Giai toan bat dang thuc hinh hoc 7

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trong chương trình tốn THCS có một mảng kiến thức đề cập
đến rất nhiều đó là dạng tốn Bất đẳng thức hình học . Để giúp các đồng
chí lớp cuối cấp bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cuối cấp đông thời giúp học
sinh làm quen với dạng tốn này ngay trong chương trình hình học lớp 7 tôi
đã hướng dẫn học sinh lớp 7 làm quen với dạng toán chứng minh bất đẳng
thức hình học “ nhằm mục đích phát triển tư duy lơ gíc cho học sinh

<i><b>a) Phương pháp 1: Sử dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam</b></i>
giác ( Thường chứng minh trong một tam giác cạnh đối diện với góc tù là
cạnh lớn nhất )

<i>Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có A</i>ˆ 900. Trên tia đối của tia BA lấy
điểm B/_{, Trên tia đối của tia CA lấy điểm C}/_{, khác B và C . Chứng minh}
rằng : B!_C!_{> BC} _¿

Hướng dẫn : Tạo ra đoạn thẳng trung gian BC!
Nối BC!_{. Xét}

CBC!_có<i>_B_C</i>ˆ<i>_C</i>__{là góc ngồi của tam giác ABC tại đỉnh}
C nên <i>BC</i>ˆ<i>C</i>_>A>900

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

+ Nối B!_C!_trong__BB!_C!_có <i>_B</i>_<i>_B</i>ˆ<i>_C</i>_{tù vì}<i>B</i><i>B</i>ˆ<i>C</i><i>A</i>ˆ<i>AC</i>ˆ<i>B</i>900_{( góc}

ngồi đỉnh B của _ABC!₎__B!_C!_>BC!_{. Do dó B}!_C!_{> BC}

* Nghiên cứu thêm lời giải trong trường hợp nếu góc A nhỏ hơn 900_{thì bài}
tốn cịn đúng khơng ?

<i>Bài tốn 2 : Cho </i>_ABC có <i>A</i>ˆ900_{. D là trung điểm của AB.}

Chứng minh rằng : <i>AC</i>ˆ<i>D</i><i>DC</i>ˆ<i>B</i>

Hướng dẫn : Đưa hai góc cần chứng minh về trong
cùng 1 tam giác

Trên tia đối của tia DC lấy DE = DC khi đó _ACD =
BED_AC = BE và <i>AC</i>ˆ<i>D</i><i>BE</i>ˆ<i>D</i>_Trong__{vng ABCcó BC}

> AC _ BC > BE _<i>CE</i>ˆ<i>B</i><i>DC</i>ˆ<i>B</i> <i>AC</i>ˆ<i>D</i><i>DC</i>ˆ<i>B</i>

Nghiên cứu bài toán với cùng dữ liệu trên : Cho _ABC

có <i>A</i>ˆ900_{CD là trung tuyến Trên tia đơí của tia DC lấy DE = CD .}

Chứng minh rằng : BE < BC .

<i>Bài toán 3 : Cho </i>_ABC có <i>B</i>ˆ<i>C</i>ˆ_{.Tia phân giác góc A cắt BC ở D . So sánh}

độ dài các đoạn thẳng BD và CD

Hướng dẫn : Đưa hai đoạn thẳng trên vào cùng 1
tam giác

Vì <i>B</i>ˆ <i>C</i>ˆ  <i>AC</i><i>AB</i>_{, Trên cạnh AC lấy điểm E sao}

cho AE = AB



ABD = _AED _DE = BD và <i>B</i>ˆ2 <i>E</i>ˆ2  <i>B</i>ˆ1 <i>E</i>ˆ1 ta có
<i>C</i>

<i>E</i>
<i>C</i>
<i>B</i>
<i>C</i>
<i>A</i>

<i>B</i>ˆ₁ ˆ ˆ  ˆ₁  ˆ  ˆ₁  ˆ

Trong _DEC có <i>E</i>ˆ₁ <i>C</i>ˆ  <i>DC</i> <i>DE</i><i>BDZ</i>  <i>DC</i><i>BD</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Bài toán 4 : Cho </i>_ABC cân AB = AC . Trên cạnh đáy BC lấy điểm D và E
sao cho <i>BA</i>ˆ<i>D</i><i>DA</i>ˆ<i>E</i><i>EA</i>ˆ<i>C</i>_{. Gọi M là trung điểm của BC}

a ) So sánh AB và AD

b) Chứng minh rằng : BD > DE
Chứng minh :

a)_ABC cân AB = AC AM là trung tuyến nên AM vng
góc với BC vì <i>BA</i>ˆ<i>D</i><i>BA</i>ˆ<i>M</i>  _{AD nằm giữa AB và AM}_D
nằm giữa B và M _BM > DM _AB > AD

