Một số phương pháp giải các hệ phương trình lượng giác hai ẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ THỊ KIM OANH

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI CÁC
HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC HAI ẨN

Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Đà Nẵng - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN

Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực
và chưa từng được ai cơng bố trong bất kì cơng trình nào khác.
Đà Nẵng, ngày 12 tháng 09 năm 2013
Người cam đoan

Võ Thị Kim Oanh

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề tài ............................................. 1
3. Phƣơng pháp nghiên cứu ..................................................................... 1
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ........................................................ 1
5. Nội dung của luận văn ......................................................................... 1
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC ............... 3
1.1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ LƢỢNG GIÁC ............................. 3
1.2. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VÀ CÁC BỔ ĐỀ CẦN SỬ DỤNG ........ 4
1.3. CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN ...................................7
1.4. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC ..................... 9
CHƯƠNG 2. CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN ..... 10
2.1. HỆ PHƢƠNG TRÌNH NỬA LƢỢNG GIÁC HAI ẨN ........................... 10
2.2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC HAI ẨN ......................................18
2.2.1. Hệ phƣơng trình lƣợng giác giải bằng phƣơng pháp thế và phƣơng
pháp cộng đại số....................................................................................... 18
2.2.2. Hệ phƣơng trình lƣợng giác giải bằng phƣơng pháp khử sau khi
bình phƣơng và phƣơng pháp đặt ẩn phụ.................................................. 25
2.3. HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC HAI ẨN GIẢI BẰNG PHƢƠNG
PHÁP SO SÁNH ............................................................................................ .38
2.3.1. Sử dụng bất đẳng thức đại số ....................................................... .38
2.3.2. Sử dụng đạo hàm và một số phƣơng pháp khác .......................... .42


CHƯƠNG 3. MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ HỆ LƯỢNG
GIÁC HAI ẨN .............................................................................................. 48
3.1. ỨNG DỤNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ
PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ........ 48
3.2. ỨNG DỤNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH

MỘT SỐ ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
CỰC TRỊ ....................................................................................................... 62
KẾT LUẬN ................................................................................................... 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 75
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ BẢN SAO (bản sao).


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lượng giác là một phần rất quan trọng và là một phần khó trong chương
trình tốn phổ thơng. Ở lớp 10 học sinh đã tiếp xúc với định nghĩa và các
công thức biến đổi lượng giác, lên 11 học sinh vẫn được học về lượng giác
nhưng cao hơn và mở rộng hơn.Tuy nhiên đa số các học sinh đều gặp khó
khăn nhiều trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến lượng giác,
đặc biệt là các hệ phương trình lượng giác hai ẩn.
Hơn nữa hệ phương tình lương giác là một phần rất quan trọng, thường
được đề cập trong các đề thi đại học đồng thời góp phần giải quyết một
số bài tốn phương trình, hệ phương trình đại số khó và chứng minh một
số bất đẳng thức.
Với hy vọng tìm hiểu sâu hơn về hệ phương trình lượng giác hai ẩn, đồng
thời trình bày một số kĩ năng giải tốn cho các bài tốn về hệ phương trình
lượng giác hai ẩn trong chương trình tốn trung học phổ thơng, tơi chọn đề
tài luận văn cho mình là: Một số phương pháp giải hệ phương trình lượng
giác hai ẩn.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu đề tài
Hệ thống một số kiến thức về lượng giác, từ đó trình bày một số phương
pháp giải các hệ phương trình lượng giác hai ẩn, ứng dụng hệ phương trình
lượng giác hai ẩn để giải một số phương trình, hệ phương trình đại số và

chứng minh một số bất đẳng thức trong chương trình tốn phổ thông.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, các
tài liệu tiếng anh, các trang Wed, từ đó trao đổi với thầy hướng dẫn các
kết quả đang nghiên cứu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp giải các phương trình lượng giác hai
ẩn trong chương trình phổ thơng
Nghiên cứu từ các tài liệu về lượng giác
5. Nội dung của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 4 chương
Chương 1: Trình bày sơ lược các kiến thức về lượng giác như: một số


