Định lý điểm bất động trong không gian s metric

111

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THANH THẢO

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN S-METRIC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người h

ng dẫn khoa học: TS. Lương Quốc Tuyển

Đà Nẵng – Năm 2014


111

I CAM ĐOAN

Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

T

T


111

L C
U

M

n

1

tài ................................................................................1

2. M c ích nghiên c u ..........................................................................1
3.

it

ng nghiên c u .........................................................................2

4. Ph m vi nghiên c u ............................................................................2
5. Ph

ng

CHƯƠNG 1: K

GIAN METRIC

1 1 KHÁI NI M V KHƠNG GIAN M T C
ngh a.....................................................................................5

111

1.1.2. Ví d ..............................................................................................5
1.1.3.

nh ngh a.....................................................................................6

1.1.4. Nh n xét. .......................................................................................6
ỘI TỤ T

1.2.

GI

C

1 1 Định nghĩa......................................................................................
1
1

CẬ
1 1 Đị

nghĩa.....................................................................................8

1.3.2 Nh n xét. ........................................................................................8
1.4. TẬP HỢP MỞ............................................................................................9
1.4.1. Định nghĩa.....................................................................................9
1.4.2. Định lí. ..........................................................................................9
1.4.3. Bổ đề. ..........................................................................................10
1.5. TẬP HỢP ĐĨNG.....................................................................................10
1.5.1. Định nghĩa...................................................................................10


111

Đị

1

11

1

11

1

nh lí. .........................................................................................12

1.6. PH N TRONG VÀ BIÊN C A MỘT TẬP HỢP..................................13
1.6.1. Định nghĩa...................................................................................13
1.6.2. B

. ..........................................................................................14

1.7. BAO ÓNG C A MỘT TẬP HỢP........................................................16
1.7.1. Định nghĩa...................................................................................16
1.7.2. B

. ..........................................................................................16

1.8. KHÔNG GIAN M
1 1

nh ngh a...................................................................................18

1.8.2. Nh n xét.. ....................................................................................19
1.9. ÁNH X LIÊN T C TRÊN KHÔNG GIAN M

C

1 1

nh ngh a...................................................................................19

1.9.2.

nh lí. ........................................................................................19

1.9.3.

nh lí. ........................................................................................20

1.10. ỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA BANACH ..........................22
1.10.1. Định nghĩa.................................................................................22
1.10.2. Nh n xét. ...................................................................................22
1.10.3.

nh lí.. .....................................................................................22

CHƯƠNG 2: K

GIAN S-METRIC .................................................25

2.1. KHÔNG GIAN S-M
11
2.1.2. B

C

nh ngh a...................................................................................25
. ..........................................................................................25

2.1.3. Ví d ............................................................................................26
2.2. TOPO SINH B I S-M
1

C

nh ngh a...................................................................................27


111

Định lí. ........................................................................................27
2.2.3. B
2.2.4.

. ..........................................................................................28
nh ngh a...................................................................................29

2.2.5. Nh n xét. .....................................................................................29
2.3. S

HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN S-M

C

1 Định nghĩa....................................................................................29
2.3.2 B

. ...........................................................................................30

2.3.3 B

. ...........................................................................................31

2.3.4

nh ngh a....................................................................................32

2.3.5 M nh

. ......................................................................................32

CHƯƠNG 3: ĐỊNH L ĐIỂM BẤT ĐỘNG TR N KH

GIAN S-

METRIC ........................................................................................................35
3.1. ÁNH X LIÊN TỤC VÀ ÁNH X CO .................................................35
3.1.1.

nh ngh a...................................................................................35

3.1.2.

nh lí.. .......................................................................................35

3.1.3.

nh ngh a...................................................................................37

3.1.4. Nh n xét.. ....................................................................................37
3.2.

ỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRÊN KHÔNG

GIAN S-M

ĐẦ ĐỦ

1 Định lí. ........................................................................................37

3.2.2. Ví dụ............................................................................................40
3.2.3. Định lí. ........................................................................................41
KẾT LUẬN ....................................................................................................43
T I LIỆU THAM KHẢO ............................................................................44
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ T I LUẬN VĂN (Bản sao)


