Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 10 khi dạy học bài tập hàm số bậc hai và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

A

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
CHO HỌC SINH LỚP 10 KHI DẠY HỌC BÀI TẬP HÀM
SỐ BẬC HAI VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN.

Người thực hiện: Lê Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn

THANH HĨA NĂM 2021


MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1. Mở đầu
1
1.1. Lí do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2

1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4
2.3.1. Quy trình mơ hình hóa tốn học
5
2.3.2. Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh khi dạy 6
học bài tập hàm số bậc hai
2.3.3. Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh khi dạy 11
học bài tập hàm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
2.4. Hiệu quả của sáng kiến
19
3. Kết luận, kiến nghị.
19


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Lịch sử hình thành và phát triển đã cho thấy tốn học có nguồn gốc từ thực tế,
chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với các nội dung toán
học. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hồn thiện các lý thuyết tốn
học. Tốn học không phải là một sản phẩm thuần túy của trí tuệ mà được phát
sinh và phát triển do nhu cầu thực tế của cuộc sống, trở lại, toán học lại xâm
nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn phát triển với vai trị là cơng cụ, tốn

học sẽ giúp giải quyết các bài tốn do chính thực tiễn đặt ra.
Một trong những lí do mà tốn học ln chiếm thời lượng lớn của chương
trình giáo dục ở hầu hết các nước trên thế giới là vì lợi ích của toán học trong
thực tiễn; toán học được áp dụng dưới nhiều cách khác nhau trong nhiều môn
học như vật lí, hóa học, sinh học, địa lí, kĩ thuật, trong cơng việc và cuộc sống
hằng ngày của mỗi người. Chính vì điều này mà khi dạy học tốn bên cạnh việc
cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng liên quan đến tốn học như
khái niệm, định lí, công thức, quy tắc giáo viên cần phải giúp học sinh phát triển
kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giải quyết những vấn đề thực tiễn. Khi sử
dụng tốn học để giải quyết vần đề ngồi lĩnh vực tốn học thì mơ hình tốn học
và q trình hóa tốn học là những cơng cụ cần thiết
Mơ hình hóa tốn học là q trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn
đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mơ hình tốn học. Cụ thể, mơ
hình hóa tốn học là tồn bộ q trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn
đề toán học và ngược lại, cùng với các yếu tố liên quan đến q trình đó như: từ
bước xây dựng lại tình huống thực tiễn, lựa chọn mơ hình tốn học phù hợp, làm
việc trong một mơi trường tốn học, giải thích, đánh giá kết quả liên quan đến
tình huống thực tiễn và điều chỉnh mơ hình cho đến khi có được kết quả hợp lí.
Trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn ở phổ thơng, q trình mơ
hình hóa được thơng qua ngơn ngữ tốn học như: hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ
thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng, kí hiệu, cơng thức
hay thậm chí cả các mơ hình ảo trên máy vi tính… [10]
Chiến lược phát triển giáo dục và đào tạo giai đoạn 2011 – 2020 đã nêu rõ
“ một trong những năng lực cần hình thành và phát triển cho người học trong
dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng hiện nay đó là năng lực mơ hình hóa tốn
học.” Đối với học sinh, mơ hình hóa tốn học là cần thiết vì những lí do sau đây:
- Mơ hình hóa tốn học cho phép học sinh hiểu được giữa toán học với cuộc
sống môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán
trở nên ý nghĩa hơn.
- Mơ hình hóa tốn học trang bị cho học sinh khả năng sử dụng tốn học như

một cơng cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngồi tốn,
từ đó giúp học sinh thấy được tính hữu ích của tốn học trong thực tế, khả năng
sử dụng tốn học vào các tình huống ngồi tốn khơng phải là kết quả tự động
của sự thành thạo toán học thuần túy mà địi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn
luyện.
1


- Mơ hình hóa tốn học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và
phong phú của tốn học, giúp học sinh thấy được đó khơng chỉ là một ngành
khoa học mà còn là một phần của lịch sử văn hóa lồi người.
- Các nội dung tốn học có thể được hình thành củng cố bởi những ví dụ thực
tiễn, điều này giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển thài độ
tích cực của các em đối với tốn học, từ đó tạo động cơ thúc đẩy việc học tốn.
- Mơ hình hóa tốn học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lực
toán học của học sinh như suy luận, khám phám, sáng tạo, giải quyết vấn đề.
Vì những lí do trên, tơi đã thực hiện đề tài “Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn
học cho học sinh lớp 10 khi dạy học bài tập hàm số bậc hai và hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn”. Thơng qua đề tài phát huy khả năng tìm lời giải cho các
bài tập có nội dung thực tế liên quan đến các kiến thức ở chương chương trình
đại số 10, đó hình thành hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động, tư
duy sáng tạo và năng lực vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cho học sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Thơng qua đề tài phát huy khả năng tìm lời giải cho một số bài tập có nội
dung thực tế liên quan đến các kiến thức ở chương II và chương IV đại số lớp 10
từ đó hình thành hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng
tạo, phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học và năng lực vận dụng kiến thức đã
học vào thực tiễn cho học sinh
Giúp học sinh thấy được tốn học có nhiều ứng dụng trong thực tế, qua đó
kích thích niềm đam mê, hứng thú học toán ở các em.

1.3. Đối tượng nghiên cứu.
+ Các quan điểm về mơ hình hóa tốn học, quy trình mơ hình hóa tốn học.
+ Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh lớp 10 thơng qua việc
tìm lời giải cho một số bài tập có nội dung thực tế liên quan đến hàm số và hệ
bất phương trình bậc nhất nhiều ẩn.
+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
+ Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm, điều tra khảo sát thực tế, thu thập
thông tin.
+ Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong học tập mơn Tốn thì tư duy giải bài tập là hoạt động chủ đạo và
thường xuyên của học sinh, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời
rèn luyện phát triển trí tuệ và năng lực thực tiễn. Mục tiêu cụ thể của giáo dục
phổ thông hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất,
năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp
cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý
tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng
2


thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự
học, khuyến khích học tập suốt đời [7]. Vì vậy, trong giảng dạy tốn nếu muốn
tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng toán học vào cuộc sống cho
học sinh nhất thiết phải chú ý lồng ghép các bài toán thực tế vào trong q trình
dạy hoc qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn và làm cho học
sinh có hứng thú với mơn tốn, cảm thấy tốn học không khô khan và nhàm
chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn

đề trong cuộc sống và ngược lại.
Các dạng bài tập trong chương chương trình đại só lớp 10 rất phong phú,
nhiều bài toán hay, xâu chuỗi được các mảng kiến thức khác nhau và có thể lồng
các hoạt động thực tiễn như xây dựng, đo đạc, sản xuất...vào nội dung các bài
toán. Do vậy khi dạy học phần này giáo viên cần lưu ý tạo điều kiện để học sinh
có thể tiếp cận với một số bài tốn có nội dung liên quan đến thực tiễn, từ đó tạo
hứng thú học tập và phát huy tính tích cực, chủ động của các em đồng thời phát
triển năng lực mơ hình hóa tốn học, rèn luyện cho các em khả năng giải quyết
các tình huống trong đời sống thực tế, vận dụng tốn học vào đời sống thực tiễn.
Cơng việc đó chính là xây dựng mơ hình hóa tốn học để giải các bài tốn
có nội dung thực tiễn. Trong các giai đoạn của q trình vận dụng tốn học vào
thực tiễn thì bước lập mơ hình tốn học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng bởi
các phương pháp tốn học chỉ có thể thực hiện trên các mơ hình tốn học. Rõ
ràng, nếu khơng thiết lập được mơ hình tốn học của bài tập tốn học có nội
dung thực tiễn thì khơng thể giải được. Do đó chúng ta có thể phát triển năng lực
mơ hình hóa ở HS thông qua chủ đề này.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong chương trình đại số 10, nội dung sách giáo khoa cũng đã đề cập đến
một số bài tốn có nội dung thực tế liên quan đến thực tiễn. Tuy nhiên trong quá
trình dạy học ở trường THPT nhiều khi giáo viên mới chỉ chú trọng rèn luyện
cho học sinh vận dụng tri thức toán học để giải quyết các vấn đề trong nội bộ
mơn tốn là chủ yếu cịn kỹ năng vận dụng tri thức trong toán học vào các môn
học khác vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên.
Dẫn đến học sinh không có nhiều kỹ năng giải bài tốn có nội dung liên hệ trực
tiếp với đời sống lao động sản xuất và không thấy được các ứng dụng của những
tri thức mình đã được học vào cuộc sống. Chính điều này đã làm cho học sinh ít
thấy được ý nghĩa của việc học tốn trong thực tiễn và chưa có thói quen áp
dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống, các em khơng biết học
tốn để làm gì ngoài vấn đề “học để thi” dẫn đến nhiều học sinh chỉ học theo
cách đối phó mà chưa thực sự có hứng thú, có niềm đam mê đối với mơn tốn

nói chung và các mơn học khác nói riêng.
Năm học 2019- 2020 khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Sau khi
dạy xong bài hàm số và tổ chức ôn tập, rèn kỹ năng giải bài tập trong các tiết
dạy tự chọn và các buổi dạy thêm trong nhà trường. Tôi cho học sinh lớp 10B2
làm bài kiểm tra các nội dung kiến thức, kỹ năng cơ bản mà học sinh cần phải
nắm được trong chương này. Kết quả như sau:
3


Giỏi
Khá
TB
Yếu, kém
SL
TL(%) SL
TL(%) SL
TL(%) SL
TL(%)
10B2 42
2
4,7
15
35,7
20
47,6
5
12
Sau khi thấy kết quả học tập của học sinh chưa được như mong muốn tơi
đã tiến hành tìm hiểu thái độ học tập của học sinh khi làm bài tập phần hàm số
bậc hai và thu được số liệu sau:

Lớp

Số
HS

Số lượng học sinh
10

Tỉ lệ %
23,8

15

35,7

17

40,5

Thái độ, hứng thú học tập
Khơng muốn học vì nội dung mơn học khó và
khơng biết học để dùng vào việc gì trong thực
tế cuộc sống?
Cảm thấy bình thường vì có thể mục tiêu của
các em chỉ là thi đậu tốt nghiệp THPT Quốc gia
mà để đậu được các em không nhất thiết phải
tư duy giải quyết các bài tập vận dụng, vận
dụng cao.
Cảm thấy cần phải học để tích lũy tri thức để
có thể đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốc

gia.

Từ kết quả đó, trong năm học 2020 - 2021, khi dạy học bài tập phần hàm
số bậc hai và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn tôi đã tiến hành đổi mới bằng
cách lồng ghép một số ứng dụng thực tiễn vào nội dung các bài tập trong quá
trình dạy học tại lớp 10C6 (lớp 10C6 có chất lượng tương đương với lớp 10B2)
nhằm phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học, tạo hứng thú cho các em trong
q trình học tập từ đó nâng cao kết quả học tập của các em và rèn luyện năng
lực vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải quyết một số bài tốn có nội
dung thực tiễn qua một số buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên và tổ chức
một buổi cho học sinh thực hành đo đạc, thực hành dưới hình thức ngoại khóa.
Khi dạy bài tập giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, tơi thường chọn lọc một số
bài tập có nội dung thực tế và liên quan đến các nội các môn học khác và liên
quan đến thực tế đời sống để tạo hứng thú học tập cho học sinh, phát triển năng
mơ hình hóa tốn học cũng như rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào
thực tiễn.
2.3.1. Quy trình mơ hình hóa tốn học
Mơ hình hóa tốn học: là q trình thành lập và cải thiện một mơ hình tốn
học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn. Thông qua Mô hình
hóa tốn học, học sinh học cách lựa chọn và áp dụng một loạt các kiểu dữ liệu,
các phương pháp và cơng cụ tốn học phù hợp trong việc giải quyết các vấn đề
4


thế giới thực tiễn. Cơ hội để xử lí các dữ liệu thực tế và sử dụng các cơng cụ
tốn học để phân tích dữ liệu nên là một phần của việc học tập toán học ở tất cả
các cấp.
Quy trình mơ hình hóa tốn học gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau [10]:

- Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát
hiện các yếu tố (như biến số tham số) quan trọng, có ảnh hưởng đến vấn đề thực
tiễn.
- Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài tốn
sử dụng ngơn ngữ tốn học.Từ đó, thiết lập mơ hình tốn học tương ứng.
-Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và cơng cụ tốn học phù hợp để mơ
hình hóa bài tốn và phân tích mơ hình đó.
-Giai đoạn 4: Thơng báo kết quả, đối chiếu mơ hình với thực tiễn và đưa ra
kết luận.
Q trình mơ hình hóa được coi là khép kín và dùng để mơ tả các tình huống
được nảy sinh từ thực tiễn, kết quả được dùng để giải thích và cải thiện cácvấn
đề trong thực tiễn. Có thể minh họa quá trình trên bằng sơ đồ khép kín sau [10]:

Để vận dụng linh hoạt quá trình trên, trong quá trình dạy học Tốn, tơi đã tổ
chức cho học sinh nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước như dưới đây
trong q trình mơ hình hóa các bài tốn:
Bước 1. Tốn học hóa: Hiểu tình huống thực tiễn. Mơ hình thực tiễn được tốn
học hóa, nghĩa là được thơng dịch sang ngơn ngữ tốn học để dẫn đến mơ hình
tốn học của tình huống ban đầu. Mơ tả và diễn đạt vấn đề bằng cơng cụ và
ngơn ngữ tốn học như hàm số, hình vẽ, đồ thị, cơng thức tốn học, phương
trình, bất phương trình tốn học. Ứng với mỗi vấn đề đang xem xét, có thể có
nhiều mơ hình tốn học khác nhau; q trình đưa ra mơ hình phụ thuộc vào việc
chúng ta đánh giá yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quan
trọng.

5


Bước 2. Giải bài tốn: Sử dụng các cơng cụ tốn học để khảo sát và giải
quyết bài tốn hình thành ở bước thứ nhất. Căn cứ vào mơ hình đã xây dựng,

cần chọn hoặc xây dựng phương pháp giải phù hợp.
Bước 3. Thông hiểu: Hiểu ý nghĩa lời giải của bài tốn đối với tình huống
trong thực tiễn (bài toán ban đầu).
Bước 4. Đối chiếu, kiểm định kết quả: Phân tích và kiểm định lại các kết quả
thu được. Ở đây, cần xác định mức độ phù hợp của mơ hình và kết quả tính tốn
với thực tiễn. Đây là một bước quan trọng, giúp người thực hiện nhận ra giải
pháp đó liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh. Ở bước này có thể xảy ra một trong
hai khả năng:
Khả năng 1: Mơ hình và các kết quả tính tốn phù hợp với thực tiễn. Khi đó,
cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mơ hình tốn học đã xây dựng, các thuật toán
đã sử dụng, kết quả thu được.
Khả năng 2: Mơ hình và kết quả khơng phù hợp với thực tiễn. Khi đó, cần tìm
ngun nhân. Có thể đặt ra một số câu hỏi sau: - Các kết quả tính ở bước thứ hai
có chính xác khơng? (để trả lời, cần kiểm tra lại q trình tính tốn đã thực
hiện); - Mơ hình tốn học xây dựng đã phù hợp, thỏa đáng chưa, có phản ánh
được đầy đủ thực tiễn cuộc sống không? Nếu chưa, cần xây dựng lại; - Các số
liệu ban đầu có phản ánh đúng thực tiễn hay không? (nếu không phù hợp, cần
điều chỉnh lại cho chính xác).
2.3.2. Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh khi dạy học bài
tập hàm số bậc hai.
Khi dạy học các bài tập ở phần này tôi thường lồng ghép, tổ chức cho học
sinh tìm lời giải chon các bài tốn có nội dung liên thực tiễn liên quan đến
hàm số bậc hai như xác định hàm ssó bậc hai, tọa độ đỉnh của prabol hay giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc hai… để phát triển năng lực mơ hình
hóa cho các em. Đối với dạng bài tập này thường học sinh tìm hướng giải
quyết theo quy trình sau.
Quy trình thực hiện:
- Chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn
- Dùng điều kiện bài toán để thiết lập hàm số và quy u cầu bài tốn việc tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền nào đó.

Bài tốn 1. Dây truyền đỡ nền cầu treo có dạng Parabol ACB như hình vẽ. Đầu
cuối của dây được gắn chặt vào điểm A và B trên trục AA' và BB' với độ cao
30m. Chiều dài nhịp A ' B '  200m . Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên nền cầu
là OC  5m . Xác định chiều dài các dây cáp treo (thanh thẳng đứng nối nền cầu
với dây truyền)?
Định hướng cách giải:
Ở bài này thì có rất nhiều cách để gán
hệ trục tọa độ vào nhưng vẫn ưu tiên
gán ở đỉnh của parapol. Lúc đó có thể
dễ dàng tìm ra tọa độ của các điểm
6


xung quanh, sau đó tìm được dạng parabol rồi thì đi đến tìm được chiều dài dây
cáp treo
Lời giải: Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng của Parabol, trục Ox nằm trên
nền cầu như Hình vẽ. Khi đó ta có A  100; 30  , C  0; 5  , ta tìm phương trình
của Parabol có dạng y  ax 2  bx  c . Parabol có đỉnh là C và đi qua A nên ta
có hệ phương trình:
b
�
� 1


0
a
�
�
2a
400

�
�
��
b0
� a.0  b.0  c  5
�
�
a.1002  b.100  c  30
c 5
�
�
�
�
1 2
x  5 . Bài toán đưa việc xác định
Suy ra Parabol có phương trình y 
400
chiều dài các dây cáp treo sẽ là tính tung độ những điểm M 1 , M 2 , M 3 của
Parabol. Ta dễ dàng tính được tung độ các điểm có các hồnh độ
x1  25, x2  50, x3  75 suy ra y1  6,56  m  , y2  11,25  m  , y3  19,06  m  .
Đó chính là độ dài các dây cáp treo cần tính.
Bài toán 2. Cầu University ở Saskatoon ở Canada là một cây cầu được đỡ bằng các vòm
parabol. Mỗi nhịp cầu rộng 92 feet. Bên dưới một trong những vịm đó, người ta xây dựng
một con đường có 2 làn với lề đường rộng 10 feet như hình vẽ. Biết rằng khoảng cách từ
chân vòm parabol đến mặt đất là 4 feet và vòm parabol cách mặt đất là 11m tại vị trí ngăn
cách giữa lề và lịng đường. Bạn hãy cho biết chiều cao tối đa của một phương tiện giao
thơng có thể đi qua dưới vịm này

