Tich phan luong giac tSy hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (218.43 KB, 18 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 )

TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I. KIẾN THỨC

1. Thuộc các nguyên hàm :

a/









sin ax+b dx cos ax+b
a











b/













sin ax+b

ln os ax+b
os ax+b dx c

c











c /









os ax+b sin ax+b

c dx

a











d/













os ax+b

ln sin ax+b
sin ax+b

c

dx











2. Đối với :

( )
I f x dx









a/ Nếu f(x)=

R



sinm x c; osnx



thì ta chú ý :

- Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )

- Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )

- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )

- Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )

b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các

hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc

chia đơi ....

3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh địi

hỏi phải có một số yếu tố sau :

- Biến đổi lượng giác thuần thục

- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong

nguyên hàm .

II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :

a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005)







0 1 3cos

sin
2
sin



dx
x

x
x

b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 .

x
x






0 1 cos

cos
2
sin



KQ:

2 ln 2 1

Giải

a.





 

2 2

0 0

2cos 1 sinx
sin 2 sin

1 3cos 1 3cos

x

x x

I dx dx

x x

 




 

 



Đặt :

t 1 2

osx=

;sinxdx=-3 3

1 3cos

0 2; 1

c tdt

t x

x t x  t

 




   

      




Khi đó :

1 2 2

2 1

3 2 2 1 2 1 34

3 9 9 3 27

t

I tdt dt t t

t

  



 



   

 

       

   

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

b.

 

2 2

2 2 2

0 0 0

sin 2 cos 2sin cos os

2 sinxdx 1

1 cos 1 cos osx+1

x x x x c x

I dx dx

x x c

  

  

 



Đặt :





dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= 1
2

1 osx

1 1

( ) 2

t

t c

t

f x dx dt t dt

t t




  



   

  

    

 

  



Do đó :

1
2

0 2

1 1

2 ( ) 2 2 2 2 ln 2ln 2 1

1
2

I f x dx t dt t t t

t



   

            

   



Ví dụ 2. Tính các tích phân sau

a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 .

2 2

sin 2x

I dx

cos x 4sin x








KQ:

2
3

b. CĐ Bến Tre – 2005 .






2

0 sin 1

3
cos



dx
x

x
I

KQ:

2 3ln 2

Giải

a.

2 2

sin 2x

I dx

cos x 4sin x








. Đặt :

t cos2x4sin2 x t2 cos2x4sin2x

Do đó :





2 2sin cos 8sin cos 3sin 2 sin 2

0 1; 2

tdt x x x x dx xdx xdx tdt

x t x  t



     





      




Vậy :

2 2

0 1 1

2 2 2 2

( )

3 3 3 3

tdt

I f x dx dt t

t















 

b.






2

0sin 1

3
cos



dx
x

x
I

.

Ta có :

cos3x=4cos3x 3cosx



4cos2x 3 osx= 4-4sin



c



2x 3 osx= 1-4sin



c



2x c



osx

Cho nên :





 

2
1 4sin
os3x

( ) osxdx 1

1+sinx 1 sinx
x
c

f x dx dx  c



Đặt :





dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2
2

1 sinx

1 4 1 3

( ) 8 4

t
t

t

f x dx dt t dt

t t




  



   

   

 

     

 

  



Vậy :





2
2

0 1

2
3

( ) 8 4 8 2 3ln 2 3ln 2

I f x dx t dt t t t

t



 

          

 



</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

a. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 .

2 2

sin

sin 2cos .cos
2
xdx

I

x

x x









b. CĐ Y Tế – 2006 .

sin x cosx

I dx

1 sin2x










KQ:

ln 2

Giải

a.





2 2 2

2 2

0 0 0

sin sin sinx

ln 1 osx 2 ln 2
sin cos . 1 osx 1+cosx

sin 2cos .cos 0

xdx xdx

I dx c

x x x c

x x

  



     

 





b.





 

  

  

  





2 2 2

4 4 4

sin x cosx sin x cosx sin x cosx

I dx dx dx 1

sinx+cosx
1 sin2x sinx+cosx

Vì :

s inx+cosx= 2 sin x 4 ;4 x 2 2 x 4 34 sin x 4 0

      

   

         

   

   

Do đó :

s inx+cosx s inx+cosx

Mặt khác :

d



sinx+cosx

 

 cosx-sinx



dx

Cho nên :





sinx+cosx 2 1

ln sinx+cosx ln1 ln 2 ln 2

sinx+cosx 2

4
d

I



  

     

 



Ví dụ 4. Tính các tích phân sau

a. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006 .