2

định nghĩa, tính chất, các cơng thức lượng giác và các phương trình lượng
giác cơ bản cầ sử dụng
Chương 2: Trình bày các hệ phương trình nửa lượng giác, hệ phương
trình lượng giác hai ẩn và một số phương pháp giải các hệ phương trình
đó
Chương 3: Trình bày ứng dụng của hệ phương trình lượng giác để giải
một số phương trình, hệ phương trình đại số và chứng minh một số bất
đẳng thức
Chương 4: Trình bày ứng dụng Maple để giải một số hệ phương trình
lượng giác


3

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
VỀ LƯỢNG GIÁC
1.1

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC

1.1.1. Bảng lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.
Ta gọi cung có liên quan đặc biệt với cung α là các cung
- Đối với α là: -α
- Bù với α là : π − α
- Hiệu π với α là : π + α
π
π
- Hơn kém với α là : ± α
2
2
Ta có bảng 1.1 sau:
π
π
-α π − α π + α
+α
−α
2
2
cos
cos α -cos α -cos α sin α -sin α

sin α -sin α sin α -sin α

tan α -tan α -tan α tan α
cot α -cot α -cot α cot α

cos α cos α
cot α -cot α
tan α -tan α

1.1.2. Các tính chất cơ bản
Tính chất 1.1
∀α ta ln có −1≤ cos α ≤ 1
∀α ta ln có −1≤ sin α ≤ 1
Tính chất 1.2
sin(α + k2π) = sin α ; cos(α + k2π) = cos α ;
tan(α + k2π)=tan α ; cot(α + k2π)=cot α;
Khi các biểu thức có nghĩa
Tính chất 1.3
sin2 α + cos2 α = 1


4

1.2

CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VÀ CÁC BỔ ĐỀ CẦN SỬ DỤNG

1.2.1. Các công thức lượng giác cần sử dụng
a. Công thức cơ bản:
π
1
(α=

+ kπ; k ∈ Z)
sin2 α + cos2 α = 1; 1 + tan2 α =
cos2 α
2
sin α
1
tan α =
; 1 + cot2 α =
(α=kπ; k ∈ Z)
2
cos α
sin
α
π
(k∈Z)
tan α.cot α = 1 với α=k
2
cos α
cot α =
sin α
b.Công thức cộng
sin (a±b) = sin a.cos b±sin b.cos a
cos (a±b) = cos a.cos b∓cos b.cos a
tan a±tan b
tan (a±b) =
1∓tan a.tan b
c.Công thức nhân
* Công thức nhân đôi
sin 2α = 2sin α.cos α; cos 2α = cos2 α − sin2 α
cos 2α = 2cos2 α − 1; cos 2α = 1 − 2sin2 α

π
2tan α
với
α,
2α=
+ kπ (k∈Z)
tan 2α =
1 − tan2 α
2
* Công thức nhân ba
sin 3α = 3 sin α − 4sin3 α
cos 3α = 4cos3 α − 3 cos α
3tan α − tan3 α
tan 3α =
1 − 3tan2 α
* Cơng thức tính theo t = tan α
2t
1 − t2
sin 2α =
; cos 2α =
1 + t2
1 + t2
2t
π
tan 2α =
;
với
α=
+ kπ (k∈Z)
1 − t2

2
* Công thức hạ bậc
1 − cos 2α
1 + cos 2α
sin2 α =
; cos2 α =
2
2
1
−
cos
2α
tan2 α =
1 + cos 2α


5

d. Các công thức biến đổi
* Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a.cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)]
2
−1
sin a.sin b =
[cos(a + b) − cos(a − b)]
2
1
sin a.cos b = [sin(a + b) − sin(a − b)]
2

* Cơng thức biến đổi tổng thành tích
a+b
a−b
cos a + cos b = 2cos
.cos
2
2
a+b
a−b
cos a − cos b = −2sin
.sin
2
2
a+b
a−b
sin a + sin b = 2sin
.cos
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2cos
.sin
2
2
sin(b±a)
π
tan a±tan b =
với a, b= + kπ (k∈Z)
cos a.cos b

2
sin(b±a)
với a, b=kπ (k∈Z)
cot a±cot b =
sin a.sin b
e. Các công thức bổ sung
√
π
sin a±cos a = 2sin(a± )
4π
√
cos a±sin a = 2cos(a∓ )
4π
√
π
3sin a±cos a = 2sin(a± ) = 2cos(a∓ )
6
3
√
π
π
sin a± 3cos a = 2sin(a± ) = 2cos(a∓ )
3
6
1.2.2. Các bổ đề thường dùng
Bổ đề 1.1. Cho x,y,z là các số dương thỏa: x+y+z = xyz, khi
đó
tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho: x = tan A; y = tan B; z = tan C.
π
Chứng minh. Do x>0; y>0; z>0; nên ∃A, B, C∈(0; ) sao cho:

2



x = tan A


y = tan B



z = tan C
Từ giả thiết: x + y + z = xyz ta có:


6

tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C
⇔ tan A + tan B = tan C(tan A. tan B − 1)
tan A + tan B
= − tan C
⇔
1 − tan A.tan B
⇔ tan (A + B) = − tan C
( Vì giả sử xy = 1, ta có:x + y + z = z ⇒ x + y = 0 ⇔ x = −y.
Khi đó xy = 1⇔x2 = −1 (vơ lý). Vậy xy=1 hay tan A.tan B=1
suy ra 1 − tan A. tan B=0)
Từ đó:
tan (A + B) = − tan C ⇔ A + B = −C + kπ
⇔A + B + C = kπ (k∈Z)

π
Vì A, B, C∈(0; ) nên
2
3π
3π
3
A + B + C∈(0; )⇒0 < kπ <
⇔0(k∈Z)⇔k = 1
2
2
2
Vậy A + B + C = π hay A, B, C là ba góc của ABC nhọn.
Bổ đề 1.2. Cho x,y,z là các số dương thỏa: xy + yz + zx = 1, khi
A
B
đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho: x = tan ; y = tan ;
2
2
C
z = tan .
2
π
Chứng minh. Do x > 0; y > 0; z > 0; nên ∃α, β, γ∈(0; ) sao
2
cho:



x = tanα



y = tanβ



z = tanγ
Ta có:
xy + yz + zx = 1⇔tan α.tan β + tan β.tan γ + tan γ.tan α = 1
⇔tan α(tan β + tan γ = 1 − tan β.tan γ
1 − tan β.tan γ
= cot(β + γ)
⇔tan α =
tan β + tan γ
π
⇔α = − (β + γ) + kπ (k∈Z).
2
Mà
π
π
3π −1
α, β, γ∈(0; ) nên 0 < + kπ <
⇔
< k < 1 (k∈Z)⇔k = 0,
2
2
2
2
π
hay α + β + γ = .

2


7

A B C
π
ABC có A + B + C = π⇔ + + = . Do đó
2
2
2
2

A


x
=
tanα
=
tan


2

B
y = tanβ = tan

2




z = tanγ = tan C
2
Bổ đề 1.3. Cho x, y, z là các số dương thỏa:
x2 + y 2 + z 2 + 2xyz = 1.
Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho:

x = cos A; y = cos B; z = cos C.
Chứng minh.
Ta chứng minh trong tam giác nhọn ABC ln có:
cos2 A + cos2 B + cos2 C + 2cos Acos Bcos C = 1
Thật vậy:
cos2 A + cos2 B + cos2 C + 2cos Acos Bcos C = 1
1
1
⇔ (1 + cos 2A) + (1 + cos 2B) + cos2 C
2
2
+ [cos A + B + cos A − B].cos C = 1

⇔cos (A + B).cos (A − B) + cos2 C + cos (A + B) cos C
+ cos (A − B) cos C = 0
⇔cos(A + B)[cos(A − B) + cosC] + cos C[cos C + cos(A − B)] = 0
⇔[cos(A + B) + cos C].[cos(A − B) + cos C] = 0
π
⇔cos(A + B)+cos C = 0, ( vì cos(A − B)+cos C > 0, ∀A, B, C∈(0; ))
2
⇔ − cos C + cos C = 0 (hiển nhiên đúng).
Do vậy nếu x, y, z là các số dương thỏa: x2 + y 2 + x2 + 2xyz = 1 thì

tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho: x =; y = cos B; z = cos C .
1.3

CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1.3.1. Các phương trình lượng giác cơ bản
u = v + k2π,
sin u = sin v ⇔
(k∈Z)
u = π − v + k2π


8

cos u = cos v ⇔u
= ±v + k2π (k∈Z)
u = π + kπ
2
(k, k ∈Z)
tan u = tan v ⇔
u = v + k π

u = kπ
cot u = cot v ⇔
(k, k ∈Z)
u = v + kπ
Đặc biệt:
π
sin u = 0 ⇔ u = kπ;
cos u = 0 ⇔ u = + kπ

