so phuc 2012

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (282.62 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỐ PHỨC

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Khái niệm số phức

Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được 
gọi là số phức.

a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. 
Tập hợp số phức được kí hiệu là C.

Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R⊂C.

Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.
2. Biểu diễn hình học

Số phức z = a + bi

(

a b R, ∈

)

được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ur =

( )

a b, trong
mp(Oxy) (mặt phẳng phức).

a
b

x
O

M (a,b)

Trục thực

Trục ảo 
VD Tìm phần thực vào ảo của các số phức sau :

a) 1 3 . Giải : ...

2 2

z= − + i
i

b) z= −8 7 Giải : ...
c) z= − 7i Giải : ...
d) z=12 Giải : ...
e) z= −2i 6 Giải : ...

3. Hai số phức bằng nhau

a bi a' b'i

a = a'

(

, , ', '

)

b = b'

a b a b

R

⎧

+

=

+

⇔

⎨

∈

⎩

4. Cộng và trừ hai số phức

(

' '

) (

a bi+ + a b i+ = a a+ + b b i+ '

)

9 a bi+ −

(

a b i'+ '

) (

= a a− '

) (

+ −b b i'

)

9 Số đối của z = a + bi là – z = -a – bi 
5. Nhân hai số phức

(

) (

'+ba i

)

ắ a bi+ ì a b i'+ ' = aa bb'− ' + ab '

)

i

)

i

¾ k a bi

(

)

=ka kbi k R+

(

∈

)

VD Thực hiện các phép tính :

(

3 5− i

)

(

2 4+ i

) (

+ 4 5+ i

) (

− −5 7 = ………..

b) =………..………

………..………

(

) (

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

i i

(

)

=………..………

………..………..………..

(

)

2 3− i − −5 4 .

d) i2008+i2009+i2010= ………..………..

6. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là

z a bi

= −

z z= z z± = ±' z z'

. ' . ' ;

' '

z z
z z

z z =z z ⎛ ⎞⎜ ⎟= ;
⎝ ⎠

2 2

z z a= +b
z là số thực ⇔ =z z z là số ảo ⇔ = −z z

VD Tìm số phức liên hợp của : a) 2 3i+ . Giải : ...
b) 3− 7i. Giải : ...
c) 3i. Giải : ...
d) . Gi3 ải : ...

7. Modul của số phức
Cho số phức z = a + bi

2 2 .

z = a +b = z z = OMuuuur z ≥ ∀ ∈0, z C; z = ⇔ =0 z 0
. ' . '

z z = z z

' '

z
z

z = z z − z' ≤ ±z z' ≤ +z z'

VD tính mô dul của các số phức sau : a) 2 3i+ . Giải : ...

b) 3− 7i. Giải : ...
c) 5− 3i Giải : ...
d) 4− 3i Giải : ...
e) 7i Giải : ...

8. Chia hai số phức 1 1 2 1 2
2 2 2 2

.

z

z z

z

=

z z

=

z

nhân tử và mẫu cho liên hợp phức của z2

VD : a) 2
3 4

i
i
+

+ =……….

b) 8 3 =……….

i
i
− −

−

c) 1 =……….

1−i

d) 2 3 =……….

1 3

i
i
+
+

9. Phương trình bậc hai

( )

2 0 *

Az +Bz C+ = (A, B, C là các số phức cho trước, A≠0)
Cơng thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực
Nếu z0∈C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là nghiệm của (*)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

0
a) x2+2x+ =5 .

Giải ……….………

……….………
b) x2−4x+17= .

Giải ……….………

……….………
c) x2−3x+ =3 .

Giải ……….………

……….………
d) x2+ =4 0.

Giải ……….………

……….………
e) z2+ + =z 5 0

Giải ……….………

……….………

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI

Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i)

Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức

(

− +1 i

) (

3− 2i

)

Bài 3: (ĐH khối A 2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết z=

(

2+i

) (

2 1− 2i

)

ĐS: Phần ảo của số phức z bằng: − 2.

