SKKNRen luyen cho hoc sinh lop 10 ky nang giai toan vecto va su dung phuong phap vecto de giai toan

Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

Lời nói đầu.
Trong chương trình Tốn học học được giảng dạy ở trường phổ thơng,
Hình học bao giờ cũng là mơn học khó khăn hơn đối với học sinh. Nắm được
kiến thức cơ bản đã là một vấn đề khó, vận dụng kiến thức đó một cách linh
hoạt để giải tốn cịn là một việc khó khăn hơn nhiều. Tìm ra mối liên quan
giữa các nội dung đó để có được các cách giải toán hay, hiệu quả là một việc
làm thiết thực.
Trên cơ sở nội dung, chương trình làm việc của cá nhân và của tổ nhóm
chun mơn, bản thân tơi đã tìm ra được một vài hướng giải quyết một số vấn
đề trong các bài giảng nhằm nâng cao chất lượng bài giảng cũng như tạo hứng
thú cho học sinh trong việc học tập và nghiên cứu toán học. Những vấn đề
nghiên cứu được, tôi tập hợp và viết lại trong báo cáo sáng kiến kinh nghiệm
này nhằm giúp cho bản thân và đồng nghiệp cũng như học sinh có thêm một
tài liệu tham khảo trong q trình giảng dạy và học tập mơn tốn ở trường
THPT.
Nội dung sáng kiến có thể chưa thật đầy đủ so với nội dung của vấn đề
mà tôi lựa chọn nhưng thiết nghĩ, có thể bổ sung vào hành trang của người
giáo viên một cơng cụ mới có hiệu quả.
Tơi xin chân thành cám ơn thầy giáo Nguyễn Danh Du – Phó hiệu
trưởng, thầy giáo Hồng Minh Hiển – Phó hiệu trưởng, thầy giáo Phạm Ngọc
Bá – tổ trưởng chuyên môn cùng các thầy giáo, cơ giáo trong tổ Tốn – Tin
học trường THPT Bỉm Sơn đã đọc trước bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến
sát thực tiễn để tơi hồn thành đề tài này.
Bỉm sơn, tháng 3 năm 2012.
Người thực hin ti

Vũ Quý Phơng

Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 0


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

Phần I:

giáo viên: Vũ Quý Phương

MỞ ĐẦU

I- Lý do lựa chọn đề tài.
I.1. Tính lịch sử.
“Cùng với KHCN, giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Chủ trương đó đã
thể hiện rõ quan điểm, đường lối của Đảng và nhà nước ta, khẳng định tầm
quan trọng của giáo dục đối với sự phát triển của đất nước, bởi lẽ giáo dục
đóng vai trị quyết định trong việc đào tạo lực lượng sản xuất, đem đến sự
thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây dựng CNXH.
Ngành Giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổ
thông bao gồm: Đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi mới chương
trình sách giáo khoa, đổi mới cơng tác quản lý chỉ đạo, đổi mới phương pháp
dạy học, đổi mới cách kiểm tra đánh giá v.v... nhằm giúp học sinh phát triển
một cách toàn diện. Năm học này, Bộ Giáo dục và đào tạo đưa ra khẩu hiệu
“Xây dựng trường học thân thiện và học sinh tích cực” cũng chính là nhằm
hướng học sinh đến sự phát triển toàn diện.
Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường phổ thơng,
mơn Tốn đóng vai trị hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽ

được phát triển một cách tốt nhất tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với
mọi hồn cảnh, phù hợp với xu thế phát triển của đất nước ta hiện nay. Học
tốt mơn tốn sẽ giúp học sinh học tốt nhiều môn học khác. Xưa nay đây là
môn học mà khơng ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến, việc học tốn
đối với nhiều học sinh ln là một điều khó khăn. Trong các phân mơn của
tốn học phổ thơng thì Hình học ln được coi là mơn học khó khăn hơn cả.
Tất cả những đánh giá trên có thể xuất phát từ những lý do khách quan
và chủ quan như: Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viên
cịn ơm đồm kiến thức trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trong
việc dạy học bộ mơn v.v... Học tốn đồng nghĩa với giải tốn. Muốn làm được
bài tập, ngồi việc phải có vốn kiến thức từ các công thức, quy tắc, định
nghĩa, khái niệm, định lý ... cịn cần có một phương pháp suy luận đúng đắn.
I.2. Tính cấp thiết.
Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp và kinh nghiệp dạy Hình học của
bản thân, tơi nhận thấy chất lượng dạy và học hình học nói chung chưa cao:
hầu hết học sinh đều ngại, sợ học Hình học, khơng biết cách giải một bài tốn
Hình học. Mà việc giải một bài tập Hình học khơng chỉ dựa vào việc có nắm
được các kiến thức cơ bản hay khơng mà cịn dựa rất nhiều vào việc nhận ra
được mối liên quan giữa các kiến thức đó và vận dụng chúng như thế nào vào
bài tốn.
I.3. Thực trạng.
Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì:
- Đa số học sinh nắm vững và vận dụng tốt các kiến thức hình học cơ
bản vào việc giải các bài tập. Tuy nhiên, cịn có một vài lớp và mt s hc

Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2011-2012

Trang 1

Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

sinh rải rác ở các lớp vẫn khơng thể nắm vững và vận dụng được các kiến
thức cơ bản của hình học vào việc giải các bài tập.
- Nhiều học sinh không nắm được các kiến thức đã học, học trước quên
sau. Kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản vào các hoạt động giải tốn cịn yếu.
Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ là rất mới mẻ đối với học sinh lớp
10. Qua khảo sát kiến thức và kĩ năng của một số học sinh lớp 10 trường
THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 – 2012 sau khi các em đã được
học các kiến thức về vec-tơ tơi nhận thấy các em cịn bỡ ngỡ và gặp nhiều
lúng túng. Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến thức về vec-tơ ở 2 lớp 10C4
và 10C7 có các bài tốn như sau:
Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' có chung đỉnh A.
Chứng minh rằng:
uuur uuur uuur
a/ CC �
.
 BB�
 DD�
b/ Hai tam giác BC'D và B'CD' có cùng trọng tâm.
uur r uur r
Đề 2: Cho tam giác OAB. Đặt OA  a , OB  b và gọi C, D, E là các
uuu
r
uur uuu
r 1 uur uuu
r 1 uur
điểm sao cho AC  2 AB, OD  OB, OE  OA .

