a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
b) 2x _❑3 _{(x – y) + 2x}

❑3 (y – x ) + 2x ❑3 (z – x)
(Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)

<b>II) Phơng pháp dùng hằng ng thc</b>

<b>1. Phơng pháp </b>

S dng cỏc hng ng thc để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử
hoặc luỹ thừa của một đa thức đơn giản.

 <i><b>Những hằng đẳng thức :</b></i>

1. (A + B) _❑2 _{= A}

❑2 + 2AB + B ❑2
2. (A - B) _❑2 _{= A}

❑2 - 2AB + B ❑2
3. A – B = (A + B)(A – B)

4. (A + B) _❑3 _{= A}

❑3 + 3A ❑2 B + 3AB ❑2 + B ❑3
5. (A - B) _❑3 _{= A}

❑3 - 3A ❑2 B + 3AB ❑2 - B ❑3
6. A _❑3 _{+ B}

❑3 = (A + B)(A ❑2 – AB + B ❑2 )
7. A _❑3 _{- B}

❑3 = (A - B)(A ❑2 + AB + B ❑2 )
8. (A + B + C) _❑2 _{= A}

❑2 + B ❑2 + C ❑2 + 2AB + 2BC + 2CA
9. A _❑<i>n</i> _{– B}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

10. A _❑2<i>k</i> _{– B}

❑2<i>k</i> = (A +B)(A ❑2<i>k −</i>1 - A ❑2<i>k −</i>2 B + … - B
❑2<i>k −</i>1 )

11. A _❑2<i>K</i>+1 + B

❑2<i>K</i>+1 = (A + B)(A ❑2<i>k</i> – A ❑2<i>k −</i>1 B + A ❑2<i>k −</i>2
B _❑2 _-…_+B

❑2<i>k</i> )
12. (A + B) _❑<i>n</i> _{= A}

❑<i>n</i> + n A ❑<i>n−</i>1 B - <i>n</i>(_{1 . 2}<i>n −</i>1) A ❑<i>n−</i>2 B ❑2 +
+

… <i>n</i>(<i>n −</i>1)

1 . 2 A ❑2 B ❑<i>n−</i>2 +

+nAB _❑<i>n−</i>1 _{+ B}
❑<i>n</i>

13. (A - B) _❑<i>n</i> _{= A}

❑<i>n</i> - n A ❑<i>n−</i>1 B + <i>n</i>(_{1 . 2}<i>n −</i>1) A ❑<i>n−</i>2 B ❑2 - …
+(-1) _❑<i>n</i> _B

❑<i>n</i>

<b>2. VÝ Dơ</b>

<i>2.1</i> –<i> Ph©n tích đa thức tành nhân tử</i>

a) x 2 _{+ 6xy}

❑2 + 9y ❑4
b) a _❑4 _{– b}

❑4

c) (x – 3) _❑2 _{- (2 – 3x)}
❑2
d) x _❑3 _{– 3x}

❑2 + 3x - 1
Bµi Lµm
a) x _❑2 _{+ 6xy}

❑2 + 9y ❑4 = x ❑2 + 2x3y ❑2 + (3y) ❑2 = (x +
3y _❑2 ₎

❑2
b) a _❑4 _{– b}

❑4 = (a ❑2 ) ❑2 – (b ❑2 ) ❑2 = (a ❑2 + b ❑2 )
(a _❑2 _{– b}

❑2 ) = (a ❑2 + b ❑2 ) (a + b) (a – b)
c) (x – 3) _❑2 _{- (2 – 3x)}

❑2 = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2
– 3x)]

= (- x – 1)(5 – 4x)
d) x _❑3 _{– 3x}

❑2 + 3x - 1 = (x 1) 3

<i>2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

a) a 3 _{+ b}

3 + c ❑3 – 3abc
b) (a + b + c) _❑3 _{– a}

❑3 – b ❑3 – c ❑3
Bµi Lµm

a) a _❑3 _{+ b}

❑3 + c ❑3 – 3abc = (a + b) ❑3 – 3ab(a + b) + c ❑3
– 3abc

= ( a + b + c)[(a + b) _❑2 _{– (a + b)c + c}

❑2 ] – 3abc( a + b +c)

= (a + b + c)( a _❑2 _{+ b}

❑2 + c ❑2 – ab – bc – ca)
c) (a + b + c) _❑3 _{– a}

❑3 – b ❑3 – c ❑3
= (a + b) _❑3 _{+ c}

❑3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a ❑3 – b ❑3 –
c _❑3

= 3(a + b)(ab + bc + ac + c _❑2 _{) = 3(a + b)(b + c) (c + a)}

<b>3. Bài Tập </b>

<i>Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tö</i>

a) (x – 15) _❑2 _{– 16}
b) 25 – (3 – x) _❑2

c) (7x – 4) _❑2 _{– ( 2x + 1)}
❑2
d) 9(x + 1) _❑2 _{– 1}

e) 9(x + 5) _❑2 _{– (x – 7)}
❑2
f) 49(y- 4) _❑2 _{– 9(y + 2)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

a) 8x _❑3 _{+ 27y}
❑3
b) (x + 1) _❑3 _{+ (x – 2)}

❑3
c) 1 – y _❑3 _{+ 6xy}

❑2 – 12x ❑2 y + 8x ❑3
d) 2004 _❑2 _{- 16}

<b>III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, bằng ph ơng pháp nhóm</b>
<b>nhiều hạng tử.</b>

<b>1. Phơng pháp</b>

- S dng tớnh chất giao hốn, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào
từng nhóm.