Bài 4: (Cao đẳng 2010) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

(

)

. Tìm phần thực
và phần ảo của z.

(

)

(

2 3− i z+ +4 i z= − +1 3i

)

z

Bài 5: (Cao đẳng 2009) Cho số phức z thỏa mãn

(

)

. Tìm phần thực và phần

ảo của z.

(

)

(

)

1+i 2−i z= + + +8 i 1 2i

Dạng tìm mơđun của số phức

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn

(

)

. Tìm mơđun của số phức

3
1 3i
z

1 i

−
=

−

z iz

+

Giải: Ta có:

(

1− 3i

)

3 =−8 Do đó 8 4 4 4 4
1

z i z

i i

−

= = − − ⇒ = − +
−

(

)

4 4 4 4 8 8

z iz i i i i

⇒ + = − − + − + = − − Vậy z iz+ =8 2.

Bài 2: Tìm mơđun của số phức (1 )(2 ). ĐS:
1 2

i i
z

i
+ −
=

+ z = 2.

Bài 3: Tìm mơđun của số phức ĐS:

2 2 2

( ) 2

x y i xy
z

x y i xy
+ +
=

− + z =1.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

ỏa mãn:

Bài 1: (ĐH Khối D - 2010) Tìm số phức z th z = 2 và là số thuần ảo.

ìm số ph ỏa m

z

ĐS : 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i.

(

)

z− +i = 0 và z z. 2

Bài 2: (ĐH khối B - 2009) T ức z th ãn: = 5.
ĐS : số phức cần tìm là: z=3 4+ i hoặc z=5

Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z2+ z =0

Giải: Gọi z = x + yi

(

x R y R∈ , ∈

)

, khi đó

(

)

2 0 2 2 0

z + = ⇔z x yi+ + x +y = ⇔

(

x2−y2+ x2+y2

)

+2xyi=0 2 2 2 2 0

2 0

x y x y

xy
⎧ − + + =
⎪
⇔ ⎨
=
⎪⎩

2
2
0
0
0
0
x
y y
y
x x
⎡⎧⎪ =
⎢⎨− + =
⎪
⎢⎩
⇔ ⎢ =
⎧⎪
⎢⎨
⎢ + =

(

)

(

)

0
1 0
0
1 0
x
y y
y
x x
⎡⎧⎪ =
⎢⎨ − =
⎢⎪⎩
⇔ ⎢ =
⎧⎪
⎢
⎨
⎢ + =

(

)

0
0
1
0

0 1 0

x
y

y

x do x
⎡⎧ =
⎢⎪ =⎨⎡
⎢
⎢
⎪
⎢ =
⇔⎢⎩⎣
⎢⎧⎪ =
⎢
0, 0
0, 1
0, 1
0, 0
x y
x y
x y
x y
⎡ =⎡ =
⎢⎢ = =
⎢⎢
⇔
⎢⎢ =⎣ = −
⎢
= =
⎢⎣
⎪⎩

⎣ ⎣⎪⎩ ⎢⎣⎪⎩⎨ = + >

Vậy các số phức cần tìm là: z=0;z i z= ; = −i

Giải phương trình trên tập hợp các số phức

i n

Bài 1: (Cao Đẳng - 2010) Giả phươ g trình z2− +

(

1 i z

)

+ + =6 3i 0 trên tập h ức.

Bài 2:(ĐH kh G

ợp các số ph

ối A - 09) ọi z1 và là hai nghiz2 ệm phức của phương trình z2+2z+10 0= . Tính giá trị của 
biểu thức A= z12+ z2 2.

Bài 3: (CĐ – 2009 ) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 4z−3 7+ i z 2i
z i = −

−

ĐS : Điều kiện: 1z≠ − ; Phương trình có hai nghiệm là: z= +1 2i và z= +3 .i
Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích)

Bài 1: (Khối D- 2009) Trong mặt phẳng toạđộ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn

điều kiện z− −

(

3 4i

)

=2.

ĐS : Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2.

