de thi vao 10 chuyen

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (123.44 KB, 6 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

SỞ GD-ĐT KHÁNH HÒA KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN KHÔNG CHUYÊN

NGÀY THI : 21/06/2011
Thời gian : 120 phút
Bài 1 (2đ)

1. Đơn giản biểu thức

2 3 6 8 4
2 3 4

A    

 

2. Cho biểu thức

1 1

, 1

1 1

P a a

a a a a

 

     

   

 

Rút gọn P và chứng tỏ P 0

Bài 2 (2đ)

1. Cho phương trình bậc hai x2 + 5x + 3 = 0 có 2 nghiệm x

1; x2. Hãy lập một phương
trình bậc 2 có 2 nghiệm (x12 + 1) và (x22 + 1).

2. Giải hệ phương trình

2 3
4
2
4 1

1
2
x y

x y


 

 




  

 



Bài 3(2đ). Quãng đường từ A đến B dài 50 km. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với
vân tốc không đổi. Khi đi được 2 giờ, người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ. Muốn đến B đúng
thời gian đã định, người đi xe đạp phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại.
Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp.

Bài 4 (4đ). Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và H là trực tâm. Vẽ hình bình hành BHCD.
Đường thẳng đi qua D và song song BC cắt đường thẳng AH tại E.

1. Chứng minh A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh BAE DAC  .

3. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là trung điểm của BC, đường
thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

---HẾT---SỞ GD-ĐT KHÁNH HÒA KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN CHUYÊN

NGÀY THI : 22/06/2011
Thời gian : 150 phút
Bài 1(2đ)

1. Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức
2 3. 2 2 3 . 2 2 2 3 . 2 2 2 3

A         

2. Cho x, y là các số khác 0 và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

3 3
1

P

x y xy



 

Bài 2 (2đ)

1. Giải phương trình



 



2 3 4 2 6 24

x  x x  x 

2. Với x, y, z là các số dương, giải hệ phương trình



187

154

238

xyyz

yzzx

zxxy










Bài 3. (2đ)

1. Cho ba số a, b, c thỏa mãn  1 a b c, , 2,a b c  0.

Chứng minh: ab bc ca  3.

2. Cho a, b là các số nguyên dương sao cho

1 1

a b

b a

 



là 1 số nguyên. Gọi d là ước
của số a và b.

Chứng minh

d



a b



Bài 4.(3đ) Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R (R là độ dài cho trước) lấy hai
điểm M. N (M. N khác A và B) sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ A, B
đến đường thẳng MN bằng R 3.

1. Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R.

2. Gọi I là giao điểm của AN và BM, K là giao điểm của AM và BN. Chứng minh bốn
điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó
theo R.

3. Tìm GTLN của diện tich tam giác KAB theo R khi M, N thay đổi trên nửa đường

tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết bài toán.

Bài 5. (1đ) Cho hình thoi ABCD có BAD 1200. Tia Ax tạo với tia AB một góc BAx 150 và 
cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức

2 2

1 1

T AB

AM AN

 

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

---HẾT---ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM TOÁN CHUYÊN
BÀ

I ĐÁP ÁN

ĐIỂ
M

1.1





2 3. 2 2 3 . 4 2 2 3

A       0.25

2 3. 2 2 3 . 2 2 3

A      0.25





2 3. 4 2 3 2 3. 2 3 1

A        0.5

1.2

Ta có x + y = 1 suy ra x3 + y3 + xy = (x+y)(x2 + y2 –xy) + xy = x2 + y2 0.25





2
2
2 2
2
3 3
1 1

1 2 2 1 2

2 4
1 1 1

2 2 2

x x x x x

x y xy x

  
           
 
 
 
 
        
 
0.25

Đẳng thức xảy ra

1
2
x y

  

. Vậy x3y3xy nhỏ nhất bằng

1
2

1
2
x y

   0.25

Suy ra 3 3

1
P

x y xy


  lớn nhất bằng 2

1
2
x y

   0.25

2.1



 





 





 



2 2

3 4 6 24 1 4 2 3 24

2 3 2 8 24

x x x x x x x x

x x x x

          

      0.25

Đặt y = x22x 3. Phương trình trở thành y(y-5) = 24 y2 5y 24 0

3
8
y
y


  
 0.25
2 2
2 2
0; 2

2 3 3 2 0

1 2 3

2 3 8 2 11 0

x x

x x x x

x

x x x x

 
       
 
  
 
      
