Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học nội dung Hình học 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN
SAIGON UNIVERSITY
TẠP CHÍ KHOA HỌC
SCIENTIFIC JOURNAL
ĐẠI HỌC SÀI GÒN
OF SAIGON UNIVERSITY
Số 71 (05/2020)
No. 71 (05/2020)
Email: ; Website: />
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC CHO
HỌC SINH THƠNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG HÌNH HỌC 10
Developing mathematical modeling competence for students through teaching
geometry content grade 10
TS. Phạm Thị Thanh Tú(1), Trần Thị Hồng Nhung(2)
Trường Đại học Sài Gòn
Học viên cao học Trường Đại học Sài Gịn

(1)

(2)

TĨM TẮT
Chương trình giáo dục phổ thơng (chương trình tổng thể) 2018 đã chỉ rõ năng lực mô hình hóa toán học
là một trong năm năng lực mà giáo viên toán cần phải hình thành và phát triển cho học sinh. Bài báo
trình bày mợt nghiên cứu cụ thể tại Trường Trung học phổ thông Bà Điểm (gồm 44 học sinh) đã được
thực hiện 3 biện pháp: hình thành tri thức mới cho học sinh thông qua hoạt động khảo sát một hay nhiều
trường hợp riêng lấy từ thực tiễn; tăng cường xây dựng các tình huống gắn với đời sống thực tiễn để học
sinh giải quyết; tổ chức cho học sinh khai thác, vận dụng kiến thức đã học dựa trên các đồ dùng được
làm từ vật liệu có sẵn trong c̣c sống thường ngày. Kết quả nghiên cứu cho thấy học sinh phát huy
được khả năng sáng tạo và vận dụng được vào thực tiễn hay nói cách khác, năng lực mơ hình hóa tốn
học của học sinh đã được cải thiện. Các biện pháp này hoàn tồn có thể ứng dụng cho lớp 10.

Từ khóa: mơ hình hóa toán học, năng lực mơ hình hóa toán học, hình học 10
ABSTRACT
General education program (master program) 2018 has shown that mathematical modeling competence
is one of the five competencies that math teachers need to shape and develop for students. A specific
study at Bà Điểm High School with 44 students has taken 3 measures: creating new knowledge for
students through surveying activities of one or many separate cases taken from Practice; strengthen the
construction of real-life situations for students to solve; organize for students to exploit and apply the
learned knowledge based on the utensils made from materials available in daily life. The results show
that the application of the measures above has improved the mathematical modeling capacity for
students. These measures are perfectly applicable for grade 10.
Keywords: geometry grade 10, mathematical modeling, mathematical modeling competency

và có nhiều ứng dụng sâu sắc. Những phát
minh mới của toán học xuất hiện hàng
ngày, hàng giờ với rất nhiều ngành mới ra
đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn. Ngày
nay toán học không chỉ áp dụng trong thiên
văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào

1. Mở đầu
Toán học đã xuất hiện ngay từ những
ngày đầu bình minh của lịch sử nhân loại.
Trải qua nhiều thập kỷ, toán học vẫn không
ngừng vận động và phát triển. Ngày nay,
toán học đã phát triển một cách mạnh mẽ
Email:

97

SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY

No. 71 (05/2020)

hoá học, sinh học và nhiều ngành khoa học
xã hội nữa. Ở nước ta, cố Thủ tướng Phạm
Văn Đồng từng nói: “Trong phương hướng
phát triển khoa học kỹ thuật ở nước ta có
những ngành có thể và cần phải làm sớm,
mà làm sớm được thì rất tốt. Ví dụ như
ngành toán học, trong đó có vận trù học, có
phương pháp PERT” [1].
Trong Thông báo khoa học Trường
Đại học Văn Hóa Hà Nội (04/1999) với bài
viết có tiêu đề “Toán học và thực tiễn đời
sống” [1], Đồn Phan Tân khẳng định:
“Toán học là mợt khoa học rất trừu tượng
lại có tác dụng to lớn với thực tiễn, tác
dụng của nó đối với đời sống sản xuất và
khoa học kỹ thuật là vô cùng to lớn”.
Tuy nhiên, việc chuyển đổi các vấn đề
thực tiễn sang toán và ngược lại, sử dụng
kết quả toán để giải quyết các vấn đề thực
tiễn trên thực tế là rất khó thực hiện, đặc
biệt là đối với học sinh (HS) lớp 10 vì ở
thời điểm này các em chưa được tiếp xúc
nhiều với các dạng toán thực tế. Thực trạng
này được nghiên cứu và phân tích cụ thể
với cơng trình về thực trạng năng lực mơ
hình hóa (MHH) tốn học của HS trung

học phổ thông (THPT) của tác giả Lê Hồng
Quang [2]. Trong đó, tác giả đưa ra nhận
định rằng: “Dạy học MHH toán học trong
nhà trường phổ thông tại Việt Nam giai
đoạn tới là đầy triển vọng”. Do đó, để hỗ
trợ cho HS trong việc chuyển đổi này
chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc phát
triển năng lực MHH toán học thông qua
các tiết dạy hình thành tri thức mới thuộc
chương trình Hình học 10. Ở đây, chúng
tôi chọn làm MHH Hình học 10 thay vì
Hình học 11 hay Hình học 12, vì ở lớp 10
HS khơng bị áp lực về thời gian và thi cử,
hơn nữa Hình học 10 cũng có nhiều nội
dụng thuận lợi để chúng tôi thực hiện các
biện pháp.