3
0

cos2x

I dx

sin x cosx 3




 



KQ:

1
32

b. CĐ KTKT Đông Du – 2006 .

cos2x

I dx

1 2sin2x







KQ:

1 ln34

Giải

a.





3
0

cos2x

I dx

sin x cosx 3




 



. Vì :

cos 2x c os2x sin2 x



cosx+sinx

 

cosx-sinx



Cho nên :

















3 3

osx-sinx
os2x

( ) osx+sinx

sinx-cosx+3 sinx-cosx+3
c

c

f x dx dx c dx

Đặt :





3 2 3

dt= cosx+sinx ; 0 2, 4

2
sinx-cosx+3

3 1 1

( ) 3

dx x t x t

t

f x dx dt dt

t t t




     




  

  

   

 

  

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Vậy :

4
2

2 3 2

0 2

1 1 1 3 1 1

( ) 3

4 32

I f x dx dt

t t t t



   

         

   



b.

cos2x

I dx

1 2sin2x







. Đặt :

4cos 2 os2xdx=

4
1 2sin 2

0 1; 3

dt xdx c dt

t x

x t x  t



 




   

      




Vậy :



   





3
4

0 1

cos2x 1 dt 1 1

I dx ln t ln3

1 2sin2x 4 t 4 1 4

Ví dụ 5. Tính các tích phân sau :

a. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 .

3
2

4sin x

I dx

1 cosx







KQ: 2

b. CĐ Bến Tre – 2006 .

3
6

sin3x sin 3x

I dx

1 cos3x











Giải

a.













  




    

 



2
3

2 2 2

0 0 0

1 cos x

4sin x 1

I 1 cosxdx 4 1 cosx sinxdx=4 1 cosx sinxdx=4. 1 cosx2 2 2

b.

3
6

sin3x sin 3x

I dx

1 cos3x










.

Ta có :

sin 3x sin 33 xsin 3 1 sin 3x



 2 x



sin 3 . os 3x c 2 x

.

Đặt :

1
dt=-3sin3xdx

sin3xdx=-3
1 os3x

0 2; 1

dt

t c

x t x  t








   

      




Vậy :





1 2

0 2 1

2
1

1 1 1 1 1 1 1

( ) 2 2 ln ln 2

3 3 3 2 6 3

t

f x dx dt t dt t t t

t t



    

            

   



Ví dụ 6. Tính các tích phân sau

a.

I =

3 3

sin x sin x

cot gx dx

sin x







b.

I =

sin( x)

4 dx

sin( x)



 









c. I =

2
4
0

sin x dx





d. I =

cos 2x(¿n4x+cos4x)dx



π
2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a.

I =

3 3 2

2 2

3 3

1
sinx 1

sin x sin x cot gx dx sin x cot xdx

sin x sinx

 

 



 

  





2 2

3 2

3 3

1 cot xdx

cot x cot xdx

sin x

 













 







b.

I =

2 2

sin( x) cosx-sinx

4 dx dx

cosx+sinx

sin( x)

 

  

















d cosx+sinx

2

ln cosx+sinx

0 cosx+sinx

2
















c. I =

2 2 2

0 0 0

1 cos2x

1 1 cos4x

sin x dx

dx

1 2cos 2x

dx

2

4

2

  







































3 1

1

3

1

3 cos2x+ cos4x dx

x

sin 2x

sin 4x 2

8 2

8

4

32 0

16









































d. I =

cos 2x(¿n4x+cos4x)dx



0
π
2

. Vì :

4 4 1 2

sin os 1 sin 2

x c x  x

Cho nên :

2 2 2

2 2 3

0 0 0

1 1 1 1

1 sin 2 os2xdx= os2xdx- sin 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 0

2 2 2 3

0 0

I x c c x xdx x x

  

 

 

      

 



Ví dụ 7.

Tính các tích phân sau

a. I =

2
5
0

sin xdx





b. I =

4
2
6

1 dx

sin x cot gx





c. I =

2 2

tg x cot g x 2dx









d. */I =

3 3

( cos x

sin x )dx







</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a. I =









2 2 2 2

5 2 2 4

0 0 0

sin xdx

1 cos x sinxdx=- 1 2cos x cos x d cosx

  



















3 5

2

1

2 cosx+ cos x

cos x 2

3

5 0

15 





 













b. I =

4
2
6

1 dx

sin x cot gx





.