111
1

U
1. L do chọn đề tài
đ

ong khơng gian metric đóng vai trị quan

trọng trong tốn học và khoa học ứng dụng. Năm 2006, Mustafa và Sims đã
đưa ra khái ni m không gian G-metric là m t suy r ng c a khơng gian metric
(xem [3]). Nh

ó, Mustafa và c ng s

ã

a ra r t nhi u

nh lí i m b t

ng trên không gian G-metric (xem [1,3,4,5,6,7]. B ng cách suy r ng không
gian G-metric, Sedghi, Shobe, Aliouche ã gi i thi u khái ni m không gian Smetric vào n m 2012 (xem [2,8,9]), và các tác gi

lí i m b t

ã

a ra

cm ts

nh

ng trên không gian này. Sau ó, b ng cách suy r ng ánh x và

các ph p

hi
ng gian S-metric (xem [8]). Hi n nay, bài tốn v

i mb t

ng

trên khơng gian S-metric ang thu hút s quan tâm c a nhi u nhà toán h c
trên th gi i.
V i lý do nh trên c ng nh d
Qu c Tuy n, tôi ã quy t

is

nh h

nh ch n nghiên c u

ng c a th y giáo L

ng

tài: “ nh lý i m b t

ng trong không gian S-metric”. Chúng tôi mong mu n t o

c m t tài li u

tham kh o t t cho nh ng ai quan tâm và nghiên c u v l nh v c này.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong lu n v n, chúng tôi t p

ng nghiên c u các ki n th c liên quan

n không gian metric, không gian suy r ng S-metric, m t s k t qu thu
c trên không gian S-metric v i các m c ích nh sau.
(1) H th ng l i m t s khái ni m và ch ng minh chi ti t các tính ch t
c a khơng gian metric và
gian metric

y

.

nh lí i m b t

ng

i v i ánh x co trên không


111

ơng gian S-metric.

T
(3) Nghiên c u m t s

nh lí i m b t

iv il

ng trên không gian S-metric
ng nh trình bày m t s ví

d liên quan.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các khái ni m và tính ch t c a không gian metric nh dãy h i t , lân
c n, t p

ong, biên, bao óng c a m t t p
B
nh lý i m b t

ng trên không gian S-

iv il p

metric

4. Phạm vi nghiên cứu
T
i v i l p nh x co.

ông gian S-metric
5. Phương

nghiên cứu

1. Tham kh o tài li u và h th ng hóa các ki n th c.
2. Thu th p

ghi

n “ nh lý i m b t
3. Th hi n t
4. Trao

n

ng trong không gian S-metric”

ng minh các k t qu nghiên c u trong

i, th o lu n v i giáo viên h

tài.

ng d n.

6. Cấu trúc luận văn

N i dung lu n v n

c trình bày trong 3 ch

cịn có L i cam oan, M c l c, ph

ng. Ngoài ra, lu n v n
T


111

ương 1, Trình bày v khơng gian metric, bao g m 10 m c. M c 1.1,
trình bày khái ni m v khơng gian metric; M c 1.2, trình bày dãy h i t trong
không gian metric; M c 1.3, lân c n; M c 1.4, trình bày t p
ình bày t p

óng; M c 1.6, trình bày ph
ng c a m t t p

1
metric

y

1

n

1

; M c 1.9, trình bày ánh x liên t c trên không gian metric; M c

1.10, trình bày

nh lý i m b t

ng c a Banach.

Chương 2, Trình bày m t s khái ni m và tính ch t c a khơng gian Smetric, bao g m 3 m c. M c 2.1, trình bày khơng gian S-metric; M c 2.2,
trình bày topo

nh b i S-metric; M c 2.3, trình bày s h i t trong khơng

gian S-metric.
Chương 3, Trình bày định lý đi m b t

ng trong khơng gian S-metric

iv il p

nh trình bày các ví d

liên quan, bao g m 2 m c. M c 3.1, trình bày ánh x liên t c và ánh x co;

M c 3.2, trình bày định lý đi m b t
metric

y

ng

i v i ánh x co trên không gian S-

.

