Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng các đa thức nội suy cổ điển để giải toán phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH
SỬ DỤNG CÁC ĐA THỨC NỘI SUY CỔ ĐIỂN ĐỂ GIẢI
TỐN PHỔ THƠNG

Người thực hiện: Lê Văn Tiến
Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2021


MỤC LỤC
Mục lục…………………………………………………………………….….i
Các ký hiệu trong đề tài………………………………………………………ii
1. Mở đầu…………………………………………………………………….1
1.1. Lí do chọn đề tài…………………….…………………………….…....1
1.2. Mục đích nghiên cứu………….…………………………………….….1
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………….…………………………….……1
1.4. Phương pháp nghiên cứu……………….………………………….…...1
2. Nội dung……………………………………………………………….…..2
2.1. Cơ sở lý thuyết…………….……………………………………….…..2
2.1.1. Đa thức nội suy Lagrange……………………...………………………2
2.1.2. Đa thức nội suy Newton…………………………………………….….3
2.2. Một số ứng dụng trong giải toán phổ thông…..………………………..4
2.2.1. Ứng dụng đa thức nội suy Lagrange trong bài tốn tìm ngun hàm….4

2.2.2. Ứng dụng đa thức nội suy Newton trong bài tốn tính tổng hữu hạn.…8
3. Kết luận, kiến nghị………………….………………………….………...12
Tài liệu tham khảo………………….…………………………………
13


KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN
 �: Tập các số phức;
 �: Tập các số thực;
 �: Tập các số nguyên;
 �: Tập các số tự nhiên;
*
i 0;
 � : Tập các số tự nhiên lớn hơn

 � x  : Tập các đa thức nguyên;
 � x  : Tập các đa thức thực;
 AM – GM: Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân;
 THPT: Trung học phổ thông;
 deg L  x  : Bậc của đa thức L  x  .


ii


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Các đa thức nội suy cổ điển có nhiều ứng dụng trong giải toán sơ
cấp. Như đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton có nhiều ứng dụng
thường gặp trong các bài toán xác định biểu thức hàm số, rút gọn biểu thức, tính

tổng hữu hạn,... Có nhiều trường hợp cần phải xác định được biểu thức của hàm
số y  f  x  , trong khi chỉ biết các giá trị rời rạc y0 , y1 ,..., yn tại các điểm tương
ứng x0 , x1 ,..., xn . Ở một số trường hợp thì biết biểu thức của hàm số y  f  x 
nhưng lại quá phức tạp. Khi đó, cần xây dựng một đa thức P  x  thỏa mãn

P  xi   f  xi  , i  0, n . Đa thức P  x  được xây dựng như trên được gọi là đa
thức nội suy của f  x  ứng với các nút nội suy x0 , x1 ,..., xn . Các điểm xi , i  0, n

được gọi là các nút nội suy và bài toán xây dựng đa thức P  x  như vậy gọi là
bài toán nội suy. Trong những năm gần đây, nhằm thúc đẩy sự phát triển và nâng
cao chất lượng của giáo dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã không ngừng đổi mới
và cải cách giáo dục, nhất là đổi mới kiểm tra đánh giá và thi tuyển sinh. Trong
các kì thi học sinh giỏi các cấp và thi THPT quốc gia, thường gặp các bài toán
về đa thức, những bài tốn này được đặt ở mức độ khó nhằm phân loại học sinh,
giúp tuyển chọn được các học sinh thực sự có tài năng và kiến thức tốt về mơn
tốn.
Vì vậy, để có thêm phương tiện, cơng cụ khi giải các bài tốn loại này thì
việc hình thành một chuyên đề chọn lọc những vấn đề cơ bản về bài tốn đa
thức, bài tốn nội suy dưới góc nhìn của tốn sơ cấp, đặc biệt là những ứng dụng
của đa thức nội suy Lagrange, các đa thức nội suy cổ điển khác để giải các bài
toán trong các kì thi là cần thiết. Hơn nữa, đề tài này có thể dùng cho giáo viên
ơn luyện thi THPT quốc gia và ôn thi học sinh giỏi các cấp. Do đó, tơi đã chọn
vấn đề “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng các Đa thức nội
suy cổ điển để giải tốn phổ thơng” làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là nghiên cứu ứng dụng của một số đa thức nội suy cổ
điển trong giải toán sơ cấp; hệ thống lại một số dạng toán cơ bản trong chương
trình phổ thơng và các bài tốn nâng cao.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Các đa thức nội suy cổ điển, các bài tốn tổng qt và lớp bài tốn tìm