Bài 2: (ĐH Khối B- 2010) Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa
mãn: z i− =

(

1+i z

)

ĐS : Tập hợp các điểm biểu diễn các s

ài t

ậ

p T

ự

ố phức z là đường trịn tâm I(0, -1), bán kính R = 2.

a) b)

B

Luy

ệ

n

Bài 1. Xác định phần thực và phần ảo của các số phức:

3 5

z= − + i z=− 2i c) z=12 d) z=0

Bài 2. Biểu g tọa độ.

3 − +3 i

diễn các số phức sau trên mặt phẳn

2 3i+ −2i

Bài 3. Cho z=

(

2a− +1

) (

3b+5

)

i với : a) z là s

Bà biết:

a b R∈ . Tìm các số a, b để ố thực b) z là số thuần ảo

i 4. Tìm các số thực x và y,

(

2x+ + = − +1

)

5i 4

(

3y−2

)

i b)

(

x− 2

)

−4i=3−

(

y+1

)

i c )

(

1−3x

) (

+ y+1

)

i=

(

x+y

) (

− 2x+1

)

i

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

phức z thỏa mã trường hợp:
)

Bài 6. Tìm số n từng

a z =2 và z là số thuần ảo. b) z =5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.

7. Tính

Bài z z z z z+ ', − ', . 'z với:

a) z= +5 2 , ' 4 3i z = + i b) z= −2 3 ,i z' 6= +4i

c) z= − −4 7 , ' 2 5i z = − i d) z= +1 i 3 , 'z = − 3 2+ i

ện các phép tín : b)

c hiện các phép tính sau

Bài 8. Thực hi h a)

( )

1−i c)

Bài 9. Thự :

(

)

2 3+ i

(

)

1+i +3i

A= 1

(

1+i

)(

4−3i

)

i

5 6
4 3

i

B 7 2

8 6

i
C

i

−
=

−
− +

=
+

Bài 10. Thực hiện các phép tính sau:
a) 1

2 3− 1 3

i
−

i b)

2 2

c) 3 2i

i
−

d) 3 4

i
i
−

−

Bài 11. Cho 1 3

2 2

z= − + i. Hãy tính 1, ,z z2 ,

( )

z 3 , 1+z z2

z

Bài 12. Th

+ .

ực hiện phép tính:
a)

33
1+i
⎛ ⎞

7
7

2i⎜⎝ i ⎟⎠ ⎜⎝1− ⎟⎠

1 1

A= ⎛i − ⎞ b) B=

(

1 i

) (

10 2 3i

)(

2 3i

)

1
i + − + + − +i
ểm biể diễn các số phức z thỏa điều kiện:
c) C= + + + +1 1

(

i

) (

1 i

) (

2+ +1 i

)

3+ + +...

(

1 i

)

Bài 13. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các đi u

a) Phần thực của z bằng 2. b) Phần ảo của z thuộc khoảng

(

−1;3

)

.
c) Phần thực và phần ảo của z đều ht uộc đoạn

[

−2; 2

]

Bài 14. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện:
a)

z =2. b) z ≤3. c) z− +1 i =2 d) 2+ = −z 1 i

Bà g trình sau trên tập hợp số phức:

a) )

(

i 15. Giải các phươn

i b

2z+ = +3i 7 8 1 3− i z

) (

+ 4 3+ i

)

= −7 5i

(

1 3 4

(

1 2i

)

5 6i

i− + = −

)

i z i z

+ + = − d) z

2 3

Bài 16. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức: +

a) z2+2z+ =5 0 b) z2−4z+20 0= c) −3z2+ − =z 5 0

f) z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
Giải các phương trình

d) 4z2+ =9 0 e) z3 = 18 + 26i

Bài 17. sau trên tập hợp số phức:

a) z3− =8 0 b) z3+4z2+6z+ =3 0

c) z4− +z3 6z2−8z−16 0= d) z4−z2−12 0=

Bài 18. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5

Bài 19. Tìm nghịch đảo của số phức z biết : a)z 3 4i b)z 3 4i

c)z 5 2i d)z 5 2i

= + = −

= − = +

−

Bài 20. Tìm hai số phức cho biết 2

2 2
1

z z 5 2

z z 4 i

⎧ + = +
⎪

⎨

1+ 2 = −

⎪⎩

Bài 21. Tìm hai số phức biết tổng bằng 4 i− và tích bằng 5 1 i

( )

