DEDA HSG Toan 7 Yen Lac

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>UBND HUYệN YÊN LạC</b>
<b>PHòNG gd & đt</b>

<b> thi giao lu hsg năm học 2011-2012</b>
<b>Mơn : Tốn 7</b>

<i>Thời gian: 90 phút ( Không kể thời gian giao đề)</i>
<b>Câu 1: </b> ( 3,0 điểm)

a/ TÝnh A=

(

1

22<i>−</i>1

)

.

(

1

32<i>−</i>1

)

…

(

1
20122 <i>−</i>1

)

b/ Cho 4 sè a1, a2, a3, a4 0 tháa m·n a22 = a1a3 ; a32 = a2a4.

Chøng minh r»ng: <i>a</i>13+<i>a</i>23+<i>a</i>33

<i>a</i>₂3+<i>a</i>

33+<i>a</i>

43

= <i>a</i>1

<i>a</i>4

<b>C©u 2: </b> ( 1,25 ®iĨm)

Tính tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức nhận đợc sau khi đã khai triển
và viết đa thức P(x) dới dạng thu gọn, biết P(x) = (10x2_{– 7x – 4)}2012

<b>C©u 3: </b> ( 1,5 điểm)

Tìm các số nguyên x, y thỏa mÃn: 1! + 2! +3! +…+ x! = y2
<b>C©u 4: </b> ( 1,25 điểm)

Tìm các số không âm x, y, z tháa m·n: x + 3z = 8; x + 2y = 9 và x + y + z lớn
nhất.

<b>Câu 5: </b> ( 3,0 ®iĨm)

Cho <i>Δ</i> ABC đều, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E thứ tự là hỡnh chiu ca M

trên AB, AB.
a/ Tính góc DME.

b/Kẻ BH vuông góc với AC tại H, Kẻ MQ vuông gãc víi BH t¹i Q. Chøng minh
BD = MQ

c/Gäi I, N, K theo thứ tự là hình chiếu của D, H, E trªn BC. Chøng minh r»ng:
BI = NK

d/ Chứng minh rằng: Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì IK có độ dài khơng
đổi.

. HÕt ..

<i><b>Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Đáp án</b>
<b>Câu 1: </b> ( 3,0 điểm)

a/ Ta cã A=

(

1<i>−</i>2

2

22

)

.

(

1<i>−</i>32

32

)

…

(

1<i>−</i>20122

20122

)

=

(

<i>−</i>1. 3
22

)

.

(

<i>−2 . 4</i>
32

)

…

(

2012<i>−</i>2011. 20132

)

= 1 . 2. 3 .. .2011
2. 3 .. . .2012 <i>⋅</i>

3 . 4 . .. . 2013
2. 3 . 4 .. . .2012 =

1
2012<i>⋅</i>

2013

2 =

2013
4024

b/ Theo bµi ra a1, a2, a3, a4 0 tháa m·n a22 = a1a3 ; a32 = a2a4.

Ta cã : <i>a</i>1

<i>a</i>2

=<i>a</i>2

<i>a</i>3

¿<i>a</i>3
<i>a</i>4

=> <i>a</i>13

<i>a</i>₂3

=<i>a</i>23

<i>a</i>₃3

¿<i>a</i>33

<i>a</i>₄3

= <i>a</i>1

<i>a</i>2
<i>⋅a</i>2

<i>a</i>3
<i>a</i>₃
<i>a</i>4

=<i>a</i>1

<i>a</i>4

(1)
¸p dơng tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:

<i>a</i>₁3
<i>a</i>₂3

=<i>a</i>23

<i>a</i>₃3

¿<i>a</i>33

<i>a</i>₄3

= <i>a</i>13+<i>a</i>23+<i>a</i>33

<i>a</i>₂3+<i>a</i>

33+<i>a</i>

43

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: <i>a</i>13+<i>a</i>23+<i>a</i>33

<i>a</i>₂3+<i>a</i>

33+<i>a</i>

43

= <i>a</i>1

<i>a4</i>
<b>Câu 2: </b> ( 1,25 ®iĨm)

Tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức nhận đợc sau khi đã khai triển và viết
đa thức P(x) dới dạng thu gọn bằng giá trị của đa thức P(x) tại x=1

Ta cã: P(1) = (10.12_{– 7.1 – 4)}2012_=(-1)2012₌₁

Vậy tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức nhận đợc sau khi đã khai triển và
viết đa thức P(x) dới dạng thu gọn là 1.