Đặt :

2 2

1 1

2 2

sin sin

cot cot

3; 1

6 4

tdt dx dx tdt

x x

t x t x

x  t x  t



  




    

      




Vậy :





1 3

1
3

2 3

2 2 2 3 1

1
tdt

I dt t

t









  

c. I =





3 3 2 3

2 2

6 6 6

tg x cot g x 2dx

t anx-cotx dx

  









Vì :

2 2

sinx osx sin os os2x

tanx-cotx= 2 2cot 2

cosx sinx sinxcosx sin2x

c x c x c

x


   

Cho nên :

t anx-cotx<0;x ;
6 4

3 3

; 2 ; 2 cot 2 ;

6 3 3 3 3 3

t anx-cotx>0;x ;
4 3

x x x

 

   

 

  



  

   

    

      

  

       



  

 



Vậy :









3 3

4 4

6 4 6 4

os2x os2x 1

t anx-cotx t anx-cotx

sin2x sin2x 2

c c

I dx dx dx dx

 

   

 







 











ln sin 2



4 1



ln sin 2



3 ln 2
2

6 4

x x

 

   

d. I =

3 3

( cos x

sin x )dx







(1)

Đặt :

x 2 t dx dt x, 0 t 2;x 2 t 0

  

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Do đó :













 

0 2 2

3 3 3 3

3 3

0 0

os sin sin ost sin osx 2

2 2

I c t t dt t c dt x c dx

 



 

    

           

    

 



Lấy (1) +(2) vế với vế :

2I  0 I 0

Ví dụ 8

. Tính các tích phân sau

a.

3
4

tan xdx





(Y-HN-2000) b.





os2x
sinx+cosx+2

c

dx





(NT-2000) c.

6
2

4
4

os
sin
c x

dx
x





(NNI-2001)

d.

2
4

6
0

sin
os

x
dx
c x





( GTVT-2000)

e.

2
0

sin 2
4 os

x
dx
c x







f.

2
4

1 2sin
1 sin 2

x
dx
x








(KB-03)

Giải

a.

3
4

tan xdx





. Ta có :





4 4 4 2

1 os

sin 1 1

( ) tan 2 1

os os os os

c x
x

f x x

c x c x c x c x



     

Do đó :









3 3 3

4 2 2

4 4 4

1 1 3

( ) 2 1 1 tan 2 tan

os os os

4
dx

I f x dx dx x x x

c x c x c x

  



 

         

 



1 3 4 2

t anx+ tan 2 3 2 2 3 2 3 2

3 12 3 12 3 12

4
x



  



       

             

       

* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :











 



4 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) tan tan tan 1 1 tan 1 tan tan tan 1 tan tan 1 1

f x  x x x   x  x  x x  x  x 

Vậy :



 



3 3 3 3

2 2 2 2

2 2

4 4 4 4

tan 1 tan tan 1 1 tan .

os os

dx dx

I x x x dx x dx

c x c x

   

 





      











1tan t anx+x 3 13 3 3 1 1 2

3 3 3 3 4 3 12

I x



  



     

           

     

b.





os2x
sinx+cosx+2

c

dx





.

Ta có :















 







2 2

3 3 3

os sin osx-sinx osx+sinx
os2x

( )

sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 sinx+cosx+9

c x x c c

c

f x    

Do đó :













 

4 4

0 0

osx+sinx

( ) osx-sinx 1

sinx+cosx+2
c

I f x dx c dx

 

 

   

 

 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Đặt :





3 2 3

cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 2 2,
4

sinx+cosx+2

2 1 1

osx-sinx ( ) 2

t
t

t

dt c dx f x dx dt dt

t t t




   




  

  

     

 

  



Vậy :









2 2

2 3 2

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2

3 9 3

2 2

3 2 2 2 2

I dt

t t t t

  




       

               

  

         

 













 















sin ost sin ost

sin ost os sin t ( )

sin ost+9 sin ost+9

t c t c

t c dt c t dt f x

t c t c

 

     

 

c.