- áp dụng phơng pháp phân tích đa thức khác để giải tốn.
2. Ví dụ

<i>2.1: Phân tích đa thức thành nhân tử </i>

a) x _❑2 _{– 3xy + x – 3y}
b) 7x _❑2 _{– 7xy – 4x + 4y}
c) x _❑2 _{+ 6x – y}

❑2 + 9

d) x _❑2 _{+ y}

❑2 – z ❑2 – 9t ❑2 – 2xy + 6zt
Bµi Lµm

a) x _❑2 _{– 3xy + x – 3y = (x}

❑2 – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x
– 3y)

= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x _❑2 _{– 7xy – 4x + 4y = (7x}

❑2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x –
y) – 4(x – y)

=(x – y) (7x – 4)
c)x _❑2 _{+ 6x – y}

❑2 + 9 = (x ❑2 + 6x + 9) – y ❑2 = (x + 3) ❑2
-y _❑2

= (x + 3 + y)(x + 3 – y)
d)x _❑2 _{+ y}

❑2 – z ❑2 – 9t ❑2 – 2xy + 6zt
= (x _❑2 _{– 2xy + y}

❑2 ) – (z ❑2 – 6zt + 9t ❑2 )
= (x – y) _❑2 _{– (z – 3t)}

❑2 = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t

<i>2.2 </i><i> Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

a) x _❑2 _{y + xy}

❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 +
2xyz

b) x _❑2 _{y + xy}

❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 +
3xyz

Bµi Lµm
a) x _❑2 _{y + xy}

❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 + 2xyz
= (x _❑2 _{z + y}

❑2 z + 2xyz) + x ❑2 y + xy ❑2 + x ❑2 z + yz ❑2
= z(x + y) _❑2 _{+ xy(x + y) + z}

❑2 (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z
❑2 )

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b) x _❑2 _{y + xy}

❑2 + x ❑2 z + xz ❑2 + y ❑2 z + yz ❑2 + 3xyz

= (x _❑2 _{y + x}

❑2 z + xyz) + ( xy ❑2 + y ❑2 z + xyz) + (x ❑2 z +
yz _❑2 _{+ xyz)}

= x(xy + xy + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)

<b>3. Bài Tập</b>

<i>Bài 5: Phân tích đa thức thành nh©n tư</i>

a) x _❑4 _{+ 3x}

❑2 – 9x – 27
b) x _❑4 _{+ 3x}

❑3 – 9x – 9
c) x _❑3 _{– 3x}

❑2 + 3x 1 8y 3

<i>BàI 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.</i>

a) x(y2_z2_{) + y(z}2_y2_{) + z(x}2_{– y}2₎

b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z )
c) x(y + z )2_{+ y(z + x)} 2_{+ z(x + y)} 2_{– 4xyz}
d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)

<b>IV/ phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều</b>
<b>phơng pháp</b>

<b>1. phơng pháp </b>

Vn dng linh hot cỏc phơng pháp cơ bản đã biết và thờng tiến hành
theo trình tự sau :

- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử

2. vÝ dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 5x _❑3 _{-- 45x}

b) 3x _❑3 _{y – 6x}2_{y – 3xy}

❑3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Bµi lµm

a) 5x _❑3 _{– 45x = 5x(x}2_{– 9) = 5x(x +3) (x – 3)}
b) 3x2_{y – 6x}2_{y – 3xy}

❑3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
= 3xy(x2_{– 2y – y}2_{– 2ay – a}2_{+ 1)}

= 3xy [( x2_{– 2x + 1) – (y}2_{+ 2ay + a}2_)]
= 3xy [(x – 1) 2_{– (y + a)} 2_]

= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]

= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a 1)

<b>3. bài tập </b>

<i>Bài 7. Phân tích đa thức thành nhân tử </i>

a) 2a2_{b + 4ab}2_a2_{c + ac}2_{– 4b}2_{c + 2bc}2_{– 4abc}
b) 8x _❑3 _{(x + z) – y}

❑3 (z + 2x) – z ❑3 (2x - y)

c) [(x2 _{+ y}2_)(a2_{+ b}2_{) + 4abxy]} 2_{– 4[xy(a}2 _{+ b}2_{) + ab(x}2 _{+ y}2_)] 2

<i>Bài 8. Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

(x + y + z) 3 _{– x}

❑3 – y ❑3 - z ❑3

<i><b>Híng dÉn </b></i>

(x + y + z ) _❑3 _{– x}

❑3 – y ❑3 -- z ❑3
=[(x + y + z) _❑3 _{– x}

❑3 ] – (y ❑3 + z ❑3 )

= (x + y + z – x) [(x+ y + z) 2_{+ (x + y + z)x + x}2_{] – (y + z)(y}2_{– yz +}
z2₎

= (y+z)[ x2_{+ y}2_{+ z}2_{+2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x}2_{+ x}2_{– y}2_{+ yz –}
z2_]

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>V/ Ph©n tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng</b>
<b>tử thành hai hay nhiều hạng tử</b>

<b>1. Phơng pháp </b>

Ta phân tích một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để
xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử bằng
ph-ơng pháp dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung…

<b>2.VÝ dô</b>: Phân tích đa thức sau thành thành nhân tử

x2_{– 6x + 8}

Bài làm

cách 1: x2_{6x + 8 = (x}2_{– 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2)}
= (x –2)(x – 4)