Định hướng cách giải
Bài toán yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức

liên quan đến hàm số bậc hai một ẩn để xác định
chiều cao của chân vòm parabol nhằm đưa ra
khuyến cáo về chiều cao an tồn mà một phương
tiện giao thơng có thể đi dưới chân vịm này. Học
sinh cần lựa chọn thơng tin tốn học cần thiết để
tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề đặt ra
trong bài toán như mỗi nhịp của cầu rộng 92 feet
và được đỡ bằng các vòm parabol. Lề đường
rộng 10 feet, khoảng cách từ chân vòm parabol
đến mặt đất là 4 feet và chiều cao từ vịm parabol
này đến vị trí ngăn cách lề và lòng đường là 11
feet. Học sinh cần xây dựng mơ hình tốn học
bằng cách chọn hệ trục tọa độ Ohx

7


Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Ohx với O là vị trí chân vịm parabol, Oh là trụ
cầu và ox nằm trên đường thẳng nối hai chân vòm parabol. Lúc đó, vịm
parabol này sẽ đi qua hai điểm A  36, 7  và B  92, 0  . Hàm số biểu thị hình dạng
của vịm parabol có dạng h( t )  at 2  b. Thay tọa độ điểm A vào phương trình
của hàm số h( t )  at 2  b thu được 1296a  b  7. Tiếp tục thay tọa độ điểm B vào
phương trình của hàm số h( t )  at 2  bt thu được 2116a  b  0. Từ đó suy ra:
a  1 / 108 và b  19 nên được hàm số
h( t )   1 / 108  t 2  19. Hàm số này đạt giá
trị lớn nhất tại t  0 và h  0   19. Vậy
chiều cao tối đa của một phương tiện đi
qua dưới vòm parabol của chiếc cầu là 23
feet.

Bài tốn 3: Một cơng ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho
thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người
th và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có
2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì cơng ty đó phải cho
thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng.
Lời giải
2x
Nếu tăng giá thuê mỗi căn hộ là x (đồng/tháng) thì sẽ có
căn hộ bỏ
100000
trống.
Khi đó số tiền công ty thu được là:
2x �
�
S =  2.000.000 + x  �
50 �. Xét hàm số
� 100.000 �
2x �
�
f(x)=  2.000.000 + x  �
50 �
� 100.000 �
1
f  x  
x 2  10 x +10000000, x > 0
50000
Ta thấy hàm số f  x  đạt giá trị lớn nhất khi x  250000. Vậy giá tiền th mỗi
căn hộ là: 2.250.000 đồng.
Bài tốn 4: Một cơng ty đào taọ quản lý cung cấp một khóa đào tạo quản lý với
chi phí là 400 $ một người, với chi phí này thì sẽ có 100 người tham gia khóa

học. Cơng ty ước tính rằng, cứ mỗi lần giảm giá 5 $ thì sẽ có thêm 20 người
tham gia khóa học. Hỏi cơng ty phải đưa ra giá cho khóa học bao nhiêu để thu
được doanh thu lớn nhất ? Doanh thu lớn nhất là bao nhiêu ?
8


Hướng dẫn giải
Gọi x là số lần giảm giá 5 USD. Khi đó ta có:
+ Giá của khóa học là: 400  5x
+ Số người tham gia khóa học là: 1000  20x
2
Tổng doanh thu là: Q  x   (400  5 x)(1000  20 x)  100x + 3000x + 400000
0 �x �80

Doanh thu lớn nhất khi Q  x  đạt giá trị lớn nhất khi x  15
Từ đó suy ra để doanh thu lớn thì cơng ty nên định giá 325 USD cho mỗi người
tham gia lớp học và doanh thu lớn nhất là 422500 USD.
Bài tốn 5. Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng:
Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá
sau một vụ cân nặng p  n   480  20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá
trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoach được nhiều cá nhất
Hướng dẫn giải
Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ  n  0 
Số lượng cá thu hoach được sau một vụ là:
f  n   n  480  20n   20n 2  480n

2
Ta phải tìm n sao cho f  n   20n 480n  n � 0; �  đạt giá trị lớn nhất
Lập bảng biến thiên của f  n  ta được f  n  đạt giá trị lớn nhất khi n  12
Vậy trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ nên thả 12 con cá.

Bài tốn 6. Người ta muốn rào quanh một mảnh vườn với một số vật liệu cho
trước là 100m thẳng hàng rào. Tại đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để
làm một cạnh của hàng rào. Vậy làm thế nào để rào mảnh vườn ấy theo hình chữ
nhật sao cho diện tích lớn nhất ?
Lời giải
Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và y là chiều dài
y
cạnh vng góc với bờ giậu
Theo bài ra ta có : x  2 y  100
Diện tích miếng đất là s  y  100  2 y 

S cực đại khi và chỉ khi s  y  100  2 y  cực đại

x

Lúc này s  y  100  2 y  có đỉnh là I  25;1250  , vì bề lõm
parabol hướng xuống nên giá trị lớn nhất tại đỉnh, vậy s cực
đại khi y  25, x  50 . Vậy khu đất có diện tích lớn nhất khi rào
mảnh vườn thành hình chữ nhật với chiều dài x = 50m và chiều rộng
y = 25m
9


Bài tốn này cũng có thể đưa vào dạy bài bất đẳng thức Cô-si như sau :
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm 2y và 100 - 2y
2

1 �2 y  100  2 y � 1002
ta có: S � �
�

2�
2
8
�

Dấu bằng xảy ra � 2y = 100 - 2y � y =

100
100
 25 Suy ra x =
 50
4
2

Bài toán 7. Cần phải làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệt, phía dưới
là hình chữ nhật, có chu vi là a( m) ( a chính là chu vi hình bán nguyệt cộng với
chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán
nguyệt). Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
S1
Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán
nguyệt là  x , tổng ba cạnh của hình chữ nhật là a   x . Diện tích
cửa sổ là:
S
2

