Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải toán xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề tr

MỤC LỤC
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ..............................................................................

Trang 3

1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 3
1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài........................................................ Trang 3
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu....................................................... Trang 4
1.4. Giới hạn của đề tài.............................................................................. Trang 4
1.5. Phương pháp nghiên cứu...................................................................

Trang 4

1.6. Bố cục của đề tài SKKN..................................................................... Trang 4
Phần II. NỘI DUNG ......... ..................................................................... Trang 5
1.1. Thực trạng của đề tài..........................................................................

Trang 5

1.2. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 5
1.3. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 5
Chương 2. Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong
giải tốn xác suất trung học phổ thơng nhằm phát triển năng lực tư Trang 6
duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
2.1. Một số kiến thức cơ bản...............................................................

Trang 6

2.1.1. Một số vấn đề cơ bản về tư duy................................................

Trang 6

2.1.2. Nội dung chủ đề tổ hợp, xác suất trong chương trình THPT….

Trang 9

2.2. Sử dụng phương pháp luận, tổ hợp và luật tích trong giải tốn xác
Trang 12
suất............................................................................................................
2.3. Phân loại các dạng tốn xác suất có sử dụng phương pháp tổ hợp và
Trang 25
luật tích .....................................................................................................
2.3.1. Phép thử một lần thực hiện...........................................................

Trang 25

2.3.2. Phép thử hai lần thực hiện..........................................................

Trang 31

2.3.3. Phép thử ba lần thực hiện..........................................................

Trang 32

2.3.4. Phép thử nhiều lần thực hiện..........................................................

Trang 35

2.4. Một số ứng dụng của bài toán xác suất trong các tình huống thực
tiễn.............................................................................................................

Trang 39

2.5. Bài tập tự luyện................................................................................... Trang 46
Chương 3. Tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu................................ Trang 48

1


Phần III. KẾT LUẬN................................................................................. Trang 50
PHỤ LỤC................................................................................................... Trang 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................

Trang 57

2


Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Lý do chọn đề tài
Thống kê và xác suất được xác định là một trong ba mảng kiến thức quan
trọng của mơn Tốn trong chương trình giáo dục phổ thơng mới.
Giải tốn xác suất là một nội dung tốn học trong nhà trường, góp phần tăng
cường tính ứng dụng và giá trị thiết thực của giáo dục toán học. Giải toán xác
suất tạo cho học sinh khả năng nhận thức và phân tích các thơng tin được thể hiện
dưới nhiều hình thức khác nhau, hiểu bản chất xác suất của nhiều sự phụ thuộc
trong thực tế, hình thành nâng cao sự hiểu biết và phương pháp nghiên cứu thế giới
hiện đại cho học sinh.
Một cách ngắn gọn và dễ hiểu, việc hiểu lý thuyết xác suất là quan trọng để
hiểu các vấn đề như chính trị, dự báo thời tiết, thể thao, chính sách xã hội... Xác
suất bao hàm cả những việc xảy ra trong đời sống hàng ngày của con người ở bất

cứ lứa tuổi nào. Giải toán xác suất cung cấp cho chúng ta một mơ hình tốn học
mà ở đó chúng ta có thể biểu diễn các biến cố ngẫu nhiên, các tính khơng chắc
chắn của các sự kiện xảy ra trong vũ trụ, trong tự nhiên, trong đời sống hàng ngày.
Cá nhân tơi cho rằng việc dạy giải tốn xác suất là làm thế nào để giúp học
sinh khơng cịn lo sợ và gặp sai lầm trong giải toán, đồng thời giúp học sinh phát
triển năng lực tốn học trong đó có năng lực tư duy và lập luận tốn học, cách nhìn
và cách ứng phó với thế giới đầy biến động trong tương lai, đặc biệt như thế giới
đang diễn ra, khi một chuyện hôm nay là đúng, ngày mai có thể đã khơng cịn đúng
nữa.
Hơn thế nữa Bài tốn xác suất là một trong những bài toán hay và khó trong
chương trình Tốn lớp 11 và trong các đề thi tốt nghiệp đại học và kì thi học sinh
giỏi các cấp. Khi giải các bài tốn này thì học sinh cần phải tư duy lập luận toán
học, biết phân loại dạng toán và biết vận dụng nhiều thuật toán trong đó sử dụng
phương pháp tổ hợp và luật tích là một trong các cách sẽ giúp học sinh giải quyết
được hàng loạt các bài tốn xác xuất, có hứng thú hơn trong học tập.
Với lí do trên tác giả chọn đề tài: “Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp
và luật tích trong giải tốn xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực
tư duy và lập luận toán học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.”
1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài
+) Nghiên cứu bài toán xác suất trong đề thi học sinh giỏi, tốt nghiệp, đại
học và những vấn đề xác suất trong thực tiễn, từ đó giúp học sinh biết phân loại và
sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải tốn xác suất qua đó hướng dẫn
học sinh xây dựng và giải lớp các bài tốn tương tự.
+) Tìm tịi, sưu tầm các cách giải bằng tổ hợp và luật tích, cách lập luận tư
duy qua đó giúp học sinh giải và phân loại các bài toán.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+) Học sinh ôn thi tốt nghiệp, đại học, ôn thi HSG cấp tỉnh.

3

+) Giáo viên giảng dạy mơn Tốn bậc THPT.
1.4. Giới hạn của đề tài
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các bài toán xác suất THPT theo cách giải tổ
hợp và luật tích.
1.5. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong q trình nghiên cứu tơi
đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…).
Phương pháp đàm thoại phỏng vấn.
Phương pháp thực nghiệm.
1.6. Bố cục của đề tài SKKN
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình
bày trong 3 chương.
Chương 1. Cở sở lý thuyết và thực tiễn.
Chương 2. Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải tốn
xác suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán
học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
Chương 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu.

4


Phần II. NỘI DUNG
Chương 1
Cơ sở lý thuyết và thực tiễn
1.1. Thực trạng của đề tài
+) Giải toán xác suất dạy cho ta cách tư duy đúng đắn và mạch lạc nhất trên
dữ liệu hay hiện tượng quan sát được trong cuộc sống hàng ngày . Nó khơng chỉ

bởi vẻ đẹp tốn học mà vì ý nghĩa thực sự của nó trong cuộc sống.
+) Bài tốn xác suất xuất hiện nhiều trong các đề thi và vấn đề trong thực
tiễn nhưng học sinh chưa biết tư duy và lập luận đúng đắn chưa biết phân loại và
sử dụng cách giải nào nên cịn khó khăn và mắc nhiều sai lầm trong giải tốn. Do
đó địi hỏi giáo viên phải có phương pháp dạy và hướng dẫn học sinh học.
+) Bài toán xác suất đa dạng, nhiều loại, nhiều cách giải, nhiều trường hợp
khác nhau. Khơng ít học sinh khi học tốn xác xuất rơi vào tình trạng lúng túng khi
xem các cách giải khác nhau, trong đó có cách giải sai nhưng không phân biệt
được, không biết sai ở đâu. phân tích vấn đề khi giải tốn khơng chặt chẽ chính
xác. Chưa biết quy lạ về quen.
1.2. Cơ sở lý thuyết
1.2.1. Kiến thức về năng lực tư duy và lập luận toán học.
1.2.2. Kiến thức cơ bản về tổ hợp - xác suất.
1.3. Cơ sở thực tiễn
Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường
THPT Lê Lợi nói riêng (chất lượng đầu vào thấp), tư duy hệ thống, logic và lập luận
của các em còn hạn chế. Lượng kiến thức về tổ hợp xác suất trình bày trong các đề
thi rất ít bài khơng thể áp dụng trực tiếp các tính chất, mà thường phải tư duy lập
luận sử dụng các phương pháp để giải.
Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, tôi thấy rằng khi ra những bài
tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. Cụ thể năm 20192020, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Tôi cho học sinh các lớp làm bài
khảo sát, kết quả như sau:
Lớp

Số
HS

Điểm 9-10

Điểm 7-8

Điểm 5-6

Điểm <5

SL

TL(%)

SL

TL(%) SL

TL(%) SL

TL(%)