ngun hàm và tính tích phân, tính tổng hữu hạn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu về phương pháp nội suy, khái quát, đặc biệt, tương tự
và tổng hợp trong chương trình tốn phổ thơng.
Nghiên cứu thực tiễn và ứng dụng của các đa thức nội suy cổ điển trong
chương trình tốn phổ thông.
1


2. NỘI DUNG.
2.1. Cơ sở lý thuyết
2.1.1. Đa thức nội suy Lagrange
a. Bài toán nội suy Lagrange

i �j  i, j  1, 2,..., N 
Cho các số thực xi , ai , với xi �x j , với
. Hãy xác định

đa thức L  x  có bậc deg L  x  �N  1 và thỏa mãn điều kiện
L  xi   ai , i  1, 2,L , N

b. Đa thức nội suy Lagrange
Kí hiệu
Li ( x) 

x  xj

N

� x x

j 1, j �i

i

.

(1.1)

; i  1, 2,L , N

j

.

N

L( x)  �ai .Li ( x)

i 1
Khi đó, đa thức
là đa thức duy nhất thỏa mãn điều kiện của bài
toán nội suy Lagrange và đa thức này được gọi là đa thức nội suy Lagrange.
Chứng minh
Dễ dàng nhận thấy

hay

Li  x j    ij

1
�
Li  x j   �
0
�

khi i  j
khi i �j

, và deg L( x) �N  1 .
N

N

j 1

j 1

L  xi   �a j L j  xi   �a j ij

Mặt khác

, hay L  xi   ai , i  1, 2,�, N .

Hồn tồn chứng minh được, nếu có đa thức L* ( x ) , mà có bậc deg L* ( x) với
deg L* ( x ) �N  1

cũng thỏa mãn điều kiện của bài tốn (1.1) thì khi đó đa thức

P( x)  L( x)  L* ( x)

tức là

P  x

cũng có bậc deg P ( x ) �N  1 và thoả mãn P  xi   0, i  1, 2,�, N ,

là đa thức có bậc deg P( x) �N  1 mà lại có ít nhất N nghiệm phân

biệt x1 , x2 ,�, xN nên P( x ) �0 . Do đó L( x)  L* ( x) . Vậy bài toán được chứng minh.
Bài toán 1. Cho a1 , a2 ,�, an là n số đôi một khác nhau và deg f ( x) �n  1 khi
đó ta có thể phân tích
An
f ( x)
A
A2
 1 
 �
x  an
 x  a1   x  a2  � x  am  x  a1 x  a2

.

Trong đó A1 , A2 ,�, An là các hằng số thích hợp.
Lời giải.
Áp dụng đa thức nội suy Lagrange tại các mốc nội suy ak , k  1, n ,
ta có

2

 x  a2   x  a3  � x  an 
 a1  a2   a1  a3  � a1  an 
 x  a1   x  a3  � x  an 
 f  a2 
 a2  a1   a2  a3  � a2  an 
 x  a1   x  a2  � x  an1 
 �  f  an 
 an  a1   an  a2  � an  an 1  .

f ( x)  f  a1 

Khi đó

f  a1 
f ( x)
1

.
 x  a1   x  a2  � x  an   a1  a2   a1  a3  � a1  an   x  a1 


f  ai 

Ai 

n

� a a 
i

f  a2 
1
.
�
 a2  a1   a2  a3  � a2  an   x  a2 

f  an 
1
.
 an  a1   an  a2  � an  an 1   x  an 

.