π x2
a -π x- 2x
π
S = S1 +S2 =

+2x
= ax - ( + 2)x 2 . Dễ thấy S có
2x
2
2
2
a
dạng hàm số bậc hai và lớn nhất khi x =
. ( Có thể dùng bất
4 +π
đẳng thức cauchy để tìm giá trị lớn nhất của S )
Bài tốn 8. Bạn An có một đoạn dây dài 20m. Bạn chia đoạn dây thành hai
phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần cịn lại uốn thành một hình
vng. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là
nhỏ nhất.
40
180
120
60
m
m
m
m
A.
B.
C.
D.
94 3
94 3
94 3

94 3
Hướng dẫn giải
Gọi phần đầu của sợi dây là x  0  x  20  Khi đó
x2 3
Diện tích tam giác là:
. Phần còn lại của sợi dây là 20-x. Diện tích hình
36
2
2
�20  x � � x �
5  �. Tổng diện tích hai phần là:
vng là �
� �
� 4 � � 4�
2
x 2 3 � x � � 3 1 �2 5
S
�
5  � �  �x  x  25
36
� 4 � �36 16 � 2

10


5
180
2
x



S nhỏ nhất khi
�3 1 � 94 3
2�  �
�36 16 �
Bài tập tương tự:
Câu 1. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại.
Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda
Future Fi với chi phí mua vào là 28 (triệu đồng) và bán với giá 32 (triệu đồng)
mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một
năm là là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe
đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu
giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm
200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định bán với giá bán mới là bao nhiêu triệu
đồng để sau khi đã thức hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Câu 2. Một chiếc xe bus có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu một xe chở x
x�
�
30000  �đồng. Hỏi xe thu
hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là �
10 �
�
được nhiều lợi nhuận nhất khi chở bao nhiêu hành khách?
Câu 3. Khi du lịch đến thành phố Lui (Mĩ) ta sẽ thấy một cái cổng lớn dạng
Parabol bề lõm quay xuống dưới. Đó là cổng Acxơ ( hình vẽ ) .

Làm thế nào để tính chiều cao của cổng ? (khoảng cách từ điểm cao nhất của
cổng đến mặt đất)
2.3.3. Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học khi dạy học bài tập hệ bất
phương trình bậc nhất 2 ẩn ( ứng dụng giải quyết các bài toán kinh tế).

Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất có liên quan chặt chẽ
đến quy hoạch tuyến tính. Đó là một ngành tốn học có nhiều ứng dụng trong
đời sống và kinh tế.
Trước khi giải quyết bài toán cụ thể, giáo viên tổ chức cho học sinh nắm
vững phương pháp tìm cực trị của biểu thức F = ax + by trên một miền đa
giác được nêu ra trong sách giáo khoa lớp 10 cơ bản trang 98 phần đọc thêm.
11


Bài tốn: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  ax  by (a, b
là hai số đã cho không đồng thời bằng 0), trong đó x, y là các tọa độ của các
điểm thuộc miền đa giác A1 A2 ... Ai Ai 1... An . Xác định x, y để F đạt giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất.
Lời giải. Ta minh họa cách giải trong trường hợp n = 5 tức là xét ngũ giác lồi và
xét trường hợp b > 0 trường hợp ngược lại tương tự.
Giả sử M 0 ( xO ; yO ) là điểm thuộc miền đa giác. Qua điểm M và mỗi đỉnh của
một đa giác, kẻ các đường thẳng song song với đường thẳng ax  by  0 .
Khi đó ta có đường thẳng qua M có phương trình ax  by  ax0  by0 và cắt
axO  byO �
�. Vì b > 0 nên ax0  by0 đạt giá trị lớn nhất khi
b
�
�

�
trục tung tại điểm N �0;

và chỉ khi

ax0  by0

lớn nhất. Từ đó ta được kết quả bài tốn.
b

Tổng qt hóa
Ta ln có thể giả thiết rằng b > 0, bởi vì nếu b < 0 thì ta có thể nhân hai
vế với -1 và bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của F ( x; y) sẽ trở thành
bài tốn tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của  F ( x; y )  ax  b ' y , trong đó
b '  b  0 .
y

ax  by  0
A2

A1

A3
O

x

M  x0 ; y0 

A5
N

A4

Tập các điểm ( x; y ) để F ( x; y ) nhận giá trị p là đường thẳng ax  by  p ;
a
b

p
a
. Đường thẳng này có hệ số góc bằng  và cắt trục tung tại
b
b
p
điểm M (0; m) với m 
b

hay y   x 

12


Ký hiệu đường thẳng này là (d m ) . Vì b > 0 nên việc tìm giá trị nhỏ nhất
(hay lớn nhất) của P( x; y )  p với ( x; y ) miền đa giác quy về việc tìm giá trị nhỏ
p
, tức là tìm điểm M ở vị trí thấp nhất (hay cao
b
nhất) trên trục tung sao cho đường thẳng (d m ) có ít nhất một điểm chung với
a
(S). Từ đó chú ý rằng (d m ) có hệ số góc bằng  khơng đổi. Ta đi đến cách làm
b

nhất (hay lớn nhất) của m 

sau:
Khi tìm giá trị nhỏ nhất của F ( x; y) , ta cho đường thẳng (d m ) chuyển
động song song với chính nó từ một vị trí nào đó ở phía dưới miền đa giác và đi

lên cho đến khi (d m ) lần đầu tiên đi qua một điểm  x0 ; y0  nào đó của miền đa
giác. Khi đó, m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của
F ( x; y ) . Đó là F ( x0 ; y0 )  ax0  by0 .
Khi tìm giá trị lớn nhất của F ( x, y) , ta cho đường thẳng (d m ) với hệ số
a
chuyển động song song với chính nó từ một vị trí nào đó trên miền đa
b
giác và đi xuống cho đến khi (d m ) lần đầu tiên đi qua một điểm  x0 ; y0  nào đó

góc 

của miền đa giác. Khi đó, m đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị
lớn nhất của F ( x, y ) . Đó là F  x0 ; y0   ax0  by0 .
Vậy giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức F = ax + by đạt được tại
một trong các đỉnh của một miền đa giác.
Sau đó tơi hướng dẫn học sinh tìm hướng giải quyết một số bài tốn có nội
dung thực tiễn khi dạy hệ bất phương trình để phát triển năng lực mơ hình hóa
tốn học cho các em
Bài tốn 1: Một cơng ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến
mại nhằm thu hút khách hàng bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của
công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo
trên sóng phát thanh là 800.000 đồng, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng.
Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút.
Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát
các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một
phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh.
Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt
thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu
quả nhất?
Lời giải

