Lv ths

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Một phương pháp tiếp cận giải

bài toán quy hoạch ngẫu nhiên

nguyên nhiều giai đoạn

Học viên:

Nguyễn Anh Tuấn

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS. Trần Xuân Sinh

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Mở đầu

Lý do chọn đề tài:

Một trong những phương pháp hiệu quả giải bài toán quy hoạch là

phương pháp cắt.Trong bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun tất định,
những người đầu tiên có ý tưởng và đề xuất lược đồ cắt, đó là Dangtzig,
Fulkerson, Johnson. Nhưng Gomory mới là người đầu tiên thành công
trong việc xây dựng những lát cắt để đảm bảo thuật toán hữu hạn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Các nhà khoa học cũng đã tìm cách sử dụng lược đồ cắt và đi xây
dựng những lát cắt có hiệu quả trong việc giải bài toán quy hoạch ngẫu
nhiên (chẳng hạn: Yongpei Guan, Shabbir Ahmed, Z.L. Chen, F.
Louveaux, G. Infanger, D.P. Morton...).

Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn có nhiều ứng
dụng trong thực tiễn. Vì vậy, việc nghiên cứu nhằm tìm ra thuật tốn
giải bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn là có ý nghĩa khoa
học và ý nghĩa thực tiễn rộng lớn.

Với lý do như vậy, chúng tôi lựa chọn đề tài:Một phương pháp

tiếp cận giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên nguyên nhiều giai
đoạn".

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Cấu trúc luận văn

Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tơi trình
bày một số khái niệm thuộc lý thuyết xác suất; các vấn đề lý thuyết
quy hoạch tuyến tính ngun và bài tốn quy hoạch tuyến tính
nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.1. Một số vấn đề cơ bản của lý thuyết xác suất

1.1.1. Các định nghĩa

Trong mục này, chúng tơi trình bày các khái niệm:

1.1.1.1. σ- đại số

1.1.1.2. Không gian đo và độ đo xác suất

1.1.1.3. Không gian xác suất

1.1.1.4. Đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử(Ω,F,P)là không gian xác suất;G làσ- đại số con củaσ

-đại sốF;Blàσ- đại số Borel trênR. Khi đó ánh xạX : Ω−→Rđược

gọi làđại lượng ngẫu nhiênG-đo được, nếu với mọiB ∈ B, ta có

X−1(B) :={ω:X(ω)∈B} ∈ G.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

1.1.1.5. Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên

Giả sửX : (Ω,F,P)→(R,B)là đại lượng ngẫu nhiên. Khi đó tích

phân Lebesgue củaX theo độ đoP(nếu tồn tại) được gọi làkỳ vọngcủa

X, ký hiệu làEX. Vậy

EX =

Z

Ω
XdP.

1.1.1.6. Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên

Giả sửX là đại lượng ngẫu nhiên. Khi đó sốDX =_E(X−_EX)2

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

1.1.2. Các tính chất

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số tính chất cơ bản của kỳ
vọng và phương sai thường gặp.

1.1.2.1. Tính chất của kỳ vọng

Giả sử X,Y, ξ là các đại lượng ngẫu nhiên cùng xác định trên không
gian xác suất(Ω,F,_P),a∈R, α∈E. Khi đó nếu tồn tạiEX,EY,Eξ

thì:

a) Tồn tại E(X +Y)vàE(X+Y) =EX+EY.

b) Tồn tạiE(aX)vàE(aX) =aEX.

c) Tồn tạiE(αξ)và E(αξ) =αEξ.

d) Nếu P(X =a) =1 thìEX =a.

e) Nếu ξvàX độc lập thìE(ξX) =Eξ.EX.

f) Với mọi ánh xạ tuyến tính T :E−→E0 (E0 là khơng gian Banach

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

1.1.2.2. Tính chất của phương sai

Giả sửX là phần tử ngẫu nhiên,ξlà đại lượng ngẫu nhiên cùng xác
định trên không gian xác suất(Ω,F,_P), a∈_R, α∈E. Khi đó

a)D(aX) =a2_DX_.

b)D(αξ) =kαk2

Dξ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.2. Bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên

1.2.1. Các khái niệm cơ bản

Trong mục này, chúng tôi giới thiệu bài toán quy hoạch nguyên,
cùng một số khái niệm liên quan.