6
2

4
4

os
sin
c x

dx
x







Ta có :





6 2 4 6

4 4 4 4 2

1 sin

os 1 3sin 3sin sin 1 1

( ) 3 3 sin

sin sin sin sin sin

x

c x x x x

f x x

x x x x x

   

      

Vậy :





2 2 2 2

2 2

4 4 4 4

1 os2x

1 cot 3 3

sin sin 2

dx dx c

I x dx dx

x x

   



 

      

 



1cot 3cot 3 1 1sin 2 2 5 23

3 2 4 8 12

x x x x x





 

        

 

d.





2 2

4 4 4 4 4

6 6 6 4 4 2 2

0 0 0 0 0

sin 1 os 1 1 1 1

1 tan

os os os os os os os

x c x dx

dx dx dx dx x

c x c x c x c x c x c x c x

    

  

       

 



























4 2 4 4 4

2 2 2 4 2

2 2

0 0 0 0

1 1

1 tan 1 tan 1 2 tan tan tan 1 tan t anx

os os

x dx x dx x x d x x d

c x c x

   





 



 



  





3 5 3 3 5

2 1 1 1 1 8

t anx+ tan tan t anx- tan 4 tan tan 4

3 x 5 x 3 x 0 3 x 5 x 0 15

 

   

       

   

e.





2 2 2 2

0 0 0 0

7 os2x

sin 2 sin 2 2sin 2 3

ln 7 os2x 2 ln
1 os2x

4 os 4 7 os2x 7 os2x 0 4

d c

x x x

dx dx dx c

c

c x c c

   




     



  





f.





4 4 4

0 0 0

1 sin 2

1 2sin os2 1 1 1

ln 1 sin 2 4 ln 2

1 sin 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 0 2

d x

x c x

dx dx x

x x x

  






    

  



Ví dụ 9.

Tính các tích phân sau :

a.

3 4

sin xcos xdx





b.

sin 3
1 2 os3x

x
dx

c



</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

c.

2 2

6 6 3

0 0 3

sin os os2x

sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx cosx- 3 sinx

x c x c

I dx J dx K dx

c c

  







 



 



Giải

a.













2 2 2

3 4 2 4 6 4

0 0 0

sin xcos xdx 1 cos x cos .sinxdxx cos x cos x d cosx

  

   



7 5

1 1 2

os os 2

7c x 5c x 0 35


 

   

 

b.









2 2 2

0 0 0

1 2cos3

sin 3 1 3sin 3 1 1 1

ln 1 2cos3 2 ln 3

1 2 os3x 6 1 2cos3 6 1 2cos3 6 0 6

d x

x x

dx dx x

c x x

  






    

  



c. Ta có :

2 2

6 6 6

0 0 0

sin os 1 1 1 1

2 2

sinx+ 3 osx 1 3 sin

sinx+ osx

2 2

x c x

I J dx dx dx

c x

c

  




   

 



 

 



Do :

tan

2 6

1 1 1 1

sin 2sin os x+ tan 2 os tan

3 2 6 6 2 6 2 6 2 6

x
d

x x x x

x c c



     

  


 

 

  

           

    

           

           

Vậy :

0
tan

2 6

1 1 1 1

ln tan 6 ln 3 ln 3

2 tan 2 2 6 0 2 4

2 6
x
d

x
I

x

 





  


 

 

 

      

    

 

 



(1)

- Mặt khác :



 



2 2

6 6

0 0

sin 3 os sin 3 os
sin 3 os

sinx+ 3 osx sinx+ 3 osx

x c x x c x

x c x

I J dx dx

c c

 

 



 







Do đó :









3 sinx- 3 osx osx- 3 sinx 6 1 3
0

I J c dx c



 



   

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ :

 

3 3 1

1ln 3 ln 3

16 4

4 3

1 3 1

3 1 3 ln 3

16 4

I
I J

I J J

 

   

 

 



 



      

 



Để tính K ta đặt

t x 32 dt dx x 3 ;2 t 0.x 53 t 6

   

         

Vậy :





6 6

0 0

os 2t+3 os2t 1 3 1

ln 3

8 2

sint+ 3 ost
os t+3 3 sin t+3

2 2

c c

K dt dt I J

c
c

 



 



     

   



   

   



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a.

0
1
1 sin 2xdx







( CĐ-99)

b.

0 2 sinx+cosx
dx







(ĐH-LN-2000)

c.





10 10 4 4

sin x cos x sin xcos x dx



 



(SPII-2000)d.

sinxsin x+

6
dx



   

 

 



(MĐC-2000)

Giải

a.