 C¸h 2: x2_{– 6x + 8 = (x}2_{– 6x + 9) – 1 = (x – 3)} 2_{– 1}
= (x –3 + 1)(x – 3 – 1)

= (x – 2)(x – 4)

 C¸ch 3: x2_{– 6x + 8 = (x}2_{– 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2)}
= (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)

 C¸ch 4: x2_{– 6x + 8 = (x}2_{– 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x –}
4)

= (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)

 C¸ch 5: x2_{– 6x + 8 = (x}2_{– 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2)} 2_{– 2(x – 2)}
= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x 4)

<b>3. Bài Tập</b>

<i>Bài 9 : Phân tích đa thức thành nhân tử.</i>

a) x2_{+ 7x +10}
b) x2_{6x + 5}
c) 3x2_{– 7x – 6}
d) 10x2_{– 29x + 10}

<i>Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.</i>

a) x _❑3 _{+ 4x}2_{– 29x + 24}
b) x _❑3 _{+ 6x}2_{+ 11x + 6}
c) x2_{– 7xy + 10y}

d) 4x2_{3x 1}

<b>VI/ Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.</b>

<b>1. Phơng pháp</b>

Ta thờm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện

n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích đợc thành nhân tử chung bằng các
phơng pháp: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, ...

<b>2. Ví dụ</b>

<i>2.1</i> <i> Phân tích đa thức thành nhân tử.</i>

x _❑4 _{+ 64 = x}

❑4 + 64 + 16x ❑2 – 16x ❑2
= (x _❑2 _{+ 8)}

❑2 – (4x) ❑2 = (x + 4x + 8)(x ❑2 – 4x
+ 8)

<i>2.2</i> –<i> Phân tích đa thức thành nhân tử.</i>

a) x 4 _{+ 4y}
❑4
b) x _❑5 _{+ x + 1}

Bµi lµm
a) x _❑4 _{+ 4y}

❑4 = x ❑4 + 4y ❑4 + 4x ❑2 y ❑2 – 4x ❑2 y ❑2
= (x + 2y) – (2xy)

= (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy)

b) x _❑5 _{+ x + 1 = (x}

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

= x _❑3 _(x

❑2 + x + 1) – x ❑2 (x ❑2 + x + 1) + (x ❑2
+ x +1)

= (x _❑2 _{+ x + 1)(x}

❑3 – x 2 +1)

3. <b>Bài tập</b>

<i>Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử.</i>

a) x 5 _{+ x}

4 + 1
b) x _❑8 _{+ x}

❑7 + 1
c) x _❑8 _{+ x + 1}
d) x _❑8 _{+ 4}

<i>Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử.</i>

a) x _❑3 _{+ 5x}

❑2 + 3x – 9
b) x _❑3 _{+ 9x}

❑2 + 11x – 21
c) x 3 _{7x + 6}

<i>Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử.</i>

a) x 3 _{- 5x}

2 + 8x – 4
b) x _❑3 _{– 3x + 2}

c) x _❑3 _{– 5x}

❑2 + 3x + 9
d) x _❑3 _{+ 8x}

❑2 + 17x + 10
e) x _❑3 _{+ 3x}

❑2 + 6x + 4

<i>Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử.</i>

a) x _❑3 _{– 2x – 4}
b) 2x _❑3 _{– 12x}

❑2 + 7x – 2
c) x _❑3 _{+ x}

❑2 + 4
d) x _❑3 _{+ 3x}

❑2 + 3x + 2
e) x _❑3 _{+ 9x}

❑2 + 26x + 24
f) 2x _❑3 _{– 3x}

❑2 + 3x + 1
g) 3x _❑3 _{– 14x}

❑2 + 4x + 3

<b>* MộT Số Phơng Pháp khác</b>

<b>VII/ Phng phỏp t biờn s </b><i><b>(t biờn ph</b></i><b>)</b>

<b>1. Phơng pháp</b>

Mt số bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã
cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới. Từ
đó viết đa thức đã cho thành đa thức mới dễ phân tích thành nhân tử hơn.

2. <b>VÝ dơ</b> : Phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 6x 4 _{– 11x}

❑2 + 3
b) (x _❑2 _{+ 3x + 1)(x}

❑2 + 3x – 3) –5

c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15

Bài Làm
a) Đặt x = y

- a thc ó cho trở thành: 6y _❑2 _{– 11y + 3 = (3y – 1)(2y – 3)}
- Trả lại biến cũ:

6x _❑4 _{– 11x}

❑2 + 3 = (3x ❑2 – 1) (2x ❑2 – 3)

= ( _√3 x – 1)( _√3 x + 1)( _√2 x - _√3 )( _√2 x +
3 )

b) Đặt x 2 _{+ 3x + 1 = y}__x

❑2 – 3x – 3 = y – 4

- Đa thức đã cho trở thành

y(y – 4) – 5 = y _❑2 _{– 4y – 5 = (y + 1)(y + 5)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

(x _❑2 _{+ 3x + 1)(x}

❑2 + 3x – 3) – 5 = (x ❑2 + 3x + 1 + 1)(x ❑2
+ 3x + 1 – 5)

= (x _❑2 _{+ 3x + 2)(x}

❑2 + 3x – 4)
= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)
c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15

- Đặt x 2 + 8x + 7 = y <b> x</b> ❑2 <b> +</b> 8x + 15 = y + 8

- Đa thức đã cho trở thành :

y(y + 8) + 15 = y _❑2 _{+ 8y + 15 = y}

❑2 + 5y + 3y + 15
= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3)