, i  1, n

j

Trong đó
.
2.1.2. Đa thức nội suy Newton
a. Bài tốn nội suy Newton
j 1, i �j

Cho các số thực xi , ai , với i  1, 2,L , N . Hãy xác định đa thức
deg N ( x) �N  1 và thỏa mãn các điều kiện
N i 1  xi   ai , i  1,L , N

N  x

có bậc

.

b. Đa thức nội suy Newton
Ký hiệu
x

t

t1

x1

x2

x3

R i  x1 , x2 ,L , xi , x   �
��L

ti2

�dt
xi

i 1

�dt2 .dt1.dt  i  1, 2,L , N 

.

Khi đó, đa thức
N

N ( x)  �ai R i 1  x1 , x2 ,�, xi 1 , x 
i 1

 a1  a2 R  x1 , x   a3 R 2  x1 , x2 , x   L  aN R N 1  x1 ,L , xN 1 , x 

.
là đa thức duy nhất thỏa mãn các điều kiện của bài toán nội suy Newton và đa
thức này được gọi là đa thức nội suy Newton.
Nhận xét. Với xi  x0 , với mọi i  1, 2,L , N , thì
�
�
�
R  x0 , x1 ,L , xi 1 , x   R x0 ,L , x0 , x �
�14 2ˆ 43 �
� i lan
�
i

i

x

t

t1

x0

x0

x0

 ���
L

ti2

�dt
x0

i 1

�dt2 .dt1.dt

3


 x  x0 


i

i!

; i  1, 2,L , N

.

�
�
N
N ( x)  �ai R i �x0 ,L , x0 , x �
�14 2 43 �
i 1
� i lan
�
Khi đó
 a0  a1 R  x0 , x   a2 R

 a0  a1  x  x0   a2
N 1

 �ai

 x  x0 

i 0

i!

2

 x0 , x0 , x   L

 x  x0 

2

 a N 1 R

2

 L  aN 1

N 1

 x  x0 

�
�
�x0 ,L , x0 , x �
�14 2 43
�
� N 1 lan
�
N 1

( N  1)!

i

�T ( x)

.

Bài toán 2.

Cho P  x  là một đa thức bậc n  0 trên một trường số K và n phần tử

x1 , x2 ,�, xn �K . Khi đo tồn tại các phần tử  0 , 1 ,�,  n thuộc K để
P ( x )   0  1  x  x1    2  x  x1   x  x2   �   n  x  x1  � x  xn 

.
Công thức (2.1) là cách viết khác của công thức nội suy Newton.
Lời giải

(2.1).

Nhận thấy các đa thức 1, x  x1 ,  x  x1   x  x2  , �,  x  x1  � x  xn  lập thành
một cơ sở của K - vectơ các đa thức có bậc khơng vượt q n trên K .

Do đó, với mỗi đa thức P  x  có bậc khơng vượt q n ln tồn tại các phần tử
 0 , 1 ,�,  n thuộc K để biểu diễn P  x  như (2.1) ở trên.
Trong đó các  0 , 1 , �,  n được xác định như sau:

Nhận thấy  0  P  x1  ;
Đặt

P  x1 ; x  

P( x)  P  x1 
 1   2  x  x2   �   n  x  x2  � x  xn 
x  x1

khi đó 1  P  x1 ; x2  ;
Đặt

P  x1; x2 ; x  

P  x1 ; x   P  x1 ; x2 
  2   3  x  x3   �   n  x  x3  � x  xn 
x  x2

khi đó  2  P  x1 ; x2 ; x3  ;
Một cách tổng quát, ta có

P  x1 ;�; xi ; x  

P  x1 ;�; xi 1; x   P  x1 ; �; xi 1; xi 
x  xi

khi đó  i  P  x1 ;�; xi  , i  0,1, 2..., n .
2.2. Một số ứng dụng trong giải toán phổ thông
2.2.1. Ứng dụng đa thức nội suy Lagrange trong bài tốn tìm ngun hàm
4


1

Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của hàm số  x  1  x  2  .
Lời giải
Cách giải thông thường của giáo viên hướng dẫn học sinh
Thông thường khi gặp bài toán này, giáo viên thường hướng dẫn học sinh sử
dụng đồng nhất thức để xác định các hệ số trong phân tích. Cụ thể
1