4 4 4

0 0 0

1 1 1

tan 4 1

1 sin 2 sinx+cosx 2cos 4 0

dx dx dx x

x x

  





 

      

     

 

 



b.

0 2 sinx+cosx
dx







.

Đặt :

2
2

1 1 2

tan 1 tan ; ; 0 0, 1

2 2cos 2 2 1 2

x x dt

t dt dx dx dx x t x t

x t



 

              



 

Vậy :









 

1 1 1

2 2 2 2

0 0 0

2 2

1 2 2 2

. 2

2 1 1 2 3 1 2

1 1

dt dt

I dt

t t t t t t

t t

   

     

 



Đặt :









2 2 2

1 2

2 ; 0 tan ; 1 tan 2

os 2

1 2 tan

2 2 2

( ) 2

os
2 1 tan

1 2

dt du t u t u

c u

t u

dt

f t dt du du

c u
u

t


      




   

   

   



Vậy :





2 1

2 2 2 2 arxtan arctan 2

u

I du u u u

u

 

       

 

 



c.





10 10 4 4

sin x cos x sin xcos x dx



 



Ta có :

sin10x c os10x sin4xcos4 x



sin2x c os2x

 

 cos4x sin4x c

 

os6x sin6x





cos2x sin2 x c

 

os2x sin2x c

 

os4x sin4x cos sin2x 2x



    

2 1 2 2 1 2 1 os4x 1 os8x 15 1 1

os 2 1 sin 2 os 2 sin 4 os4x+ os8x

4 16 2 32 32 2 32

c c

c x x c x x   c c

        

 

Vậy :

15 1 1 15 1 1 15

os4x+ os8x sin 4 2 sin 8 2

32 2 32 32 2 8 32.8 64

0 0

I c c dx x x



 

 

       

 



d.

1
s inxsin x+

6
dx



   

 

 



.

Ta có :

 

sin sin osx-sinxco = *

6 6 6 6 6 2

x  x   x  x x  c x 

       

        

        

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Do đó :

1 sin osx-sinxco

1 2 6 6

( ) 2 2

sinxsin x+ sinxsin x+ sinxsin x+

6 6 6

x c x

f x

 

  

   

 

   

   

  

     

     

     

3 3

6 6

os x+ os x+

osx 6 ( ) 2 osx 6 2 ln sinx ln sin x+ 3

sinx sin sinx sin 6

6 6 6

c c

I f x dx dx

x x

 

  



  

 

   

        

    

           

          

    

    



sinx 3 3 1 2 3

2ln ln ln . 2 ln

2 2 3 2

sin x+
6 6
I



 

   

 

 

 

*

Chú ý

: Ta cịn có cách khác

f(x)=





1 1 2

3 1 sin 3 cot

sinxsin x+ sinx sinx+ osx

6 2 2

x x

c

  

    

   

   

Vậy :









3 3

6 6

2 3 cot

2 1 2ln 3 cot 3 2 ln3

sin 2

3 cot 3 cot

d x

I dx x

x

x x

 






    

 



Ví dụ 11

. Tính các tích phân sau

a.

3
2

2
0

sinxcos
1 os

x
dx
c x







(HVBCVT-99)

b.

2 2

os cos 2

c x xdx





( HVNHTPHCM-98)

c.

6 6

sin 4
os sin

x
dx

c x x







(ĐHNT-01)

d.

4
4

0 os

dx
c x





(ĐHTM-95)

Giải

a.

 

3 2

2 2

0 0

sinxcos 1 os

(sin 2 ) 1

1 os 2 1 os

x c x

dx x dx

c x c x

 



 



Đặt :

2sin cos sin 2
1 os

os 1; 0 2; 1

dt x xdx xdx

t c x

c x t x t x  t

 



   

       




Vậy :













1 2

2 1

2
1

1 1 1 1 ln 2 1

1 ln

2 2 2 2

t

I dt dt t t

t t

   

        

 



b.

2 2

os cos 2

c x xdx





.

Ta có :





2 2 1 os2x 1 os4x 1

( ) os cos 2 . 1 os2x+cos4x+cos4x.cos2x

2 2 4

c c

f x c x x    c





1 1 1 3 1 1

1 os2x+cos4x+ os6x+cos2x os2x+ os4x+ os6x

4 c 2 c 4 8c 4c 8c

 

    

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Vậy :

1 3 1 1 1 3 1 1

os2x+ os4x+ os6x sin 2 sin 4 sin 6 2

4 8 4 8 4 16 16 48 0 8

I c c c dx x x x x






   

         

   



c.