2
π
cos u = 1 ⇔ u = k2π
sin u = 1 ⇔ u = + kπ;
2
π
sin u = −1 ⇔ u = − + k2π; cos u = −1 ⇔ u = π + k2π
2
Chú ý: sin u = 0 ⇒ cos u = ±1 ; cos u = 0 ⇒ sin u = ±1.
1.3.2. Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu
a. sin u + b. cos u = c(a, b=0)
* Phương pháp giải:
√
Chia 2 vế cho a2 + b2 = 0
a
b
Đặt cos α = √
; sin α = √
với α∈(0, 2π)
a2 + b2
a2 + b 2
thì ta được phương trình
c
sin u. cos α + sin u. cos α = √
a2 + b2
c
⇔ sin(u + α) = √
a2 + b2
1.3.3. Phương trình đối xứng theo sinu và cosu

a(sin u + cos u) + b sin u cos u = c
* Phương pháp giải:
√
Đặt t = sin u + cos u với |t| ≤ 2 thì

t2 − 1
sin u cos u =
2
thế vào phương trình ban đầu ta tìm được t; rồi so sánh với điều kiện,
sau đó giải phương trình
√
π
2 sin (u + ) = t ta tìm được u.
4


9

1.3.4. Phương trình đẳng cấp

asin2 u + bsin ucos u + ccos2 u = d
* Phương pháp giải:
π
+ Tìm nghiệm: u = + kπ (k∈Z)
2
+ Chia 2 vế phương trình cho cos2 u = 0 ta được phương trình:

atan2 u + b tan u + c = d(1 + tan2 u)
Đặt t = tan u ta có phương trình:
giải tìm được t sau đó tìm được u.

1.4

(a − d)t2 + bt + c − d = 0

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC

Trong
i)
ii)
iii)
iv)
v)

ABC bất kỳ ta có các bất
√ đẳng thức quen biết sau:
3 3
sin A + sin B + sin C≤
2
A
B
C 3
sin + sin + sin ≤
2
2
2 2
3
cos A + cos B + cos C≤
2 √
A

B
C 3 3
cos + cos + cos ≤
2
2
2
2
A
B
C √
tan + tan + tan ≥ 3
2
2
2


10

CHƯƠNG 2

CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
2.1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH NỬA LƯỢNG GIÁC HAI ẨN

Hệ phương trình lượng giác hai ẩn được xét ở đây là hệ phương
trình gồm có các phương trình lượng giác cơ bản hoặc hệ gồm cả phương
trình trình lượng giác cơ bản và phương trình đại số dạng đơn giản. Tùy
theo cấu trúc từng hệ phương trình mà ta có phương pháp giải phù hợp.

Có thể chia hệ phương trình lượng giác hai ẩn thành hai dạng: dạng nửa
lượng giác và dạng thuần túy lượng giác.
Hệ phương trình nửa lượng giác cơ bản gồm một số dạng chuẩn
sau:


x ± y = ϕ
x ± y = ϕ
a)
; b)
sin x ± sin y = m
cos x ± cos y = m


x ± y = ϕ
x ± y = ϕ
c)
; d)
tan x ± tan y = m
cot x ± cot y = m


x ± y = ϕ
x ± y = ϕ
e)
;
f)
sin x sin y = n
cos x cos y = n



x ± y = ϕ
x ± y = ϕ
g)
;
h)
.
tan x tan y = n
cot x cos y = n
Các hệ trên đều có thể biến đổi thành hệ phương trình lượng giác
đơn giản theo x hoặc y.
Khi giải các hệ phương trình nửa lượng giác cơ bản ta thường
dùng phương pháp thế và sử dụng các phương pháp biến đổi lượng giác để
giải. Có thể nói phương pháp thế là một phương pháp cơ bản trong giải hệ
phương trình nửa lượng giác, thơng thường ta có 3 cách sử dụng phương
pháp này:
+) Thế trực tiếp
+) Biến đổi rồi thế sau
+) Giải tìm nghiệm của một phương trình rồi thế vào phương trinh