Giả sử  x  1  x  2 
Suy ra



A
B

x 1 x  2

A  x  2   B  x  1  A  B  x  2 A  B
A
B



x 1 x  2
 x  1  x  2 
 x  1  x  2 

�A  B  0
�A  1
��
�
Đồng nhất thức, ta được �2 A  B  1 �B  1
1
1 �
�1
dx  �
dx

� 
�
�
x  1  x  2 
x 1 x  2 �

�
Khi đó
  ln x  1  ln x  2  C

Sau đây tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange

Áp dụng bài toán 1, chọn hai nút nội suy là x  1, x  2 và f  x   1
1

ta phân tích  x  1  x  2 



1

1



 x  1  1  2   2  1  x  2 



1

1

x 1 x  2

.

1 �
�1
dx  �
dx
� 
�
�
 x  1  x  2
�x  1 x  2 �
1

Suy ra

  ln x  1  ln x  2  C

.

Nhận xét:
Với ứng dụng này của đa thức nội suy Lagrange, chúng ta thấy việc phân tích
trở nên đơn giản hơn nhiều.
Sau đây chúng ta xét một ví dụ phức tạp hơn, để thấy rõ ưu điểm của Đa thức
Lagrange trong phân tích biểu thức.
x2  4 x
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số ( x  2)( x  2)( x  3) .

Lời giải
Cách giải thông thường của giáo viên hướng dẫn học sinh
x2  4 x
A
B
C



Giả sử ( x  2)( x  2)( x  3) x  2 x  2 x  3
A
B
C
A( x  2)( x  3)  B ( x  2)( x  3)  C ( x  2)( x  2)



( x  2)( x  2)( x  3)
Ta có x  2 x  2 x  3
A  B  C  x 2   5 A  B  x  6 A  6 B  4C


( x  2)( x  2)( x  3)

5


1
�

A


�
�A  B  C  1
5
�
�
5
A

B


4
�
B


3
�
�
�
� 21
6 A  6 B  4C  0
�
�
C
� 5
Đồng nhất thức, ta được

�
1
3
21 �
x2  4x




dx
�
dx �
� 5  x  2   x  2  5  x  3 �
�
�
(
x

2)(
x

2)(
x

3)
�
�
Suy ra
1
21

  ln x  2  3ln x  2  ln x  3  C
5
5
.

Sau đây tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange

2
Áp dụng bài toán 1, chọn hai nút nội suy là x  2, x  2, x  3 và f  x   x  4 x
Ta có

x2  4 x
( x  2)( x  2)( x  3)

 2   4. 2    3  4.  3
22  4.2


( x  2)(2  2)(2  3) (2  2)( x  2)(2  3) (3  2)(3  2)( x  3)
1
3
21



5  x  2   x  2  5  x  3
2

2

.

�
1
3
21 �
x2  4x
�



dx
�
dx
� 5  x  2   x  2  5  x  3 �
�
�
(
x

2)(
x

2)(
x

3)
�
�
Suy ra

1
21
  ln x  2  3ln x  2  ln x  3  C
5
5
.

Nhân xét: Trong ví dụ này, chúng ta thấy rất rõ ưu điểm của Đa thức nội duy
Lagrange trong phân tích biểu thức.
x2  1
2
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số ( x  1) ( x  3)( x  4) .

Lời giải
Cách giải thông thường của giáo viên hướng dẫn học sinh
x2  1
A
B
C
D




2
2
Giả sử ( x  1) ( x  3)( x  4) ( x  1) x  1 x  3 x  4
A
B
C

D



2
Ta có ( x  1) x  1 x  3 x  4

A( x  3)( x  4)  B ( x  1)( x  3)( x  4)  C  x  1 ( x  4)  D  x  1 ( x  3)

( x  1)2 ( x  3)( x  4)
2

2

6


� 1
�A  10
�
�B  11
� 200
�
5
�
C
� 8
�
17
�D  

25 .
Đồng nhất thức, ta được �
� 1
�
x2  1
11
5
17
dx  �



dx
�
�
2
2
�
(
x

1)
(
x

3)(
x

4)
10(

x

1)
200(
x

1)
8(
x

3)
25
(
x

4)
�
�
Suy ra



1
11
5

ln x  1  ln x  3  17 ln x  4  C
10( x  1) 200
8
25

.