1.2.2. Tính chất của bài tốn

Trong mục này, chúng tơi đã nêu một số tính chất quan trọng của
bài tốn quy hoạch tuyến tính và bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun.

1.2.3. Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên

Bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun khi dữ liệu phụ thuộc biến
ngẫu nhiên thì gọi làBài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên ngẫu nhiên.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Cụ thể có 3 loại chính: QHNN một giai đoạn, QHNN hai giai đoạn
và QHNN nhiều giai đoạn.

Sau khi trình bày bài tốn QHNN một và hai giai đoạn, chúng tơi
trình bày bài toán QHNN nhiều giai đoạn.

Để giải bài toán QHNN nhiều giai đoạn, người ta quan sát ở từng
giai đoạn, tương tự như việc xét hai giai đoạn, giả sử ở giai đoạn hai ta
đã xét bài toán

(LP1) Q1=min

x1

{c1Tx1+Eω∈Ω[Q(x1, ω)]},

với điều kiện

(

A1x1= b1,

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

ở

giai đoạnt, (t=1,2, . . . ,T),ta có

E[Qt(xt−1)] =

qt

X

i=1

ptiEωti∈Ωt[Qt(xt−1), ωti)],

trong đópti là xác suất của biến cốwti∈Ωt, i =1,2, . . . ,qt,

[Qt(xt−1), ωti)]được xác định từ bài toán

(LPt) [Qt(xt−1), ωt)] =min

xt {c
T

t xt+Eω∈Ω[Qt+1(xt, ω)]},

với điều kiện

(

Atxt=wt−Bt−1xt−1,

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.3. Phương pháp cắt giải bài toán QHTT nguyên

1.3.1. Phương pháp cắt hợp cách

Xét bài toán quy hoạch nguyên toàn phần (1.3). Nội dung của
phương pháp là:

* Bỏ qua điều kiện ngun, giải bài tốn quy hoạch tuyến tính bằng
phương pháp đơn hình được phương án tối ưux(0)_.

* Nếu xj0 nguyên (j=1,2, . . . ,n) thìx

(0) _{là phương án tối ưu cần}

tìm.

* Ngược lại, ta bổ sung vào bài tốn quy hoạch tuyến tính điều kiện

L(x) =Pn

j=1djxj 6e, (1.4)

trong đóL(x)phải thỏa mãn hai tính chất
+x(0) _{khơng thỏa mãn (1.4),}

+ mọi phương án nguyên đều thỏa mãn (1.4).

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Để minh hoạ cho nhát cắt hợp cách, chúng tơi trình bày nhát cắt
Gomory.

1.3.2. Phương pháp cắt Gomory

Giả sửx(0)_{= (}_xo

1,x

o

2, . . . ,x

o

m,0, . . . ,0)là phương án tối ưu của bài

tốn quy hoạch tuyến tính tương ứng và tồn tạixo

k chưa nguyên. Ký hiệu

[xo
k]và{x

o

k} là phần nguyên và phần thập phân củax
o
k.

Khi đó nhát cắt sau là hợp cách

{xo
k} −

n

X

j=m+1

{xkj}xj₆0, (1.3)

trong đóxkj là tọa độ thứk của vectơAj trong cơ sở củax(0) _{(các phần}

tử của vectơAj trong bảng đơn hình củax(0)_).

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.4. Phương pháp nhánh và cận giải bài toán QHTT nguyên

Giả sử

Ω ={w1,w2, . . . ,wS}, πs :=P({ws}), ξs :=ξ(ws), s=1,2, . . . ,S.