2
3
uuu
r uuu
r uuu
r
r r
a/ Hãy biểu thị các vec-tơ OC, CD, DE qua các vec-tơ a , b .
b/ Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng.
Qua khảo sát 98 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau:
Số bài
Đề 1
Đề 2

42
46

Không làm
được câu nào
25 (59,52%)
27 (58,70%)

Làm được cả
2 câu
9 (21,43%)
11 (23,91%)

Chỉ làm
được câu a
7 (16,67%)

6 (13,04%)

Chỉ làm
được câu b
1 (2,38%)
2 (4,35%)

Qua bài làm của học sinh và qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy bộc lộ
những nhược điểm chính ở học sinh như sau:
- Khơng nắm vững kiến thức vec-tơ, không hiểu rõ và cũng không phân
uuu
r uuu
r
biệt chính xác các kí hiệu: AB, AB, | AB |, AB .
- Không nắm vững các quy tắc cộng, trừ các vec-tơ, nhân một số với
một vec-tơ, tích vơ hướng của hai vec-tơ. Khi tính tốn một số em tuỳ tiện bỏ
kí hiệu vec-tơ, kĩ năng vận dụng kiến thức vec-tơ để giải tốn cịn yếu, nhất là
các bài tốn mà trong đó chưa viết rõ các quan hệ vec-tơ.
- Thậm chí, với bài tốn “Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB
= 2R. Gọi M, N là hai điểm trên nửa đường trịn đó sao cho 2 dây cung AM
uur uuur uur uur
và BN cắt nhau tại I. Chứng minh: AI .AM  AI .AB .”, có học sinh đã làm
uu
r uuur uu
r uuu
r
uuur uuu
r
uu
r

như sau: AI.AM  AI.AB � AM  AB (chia cả hai vế cho AI ) rồi suy ra
đẳng thức không xảy ra. Điều đó chứng tỏ học sinh chưa hiểu rõ khái niệm về
tích vơ hướng của các vec-tơ.

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 2


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

Trong rất nhiều ngun nhân dẫn đến kết việc học sinh khơng tiếp thu
tốt các kiến thức về vec-tơ, có một nguyên nhân là học sinh ít được thực hành
các bài toán cơ bản về các khái niệm về vec-tơ. Có một lý do ở đây là thời
lượng quy định cho mỗi bài học không đủ cho giáo viên và học sinh làm được
việc này. Đặc biệt là đối với các học sinh khơng thực sự khá về mơn Tốn.
Chính vì những lý do trên, nhằm giúp các em lĩnh hội tốt hơn về kiến
thức vec-tơ, có kĩ năng giải bài tập về vec-tơ cũng như sử dụng vec-tơ như
một cơng cụ tốt để giải tốn tơi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề:
“Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán vec-tơ và sử dụng
phương pháp vec-tơ để giải tốn.”
II. Mục đích nghiên cứu.
Khơng có phương pháp tốt, khơng thể có kết quả cao. Biết vận dụng
các kiến thức cơ bản một cách phù hợp sẽ có được cách giải bài tập tốt hơn.
Đặc biệt ở lớp 10, học sinh lần đầu tiên được va chạm với các kiến thức về
vec-tơ, vì vậy mục đích đặt ra là thông qua việc dạy cho học sinh các vận
dụng các kiến thức cơ bản về vec-tơ để giúp học sinh thấy được:
- Các ký hiệu, bản chất các ký hiệu về vec-tơ.

- Mối quan hệ giữa vec-tơ với các kiến thức khác trong hình học.
- Chuyển đổi giữa các bài tốn hình học thơng thường với một bài tốn
vec-tơ.
- Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải một bài tốn hình học nhờ
phương pháp vec-tơ.
Từ đó giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại và sợ học hình học, đặc biệt là
các bài tốn về vec-tơ.
III. Thời gian, địa điểm nghiên cứu.
Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu, áp dụng thực hiện trong
năm học 2011 – 2012, tại hai lớp 10C4 và 10C7, trường THPT Bỉm Sơn,
Thanh Hóa. Đây là hai lớp có điểm đầu vào bình quân thấp nhất khối 10.
Nội dung sáng kiến được trình bày cho học sinh trong một số giờ học
tự chọn của bộ mơn Tốn và một số buổi học bồi dưỡng (ngồi giờ học chính
khóa).

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 3


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

Phần II:

giáo viên: Vũ Quý Phương

NỘI DUNG

I- Một số kiến thức cơ bản cần chú ý.
I.1. Các định nghĩa về vec-tơ, các kí hiệu thường dùng.

Cho 2 điểm A, B thì:
- Ký hiệu AB chỉ độ dài đoạn thẳng AB. Như vậy ký hiệu AB và BA là
như nhau.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
- Ký hiệu AB chỉ vec-tơ AB. Như vậy ký hiệu AB và BA , nói chung,
là hai vec-tơ khác nhau.
uuu
r
uuu
r
uuu
r
- Ký hiệu | AB | chỉ độ dài của vec-tơ AB . Như vậy | AB |  AB và, do
uuu
r
uuu
r
đó, | AB |  | BA | .
- Ký hiệu AB chỉ độ dài đại số của vec-tơ AB.
I.2. Các phép toán về vec-tơ.
I.2.1. Phép cộng các vec-tơ.
uuu
r uur uuu
r
- Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C thì: AB  BC  AC .

- Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là một hình bình hành thì:
uuu
r uuu
r uuu
r
AB  AD  AC .
- Tính chất trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
uur uu
r r
+ IA  IB  0 .
uuur uuur
uur
+ MA  MB  2MI , với điểm M bất kỳ.
I.2.2. Phép trừ các vec-tơ.
uuu
r uuu
r uuu
r
Với ba điểm O, A, B thì: OA  OB  BA .
I.2.3. Phép nhân vec-tơ với một số.
r
r
- Cho vec-tơ u và số k  . Vec-tơ ku được xác định bởi:
r
r
+ ku cùng hướng với vec-tơ u nếu k  0 và ngược hướng với
r
vec-tơ u nếu k < 0.
r
r

+ | ku |  | k | .| u | .
r r
r
r
- Cho b �0 và a cùng phương với b . Khi đó, tồn tại duy nhất một số
r
r
thực k sao cho: a  kb .
uuu
r
uuu
r
- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và AC là
các vec-tơ cùng phương.
I.2.4. Tích vơ hướng của hai vec-tơ.
r r
- Cho trước hai vec-tơ a, b . Từ một điểm O cố định, dựng các vec-tơ
uuu
r r uuu
r r
r r
�
là góc giữa hai vec-tơ a, b . Ký hiệu:
OA  a, OB  b . Khi đó góc AOB
r r
r r
�
(a, b) hoặc (a, b) .
rr r r
r r

- Tích vơ hướng của hai vec-tơ: a.b  | a | .| b | .cos(a, b) .
r r
rr
- a  b � a.b  0 .
rr r
r
- a.a  a 2  | a |2 .

Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2011-2012

Trang 4


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

I.3. Tọa độ của vec-tơ và của điểm trong mặt phẳng.
Xét hệ tọa độ Oxy.
r r
r
r
r
- u(x; y) � u  (x; y) � u  x i  yj .
uuur
uuur
r r
- M(x; y)  OM  (x; y) � OM  x i  yj .
r
r

; y ) , k  :
- Với u(x; y), v(x ��
x  x�
�
r r
+ uv��
�y  y�
r r
; y �y�
).
+ u �v  (x �x�
r
+ ku  (kx;ky) .
rr
 yy�
+ u.v  xx�
.
r
+ | u |  x 2  y2 .
rr
u.v
xx�
 yy�
r r
+ cos(u, v)  | ur | .| vr | 
2
2 .
x 2  y 2 . x�
 y�
I.4. Học sinh cần được rèn luyện kĩ năng tổng hợp nhiều vec-tơ thành một

vec-tơ và ngược lại, cần biết phân tích một vec-tơ thành nhiều vec-tơ khác
(thường là phân tích một vec-tơ thành hai vec-tơ khác chung gốc nhưng
không cùng phương hoặc phân tích thành hiệu hai vec-tơ khác chung gốc). Ở
mỗi bài tập nên phân tích có những cách giải khác nhau giúp học sinh có
những cách nhìn linh hoạt hơn về vec-tơ.
I.5. Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngơn ngữ hình học thơng
thường sang ngơn ngữ vec-tơ và ngược lại. Ví dụ:
TT
1
2
3
4
5
6
7

Kiến thức hình học tổng hợp

Vec-tơ
uuur uuur r
1) MA  MB  0
uuur uuur
M là trung điểm của đoạn
2) AM  MB
thẳng AB
uuu
r uuu
r
uuur
3) OA  OB  2OM , với mọi điểm O

uuu
r uuu
r uuu
r r
1) GA  GB  GC  0
uuu
r uuu
r uuu
r
uuur
G là trọng tâm ΔABC
2) OA  OB  OC  3OG , với O
uuu
r uuu
r
uuur
AM là trung tuyến của ΔABC
AB  AC  2AM
uuu
r
uuu
r
Ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB  kAC (k  0)
uuu
r
uuu
r
�
AB  kCD (k �0)

�
AB // CD
r
uuu
r
�uuu
AB �mAC (m ��)
�
uuu
r uuu
r
AB  CD
AB.CD  0
uuu
r uuu
r
ABCD là hình bình hành
AB  DC (A  DC)

I- Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về vec-tơ.
I.1. Các bài tốn xác định vec-tơ.

S¸ng kiÕn - Kinh nghiƯm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 5


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

1. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm vec-tơ cùng hướng, vec-tơ bằng
nhau.
Một trong những nguyên nhân khiến học sinh khơng giải được các bài
tốn về vec-tơ là không hiểu rõ khái niệm vec-tơ, không biết cách xác định
một vec-tơ, không hiểu rõ hai vec-tơ bằng nhau, nhầm lần vec-tơ bằng nhau
với đoạn thẳng bàng nhau ...
Để giải quyết được điều này, tác giả đã cho học sinh làm lại và phân
tích kỹ lời giải của học sinh qua hoạt
r động số 2 (§1, chương I, SGK Hình học
10 nâng cao): Cho trước vec-tơ a và điểm O cố định. Xác định điểm A sao
uur
cho OA  ar . Có bao nhiêu điểm A như vậy.
uuu
r
Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ sao cho AO  ar ):