2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Mơ hình hóa tốn học
Tại hợi nghị của Freudental năm 1968,
MHH tốn học trong giáo dục lần đầu tiên
được xuất hiện một cách chính thức.
Nhưng mợt cợt mốc quan trọng của việc
đưa MHH vào nhà trường phải kể đến
chính là nghiên cứu của Pollak năm 1979.
Theo đó, ơng cho rằng giáo dục tốn học
trước hết phải có nhiệm vụ dạy cho HS
cách sử dụng tốn trong c̣c sống hàng
ngày. Chính vì lí do đó mà hợi nghị quốc tế
về dạy học MHH tốn học và áp dụng

International Commission on Mathematical
Instruction (ICTMA) được tổ chức hai năm
mợt lần với mục đích thúc đẩy khả năng
vận dụng phương pháp MHH trong dạy
học toán ở trường phổ thông. MHH giúp
rèn luyện cho HS những kĩ năng toán học
cần thiết, kỹ năng giải quyết vấn đề, kỹ
năng hợp tác và nghiên cứu, phát triển tư
duy logic và nhận thức ở mức độ cao. Hoạt
động này giúp tăng cường sự gắn kết giữa
không gian lớp học với các vấn đề của thế
giới bên ngoài, từ đó giúp HS thấy được vẻ
đẹp, cấu trúc và ứng dụng của toán học
trong thực tiễn. Nhằm giúp HS hiểu sâu và
nắm chắc kiến thức tốn học trong nhà
trường [3].
Có nhiều định nghĩa và mơ tả khác
nhau về khái niệm MHH tốn học, tùy
tḥc vào quan điểm lý thuyết mà mỡi tác
giả có sự lựa chọn khác nhau. Trong phạm
vi bài viết này, chúng tơi sử dụng khái
niệm MHH tốn học theo Lâm Thùy
Dương [4] và Xviregiev [5]: “MHH toán
học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực
tế sang vấn đề toán học bằng cách thiết lập
và giải quyết các mơ hình tốn học. Cụ thể,
MHH tốn học là tồn bợ q trình chuyển
đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán
học và ngược lại, cùng với các yếu tố liên
98

PHẠM THỊ THANH TÚ - TRẦN THỊ HỒNG NHUNG

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

quan đến quá trình đó: từ bước xây dựng
lại tình huống thực tiễn, lựa chọn mơ hình
tốn học phù hợp, làm việc trong mợt mơi
trường tốn học, giải thích, đánh giá kết
quả liên quan đến tình huống thực tiễn và
điều chỉnh mơ hình cho đến khi có được
kết quả hợp lí”.
Q trình MHH tốn học được trình
bày trong chương trình đánh giá HS quốc tế
PISA theo sơ đồ gồm các bước sau đây [4]:
Bước 1, bắt đầu từ một vấn đề thực tế

được đặt ra trong thế giới thực;
Bước 2, nhận ra các kiến thức toán học
phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo
các khái niệm tốn học;
Bước 3, khơng ngừng cắt tỉa, chọn lọc
các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành
mợt bài tốn thể hiện cho tình huống;
Bước 4, giải quyết bài toán;
Bước 5, làm cho lời giải bài tốn có ý
nghĩa đối với tình huống thực tế, xác định
những hạn chế của lời giải.

Thế giới thực tế

Thế giới toán học

Lời giải thực tế

Lời giải toán học

Vấn đề thực tế

Vấn đề toán học

Sơ đồ thể hiện rất rõ mối liên hệ giữa
thế giới thực và thế giới toán học thơng qua
việc chuyển từ tình huống thực tiễn thành
mợt vấn đề toán học và việc chuyển lời giải
toán học thành lời giải thực tiễn. Do đó,
việc dạy học gắn liền với thực tiễn về thực
chất là dạy cho học sinh tự mình thực hiện
được 4 giai đoạn gồm: Chuyển tình huống
thực tiễn thành tình huống tốn học; giải
quyết bài tập toán học; chuyển các kết quả
của bài tập toán thành kết quả của lời giải
thực tiễn; kết luận cho vấn đề thực tiễn
ban đầu.
2.3. Năng lực mơ hình hố tốn học
Hiện nay, có rất nhiều định nghĩa và
quan điểm khác nhau về năng lực MHH
toán học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo
dục. Trong bài viết này, chúng tôi sử dụng

quan điểm về năng lực MHH toán học của
Bloomhoj và Jensen như sau: Năng lực
MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai
đoạn của q trình MHH trong mợt tình
huống cho trước [6]. Các biểu hiện của
năng lực MHH được thể hiện qua việc: [7]
+ Xác định được mô hình tốn học
(gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu,
đồ thị, v.v.) cho tình huống xuất hiện trong
bài tốn thực tiễn.
+ Giải quyết được những vấn đề toán
học trong mô hình được thiết lập;
+ Thể hiện và đánh giá được lời giải
trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến được mô
hình nếu cách giải quyết không phù hợp.
Từ khái niệm trên theo chúng tôi thấy,
đối với HS trung học phổ thông, năng lực
MHH thể hiện thông qua việc:
99


SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY

No. 71 (05/2020)

+ Thiết lập được mô hình toán học
(gồm công thức, phương trình, sơ đồ, bảng
biểu, hình vẽ...) để mô tả tình huống đặt ra
trong một số bài toán thực tiễn;

+ Giải quyết được những vấn đề toán
học trong mơ hình được thiết lập;
+ Lí giải được tính đúng đắn của lời
giải (những kết luận thu được từ các tính
toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn
hay không). Đặc biệt, nhận biết được cách
đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu
cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả
thiết, tổng quát hóa...) để đưa đến những
bài toán giải được.
Từ những mô tả trên, theo chúng tôi,
để bồi dưỡng và phát triển năng lực MHH
tốn học trong dạy học Hình học 10, giáo
viên (GV) cần chú trọng vào những thành
tố cơ bản sau để bồi dưỡng và phát triển
cho HS:

+ Kiến thức, kỹ năng liên quan đến
toán học để giúp HS phát triển kỹ năng kết
nối chúng nhằm giải quyết những vấn đề
thực tế;
+ Sử dụng các biểu diễn toán;
+ Phân tích các biểu diễn;
+ Thấu hiểu được sự kết nối giữa toán
học và thực tế.
8 kỹ năng thành phần của năng lực
MHH toán học bao gồm:
(1) Đơn giản hóa giả thiết;
(2) Làm rõ mục tiêu (yêu cầu của đề
bài);

(3) Thiết lập vấn đề toán học;
(4) Xác lập biến số, hằng số (kèm
theo điều kiện);
(5) Thiết lập mệnh đề toán học;
(6) Lựa chọn mô hình;
(7) Biểu diễn mô hình bằng đồ thị;
(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn.

Các cấp độ trong năng lực mơ hình hóa của học sinh (theo Ludwig và Xu [6])
Mức

Các kỹ năng có thể thực hiện

Biểu hiện của HS

Mức 0

HS đọc khơng hiểu tình huống, khơng thể viết, vẽ
hay phác thảo những gì liên quan tới vấn đề, ngợ
nhận bởi các tình huống gây nhiễu.

Mức 1

HS chỉ hiểu được tình huống thực tiễn theo bối cảnh,
nhưng khơng cấu trúc lại hoặc chưa tìm ra được mối
liên hệ giữa các giả thiết với nhau, khơng thể tìm
được sự kết nối với mợt ý tưởng tốn học nào.

Mức 2

Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh biết tìm
HS cần đạt 2 kỹ năng MHH (1)
mơ hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng
và (2)
chưa biết chuyển đổi thành vấn đề tốn học.

Mức 3

Khơng chỉ tìm ra mơ hình thật mà cịn phiên dịch nó
HS cần đạt được các kỹ năng
thành vấn đề toán học, nhưng vẫn chưa thể làm việc
(1), (2), (3) và (4)
với nó mợt cách rõ ràng trong thế giới tốn học.

Mức 4

HS có thể thiết lập vấn đề tốn học từ các tình
HS cần đạt được các kỹ năng
huống thực tiễn, làm việc với bài toán đó với các
(1), (2), (3), (4), (5), (6) và (7)
kiến thức tốn học và có cho ra được kết quả cụ thể.

Mức 5

HS có thể trải nghiệm q trình MHH tốn học và
HS cần đạt được tất cả 8 kỹ
kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với
năng thành phần nói trên
tình huống đã cho.

100


PHẠM THỊ THANH TÚ - TRẦN THỊ HỒNG NHUNG

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

Theo các căn cứ ở trên, chúng tôi cho
rằng cách tốt nhất để phát triển năng lực
MHH cho học sinh là tạo cơ hội để học
sinh được thường xuyên rèn luyện các kỹ
năng thành phần của năng lực này. Từ đó,
chúng tôi đề xuất các biện pháp phát triển
năng lực MHH toán học cho HS thơng qua
dạy học nợi dung Hình học 10.
2.3. Một số biện pháp phát triển năng
lực mơ hình hố tốn học cho học sinh
thơng qua dạy học nội dung hình học
lớp 10
Nghiên cứu được tiến hành ở lớp 10A4
(44 HS) Trường THPT Bà Điểm. Kết quả
nghiên cứu cho thấy, có 38/44 HS cảm
thấy tiết học hứng thú, 34/44 HS có tiến bộ
về năng lực mô hình hóa và khả năng vận
dụng vào thực tiễn, 20/44 HS phát huy
được khả năng sáng tạo. Qua nghiên cứu,
chúng tôi nhận thấy có ba biện pháp đạt
hiệu quả nổi trội hơn hẳn chưa từng được
đề xuất trước đây.
2.3.1. Biện pháp 1, hình thành tri thức