Chúng ta biết rằng quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn là bài toán
tối ưu hoá hữu hạn chiều.

Choσ-đại sốF là họ tập 2Ω_của_{Ω. Mỗi đại số con}_Ft,_t ₌₁_{, . . . ,}_T_,

tồn tại một họ hữu hạnEt ⊆2Ω _{là sự phân hoạch của}_Ω_{và sinh ra}_Ft_.

Từ Ft ⊆ Ft+1, mỗi phần tử của Et là hợp của những phần tử trong

Et+1. Số phần tử trongEt trùng với số phần tử khác nhau trong số

(ξ1

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Mối quan hệ giữa mỗi phần tử của Et vàEt+1,t =1, . . . ,T −1,có

thể được biểu diễn bởi một cây được gọi làcây phân nhánh(scenario
tree). Các đỉnh của cây xảy ra ở các lớpt=1, . . . ,T−1, với mỗi đỉnh
tương ứng với một phần tử củaEt vớit ∈ {1, . . . ,T}. Cung chỉ tồn tại
giữa những đỉnh xếp kề nhau. Mỗi đỉnh (phần tử) thuộcEt thì liên thơng
với tất cả các đỉnh (phần tử) thuộcEt+1 mà hợp thành vớiEt. Nhánh

(the scenario)ξs = (ξτs)τT=1, s=1, . . . ,S, phù hợp với đường cực đại của

cây phân nhánh.

Theo quan điểm của cây phân nhánh, sự khơng đốn trước được của
quyết địnhX = (Xs)S_s=₁= (X(ws))S_s=₁ nói lên rằng thành phần củaXs

vàXs0 _{phải đạt tới những giá trị giống nhau miễn là phù hợp với} _ξs _và
ξs0_{. Lúc này ta có hệ phương trình tuyến tính như sau, với mọi}

t=1,2, . . . ,T :

Xts =X
s0
t ; ξ

s

τ =ξ

s0

τ,∀s,s

0_{∈ {}

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

ý

tưởng chính của phương pháp là thực hiện phân nhánh để chia

tập phương ánM thành những phần nhỏ dần. Trên mỗi phần nhỏ của

tậpM, xác định cận của hàm mục tiêu. Từ đó loại bỏ dần những phần
khơng có khả năng chứa nghiệm. Như vậy, nhiệm vụ của phương pháp
nhánh và cận là thực hiện "phân nhánh", "tính cận" và "lựa chọn và loại
bỏ" sao cho quá trình hội tụ về nghiệm cần tìm.

1.4.1. Phân nhánh

Việc phân nhánh được thực hiện bằng cách chia tập phương ánM

thành các tập conM1,M2, . . . ,Mk sao cho

M=

k

[

i=1

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

1.4.2. Tính cận

Cho tậpM ⊂_Rn _{và 2}M_{\ ∅}_{là họ các tập con khác rỗng của}_M_{. Với}

mỗiA⊂M, hàm sốγ(A) :2M_{\ ∅ →}

Rgọi làcận dướicủa hàmf(x)

trênAnếuγ(A)thoả mãn hai điều kiện:
+γ(A)≤minf(x),∀x ∈A,

+γ(A1)≥γ(A2)nếuA1⊂A2⊂M.

Từ đó ta có γ(Mi)≥γ(M),∀i=1,2, . . . ,k.Đồng thời

f(x?_{) =}_min_{f₍_x_{) :}_x_∈_{M} ≥}_min_γ₍_Mi_{) =}_γ₍_Ms₎_.

Do đó nếuf(x?_{) =}_γ₍_Ms₎_thì_x? _{là phương án tối ưu cần tìm.}

1.4.3. Lựa chon và loại bỏ
+ Lựa chọn: Giả sử

M =

k

[

i=1

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Khi đóγ(Ms) =minγ(Mi),i=1,k,nên

γ(Ms)₆min{f(x) :∀x∈M}.Ta hy vọngMs chứa phương án tối ưu. Vì
vậy có thể chọnMs để phân nhánh tiếp theo.