Sau đây tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange
Bước 1.
x2  1
Trước tiên ta phân tích biểu thức ( x  1)( x  3)( x  4)
2
Áp dụng bài toán 1, chọn hai nút nội suy là x  1, x  3, x  4 và f  x   x  1

Ta được
x2  1
17
5
1



( x  1)( x  3)( x  4) 5( x  4) 2( x  3) 10( x  1) .

Bước 2.
x2  1
17
5
1



2
2
Do ( x  1) ( x  3)( x  4) 5( x  4)( x  1) 2( x  3)( x  1) 10( x  1) .

Áp dụng bài tốn 1, ta lại phân tích các phân thức sau
17
17
17


Biểu thức 1 5( x  4)( x  1) 25( x  4) 25( x  1) ;
5
5
5


Biểu thức 2 2( x  3)( x  1) 8( x  3) 8( x  1) .
17
x2  1
1
11
5




2
2
Khi đó ( x  1) ( x  3)( x  4) 10( x  1) 200( x  1) 8( x  3) 25( x  4) .
� 1
�
x2  1
11

5
17
dx  �



dx
�
�
2
2
�
(
x

1)
(
x

3)(
x

4)
10(
x

1)
200(
x


1)
8(
x

3)
25
(
x

4)
�
�
Suy ra


1
11
5

ln x  1  ln x  3  17 ln x  4  C
10( x  1) 200
8
25
.
3 x
f  x 
( x  1)  x 2  1

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số
Lời giải

Cách giải thông thường của giáo viên hướng dẫn học sinh

7


Với trường hợp mẫu thức chứa đa thức bậc hai vơ nghiệm thì việc phân
tích sẽ là khó khăn với học sinh
Giả sử
Lại có

3 x
A
Bx  C

 2
2
( x  1)  x  1 x  1 x  1

2
A
Bx  C A  x  1   Bx  C   x  1


x 1 x2 1
( x  1)  x 2  1

Đồng nhất thức, ta được

�A  2
�

�B  2
�
C  1
�

.

3 x
2
2x
1
dx  � 2  2 x  1 �
dx  � dx  �2
dx  �2
dx
�
2
�
�
2
�
( x  1)  x  1
x

1
x

1
x


1
x

1
x

1
�
�
Suy ra

Sau đây tác giả xin giới thiệu cách dùng Đa thức nội suy Lagrange
Ta có

3 x
3 x

2
( x  1)  x  1 ( x  1)( x  i )( x  i )

Áp dụng bài toán 1, chọn hai nút nội suy là x  1, x  i, x  i và f  x   x  3
3 x
2
3i 1
3i 1



2
( x  1)  x  1 x  1 2  2i x  i 2  2i x  i

Ta có

2
2  i 1
2  i 1


x 1
2 xi
2 x i
2
2x 1

 2
x 1 x 1


3 x

�
( x  1)  x

2

2
2x
1
dx  � 2  2 x  1 �
dx  � dx  �2

dx  �2
dx
�
�
2
�
 1
x 1
x 1
x 1
�x  1 x  1 �

Suy ra
Các bài tập tương tự
Tìm nguyên hàm của hàm số sau

2x2
f  x 
( x  1)( x  1)( x  2) ;
Bài tập 1.
x 2  3x  8
f  x 
( x  1)( x  1)( x  2)( x  3) ;
Bài tập 2.

x2  2 x  3
f  x 
24 x3  10 x 2  3x  1 ;
Bài tập 3.
x3

f  x  4
x  5x2  4 .
Bài tập 4.

2.2.2. Ứng dụng đa thức nội suy Newton trong bài toán tính tổng hữu hạn
Ví dụ 1. Cho đa thức P( x) , biết P( x) là một đa thức bậc hai thoả mãn
�P (0)  0
�
�P ( x)  P( x  1)  x , x ��.