mới cho học sinh thông qua khảo sát một
hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn
Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn và
phản ánh thực tiễn. Những nội dung toán
thường có tính trừu tượng, khái quát, nên
khi học các tri thức mới, HS lớp 10 ít thấy
sự liên hệ của chúng với thực tế. Do đó, tổ
chức dạy học thông qua việc khảo sát một
hay nhiều trường hợp riêng lấy từ thực tiễn
sẽ giúp HS thấy được mối liên hệ giữa toán
và thực tế, qua đó tạo nguồn cảm hứng và
động lực cho họ tiếp cận kiến thức và hình
thành tri thức mới.
Với đề xuất này, chúng tơi đưa ra các
trường hợp riêng từ thực tiễn nhằm đơn
giản hóa những tri thức trừu tượng, thu hẹp
khoảng cách giữa lý thuyết và thực tiễn, từ
đó hình thành tri thức mới cho HS.
Ví dụ 1. Để dạy định lí cơsin trong tam

giác cho HS, GV có thể tổ chức như sau:
Hoạt động 1, GV đưa ra mợt tình
huống gắn với thực tiễn:
Hai chiếc tàu đánh cá cùng xuất phát
từ một bến cảng A, đi thẳng theo hai hướng
tạo với nhau thành góc 600. Tàu B chạy với
tốc đợ 20 hải lí mợt giờ. Tàu C chạy với
tốc đợ 15 hải lí một giờ. Sau 2 giờ, hai tàu
cách nhau bao nhiêu hải lí? (1 hải lí 
1,852 km).

Để giúp HS giải quyết tình huống trên,
GV có thể hướng dẫn HS thực hiện các
hoạt động sau:
Câu hỏi gợi ý 1, mô tả tình huống trên
thơng qua hình vẽ.
Câu trả lời mong đợi (CTLMĐ): sau 2
giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được
30 hải lí. Khi đó, tình huống được mơ tả lại
như Hình 1.

Hình 1
Câu hỏi gợi ý 2, quan sát hình vẽ trên,
các em cho biết đã từng giải bài toán nào
tương tự bài toán này chưa?
CTLMĐ: bài tốn trong [9]. Cho tam
giác ABC vng tại A (Hình 2), khi đó áp
dụng định lí Py-ta-go ta có:
BC 2  AC 2  AB2
2

2

2

hay BC  AC  AB . (*)
Ta có thể chứng minh đẳng thức (*)
như sau:
2

2

2

BC  ( AC  AB)2  AC  AB  2 AC. AB
2

2

 AC  AB .

101


SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY

No. 71 (05/2020)

tam giác theo hai cạnh cịn lại và cơsin của
góc xen giữa hai cạnh đó. Tuy nhiên, lúc
này bài toán mới dừng lại ở mợt trường
hợp riêng là “tính đợ dài cạnh BC khi biết
2 cạnh còn lại AB = 40, AC =30 và Â =
600” nên sau đó, GV cần tổ chức thêm khái
qt hóa để nâng lên thành bài tốn tổng
qt. Hoạt đợng khái qt hóa được tổ
chức như sau:
Hoạt động 2, các em hãy giải bài toán
tổng quát sau:
“Cho tam giác ABC, biết hai cạnh
AB  c, AC  b và Â   . Tính đợ dài

cạnh BC”.
CTLMĐ: tương tự hoạt đợng 1, ta có

Hình 2
Trong chứng minh chúng ta vừa thực
hiện, giả thiết góc A vng được sử dụng
như thế nào?
CTLMĐ:
 =900  cos  =0  2 AC. AB  0
Câu hỏi gợi ý 3, trong bài giải trên, ta
đã sử dụng phương pháp nào để giải?
CTLMĐ: phương pháp vectơ

BC 2  BC

  AC  AB 

Câu hỏi gợi ý 4, tương tự bài toán
trên, các em hãy giải bài toán đã đưa ra ở
trên và CTLMĐ như sau:

2

2

2

 b2  c 2  2 b.c.cos .

Suy ra BC  b2  c 2  2b.c.cos .

Trên cơ sở giải quyết bài toán trong
trường hợp tổng quát trên, GV đề nghị HS
làm các bài tương tự như:
Bài 1, “cho tam giác ABC, biết hai
  . Tính độ
cạnh AB  c, BC  a, và
dài cạnh AC ”.
Bài 2, “cho tam giác ABC, biết hai
cạnh BC  a, AC  b và   . Tính đợ dài
cạnh AB”.
Sau khi HS giải quyết hết các bài toán
tổng quát đã nêu, GV tiếp tục tổ chức cho
HS hoạt đợng sau:
Hoạt động 3, thiết lập cơng thức tổng
qt tính mợt cạnh của tam giác theo hai
cạnh cịn lại và cơsin của góc xen giữa hai
cạnh đó.
Hồn thành hoạt đợng 3, HS hình
thành tri thức mới là định lí cơsin trong
tam giác ABC với BC = a, CA = b và AB =
c, ta có:

2

  AC  AB 

2

 AC  AB  2 AC. AB

Ta có
BC 2  BC

2

2

2

 AC  AB  2 AC. AB
 302  402  2.600
 1300.

