DeDA vao 10 chuyen Toan Hai Duong0910

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Sở giáo dục và đào tạo

<b>HảI dơng</b>

<b>Kú thi tun sinh líp 10 THPT chuyên</b>
<b>nguyễn trÃi - Năm học 2009-2010</b>

<b>Môn thi : toán </b>
<i><b>Thời gian làm bài: 150 phút</b></i>
<b>Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009</b>

<i>(§Ị thi gåm: 01 trang) </i>
<b>Câu I </b><i><b>(2.5 điểm):</b></i><b> </b>

1) Giải hệ phơng trình:

   



 



2 2

2

x y xy 3
xy 3x 4

2) Tìm m ngun để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên:
4x2 4mx2m2 5m 6 0

<b>Câu II </b><i><b>(2.5 điểm): </b></i>

1) Rót gän biĨu thøc:









 

    

 

 



 

3 3

2

2

2 4 x 2 x 2 x

A

4 4 x _víi2 x 2

2) Cho trớc số hữu tỉ m sao cho 3m là số vơ tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để:

3 2 3

a m b m  c 0
<b>Câu III </b><i><b>(2.0 điểm):</b></i><b> </b>

1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) víi hƯ sè cđa x3_{lµ một số nguyên dơng vµ biÕt}

 

f(5) f(3) 2010_{. Chøng minh rằng:}f(7) f(1) _{là hợp số.}

2) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc:

 2   2 

P x 4x 5 x 6x 13
<b>C©u IV</b><i><b> (2.0 điểm):</b></i>

Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lợt là hình chiếu vuông
góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E sao cho

DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho DMK NMP . Chøng minh r»ng:

1) MD = ME

2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đờng tròn bàng tip gúc
DAK ca tam giỏc DAK.

<b>Câu V</b><i><b> (1.0 điểm):</b></i>

Trờn ng tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B
và D thuộc đờng trịn đó để chu vi tứ giác ABCD cú giỏ tr ln nht.

<i>---Hết---Họ và tên thí sinh : ...Số báo danh :...</i>
<i>Chữ kí của giám thị 1 : ...Chữ kí của giám thị 2:...</i>

<b>H</b>

<b> ớng dẫn chấm</b>

Câu Phần nội dung Điểm

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

câu I
<b>2,5 điểm</b>
1)
1,5điểm
  

 


2 2
2

x y xy 3 (1)
xy 3x 4 (2)

Từ (2)  x _{0. Từ đó}

2
4 3x
y
x



, thay vµo (1) ta cã: 0.25

2

2 2

2 4 3x 4 3x

x x. 3

x x

   

_ _  

  0.25

 4 2

7x  23x 160 _0.25

Giải ra ta đợc

2 2 16

x 1 hc x =
7



0.25

Tõ

2

x  1 x 1 y1_;

2 16 4 7 5 7

x x y

7 7 7

    

0.25

VËy hÖ cã nghiÖm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1);

 _ 

 

 

 

4 7 5 7
;
7 7
;
_ 
 
 
 

4 7 5 7
;

7 7

0.25

2)

1,0®iĨm

Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x'0 0.25

m 5m 6 0 (m 2)(m 3) 0

        _{. V× (m - 2) > (m - 3) nªn:}

x' 0

 _{ } _m_ ₂__{0 vµ m}_ ₃_₀ _ ₂__m__{3, mµ m}__Z

 _{m = 2 hc m = 3.} _0.25

Khi m = 2  x'_{= 0} _{x = -1 (tháa m·n)}

Khi m = 3  x'_{= 0} _{x = - 1,5 (lo¹i).} 0.25

VËy m = 2. _0.25

câu II

<b>2,5 điểm</b>

1)
1,5điểm

Đặt a 2x; b 2 x (a, b 0)

2 2 2 2

a b 4; a b 2x

     0.25



3 3







_

2 2

_

2 ab a b 2 ab a b a b ab

A

4 ab 4 ab

     

  

  0.25



 







2 ab a b 4 ab

A 2 ab a b

4 ab

  

    

 0.25





A 2 4 2ab a b

    _0.25



2 2





 

 



A 2 a b 2ab a b a b a b

       

0.25

2 2

A 2 a b 2x A x 2

      0.25

2)
1,0®iĨm

3 2 3

a m b m  c 0₍₁₎
Gi¶ sư cã (1)

3 2 3

b m c m am 0 (2)