Và yêu cầu một học sinh xác định xem điểm A có thỏa mãn bài tốn
khơng. Sau đó phân tích cho học sinh thấy rõ rằng: Trong hình vẽ trên, vec-tơ
uuu
r
uuu
r
r
OA và vec-tơ a có độ dài bằng nhau. Tuy nhiên, vec-tơ OA có hướng từ
r
phải sang trái trong khi vec-tơ a có hướng từ trái sang phải. Do đó hai vec-tơ
nay khơng bằng nhau nên điểm A như trên khơng thỏa mãn bài tốn.
Sau đó, tác giả yêu cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn bài toán: Đa
số học sinh đã xác định được điểm A như hình vẽ sau:

r
Qua đó, tác giả nhấn mạnh cho học sinh rằng: nếu vec-tơ a được xác
uuu
r
định bởi điểm đầu là M và điểm cuổi là N thì OA  ar khi và chỉ khi tứ giác
MNAO là hình bình hành (cần chú ý chặt chẽ đến thứ tự các đỉnh của hình
bình hành). Hơn nữa qua việc xác định như thế, học sinh nhận ra ngay luôn có
một và chỉ một điểm A thỏa mãn bài tốn.
Ngồi ra, tác giả cũng đã đưa ra các tình huống sau để giúp học sinh
rèn luyện và hiểu rõ hơn cỏc khỏi nim v vec-t:

Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 6


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

- Điểm O trùng với điểm M thì A là điểm nào? (A  N)
- Điểm O trùng với điểm N thì A là điểm nào? (A đối xứng với M qua N
hay N là trung điểm của MA)
- Xác định vị trí điểm O để điểm A trùng với điểm M? (O đối xứng với
N qua M hay M là trung điểm của ON)
2. Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm tổng, hiệu hai vec-tơ.
Việc xác định tổng, hiệu của các vec-tơ đối với nhiều học sinh cũng là
một vấn đề khó khăn. Qua giảng dạy về vec-tơ, tác giả nhận thấy học sinh hầu
như vẫn không phân biệt rõ dựng tổng của các vec-tơ với tổng hai cạnh của

một tam giác.
Để giúp học sinh nắm vững hươn khái niệm tổng hai vec-tơ và một số
tiếp xúc của chúng, đặc biệt là quy tắc ba điểm và cách dựng vec-tơ tổng của
hai vec-tơ, tác giả cho học sinh làm lại nội dung của hoạt động 4 (§2, chương
I, SGK Hình học 10 nâng cao).
Trước hết, tác giả vẽ lên bảng hình vẽ như sau:

Yêu cầu học sinh:
uuu
r r uuu
r r uur r
- Xác định các điểm A, B, C sao cho: OA  a, AB  b, BC  c .
r r r r
- Dựng các vec-tơ a  b, b  c .
Sau khi học sinh thực hiện yêu cầu và giáo viên chỉnh sửa những sai
sót, được hình vẽ như sau:

Sau khi học sinh đã nắm được các khái niệm về vec-tơ một cách tương
đối chắc chắn, tác giả tiến hành cho học sinh rèn luyện khả năng vận dụng
kiến thức vec-tơ vào giải toán thơng qua một số ví dụ, bài tốn cụ thể. Hơn
nữa, với mỗi ví dụ, bài tốn, tác giả ln cố gắng hướng dẫn học sinh tìm

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 7


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

nhiều cách giải khác nhau, qua đó vận dụng được nhiều kiến thức cơ bản và
hiểu rõ thêm về bản chất của loại kiến thức mình áp dụng.
* Trước hết, tác giả cho học sinh thực hành việc xác định tổng của các vec-tơ
thơng qua một bài tốn cụ thể, qua đó củng cố thêm về khái niệm tổng của các
vec-tơ, các quy tắc thường dùng của tổng các vec-tơ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho luôn
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
có: BD = DE = EC. Hãy dựng vec-tơ ur  AB  AC  AD  AE .
Giải:
Cách 1: Gợi ý học sinh:
- Trong phép dựng tổng của hai vec-tơ, với hai vec-tơ có chung gốc thì
nên xem xét đến quy tắc nào? (Quy tắc hình bình hành)
- Vận dụng quy tắc đó vào trong bài tốn này cụ thể ra sao? (Nhóm mỗi
2 vec-tơ xác định bởi hai cạnh của hình bình hành lại với nhau)
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải
như sau:

Dựng hình bình hành ABIC thì ADIE cũng là hình bình hành.
Từ quy tắc hình bình hành, ta có ngay:
uuu
r uuu
r uu
r uuu
r uuu
r uu

r r
uur
AB  AC  AI, AD  AE  AI � u  2AI .
uu
r uuur
Từ đó: Dựng K đối xứng với A qua I thì: ur  2AI  AK .
Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác được không?
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
Học sinh đã biến đổi: ur  AB  AC  AD  AE  AB  AE  AC  AD .
uuu
r uuu
r uuur
Từ đó, dựng các hình bình hành ABME và ACND thì: AB  AE  AM ,
uuu
r uuu
r uuu
r
AC  AD  AN .
uuur uuu
r
Như vậy: ur  AM  AN .
uuur

Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì: ur  AK .

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 8


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

Cách 3: Gợi ý học sinh:
- Hãy phân tích đề bài theo một hướng khác: Với các giả thiết của đề
bài, nhận xét gì về các điểm D, E trên cạnh BC? (D là trung điểm của BE và
E là trung điểm của CD)
- Với nhận xét đó, nhớ lại và xác định xem có thể vận dụng kiến thức
nào để xác định tổng của hai vec-tơ? (tính chất trung điểm)
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giải
như sau:

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
Biến đổi: ur  AB  AC  AD  AE  AB  AE  AC  AD .

Do D là trung điểm của AE và E là trung điểm của CD nên ta có:
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r
AB  AE  2AD, AC  AD  2AE .
Từ đó, dựng M đối xứng với A qua D và N đối xứng với A qua E thì:
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r
AB  AE  AM, AC  AD  AN .
uuur uuu
r
Như vậy: ur  AM  AN .
uuur
Từ đó, dựng hình bình hành AMKN ta có: ur  AK .
* Một trong các loại toán mà học sinh khá lúng túng là bài toán biểu diễn một
vec-tơ qua các vec-tơ khơng cùng phương.