11A1

40

2

5%

20

50%

16

40%

2

5%

11A5

40

0

0%

16

40%

20

50%

4

10%

11A2

39

0

0%

15

38.5% 21

53.8% 3

7.7%

5


Chương 2
Phân loại và sử dụng phương pháp tổ hợp và luật tích trong giải tốn xác
suất trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán
học đồng thời giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.
2.1. Một số kiến thức cơ bản
2.1.1. Một số vấn đề cơ bản về tư duy
2.1.1.1. Khái niệm tư duy
Theo Từ điển triết học: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, q trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận,… Tư duy xuất hiện trong quá trình
hoạt động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp,
phát hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”.
Theo Từ điển tiếng Việt phổ thông: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình
nhận thức, đi sâu vào nhận thức bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật

bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý”.
2.1.1.2. Đặc điểm cơ bản của tư duy
2.1.1.2.1. Tính có vấn đề
Khi gặp những tình huống mà vấn đề hiểu biết cũ, phương pháp hành động
đã biết của chúng ta khơng đủ giải quyết, lúc đó chúng ta rơi vào “tình huống có
vấn đề”, và chúng ta phải cố vượt ra khỏi phạm vi những hiểu biết cũ để đi tới cái
mới, hay nói cách khác chúng ta phải tư duy.
2.1.1.2.2. Tính khái qt
Tư duy có khả năng phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ,
liên hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật hiện tượng. Do đó, tư duy mang tính
khái qt.
2.1.1.2.3. Tính độc lập tương đối của tư duy
Trong quá trình sống con người ln giao tiếp với nhau, do đó tư duy
của từng người vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của bản thân vừa chịu sự
tác động biến đổi từ tư duy của đồng loại thông qua những hoạt động có tính
vật chất. Do đó, tư duy khơng chỉ gắn với bộ não của từng cá thể người mà cịn
gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thành một sản phẩm có tính xã hội trong khi
vẫn duy trì được tính cá thể của một con người nhất định. Mặc dù được tạo thành
từ kết quả hoạt động thực tiễn nhưng tư duy có tính độc lập tương đối. Sau khi
xuất hiện, sự phát triển của tư duy cịn chịu ảnh hưởng của tồn bộ tri thức mà
nhân loại đã tích lũy được trước đó. Tư duy cũng chịu ảnh hưởng, tác động của các
lý thuyết, quan điểm tồn tại cùng thời với nó. Mặt khác, tư duy cũng có logic
phát triển nội tại riêng của nó, đó là sự phản ánh đặc thù logic khách quan theo
cách hiểu riêng gắn với mỗi con người. Đó chính là tính độc lập tương đối của tư
duy.

6


2.1.1.2.4. Tư duy quan hệ chăt chẽ với ngôn ngữ

Nhu cầu giao tiếp của con người là điều kiện cần để phát sinh ngôn ngữ. Kết
quả tư duy được ghi lại bằng ngôn ngữ. Ngay từ khi xuất hiện, tư duy đã gắn liền
với ngôn ngữ và được thực hiện thơng qua ngơn ngữ. Vì vậy, ngơn ngữ chính là
cái vỏ hình thức của tư duy. Ở thời kì sơ khai, tư duy được hình thành thơng qua
hoạt động vật chất của con người và từng bước được ghi lại bằng các kí hiệu từ
đơn giản đến phức tạp, từ đơn lẻ đến tập hợp, từ cụ thể đến trừu tượng. Hệ thống
các kí hiệu đó thơng qua q trình xã hội hóa và trở thành ngơn ngữ. Sự ra đời của
ngôn ngữ đánh dấu bước phát triển nhảy vọt của tư duy và tư duy cũng bắt đầu phụ
thuộc vào ngôn ngữ. Ngôn ngữ với tư cách là hệ thống tín hiệu thứ hai trở thành
cơng cụ giao tiếp chủ yếu giữa con người với con người, phát triển cùng với nhu
cầu của nền sản xuất xã hội cũng như sự xã hội hóa lao động.
2.1.1.2.5. Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Tư duy là kết quả của nhận thức đồng thời là sự phát triển cao cấp của nhận
thức. Xuất phát điểm của nhận thức là những cảm giác, tri giác và biểu tượng…
được phản ánh từ thực tiễn khách quan với những thơng tin về hình dạng, hiện
tượng bên ngồi được phản ánh một cách riêng lẻ. Giai đoạn này được gọi là tư
duy cụ thể. Ở giai đoạn sau, với sự hỗ trợ của ngôn ngữ, hoạt động tư duy tiến
hành các thao tác so sánh, đối chiếu, phân tích, tổng hợp, khu biệt, quy nạp những
thông tin đơn lẻ, gắn chúng vào mối liên hệ phổ biến, lọc bỏ những cái ngẫu nhiên,
không căn bản của sự việc để tìm ra nội dung và bản chất của sự vật, hiện tượng,
quy nạp nó thành những khái niệm, phạm trù, định luật… Giai đoạn này được gọi
là giai đoạn tư duy trừu tượng.
Từ những đặc điểm trên đây của tư duy, ta có thể ra kết luận:
- Phải coi trọng việc phát triển tư duy cho học sinh. Bởi lẽ, khơng có khả năng tư
duy học sinh khơng học tập và rèn luyện được.
- Muốn kích thích học sinh tư duy thì phải đưa học sinh vào những tình huống có
vấn đề và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết tình huống có
vấn đề.
- Việc phát triển tư duy phải được tiến hành song song và thông qua truyền thụ tri
thức. Mọi tri thức đều mang tính khái qt, nếu khơng tư duy thì khơng thực sự

tiếp thu, lại không vận dụng được những tri thức đó.
- Việc phát triển tư duy phải gắn với việc trau dồi ngơn ngữ. Bởi lẽ có nắm vững
ngơn ngữ thì mới có phương tiện để tư duy có hiệu quả.
- Tăng cường khả năng trừu tượng và khái quát trong suy nghĩ.
- Việc phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri giác, năng lực
quan sát và trí nhớ. Bởi lẽ, thiếu những tài liệu cảm tính thì tư duy khơng thể diễn
ra được.
- Để phát triển tư duy khơng cịn con đường nào khác là thường xuyên tham gia
vào các hoạt động nhận thức và thực tiễn. Qua đó tư duy của con người sẽ không
ngừng được nâng cao.
7


2.1.1.3. Phân loại tư duy
Có hai cách phân loại tư duy phổ biến nhất, đó là:
2.1.1.3.1. Phân loại tư duy theo đối tượng (của tư duy)
Với cách phân loại này, ta có các loại tư duy sau:
- Tư duy kinh tế.

- Tư duy chính trị.

- Tư duy văn học.

- Tư duy toán học.

- Tư duy nghệ thuật…
2.1.1.3.2. Phân loại tư duy theo đặc trưng của tư duy
Với cách phân loại này, ta có các loại tư duy sau:
- Tư duy cụ thể.

- Tư duy trừu tượng.

- Tư duy logic.

- Tư duy biện chứng.

- Tư duy sáng tạo.

- Tư duy phê phán…

2.1.1.4. Một số việc cần làm để phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh
- Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo:
Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư
duy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là việc áp
dụng công thức tổng quát, những bài tập có nhiều lời giải khác nhau địi hỏi học
sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác, những bài tập
có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp việc
hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên
tưởng thuận, những bài tốn khơng theo mẫu, khơng đưa được về các loại giải
tốn bằng cách áp dụng các định lí, quy tắc trong chương trình…
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả
năng phát hiện vấn đề, khơi dậy những ý tưởng mới về giảng dạy lý thuyết, cần tận
dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong đó giáo viên đưa ra các tình huống
có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tịi, dự đốn được những quy luật của thế giới khách
quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được
hướng giải của một bài tốn, hướng chứng minh một định lý. Về thực hành giải
toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh
phải tự xác lập, tự tìm tịi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.
- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác:
Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh

cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với
tổng hợp để nhìn thầy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối
quan hệ khác nhau. Ta có thể luyện tập cho học sinh khái qt hóa tài liệu tốn
học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác
nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như
khơng có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất.