(1)

8


a) Tìm đa thức P  x  ;
*
b) Suy ra giá trị của tổng S  1  2  3  ...  n, n �� .
Lời giải
x
a) Thay lần lượt bằng 1; 2; 3 vào (1), ta được

�P (1)  P(0)  1
�P(1)  1
�
�
�P (2)  P(1)  2 � �P(2)  3
�P (3)  P(2)  3 �P(3)  6
�
�

P ( x )   0  1 x   2 x ( x  1)   3 x( x  1)( x  2)

Đặt
.
x
0
3
Thay lần lượt bằng ; 1 ; 2 ; vào (2), ta được

(2)

0  0
�
�P  0    0
�
�
1  1
�
�P  1   0  1
�
��
�
1
2 
�P  2    0  21  2 2
�
2
�P 3    3  6  6
�



0
1
2
3
�
3  0
�
1
x 2 x x( x  1)
P( x)  x  x( x  1)  x   
2
2 2
2 .
Vậy, đa thức cần tìm có dạng
P  n   1  2  3  ...  n, n ��*

b) Xét đa thức

.

n  n  1
n  n  1
S  1  2  3  ...  n 
, n ��*
2
2
Theo câu a) ta có
, suy ra
.

P
(
x
)
P
(
x
)
Ví dụ 2. Cho đa thức
, biết
là một đa thức bậc ba thoả mãn
P
(0)

0
�
�
2
�P ( x )  P ( x  1)  x , x ��.
P  x
P  n 

a) Tìm đa thức

(3)

;

2
2

2
2
*
b) Suy ra giá trị của tổng S  1  2  3  ...  n , n �� .
Lời giải
x
a) Thay lần lượt bằng 1; 2; 3 vào (3), ta được

�P(1)  P(0)  1
�P(1)  1
�
�
�P(2)  P(1)  4 � �P(2)  5
�P(3)  P(2)  9 �P(3)  14
�
�

Đặt P( x)   0  1 x   2 x( x  1)   3 x( x  1)( x  2)   4 x( x  1)( x  2)( x  3) .
Thay x lần lượt bằng 0 ; 1 ; 2 ; 3 vào (4), ta được

(4)

0  0
�
�P  0    0
�
1  1
�
�
�P  1   0  1

�
3
��
�
2 
2
�P  2    0  21  2 2
�
�P 3    3  6  6
�
1
0
1
2
3
� 
3 
�
3
�

Vậy, đa thức cần tìm có dạng
9


3
1
x 3 x 2 x x( x  1)  2 x  1
P( x )  x  x ( x  1)  x ( x  1)( x  2)    
2

3
3 2 6
6
.
2
2
2
2
*
P  n   1  2  3  ...  n , n ��

b) Xét đa thức

.

n  n  1  2n  1
6
Theo câu a) ta có
, suy ra
n  n  1  2n  1
S  12  2 2  32  ...  n 2 
6
.
P  n 

Ví dụ 3. Cho đa thức bậc bốn P  x  , thỏa mãn
�P (1)  0
�
�P ( x)  P( x  1)  x( x  1)(2 x  1), x ��.

(5)

a) Xác định P  x  ;
*
b) Suy ra giá trị của tổng S  1.2.3  2.3.5  K  n(n  1)(2n  1), n �� .
Lời giải
x
a) Thay lần lượt bằng – 1; 0; 1; 2 vào (5), ta được
�P(1)  P( 2)  0
�P(2)  0
�P(0)  P(1)  0
�P(0)  0
�
�
��
�
�P(1)  P (0)  1.2.3
�P(1)  6
�
�
�P(2)  P(1)  2.3.5
�P(2)  36
Đặt P( x)   0  1 ( x  1)   2 ( x  1) x   3 ( x  1) x( x  1)   4 ( x  1) x( x  1)( x  2) .
Thay x lần lượt bằng 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 vào (6), ta được

(6)

�
�P  1   0
�

0  0
�
�
1  0
�P  0    0  1
�
�
�
��
2  3
�P  1   0  21  2 2
�
�
 3
�P  2    0  31  6 2  6 3
�3
�P  2       2  6  24
�
1
0
1
2
3
4
4 
�
�
�
2

Vậy, đa thức cần tìm có dạng
1
1
P ( x )  3( x  1) x  3( x  1) x ( x  1)  ( x  1) x ( x  1)( x  2)  x( x  1) 2 ( x  2)
2
2
.