- Trả lại biến cũ

(x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x _❑2 _{+ 8x +7 + 5)(x}

❑2 + 8x + 7 +
3)

= (x _❑2 _{+ 8x + 12)(x}

❑2 + 8x + 10) = (x ❑2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)

<b>3. Bài Tập</b>

<i>Bài 14: Phân tích đa thức thành nh©n tư.</i>

a) (x _❑2 _{+ x)}

❑2 – 2(x ❑2 + x) – 15
b) (x _❑2 _{+ 3x + 1)(x}

❑2 + 3x + 2) – 6
c) (x _❑2 _{+ 4x + 8)}

❑2 + 3x(x ❑2 + 4x + 8) + 2x ❑2

<i>Bµi 15: Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – 4
c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x _❑2
d) 3x _❑6 _{– 4x}

❑5 + 2x ❑4 – 8x ❑3 + 2x ❑2 – 4x + 3

<b>VIII/ Phơng Pháp hệ số bất nh</b>

<b>1. Phơng Pháp</b>

Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc bằng nhau thì hệ số tơng ứng
của chúng ph¶i b»ng nhau.

a ❑<i>_n</i> _x _❑<i>n</i> _{+ a} _❑

<i>n=</i>1 x _❑<i>n−</i>1 + ... + a ❑2 x _❑2 + a ❑1 x + a ❑0 =
b ❑<i>_n</i> _x _❑<i>n</i> _{+ b} _❑

<i>n=</i>1 x _❑<i>n−</i>1 + ... + b ❑2 x _❑2 +

+ b ❑₁ _{x + b} ❑₀
 a ❑<i>i</i> = b ❑<i>i</i>  i = 1; n

<b>2. Ví dụ</b>: Phân tích đa thức thành nhân tö

2.1 – VD1: A = x _❑3 _{+ 11x + 30}

Vì A là đa thức bậc 3, hệ số cao nhất là 1. Nên nếu A phân tích đợc thì
A có dạng.

A = (x + a)(x _❑2 _{+ bx + c) = x}

❑3 + (a + b)x ❑2 + (ab + c)x + ac

 x ❑3 + 11x + 30 = x ❑3 + (a + b)x ❑2 + (ab + c)x + ac
§ång nhÊt hƯ sè, ta cã

¿

<i>a</i>+<i>b</i>=0

ab+<i>c</i>=11

ac=30

¿{ {

¿

Chän a = 2 <i>⇒</i> c = 15; b = -2

VËy (x _❑3 _{+ 11x + 30) = (x + 2)(x}

❑2 – 2x + 15)
2.2 – VÝ dô 2: B = x _❑4 _{– 14x}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Vì B là đa thức bậc 4, hệ số cao nhất là 1 nên nếu B phân tích đợc thành
nhân tử thì B có dạng:

B = (x _❑2 _{+ ax + b)(x}

❑2 + cx + d)
B = x _❑4 _{+ (a + c)x}

❑3 + (ac + b + d)x ❑2 + (ad + bc)x + bd
§ång nhÊt hƯ sè, ta cã:

¿

<i>a</i>+<i>c</i>=14

ac+<i>b</i>+<i>d</i>=15

ad+bc=<i>−</i>14

bd=1

¿{ { {

¿

<b> </b> <i>⇒</i> <b> </b>

¿

<i>a</i>=<i>−</i>1

<i>b</i>=1

<i>c</i>=<i>−</i>13

<i>d</i>=1

¿{ { {

¿

<b> </b>hc
¿

<i>a</i>=13

<i>b</i>=1

<i>c</i>=<i>−</i>1

<i>d</i>=1

¿{ { {

¿
Do vËy B = (x _❑2 _{– x + 1)(x}

❑2 – 13x + 1)

<i> hc</i> B = (x _❑2 _{– 13x + 1)(x}

❑2 – x + 1)

<b>2. Bài tập</b>

<i>Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

a) x 3 _{+ 4x}

2 + 5x + 2
b) 2x _❑4 _{– 3x}

❑3 –7x ❑2 + 6x + 8
c) 5x _❑4 _{+ 9x}

❑3 – 2x ❑2 – 4x – 8

<i>Bµi 17: T×m a, b, c</i>

a) x _❑4 _{– 2x}

❑3 + 2x ❑2 – 2x + a = (x ❑2 – 2x + 1)(x
❑2 + bx + c)

b) x _❑3 _{+ 3x}

❑2 – x – 3 = (x – 2)( ❑2 x + bx + c) + a
c) 4x _❑3 _{+ 7x}

❑2 + 7x – 6 = (ax + b)(x ❑2 + x +1) + c

<b>IX / Phơng pháp xét giá trị riêng</b>

<b>1. Phơng pháp </b>

Khi các biến có vai trò nh nhau trong đa thức thì ta xét giá trị riêng.

2. <b>Ví Dụ</b>: Phân tích đa thức thành nhân tö.