<b>C©u 3: </b> ( 1,5 ®iĨm)

+Víi x=1, ta cã 1! = y2_{=> 1 = y}2_{=> y=} <i>_±</i>₁

+Với x=2,ta có 1! +2!= y2_{=> 3 = y}2_{=>khơng tìm đợ giá trị của y thỏa mãn đề}

bµi

+Víi x=3,ta cã 1! +2!+3!= y2_{=> 9 = y}2_=>y= <i>_±3</i>

+Với x 4,ta có 1! + 2! +3! +…+ x! =33+5!+6!+…+x! có chữ số tận cùng là 3
(Vì 5!, 6!,…,x! đều có chữ số tận cùng bằng 0) nên khơng phải là số chính ph
-ơng, cịn y2 _{lại là số chính phơng =>khơng tìm đợ giá trị của y thỏa mãn đề bài.}

Vậy các cặp số nguyên x, y thỏa mãn đề bài là (x,y) =(1; 1);(1; -1);(3; 3);(3; -3)

<b>C©u 4: </b> ( 1,25 ®iÓm)

Ta cã : x + 3z = 8; x + 2y = 9
Suy ra: 2x+2y+3z=17

=>2(x+y+z)=17-z 17 =>(x+y+z) 17/2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z=0 khi đó x=8; y=1/2
=>Giá trị lớn nhất của (x+y+z) là 17/2

VËy c¸c số x, y, z cần tìm là (x,y,z)=(8; 1/2; 0)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a/ <i>Δ</i> ABC là tam giác đều nên

<i>∠</i> A= <i>∠</i> B= <i>∠</i> C=600

<i>∠</i> CME = 900_- <i></i> _{C =30}0₍ <i></i> _{CME vuông tại E)}

<i>∠</i> BMD = 900_- <i>_∠</i> _{B =30}0₍ <i></i> _{BMD vuông tại D)}

Do ú : <i></i> DME = 1800_{- (} <i>_∠</i> _{CME +} <i>_∠</i> _{BMD )}

=1800_{- 60}0_{= 120}0

b/ V× BH AC, ME AC nªn BH//ME

BH//ME nªn <i>∠</i> MBQ= <i>∠</i> CME

=> <i>∠</i> MBQ= <i>∠</i> BMD (=300₎

<i>Δ</i> BMD vµ <i>Δ</i> MBQ cã <i>_∠</i> MBQ= <i>_∠</i> BMD (=300_{); cạnh huyền BM là}

cạnh chung

=> <i></i> BMD = <i></i> MBQ(ch-gn) =>BD =MQ

c/ <i></i> BDI vuông tại I cã <i>∠</i> BDI=900_- <i>_∠</i> _{B =30}0_{=> BI =} 1

2 BD (1)

<i>Δ</i> CEK vuông tại K có <i></i> CEK=900_- <i></i> _{C =30}0_{=> CK =} 1

2 EC

<i></i> CHN vuông tại H có <i></i> CHN=900_- <i>_∠</i> _{C =30}0_{=> CN =} 1

2 HC

=> CN- CK = 1

2 (HC – EC)=

1

2 HE =>NK =

1

2 HE (2)

<i></i> CME vuông tại E cã <i>∠</i> CME =300_{=> CE =} 1

2 MC

<i></i> BMD vuông tại D có <i>∠</i> BMD =300_{=> BD =} 1

2 BM

=>BD+CE = 1

2 (BM+MC)=

1

2 BC =

1

2 AC

Mặt khác HE+CE=HC= 1

2 AC (BH là đờng cao đồng thời là đờng trung tuyến)
=>BD+CE= HE+CE => BD= HE (3)

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra: BI = NK
d/ Ta cã : IK= BC- (BI +KC), BI = NK

=>IK= BC- (NK +KC)=BC – NC = BC- 1

2 HC

=BC-1

2 .

1

2 AC =

3
4
AC không đổi (vì AC cố định)

Vậy khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì IK có độ dài khơng đổi.

A

D

C
K

I _M _N

B

E
H
Q

</div>

<!--links-->