*
b) Xét đa thức P  n   1.2.3  2.3.5  K  n(n  1)(2n  1), n �� .

Theo câu a) ta có

P  n 

n(n  1) 2 (n  2)
, n ��*
2
, suy ra

S  1.2.3  2.3.5  K  n(n  1)(2n  1) 

n(n  1)2 (n  2)
, n ��*
2
.

Bài tập tương tự

Bài tập 1. Cho đa thức bậc ba P  x  , thỏa mãn

10


�P (0)  0
�
�P ( x)  P( x  1)  x( x  1), x ��.

a) Xác định P  x  ;

�
�
 n( n  1), n ��* .
b) Suy ra giá trị của tổng Sn  1.2  2.3  3.4  �

Bài tập 2. Cho đa thức bậc ba P  x  , thỏa mãn
�P (0)  0
�
�P ( x)  P ( x  1)  x(3x  1), x ��.

a) Xác định P  x  ;

�
�
 n  3n  1 , n ��*
b) Suy ra giá trị của tổng S  1.2  2.5  3.8  �
.

Bài tập 3. Cho đa thức bậc bốn P  x  , thỏa mãn

�P (2)  0

�
�P ( x )  P ( x  1)  x ( x  1)  x  2  , x ��.

a) Xác định P  x  ;

�
�
 n  n  1  n  2  , n ��*
b) Suy ra giá trị của tổng S  1.2.3  2.3.4  3.4.5  �
.

Bài tập 4. Cho đa thức bậc ba P  x  , thỏa mãn
�P (0)  0
�
2
�P ( x )  P ( x  1)  4 x , x ��.

a) Xác định P  x  ;

2
2
2
*
b) Suy ra giá trị của tổng Sn  0  2  4  ...   2n  , n �� .
2

Bài tập 5. Cho đa thức bậc ba P  x  , thỏa mãn
�
�P(1)  1
�

3
�P( x)  P( x  1)   2 x  1 , x ��.
P  x

a) Xác định

;

3
3
3
*
b) Suy ra giá trị của tổng Sn  1  3  5  ...   2n  1 , n �� .
3

11


3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Nội dung chủ yếu của luận văn là nghiên cứu về một số đa thức nội suy cổ
điển và ứng dụng trong giải tốn phổ thơng. Những kết quả đã đạt được trong
quá trình nghiên cứu là
1. Trình bày lý thuyết cơ bản về đa thức nội suy cổ điển và các tính chất.
2. Trình bày các bài toán tổng quát và ứng dụng bài tổng qt trong giải
tốn.
3. Trình bày ứng dụng của một số đa thức nội suy cổ điển và các ứng dụng
trong bài tốn phổ thơng.
Đặc biệt, kết quả chính đạt được của luận văn là: Phương pháp sử dụng
các đa thức nội suy cổ điển trong giải toán và phát triển bài tốn xác định đa
thức, phân tích biểu thức để tìm ngun hàm, rút gọn biểu thức, tính tổng hữu

hạn.
Do khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn, nên luận văn có thể chưa
đầy đủ và khó tránh khỏi sai sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp của
thầy, cơ và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
12


XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2021
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

Lê Văn Tiến

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Mậu, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB giáo dục, 2007.
[2] Trịnh Đào Chiến, Huỳnh Minh Thuận, Một số ứng dụng công thức nội suy
Lagrange, NXB trường Đại học KHTN-ĐHQGHN, 2007.
[3] Nguyễn Văn Mậu, Nội suy đa thức – Định lý và áp dụng, NXB trường Đại
học KHTN-ĐHQGHN, 2016.
[4] Tạp chí tốn học tuổi trẻ.

13