+ Loại bỏ:Việc loại bỏ nhằm thu gọn bài toán, giảm bớt bộ nhớ.
Tiêu chuẩn để loại bỏ là:

Giả sử ở bước k, biết được phương ánx màf(x)₆f(x),với mọi
phương ánx đã biết, lúc này ta nóix là phương án kỷ lục,f(x)là giá trị
kỷ lục.

Nếu cóMj màγ(Mj)≥f(x)thìMj bị loại bỏ (nếuMj =∅ thìMj

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Chương 2. Tiếp cận phương pháp nhánh và cắt giải

bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

Trong chương này, chúng tôi tham khảo những kết quả chính của các
tác giả Yongpei Guan, Shabbir Ahmed và George L. Nemhauser trong
cơng trình [5].

2.1. Bài tốn quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

2.1.1. Bài toán

Xét bài toán quy hoạch nguyên hỗn hợp chu kỳT tất định

min

T

X

t=1

(αtxt+βtyt) (2.1)

với điều kiện





t

P

τ=1

(Gtτxτ+Atτyτ)≥bt, t=1,2, . . . ,T

xt∈Rp+, yt ∈Z+n, t=1,2, . . . ,T.

trong (2.1) thìGtτ vàAtτ là những ma trận,αt, βt,bt là những vectơ

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Xét sự mở rộng của (2.1) bằng một thay đổi ngẫu nhiên. Giả sử bài
toán những tham số(α, β,G,A,b)thay đổi ngẫu nhiên không phụ thuộc
nhau với không gian xác suất hữu hạn. Cấu trúc này càng thấy rõ khi
một cây phân nhánhT = (V,E)với chu kỳT mà ở đỉnhi∈ V tại thời
điểmt của cây có thể khác với kết quả giai đoạnt. Xác suất tương ứng
với đỉnhi làpi.

Tập những điểm trên đường dẫn từ các điểm nghiệm (biểu thị khi

i=0) tới đỉnh i biểu thị bởiP(i). Việc chọn(xi,yi)ứng với một đỉnhi

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Mục đích của chúng ta là nhằm giảm đến mức thấp nhất chi phí. Từ
(2.1) chúng ta có bài tốn quy hoạch ngun ngẫu nhiên nhiều giai đoạn
như sau:

min X

i∈ν

pi(αixi+βiyi) (2.2)

với điều kiện





P

j∈P(i)

(Gijxj+Aijyj)≥bi i∈ V
xi ∈Rp+, yi∈Zn+ i∈ V.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

2.1.2. Các khái niệm
2.1.2.1. Tập dẫn và tập cây

Bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn (2.2) có thể
thể hiện bởi tậpXT và xem tập này như làtập cây.Mỗi bất đẳng thức là
điều kiện để tạo nên tập hợpX thì ta nóibất đẳng thức có nghĩađối với

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Việc phát triển những bất đẳng thức có nghĩa đối với tập câyXT bởi
tổ hợp những bất đẳng thức có nghĩa đối với nhữngtập dẫnđược biểu
diễn

Xi =(xj,yj)j∈P(i):

X

k∈P(j)