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 9

Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

Với loại tốn này, nhiều học sinh lúng túng khi không thể áp dụng một
quy tắc rất cơ bản của phép cộng và phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, B
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
bất kỳ, ta ln có: AO  OB  AB, OA  OB  BA . Cả hai quy tắc đó, mấu
chốt vẫn là quy tắc ba điểm của phép cộng các vec-tơ. Chính vì điều này, kết
hợp với đối tượng học sinh yếu nên trước khi cho học sinh làm các bài toán cụ
thể, tác giả đã cho học sinh thực hành khá nhiều việc lấy tổng, hiệu của hai
vec-tơ,uphân
tích
thành
uu
r u
uu
r một
uuu
r vec-tơ
uur u
uur tổng,

uuur hiệu
uur của
uurhai
uurvec-tơ
uuu
r ...uđại
ur loại như:
AO  OB  AB; MI  KM  KM  MI  KI; EF  EO  OF
uuur uuu
r uuur uuu
r uu
r uu
r
AM  AN  NM; CD  ID  IC ...
uu
r 1 uuur uuu
r uuur uuu
r
uu
r uuur
uur uuu
r
AI  AM  AN ; EM  EN  2EI; KM  2KI  KN ... (Với I là trung
2
điểm của đoạn thẳng MN).
Ngoài ra, cũng cần hướng dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơ
cùng phương, cùng hướng trong bài toán để sử dụng vào việc biểu diễn.
Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hành
qua một bài toán khá đơn giản sau đây.





Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi E là trung điểm của BC. Đặt
uuu
r r uuu
r r
uuu
r
r
r
AB  a, AO  b . Hãy biểu diễn vec-tơ AE theo các vec-tơ a và b .
Giải:

Cách 1: Gợi ý học sinh:
uuu
r uuu
r
- Trong bài tốn này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ AB, AO .
uuu
r
- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn AE qua
uuu
r uuu
r
tổng hoặc hiệu của các vec-tơ cùng phương với các vec-tơ AB, AO (hoặc là
chính các vec-tơ đó).
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
uuu

r uuu
r uuu
r uuu
r 1 uuu
r r 1r 1r r
AE  AO  OE  AO  AB  b  a  a  b
2
2
2
Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải trên đã vận dụng quy tắc ba điểm
trong bước biến đổi đầu tiên. Hãy xem xét các giả thiết của bài toán để có thể
biến đổi cách khác. Chú ý đến các yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng ...

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 10


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
uuu
r 1 uuu
r uuu
r 1 uuu
r
uuu
r 1 r

r 1r r
AE  AB  AC  AB  2AO  (a  2b)  a  b .
2
2
2
2



 



Tiếp theo, cho học sinh thực hành việc biểu diễn vec-tơ qua các vec-tơ
khơng cùng phương bằng ví dụ:
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm là H. Đặt
uuu
r 1 r r r
uuu
r r uuu
r r uuu
r r
HA  a,HB  b,HC  c . Chứng minh rằng: HO  (a  b  c) .
2
Giải:
Cách 1: Gợi ý học sinh:
- Trong bài tốn này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ
uuu
r uuu
r uuu

r
HA, HB, HC . Nếu chưa có thì cố gắng để tạo ra. Có thể thơng qua các vectơ, điểm đã có hoặc các điểm đặc biệt liên quan đến giả thiết. (Lựa chọn các
trung điểm của các cạnh)
uuu
r
- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn HO qua
uuu
r
tổng hoặc hiệu của các vec-tơ, trong đó có vec-tơ cùng phương với HA hoặc
uuu
r
uuur uuur uuur
uuu
r
 A�
O)
HB hoặc HC . (Biểu diễn được HO  HA�
- Bước tiếp theo, làm tương tự để biểu diễn vec-tơ trong tổng (hoặc
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
hiệu đó) chưa cùng phương với HA, HB, HC theo HA, HB, HC hoặc các
uuu
r uuu
r uuu

r
vec-tơ cùng phương với HA, HB, HC .
r r
r
r
- Chú ý đến tính chất: Nếu b �0 và a cùng phương với b thì ln tồn
r
r r r
r
tại duy nhất số k   để a  kb . Hơn nữa, với ba vec-tơ a, b, c khơng cùng
r
phương cho trước thì mỗi vec-tơ u đều biểu diễn được duy nhất qua các vecr r r
tơ a, b, c đó.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:

uuu
r uuur uuur
Gọi A' là trung điểm của BC thì: HO  HA�
 A�
O

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 11


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

uuur 1 uuu
r uuu
r 1 r r
 HB  HC  (b  c) .
Mặt khác: theo tính chất trung điểm: HA�
2
2
uuur
r
Hơn nữa OA' // AH nên A�
O  ma . Do đó, ta có:
uuu
r uuur uuur 1 r r
r
r 1r 1r
HO  HA�
 A�
O  (b  c)  ma  ma  b  c
(1)
2
2
2
Tương tự: Gọi B', C' lần lượt là trung điểm của AC, AB thì:
uuu
r uuur uuur 1 r
r 1r
HO  HB�
 B�
O  a  nb  c
(2)

2
2
uuu
r uuur uuur 1 r 1 r
r
HO  HC�
 C�
O  a  b  pc
(3)
2
2
uuu
r 1 r r r
1
Từ (1), (2), (3) suy ra: m  n  p  . Vậy HO  (a  b  c) .
2
2
Cách 2: Gợi ý học sinh:
- Vì đường trịn có tính đối xứng nên nếu xét điểm O ở vai trị trung
điểm thì có thể có cách suy nghĩ khác khơng?
- Muốn thế, hãy tìm cách tạo ra O là trung điểm của một đoạn thẳng có
uuu
r uuu
r uuu
r
gắn với các vec-tơ HA, HB, HC .
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:





�  BCD
�  90o
Kẻ đường kính BD của đường trịn. Khi đó, ta có: BAD
 CD // AH và AD // HC.
uuu
r uuu
r uuu
r
Do đó tứ giác AHCD là hình bình hành. Vậy HA  HC  HD .
uuu
r uuu
r
uuu
r
Mặt khác: HB  HD  2HO .
uuu
r 1 r r r
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r
Suy ra: HA  HB  HC  2HO hay HO  (a  b  c) .
2
I.2. Các bài về độ dài của vec-tơ.
Vấn đề tiếp theo mà học sinh khá lúng túng trong giải toán về vec-tơ là
không phân biệt rõ ràng khái niệm vec-tơ với độ dài của vec-tơ. Chính vì thế,

uuu
r uur uuu
r
nhiều học sinh vẫn cho rằng AB  BC  AC (với ABC là một tam giác). Để

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 12


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

khắc phục điều đó, trước hết, tác giả củng cố lại cho học sinh rằng độ dài của
một vec-tơ là độ dài của đoạn thẳng xác định vec-tơ đó (khoảng cách từ điểm
đầu tới điểm cuối của vec-tơ) và cho học sinh thực hành bằng các ví dụ rất
đơn giản như sau:
uuu
r
- Cho hai điểm phân biệt A và B. Hãy xác định độ dài các vec-tơ: AB ,
uuu
r r
uur uur
BA, 0 . (Phải phân tích để học sinh hiểu rõ rằng AB  BA  AB )
uuu
r
- Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Hãy xác định độ dài các vec-tơ: AB ,
uuu
r uur r uur uuu

r
AC, BC, u  BC  AB . (Phải phân tích, nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ rằng
uuu
r
uuu
r uur uur uuu
r uuu
r
r
BC  AB  AB  BC  AC nên | u |  AC  AC . Hơn nữa, cần phân tích
qua nhiều trường hợp bằng các hình vẽ khác nhau: Ba điểm A, B, C không
thẳng hàng bất kỳ; tạo thành tam giác cân, tam giác đều; thẳng hàng bất kỳ,
thẳng hàng cách đều nhau ...)
Tiếp theo, khi học sinh đã nắm vững khái niệm độ dài vec-tơ, tác giả
củng cố lại cho học sinh rằng hai vec-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có
cùng hướng và cùng độ dài, hai vec-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và
có cùng độ dài. Đồng thời cho học sinh thực hành qua ví dụ sau:
Ví dụ 4: Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
uuu
r r uuu
r r uuu
r r uuu
r r
Đặt AB  a, BD  b, DC  c,CA  d . Chứng minh rằng:
r r
r
r
r r
r r
r

r
|a  d| | b  d| | c  d|  |a | | b| | c | |d|.
Giải: Gợi ý học sinh:
- Từ giả thiết và quy tắc ba điểm của phép cộng, hãy đánh giá một
trong ba độ dài ở vế trái. (Với hướng dẫn này, đa số học sinh đã đánh giá cả
ba độ dài và đưa đến một kết quả không như mong muốn, giáo viên phải
hướng dẫn thêm)
r r r r
- Hãy xem xét đến sự đặc biệt của các vec-tơ xác định nên a, b, c, d
để đánh giá tổng của hai độ dài còn lại. Chú ý đến tính chất các cạnh của một
tam giác.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:

uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r r
r r
r r r r r
AB  BD  DC  CA  0 � a  b  c  d  0 � b  d và
r r
r r
r r
r
r
(1)
a  c là các vec-tơ đối nhau  | b  d |  | a  c | �| a | | c |
Ta

cú:

Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 13


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

uuu
r uuu
r uur uuu
r uuu
r uuur
Mặt khác: CA  AB  CB, DC  CA  DA
uur
uuur
r r
r r
 | a  d |  | c  d |  | CB |  | DA |  CB  DA  BC  AD .
Lại có: BC + AD < (OB + OC) + (OA + OD) = BD + AC
r
r
r r
r r
 |a d||c d| |b||d|
(2)
r

r
r
r
r
r
r
r
r
r
Từ (1) và (2) ta có: | a  d |  | b  d |  | c  d |  | a |  | b |  | c |  | d | .
* Với kiến thức về độ dìa vec-tơ, có thể hướng dẫn để học sinh vận dụng vào
giải các bài toán khác. Sau khi cho học sinh rèn luyện thêm các bài tập để
khắc sâu khía niệm vec-tơ, tác giả đã cho học sinh vận dụng kiến thức độ dài
vec-tơ vào bài toán sau và học sinh đã thực hiện hiệu quả.
Ví dụ 5: Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng:
1. Nếu AD2 + BC2 =AB2 + DC2 thì hai đường chéo AC và BD vng
góc với nhau.
uuur uuur uuur uuur
2. Nếu MA  MC  MB  MD (với điểm M bất kỳ) thì tứ giác ABCD
là hình bình hành.
Giải: Gợi ý học sinh:
- Dựa vào tính chất “Bình phương vơ hướng của vec-tơ bằng bình
phương độ dài của nó” hãy biến đổi tổng các bình phương trong giả thiết
thành hiệu của bình phương các vec-tơ để có thể tạo ra các vec-tơ xác định
bởi AC và BD.
r r
rr
- Lưu ý rằng: a  b � a.b  0 .
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
uur 2 uuu

r 2 uuu
r 2 uuu
r2
1. Từ giả thiết suy ra: BC2 – BA2 = DC2 – DA2  BC  BA  DC  DA
uur uuu
r uur uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
  BC  BA   BC  BA    DC  DA   DC  DA 
uuu
r uur uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
 AC  BC  BA   AC  DC  DA 
uuu
r uur uuu
r uuu
r uuur
 AC  BC  BA  DC  DA   0
uuu
r uur uuu
r uuu
r uuu
r

 AC  BC  CD  BA  AD   0
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
 AC.2BD  0 � AC.BD  0  AC  BD.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r
2. Ta có: MA  MC  MB  MD � MA  MB  MD  MC � BA  CD . Vậy
ABCD là hình bình hành.
II- Vận dụng các kiến thức về vec-tơ để giải các bài toán.
Đối với các em học sinh khá giỏi có thể hướng dẫn các em khai thác
sâu hơn kiến thức vec-tơ, coi đó là một cơng cụ hữu hiệu để giải các bài toán
khác. Chẳng hạn: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, nhận
dạng tam giác … Điều này sẽ giúp các em học sinh học tập hứng thú hơn.