11

cịn lại
Ví dụ 2.1. Giải hệ phương trình lượng giác sau:

sin x + sin y = 1
x + y = π .
3
 Bài giải. Hệ tương đương:


x
+
y
x
−
y


2 sin
cos x − y = 1
.cos
=1
2
2
2
⇔
π
π


x + y =
x + y =
3
3


π
x = + k2π
x − y = k2π

6
⇔
⇔
y = π − k2π (k∈Z).
x + y = π (k∈Z)
3
6
Ví dụ 2.2. Giải hệ phương trình lượng giác sau:

π

2x − 3y =
3 √

sin 2x.cos 3y = 3 .
4
 Bài giải. Hệ tương đương:
π

2x − 3y =
3
√
1

 sin (2x + 3y) + sin (2x − 3y) = 3
4
2
π

2x − 3y =

3
√
⇔

 sin (2x + 3y) + sin (2x − 3y) = 3
 2 π

π
π
2x − 3y =
x =
+k
12
4
3
(k∈Z) ⇔
⇔
2x + 3y = kπ
y = − π + k π .
18
6
Bài toán 2.1. Xét hệ phương trình sau:

x − y = π
3
cos2 x + cos2 y = 2m + 1.
√
2
a) Giải hệ phương trình khi m =
.

8
b) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm.

(k∈Z)


12

Bài giải. Ta có

1 + cos 2x 1 + cos 2y
cos2 x + cos2 y = 2m + 1 ⇔
+
= 2m + 1
2
2
1
⇔ (cos 2x + cos 2y) = 2m ⇔ cos (x + y) cos (x − y) = 2m.
2
Vậy hệ phương trình có dạng

x − y = π
3
cos (x + y). cos (x − y) = 2m.
Thế x − y =

π
vào phương trình thứ hai ta nhận được
3
cos (x + y) = 4m.

(2.1)

√
a) Với m =

2
thì
8

√

π
2
⇔ x + y = ± + 2π (k ∈ Z).
2
4
π
Kết hợp với điều kiện x − y = , ta nhận được
3


π
7π


x =
x =
+ kπ
+ kπ

24
24
(k∈
Z
)
và
(k∈Z)
7π
π


y = − + kπ
y = −
+ kπ.
24
24
b) Hệ phương trình có nghiệm khi phương trình (2.1) có nghiệm, tức
1
1
là − ≤ m ≤ .
4
4
(2.1) ⇔ cos (x + y) =

Bài tốn 2.2. Xét hệ phương trình sau:

x + y = a
tan x + tan y = b

5π

và b = 2.
12
b) Xác định điều kiện giữa a và b để hệ phương trình có nghiệm.
Bài giải. Ta có
sin (x + y)
2 sin (x + y)
2 sin a
tan x+tan y =
=
=
.
cos x cos y
cos x + y cos (x − y) cos a + cos (x − y)
a) Giải hệ phương trình với a =


13

Ta viết hệ phương trình đã cho dưới dạng


x + y = a
2 sin a

=b

cos a + cos (x − y)

(2.2)

5π
và b = 2, ta có
12
√
5π
5π π
5π
cos (x − y) = sin
− cos
⇔ cos (x − y) = 2 sin ( − ).
12
12
12 4
Suy ra
√
√
π
2
cos (x − y) = 2 sin ⇔ cos (x − y) =
6
2
π
⇔ x − y = ± + k2π (k ∈ Z).
4
Kết hợp
với
hệ
thức thứ nhất của hệ phương trình (2.2) ta có nghiệm



π
π
x = + kπ
+ kπ
y =
3
12

(k∈Z).
hoặc
π
y = π − kπ
− kπ
y =
3
12
b) Ta có
Hệ thức thứ hai của hệ phương trình (2.2) tương đương với hệ

b cos (x − y) = 2 sin a − b cos a
.
cos (x − y) = − cos a

a) Với a =

Nếu b = 0 thì hệ phương trình
 đã cho có dạng


x+y =a



x + y = a

⇔ x + y = lπ
(m, l ∈ Z).
tan x + tan y = 0



x, y = π + mπ
2
Hệ phương trình có nghiệm khi a = lπ (l ∈ Z).
Nếu b = 0 thì hệ thức thứ hai của hệ phương trình (2.2) tương
đương với hệ

cos (x − y) = 2 sin a − cos a
b
.
(2.3)