(Gjkxk+Ajkyk)≥bj,xj ∈Rp+,yj∈Z
n

+,j ∈ P(i)

với mỗi đỉnhi∈ V. Tập dẫnXi chỉ gồm những ràng buộc củaXT ứng
với những đỉnh từ 0 đếni trên đường dẫnP(i), vì thế nó là sự lũy biến

của tập câyXT. Hơn nữa, tập dẫnXi là điều kiện cần để giải bài toán
nhiều giai đoạn tất định (2.1) với từng giai đoạnt(i), trong đót(i)là số
giai đoạn của đỉnhi trong cây phân nhánhT. Như vậy, biết được những
bất đẳng thức có nghĩa đối với mơ hình tất định (2.1) là có ý nghĩa đối
với tập dẫnXi cũng như với tập câyXT. Những bất đẳng thức có nghĩa

tương ứng với những tập dẫn khác nhau gọi là nhữngbất đẳng thức dẫn

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Trong cơng trình Sequential pairing of mixed integer inequalities,
công bố năm 2006, các tác giả Y. Guan, S. Ahmed và G. L. Nemhauser
đã chứng minh được định lý sau đây.

2.1.2.2. Định lý.Giả sử bất đẳng thức g1x+a1y ≥b1 và

g2x+a2y ≥b2 với b16b2 là có nghĩa với tập con X ⊂Rp+×Z
n
+,thì
bất đẳng thức đơi

ϕx+φy ≥b2,

trong đóϕ=max{g1,g2} vàφ=mina1+ (b2−b1), max{a1,a2} , là

có nghĩa đối với X.

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

Chương 2. Tiếp cận phương pháp nhánh và cắt giải

bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

2.2. Cây phân nhánh

Xét tập những bất đẳng thức có nghĩa, sự ghép đơi có thể thực hiện
nhiều lần để có được những bất đẳng thức có nghĩa mới. Một sắp xếp tự
nhiên là ghép đôi theo dãy.

Chẳng hạn khi cho những bất đẳng thức có nghĩa K

gix+aiy ≥ bi, i =1,2, . . . ,K

với tậpX =Rp+×Zn+ sao chob16b26. . .bK thế thìbất đẳng thức đơi

theo dãythu được do sự ghép đôi bất đẳng thức vớii=1, i=2. . .và
lần lượt cũng có kết quả bất đẳng thức đơi vớii =1,2, . . . ,K. Khi đó
chúng ta nhận được một họ những bất đẳng thức có nghĩa trong tập cây

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Giả sử những hệ số của bất đẳng thức dẫn khơng âm, các hệ sốaj

có thể giảm vì max{0,aj}.Do vậy, ta cần bổ sung ký hiệu liên quan với
cây phân nhánh.

Mỗi đỉnhi của cây phân nhánhT trừ nghiệm tạii=0 chỉ có một

gốc duy nhấta(i)và mỗi đỉnhi là nghiệm của cây nhỏ hơn

T(i) = V(i),E(i)

chứa nghiệm ít hơn đỉnhi của cây phân nhánh T vì
vậyT =T(0)vàV =V(0).

Mỗi giai đoạn ứng với đỉnhi biểu thị bởi t(i),trong đó tập điểm

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

2.2.1. Bất đẳng thức phân cây

2.2.1.1. Định lý.Cho tập điểm R ={i1, . . . ,iK} ⊆ V. Giả sử bất

đẳng thức

X

j∈P(i)

(gijxj+aijyj)≥bi (2.3)

là có nghĩa với những tập dẫn Xi với mọi i ∈R và
gij∈_Rp₊, aij∈_Rn

+, bi1 6bi26. . .6biK thế thì bất đẳng thức phân cây

X

j∈VR

ϕj(R)xj+φj(R)yj ≥biK (2.4)

là có nghĩa với tập cây XT, trong đóϕj(R) =maxi∈R{gij}và

φj(R) =minnmax

i∈R{aij},

P

ik∈R(j)(bik−bik−1)

o

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

2.2.2. Những bất đẳng thức cây mạnh

Nếu với những giá trị của j làm cho hệ số của những bất đẳng thức
dẫn thỏa mãngij =gj vàaij=aj,với mọii thì bất đẳng thức phân cây
có thể mạnh hơn.