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 14


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

Các kiến thức cơ bản mà các em cần nắm vững để vận dụng có thể kể
đến gồm:
rr r r
r r
- Tích vơ hướng của hai vec-tơ: a.b  | a | .| b | .cos(a;b) ta suy ra được các
rr r r
điều sau:
+ a.b �| a | .| b |
(I)
r
r
r
r
+ | a.b | �| a | .| b |
(II)
r
rr
r r
r r 2
r
Từ (I) ta có: 2a.b �2 | a | . | b | � (a  b) �(| a |  | b |) 2

r

r

r

r

 | a  b | �| a |  | b |

(III)
r
r
Dấu bằng ở (I) và (III) xảy ra  a  kb với k > 0.
r
r
Dấu bằng ở (II) xảy ra  a  kb với k  0.
- Học sinh lớp 10 đã quen cơng thức tính diện tích tam giác sau:
1
1
1
S  absin C  bcsin A  acsin B
2
2
uuu
r r 2uuu
r r
Nếu đặt AB  b, AC  c ta có các cơng thức tính diện tích tam giác
1rr
ABC như sau: S  b.c.tan A .
2
�1 r r
�
2
� | b | .| c | .sin A � 2S
rr r r
2

�
Thật vậy: b.c  | b | .| c | .cos A  �
sin A
tan A
cos A
1rr
 S  b.c.tan A
2
r
r
; y ) thì:
- Trong hệ trục tọa độ Oxy, nếu u  (x; y), v  (x��
rr
 yy�
+ u.v  xx�
.
r
+ | u |  x 2  y2 .
Có thể hướng dẫn học sinh vận dụng các kiến thức trên để làm các bài
tập sau:
Ví dụ 6: Cho a, b, c, d là các số thực bất kỳ, chứng minh rằng:
(ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2).
Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy ra khi nào.
Giải: Gợi ý học sinh:
- Hãy xem xét (ac + bd)2, (a2 + b2), (c2 + d2) có liên quan gì đến các khái
niệm của vec-tơ khơng? (Có vẻ như biểu thức tọa độ của tích vơ hướng và độ
dài của vec-tơ)
- Từ nhận xét đó, hãy tạo ra các điều kiện để sử dụng được kết quả đã
nhận xét.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:

S¸ng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 15


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

Trong hệ trục tọa độ Oxy,
r
r
| u |  a 2  b2 , | v |  c2  d 2 .

rr

đặt

r
r
u  (a;b), v  (c;d) . Khi đó:

rr

Hơn nữa: u.v  ac  bd � | u.v |  | ac  bd | .
rr
r r
Từ đó, theo (II) ta có: | u.v | �| u | .| v | � | ac  bd | � a 2  b 2 . c 2  d 2
Bình phương 2 vế ta có: (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2).

r
r
Dấu bằng xảy ra khi u  kv hay ad = bc.
Ví dụ 7: Giải phương trình: x 1  x  3  x  2 1  x 2
(*)
Giải: Gợi ý học sinh:
- Nếu xem xét vế trái của phương trình là biểu thức tọa độ của tích vơ
hướng của hai vec-tơ thì đó là các vec-tơ vó tọa độ như thế nào?
- Với nhận xét đó thì vế phải có thể biểu diễn qua các vec-tơ đó khơng?
- Từ các nhận xét đó, hãy tạo ra các điều kiện để sử dụng được kết quả
đã nhận xét.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Tập xác định: D = [–1; 3].
r
r
Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (x;1), v   1  x; 3  x  thì:
rr
r
r
| u |  1  x 2 , | v |  2 và u.v  x 1  x  3  x .
rr
r r
Khi đó: (*)  u.v  | u | .| v | .
r
r
1 x
3 x
Điều này xảy ra khi u  kv với k > 0 
với x > 0.


x
1
x 1
�
2
2
 1 + x = x (3 – x)  (x – 1)(x – 2x – 1) = 0  �
x 1� 2
�
Kết hợp điều kiện, phương trình có nghiệm là: x = 1 và x  1 � 2 .
Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y  x  4 1 

x
.
2

Giải: Gợi ý học sinh:
- Trước hết, hãy biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số. (Mong
muốn phải đưa được về dạng: y  x  2 2. 2  x )
- Với hàm số như thế, có thể đưa về biểu thức tọa độ của tích vơ hướng
của hai vec-tơ nào?
- Từ các nhận xét đó, hãy tạo ra các điều kiện để sử dụng được kết quả
đã nhận xét.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Tập xác định của hàm số: D = [0; 2].
Ta có: y  x  2 2. 2  x .