sin a = 0
Hệ phương trình có nghiệm khi (2.3) có nghiệm. Do đó


14

a 2 sin a
a
2 sin a

− cos a ≤ 1 ⇔ −2sin2 ≤
≤ 2cos2
b
2
b
2
a
a
.
2 sin cos
a
a
2
2 ≤ cos2
⇔ −sin2 ≤
2
b
2

a
b

tan ≤
2
2
. Với b > 0 thì
.
b

cot ≥ − b

2
2

a
b

tan ≥
2
2
. Với b < 0 thì
.
b

cot ≤ − b
2
2
Bài tốn 2.3. Giải và biện luận hệ phương trình

x − y = a
2(cos 2x + cos 2y) = 1 + 4cos2 (x − y)

−1 ≤

(2.4)

Bài giải. Ta có

(2.4) ⇔ 4 cos (x + y cos (x − y) = 1 + 4cos2 (x − y)
Thế x − y = a vào (2.5), ta thu được
4 cos (x + y) cos a = 1 + 4cos2 a

2
2
⇔ [2
 cos a − cos (x + y)] + sin (x + y) = 0
sin (x + y) = 0
⇔
.
2 cos a = cos (x + y)
Từđó ta nhận được hai hệ
x + y = k2π
x + y = π + k2π
và
cos a = 1
cos a = − 1
2 π
2
. Với a = ± + l2π thì
3


π
π
x − y = ± + l2π
x = ± + (k + l)π
6
3
⇔
(k, l ∈ Z).
x + y = k2π
y = ± π + (k − l)π

6
2π
. Với a = ±
+ n2π thì
3

x − y = ± 2π + n2π
3
hay
x + y = π + k2π

(2.5)


15



π


x = + (k + n)π
x = 5π + (k + n)π
6
6
và
(k, n ∈ Z).
5π
π



y =

y = + (k − n)π
+ (k − n)π
6
6
2π
π
+ n2π thì hệ phương trình vơ
. Với a = ± + l2π và a = ±
3
3
nghiệm.
Bài tốn 2.4. Giải hệ phương trình sau:

sin x = y
(2.6)
sin y = x.
Bài giải. Trừ hai vế của phương trình, ta có

sin x − sin y = y − x ⇔ sin x + x = sin y + y.
Xét hàm số f (t) = sin t + t xác định trên R. Ta có

f (t) = 1 + cos t ≥ 0, ∀t ∈ R
nên f (t) luôn đồng biến trên R. Do đó, f (x) = f (y) ⇔ x = y. Thay vào
(2.6), ta được sin x = x kéo theo x = 0 là nghiệm. Ta chứng minh x = 0
là nghiệm duy nhất của phương trình sin x = x.
Thật vậy, xét hàm số f (x) = x − sin x. Ta có f (x) = 1 − cos x ≥ 0 ∀x
nên f (x) đồng biến trên R.

Nếu x < 0 thì f (x) < f (0) = 0 nên x < 0 không phải là
nghiệm.
Nếu x > 0 thì f (x) > f (0) = 0 nên x > 0 không phải là
nghiệm.
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x, y) = (0, 0).
Bài tốn 2.5. Giải hệ phương trình

cos x − cos 2y = x − 2y
(2.7)
tan x = 3 tan y.
Bài giải. Hệ thức thứ nhất của hệ phương trình (2.7) được viết
dưới dạng cos x − x = cos 2y − 2y.
Xét hàm số f (t) = cos t − t xác định trên R. Ta có


16

f (t) = − sin t − 1 ≤ 0, ∀t ∈ R
nên f (t) nghịch biến trên R. Do đó f (x) = f (y) ⇔ x = y. Thay vào (2.7),
ta được
2 tan y
= 3 tan y
tan 2y = 3 tan y ⇔
1 − tan2 y
⇔
tan y(1 − 3tan2 y) = 0 (tan y = ±1)
tan y = 0
y = kπ


(k, l ∈ Z).
⇔
1 ⇔
π
tan y = ± √
y = ± + lπ
6
3
 Vậy hệ phương trình
 có nghiệm
π
x = k2π
x = ± + l2π
3
và
(k, l ∈ Z).
y = kπ
y = ± π + lπ
6
Một số bài toán đề nghị.
Bài tốn
 2.6. Giải hệ phương trình sau:
π

x + y =
3
3

2
sin x + sin2 y = .