13


Phân tích bài tốn: Gọi thời lượng cơng ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh
là x (phút), trên truyền hình là y (phút). Chi phí cho việc này là:
800.000 x  4.000000 y (đồng)
Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức:
 800.000 x  4.000.000 y  �16.000.000 hay  x  5y  20 �0
Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: x �5, y �4 .
Đồng thời do x, y là thời lượng nên x �0, y �0 . Hiệu quả chung của quảng
cáo là: x  6 y .
Bài toán trở thành: Xác định x, y
sao cho: M  x; y   x  6 y đạt giá
trị lớn nhất.
� x  5y  20 �0
�
Với các điều kiện �x �5
�
0 �y �4
�
(*)
Trước tiên ta xác định miền nghiệm
của hệ bất phương trình (*)
Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các
đường thẳng  d  : x  5 y  20  0,  d '  : x  5,  d ''  : y  4
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tam giác)
khơng tơ màu trên hình vẽ
Giá trị lớn nhất của M  x; y   x  6 y đạt tại một trong các điểm
 5;3 ,  5;0  ,  20;0 

Ta có M  5;3  23, M  5;0   5, M  20;0   20 suy ra giá trị lớn nhất của

M  x; y  bằng 23 tại  5;3 tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát
thanh là 5 phút và trên truyền hình là 3 phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.
Bài tốn 2: Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g
hương liệu, 9 lít nước và 21g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha
chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít
nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận
được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha
chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất?
Lời giải: Đối với những bài toán như thế này, ta phải đọc thật kỹ, xem đề bài
u cầu làm gì và chuyển bài tốn đó về những mơ hình tốn học mà mình đã
học? Ở đây, yêu cầu đề bài: “cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi
loại”. Như vậy, ta gọi ẩn x, y tương ứng là số lít nước trái cây tương ứng mỗi
loại. Mà mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng thì x lít nước cam nhân
được 60x điểm thưởng; mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng thì y lít

14


nước táo nhận được 80y điểm thưởng. Khi đó ta có số điểm thưởng nhận được
sau khi pha chế được x, y lít nước trái cây mỗi loại là 60x + 80y.
Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và táo của mỗi đội pha chế ( x, y �0) .
Khi đó số điểm thưởng nhận được của mỗi đội chơi là F = 60x + 80y.
Để pha chế x lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước và x(g) hương
liệu. Để pha chế y lít nước cam cần 10y g đường, y lít nước và 4y (g) hương
liệu. Do đó, ta có:
Số gam đường cần dùng là: 30x + 10y
Số lít nước cần dùng là: x + y
Số gam hương liệu cần dùng là: x + 4y

Vì trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9
lít nước và 210g đường nên x, y thỏa mãn hệ bất phương trình:
30 x  10 y �210
3 x  y �21
�
�
�x  y �9
�x  y �9
�
�
��
�
�x  4 y �24
�x  4 y �24
�
�
�x, y �0
�x, y �0

(*)

Khi đó bài tốn trở thành:
Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*),
tìm nghiệm ( x  x0 , y  y0 ) sao cho F  60 x  80 y
lớn nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần
mặt phẳng chứa điểm M ( x, y ) thỏa mãn (*).
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình
(*) là ngũ giác OABCD kể cả miền trong của
tam giác (như hình vẽ). Biểu thức F  60 x  80 y

đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của
ngũ giác OABCD.
Tại các đỉnh O(0; 0), A(7; 0), B(6; 3), C(4; 5), D(0; 6). Ta thấy F đạt giá trị lớn
nhất tại x = 4, y = 5. Khi đó F  60.4  80.5  640 .
Vậy cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít nước táo thì số tiền thưởng lớn
nhất là 640.
Bài tốn 3 : Một hộ nông dân dự định trồng đậu và cà trên diện tích 800m 2.
Biết rằng cứ 100m2 trồng đậu cần 10 cơng và lãi 7 triệu đồng cịn 100m 2 trồng
cà cần 15 công và lãi 9 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là
bao nhiêu để thu được tiền lãi cao nhất khi tổng số công không vượt quá 90.
Gọi x, y lần lượt là diện tích trồng đậu và trồng cà (đơn vị là 100m 2). Ta có
x �0; y �0; x  y �8
Do tổng số công không vượt quá 90 nên 10 x  15 y �90 � 2 x  3 y �18
15


Tổng số tiền lãi là T  7 x  9 y (triệu đồng)
Đến đây học sinh thực hiện các thao tác tư duy tương tự bài toán 1 và bài tốn 2,
tìm miền nghiệm của hệ gồm 4 bất phương trình nói trêb và xác định được biểu
thức T lớn nhất khi x  2; y  6
Chú ý: Ngồi cách trên, ta có thể tìm giá trị lớn nhất của T bằng phương pháp
đánh giá như sau:
x �0; y �0; x  y �8

2 x  3 y �18 � T  7 x  9 y  3  x  y   2  2 x  3 y  �3.8  2.18  60

�x  y  8
�x  6
��
Đẳng thức xảy ra khi �

2 x  3 y  18 �y  2
�
Vậy cần trồng đậu trên diện tích 600m 2 và trồng cà trên diện tích 200m 2 thì tổng
số tiền lãi cao nhất
Bài tốn 4. [8] Một gia đình cần ít nhất 900g chất prôtein và 400g chất lipit
trong thức ăn mỗi ngày. Biết rằng thịt bị chứa 80% prơtein và 20% lipit. Thịt
lợn chứa 60% prôtein và 40% lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là
1600g thịt bò và 1100g thịt lợn, giá tiền 1kg thịt bò là 45 nghìn đồng, 1kg thịt
lợn là 35 nghìn đồng. Hỏi gia đình đó phải mua bao nhiêu kg thịt mỗi loại để
chi phí ít nhất?
Lời giải: Giả sử gia đình đó mua x (kg) thịt bị và y (kg) thịt lợn ( x, y �0 ). Khi
đó chi phí mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn là T  45 x  35 y (nghìn đồng).
Theo giả thuyết, x và y thỏa mãn điều kiện x �1, 6; y �1,1 .
Khi đó lượng prơtein có được là

80
60
x
y và lượng lipit có được là
100
100

20
4
x
y
100
100
Vì gia đình đó cần ít nhất 0,9kg chất prơtein và 0,4kg chất lipit trong thức ăn
mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là

80
60
x
y �0,9
và
100
100
20
4
x
y �0,4 hay 4x + 3y ≥ 4,5
100
100
và x + 2y ≥ 2.