2.1: VD1: P = (x + y + z) _❑3 _{- x}

❑3 – y ❑3 – z ❑3
Bµi Làm

- Coi P là một đa thức biến x

Khi ú nếu x = -y thì P = 0 <i>⇒</i> P  (x + y)

- Trong P, vai trò của x, y, z bình đẳng nên.
P  (x + z)

P  (y + z)

<i>⇒</i> P = (x + y)(x + z)(y + z).Q

Mà P là đa thức bậc 2 đối với biế x, y, z nên Q là hằng số.
Với x = 0 ; y = z = 1, ta có Q = 3

VËy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
2.2 – VÝ dô 2:

M = a(b + c)(b _❑2 _{– c}

❑2 ) + b(c + a)(c ❑2 –a ❑2 ) + c(a + b)(a
❑2 – b ❑2 )

Bài Làm

- Coi M là đa thức biến a

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

M  (a - b)

- Trong M vai trị của a, b, c bình đẳng nên :
M  (b - c)

M  (c - a)

 M = (a - b)(b –c)(c – a)N

Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a.
Nhng do a,b,c có vai trị bình đẳng nên:

N = (a + b + c)R (R lµ h»ng sè)

 M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R
Chän a = 0, b = 1, c = 2  R = 1

VËy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c)

<b>3. Bài tập</b>

<i>Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử</i>

A = ab(a b) + bc(b c) + ca(c a)

<b>X. Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức </b>

<b>1. phơng pháp</b>

Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0.

Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) thì phải là nghiệm của đa thức.
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do.

<b>2. VÝ dô</b>: x3_{+ 3x – 4}

Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x – a) thì
nhân tử cịn lại có dạng x2_{+ bx = c suy ra - ac = - 4 suy ra a là ớc của – 4}
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của
hạng t khơng đổi.

¦íc cđa (- 4) lµ : -1; 1; -2; 2; - 4; 4. sau khi kiểm tra ta thấy1 là
nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x 1)

Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x
1)

*cách 1:

x3_{+ 3x}2_{– 4 = x}3_{– x}2_{+ 4x}2_{= x}2_{(x – 1) + (x – 1) (x + 1)}
= (x – 1) (x2_{+ 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)}2
*c¸ch 2:

x3_{+ 3x}2_{– 4 = x}3_{– 1 + 3x}2_{– 3 = (x}3_{– 1) + 3(x}2_{– 1)}
= (x – 1) (x2_{+ x + 1) + 3(x}2_{– 1)}

= (x – 1) (x + 2)2
Chó ý:

+ NÕu ®a thøc cã tỉng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x
1).

+Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng
tử bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử (x + 1).

<b> VÝ dơ :</b>

* §a thøc : x3_{-- 5x}2_{+ 8x – 4 cã 1 – 5 + 8– 4 = 0}

Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay ®a thøc cã chøa thõa sè (x – 1)
*§a thøc : 5x3_{– 5x}2_{+ 3x + 9 cã (-- 5) + 9 = 1 + 3}

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p/q trong

đó p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao nhất

<b> VÝ dô</b>: 2x3_{– 5x}2_{+ 8x – 3}

NghiƯm h÷u tû NÕu cã của đa thức trên là :

(-- 1); 1 ; (-- 1/2) ; 1/2 ; (-- 3/2) ; 3/2 ;-- 3..

Sau khi kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - 1/2)
hay (2x – 1). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện
nhân tử chung (2x – 1).

2x3_{– 5x}2_{+ 8x – 3 = 2x}3_{– x}2_{– 4x}2_{+ 2x + 6x – 3}
=x2_{(2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1)}
=(2x – 1)(x2_{2x + 3)}

<b>XI. Ph ơng pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai </b>

<b>a) Phơng pháp: </b>Tam thức bËc hai ax2_{+bx + c}

Nếu b2_{– 4ac là bình phơng của một số hữu tỷ thì có thể phân tích}
tam thức thành thừa số bằng một trong các phơng pháp đã biết .

Nếu b2_{– 4ac khơng là bình phơng của một số hữu tỷ nào thì khơng}
thể phân tích tiếp đợc nữa .

<b>b)VÝ dô</b> : 2x2_{– 7x + 3}

Víi a =2 , b =- 7 , c = 3
XÐt b2_{-- 4ac = 49 -- 4.2.3 =25 = 5}5

Suy ra Phân tích đợc thành nhân tử : 2x2_{-- 7x + 3}

= ( x-- 3)(2x -- 1)
Hoặc có thể phân tích bằng cách để ra bình phơng đủ .
2x2_{-- 7x + 3 = 2/9x}2_{-- 7/2x + 3/2}

=2(x2_{-- 2.7/4 + 49/16 -- 25/16)}

=2[(x-- 7/4) 2_{-- (5/4)} 2_{] = 2(x - 1/2)(x - 3)}
=(2x - 1)(x - 3)

<b>Chó ý:</b> P(x) = ax2_{+ bx + c cã nghiƯm lµ x}

1 , x2 th×
P(x) =a( x-- x1)(x -- x2)

<b>Phần 2: Các bài toán áp dụng phân tích đa thức</b>
<b>thành nhân tử.</b>

<b> I).Bài toán rút gọn biểu thức</b>

<b>1. Phơng pháp</b>

+Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử
chung.

+ áp dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số: Chia cả tử thức và
mẫu thức cho nhân tử chung.

 Học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức giúp phát triển t
duy suy luận lơgic, sáng tạo.