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 16

Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

r
r
Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (1;2 2), v   x; 2  x 
rr
rr
 u.v  x  2 2. 2  x � y  u.v
r
r
Mặt khác: | u |  3, | v |  2 .

r

r

Áp dụng (I) ta có: y �3 2 . Dấu bằng xảy ra khi u  kv với k > 0

�
1 k x
2
�
� 2 2. x  2  x � x  �D
�
9
2 2 k 2x

�
2
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số là 3 2 tại x  .
9
Ví dụ 8: Với a, b là các số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y  x 2  2ax  2a 2  x 2  2bx  2b 2
Giải: Gợi ý học sinh:
- Trước hết, hãy biến đổi thu gọn biểu thức xác định hàm số. (Mong
muốn phải đưa được về dạng: y  ( a  x )2  a 2  ( x  b )2  b 2 )
- Với hàm số như thế, có thể thấy được chúng liên quan đến khái niệm
nào của vec-tơ?
- Từ các nhận xét đó, hãy tạo ra các điều kiện để sử dụng được kết quả
đã nhận xét.
Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:
Ta có: y  (a  x) 2  a 2  (x  b) 2  b 2 .
Tập xác định của hàm số: D = .
r
r
Trong hệ trục tọa độ Oxy, đặt u  (a  x;a), v  (x  b;b) . Khi đó:
r
r
y  | u |  | v |.
r r
r
Mặt khác, ta có:
u  v  (a  b;a  b), | u |  (a  x) 2  a 2 ,
r
r r
| v |  (x  b) 2  b 2 , | u  v |  2(a 2  b 2 ) .
r

r
r r
r r
Hơn nữa theo (III): | u | 
|v| �
| u v | y | u v |
2(a 2 b 2 ) .
r
r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u  kv với k > 0
a
2ab
 a  x  (x  b) � x 
.
b
ab
2ab
Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất là 2(a 2  b 2 ) , đạt được tại x 
.
ab

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 17


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
Trong năm học 2011-2012, tác giả được giao giảng dạy Toán ở các lớp
10C4, 10C7 là các lớp có chất lượng đầu vào (điểm thi tuyển sinh vào lớp 10,
mơn Tốn) là thấp so với mặt bằng chung của nhà trường. Sau khi học xong
phần vec-tơ thì kết quả của học sinh ở hai lớp đã được nêu trong phần đầu của
bản Sáng kiến kinh nghiệm này.
Tác giả đã sử dụng nội dung Sáng kiến để dạy cho lớp 10C4, còn lớp
10C7 vẫn dạy theo giáo án trước đây. Sau khi thực hiện xong nội dung giáo
án, tác gải đã khảo sát lại chất lượng của hai lớp với thời lượng 60 phút bằng
đề kiểm tra sau:
Câu 1 : Cho hai tam giác ABC và A'B'C' có AA', BB', CC' đơi một song
song và bằng nhau. Gọi I, K lần lượt là trọng tâm của hai tam giác đó và O
là trung điểm của IK.
uur uur uuu
r uuur uuur uuur r
1/ Chứng minh rằng : OA  OB  OC  OA�
 OB�
 OC �
0 .
uuur
uur
2/ Gọi M là trung điểm của A'B' và G là điểm thỏa mãn : C �
G  3GI .
Chứng minh rằng ba điểm O, M, G thẳng hàng.
r r
Câu 2 : Cho a , b là hai vec-tơ không cùng phương. Chứng minh rằng
r
r
r
r

các vec-tơ xr  ar  b và y  2a  3b không cùng phương. Khi đó, hãy phân
r r
r
tích vec-tơ a theo hai vec-tơ x , y .
Câu 3 : Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta có :
x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2 � z 2  zx  x 2
Kết quả thu được như sau :
Lớp

Không
làm
Làm đúng cả
Số bài
đúng
3 câu
câu nào

Làm đúng
được 2 câu

Chỉ là đúng Điểm
1 câu
cao nhất

10C4

45

0

22 (48,89%)

14 (31,11%)

9 (20,00%)

9,25

10C7

44

0

19 (43,18%)

17 (38,64%)

8 (18,18%)

9,0

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 18


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

Phần IV:

giáo viên: Vũ Quý Phương

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

Trên đây là một số kinh nghiệm và suy nghĩ của cá nhân tôi trong q
trình giảng dạy và cơng tác trong năm học vừa qua. Trong q trình giảng dạy
tơi nhận thấy với những kinh nghiệm trên, học sinh đã bước đầu thành thạo
trong giải tốn vec-tơ và sử dụng vec-tơ là một cơng cụ hữu hiệu để giải tốn
đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo trong học tập của học sinh. Thơng
qua một số bài tốn tơi muốn hình thành cho học sinh tư đuy lơgic, q trình
tập dượt sáng tạo tốn học. Điều đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
Tuy nhiên, những ý kiến này chưa hẳn đã là phù hợp với tất cả mọi đối
tượng học sinh, đặc biệt là các học sinh khá giỏi. Việc áp dụng nội dung sán
kiến này vào giảng dạy cần được bố trí hợp lý về mặt thời gian. Nếu trường
nào khơng bố trí giờ học tự chọn thì khá khó khăn về mặt thời gian để có thể
áp dụng được. Hơn nữa, rất cần đến sự kiên trì của giáo viên vì đối tượng học
sinh áp dụng trong sáng kiến này là những học sinh có tố chất, tư duy toán
học chưa thật tốt, ngại học toán, đặc biệt là hình học.
Với những kết quả đã thu được, tơi mạnh dạn nêu lên nội dung sáng
kiến của mình và mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để nội
dung được hoàn thiện hơn trong những lần chnh sa sau.

Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2011-2012

Trang 19


Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá

giáo viên: Vũ Quý Phương

TÀI LI ỆU THAM KHẢO
[1]

Phan Huy Khải (chủ biên) – Bài tập Hình học 10 nâng cao - Nhà xuất

bản Giáo dục Việt Nam - 2011.
[2]

Nguyễn Văn Lộc - Phương pháp vec-tơ trong giải tốn hình học phẳng

- Nhà xuất bản Giáo dục - 2007.
[3]

Tạp chí Tốn học và Tuổi trẻ.

[4]

Nguyễn Hải Châu, Nguyễn Thế Thạch (đồng chủ biên) - Kiểm tra đánh

giá thường xun và định kỳ mơn Tốn lớp 10 - Nhà xuất bản Giáo dục 2008.

S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2011-2012

Trang 20