Suy ra BC  1300  36 (hải lí).
Vậy sau 2 giờ hai tàu cách nhau 36 hải
lí.
Phân tích:
- Câu hỏi gợi ý 1 giúp HS sử dụng các
biểu diễn toán, nhận ra biến số và cấu trúc
tốn ẩn sau tình huống để thiết lập mơ hình.
- Câu hỏi gợi ý 2, 3 và 4 nhằm dẫn dắt
HS hướng đến việc sử dụng phương pháp
vectơ để tính đợ dài cạnh BC. Thơng qua
việc tính đợ dài cạnh BC bằng phương
pháp vectơ, HS khám phá ra tri thức mới
tổng quát hơn là “tính đợ dài mợt cạnh của
102


PHẠM THỊ THANH TÚ - TRẦN THỊ HỒNG NHUNG

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

toán.v.v.
Việc thường xuyên tổ chức cho HS
thực hiện các hoạt đợng chuyển đổi từ tình
huống thực tế sang tình huống tốn sẽ tác
đợng lên nhận thức và thói quen sử dụng
công cụ toán học để giải quyết các vấn đề
từ đơn giản đến phức tạp nảy sinh trong
cuộc sống hàng ngày.
Chẳng hạn, khi dạy học nợi dung về
phương trình đường trịn, chúng tơi cho
học sinh thực hiện hoạt động MHH toán
học thông qua bài toán sau:
Ví dụ 2. Mợt nhà hàng tiệc cưới ở Bến
Tre có cổng chính ra vào là mợt phần
đường trịn có trang trí hoa rất đẹp (Hình
3). Bạn An rất thích cái cổng này, nên dự
định khi về nhà sẽ làm một cái tương tự.
Nhân tiện có cái thước dây của anh thợ sửa
chữa nào đó để quên ở nhà hàng, sử dụng
nó để đo đạc và nhận thấy: độ rộng trên
mặt đất của cổng là 4m (khoảng cách giữa
hai chân cổng). Đứng cách một chân cổng
khoảng 0,25m bạn giơ tay vừa chạm cổng
(chiều cao từ vị trí An đứng đến vịm cổng
là 2m). Chỉ với những thơng số trên An đã
tìm được tâm và bán kính của đường trịn
tương ứng chứa cổng đó. Vậy, vì sao bạn

An tìm được?
Để giúp HS giải thích được điều đó,
GV cần hướng dẫn họ thực hiện các hoạt
động sau:

a2  b2  c2  2bc cos A;

b2  c2  a2  2ca cos B;
c2  a2  b2  2ab cos C.
Hoạt động 4, phát biểu bằng lời cơng
thức tính mợt cạnh của tam giác theo hai
cạnh cịn lại và cơsin của góc xen giữa hai
cạnh đó và CTLMĐ: “Trong tam giác, bình
phương mợt cạnh thì bằng tổng bình
phương hai cạnh cịn lại trừ cho hai lần tích
của hai cạnh đó nhân với cơsin của góc xen
giữa hai cạnh đó”.
Nhận xét:
Thơng qua hoạt đợng khảo sát mợt
trường hợp riêng (tình huống lấy từ thực
tiễn là tình huống tính khoảng cách giữa 2
tàu đánh cá sau 2 giờ rời bến cảng A) của
bài toán: “Tính đợ dài cạnh BC của tam
giác ABC khi biết hai cạnh AB  40,
0
”, GV giúp HS tự
AC  30 và
hình thành tri thức mới là định lí cơsin
trong tam giác bằng cách tổ chức cho họ
hoạt động khái qt hóa bài tốn từ trường

hợp riêng thành bài tốn tổng quát: “Cho
tam giác ABC, biết hai cạnh AB  c, AC  b

và   . Tính đợ dài cạnh BC ”. Sau yêu
cầu “thiết lập công thức tổng qt tính mợt
cạnh của tam giác theo hai cạnh cịn lại và
cơsin của góc xen giữa hai cạnh đó”, hoạt
đợng cuối cùng là GV đề nghị HS phát
biểu bằng lời cơng thức tính mợt cạnh của
tam giác theo hai cạnh cịn lại và cơsin của
góc xen giữa hai cạnh đó để củng cố kiến
thức mới học.
2.3.2. Biện pháp 2, tăng cường xây
dựng các tình huống gắn với thực tế để học
sinh giải quyết
Để phát triển năng lực MHH toán học
cho HS, GV cần tạo điều kiện cho họ thực
hiện các hoạt đợng có liên quan thơng qua
quá trình dạy học khái niệm mới, dạy học
định lý, các công thức, quy tắc, giải bài tập

Hình 3
103


SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY

No. 71 (05/2020)