<b>2)VÝ dơ</b>: Rót gän biÓu thøc

a) A =

3<i>x</i>3<i>−</i>7<i>x</i>2+5<i>x −</i>1

2<i>x</i>3<i>_{− x}</i>2<i>₋</i>₄<i>_x</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

b) B =

<i>x_x</i>+₊3₁<i>−</i>2<i>x −</i>1
<i>x −</i>1 <i>−</i>

<i>x −</i>3

<i>x</i>2<i>−</i>1

Bµi Lµm

a) A =

3<i>x</i>

3

<i>−</i>3<i>x</i>2<i>−</i>4<i>x</i>2+4<i>x</i>+<i>x −</i>1

2<i>x</i>3<i>−</i>2<i>x</i>2+<i>x</i>2<i>− x −</i>3<i>x</i>+3

A =

3<i>x</i>

2

(<i>x −</i>1)<i>−</i>4<i>x</i>(<i>x −</i>1)+(<i>x −</i>1)

2<i>x</i>2

(<i>x −</i>1)+<i>x</i>(<i>x −</i>1)<i>−</i>3(<i>x −</i>1)

A =

(<i>x −</i>1)(3<i>x</i>

2

<i>−</i>4<i>x</i>+1)
(<i>x −</i>1)(2<i>x</i>2+<i>x −</i>3) =

(<i>x −</i>1)(<i>x −</i>1)(3<i>x −</i>1)
(<i>x −</i>1)(2<i>x</i>+3)(<i>x −</i>1)

A =

<i>x −</i>1¿2(3<i>x −</i>1)

¿

<i>x −</i>1¿2(2<i>x+</i>3)

¿
¿
¿
¿

b) MTC = x2 _{- 1 = (x + 1)(x - 1)}

B = (<i>x</i>+3)(<i>x −</i>1)<i>−</i>(2<i>x −</i>1)(<i>x</i>+1)<i>−</i>(<i>x −</i>3)

(<i>x</i>+1)(<i>x −</i>1)

B = <i>x</i>
2

+2<i>x −</i>3<i>−</i>2<i>x</i>2+<i>x</i>+1<i>− x</i>+3
(<i>x</i>+1)(<i>x −</i>1)

B =

<i>x −</i>1¿2
¿

<i>−</i>¿

<i>− x</i>2+2<i>x+</i>1
(<i>x+</i>1)(<i>x −</i>1)=¿

<b>3. Bµi tËp</b>

<i> Bµi 19. Rót gän biĨu thøc</i>

a) A = <i>a</i>

2_{(b − c)+b}2

(<i>c − a)+c</i>2(<i>a −b)</i>

ab2<i>₋</i>_ac2<i>_{− b}</i>3
+bc2
b) B = 2<i>x</i>

3

<i>−</i>7<i>x</i>2<i>−</i>12<i>x</i>+45

3<i>x</i>3<i>−</i>19<i>x</i>2+33<i>x −</i>9

c) C =

<i>z − x</i>¿2

<i>y</i>+<i>z</i>¿2+¿

<i>x</i>+<i>y</i>¿2+¿
¿

<i>x</i>3<i>− y</i>3+<i>z</i>3+3 xyz

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

d) D =

<i>z − x</i>¿2

<i>y − z</i>¿2+¿

<i>x − y</i>¿2+¿

¿

<i>x</i>3

+<i>y</i>3+<i>z</i>3<i>−</i>3 xyz

¿

<i> Bµi 20. Rót gän biĨu thøc</i>

a) A = 1

<i>x</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)+

1

<i>y</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)+

1

<i>x</i>(<i>x − y</i>)+

1

<i>y</i>(<i>y − x</i>)

b) B = 1

<i>a</i>(<i>a − b</i>)(<i>a − c</i>)+

1

<i>b</i>(<i>b −a</i>)(<i>b− c</i>)+

1

<i>c</i>(<i>c − a</i>)(<i>c −b</i>)

<i> Bµi 21. Cho x2_{- 4x + 1 = 0}</i>

Tính giá trị của biÓu thøc A = <i>x</i>
4

+<i>x</i>2+1

<i>x</i>2

<b>II) Bài toán giải phơng trình bậc cao.</b>

1) <b>Phng phỏp</b> : áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhõn t

đa về phơng trình tích

AB = 0 <i>⇔</i> hc A = 0
hc B = 0

2) <b>VÝ dơ</b>: Giải phơng trình

* Ví Dụ 1: x3_{-- 7x}2_{+ 15x-- 25 = 0}

<i>⇔</i> x3_{-- 5x}2_{-- 2x}2_{+ 10x + 5x- 25 = 0}
<i>⇔</i> x2_{(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x -- 5) = 0}

<i>⇔</i> (x- 5)(x2_{- 2x + 5) = 0}

<i>⇔</i>

<i>x −</i>5=0

¿

<i>x</i>2<i>−</i>2<i>x</i>+5=0

¿
¿
¿
¿

<i>⇔</i>

<i>x</i>=5

¿

<i>x −</i>1¿2+4=0

¿
¿
¿
¿

¿

(V« lý)

Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm S = {5}
*Ví dụ 2:

(2x2_{+ 3x - 1)} 2_{-- 5(2x}2_{+ 3x + 3) + 24 = 0} ₍₁₎
Đặt : 2x2_{+ 3x - 1 = t} _(*)
 2x2_{+ 3x + 3 = t + 4}

Phơng trình đã cho trở thành: t2 _{- 5(t + 4) + 24 = 0}

 t2_{- 5t + 4 = 0}

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>



<i>t −</i>1=0

¿

<i>t −</i>4=0

¿
¿
¿
¿



<i>t</i>=1

¿

<i>t</i>=4

¿
¿
¿
¿
+ Thay t = 1 vµo (*), ta cã:

2x2_{+ 3x - 1 = 1}

 2x 2 _{+ 3x - 2 = 0}

 (2x 2 _{+ 4x) - x - 2 = 0}

 2x(x + 2) - (x + 2) = 0

 (x + 2) (2x - 1) = 0



<i>x</i>+2=0

¿
2<i>x −</i>1=0

¿

<i>⇔</i>

¿

<i>x</i>=<i>−</i>2

¿

<i>x</i>=1

2
¿
¿
¿
¿
¿
¿

+ Thay t =4 vµo (*), ta cã :

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>



<i>x −</i>1=0

¿
2<i>x</i>+5=0

¿

<i>⇔</i>

¿

<i>x</i>=1

¿

<i>x</i>=<i>−</i>5

2
¿
¿
¿
¿
¿
¿

Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm: S = { -2; <i>−</i>5
2 ;

1

2 ; 1}
* VÝ Dô 3:

(x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (1)

 (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40

 (x2 _{+ 6x + 5)(x}2 _{+ 6x + 8) = 40}

Đặt x2 _{+ 6x + 5 = t (*)}
 x2 _{+ 6x + 8 = t + 3}
Phơng trình đã cho trở thành:

t(t + 3) = 40
 t2 _{+ 3t – 40 = 0}
 (t – 5)(t + 8) = 0



<i>t</i>=5

¿

<i>t</i>=<i>−</i>8

¿
¿
¿
¿

Thay t = 5 vµo (*), ta cã: x2_{+ 6x + 5 = 5}
x2_{+ 6x = 0}

x(x + 6) = 0 

x = 0

¿
x = -6

¿
¿
¿
¿
Thay t = -8 vµo (*), ta cã: x2_{+ 6x + 5 = - 8}
 x2_{+ 6x + 13 = 0}

x2_{+ 2x} 5
2 +

25
4 +

27

4 = 0
 (x + 5₂ )2₊ 27

4 = 0 (Vô lý)
Vậy phơng trình (1) có tËp nghiÖm S = {0; -6}

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

x _❑4 _{+ 3x}

❑3 + 4x ❑2 + 3x + 1 = 0 (4)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng tr×nh (4)

 Chia hai vế của (4) cho x _❑2 __{0, ta đợc}
x _❑2 _{+ 3x + 4 + 3} 1

x +
1

<i>x</i>2 = 0
<i>⇔</i> (x2₊ 1

<i>x</i>2 ) + 3(x +

1

x ) + 4 = 0
§Ỉt x + 1

x = t (*)

 x _❑2 ₊ 1

x2 = t ❑2 – 2

Phơng trình đã cho trở thành : t _❑2 _{+ 3t + 2 = 0}
<i>⇔</i> (t + 1)(t + 2) = 0

<i>⇔</i>

<i>t</i>=<i>−</i>1

¿

<i>t</i>=<i>−</i>2

¿
¿
¿
¿
Thay t = - 1 vào (*), ta đợc : x + 1

x = -1 <i>⇔</i> x ❑2 + x + 1 = 0 (V«
nghiƯm)

Thay t = - 2 vào (*), ta đợc : x + 1

x = - 2 <i>⇔</i> x ❑2 + 2x + 1 = 0
<i>⇔</i> (x + 1) _❑2 _{= 0} <i>_⇔</i> _{x = -1}

Vậy phơng trình (4) có tập nghiệm S = {-1}
*Ví Dụ 5 : Giải Phơng trình đối xứng bậc lẻ

x _❑5 _{– x}

❑4 + 3x ❑3 + 3x ❑2 – x + 1 = 0 (5)
Cã x = - 1 lµ 1 nghiƯm cđa phơng trình (5).

Do đó (5)  (x + 1)(x _❑4 _{– 2x}

❑3 + 5x ❑2 – 2x + 1) = 0
Giải phơng trình đối xứng bậc chẵn.

x4_{– 2x}3_{+ 5x}2_{– 2x + 1 = 0 (5)}

Ta thấy x = 0 không là nghiệm cđa (5’). Chia c¶ 2 vÕ cđa (5’) cho x _❑2 __0,
ta cã: x _❑2 _{– 2x + 5 - 2} 1

<i>x</i> +

1

<i>x</i>2 = 0
 (x _❑2 ₊ 1

<i>x</i>2 ) 2(x +
1

<i>x</i> ) + 5 = 0

Đặt (x + 1

<i>x</i> ) = t (*)

 (x _❑2 ₊ 1

<i>x</i>2 ) = t ❑

2 _{– 2}
(5’)  t _❑2 _{– 2t +3 = 0}

 (t – 1) _❑2 _{+ 2 = 0 ( v« nghiƯm)}

VËy Phơng trình (5) có tập nghiêm S = {-1}

3) <b>Bài tập</b>: Bài 22: giải phơng trình

a) 2x _❑3 _{+ 3x}

❑2 +6x +5 =0
b) x _❑4 _{– 4x}

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

c) 4x _❑4 _{+ 12x}

❑3 + 5x ❑2 – 6x – 15 = 0
d) x _❑3 _{+ 3x}

❑2 + 4x + 2 = 0
Bài 23: giải phơng trình

a) x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24

b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680
c) (2x + 1)(x+ 1) _❑2 _{(2x + 3) = 18}