16


0 �x �1, 6
�
�
0 �y �1,1
�
Vậy x, y thỏa mãn hệ bất phương trình: �
4 x  3 y �4,5
�
�
�x  2 y �2

(*)

Khi đó bài tốn trở thành:
Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x  x0 , y  y0 ) sao
cho T  45 x  35 y nhỏ nhất.
Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M ( x, y )
thỏa mãn (*). Miền nghiệm của hệ (*) là miền bên trong của tứ giác lồi ABCD
và cả biên (như hình vẽ).
T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.
Ta có: A(1, 6;1,1), B(1, 6;0, 2), C (0, 6; 0, 7), D(0,3;1)
Kiểm tra được x = 0,6; y = 0,7 thì T = 51,5 (nghìn đồng) là nhỏ nhất.
Vậy gia đình đó mua 0,6 kg thịt bị và 0,7 kg thịt lợn thì chi phí là ít nhất. Cụ thể
là phải chi phí 51,5 nghìn đồng.
Bài tốn 5: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm ký hiệu là I và II. Một tấn
sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, mỗi tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng.
Muốn hoàn thành một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy
M2 trong 1 giờ. Muốn hoàn thành sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong một
giờ và máy M2 trong một giờ . Một máy không thể dùng đồng thời để sản xuất
hai loại sản phẩm . Trong một ngày máy M1 không làm quá 6 giờ, máy M2 không
làm quá 4 giờ. Hãy tính sản lượng sản phẩm loại I và II để có mức lãi cao nhất.
Gọi x là số tấn sản phẩm loại I và y là
số tấn sản phẩm loại II
x  0 ;y  0.Thời gian làm việc của
máy àthời gian làm việc của máy M2 :
x  y , theo đề ta có x  y �4 và
3x  y �6
Gọi L là tiền lãi: L = 2x +1,6y .Ta có
hệ
�x �0
�y �0
�

�
3x  y �6
�
�
�x  y �4
Gọi  d1  : 3x + y - 6 = 0
 d 2  : x+y-4=0
17


Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với A(2;0) B(1;3) và
C(0;4). Bằng cách thay trực tiếp các giá trị  x; y  tại các đỉnh của miền nghiệm
ta thấy L đạt giá trị lớn nhất khi x  1; y  3
Vậy để có tổng lãi cao nhất xí nghiệp sản xuất 1 sản phẩm loại I và 3 tấn loại II

Bài tập tương tự.
Bài 1: Nhân dịp tết Trung Thu, xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại
bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp
cần: Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, ... Giả sử số đường có thể chuẩn bị được là 300
kg, đậu là 200 kg, các nguyên liệu khác bao nhiêu cũng có. Sản xuất một cái bánh
đậu xanh cần 0,06 kg đường, 0,08 kg đậu và cho lãi 2 ngàn đồng. Sản xuất một cái
bánh dẻo cần 0,07 kg đường, 0,04 kg đậu và cho lãi 1,8 ngàn đồng.
Cần lập kế hoạch để sản xuất mỗi loại bánh bao nhiêu cái để không bị động về
đường, đậu và tổng số lãi thu được là lớn nhất (nếu sản xuất bao nhiêu cũng bán
hết)?
Bài 2. Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về các chất dinh dưỡng đạm, đường,
khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g, 130g, 10g. Cho biết hàm lượng
các chất dinh dưỡng trên có trong một gam thức ăn A, B và giá mua một kg
thức ăn mỗi loại được cho trong bảng sau:
Chất dinh dưỡng

A
B
Đạm
0,1g
0,2g
Đường
0,3g
0,4g
Khống
0,02g
0,01g
Giá mua
3000
4000
Hãy lập mơ hình tốn học của bài tốn xác định khối lượng thức ăn mỗi loại
phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu
cầu dinh dưỡng mỗi ngày.
Bài 3. Có hai loại sản phẩm A, B được gia cơng trên 3 máy I, II, III. Thời gian gia
công mỗi loại sản phẩm trên mỗi máy cho bởi bảng:

Loại sản phẩm
A
B

Máy
I
4
2

II

3
1

III
2
4

Thời gian cho phép của mỗi máy I, II, II lần lượt là 100, 300, 50 giờ. Một đơn vị
sản phẩm A lãi 6000 đ, sản phẩm B lãi 4000 đ.
Vậy cần phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để lãi tối đa. Hãy lập
mơ hình tốn học của bài toán.
18


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong quá trình thực hiện sáng kiến này ở lớp 10C6 tôi nhận thấy:
- Các em học sinh chăm chú nghe giảng, tìm hiểu bài tốn và giải bài tập, bước
đầu hình thành nên lối tư duy khoa học hơn, sâu sắc hơn.
- Giờ học sôi nổi, nhiều học sinh tỏ ra có hứng thú với các tiết dạy, tinh thần học
tập của học sinh cả lớp được nâng lên.
- Một số học sinh khá còn sáng tạo thêm các bài tập dựa vào bài toán gốc cho cả
lớp cùng làm, phong trào thi đua học tập của lớp ngày một nâng cao.
Kết quả đó cịn được thể hiện rõ rệt qua các bài kiểm tra khi tôi tiến hành
dạy đề tài ở lớp 10C6. So sánh giữa các lớp chưa học và các lớp đã được học đề
tài, cho thấy hiệu quả của đề tài và tính thiết thực trong việc đổi mới phương
pháp dạy học.
Sau khi thực hiện quá trình hướng dẫn học sinh tìm lời giải và cho các em
tự luyện tập ở nhà tôi tiến hành cho học sinh lớp 10C6 làm bài kiểm tra 45 phút
(với mức độ đề tương đương với đề đã cho lớp 10B2 năm học 2019- 2020).