Hoạt động 1, vẽ mơ hình cổng và mơ

phỏng các dữ kiện mà An đã có được.
Mô hình mong đợi: gọi A và B là giao
điểm của đường tròn và mặt đất (hai chân
cổng), H là vị trí mà bạn An đứng để đo
chiều cao đến vịm cổng và C là vị trí điểm
trên vịm cổng mà tay bạn chạm tới ở vị trí
đứng H. Khi đó ta có mơ hình cổng như
Hình 4:
Hình 5
Hoạt động 3, viết phương trình đường
tròn cổng (gọi là C) trong hệ tọa độ đã
chọn, từ đó suy ra tâm và bán kính của nó.
CTLMĐ: phương trình đường trịn (C)
có dạng

x2  y 2  2ax  2by  c  0 (với

a 2  b2  c  0 )
Đường tròn C đi qua các điểm
A  2;0  , B  2;0  và C 1, 75; 2  , nên có
Hình 4

49
y4 0
32
Vậy (C) là đường trịn có tâm

phương trình là: x 2  y 2 

Hoạt động 2, đưa vào mô hình cổng

một hệ trục tọa độ theo các thông số mà An
thu được ở tình huống trên để tiện cho việc
tìm bán kính hình tròn chứa cổng đó.
CTLMĐ: xem đường thẳng đi qua hai
điểm A, B (hai chân cổng) là trục Ox, chọn
gốc tọa O trùng với trung điểm đoạn AB,
trục Oy vng góc với trục Ox ngay tại O.
Khi đó, với các dữ liệu thu được từ tình
huống trên, ta có:
AB
OA  OB 
 2m
2
 A  2;0  , B  2;0  .

I (0; 0,77) và bán kính R 

18785
 2,14 m.
4096

Hoạt động 4, cho biết sau khi dựng
được một khung sắt hình trịn có tâm và
bán kính như tâm và bán kính đường trịn
tìm được ở hoạt đợng 3 thì tiếp theo, An sẽ
phải cắt bỏ mợt phần đường trịn này như
thế nào để có được phần cổng như của nhà
hàng. Trình bày và giải thích cách làm đó.
Cách trình bày mong đợi:
Dựng đường kính MN của đường trịn

khung sắt (M, N nằm trên đường trịn
khung sắt) như Hình 6. Tại điểm M, đo
trên đoạn MN một đoạn bằng 1,37 m, xác
định điểm O, từ D kẻ đường thẳng vng
góc với MN và cắt đường tròn tại A và B.
Khi đó, bạn An chỉ cần cắt trên khung sắt ở
hai vị trí A và B là được phần cổng giống

OH  OB  HB  2  0,25 1,75m ;
CH  2m.
Suy ra C 1, 75; 2  .
Khi đó, mơ hình cổng được biểu diễn
trong hệ trục tọa đợ đã chọn bởi hoạt động
2 như Hình 5.
104


PHẠM THỊ THANH TÚ - TRẦN THỊ HỒNG NHUNG

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN

của nhà hàng (phần cung lớn) như Hình 6..

nhưng với cách hỏi ở hoạt động 2, GV
hướng HS đến mơ hình tọa đợ và vận dụng
kiến thức mới học là phương trình đường
tròn vào giải quyết tình huống.
Ngồi mơ hình như mong đợi được
trình bày ở trên, HS cũng có thể sử dụng
mơ hình khác như: chọn đường thẳng đi

qua hai điểm A, B (hai chân cổng) là trục
Ox, chọn gốc tọa độ O trùng với một chân
cổng (chẳng hạn như O trùng với chân
cổng A), trục Oy vuông với trục Ox ngay
tại O. Khi đó ta có các tọa độ tương ứng là
A  O(0; 0) , B  4;0  C  3, 75; 2  và phương

Hình 6
Giải thích: vì phần bỏ đi của cổng
chính là phần cung trịn nằm bên dưới trục
Ox trong Hình 5 nên gọi M là giao điểm
của đường tròn với trục tung (M nằm bên
dưới Ox) thì đoạn OM chính là đoạn trên
trục Oy cần bỏ đi. Khi đó:

trình đường trịn tương ứng với hệ trục tọa
49
đợ này là: x 2  y 2  4 x 
y0
32
Vậy (C) là đường trịn có tâm I (2; 0,77)

18785
 2,14 m.
4096

OM  R  yI  2,14  0,77  1,37m.

và bán kính R 

Vậy, để xác định phần cung tròn bỏ đi,
ta chỉ cần dựng trên đường tròn mợt đường
kính, xác định giao điểm của đường kính
với đường trịn. Từ mợt trong hai giao
điểm vừa xác định được, đo trên đường
kính mợt đoạn là 1,37 m rồi dựng mợt
đường vng góc với đường kính. Đường
thẳng dựng được chính là đường cần cắt.
Phân tích
+ Hoạt đợng 1 được đưa ra nhằm giúp
HS mơ phỏng thực tế thành mơ hình tốn
để thuận tiện cho việc tính tốn.
+ Từ thực tế các cổng hầu hết đều có
dạng đối xứng trục (với trục là đường
thẳng vng góc với mặt đất ở chính giữa
hai chân cổng), kết hợp với việc nhận ra
các biến cần thiết được chọn lọc trong tình
huống, HS có thể phác thảo mơ hình cổng
trên với hệ trục tọa đợ được chọn như Hình
5. Có nhiều mơ hình có thể được HS lựa
chọn (chẳng hạn như mô hình hình học
tổng hợp được yêu cầu trong hoạt động 1)