d) 12x + 7) _❑2 _{(3x + 2)(2x + 1) = 3}
Bµi 24: giải phơng trình

a) (x 2 _{6x + 9)}

❑2 – 15(x ❑2 – 6x + 10) = 1
b) (x _❑2 _{+ x + 1)}

❑2 +(x ❑2 + x + 1) – 12 = 0
c) (x _❑2 _{+ 5x)}

❑2 – 2x 2 10x = 24
Bài 25: giải phơng trình

a) x _❑4 _{-- 2x}

❑3 + 4x ❑2 – 3x + 2 = 0
b) x _❑4 _{– 3x}
❑3 + 4x ❑2 – 3x + 1 = 0
c) 2x _❑4 _{– 9x}
❑3 + 14x ❑2 – 9x + 2 = 0
d) x _❑6 _{+ x}
❑5 + x ❑4 + x ❑3 +x ❑2 + x + 1 = 0
Bài 26: giải phơng trình
x _❑5 _{+ 2x}
❑4 + 3x ❑3 + 3x ❑2 + 2x + 1 = 0
<b>III/ Bài toán giải bất phơng trình</b>
<b>1. Phơng pháp </b>
Với một số bất phơng trình bậc bao dạng f(x) > 0 hoặc ( f(x) < 0),
trong đó vế trái f(x) là một đa thức có thể phân tích thành các nhân tử là
những nhị thức bậc nhất thì ta có thể giải nhờ vào cách giải bất phơng trình
tích
2) <b>Ví dụ</b> : Giải bất phơng trình.
* Ví dụ 1: x _❑2 _{– 5x +6 < 0 (1)}

 (x – 2)(x –3) < 0
Ta cã b¶ng :

x 2 3

x – 2 -- 0 + +

x – 3 -- -- 0 +

x – 2)(x – 3) + 0 -- 0 +

Vậy bất phơng trình (1) có nghiệm lµ 2 < x <3
2 3

 VÝ dô 2: x4_{– 3x}3_{– x + 3} ₀
 (x – 1)(x – 3)(x2_{+ x + 1)} ₀
v× x2_{+ x + 1 = (x +} 1
2 )2 +
3
4 > 0 <i>∀</i> x
Nªn x4_{– 3x}3_{– x + 3} ₀__{(x – 1)(x – 3)} ₀_₁ _x ₃
1 3

 VÝ dô 3: 1
3<i>−</i>5<i>x</i>>

1
2<i>x</i>+3

 ₃<i>₋</i>1₅<i>_x−</i>₂<i>_x</i>1

+3 > 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

(2<i>x</i>+3)<i>−</i>(3<i>−</i>5<i>x</i>)

(3<i>−</i>5<i>x</i>)(2<i>x</i>+3) > 0 

7<i>x</i>

(3<i>−</i>5<i>x</i>)(2<i>x</i>+3) > 0

Ta cã b¶ng :

x <i>−</i>3

2

0 3

5

7 x - - 0 + +

3 – 5x + + + 0

-2x + 3 - 0 + + +

Thơng + // - 0 + //

-Kết quả x < <i>−</i>3

2 hc 0 < x <
3

5

<i>−</i>3

2 0
3
5

2. <b>Bµi Tập</b>:

Bài 25: Giải phơng trình
a) x 3 _2x

❑2 + x + 2 > 0
b) x _❑2 _{– 4x + 3} ₀

c) x _❑4 _{– 4x + 3 < 0}
Bµi 26 : Giải phơng trình

a) x + 5

(x + 7)(3 - 4x) < 0

b) <i>−</i>4

3 x + 1 <

3
2<i>− x</i>

c) x + 2
3x + 1

x - 2
2x - 1
d) <i>x</i>

x - 2 +

x + 2

<i>x</i> > 2

<b>IV/ Bài toán chia hết</b>

<b>1) Phơng pháp:</b>

Biến đổi đa thức đã cho thành một tích, trong đó xuất hiện thừa số có
dạng chia hết.

<b>2) VÝ dơ</b>

 VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng

(4x + 3) ❑2 - 25  8 x є Z

Bµi lµm

Cã (4x + 3) ❑2 – 25 = 8(2x – 1)(x + 1) : 8 x є Z

 VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng: n є Z th× biĨu thøc ₃<i>n</i> + <i>n</i>
2
2 +

<i>n</i>3
6 є Z
Bµi Lµm

Cã <i>n</i>
3 +

<i>n</i>2
2 +

<i>n</i>3
6 =

2<i>n</i>+3<i>n</i>2+<i>n</i>3

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

XÐt 2n + 3n2_{+ n}3_{= n(n + 1)(n + 2) lµ tÝch cđa 3 sè nguyên liên tiếp. Vì vậy}
ít nhất có 1 thừa số chia hÕt cho 2; 1 thõa sè chia hÕt cho 3. Mà (2; 3) = 1.
Nên tích này chia hết cho 6.

VËy n є Z th× ₃<i>n</i> + <i>n</i>
2
2 +

<i>n</i>3
6 є Z

<b>3) Bµi tËp </b>

<i>Bµi 27: Chøng minh r»ng</i>

a) 2 ❑5 + 3 ❑5 + 5 ❑5  5

b) 2 ❑4<i>n</i> -- 1 15

c) 7 ❑1 + 7 ❑2 + 7 ❑3 + 7 ❑4 + ... + 7 ❑4<i>k</i>  400 (k є N)

d) 75(4 ❑1975 + 4 ❑1974 + ... + 42 + 5) + 25. 4 ❑1976

<i> Bµi 28 : Chøng Minh R»ng</i>

</div>

<!--links-->