7. T ng quan tài li u nghiên c u
Trong lu n v n này, chúng tơi trình bày t ng quan và h th ng v
không gian metric, không gian metric

y

; m t s khái ni m và tính ch t
đị

c a khơng gian S-metric, topo
ng gian S-metric

đ

iv il p

ng nh trình bày m t s ví d .
Trong ch

ng th nh t c a lu n v n, chúng tơi trình bày các khái ni m

và tính ch t c a khơng gian metric nh dãy h i t , lân c n, t p
ng, ph
,

ng, biên, bao óng c a m t t p

nh lý i m b t

ng c a Banach.

ông gian metric

y


111

T

ươ

ứ

ủ

ng tơi trình bày m t s khái

ni m và tính ch t c a khơng gian S-metric, topo nh b i S-metric, s h i t

trong không gian S-metric. K t qu chính c a chương này là B
nh lý 2.2.2, B
Trong ch
và ánh x co,

2.2.3, B

2.3.2, B

2.3.3, M nh

2.1.2,

2.3.5

ng th ba c a lu n v n, chúng tơi trình bày ánh x liên t c
nh lý i m b t

ng

iv il p
nh lý 3.2.1,

nh lý 3.2.3.


111

CHƯƠ

IA METRIC

KHƠ
ươ

T

úng tơi trình bày m t s khái ni m và tính ch t c a

khơng gian metric nh m làm ti n
minh định lí đi m b t
1.1. KHÁI
1.1.1.

1

ng

cho các chương p a

ũng như chứng

i v i ánh x co trên khơng gian metric

y

IAN METRIC

ỆM V KHƠ
nh ngh a

Gi s X là t p
n

sau.
(1) d ( x, y) ³ 0 v i m i x, y Ỵ X ;

d ( x, y) = 0 khi và ch khi x = y.
(2) d ( x, y) = d ( y, x) v i m i x, y Ỵ X .
(3) d ( x, z ) £ d ( x, y) + d ( y, z ) v i m i x, y, z Ỵ X .
Khi ó,
(a) d

c g i là m t metric xác

(b) C

X d

không gian metric.

1.1.2. V d
V
1


ổ n
ử
d x y = ỗ ồ xi - yi ÷
è i =1

ø

n

d1 x y = å xi - yi
i =1

nh trên X.

X d

.


111

{x

d xy =

i

đ

- yi i = 1

n}
n

d d✶ d ✁

1.1.3.

nh ngh a

Gi s X là m t không gian metric, x Ỵ X và r > 0.

t

B( x, r ) = {x Ỵ X : d ( x, y) < r};
B[ x, r ] = {x Ỵ X : d ( x, y) £ r}.
Khi ó,
(1) B( x, r )

c g i là hình c u m tâm x bán kính r.

(2) B[ x, r ]

c g i là hình c u đóng tâm x bán kính r.

1.1.4.

xét

B( x, r ) Ì B[ x, r ].
1.2.

HỘI TỤ TRONG KHƠ

IAN METRIC

1.2.1. Định nghĩa
Gi s X là không gian metric và { xn } là m t dãy trong X. Ta nói r ng
{ xn } là dãy hội tụ đến x Î X n u lim d ( xn , x ) = 0. Lỳc ú, ký hi u
n đƠ
lim xn = x ho c xn đ x.
n đƠ

1.2.2. B
Trong không gian metric X, các khẳng định sau là đúng.
(1) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất;
(2) Nếu xn ® x, thì mọi dãy con của { xn } cũng hội tụ đến x.


111

N u xn ® a yn ® b thì d xn yn ® d x y
Chứng minh. 1

ả ử xn ® a y n ® b

đ

n

c a metric ta

suy ra r ng
0 £ d ( a , b ) £ d ( a , xn ) + d ( xn , b )
= d ( xn , a ) + d ( xn , b ).

H n n a, vì xn ® a, yn ® b nên t b t

ng th c trên ta suy ra d (a, b) = 0.

Cu i cùng, theo tính ch t c a metric ta suy ra a = b. Nh v y, gi i h n c a
m t dãy h i t là duy nh t.
(2) Gi s {xn } là m t dãy con b t k c a dãy {xn }. Khi ó, vì { xn } là
k

dãy h i t

> 0, t n t i

n x nên v i m i

d ( xn , x ) <

sao cho

v i m i n ³ k0 .