2.2.2.1. Định lý.Giả sử bất đẳng thức

X

j∈P(i)

(gjxj+ajyj)≥ bi (2.10)

với gj ∈Rp+, aj ∈Rn+có nghĩa với những tập dẫn Xi với mọi i ∈ V

(khơng mất tính tổng qt chọn bj 6bi, ∀j ∈ P(i)).Gọi
R={i1, . . . ,iK} ⊆ V sao cho bi1 6bi2 6. . .6biK.Đặt
i0

k =argmin{t(j) :j∈ P(ik), bj >bik−1} với mỗi ik ∈R, đặt

ΩR =∪ik∈RP(i

0

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Chương 2. Tiếp cận phương pháp nhánh và cắt giải

bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

2.3. Bài toán" chiếc túi" ngẫu nhiên

2.3.1. Bài toán.

Xét tập phương án của "chiếc túi" tất định

XDK =n(x,y)∈R+× {0,1}T : x+
t

X

T=1

aTyT ≥bt, t=1, . . . ,T

o

,

trong đóat,bt ∈R+

Giả sử những tham sốat vàbt được chọn ngẫu nhiên từ cây phân

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Khi đótập phương án"chiếc túi"ngẫu nhiênlà

XSDK ={(x,y)∈R+× {0,1}|V| : x+

X

j∈P(i)

ajyj ≥bi, i∈ V} (2.13)

trong đóai, bi ∈R+với mọii∈ V. Khơng mất tính tổng quát, giả sử
bj ₆bi nếuj ∈ P(i).

Tập phương án chiếc túi ngẫu nhiên XSDK là trường hợp đặc biệt
đơn giản của tập câyXT, gồm một biến nhị phân không phụ thuộc nhau
ứng với mỗi đỉnh của cây phân nhánh và liên thông với những biếnx

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Xét sự ràng buộc của những điểm ban đầu đối với bất đẳng thức
dẫn cơ sở, áp dụng Định lý (2.2.1.1.) ta thu được bất đẳng thức phân
cây có nghĩa

x+X

j∈VR

φj(R)yj ≥ bi_k (2.14)

trong đóR={i1. . . . ,ik} ⊆ V vàφj(R) =min{aj,Pik∈R(j)(bik−bik−1}

vớibi₀=0.

Hơn nữa, tập XSDK thỏa mãn các điều kiện của Định lý (2.2.2.1.)

nên bất đẳng thức phân cây (2.14) có thể mạnh hơn bằng cách thayR

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Bây giờ ta chỉ ra điều kiện đủ để bất đẳng thức phân cây (2.14) xác
định. Xét những bất đẳng thức ứng với tậpR⊆ V sao choΩR =R. Khi

đó tập conΩ ={bi₁, . . . ,biK}, vì thế bất đẳng thức phân cây tương ứng
là

x+X

j∈VΩ

φj(Ω)yj ≥ bi_K (2.15)

vớiφj(Ω) =min{aj,P

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

2.3.2. Tính chất

2.3.2.1. Định lý.Bất đẳng thức phân cây (2.15) xác định trên tập
XSDK nếu:

(1) aj≥max{bi, i∈Ω(j)},với mỗi j ∈ VΩ
(2) bj+P

k∈P(r)\P(j)ak ≥br,với mỗi đôi j∈Ωvà r ∈ V(j)
(3) Với mỗi j∈ V\VΩ,tồn tại đỉnh s(j)∈ P(j)∩ VΩ sao cho
as(j)+P

k∈P(r)\VΩak ≥ br, với mỗi r∈ P(j)\{VΩ∪j}và

as(j)+P

k∈P(r)\{VΩ∪j}ak ≥ br,với mỗi r∈ V(j).

2.3.2.2. Định lý.Nếu aj≥max{bk, k ∈ V(j)} với mỗi j∈ V thì họ
những bất đẳng thức (2.15) ứng với mọiΩ⊆ V mà06x6bV và
06yj 61 với mọi j∈ V mô tả bao lồi của tập XSDK.