8


2.1.2. Nội dung chủ đề tổ hợp, xác suất trong chương trình THPT
2.1.2.1. Quy tắc đếm
2.1.2.1.1. Quy tắc cộng
Quy tắc cộng cho trường hợp hai đối tượng: (Áp dụng khi ta phân chia trường
hợp để đếm)
Một cơng việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A
hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực
hiện và khơng trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì cơng việc đó có
m + n cách thực hiện.
Tổng quát:
Nếu có:

m1 cách chọn đối tượng x1

m2 cách chọn đối tượng x2

…………………………...
mn cách chọn đối tượng xn
Và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng với cách chọn đối tượng x j nào
 i  j; i, j  1, 2,..., n  thì có  m1  m2  ...  mn  cách chọn một trong các đối tượng đã

cho.
2.1.2.1.2. Quy tắc nhân
(Áp dụng khi ta phân tích việc thực hiện một phép chọn ra thành nhiều bước liên
tiếp)
Một cơng việc nào đó có thể bao gồm hai cơng đoạn A và B. Nếu cơng đoạn A
có mquát:
cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện cơng đoạn B
Tổng
thì cơng việc đó có m.n cách thực hiện.
Tổng quát:
Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp
bước 1 có m1 cách chọn
bước 2 có m2 cách chọn
………………………..
bước n có mn cách chọn
2.1.2.2. thì
Hốn
chỉnh
hợp, tổ hợp
m1.m
có vị,
2 ...mn  cách chọn.

9


2.1.2.2. Hoán vị
a. Định nghĩa:
Cho tập hợp X gồm n phần tử  n  1
Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp X được gọi là một hốn vị của n phần

tử đó.
Hốn vị
 Nhóm có thứ tự
 Có đủ n phần tử của
X

n phần tử

b. Định lý: Ký hiệu số hoán vị của n phần tử là: Pn , ta có cơng thức:
Pn  n!  1.2...n

2.1.2.3. Chỉnh hợp
Bài toán: Từ các chữ số 1; 2; 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số
khác nhau.
a. Định nghĩa:
Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k 1  k  n  phần tử sắp thứ tự của
tập hợp X được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của X.

Chỉnh hợp
 Nhóm có thứ tự
 Gồm k phần tử được lấy từ n
phần tử của X

n phần tử

b. Định lý: Ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: A kn , ta có cơng thức:
A kn 

n!
 n  k !

10


2.1.2.4. Tổ hợp
a. Định nghĩa:
Cho tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử  0  k  n  của X được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Tổ hợp
 Nhóm khơng có thứ tự
 Gồm k phần tử được lấy từ n
phần tử của X

n phần tử

b. Định lý: Ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là: Ckn , ta có cơng thức:
Ckn 

n!
k ! n  k !

c. Một số công thức về tổ hợp:
Tổ hợp có hai tính chất quan trọng sau đây:
a. Ckn  Cn-k
n

Với mọi k  0,1, 2,..., n

k+1

b. Ckn  Ck+1
 Cn+1
n

Với mọi k  0,1, 2,..., n 1

2.1.2.5. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động
mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó
khơng dự đốn trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có
thể xảy ra.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu
của phép thử, ký hiệu  .
2.1.2.6. Xác suất các biến cố
Định nghĩa: Giả sử phép tốn thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp
hữu hạn và kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với
phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký
hiệu là P( A) , được xác định bởi công thức: P( A) 

n  A
, trong đó n  A và n   
n 

lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω.
Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử) có xác suất bằng 1.
Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử) xác suất bằng 0.

11

2.2. Sử dụng phương pháp luận, tổ hợp và luật tích trong giải tốn xác suất
Các bước tiến hành giải tốn:
Bước 1: Tính số phần tử của khơng gian mẫu (số khả năng xảy ra).
Bước 2: Tính số phần tử của tập hợp mô tả biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi).
Bước 3: Lấy số kết quả thuận lợi chia cho số khả năng xảy ra P  A 

n  A
n 

Sai lầm mà các em học sinh thường gặp phải khi giải dạng này chủ yếu là
xác định sai số phần tử của không gian mẫu và số các kết quả thuận lợi của biến cố
A . Việc sai lầm này một phần là do tính toán, một phần khác là do các em chưa
phân biệt rõ hai khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp, dẫn đến tính n    sai. Một sai lầm
nữa là việc xác định sai các kết quả thuận lợi cho biến cố A cụ thể là xác định
thiếu hoặc thừa trường hợp, và kéo theo việc tính n  A sai.
Như vậy để tìm P(A) ta chỉ cần tìm 2 con số ở tử và mẫu số với sự trợ giúp của giải
tích tổ hợp. Đối với nhiều người học, tính P(A) bằng định nghĩa cố điển là bài tốn
khó. Tơi xin nêu một cách phân tích và tính tốn như sau:
Số có thể có của phép thử phụ thuộc vào phép thử, thế mà để tìm con số này nhiều
bạn đã bỏ qua, khơng quan tâm gì đến phép thử của bài tốn là thế nào. Đó là một
sai lầm. Khi tìm số các trường hợp thuận lợi nếu ta đưa vào nhiều loại phép thử
quá thì củng làm cho bài tốn rối lên. Vì vậy khi giải bài toán này, đề nghị học sinh
hãy tư duy theo các bước như sau:
Hãy trả lời cho được: Ở đây phép thử là thế nào? Chưa trả lời được điều này thì
đừng vội đi tìm số có thể hay số thuận lợi làm gì, vì nếu tìm, học sinh sẽ chỉ theo
cảm tính, cho nên dễ bị sai hoặc khơng lý giải rõ ràng được.
Thực ra nếu phải dùng đến giải tích tổ hợp để tìm, thì phép thử của bài tốn có thể
đưa về chỉ có 2 loại. Đó là một lần thực hiện hay nhiều lần thực hiện? Hãy đọc kỹ
đầu bài để trà lời đúng câu hỏi này. (Bạn cần phân biệt số lần thực hiện với số cách
thực hiện. Chẳngng hạn nếu lấy ra k phần tử từ một tập gồm n phần tử (k ≤ n), mà

thứ tự cùa các phần tử khơng có ý nghĩa gì thì đó là lấy theo nghĩa tổ hợp, tức là
một lần thực hiện (lấy cùng lúc hay lấy đồng thời). Số cách để thực hiện là Ckn ).
Số cách của hoán vị, số cách thực hiện theo nghĩa của chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp,...
đều có thể tìm được bằng cách dùng tổ hợp và luật tích. Như vậy học sinh hãy
chọn lấy một trong hai loại phép thử chứ khơng phải phức tạp gì. Xác định được
phép thử rồi, học sinh sẽ trả lời được ngay:
- Số cách có thể cùa phép thử là bao nhiêu?
- Số thuận lợi cho biến cố A là bao nhiêu? Để tìm số thuận lợi cho A ta chỉ cần
gắn ràng buộc của A vào phép thử, hạn chế bớt số trưòng hợp có thể, dẫn đến số
trường hợp thuận lợi cho A. Cách tìm như vậy sẽ dễ hơn là cách đưa vào một phép
thử mới. Với cách phân tích như trên, về giải tích tổ hợp ta chỉ cần dùng đến tổ
hợp và luật tích là đủ, khơng cần quan tâm đến hoán vị, chỉnh hợp, chỉnh hợp lặp