− .

m c điều

â
1) |z +

Bài 22. Xác định các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn ột trong cá
kiện sau đ y:

+ 1 – i| = 2; 3) 2|z – i| = |z –z

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

4) |z2 – z2| = 4 5) z = − +z 3 4i 6) z i 1

z i

− =
+

ĐS: 1) hai đường thẳng song song với trục tung: x 1; 7.

2 x 2

= = −

ẳn 1± 3.

2) hai đường th g song song với trục hoành y =
2
2

3) parabol y = x . 4)

4 hai nhánh Hypecbol: xy = 1 và xy = –1.

5) tập hợp các điểm cần tìm là đường thẳng có phương trình 6x+8y=25.

6) tập hợp các điểm cần tìm

GIỚI THI ỘT SỐĐỀ KIỂM TRA

Câu 1 (4 điểm). Thực hiện các phép tính sau:
là trục thực Ox.

ỆU M

ĐỀ SỐ 1

(

3 2− i

) (

⎣⎡ 4 3+ i

) (

− +1 2i

)

⎤⎦ b)

(

2 5− i

)

+1+i 2

5 4i− 2+i 3

âu 2 (3 điểm).Tìm số phức z, biết

C z =2 5 và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.

ĐỀ S 2
Câu 1 (4 điểm). Thực hiện các phép tính sau:

Câu 3 (3 điểm). Giải phương trình z4+z2− =3 0

Ố

(

2 3 1 2− i

)(

+ i

)

+ 4−i b)

3 2+ i

(

)(

)

3 4i
1 4i 2 3i

−

− +

(

1+i z

) (

+ 2

)(

3i

)

= +2 i

Câu 2 (3 điểm). Giải phương trình −i 1+ 3

a chúng bằng 2 và tích của chúng bằng 3.

ĐỀ SỐ 3 
Câu 3 (3 điểm). Tìm hai số phức biết tổng củ

Câu 1 (2 điểm). Thực hiện các phép tính sau:

(

1−i

)(

5 3+ i

)

3 2i
−

−

đ . Tìm mơđun của số phức

)

Câu 2 (2 iểm)

(

5 3 1+ i

)( ) (

− − +i 1 i 3.

Câu 3 (2điểm). Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức:

p điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng

(

)

(

)

1 3− i x y+ 2−i = −4 9i.

Câu 4 (2 điểm). Giải phương trình sau trên tập số phức:

2 6 34

z − z+ =

Câu 5 (2 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, h ợ

thức

ãy tìm tập h

2
z i+ = .

ĐỀ Ố 4 
Câu 1 (1 điểm). Tìm số phức liên hợp của z = (1 + i)(2 + 3i)

S

3 4+ i

Câu 2 (2 điểm). Tìm mođun của số phức z =
2−i

Câu 3 (2 điểm). Chứng minh rằng z =

(

1+i

)

2010 là số thuần ảo

điểm). Tìm m ặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn | z – i| = 1

điểm). Gi

Câu 4 (2 tập hợp điể trên m

Câu 5 (3 ải các phương trình:

2z z+ = +3 i

a) 4

b)
c)

2 5 0

z + + =z

2 (2 3 ) 4 2 0

</div>

so phuc 2012

<b>SỐ PHỨC </b>

(

)

( )

a bi a' b'i

a = a'

(

, , ', '

)

b = b'

<i>a b a b</i>

<i>R</i>

⎧

+

=

+

⇔

<sub>⎨</sub>

∈

⎩

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

)

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

) (

(

) (

) (

(

)

(

)

<i>z a bi</i>

= −

.

.

.

<i>z</i>

<i>z z</i>

<i>z z</i>

<i>z</i>

=

<i>z z</i>

=

<i>z</i>

( )

<b>II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI </b>

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(