M t khác, vì
nk ³ k 0 v i m i k ³ k 0 .

Suy ra r ng

d ( xn , x) <
k

v i m i k ³ k0 .

i u này ch ng t r ng, xn ® x.
k

(3) Ta có
d ( xn , yn ) £ d ( xn , a ) + d ( a, b) + d (b, yn ),

kéo theo r ng
d ( xn , yn ) - d (a , b) £ d ( xn , a ) + d (b, yn ).

Hoàn toàn t

ng t ta thu

c


111

d a b - d xn y n £ d xn a + d b y n

T
£ d xn y n - d a b £ d xn a + d b y n
xn ® a y n ® b

ng th c trên ta suy ra
d ( xn , yn ) ® d ( x, y ).

1.3.

CẬN
1.3.1. Định nghĩa
Gi s X là khơng gian metric, x Ỵ X và U Ì X . Ta nói r ng U là m t

lân cận của x n u t n t i r > 0 sao cho

x Ỵ B( x, r ) Ì U .
1.3.2. Nhận
Trong không gian metric, giao c a m t h h u h n các lân c n c a x
c ng là m t lân c n c a x.
Chứng minh. Gi s U 1 ,U 2 ,...,U n là các lân c n c a x. Ta ch ng minh r ng
n

U = IU i
i =1

là m t lân c n c a x. Th t v y, vì U i là lân c n c a x v i m i i = 1,2,..., n nên
v i m i i = 1,2,..., n, t n t i ri > 0 sao cho
x Ỵ B ( x, ri ) Ì U i v i m i i = 1,2,..., n.

Bây gi , n u ta

t
r = min{ri : i = 1, 2,..., n},


111

xỴB x r ÌU

ư

U

1.4. TẬP HỢP MỞ
1.4.1. Định nghĩa
ng gian metric và A Ì X . Ta nói r ng A là tập hợp

X

mở n u A là lân c n c a m i i m c a A.
1.4.2. Định lí
Giả sử X là một khơn

ian m tric. Khi đó, các khẳng định sau là đúng.

(1) Hợp của một họ tùy ý gồm các tập hợp mở là tập hợp mở;
(2) Giao của một họ hữu hạn gồm các tập hợp mở là tập hợp mở.
Chứng minh. (1) Gi s {U i : i Ỵ I } là m t h tùy ý g m các t p
inh r ng U = UU i c ng là t p

X. T

iỴI

x ỴU

iỴI

x ỴU i

Ui

r>

x

x Ỵ B x r Ì Ui
Ui Ì U

xỴB x r ÌU
U

x.
U✂ U ✄

U

X.
X T

Un

n

U = IU i

x ỴU

X

i =1

x ỴU i

i =1

n


111

x D

Ui

i =1

ri >

n

i =1

x Ỵ B x ri Ì U i
r=

ri i = 1

n

n

n

n

i =1

i =1

x Ỵ B x r Ì I B x ri Ì IU i = U

U

x. T

U
X.

1.4.3. B đề
M i hình c u mở trong khơng gian metric là tập hợp mở.

Bxr

Chứng minh.

X T

B x r

Bxr
d x y
d =r -d x y
B y d Ì B x r

d>

zỴB y d

d y z d x z £ d x y + d y z < d x y +d =d x y + r - d x y =r
zỴB x r

Bxr

1.5. TẬP HỢP ĐĨ G
1.5.1 Định nghĩa
X T

X
đóng

A

A

111
11

1.5.2

nh lí.
nh sau là đúng.

Đối với khơng gian metric X, các kh ng

1 H p của m t h hữu h n các t p hợp đóng là tập hợp đóng;
Giao của một họ tùy ý gồm các tập hợp đóng là một tập hợp đóng.
ả ử

Chứng minh. 1
‚

☎

✆

ng

D

i

n
ỉ
X ‚ çU

è i =1

n

ta suy ra

X.

n

U

i

nh lí 1.4.2 và

ư= n (
I
i ÷
ø i =1

‚

i

ng th c sau

)

là t p

i=1

i

‚

i

iỴI

là t p

óng. Khi ú, m i
ng

D
X ổỗ I
ố iẻI

ta suy ra r ng

I
iẻI

i

l t p

i

nh lớ 1.4.2 v

ử= (
ữ U
ứ iẻI



i

ng th c sau

)

g.