12


Chẳng hạn, ta xét các ví dụ sau cho 1 phép thử hay nhiều phép thử mà chỉ cần
dùng tổ hợp và luật tích:
Ví dụ 1. ( Phép thử 1 lần thực hiện) .
Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất
để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm
thẻ mang số chia hết cho 10.
Phân tích: Đây là một ví dụ mà học sinh hay nhầm lẫn giữa khái niệm tổ hợp và
chỉnh hợp, giáo viên cần làm rõ cho các em từ 10 tấm thẻ lấy ra từ 30 thẻ cho
trước, ta thu được duy nhất một bó thẻ mà thứ tự của các thẻ khơng có ý nghĩa gì .
Để học sinh có thể nhớ lâu và không sai lầm khi giải dạng này giáo viên cần đặt
câu hỏi cho các em: khi lấy ngẫu nhiên 10 thẻ rồi thay đổi thứ tự thẻ có thêm được
kết quả khác hay khơng ? Đó là một lần thực hiện hay nhiều lần thực hiện? Học
sinh trả lời được câu hỏi này thì cũng sẽ nắm được dùng cơng thức nào để tính số
cách lấy. Điều này là rất quan trọng bởi vì nó quyết định đến kết quả của n    và

n  A . Nếu khơng phân biệt được điều này thì các em sẽ tính được n      A3010
kết quả này khác rất xa so với kết quả đúng của đáp án là n      C3010 .
Lời giải:
Ở đây phép thử là lấy cùng lúc ra 10 cái thẻ nghĩa là 1 lần thực hiện
Gọi  là tập hợp các cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ đã cho.
Suy ra   C3010
Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số lẻ, 15 tấm thẻ mang số chẵn trong đó có 3
tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Gọi   là tập hợp các cách chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số
chẵn, trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10. Để tạo được 1 phần
tử của   ta thực hiện liên tiếp 3 hành động đó là: lấy 5 thẻ lẻ từ 15 thẻ lẻ, lấy 1 thẻ
chia hết cho 10 trong 3 thẻ 10,20,30; lấy 4 thẻ chẵn từ 12 thẻ chẵn còn lại sau khi
loại 3 thẻ 10,20,30. Vậy theo luật tích:  A  C155 .C124 .C31
Vậy P  A 

C155 .C124 .C31 99

.
10
C30
667

Ví dụ 2. (Phép thử 1 lần thực hiện).
Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên
từ 20 câu hỏi trên. Thí sinh X đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi. Tìm
xác suất để thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc.
Phân tích: Đối với bài tốn này học sinh rất khó để xác định phép thử vì khi đọc
câu: “ thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi… ” trong khi đề bài lại cho: “ Mỗi đề
thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi trên”. Do đó học sinh cần tư duy
để xác định phép thử đây là gì và số thuận lợi cho biến cố A gắn với phép thử đó là

bao nhiêu? Học sinh cần biết phép thử ở đây chỉ có 1 lần thực hiện (lấy một lúc 4

13


câu không liên quan thứ tự) , và số cách thực hiện của biến cố A trong từng trường
hợp là thực hiện liên tiếp các hành động sao cho đủ 4 câu khi lấy ra. Khi đó ta phải
dùng đến tổ hợp và luật tích như sau:
Lời giải :
Lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi 4 câu hỏi để lập một đề thi, n()  C204  4845
Gọi A là biến cố: “Thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã
thuộc”
Thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc, có C102 .C102  2025 cách
Thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc, có C103 .C101  1200 cách
Thí sinh X rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 4 câu đã thuộc, có C104  210 cách.
Suy ra n( A)  2025  1200  210  3435 . Vậy xác suất để là P( A) 

3435 229
.

4845 323

Ví dụ 3. (Phép thử 1 lần thực hiện).
Tại 1 điểm thi của kì thi Trung học phổ thơng quốc gia có 15 phịng thi gồm 6
phịng mỗi phịng có 24 thí sinh và 4 phịng mỗi phịng có 25 thí sinh. 5 phịng thi
23 thí sinh. Sau 1 buổi thi, 1 phóng viên truyền hình chọn ngẫu nhiên 10 thí sinh
trong số các thí sinh đã dự thi buổi đó để phỏng vấn. Giả sử khả năng được chọn
để phỏng vấn của các thí sinh là như nhau. Tính xác suất để trong 10 thí sinh được
chọn phỏng vấn khơng có 2 thí sinh nào cùng thuộc 1 phịng thi.
Phân tích: Đây cũng là bài tốn thực tế và cho nhiều giả thiết, đọc đề xong nhiều

học sinh bị rối và nghĩ rằng đây là bài tốn khó. Vì vậy học sinh khi tính tốn rất
dễ sai, có nhiều em khơng biết cách tính n    , khơng định hướng được việc chọn
10 em này là như thế nào. Thực ra đề cho nhiều giả thiết là để làm nhiễu và khiến
cho nhiều học sinh cảm thấy khó hiểu và khơng biết tính tốn như thế nào. Nếu
học sinh đọc kĩ đề thì chỉ cần thực hiện thêm một bước nữa là bài toán trở nên đơn
giản hơn. Đó là tính tổng số học sinh tại điểm thi này được kết quả là 6.24 +
4.25+5.23 = 359 em. Và bài toán bây giờ trở thành bài toán chọn ngẫu nhiên 10
10
học sinh từ 359 học sinh. Các em dễ dàng tính được n      C359
.
Đến phần tính n  A thì nhiều học sinh gặp khó khăn thực sự, các em khơng
hiểu rõ cụm từ “ khơng có 2 thí sinh nào thuộc cùng 1 phòng thi” là phải chọn như
thế nào, điều này dẫn đến khơng biết tính n  A ra sao. Giáo viên cần giúp học sinh
hiểu rõ các cụm từ kiểu này, bởi vì chỉ cần hiểu rõ thì các em sẽ xác định được
cách tính ngay. Khơng có 2 thí sinh nào thuộc cùng một phịng thi hiểu một cách
đơn giản có nghĩa là bắt buộc phịng nào cũng có 1 em bởi vì chỉ có 10 phịng và
chọn ra 10 em. Có một số học sinh hiểu được vấn đề nhưng khi tính n  A các em
lại sử dụng quy tắc cộng và được kết quả n  A  6.C241  4.C251  5.C231 , công việc của
giáo viên là phải làm cho các em nắm vững phần này, tránh sai lầm cho các bài
tiếp theo. Cụ thể việc chọn 10 em này là công việc thực hiện liên tiếp, khi nào chọn
xong thì mới hồn thành công việc. Cho nên không thể dùng quy tắc cộng mà phải
14


dùng quy tắc nhân. Đến đây học sinh đã có thể tự giải quyết bài toán một cách đơn
giản rồi. Như vậy để tính n  A ta thực hiện việc chọn 1 em từ mổi phịng và sau
đó dùng quy tắc nhân và có kết quả là n  A  (C241 )6 .(C251 )4 .(C231 )5 . Và từ đó ta đi đến lời
giải hồn chỉnh như sau.
Lời giải:
Số thí sinh của điểm thi này là 6.24 + 4.25+5.23 = 359 em. Chọn 10 em từ

10
359 em để phỏng vấn ta có n      C359
. Để trong 10 thí sinh được chọn khơng
có 2 em nào cùng một phịng có nghĩa là một phịng ta chỉ chọn đúng 1 em. Gọi A
là biến cố “10 thí sinh được chọn khơng có 2 em nào cùng một phịng”. Chọn 1 em
từ phịng 24 em thì có C241 cách, chọn 1 em từ phịng 25 em thì có C251 cách . Chọn
1 em từ phịng 23 em thì có C231 cách. Vì có 6 phịng 24 em và 4 phòng 25 em nên
áp dụng quy tắc nhân ta có n  A  (C241 )6 .(C251 )4 .(C231 )5 .
Xác suất của biến cố A là : P  A  =

(C124 )6 .(C125 )4 .(C123 )5

C10359

.

Ví dụ 4. (Phép thử nhiều lần thực hiện).
Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí
sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì
dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3
phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi
dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi
B chọn là giống nhau.
Phân tích: Đây là bài toán học sinh rất dễ gặp sai lầm, sai lầm đầu tiên là khi tính
n    , hầu hết các em quá chú tâm vào việc chọn bộ 3 câu hỏi cho từng thí sinh
nên quên mất là phải chọn xong câu hỏi cho cả 2 em thì mới hồn thành cơng việc.
Vì vậy thay cho sử dụng quy tắc nhân nhiều học sinh lại sử dụng quy tắc cộng và
được kết quả sai là C103  C103 . Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh là mặc dù hai
thí sinh thi độc lập nhưng việc chọn câu hỏi cho 2 em là công việc được thực hiện
liên tiếp cho nên phải dùng quy tắc nhân. Kết quả đúng của bài toán là

n     C103 .C103   C103  .
2

Sai lầm thứ hai là khi tính n(A), nhiều học sinh khi đọc đề nghĩ rằng hai
em chọn đề giống nhau nên chỉ có 1 cách, một số học sinh khác lại cho rằng chọn
đề cho em thứ nhất có C103 cách, và em thứ 2 cũng có C103 cách, vì câu hỏi của A và
B là giống nhau cho nên n  A  C103  C103 . Giáo viên cần lưu ý cho học sinh việc
chọn bộ câu hỏi cho bạn A có C103 cách, và ứng với mỗi cách chọn câu hỏi cho bạn
A thì bạn B chỉ có 1 cách chọn là chọn đúng bộ 3 câu hỏi bạn A vừa chọn. Vì vậy
áp dụng quy tắc nhân ta có n  A  C103 .1 cách. Từ đó ta có lời giải hồn chỉnh như
sau.