6 6

sin 4
os sin

x
dx

c x x







.

Vì :

d



sin6 x c os6x

 

 6sin5xcosx 6 os sinc 5x x dx



6sin cosx x



sin4x c os4x





sin6 os6



3sin 2 sin



2 os2

 

sin2 os2



3sin 2 cos 2

d x c x x x c x x c x dx x xdx

     



6 6



3 2

sin 4 sin 4 sin os

2 xdx xdx 3d x c x

   

Vậy :













6 6

4 4

6 6

6 6 6 6

0 0

sin os

sin 4 2 2 4

ln sin os 4 ln 2

os sin 3 sin os 3 0 3

d x c x

x

dx x c x

c x x x c x

 




   

 



d.









4 4 4

2 3

4 2 2

0 0 0

1 1 4

1 tan t anx t anx+ tan 4

os os os 3 3

dx dx

x d x

c x c x c x

  



 

     

 



Ví dụ 12

. Tính các tích phân sau .

a.

11
0

sin xdx





( HVQHQT-96)

b.

2 4

sin xcos xdx





(NNI-96)

c.

4
2
0

os cos 4

c x xdx





(NNI-98 )

d.

1 cos2xdx







(ĐHTL-97 )

Giải

a.

11
0

sin xdx





Ta có :









11 10 2 2 3 4 5 6

sin xsin x.sinx= 1-cos x sinx= 1-5cos x10cos x10cos x5cos x c os x sinx

Cho nên :





2 3 4 5 6

1-5cos 10cos 10cos 5cos os sinxdx

I x x x x c x







   

7 6 5 4 3

1 5 5 5 118

os os 2cos os os osx

7c x 6c x x 2c x 3c x c 21

 

 

       

 

b.

2 4

sin xcos xdx





Hạ bậc :









2 4 1 os2x 1 os2x 1 2

sin cos 1 os2x 1 2cos 2 os 2

2 2 8

c c

x x         c  x c x

   



2 2 3



1 2cos 2 os 2 os2x-2cos 2 os 2

8 x c x c x c x

    



2 3



1 1 1+cos4x 1+cos4x

1 os2x-cos 2 os 2 1 os2x- os2x

8 c x c x 8 c 2 c 2

  

        

 

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>





1 1 cos6x+cos2x

1 os2x-cos4x+cos4x.cos2x 1 os2x-cos4x+

16 c 16 c 2

 

     

 





2 3cos 2 os6x-cos4x
32  x c

Vậy





1 1 3 1 1

2 3cos 2 os6x-cos4x sin 2 sin 6 sin 4 4

32 32 64 32.6 32.4

I x c dx x x x x



 

        

 



d.

2
2

0 0 0 0

1 cos2xdx 2cos xdx 2 cosx dx 2 cosxdx cosxdx



   



 

 

      

 

 







2 sinx 2 sinx 2 1 1 2 2

0 2

 



 

 

     

 

 

III. MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG

1. Trong phương pháp đổi biến số dạng 2.

* Sử dụng công thức :

0 0

( ) ( )

b b

f x dx f b x dx



Chứng minh :



Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt ,

x t b

x b t
  


 

  




Do đó :

0 0 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

b b b

b

f x dx f b t dt  f b t dt  f b x dx



. Vì tích phân khơng

phụ thuộc vào biến số

Ví dụ : Tính các tích phân sau

a/





3
0

4sin
sinx+cosx

xdx





b/





3
0

5cos 4sin
sinx+cosx

x x

dx







c/





4
2
0

log 1 t anx dx







d/

6
2

6 6

sin
sin os

x
dx
x c x







e/





1 n

m

x  x dx



f/

4
2

3 3

sin cos
sin os

x x

dx
x c x







</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a/





3
0

4sin
sinx+cosx

xdx
I







.(1) . Đặt :

 





3 3

, 0 ; 0

2 2

4sin

4cos
2

2 2 ( ) ( )

cost+sint

sin os

2 2

dt dx x t x t

t

t x x t t

f x dx dt dt f t dt

t c t

 



 



      




 

 

       

 

   

     

  

   

  

   

 



Nhưng tích phân khơng phụ thuộc vào biến số , cho nên :





 