4
Hướng dẫn: Sử dụng công thức hạ bậc để biến đổi:
1 − cos 2x
1 − cos 2y
sin2 x =
; sin2 y =
2
2
Bài tốn
2.7.
Giải
hệ
phương
trình
sau:

3π

x + y =
4 √

cosx sin y = 2
2
Hướng dẫn: Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos x sin y = [sin (x + y) + sin (y − x)]
2
Bài tốn
hệ phương trình sau:
 2.8. Giải

π
x + y =
3
tanx + tan y = 1
π
π
Hướng dẫn: Đặt điều kiện: x =
+ kπ; y =
+ kπ (k∈Z)
2
2
Sử dụng công thức biến đổi:
sin (x + y)
tan x + tan y =
cos x cos y


17

Bài tốn
 2.9. Giải hệ phương trình sau:
2π

x + y =
3
sin
x


=2

sin y
Hướng dẫn: Đặt điều kiện: y = kπ, k∈Z
Rút y hoặc x ở phương trình thứ 1 thế vào phương trình thứ 2 rồi biến
đổi đưa về hệ:

y = 2π − x
3
cos x = 0
Bài toán
 2.10. Giải hệ phương trình sau:
sin x cos y sin (x + y) + 1 = 0
8
x = y + z
Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình thứ 1
1
sin x cos y sin (x + y) + = 0
8
1
1
⇔ [sin (x + y) + sin (x − y)] sin (x + y) + = 0
2
8
2
1
1 1 2
⇔ [sin (x + y) + sin (x − y)] + − sin (x − y) = 0
2
4 4
2
1

1
⇔ [sin (x + y) + sin (x − y)] + cos2 (x − y) = 0
2
4

1
sin (x + y) = − sin (x − y)
2
⇔
cos (x − y) = 0
Bài tốn 2.11. Xét hệ phương trình

x + y = a
sin x sin y = b
a) Với giá trị nào của b thì hệ phương trình có nghiệm với mọi a.
b) Giải hệ phương trình trong trường hợp đó.
Hướng dẫn: Biến đổi và sử dụng | cos x| ≤ 1
a) Hệ có nghiệm với mọi a khi và chỉ khi b = 0
b) Hệ phương
 trình đã cho có nghiệm 
x = kπ
x = a − lπ
(k ∈ Z) và
(l ∈ Z).
y = a − kπ
y = lπ


18

2.2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HAI ẨN

2.2.1. Phương trình lượng giác giải bằng phương pháp thế
và phương pháp cộng đại số
Trong phương pháp này ta sẽ có một số loại cơ bản cần nắm:

sin αx. sin βx = a
i. Loại 1
cos αx. cos βx = b

sin αx. sin βx = a
ii. Loại 2
m tan αx = n tan βx

cos αx. cos βx = a
iii. Loại 3
m tan αx = n tan βx

cos αx. sin βx = a
iv. Loại 4
tan αx. tan βx = b

sin αx. cos βx = a
v. Loại 5
sin βx. cos αx = b
Ở những loại này ta thường có 3 bước giải:
+) Đổi tan αx, cot βx thành sin αx, cos βx.
+) Cộng trừ hai vế phương trình của hệ để được một hệ phương

trình mới cơ bản hơn.
+) Giải hệ vừa có để tìm nghiệm.
Bài tốn 2.12. Giải hệ phương trình sau:

sin x cos y = −1
2
tan x cot y = 1.
Bài giải. Điều kiện: cos x sin y = 0
Ta có 

sin (x + y) + sin (x − y) = −1
(2.8) ⇔ sin x cos y

−1=0

cos x sin y

(2.8)


19


sin (x + y) + sin (x − y) = −1
⇔
sin x cos y − cos x sin y = 0


sin (x + y) = −1
x + y = −π + k2π

2
⇔
⇔
sin (x − y) = 0
x − y = lπ

−π (2k + l)π

x =
+
4
2
⇔
(k, l∈Z)
(2k
−
l)π

y =
.
2
Bài toán 2.13. Cho hệ phương trình

cos x cos y = m + 1
sin x sin y = 4m2 + 2m.

(k, l∈Z)

1
a) Giải hệ phương trình với m = − .