15


Lời giải: Không gian mẫu Ω là tập hợp gồm tất cả các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở
vị trí thứ nhất của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là
bộ 3 câu hỏi thí sinh B chọn. Vì A cũng như B đều có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ
10 câu hỏi thi nên theo quy tắc nhân, ta có n     C103 .C103   C103  . Gọi X là biến cố
“bộ 3 câu hỏi A chọn và bộ 3 câu hỏi B chọn là giống nhau”. Vì với mỗi cách chọn
3 câu hỏi của A, B chỉ có duy nhất cách chọn 3 câu hỏi giống như A nên
2

n  A  C103 .1  C103 . Suy ra xác suất của biến X là: P  X  

C103

C 
3
10

2



1
.
C103

Ví dụ 5. (Phép thử nhiều lần thực hiện). [THPT QUỐC GIA 2018].
Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
1;19 . Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng
A.

1027
.
6859

B.

2539
.
6859

C.

2287
.
6859

D.

109
.
323

Phân tích: Đối với bài tốn này học sinh rất khó để xác định phép thử vì khi đọc
câu: “Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn
1;19 ”. Do đó học sinh cần tư duy để xác định phép thử đây là gì và số thuận lợi
cho biến cố A gắn với phép thử đó là bao nhiêu? Học sinh cần biết phép thử ở đây
chỉ có 3 lần thực hiện mỗi bạn viết ngẫu nhiên là mỗi lần thực hiện, và số cách
thực hiện của biến cố A trong từng trường hợp là thực hiện liên tiếp 3 hành động
sao cho đủ 3 số viết ra. Khi đó ta phải dùng đến tổ hợp và luật tích như sau:
Bạn A chọn một số từ 19 số có 19 cách chọn, bạn B cũng có 19 cách chọn có thể
chọn số giống A, bạn C cũng có 19 cách. Áp dụng luật tích, ta có n     193 . Để
tìm số thuận lợi cho biến cố A ta phân chia các trường hợp , cụ thể như sau:
Lời giải:
Không gian mẫu n     193
Gọi biến cố A: “ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3”
Trong các số tự nhiên thuộc đoạn 1;19 có 6 số chia hết cho 3 là 3;6;9;12;15;18 , có
7 số chia cho 3 dư 1 là 1;4;7;10;13;16;19 , có 6 số chia cho 3 dư 2 là 2;5;8;11;14;17 .
Để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 cần phải xảy ra các trường hợp sau:
TH1. Cả ba số viết ra đều chia hết cho 3, trong trường hợp này có: 63 cách viết.
TH2. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 1, trong trường hợp này có: 73 cách viết.
TH3. Cả ba số viết ra đều chia cho 3 dư 2, trong trường hợp này có: 63 cách viết.
TH4. Trong ba số được viết ra có 1 số chia hết cho 3, có một số chia cho 3 dư 1 , có
một số chia cho 3 dư 2. Trong trường hợp này có: 6.7.6.3! cách viết.
Vậy xác suất cần tìm là: p  A 

63  73  63  6.7.6.3! 2287


.
6859
193

16


Ví dụ 6. (Phép thử nhiều lần thực hiện).
Giải bóng chuyền do sở X tổ chức nhân dịp 8-3 gồm 12 đội tham dự trong đó có 9
đội các trường THPT và 3 đội phòng giáo dục . Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu
nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C, mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng
của phịng giáo dục ở 3 bảng khác nhau.
Phân tích: Đây là bài tốn mà học sinh dễ sai lầm nhất và phần lớn các em đều
tính sai kết quả. Sai lầm đầu tiên mà các em gặp phải đó là khi tính n    , khi chia
bảng đội bóng mỗi bảng có 4 đội từ 12 đội nhiều học sinh tính được kết quả là
n    C124 .3!, nguyên nhân là do các em nghĩ rằng chỉ cần chọn một bảng rồi hoán
vị các bảng cho nhau. Đây cũng là sai lầm phổ biến nhất, một số học sinh khác thì
lại tính được n     C124 .3 , các em này lại có suy nghĩ đơn giản hơn là vì có 3 nhóm
nên chỉ cần nhân 3 là được. Có học sinh thì đưa ra cơng thức đúng nhưng dùng quy
tắc cộng và được kết quả n    C124  C84  C44 cũng sai.
Để học sinh tránh được sai lầm và tính kết quả đúng giáo viên phải nhắc lại
cho các em về quy tắc nhân, sau đó phân tích cho các em rõ phép thử ở đây là 3 lần
thực hiện liên tiếp , mỗi lần ta chọn 4 đội vào bảng và sự phân chia đội về 3 bảng
này diễn ra liên tiếp vì vậy phải dùng luật tích và các bảng này khơng có ưu tiên
nên ta chọn bảng nào trước cũng được. Từ đó giáo viên đưa ra cơng thức tính kết
quả n     C124 .C84 .1 .
Sai lầm tiếp theo học sinh gặp phải là khi tính n  A , tương tự như khi tính
n    các em sử dụng các công thức C124 .3! hoặc C124 .3 , sai lầm nữa là do học sinh
dùng quy tắc cộng và có em sử dụng đúng quy tắc nhân nhưng lại chỉ chú trọng

việc phân chia các đội của phòng giáo dục mà quên mất còn phải phân chia các
đội của các trường THPT dẫn đến kết quả sai là C31.C21 .C11 .
Để phân tích giúp học sinh tránh sai lầm đối với bài tập loại này điều đầu
tiên là giáo viên phải hiểu được suy nghĩ của học sinh, tại sao các em lại đưa ra
cơng thức đó. Và một lần nữa giáo viên nhấn mạnh cho học sinh về cách dùng tổ
hợp và luật tích, yêu cầu phân chia ở đây là ra 3 cho nên phải phân chia xong cả 3
bảng thì mới hồn thành cơng việc (phép thử phải thực hiện 3 lần), vì vậy phải
dùng quy tắc nhân. Vì vậy khi chọn đội bóng cho bảng A ta chọn 3 đội THPT từ 9
đội THPT và 1đội phòng giáo dục từ 3 đội phịng giáo dục nên có C93 .C31 cách, khi
đó chọn đội cho bảng B ta có C63 .C21 cách và cuối cùng chọn bảng C có C33 .C11 cách.
Từ đó áp dụng quy tắc nhân ta tính được n  A  C93 .3.C63 .2.1
Lời giải:
Chia 12 đội thành 3 bảng, mỗi bảng 4 đội ta tiến hành các bước sau: chọn 4 đội
cho bảng A có C124 cách, chon 4 đội cho bảng B có C84 cách, chọn 4 đội cho bảng C
có C44 cách. Theo quy tắc nhân ta có n     C124 .C84 .1 .