1.5.3. B đề
Hình cầu đóng là tập hợp đóng.
Chứng minh. Gi

Bxr

B[ x, r ] là t p

T

ng. Th t v y, gi

d ( x, y) > r. Bây gi , n u ta

s

inh r ng

y Ỵ X ‚ B[ x, r ]. Khi

t

d = d ( x, y) - r ,
thì ta suy ra r ng d > 0.

hoàn thành ch ng minh ra ch c n ch ng t r ng

ó,


111

yd ÌX‚
zỴ

d

xr

d y z d x y £d x z +d y z

d x z ³d x y -d y z >d x y + r -d x y =r

zÏ x r

zỴX ‚

xr

1.5.4. Đ nh lí
Giả sử X là khơng gian metric và

là một tập con của X. Khi đó,

tập con đóng của X khi và chỉ khi với mọi dãy
u có

Ì

hội tụ đến x Ỵ X ta

Ỵ

n óng c a X, { n } Ì

Chứng minh. 1

Ỵ . Th t v y, gi s ngược lại rằng

xn ® x. Ta ch ng minh r ng

kéo theo xỴ

‚ . B i vì

‚

M t khác, vì xn ® x nên t n t i

‚ .
sao cho

d ( xn , x) <

1
v i m i n ³ n0 .
n

ó, ta suy ra
xn Î B ( x, r ) v i m i n ³ n0 .

i u này ch ng t r ng
xn Ỵ

\

và

Ï ,

n t i r > 0 sao cho

là t p

x Ỵ B( x, r ) Ì

T

n

là

v i m i n ³ n0 ,


111

đ

Ỵ

D

. Gi s m i dãy { n } Ì

n
Ta ch ng minh r ng
ơng là t p

u có

Ỵ .

on óng c a X. Th t v y, gi s ngược lại rằng

n óng c a X. Khi ó,

Suy ra t n t i xẻ

m xn đ x ta





khụng l t p on m c a X.

không là i m trong c a

B ( x, ) Ç

‚ . B i th ,

ạ ặ v i m i r > 0.

Do ú,
ổ 1ử
Bỗ , ữ ầ
ố nứ

th a món d ( xn , x) < 1 / n, kéo theo xn ® Ï .

thu n v i gi thi t i u ki n
1.6. PH

.

, t n t i xn Ỵ B ( x,1 / ) Ç . Nh v y, ta thu

B i th , v i m i
dãy { n } è

ạặ v im i

TRO

. Do v y,

c

i u này mâu

nh lí ược chứng minh.

VÀ BIÊ C A MỘT TẬP HỢP

1.6.1. Định nghĩa
Giả sử X là không gian metric, x Ỵ X và A Ì X . Khi đó,
(1) x được gọi là điểm trong của A n u A là lân c n c a x. T p
ng c a A

c g i là phần trong c a A và

c ký hi u là Int A.

(2) x ược gọi là điểm ngoài của A n u X \ A là lân c n c a x. T p
ngoài c a A
x ượ

ọ

c g i là phần ngoài c a A và ký hi u là

điểm biên ủ A n u nó khơng là i m trong c ng

khơng là i m ngồi c a A. T p
A

A

¶A

A

biên


111

1.6.2. B đề
Giả sử A, B là các t p con c a khơng gian metric X. Khi đó, các khẳng
định sau là đúng.

1 IntA là tập hợp mở lớn nh t n m trong A.
Nếu A Ì B thì IntA Ì IntB
A là tập hợp mở khi và chỉ khi IntA = A.

Int IntA = IntA
Int A Ç B = IntA Ç IntB
IntA È IntB Ì Int A È B
Chứng minh. 1
11

ả ử AÌ X

ướ

ứ

đ
inh rằng IntA là t p

x Ỵ IntA

A. Do ó, t n t i r > 0 sao cho

x Ỵ B( x, r ) Ì A.
Theo B

1.4.3, m i hình c u m là t p

Bxr

nó, kéo theo m i i m c a B( x, r ) là i m trong c a A. Do
v y,

x Ỵ B( x, r ) Ì IntA.
T ch ng minh trên ta suy ra r ng IntA là t p
1

inh r ng Int A là t p

Th t v y, gi s U là t p

nh t n m trong A.

ong A. Khi ó, vì U là t p
ong c a U, kéo theo nó là i m trong c a A.