+ Thông thường, để viết phương trình
đường tròn, đề bài thường trực tiếp cho
tâm và bán kính hoặc cho giả thiết mà từ
đó gián tiếp có thể tìm được chúng rồi mới
thiết lập phương trình đường trịn. Tuy
nhiên, ở hoạt đợng 3, các dữ kiện thu được
không cho HS một gợi ý nào để tìm tâm và

bán kính. Do đó, HS phải tìm cách khác,
trong đó cách dựa vào phương trình tổng
quát của đường trịn sẽ được nghĩ tới vì nó
đã được họ vận dụng thuần thục để tìm ra
phương trình Parabol, khi biết Parabol đi
qua 3 điểm cho trước (như bài 12 trong [8,
tr.51] chẳng hạn). Hoạt đợng tìm tâm và
bán kính khi đã biết phương trình của
đường tròn là tương đối dễ dàng đối với
HS.
+ Sau khi tìm ra được phương trình
đường tròn, việc xác định phần cần cắt bỏ
của đường tròn cũng tương đối dễ dàng đối
với HS. Tuy nhiên, việc diễn đạt cách cắt
105


SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY

No. 71 (05/2020)

như thế nào lại không đơn giản, mà phụ
thuộc nhiều vào khả năng giao tiếp của mỡi
HS. Do đó, hoạt đợng này góp phần rèn
luyện cho HS khả năng thể hiện, đánh giá
lời giải trong ngữ cảnh thực tế và khả năng
giao tiếp toán học.
Nhận xét:
Từ tình huống thực tế, HS được tạo
điều kiện để chuyển đổi sang mơ hình tốn

học nhằm đơn giản hóa bài tốn. Hơn nữa,
thơng qua các hoạt đợng trên, HS được rèn
luyện khả năng thiết lập mơ hình tốn học,
rèn luyện khả năng thể hiện, đánh giá được
lời giải trong ngữ cảnh thực tế và khả năng
giao tiếp toán học.
2.3.3. Biện pháp 3: tổ chức cho học
sinh khai thác, vận dụng kiến thức đã học
dựa trên các đồ dùng được làm từ vật liệu
có sẵn trong cuộc sống thường ngày
Phương tiện dạy học trực quan thường
tác động mạnh vào các giác quan của HS,
giúp họ nhận ra những dấu hiệu bề ngoài
của hiện tượng, tạo điều kiện thuận lợi kích
thích họ tìm hiểu, xem xét, khám phá sự
vật.
Với các phương tiện trực quan làm từ
vật liệu có sẵn trong c̣c sống hàng ngày,
HS có thể đưa ra các dự đoán của mình và
kiểm tra tính đúng – sai của chúng để hình
thành tri thức mới.
Thực tế cho thấy, HS thường rất tò
mò, hứng thú khi được khám phá các tri
thức toán từ những vật, đối tượng gần gũi
với các em.
Chính vì thế để phát triển năng lực

MHH cho HS, cần quan tâm tổ chức cho
họ khám phá tri thức hình học dựa trên các
đồ dùng được làm từ vật liệu có sẵn trong

c̣c sống thường ngày.
Ví dụ 3. Sau khi dạy học xong khái
niệm hình elip, GV tổ chức cho HS khai
thác, vận dụng khái niệm như sau:
Bước 1, chuẩn bị:
- Giáo viên chuẩn bị trước mợt số tấm
bìa cứng có hình dạng khác nhau, trong đó
có hình elip (hình 7a-b-c-d).
- Thiết kế phiếu học tập:
Phiếu học tập
1. Chiều ngang lớn nhất của tấm bìa
là:
.....................(tương ứng với 2a = .......)
2. Chiều dọc lớn nhất của tấm bìa là:
….................(tương ứng với 2b = .......)
3. Với các thông số tìm được như trên,
hãy xác định phương trình đường viền
xung quanh tấm bìa.
.....................................................................
.....................................................................
4. Hãy kiểm tra tính chính xác của
phương trình trên bằng cách lấy thêm một
điểm nữa (khác các điểm đã có) rồi thế vào
phương trình của mình để kiểm tra.
………………………………………….…
……………………………………….……
Bước 2, triển khai thực hiện:
- GV đưa ra hình ảnh hình elip và mợt
số hình tương tự hình elip (hình 7a-b-c-d)
để HS nhận dạng. GV cho HS quan sát rồi

đặt câu hỏi “Trong các hình sau, hình nào
là hình elip?”. Câu trả lời: Hình 7a.

106


PHẠM THỊ THANH TÚ - TRẦN THỊ HỒNG NHUNG

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN

Hình 7a

Hình 7b

Hình 7d

Hình 7c

b2  a 2  c 2 .