17


Vì mỗi bảng có 1 đội PGD cho nên lần 1: Chọn 3 đội THPT cho bảng A có C93
và chọn 1 đội PGD cho bảng này có C31 cách; lần 2: chọn 3 đội THPT cho bảng B
có C63 cách, chọn 1 đội PGD cho bảng này có C21 cách; lần 3: chọn 3 đội THPT
cho bảng C có C33 cách và chọn 1 đội PGD cịn lại thì có 1 cách. Gọi A là biến cố
“chia 3 bảng trong đó 3 đội bóng của phịng giáo dục ở 3 bảng khác nhau ”, áp
dụng quy tắc nhân ta có n  A  (C93.C31 ).(C63.C21 ).(C33.C11 ) hay n  A  C93 .3.C63 .2.1 .
C93 .3.C63 .2.1 16
Từ đó ta có P  A  4 4  .
C12 .C8 .1
55

Ví dụ 7. (Phép thử nhiều lần thực hiện).
Trong cuộc thi an tồn giao thơng học đường có 20 bạn lọt vào vịng chung kết,
trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để tiếp tục cuộc thi, ban tổ chức chia các
bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện
bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.
Phân tích:
Đây cũng là một bài tốn phân chia nhóm giống bài toán 7 và bài toán 8, chỉ
khác là ở đây việc chia nhóm của biến cố A hơi khác một chút so với các bài toán
trên. Như vậy sau khi phân tích giống hai bài tốn trên thì học sinh sẽ tính được
5
n     C20
.C155 .C105 .C55 . Tuy nhiên nếu tính tiếp n  A thì các em lại gặp một số sai lầm
sau đây. Sai lầm thứ nhất là vì chỉ có 5 bạn nữ cho nên chọn nhóm nữ thì các em
kết luận chỉ có một cách, sau đó chia 15 bạn nam ra 3 nhóm các em tính được
C155 .3! , đây cũng là sai lầm khá phổ biến đối với học sinh khi giải bài toán này. Cần
làm rõ cho học sinh biết rằng ở đây có 4 nhóm khác nhau cho nên việc chọn nhóm
cho 5 bạn nữ sẽ có 4 cách, và phân tích tiếp cho các em việc chia nhóm ở đây là
chia ra 3 nhóm với số người giống nhau là 5 người. Cho nên ta phải chọn người
cho từng nhóm 1. Cụ thể sau khi chọn nhóm cho nữ có 4 cách thì ta cịn 3 nhóm
cho 15 bạn nam. Chọn 5 em cho nhóm thứ nhất có C155 , chọn 5 em cho nhóm thứ 2
có C105 , và chọn 5 em cho nhóm cuối cùng có C55 . Áp dụng quy tắc nhân ta có
n  A  4.C155 .C105 .C55 . Đến đây thì thay vào cơng thức ta có xác suất của biến cố A .
Lời giải: Chọn 5 em cho nhóm thứ nhất có C205 cách, chọn 5 em cho nhóm thứ 2
có C155 cách, chọn 5 em cho nhóm thứ 3 có C105 cách, và chọn 5 em cho nhóm cuối
cùng có C55 cách.
Từ đó ta có n    C205 .C155 .C105 .C55 .
Gọi A là biến cố “ 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm”. Chọn nhóm cho 5 bạn nữ có 4
cách, cịn 15 bạn chia vào 3 nhóm cịn lại. Chọn 5 em cho nhóm thứ nhất có
C155 cách, chọn 5 em cho nhóm thứ 2 có C105 cách, và chọn 5 em cho nhóm cuối cùng
có C55 . Áp dụng quy tắc nhân ta có n  A  4.C155 .C105 .C55 .

Xác suất của biến cố A là: P  A 

n  A
4
 5 .
n    C20

18


Nhận xét: Ta có kết quả tổng quát hơn như sau: số cách chia n phần tử ra thành k
nhóm nhỏ với số phần tử trong mỗi nhóm là n1 , n2 ,....nk ,tất nhiên
n1  1; n1  n2  ....  nk  n . Theo tổ hợp và luật tích ta có số cách là:
n  A  Cnn1 .Cnn2 ...1 

n!
.
n1 !.n2 !.n3 !...nk !

Ở đây thứ tự các nhóm là cố định trước và các

phần tử được coi là khác nhau thậm chí chúng giống nhau hồn tồn.
Ví dụ 8. (Phép thử nhiều lần thực hiện).
Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam và 5 bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm
xác suất sao cho:
a) Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
b) Năm bạn nam ngồi gần nhau.
Phân tích: Phép thử ở đây 10 lần thực hiện, mỗi lần là chọn 1 người trong số cịn
lại vào 1vị trí. Vì đây chỉ là sắp xếp 10 bạn nên có 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1  10!. Tuy
nhiên đến phần tìm n  A , n  B  thì các em lại thường tính sai.

Sai lầm đầu tiên khi các em sắp xếp nam và nữ xen kẽ các em thường chỉ
tính một trường hợp là nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam, nữ, mà quên
mất trường hợp còn lại là nữ, nam, nữ, nam, nữ, nam nữ, nam ,nữ, nam. Vì vậy mà
kết quả các em thường chỉ được 5!.5!.
Khi tính các kết quả thuận lợi cho biến cố ở câu b phần lớn các em học sinh
chỉ tính một trường hợp là 5 bạn nam ngồi vị trí 1,2,3,4,5 và tiếp theo là 5 bạn nữ.
Vì vậy kết quả các em tính được là 5!.5!. Một số em thì tính thêm trường hợp 5
bạn nam ngồi sau và 5 bạn nữ ngồi trước, và được kết quả là 5!.5! 5!.5!. Sai lầm
này là do một số em nghĩ rằng nam ngồi gần nhau thì nữ cũng ngồi gần nhau, do
đó khơng tính hết các trường hợp để 5 bạn nam ngồi cạnh nhau.
Để tránh được các sai lầm này thì khi giải tốn giáo viên nên cho các em đọc
kỹ đề, phân tích rõ biến cố như ở câu b chỉ cần 5 bạn nam ngồi kề nhau cịn các
bạn nữ thì ngồi tự do ở 5 ghế còn lại. Giáo viên cũng cần chỉ rõ cho học sinh các
trường hợp để 5 bạn nam ngồi kề nhau, đó là 5 bạn nam ngồi ở số ghế 1 đến 5, 2
đến 6, 3 đến 7, 4 đến 8, 5 đến 9 và 6 đến 10. Như vậy là có 6 trường hợp xảy ra, và
ứng với mỗi trường hợp thì ta hốn vị 5 bạn nam với nhau, 5 bạn nữ với nhau và số
kết quả thuận lợi cho biến cố B là 6.5!.5!. Bài tốn được giải chính xác như sau.
Lời giải: n()  10!
Gọi A là biến cố: “Xếp 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ vào 10 ghế kê theo hàng
ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”, ta có n  A  5!.5! 5!.5!.
Và B là biến cố: “Xếp 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ vào 10 ghế kê theo hàng
ngang mà 5 bạn nam ngồi cạnh nhau”, ta có n  B   6.5!.5! .
Suy ra P  A 

n  A
1
;

n    126

P  B 

n  B 1
.

n    42

19


Ví dụ 9. (Phép thử nhiều lần thực hiện). [Tham khảo THPTQG 2019].
Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6, gồm 3 nam và
3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác
suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng
A.

2
.
5

B.

1
.
20

C.

3
.

5

D.

1
.
10

Phân tích: Phép thử ở đây 6 lần thực hiện, mỗi lần là chọn 1 người trong số cịn
lại vào 1 vị trí. Vì đây chỉ là sắp xếp 6 bạn nên có 6.5.4.3.2.1  6! . Tuy nhiên đến
phần tìm n  A thì các em lại thường tính sai. Ta có thể tham khỏa lời giải sau:
Lời giải: Số phần tử của không gian mẫu là   6!  720 .
Gọi A là biến cố mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ .
Ta có:
Xếp 3 học sinh nữ vào cùng 1 dãy ghế có 3! cách.
Xếp 3 học sinh nam vào cùng 1 dãy ghế có 3! cách.
Ở các cặp ghế đối diện nhau hai bạn nam và nữ có thể đổi chỗ cho nhau nên có 23
cách.
Suy ra A  3!.3!.23  288 . Vậy P  A 

A




288 2
 .
720 5

Ví dụ 10. (Phép thử nhiều lần thực hiện).

Một đồn tàu có 4 toa tiến vào sân ga, ở đó có 10 hành khách đang chờ từ sân ga
lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để:
a) Tất cả cùng lên một toa
b) Toa I có 3 hành khách,toa II có 4 hành khách, toa III có 1 hành
khách, còn lại toa IV .
c) M ột toa có 3 hành khách, một toa có 5 hành khách và một toa 2 có
hành khách,cịn 1 toa khơng có khách nào.
Phân tích: Đây là một dạng tốn thực tế mà học sinh gặp khá nhiều và được ra ở
nhiều tình huống khác nhau. Ví dụ như chọn toa tàu, chọn quán mua đồ, chọn
phòng học,... Đa phần các em khơng biết rằng đây là bài tốn sắp xếp nhưng khơng
ràng buộc điều kiện, có nghĩa là hành khách lên tùy ý, một toa có bao nhiêu khách
lên cũng được. Từ đây giáo viên cần làm rõ cho học sinh chúng ta phải chọn toa
cho các hành khách và khi nào chọn xong cho cả 10 hành khách thì mới hồn
thành cơng việc. Vì vậy phép thử ở đây là: Mỗi người chọn cho mình một toa. Do
đó có 10 lần thực hiện ( ai khơng chọn thì người đó ko lên tàu). Mỗi lần chọn là
chọn 1 trong 4 toa nên có C41  4 cách chọn. Theo luật tích ( quy tắc nhân) ta có số
có thể có của phép thử là n    4.4.4.4.4.4.4.4.4.4  410 ( đây chính là số cách để
10 người lên tàu).