Suy ra U Ì IntA. Nh v y, IntA là t p

nh t n m trong A.


111

x Ỵ IntA

ả ử B

đ x

đ

A. Suy ra t n

t i r > 0 sao cho

x Ỵ B( x, r ) Ì A.
M t khác, vì A Ì B nên

x Ỵ B( x, r ) Ì B.
Do ó, x là i m trong c a B, ngh a là x Ỵ IntB. Nh v y, IntA Ì IntB.
(3) Gi s A là t p
(3.1)
A

n c a X. Khi ó,

i u ki n c n. Gi s A là t p

u là i m trong c a A. B i th , A = IntA.
(3.2) Đi u ki n

. Gi s

A = IntA. Khi ó, nh kh ng

nh (1) ta suy

ra A là t p on m c a X.
(4) Suy tr c ti p

ng

(5) Gi s A, B là các t p

nh (3).
n c a X. Khi ó,

(5.1) Trước tiên ta chứng minh rằng

IntA Ç IntB Ì Int ( A Ç B).
Th t v y, vì

IntA Ì A; IntB Ì B
nên ta suy ra r ng
IntA Ç IntB Ì A Ç B.

M t khác, theo kh ng

nh (1) và

nh lí 1.4.2 ta suy ra IntA Ç IntB là t

ong A Ç B. H n n a, l i theo kh ng
t p

nh t n m trong A Ç B. Do ó,

nh (1), Int ( A Ç B) là

111

ntA Ç IntB Ì A Ç B

ờ

B

ứ

inh rằng

Int ( A Ç B) Ì IntA Ç IntB.
Th t v y, vì A Ç B Ì A; A Ç B Ì B nên nh kh ng

nh (2) ta suy ra r ng

Int ( A Ç B) Ì IntA; Int ( A Ç B) Ì IntB.
Do ó, ta thu

c

Int ( A Ç B) Ì IntA Ç IntB.
T (5.1) và (5.2) ta suy ra b

c ch ng minh.

(6) B i vì

A Ì A È B; B Ì A È B

nên nh kh ng

nh (2) ta suy ra r ng

IntA Ì Int ( A È B); IntB Ì Int ( A È B).
Nh v y, IntA È IntB Ì Int ( A È B).
1.7. BAO ĐÓ G C A MỘT TẬP HỢP
1. .1. Định nghĩa
Gi s A là m t t
n óng ch a A

on c a không gian metric X. Giao c a t t c các t

c g i là bao đóng c a A. Ký hi u A.

1. .2. Bổ đề
Giả sử A, B là các tập con của không gian metric X. Khi đó, các khẳng
định sau là đúng.
(1) Bao đóng của A là tập con đóng nhỏ nhất chứa A;


111

ếu A Ì B thì A Ì B

Ằ B = Ằ B
BÌ B
Chứng minh. 1
(1.1) Nh

ả ử A là t

on c a khơng gian metric X. Khi ó,

nh lí 1.5.2 ta suy ra A là t

(1.2) Bây gi , ta ch ng minh r ng A là t
Th t v y, gi s

n óng ch a A.
n óng nh nh t ch a A.

n óng c a X ch a A. Khi ó, g i U là h
n óng c a X ch a A. Suy ra F ÎU . H n n a, theo

g m t t c các t

nh

ngh a c a bao óng ta có
A = ầ{E : E ẻ U } è F .

i u này ch ng t r ng A là t
(2) Gi s A, B là các t
U, V l n l

on óng nh nh t ch a A.
on c a khơng gian X th a mãn A Ì B. G i
n óng ch a A và ch a B. B i vì A Ì B

t là h t t c các t

nên V Ì U , kéo theo
A = Ç{U : U ẻ U } è ầ{V : V ẻ V } = B.