- GV sử dụng mợt mơ hình có hình
dạng tương tự hình elip là tấm bìa hình 7a
mà HS vừa lựa chọn và đề nghị HS khảo
sát trên mơ hình này.
- GV u cầu HS xác định chiều ngang
lớn nhất và chiều dọc lớn nhất (tương ứng
là độ dài trục lớn và độ dài trục bé) và điền
vào mục 1 và mục 2 trong phiếu học tập.
(để HS tự đo đạc và GV chỉ hỗ trợ khi thấy
cần thiết).

- Sau khi có được đủ số liệu cần thiết,
GV yêu cầu HS thực hiện tiếp những hoạt
đợng cịn lại được ghi trong phiếu học tập
(mục 3 và 4). Ở bước này, GV có thể đưa
ra mợt số gợi ý nhằm giúp HS hồn thành
tốt hoạt đợng cần thiết đồng thời tự hình
thành tri thức mới cho mình. Chẳng hạn:
“Nếu điểm M nằm ở vị trí đặc biệt như
trong Hình 8 thì giữa tiêu cự với chiều dài
và chiều rộng của elip có mối quan hệ gì?”
(từ đó hình thành tri thức mới cho HS về
mối quan hệ giữa tiêu cự với chiều dài và
chiều rộng của elip).
CTLMĐ: Mối liên hệ giữa tiêu cự với
chiều dài và chiều rợng của elip là:

Hình 8
- Giả sử điểm M( x , y) nằm trên
đường viền của tấm bìa (elip (E)). Hãy tính
MF12

MF22 rồi sử dụng định nghĩa

MF1

MF2

2a để tính MF1

MF2 , từ

cx
cx
, MF2 a
a
a
và từ đó thiết lập phương trình chính tắc
đó suy ra MF1

a

x 2 y2
1
a 2 b2
- Hãy kiểm tra lại kết quả bằng cách
lấy một điểm bất kì (khác các điểm đã lấy)
của elip (E):

107


SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY

No. 71 (05/2020)

nằm trên đường viền của tấm bìa đang
khảo sát rồi thế vào phương trình để kiểm
tra với lưu ý là kết quả gần đúng với đợ
chính xác đến hàng phần chục cũng được
chấp nhận.

Bước 3, trao đổi thảo luận chung:
Thảo luận thống nhất kết quả của các
nhóm, chấp nhận sai số với đợ chính xác
đến hàng phần chục.
3. Kết luận
Phát triển năng lực MHH toán học là
một trong năm năng lực mà GV toán cần
hình thành và phát triển cho HS trong
chương trình giáo dục phổ thông môn Toán
(2018). Bài báo trình bày một nghiên cứu

cụ thể tại trường THPT Bà Điểm (gồm 44
HS) về nội dung “Phát triển năng lực mô
hình hóa toán học cho học sinh thông qua
dạy học nội dung hình học 10”. Qua quá
trình thực hiện ba biện pháp đã nêu trong
bài báo, kết quả nghiên cứu cho thấy việc
tổ chức dạy học thông qua ba biện pháp
trên giúp HS cảm thấy hứng thú, phát huy
được khả năng sáng tạo, vận dụng được
vào thực tiễn hay nói cách khác, năng lực
MHH toán học của HS được cải thiện. Có
40/44 HS có điểm bài kiểm tra sau thực
nghiệm tốt hơn bài kiểm tra trước thực
nghiệm. Các biện pháp này hoàn toàn có
thể triển khai cho lớp 10.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đoàn Phan Tân, “Toán học và thực tiễn đời sống”, thông báo khoa học trường Đại
học Văn Hóa Hà Nội, 1-8, 1999.

[2] Lê Hồng Quang, “Thực trạng năng lực mơ hình hóa tốn học của học sinh trung học
phổ thơng”, HNUE Journal of science, 60, 44-52, 2019.
[3] Nguyễn Danh Nam, “Thiết kế hoạt đợng mơ hình hóa trong dạy học mơn toán”,
Journal of science of HNUE, pp. 521-526, 2015.
[4] Lâm Thùy Dương, Trần Việt Cường, “Vận dụng mơ hình hóa trong dạy học mơn tốn
ở tiểu học”, VNU Journal of Science: Education Research, 31(3), 127-129, 2018.
[5] IU. Xviregiev, Các mơ hình Toán học trong sinh thái học, Toán học trong hệ sinh thái
(Bùi Văn Thanh dịch), NXB Khoa học và Kĩ thuật, 1988.
[6] Phạm Thị Diệu Thùy, Dương Thị Hà, “Phát triển năng lực mơ hình hóa trong dạy học
mơn tốn cho học sinh phổ thơng”, Tạp chí khoa học, 21, 149-156, 2018.
[7] Bộ Giáo dục và đào tạo, Chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn, 2018.
[8] Ludwwig, M, Xu. B, “A comparative study of modelling competencies among
Chinese and German students”, Journal for Didactics of Mathematics, 31(1), 77-79,
2010.
[9] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, Hình học 10 nâng cao,
NXB Giáo dục, 2008.
Ngày nhận bài: 19/4/2020

Biên tập xong: 15/5/2020
108

Duyệt đăng: 20/5/2020