20


Đến phần tính n  A cần hướng dẫn rằng tất cả cùng lên một toa tức là 10 người
cùng lên toa I hoặc cùng toa II hoặc cùng toa III hoặc cùng toa IV. Nếu người thứ
nhất chọn 1 trong 4 toa ( có C41  4 cách) thì 9 người sau chỉ có một cách chọn là
lên theo người thứ nhất, vậy n( A)  C41 .1.1.1.1.1.1.1.1.1  4
Đến phần tính n  B  thì các em cần suy luận: Ta chọn theo thứ tự “3-4-1-2” : Chọn
3 khách từ 10 khách lên toa I ta có C103 cách, chọn 4 người trong 7 người còn lại
lên toa II có C74 cách , chọn 1 người trong 3 người cịn lại lên toa III có C31 cách,
cịn lại 2 người chỉ còn cách duy nhất lên toa IV nên có C22  1 cách. Theo luật tích

ta có n  B   C103 .C74 .C31.C22 cách.
Đến phần tính n  C  thì các em cần suy luận: Tương tự như câu b nhưng không
nhất thiết theo một thứ tự là “3-4-1-2” mà theo một thứ tự bất kỳ cũng được; tức là
ta có 4! cách đổi chỗ 4 vị trí cho nhau. Theo luật tích ta có n  C   4!.C103 .C74 .C31.C22
cách. Từ đây ta có lời giải hồn thiện như sau:
Lời giải:
Vì phép thử ở đây là: Mỗi người chọn cho mình một toa. Do đó có 10 lần thực hiện
( ai khơng chọn thì người đó ko lên tàu). Mỗi lần chọn là chọn 1 trong 4 toa nên có
C41  4 cách chọn. Theo luật tích ( quy tắc nhân) ta có số có thể có của phép thử là
n    4.4.4.4.4.4.4.4.4.4  410 ( đây chính là số cách để 10 người lên tàu có 4 toa).
a) Gọi A là biến cố “Tất cả cùng lên một toa ”
n( A)  C41 .1.1.1.1.1.1.1.1.1  4  P( A) 

4
1
 9
10
4
4

b) Gọi B là biến cố “Toa I có 3 hành khách, toa II có 4 hành khách, toa
III có 1 hành khách, cịn lại toa IV” .
3 4 1 2
3 .C 4 .C1.C 2  P( B)  C10 .C7 .C3 .C2
n( B)  C10
7
3
2
10
4

c) Gọi C là biến cố: “M ột toa có 3 hành khách, một toa có 5 hành khách và một
toa 2 có hành khách,cịn 1 toa khơng có khách nào”
n  C   4!.C103 .C74 .C31.C22  P(C ) 

4!.C103 .C74 .C31.C22
410

Ví dụ 11. (Phép thử nhiều lần thực hiện).
Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, các
phương án trả lời đơi một khác nhau nhưng chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu
trả lời đúng được 1,0 điểm và mỗi câu trả lời sai sẽ không bị trừ điểm. Một học
sinh kém làm bài bằng cách mỗi câu chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tìm
xác suất để thí sinh đó đạt từ 7,0 điểm trở lên.
Phân tích: Đối với bài tốn dạng này việc xác định khơng gian mẫu và các biến cố
thường là rất khó khăn . Học sinh thường mất phương hướng và không xác định

21


được cách tính tốn cho bài tốn này. Giáo viên cần hướng dẫn cho các em phép
thử ở đây là 10 lần thực hiện, mỗi lần làm một câu là một lần thực hiện và có
C41  4 cách chọn phương án trong mỗi lần đó nên số phần tử của không gian mẫu
là n()  4.4.4.4.4.4.4.4.4.4  410 . Để tìm số phần tử của biến cố A giáo viên hướng
dẫn học sinh tập trung vào kết quả mà bài toán yêu cầu, cụ thể là điểm mà học sinh
đó đạt được. Câu hỏi mà giáo viên cần đặt ra cho học sinh là “Muốn đạt số điểm
nào đó thì học sinh phải trả lời đúng mấy câu và sai mấy câu”. Giải quyết được câu
hỏi này thì học sinh sẽ dễ dàng tìm ra kết quả của bài tốn.
Học sinh vẫn có thể gặp một số sai lầm khi tính tốn kết quả, cụ thể có
nhiều em thay bằng quy tắc nhân vẫn sử dụng quy tắc cộng. Một số em khác không

chọn bộ 7 câu trả lời đúng, vì vậy kết quả của các em thiếu C107 . Đây cũng là sai
lầm của nhiều học sinh khác, nguyên nhân chủ yếu do các em không biết rằng đây
là bài thi gồm 10 câu khác nhau, việc trả lời đúng 7 câu này khác với trả lời đúng 7
câu hỏi kia. Vì vậy đầu tiên ta phải chọn bộ 7 câu để thí sinh trả lời đúng, 3 câu
cịn lại thì trả lời sai. Sau đó áp dụng quy tắc nhân cho các câu đúng và các câu sai
ta có kết quả của bài tốn. Từ đó ta có lời giải hồn chỉnh như sau.
Lời giải:
Số phần tử của không gian mẫu là n()  410
Gọi A là biến cố: “Thí sinh đó đạt từ 7,0 điểm trở lên”
Ta có các trường hợp:
Thí sinh chọn đúng 7 câu, sai 3 câu có C107 .1.3.3.3  3240 cách
Thí sinh chọn đúng 8 câu, sai 2 câu có C108 .1.3.3  405 cách
Thí sinh chọn đúng 9 câu, sai 1 câu có C109 .1.3  30 cách
Thí sinh chọn đúng 10 câu, có C1010 .1  1 cách
Vậy n( A)  3240  405  30 1  3676
Vậy xác suất để thí sinh đó đạt từ 7,0 điểm trở lên là: P( A) 

3676
410

Ví dụ 12. (Phép thử nhiều lần thực hiện).
Trong bình thứ nhất đựng 3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen. Trong bình thứ hai đựng 4
bi đỏ và 6 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi của bình thứ nhất và 1 viên bi của
bình thứ hai.
a. Tính xác suất của biến cố để lấy được ba viên bi đỏ.
b. Tính xác suất để lấy được ba viên bi cùng màu.
Phân tích: Đây là bài tốn học sinh ít gặp bởi vì lấy ra số bi ở hai bình là khác
nhau. Vì vậy nhiều học sinh cảm giác hơi lạ và thấy khó xác định khơng gian mẫu
và các biến cố. Tuy nhiên giáo viên chỉ cần hướng dẫn học sinh làm như các bài
chọn bi và chọn người ở các dạng trước đây, khi đó các em chỉ cần dùng đúng khái

22


niệm tổ hợp và quy tắc cộng, quy tắc nhân là có kết quả. Ở đây phép thử có hai lần
thực hiện đó là lấy bi ở bình thứ nhất và lấy bi ở lần thứ hai .Cụ thể chọn 2 viên từ
10 viên ở bình thứ nhất có C102 cách chọn, chọn 1 viên từ 10 viên ở bình thứ 2 có
C101 cách chọn. Vì cơng việc là lấy bi ra từ 2 bình cho nên áp dụng quy tắc nhân ta
có n    C102 .C101  450 . Để lấy được 3 viên bi đỏ thì 2 viên lấy ra ở bình thứ nhất và
1 viên lấy ra ở bình thứ 2 đều là bi đỏ. Lấy ra 2 bi đỏ từ bình 1 có C32  3 cách, lấy
ra 1 bi đỏ ở bình 2 có C41  4 cách. Gọi A là biến cố “lấy được 3 viên bi màu đỏ” áp
dụng quy tắc nhân ta có n  A  C32 .C41  12 , từ đó suy ra xác suất của biến cố A, và
cũng làm tương tự đối với câu b.
Lời giải:
a. Lấy 2 bi từ bình thứ nhất đựng 10 viên bi (3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen), và 1
viên bi từ bình thứ hai đựng 10 viên bi (4 bi đỏ và 6 viên bi đen). Số phần tử của
không gian mẫu là: n    C102 .C101  450
Gọi A là biến cố “lấy được 3 viên bi đỏ”. Biến cố A chỉ xảy ra khi ta lấy được 2 bi
đỏ từ bình thứ nhất và 1 bi đỏ từ bình thứ hai. n  A  C32 .C41  12
Xác suất của biến cố A là: P( A) 

12
2

450 75

b. Gọi B là biến cố “lấy được 3 bi cùng màu”. Biến cố B xảy ra khi ta lấy được cả
3 bi màu đỏ hoặc cả 3 bi màu đen. n( B)  n( A)  C72 .C61  12  126  138
Xác suất lấy được 3 bi cùng màu là:

P( B) 

138 23
.