(3) Ta ch ng minh A È B = A È B.
(3.1) Tr
kh ng

c tiên ta ch ng minh r ng A È B Ì A È B. Th t v y, theo

nh (1) ta có

A Ì A, B Ì B,
kéo theo A È B Ì A È B. L i theo kh ng
nh nh t ch a A È B nên ta suy ra

nh (1), A È B là t

on óng


111

Ằ BÌ Ằ B
B

ờ

ứ

inh rằng

A È B Ì A È B.
Th t v y, b i vì

A Ì A È B, B Ì A È B
nên theo kh ng

nh (2) ta suy ra r ng

A Ì A È B, B Ì A È B.
Nh v y, ta có

A È B Ì A È B.
(4) Ta ch ng minh r ng

A Ç B Ì A Ç B.
Th t v y, theo kh ng

nh (1), ta có
A Ì A, B Ì B ,

kéo theo A Ç B Ì A Ç B. Cu i cùng, l i theo kh ng

nh (1), A Ç B là t

nh nh t ch a A Ç B nên ta suy ra r ng

A Ç B Ì A Ç B.

1.8. KHÔ

IAN METRIC

YĐ

1.8.1. Đ nh ngh a
Gi s X là m t khơng gian metric X. Khi ó,
(1) { xn }

c g i là dãy Cauchy n u lim d ( xn , xm ) ® 0.
m , n ®¥


111

đượ
X

ọ

đầy đủ n u m i dãy Cauchy trong

uh it .
1.8.2. Nh n

t

M i dãy h i t trong không gian metric
chi u ng

u là dãy Cauchy. Tuy nhiên,

c l i nói chung là khơng úng.

1.9. NH Ạ LI N T C TR N KHÔ

IAN METRIC

1.9.1. Đ nh ngh a
Gi

X,d) và (Y , ) là hai không gian metric và ánh x

s

f : ( X , d ) ® (Y , ). Khi ó,
(1) f

c g i là ánh x liên t c tại x0 Ỵ X n u v i m i

d > 0 sao cho v i m i x Ỵ X mà d ( x, x0 ) < d , ta

> 0, t n t i

u có

( f ( x ), f ( x0 )) < .

(2) f

c g i là liên tục trên X (hay liên tục) n u nó liên t c t i m i

i m c a X.
1.9.2. Đ nh
Giả sử f : X đ Y l mt ỏnh x v x ẻ X . Khi đó, ánh xạ f liên tục tại
điểm x khi và chỉ khi với mọi dãy { xn } Ì X mà xn ® x ta

u có

f ( xn ) ® f ( x ).

Chứng minh. (1)

i u ki n c n. Gi s

{xn } Ì X và xn ® x. Khi

ó, v i m i

r ng f là ánh x liên t c t i x,

> 0, t n t i d > 0 sao cho n u

d ( y, x) < d , thì
d ( f ( y), f ( x)) < .


111

xn ® x

n tại

sao cho

d ( xn , x ) < d với mọi n ³ n0 .

Do đó,
d ( ( xn ), ( )) <

Như v y,
(2)

với mọi n ³ n0 .

( xn ) ® ( ).

i u ki n

. Gi s m i dãy { xn } trong X mà xn ® x ta

u có

( xn ) ® ( ). Ta ch ng minh r ng f liên t c t i x. Th t v y, gi s ngược lại

rằng f không liên tục tại x. Khi đó, t n tại

> 0 sao cho với mọi d > 0, t n

tại xd Ỵ X sao cho
d ( xd , x ) < ; d ( ( xd ), ( )) ³ .

, t n t i xn Î X sao cho

Do đó, với m i

d ( xn , x) < ; d ( ( xn ), ( )) ³ .

Nh v y, ta

c dãy { xn } h i t

n f(x) trong

n x trong X nh ng { ( n )} không h i t
ng minh.

1.9.3. Đ nh lí
Giả sử X, Y là các khơng gian metric và f : X ® Y là một ánh xạ. Khi đó,
các khẳng định sau là tương đương.
(1) f là ánh xạ liên tục;
(2) f -1 (G ) là tập con mở trong X với mọi tập con G mở trong Y;
(3) f -1 (G ) là tập con đóng trong X với mọi tập con G đóng trong Y.