Định lý (2.3.2.2.) tổng quát hóa kết quả bao lồi trong trường hợp
tất định nghĩa là|Ω|=1 cũng như trường hợp chỉ có hai giai đoạn tức là

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

2.3.2.3. Định lý. Nếu aj ≥max{bk, k ∈ V(j)}với mọi j∈ V thế
thì tồn tại một thuật tốn phân chia đa thức những bất đẳng thức phân
cây(2.15).

Khi điều kiệnaj ≥max{bk, k ∈ V(j)}khơng thỏa, ta có thể sử
dụng thuật tốn trên khi tìm được phép phân chia một bất đẳng thức
phân cây rồi giả sửaj ≥max{bk, k ∈ V(j)}với mọij từ đó cố định
những hệ số của các biếnyj để có min{aj, φj(R)}.

2.3.2.4. Định lý. Một bất đẳng thức có nghĩa sinh bởi một dãy tùy

ý do sự ghép đôi những bất đẳng thức gốc trên tập con của tập XSDK thì
mạnh hơn tổ hợp lồi của những bất đẳng thức phân cây(2.15)với mọi

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Chương 2. Tiếp cận phương pháp nhánh và cắt giải

bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn

2.4. Về việc phân nhánh và cắt

2.4.1. Một mơ hình tốn học bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên
nhiều giai đoạn

2.4.1.1. Bài toán

Bài toán ước lượng ngẫu nhiên đơn hình là một mơ hình tốn học
bài toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn được định nghĩa trên cây
phân nhánhT = (V,E)là

min X

i∈V

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

với điều kiện







sa(i)+xi =di+si, i∈ V

0₆xi₆aiyi, i∈ V

sa(0)≥0; si ≥0; yi∈ {0,1}, i∈ V,

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Loại bỏ dần những biếnsi vớii∈ V và dùngsđể kiểm chứng lại
biến ban đầusa(0), mảnh cắt của bài tốn ước lượng ngẫu nhiên có thể là
XSLP =n(s,x,y)∈R+|V|+1×{0,1}|V|:s+

X

j∈P(i)

xj ≥d0i,xi6aiyi,i ∈ V

o

(2.26)
trong đód0i =Pj∈P(i)dj.

Thayxi bởiaiyi ta có sự mở rộng củaXSLP là

XRSLP =n(s,y)∈R+× {0,1}|V|: s+

X

j∈P(i)

ajyj ≥bi, i∈ Vo, (2.27)

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

Ta nhận thấy rằngXRSLP chính là tập chiếc túi ngẫu nhiênXSDK, vì
thế những bất đẳng thức có nghĩa mở rộng ở mục (2.3.) cũng có nghĩa
với tậpXSLP. Bổ đề sau cho ta kết quả kể cả những biếnxj trong những
bất đẳng thức có nghĩa với tậpXRSLP.

2.4.1.2. Bổ đề. Nếu bất đẳng thức s+P

j∈VRπjyj≥π0có nghĩa
với tập XSLP với R⊆ V và SR ⊆ VR thì bất đẳng thức

s+X

j∈SR

xj+X

j∈SR

πjyj ≥π0, (2.28)

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

2.4.1.3. Định lý.Cho tập R={i1, . . . ,iK} ⊆ V thỏa mãn

bi1 6. . .6biK trong đó b1=maxj∈P(j){d0i}và tập con SR ⊆ VR.
Khi đó, bất đẳng thức

s+X

j∈SR

xj+X

j∈SR

φj(R)yj ≥biK (2.29)

có nghĩa với tập XSLP trong đó SR =VR và
φj(R) =min{aj,

X

ik∈R(j)

(bik−bik−1)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

2.4.2. Một trường hợp đặc biệt

2.4.2.1. Đặt vấn đề. Giả sửaj ≥max{bk, k ∈ V(j)} với mọij∈ V.