   

Tõ (1), (2)  (b2 ac) m3 (a m2  bc) 0.25
NÕu a m2  bc0

2
3

2
a m bc
m

b ac





_{là số hữu tỉ. Trái với giả thiết!}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2 3

2 2

b ac 0 b abc

a m bc 0 bc am

    

 

 _  _

  

 

 

3 3 3

b a m b a m

    _{. NÕu b}__{0 th×}

3 b

m
a

là số hữu tỉ. Trái với giả

thit!  a 0;b0. Từ đó ta tìm đợc c = 0. 0.25
Ngợc lại nếu a = b = c = 0 thì (1) ln đúng. Vậy: a = b = c = 0

0.25

câu III

<b>2 điểm</b>

1)

1,0điểm

Theo bài ra f(x) có dạng: f(x) = ax3_{+ bx}2_{+ cx + d với a nguyên dơng.}

0.25
Ta cã: 2010 = f(5) - f(3) = (53_{- 3}3_{)a + (5}2_{- 3}2_{)b + (5 - 3)c}

= 98a + 16b + 2c  16b + 2c = (2010- 98a) 0.25
Ta cã f(7) - f(1) = (73_{- 1}3_{)a + (7}2_{- 1}2_{)b + (7 - 1)c}

= 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c)

= 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)3 0.25
Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 . Vậy f(7)-f(1) là hợp số

0.25

2)

1,0điểm

2 2   2 2

P x 2 1 x 3 2

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) 0.25
Ta chứng minh đợc: 



  











  

2 2

AB x 2 x 3 1 2 25 1 26










2 ₂

OA x 2 1

, 







2 ₂

OB x 3 2

0.25
Mặt khác ta có: OA OB AB









 x 2 212  x 3 2 22  26

0.25
DÊu “=” x¶y ra khi A thuéc đoạn OB hoặc B thuộc đoạn OA

x 2 1

x 7

x 3 2 _{.Thư l¹i x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn}

OB. Vậy MaxP 26khi x = 7. 0.25

câuIV

<b>2 điểm</b>

1)

0,75điểm

Ta dễ dàng chứng minh tứ giác
MBAN nội tiếp MAB MNB ,

MCAP néi tiÕp  CAM CPM . _0.25
L¹i cã BNM CPM

(cïng phơ gãc NMP)

 

 CAMBAM₍₁₎ _0.25
Do DE // NP mặt khác

MANP MADE (2)
Từ (1), (2) ADE cân tại A

_{MA là trung trực của DE}

 _{MD = ME} _0.25

K

E

B
C

A
N

M

P

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2)

1,25®iĨm

K

E

B
C

A
N

M

P

D

Do DE//NP nên DEK NAB , mặt khác tứ giác MNAB néi tiÕp nªn:

 _ _ 0

NMB NAB 180  NMB DEK 1800 0.25
Theo gi¶ thiÕt DMK NMP  DMK DEK 1800

_{Tứ giác MDEK nội tiếp} _0.25

Do MA là trung trùc cña DE MEAMDA _0.25

 MEA MDA   MEK MDC  . 0.25
V× MEK MDK MDK MDC DM là phân giác cña gãc CDK, kÕt

hợp với AM là phân giác DAB M là tâm của đờng trịn bàng tiếp góc

DAK của tam giác DAK. 0.25

câu V

<b>1 điểm</b>

D'
B'
A'

O

C
A

B

D

Không mất tổng quát giả sử:ABAC. Gọi B là điểm chính giữa cung

ABC  AB 'CB '

Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA ABBC CA ' 0.25
Ta có: B 'BC B ' AC B 'CA (1) ; B 'CA B 'BA 1800 (2)

B 'BC B 'BA ' 180  0 (3);Tõ (1), (2), (3)  B 'BA B 'BA ' 0.25
Hai tam gi¸c A’BB’ vµ ABB’ b»ng nhau  A 'B 'B ' A

Ta cã  B ' A B 'C B ' A ' B 'C A ' C= AB + BC ( B’A + B’C kh«ng

đổi vì B’, A, C cố định). Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’. 0.25
Hoàn toàn tơng tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung ADC thì ta cũng

cã AD’ + CD’ AD + CD. DÊu “=” x¶y ra khi D trïng víi D’.

 _{Chu vi tø giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các}

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

cung AC ca ng tròn (O)

</div>

<!--links-->