0 2

3
0

4 osx

( ) 2

sinx+cosx
c

I f t dt dx











Lấy (1) +(2) vế với vế ta có :













2 2

3 2

0 0

4 sinx+cosx 1

2 2

sinx+cosx sinx+cosx

I dx I dx

 





 



2
2
0

2 tan 2 2

2cos 0

I dx x

x







 

      

    

 

 



b/





3
0

5cos 4sin
sinx+cosx

x x

I dx








. Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :













 

2 2

3 3 3

0 0

5cos 4sin 5sin 4cos 5sin 4 os

sinx+cosx ost+sint sinx+cosx

x x t t x c x

I dx dt dx

c

 



  













Vậy :





2 2

0 0

1 1 1 1

2 tan 2 1

2 4 2

sinx+cosx 2cos 0

I dx dx x I

x

 






 

        

    

 

 



c/





4
2
0

log 1 t anx dx







. Đặt :









2 2

, 0 ; 0

4 4

4 4 ( ) log 1 t anx log 1 tan

dx dt x t x t

t x x t

f x dx dx t dt

 




      



      

  

      

 

   



Hay:









2 2

1 tan 2

( ) log 1 log log 2 log

1 tan 1 tan

t

f t dt dt t

t t



 

        

 

 

Vậy :

0 4 4

0 0

( ) log 2 4

4 8

I f t dt dt tdt I t I

 



 

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

d/

6
2

6 6

sin
sin os

x

I dx

x c x









(1)

 

0 2 6

6 6

6 6 0

sin

os
2

os sin

sin os

2 2

t

c x

d t dx I

c x x

t c t



 

 



 

    



   

  

   

   



(2)

Cộng (1) và (2) ta có :

6 6

2 2

6 6

0 0

os sin

2 2

os sin 0 2 4

c x x

I dx dx x I

c x x

 



 



     





e/





1 n

m

x  x dx



. Đặt : t=1-x suy ra x=1-t . Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx

Do đó :





0 1 1

1 0 0

1 m n( ) n(1 )m n(1 )m

I 



 t t dt 



t  t dt



x  x dx

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1.

2
2

0
4sin
1 osx

x
dx
c







2.

osx+2sinx

4cos 3sin

c

dx

x x







(XD-98 )

3.

3
2

2
0

sinxcos
1 os

x
dx
c x







4.

3
2
0

sinx
cos
x

dx
x







( HVNHTPHCM-2000 )

5. 



5 3

0
1

x  x dx



(ĐHKT-97 )

6.

0 2

sin
2 os

x x

dx
c x







( AN-97 )

7.

sinx+2cosx
3sinx cosxdx







( CĐSPHN-2000)

8.

1 sinx
ln

1+cosx dx





 

 

 



( CĐSPKT-2000 )

9.

0 2

sin
9 4cos

x x

dx
x







(ĐHYDTPHCM-2000 )

10.

4
2

3 3

sin cos
sin os

x x

dx
x c x







* Dạng :

asinx+bcosx+c
'sinx+b'cosx+c'

I dx

a









Cách giải :

Ta phân tích :



' osx-b'sinx



asinx+bcosx+c

's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c' 's inx+b'cosx+c'

B a c C

dx A

a a a





  



- Sau đó : Quy đồng mẫu số

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

- Tính I :









' osx-b'sinx

Ax+Bln 'sinx+b'cosx+c'

'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c' 'sinx+b'cosx+c'

B a c C dx

I A dx a C

a a a

 

 




 

      

 



VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ

. Tính các tích phân sau :

a.

sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3dx





( Bộ đề )

b.

osx+2sinx
4cos 3sin

c

dx

x x







( XD-98 )

c.

sinx+7cosx+6
4sinx 3cosx 5dx



 



d.

I =

2
0

4 cos x 3sin x 1
dx
4 sin x 3cos x 5



 

 



Giải

a.

sinx-cosx+1
sinx+2cosx+3dx





. Ta có :





 

osx-2sinx
sinx-cosx+1

( ) 1

sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3 sinx+2cosx+3

B c C

f x   A 

Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :









1
5

2 1

2 sinx+ 2A+B osx+3A+C 3

( ) 2 1

sinx+2cosx+3 5

3 1 4

5
A

A B

A B c

f x A B B

A C

C





 

 

  

        

   

 






. Thay vào (1)