Xét tập những đỉnhQ={i1,i2, . . . ,iK}, đặtQ(j) =Q ∩ V(j)với

mọij ∈ Vs,thỏa mãn
(i)d0i1 6d0i2. . .6d0ik,

(ii)Nếuj,im,in∈ Q(j)thì{im+1, im+2, in−1} ∈ Q(j)

Với mỗi i∈ VQ, ta định nghĩa

e

DQ(i)=

(

0, nếu{j : j ∈ Q\Q(i)sao chod0j 6DeQ(i)}=∅

max{d0j : j ∈ Q\Q(i)sao chod0j 6DeQ(i)}.

DQ(i)=max{d0j : j ∈ Q(i)}
MQ(i)=max{dij: j∈ Q(i)};

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

Thế thì khi choSQ⊆ VQvàSQ=VQ\SQ, thì bất đẳng thức

s+ X

j∈SQ

xj+ X

j∈SQ

δQ(j)yj ≥MQ(0) (2.30)

có nghĩa với tậpXSLP

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

2.4.3. Phép chia cắt

Nhiệm vụ quan trọng khác của phương pháp là kỹ thuật chia cắt.
Mục này chúng tơi trình bày các kỹ thuật đó. Trước tiên, xét trường hợp
đặc biệtaj≥max{bk, k ∈ V(j)}.

Phép chia cắt bất đẳng thức phân cây (2.29) tương đương với việc
tìm tập đỉnhR và chia tập VR thành hai tậpSR vàSR. Điều này khó

thực hiện nên chúng tơi tìm kết quả gần đúng.

Nếu đặt SR =∅thì những bất đẳng thức phân cây ước lượng (2.29)

là những bất đẳng thức cây chiếc túi (2.15), vì thế theo định lý (2.3.3.3)
chúng ta có lược đồ ngắn nhất để phân chia đa thức.

Trong trường hợp tổng qt, chúng tơi có thể sử dụng lược đồ trên
để tìm những bất đẳng thức phân cây với giả thiết

aj ≥max{bk, k ∈ V(j)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44>

Mở đầu
Cấu trúc luận văn
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Chương 2. Tiếp cận phương pháp nhánh và cắt giải bài toán quy hoạch nguyên ngẫu nhiên nhiều giai đoạn
Kết luận

Kết luận

I. Luận văn đã giải quyết được một số vấn đề như sau:

1 Trình bày được đầy đủ, những khái niệm và kiến thức cơ sở bài tốn

quy hoạch tuyến tính ngun, bài tốn quy hoạch tuyến tính nguyên
ngẫu nhiên, một số khái niệm cơ sở về xác suất và một số phương

pháp cắt giải bài tốn quy hoạch tuyến tính ngun tất định.

2 Trình bày được các khái niệm mới về việc nghiên cứu bài tốn quy

hoạch tuyến tính ngun ngẫu nhiên nhiều giai đoạn.

3 _{Phát biểu và chứng minh được các tính chất của bài tốn.}
4 Trình bày bài tốn quy hoạch ngun điển hình là bài tốn "chiếc

túi" ngẫu nhiên. Phát biểu và chứng minh một số định lý quan
trọng về bài tốn đang xét

5 Phân tích kỹ thuật nhánh và cắt nhằm giải một lớp bài tốn quy

hoạch tuyến tính nguyên nhiều giai đoạn, dựa trên phân nhánh và
cắt trên cây phân nhánh.

vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu bao gồm:

Xây dựng thuật tốn hồn chỉnh và lập trình giải cho hai bài toán
đã đề cập trong luận văn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Kết luận

II. Hướng mở của luận văn:

Do thời gian và trình độ có hạn nên chúng tơi nhận thấy còn một số
vấn đề cần được tiếp tục nghiên cứu bao gồm:

Xây dựng thuật tốn hồn chỉnh và lập trình giải cho hai bài tốn

đã đề cập trong luận văn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Tác giả xin chân thành cảm ơn

các nhà khoa học,

</div>

<!--links-->