b) Vì <i>BA</i>ˆ<i>D</i><i>DA</i>ˆ<i>E</i>AD là phân giác của <i>BA</i>ˆ<i>E</i> Ta

có_ABD=_ACE _AD = AE mà AD < AB _AE < AB . Theo kết quả bài tốn 3
ta có BD > DE

<i>Bài tốn 5 : Cho </i>_ABCcó <i>C</i>ˆ  <i>B</i>ˆ 900_{M là trung điểm của cạnh BC . Chứng}

minh rằng nếu M không phải là chân đường
vng góc kẻ từ A đến BC thì tổng khoảng
cách từ B và C đến đường thẳng AM nhỏ hơn
BC

Chứng minh :

M không phải là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC _M khơng vng
góc với BD . Gọi SH ; CH là khoảng cách từ B ; C đến AM Khi đó BM và
CM là các đường xiên _BH < CM ; CK < MC _BH+CK < BM + CM = BC
<i>Nghiên cứu bài tốn : Điểm M ở vị trí nào thì tổng khoảng cách từ B và C </i>
đến đường thẳng AM đạt giá trị lớn nhất ? Nhỏ nhất ? Giả sử _ABC có
AB<AC

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i><b>Phương pháp 3 </b></i><b>: Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác </b>

<i>Bài tốn 6 : Cho </i>_ABCcóAC>AB . M là trung điểm
của BC . Chứng minh rằng :

2
2
<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>AM</i>
<i>BC</i>
<i>AC</i>
<i>AB</i> 






Giải : * ) Trong _ABM cóAB - BM < AM (1)
Trong _ACM cóAC - CM < AM (2)

Từ (1) và (2) _AB +AC –( BM + CM ) < AM + AM



AB + AC – BC < 2AM _ <i>AM</i>

<i>BC</i>
<i>AC</i>
<i>AB</i>



2

*) Trên tia đối của tia MA lấy ME = MA __ABM = _ECM



AB = CE

Trong _ACE có AE<AC+EC _ 2AM <AC +AB _ 2

<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>AM</i> 

Vây
2
2
<i>AC</i>
<i>AB</i>
<i>AM</i>
<i>BC</i>
<i>AC</i>
<i>AB</i> 





<i>Liên hệ : Nội dung bài tốn này chính là nội dung của bài toán 2 nhưng cách</i>
hỏi khác nhau . Như vậy nội dung bài toán 2 cho ta 3 cách hỏi khác nhau
<i>Bài toán 7 : Cho </i>_ABC có điểm M nằm trong tam giác . Chứng minh rằng
MB + MC < AB + AC

Chứn minh : Gọi giao điểm của BM và AC là D . Trong _DMC có MC <
MD + DC _ MC+MB <MB + MD + DC _ MB +

MC < BD + DC (1) Trong _BAD có BD < AB +
AD (2)

Từ (1) và (2) ta có MB + MC < AB + AD+ DC =
AB + AC

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Cho điểm M nằm trong _ABC Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ M đến

các đỉnh của tam giác nhỏ hơn chu vi của tam giác

Theo kết quả bài tốn trên ta có : MB + MC < AB + AC
MB + MA < CA + CB
MA + MC < AB + BC



2 ( MA + MB + MC ) < 2 (AB + AC+ BC )



MA + MB + MC < AB + AC+ BC
<i><b>* Một số bài tập tổng quát : </b></i>

<i>Bài toán 8 : </i><b>:</b> Cho _{ABC với AB < AC , kẻ các trung tuyến BB’ và CC’}

CMR: BB’ < CC’.

<b> Hướng dẫn giải.</b>

Kẻ B’J//CC’ và B’I//AB, B’H _BC.

 _{IB’ = BC’ = 1/2AB}
JB’ = CC’, C’B’= CJ = BI

 _{CB’ = 1/2AC > 1/2AB = BC’ = IB’} _{HC > HI}

 _{BH = BI + IH < BI + HC = CJ + HC = HJ} _{BB’ < JB’ = CC’.}
Bài tốn này chính là định lý: Trong các đường trung tuyến của một tam

giác, đường trung tuyến nào ứng với cạnh nhỏ hơn sẽ lớn hơn

<i>Bài toán 9 : Cho</i>_{ABC với AB > AC , kẻ AH}_{BC ( H thuộc BC ). Các}

đường phân giác trong của góc B, góc C cắt AH thứ tự ở E, F.
CMR: BE > EF + FC.