Kết quả làm bài của học sinh được thống kê ở bảng sau.
Lớp
10C6

Số
HS
42

Giỏi
SL
8

(%)
19,04

Khá
SL
15

(%)
35,71

TB
SL
19

(%)
45,42

Yếu

SL
0

(%)
0

Bản thân tôi và các đồng nghiệp ở trường trung THPT Triệu Sơn 4 nhận thấy khi
áp dụng sáng kiến này trong dạy học bài tập chương II và chương IV thì hiệu
quả giảng dạy giảng dạy của giáo viên được nâng lên từ đó góp phần vào việc
nâng cao chất lượng giáo dục của các lớp mà mình phụ trách nói riêng và của
nhà trường nói chung.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Kết luận
Phát triển năng lực mơ hình hóa tốn học, rèn luyện cho học sinh khả
năng vận dụng kiến thức Tốn học để giải quyết các bài tốn có nội dung thực tế
là vấn đề cấp thiết hiện nay. Làm được điều đó các em mới phát huy hết được
khả năng của mình, có hứng thú, niềm đam mê với mơn tốn, có những ý tưởng
hay trong giải tốn cũng như trong quá trình giải quyết các vấn đề mà các em sẽ
gặp trong cuộc sống.
Người thầy cần xác định được tầm quan trọng của toán học đối với cuộc
sống và các khoa học khác từ đó trang bị cho học sinh nền tảng kiến cần thiết,
nền tảng có vững vàng thì các em mới có đủ nội lực để tiếp nhận kiến thức mới,
có cơ sở để phát triển, sáng tạo những gì đã học và áp dụng vào thực tế cuộc
sống.
- Kiến nghị
Việc viết và báo cáo SKKN trong quá trình dạy học sẽ tạo điều kiện để giáo
viên được trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm để có phương pháp giảng dạy
19

và giáo dục tốt hơn. Đây thực sự là việc làm bổ ích đối với mỗi giáo viên. Do
vậy trong những năm học tiếp theo, mặc dù không phải là nhiệm vụ bắt buộc
nhưng các trường THPT và Sở GD&ĐT Thanh Hóa vẫn nên tiếp tục triển khai
và khuyến khích giáo viên viết sáng kiến kinh nghiệm để chia sẻ những kinh
nghiệm bổ ích trong mà mình đã tích lũy được với đồng nghiệp để cùng nhau
thực hiện tốt công việc của mình từ đó nâng cao chất lượng giáo dục.
Đề tài được tích luỹ nhiều năm trực tiếp giảng dạy tại các lớp 10 của
trường THPT Triệu Sơn 4, các ví dụ được chọn lọc, tham khảo từ nhiều nguồn
tài liệu khác nhau trong một số đề thi thử THPT Quốc Gia của một số trường
THPT, tạp chí Tốn học tuổi trẻ, các diễn đàn dạy học toán trên mạng internet...
Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắc chắn đề tài không tránh khỏi
những hạn chế. Rất mong được sự đóng góp quý báu của bạn đọc, đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.
Người viết

Lê Thị Hương

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Bài tập trắc nghiệm các dạng tốn ứng dụng thực tế - Đặng Việt Đơng www.
toanmath.com;

[2]. Các bài toán thực tiễn trong đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 -Trần Văn
Tài www.toanmath.com;
[3]. Đề thi thử đại học của một số trường THPT trong các năm gần đây; các
trang mạng liên quan đến dạy học toán như www. Moon.Vn; Thư viện trực
tuyến Violet; www.diendantoanhoc.net;
[4]. Nguyên hàm tích phân và những bài tốn thực tế
[5]. Một số biện pháp tạo hứng thú học tập cho học sinh - Giasunhanvan.com
[6]. Nguyễn Thị Thu Thủy, Trường THPT Trưng Vương Thành phố Hà Nội
“Tạo hứng thú học toán 10- Trung học phổ thông thông qua vận dụng các bài tập
liên quan đến các môn học khác và các bài toán thực tế”- đề tài khoa học năm
2014;
[7]. Nghị quyết số 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào
tạo; Những điểm mới trong mục tiêu đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục phổ
thơng – thuvienphapluat.VN;
[8]. Sách giáo khoa đại số 10 - Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy - Nhà xuất bản
Giáo Dục – tháng 7 năm 2006.
[9]. Đề thi thử khảo sát chất lượng lớp 12 của một số trường THPT trong tỉnh
Thanh Hóa – nhóm TỐN THPT THANH HĨA.
[10]. Phát triển mơ hình hóa trong dạy học mơn Tốn ở trường phổ thơng –
Nguyễn Danh Nam nhà xuất bản Đại Học Thái nguyên năm 2016.

21


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Thị Hương
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Triệu Sơn 4.

Kết quả
Cấp đánh
đánh giá Năm
học
giá xếp loại
TT Tên đề tài SKKN
xếp loại đánh giá xếp
(Phòng, Sở,
(A,
B, loại
Tỉnh...)
hoặc C)
1. Một số kinh nghiệm trong Sở GD&ĐT C
2012-2013
công tác chủ nhiệm lớp ở Thanh Hóa
trường THPT
2. Phát triển năng lực tư duy cho Sở GD&ĐT C
2015- 2016
học sinh thông qua việc khai Thanh
thác các tính chất hình học để Hóa
tìm lời giải cho một số bài
toán tọa độ trong mặt phẳng
-chương III hình học 10
3. Tạo hứng thú học tập cho học Sở GD&ĐT C
2016- 2017
sinh lớp 10B3 trường THPT Thanh
Triệu Sơn 4 thơng qua việc Hóa
giải quyết một số bài tốn có
nội dung liên quan đến thực
tiễn khi dạy học bài tập

chương III hình học 10”
4. Tạo hứng thú học tập cho học Sở GD&ĐT C
2018-2019
sinh lớp 12C3 trường THPT Thanh
Triệu Sơn 4 thơng qua việc Hóa
giải quyết một số bài tốn có
nội dung liên quan đến thực
tiễn khi dạy học bài tập
chương nguyên hàm, tích
phân”
------------------------------------------------

22