4
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.
Bài giải. Ta 
có
cos x cos y − sin x sin y = −4m2 − m + 1
(2.9) ⇔
cos x cos y + sin x sin y = 4m2 + 3m + 1

cos (x + y) = −4m2 − m + 1
⇔
cos (x − y) = 4m2 + 3m + 1

(2.9)

(2.10)

1
a) Với m = − thì

4
cos (x + y) = 1
x + y = k2π
(2.10) ⇔
⇔
cos (x − y) = 1
x − y = ± π + l2π
3
2



π
π
x = + (k + l)π
cos x = − + (k + l)π
6
6
⇔
∨
(k, l ∈ Z).
y = − π + (k − l)π
y = π + (k − l)π
6
6
b) Hệ (2.9)
có nghiệm, tức là
 có nghiệm khi và chỉ khi hệ (2.10)

3
1
−1 ≤ −4m2 − m + 1 ≤ 1
−
≤
m
≤
−
⇔ 4
4 .
−1 ≤ 4m2 + 3m + 1 ≤ 1
m = 0

20

Bài tốn 2.14. Giải hệ phương trình sau

sin x cos y = 1
4
3 tan x = tan y

π
x= + kπ,
2

(2.11)

π
y= + kπ (k∈Z)
2
Ta có


1
1

sin x cos y =
sin x cos y =
4
4
⇔
(2.11) ⇔

3

3sin xcos y = sin ycos x
sin ycos x =
4
Cộng,
trừ vế theo vế ta có hệ sau:

sin x cos y + sin ycos x = 1
sin (x + y) = 1
⇔
sin ycos x − sin xcos y = 1
sin (y − x) = 1
2
2

π
π

x + y = + k2π
x + y = + k2π
2
2
⇔
∨
5π
y − x = π + l2π

y − x =
+ l2π

6
6


−π
π

x2 =
x1 = + (k − 1)π
+ (k − 1)π
6
6
∨
(k ∈ Z)
⇔
2π

y = π + (k + 1)π

y2 =
+ (k + 1)π
1
3
3
Bài toán 2.15. Giải hệ phương trình sau:

sin x sin y = 3
4
(2.12)
tan x tan y = 3

Bài giải. Điều kiện:

π
y= + kπ(k∈Z)
2
Ta có


1

sin x cos y = 1
cos x cos y =
4
4
(2.12) ⇔
⇔
3
sin xsin y = 3cos xcos y

sin xsin y =
4
Cộng,
trừ
vế
theo
vế
ta
có
hệ
sau:



cos x cos y − sin xsin y = −1
cos (x + y) = −1
2
2
⇔
cos xcos y + sin xsin y = 1
cos (x − y) = 1
Bài giải. Điều kiện:

π
x= + kπ,
2


21


x + y = 2π + k2π
3
⇔
x − y = l2π

π
x1 = + (k + 1)π
3
⇔
y = π + (k − 1)π
1

3

∨

∨


x + y = −2π + k2π
3
x − y = l2π

−π

x2 =
+ (k + 1)π
3
−π

y2 =
+ (k − 1)π
3

Bài tốn 2.16. Giải hệ phương trình sau:
 √
4 2sin3 xcosx = sin y
4√2cos3 xsin x = cos y
Bài giải. Trừ, cộng hai vế của phương trình, ta thu được
 √
4 2 sin x cos x(sin2 x − cos2 x) = sin y − cos y
4√2 sin x cos x(sin2 x + cos2 x) = sin y + cos y

 √
√
π
−2 2 sin 2x cos 2x = 2 sin (y − )
4
⇔
2√2 sin 2x = √2 cos (y − π )
4

π
sin 4x = sin ( − y)
4
⇔
(2.13)
2 sin 2x = cos (y − π )
4
Từ hệ thức thứ nhất của hệ phương trình (2.13) ta suy ra

π
y =
− 4x + k2π
4
⇔
(k ∈ Z)
3π
y = 4x −
− k2π
4
π
Thế y = − 4x + k2π vào hệ thức thứ hai của hệ (2.13) ta nhận được

4

2 sin 2x = cos 4x ⇔ 2sin2 2x + 2 sin 2x − 1 = 0
(2.14)
π
Giải (2.14) ta tìm được x và thay vào y = − 4x + k2π ta thu được y.
4
3π
Tương tự khi thay y = 4x −
− k2π vào hệ thức thứ hai của hệ (2.13)
4
ta thu được y.