<b> Hướng dẫn giải.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

2
<i>A</i>

<i>B</i> <i>C</i> <i>CAH</i> <i>BAH</i> <i>BAH</i>

<i>BAI</i> <i>BAH</i>



         

   

 _{I nằm giữa B, E : BE = AI + IE .}
Do I, C là khác phía so với AH

 _{IC = IF + FC .}

Cũng từ giả thiết :     <i>B</i> <i>C</i> <i>IBC</i> <i>ICB</i> <i>BI CI</i> _.

 _{BE = BI + IE > IC + IE = (IF + FC ) + IE = FC + (IE + IF ) > FC + EF}
 _{BE > EF + FC}

Một câu hỏi đặt ra: hãy tổng quát hoá bài toán?

<i>Bài toán 10: Cho </i>_{ABC với AB > AC , kẻ các trung tuyến BM và CN.}

CMR: BM - CN < 3/2(AB - AC ) .

<b> Hướng dẫn giải.</b>

Giả sử BM, CN giao nhau tại G

Do AB > AC cho nên: <i>CAG</i>  <i>BAG</i>_.

Dựng ra phía ngồi _{ABC sao cho:}

AC = AF, <i>CAG</i> <i>FAG</i>

Vậy AG là đường trung trực của FC  _{GF = GC.}

Gọi giao GF và AB là E , trong các tam giác: <i>AEF BEG</i>, ta có:
AB + GF = (BE + EG ) + ( EF + EA ) > BG + AF

 _{AB + GC > BG + AC} _{AB - AC > BG - GC = 2/3(BM - CN)}
Vậy BM - CN <3/2(AB - AC ).

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b> Hướng dẫn giải.</b>

Trên AB lấy I sao cho: AI = AC  <i>AMC</i> <i>ANI</i> _(c-g-c)

 _{IN = MC ,}AIC cân tại A  <i>AIC</i>900

0 0

90 90

<i>AIN</i> <i>BIN</i> <i>BN</i> <i>IN MC</i>

         _(1).

Mặt khác tia NI nằm giữa tia NM, NB
<i>NMK</i> <i>MNK</i> <i>KN KM</i>

      ₍₂₎

Từ (1)&(2) suy ra: BK + NK > MK + KC
Hay là : BK > (MK - NK ) + KC > KC

<i>Bài toán 12 : Cho </i>ABC cân tại A, trên BC lấy điểm D sao cho :

CD = 2BD . CMR: <i>CAD</i> 2 <i>BAD</i>_.
<b> Hướng dẫn giải.</b>

Gọi M là trung điểm của DC

trên tia đối của tia MA lấy E sao cho AM = ME
khi đó :

3

( )

,

<i>AMC</i> <i>EMD c g c</i>
<i>E</i> <i>A AC DE</i>

    

   

1 1

2 3

<i>D</i> <i>B</i> <i>D</i> <i>C</i>

<i>AC</i> <i>AD</i> <i>DE</i> <i>AD</i>

<i>A</i> <i>E</i> <i>A</i>

      

   

    

2 3 1 3 2 1

2

<i>A</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>A</i>

<i>CAD</i> <i>BAD</i>

         

   

<i>Bài toán 13 : Kẻ ME </i><i>AB MF</i>, <i>AC</i> (E thuộc AB, F thuộc AC ). Dựng
các đường cao CK, BH của tam giác. CMR: CK <i>ME MF BH</i>  _.

<b> Hướng dẫn giải.</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Kẻ MI <i>BH I BH J</i>(  ), <i>MI</i><i>AB</i>. Nhận thấy MF = HI (1)
Trong <i>BMJ</i>,  <i>B</i> <i>C</i> <i>BMJ</i>

 _{MJ <BJ} _{BI > ME (2)}

Từ (1)&(2)  _{ME + MF < IH + IB = BH}
Tương tự: CK < ME + MF

<i>Bài tốn 14 : Cho góc xOy, tìm các điểm M thuộc miền trong của góc sao</i>
cho: MK < MH ( K, H thứ tự là hình chiếu của M xuống các tia Ox, Oy).

<b> Hướng dẫn giải.</b>

Kẻ MN//Oz, NI _{MH (N thuộc Ox, I thuộc MH)}

 _{NM là tia phân giác}_KNI

<i>MIN</i> <i>MKN</i> <i>MI</i> <i>MK</i>

    

Do I nằm giữa các điểm H và M:
MH = MI + HI > MI = MK

Vậy nếu điểm M thuộc góc xOz thì MH > MK

Từ bài tốn này có thể giải được những bài tốn sau đây:

<b>BT1</b>: Cho ABC tìm tập hợp các điểm M trong tam giác sao cho:

MA < MB < MC

<b>BT2</b>: Tìm tập hợp các điểm M trong ABC sao cho: MK < MH < MI

</div>

<!--links-->