450 75

Ví dụ 14. (Phép thử nhiều lần thực hiện).
Trong kì thi TN THPTQG, Bình làm đề thi trắc nghiệm mơn Hóa học. Đề thi gồm
50 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng;
trả lời đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Bình trả lời hết các câu hỏi và chắc chắn
đúng 45 câu; 5 câu cịn lại Bình chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để điểm mơn Hóa
của Bình khơng dưới 9,5 điểm.
Phân tích: Ngồi cách giải như ví dụ 11 giáo viên có thể hướng dẫn học sinh theo
cách phân tích sau: Đầu tiên học sinh cần hiểu rõ là cụm từ “không dưới 9,5 điểm”
tức là điểm mà Bình đạt được là lớn hơn hoặc bằng 9,5 mà vì điểm mỗi câu đúng
là 0,2 cho nên điểm của Bình phải lớn hơn hoặc bằng 9,6. Câu hỏi giáo viên đặt ra
cho học sinh là Bình đã làm được chắc chắn mấy điểm? Và muốn điểm của Bình
khơng dưới 9,5 thì Bình phải trả lời đúng thêm mấy câu hỏi? Học sinh trả lời được
ngay vì bạn Bình trả lời hết cả 50 câu trong đó có 45 câu chắc chắn đúng và mỗi
câu đúng được 0,2 điểm cho nên Bình đã đạt được là 9 điểm. Vì vậy nếu muốn
điểm số của Bình khơng dưới 9,5 thì Bình phải trả lời đúng ít nhất là 3 câu trong 5
câu cịn lại. Một khó khăn mà học sinh gặp phải là các em đưa cả 45 câu đã trả lời
chắc chắn đúng vào tính tốn, điều này vừa tăng độ phức tạp của bài toán vừa dễ
sai lầm. Giáo viên cần phân tích cho học sinh rõ là vì 45 câu này bạn Bình chắc
chắn đúng có nghĩa 45 câu này bạn đã xác định là những câu nào rồi, cho nên
23


khơng cần đưa vào tính tốn nữa. Chúng ta chỉ cần tập trung vào 5 câu mà bạn điền

ngẫu nhiên cịn lại. Và như vậy bài tốn quay về u cầu tìm xác suất để bạn Bình
trả lời đúng ít nhất là 3 câu trong 5 câu còn lại. Ta sẽ chia ra 3 trường hợp: trường
hợp 1 bạn Bình trả lời đúng 3 câu, trường hợp 2 bạn Bình trả lời đúng 4 câu, và
trường hợp 3 bạn Bình trả lời đúng cả 5 câu. Câu hỏi mà học sinh trả lời tiếp theo
là tính xác suất để trả lời đúng và trả lời sai ở mỗi câu hỏi. Sau đó áp dụng quy tắc
nhân và quy tắc cộng cho 3 trường hợp ta có kết quả. Trên thực tế khi xác định
được đến đây nhiều học sinh vẫn gặp sai lầm khi đưa ra kết quả cuối cùng. Cụ thể
3

2

1
3
đối với trường hợp 1 các em tính được kết quả   .   , đây là kết quả sai khi mà
4 4
3
các em thiếu đi C5 cách chọn 3 câu để trả lời đúng trong 5 câu này. Áp dụng tương

tự cho hai trường hợp còn lại để đưa ra đáp án cuối cùng. Sau đây là một lời giải
hoàn chỉnh.
Lời giải:
Xác suất để trả lời đúng mỗi câu hỏi là

1
3
, xác suất trả lời sai mỗi câu hỏi là .
4
4

Vì mỗi câu hỏi đúng được 0,2 điểm mà Bình trả lời chắc chắn đúng 45 câu nên số

điểm mà bình đã đạt được là 9 điểm. Vì vậy để điểm của Bình khơng dưới 9,5
điểm có nghĩa là lớn hơn hoặc bằng 9,5 điểm thì số câu hỏi mà Bình trả lời đúng
trong 5 câu cịn lại phải lớn hơn hoặc bằng 3.
Ta có 3 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1 bạn Bình trả lời đúng 3 câu, sai 2 câu
Trường hợp 2 bạn Bình trả lời đúng 4 câu, sai 1 câu
Trường hợp 3 bạn Bình trả lời đúng cả 5 câu.
Ba biến cố cho 3 trường hợp này là xung khắc nhau. Áp dụng quy tắc nhân và quy
tắc cộng xác suất ta có xác suất cần tìm là:
1
P  C53 .  
4

3

2

 3
1
.    C54 .  
 4
 4

4

5

 3
1
.   C55 .   0,104 .

 4
 4

24


2.3. Phân loại các dạng tốn xác suất có sử dụng phương pháp tổ hợp và luật
tích
2.3.1. Phép thử một lần thực hiện
Chú ý: Lấy k phần tử từ n phần tử (k≤n), mà thứ tự của các phần tử khơng có ý
nghĩa gì thì đó là lấy theo nghĩa tổ hợp, tức là một lần thực hiện (lấy cùng lúc hay
lấy đồng thời).
Bài tốn 1. Bài tốn đếm số
Có 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Chọn ngẫu nhiên hai tấm thẻ. Tính xác
suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ được chọn là số chẵn.
Hướng dẫn giải:
Ở đây phép thử là chọn một lúc hai tấm thẻ (nghĩa là 1 lần thực hiện) theo nghĩa
của tổ hợp
Gọi  là tập hợp tất cả các cách chọn 2 tấm thẻ. Ta có:   C92  36
Gọi A là biến cố: “Tích của hai số trên hai tấm thẻ được chọn là số chẵn”.
Có hai trường hợp: - Cả hai tấm thẻ đều có số chẵn: vì có 4 số chẵn trong khoảng
từ 1 đến 9, nên số cách chọn ở trường hợp này là: C42  6 cách chọn.
- Một tấm thẻ số chẵn và một tấm thẻ số lẻ. Có C41.C51  20 cách chọn.
Suy ra số phần tử của biến cố A là: A  6  20  26 . Vậy P  A  

A




26 13

36 18

Bài toán 2. Bài tốn chọn vật, chia hết
Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác
suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1
tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Hướng dẫn giải:
Ở đây phép thử là chọn một lúc 10 tấm thẻ (nghĩa là 1 lần thực hiện) theo nghĩa
của tổ hợp
Gọi  là tập hợp tất cả các cách chọn 10 tấm thẻ. Ta có:   C3010
Trong 30 tấm thẻ có 15 tấm thẻ mang số chẵn, 15 tấm thẻ mang số lẻ, 3 tấm thẻ
mang số chia hết cho 10.
Gọi A là biến cố: “Có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ
có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10”.
Để tính các kết quả thuận lợi cho A ta làm như sau: Đầu tiên chọn 5 tấm thẻ mang
số lẻ, chọn 4 tấm thẻ trong 12 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10,
sau cùng chọn 1 tấm thẻ trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Theo luật tích, ta có: A  C155 .C124 .C31 . Vậy: P  A  

A




C155 .C124 .C31 99

10
C30

667

25