2 2 2

0 0 0

sinx+2cosx+3

1 3 4 1 3 4

ln sinx+2cosx+3 2

5 5 sinx+2cosx+3 5 sinx+2cosx+3 10 5 0 5

d

I dx dx J

  




 

       

 



 

3 4 4

ln 2

10 5 5 5
I     J

- Tính tích phân J :

Đặt :





2
0

2 2 2

2 2

; 0 0, 1

2 os 2

2
2

tan

1 2 2

2 ( ) 1 2

2 1 1 2 3

2 3

1 1

dx

dt x t x t

x
c

x dt

t J

dt dt t

f x dx

t t t t t

t t




      





    

 

  

    

 

  





. (3)

Tính (3) : Đặt :

1 2

2
2

2 . 0 tan ; 1 tan 2

os 2

1 2 tan 1 2 2

( )

2 os 2

os
du

dt t u u t u u

c u

t u du

f t dt du

c u
c u


        




   

 





Vậy :









2 1 2 1

2
tan

2 2 3 4 4 2

j= ln 2

2 2 10 5 5 5 2

tan 2

u

du u u I I u u

u

  

        

 

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

b.





 

4
0

3cos 4sin
osx+2sinx osx+2sinx

; ( ) 1

4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin

B x x

c c C

dx f x A

x x x x x x x x





    

   



Giống như phàn a. Ta có :

2 1

;

5 5

A B

;C=0

Vậy :





4
0
3cos 4sin

2 1 2 1 1 4 2

ln 4cos 3sin 4 ln

5 5 4cos 3sin 5 5 10 5 7

x x

I dx x x x

x x




   

         
  
 



Học sinh tự áp dụng hai phần giải trên để tự luyện .

BÀI TẬP

1.

3 3
2
3
3

sin sinx cot
sin
x x
dx
x






2.

2
2 2
0

3 os 4sin
3sin 4cos

c x x

dx
x x






3. 



5 5

os sin

c x x dx






4.

2
2
6

1 sin 2 sin

sin
x x
dx
x






5.

4
0
sinx-cosx
1 sin 2x dx






6.

2
4
2

15sin 3 cos3x xdx








7. 



2 2 2 2

sinxcosx

, 0

os sin dx a b

a c x b x







8.

3
6
0
tan xdx




9. 



3
2
6
ln sinx
os dx
c x





10.

0
2
os4x.cos2x.sin2xdx
c





11.

4
6
0
tan
os2x
x
dx
c




. ( KA-08)

12. 



sin
4

sin 2 2 1 sinx+cosx
x
dx
x
   

 
 
 



. (KB-08)

13. 



2 2

os 1 os

c x c xdx







. (KA-09 )

14. 



sin 1 osx

sin osx

x x x c

dx

x x c



 




. (KA-2011 )

15.

3
2
0
1 sin
os
x x
dx
c x





. (KB-2011)

16.

2
2 2
0
sin 2
os 4sin
x
dx

c x x






. (KA-06)

17.

2
3
2
0
sin
sin 2 cos

x x

dx

x x





. CĐST-05)

18.

2004
2
2004 2004
0
sin
sin os
x
dx

x c x






.( CĐSPHN-05)

19.

3
6
0

sin 3 sin
1 os3x
x x
dx
c






. ( CĐHY-06)

20.

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

21. 



2 3

sin 2 1 sinx x dx







</div>

Tich phan luong giac tSy hay

<b>Bài 5. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( tiết 2 )</b>

<b>TÍCH PHÂN CHỨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</b>

<b>I. KIẾN THỨC </b>

1. Thuộc các nguyên hàm :

a/











b/















c /











d/















2. Đối với :

<sub></sub>

a/ Nếu f(x)=





thì ta chú ý :

- Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin )

- Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos )

- Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos )

- Nếu m,n đề chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx )

b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các

hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc

chia đơi ....

3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh địi

hỏi phải có một số yếu tố sau :

- Biến đổi lượng giác thuần thục

- Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong

nguyên hàm .

<b>II. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA</b>

<b>Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :</b>

a. (ĐH, CĐ Khối A – 2005)



<b>b.. ĐH, CĐ Khối B – 2005 . </b>

<sub></sub>

<b>KQ: </b>

<b>Giải </b>

a.





 





Đặt :

Khi đó :

b.

 







Đặt :





Do đó :





<b>Ví dụ 2. Tính các tích phân sau </b>

a. ĐH- CĐ Khối A – 2006 .