 
0.5
2.2

Hệ đã cho



 





 





 



187 11.17 (1)
154 11.14 (2)

238 14.17 (3)
x y y z

y z z x
z x x y

   


     

   

0.25

Nhân (1), (2), (3) vế theo vế ta được



 



2 2 2 2 2 2

11 .14 .17
x y y z z x 

Do x, y, z lần lượt là các số dương, suy ra



x y y z z x

 



 





11.14.17 (4)

0.25

Lần lượt chia (4) cho (1), (2), (3) ta được

17 (5)
11 (6)
14 (7)
x y
y z
z x
 


 

  


Cộng (5), (6), (7) vế theo vế ta có 2(x + y + z) = 42  x + y + z = 21 (8)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lần lượt lấy (8) trừ (5), (6), (7) ta được

10
7
4
x
y
z








 

 (thỏa hệ ban đầu). Kết luận.

0.25

3.1

Từ giả thiết a, b, c  



1;2



ta có a 1 0;a 2 0 0.25
Do đó (a1)(a 2) 0  a2 a 2 0

Tương tự b2 b 2 0; c2 c 2 0 0.25

Suy ra a2b2c2 (a b c  ) 6 0   a2b2c2 6 (a b c  0) 0.25





2 2 2

2( ) 6 2( )

6 2( ) 3

a b c ab bc ca ab bc ca

a b c ab bc ca ab bc ca

         

           0.25

3.2









2 2

1 1

a b a b

a b a b a b

b a ab ab

  

    

    0.25

















1 1

; (1)

a b a b

a b

N N a b a b kab k N

b a ab

  

 

          0.25

Nếu d là ước chung của a và b thì a = md; b = nd



m n N, 



 a b (m n d ab mnd ) ;  2 0.25





2 2









(1) m n d m n d kmnd m n kmn m n d ld l N;

            

 

2 2

a b ld d

d a b

   

  

0.25
4.1

P
H
O'

A O B

Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên đường thẳng MN. Gọi H là trung điểm
đoạn thẳng MN thì OH MN

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Xét hình thang AA’B’B có OH là đường trung bình nên





1 3

' '

2 2

R
OH  AA BB 

2 2 2 3 2

4 2

R R

MH  OM  OH  R    MN MH R

0.5

4.2

Ta có AMB ANB 900  KMI KNI 900 0.25

Suy ra bốn điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường tròn đường kính KI 0.25
Vì MN = R nên tam giác OMN đều

  1 300  600

KAN MAN  MON   AKN 

Gọi O’ là trung điểm của IK thì O’ là tâm của đường tròn đi qua bốn điểm M, N, I, K
và R’ = O’M là bán kính của đường tròn này.

0.25

Do đó

 ' 2 2 1200 ' 3 ' 3

3
R

MO N  MKN  AKN   MNR  R  0.25

4.3

Gọi P là giao điểm của IK và AB, do I là trực tâm của tam giác KAB nên KI AB, nên KP là 
đường cao tam giác KAB hạ từ K.

Do O, O’ nằm trên trung trực đoạn MN, nên O, O’, H thẳng hàng.
Xét tam giác MOO’ có

 ' 900



 ' 30 ;0  ' 600



OMO  MOO  MO O

Suy ra

2
' 2 '

3
R
OO  MO 

0.25

Tam giác KAB có AB không đổi nên nó có diện tích lớn nhất khi KP lớn nhất
Ta có

' ' 3

3 3

R R

KP KO OO    R 0.25

Đẳng thức xảy ra khi P O  OO'AB MN AB//  KABcân tại K KABđều (do

 600

AKB ) 0.25

Do đó

. . 3

KAB

S  AB KP R KP  R

Kết luận diện tích tam giác KAB lớn nhất bằng 3R2 khi và chỉ khi MN//AB (hay KABđều)

0.25

15

H
K

N
M

B
A

Qua A dựng đường thẳng vuông góc Ax, cắt CD tại K. Ta có :

 



 



150

DAK DAB KAM MAB 

0.25

Xét hai tam giác ADK và ABM có :
DA = AB (cạnh hình thoi);

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

  600



 120 ;0



ADK ABM  DAB

  150

DAK BAM  (Chứng minh trên và BAx150)
( . . )

ADK ABM g c g AK AM

    

Gọi AH là đường cao tam giác AKN vuông tại A, ta có 2 2 2

1 1 1

(1)

AH AK  AN 0.25

Mà

3 3

; ( )

2 2

AD AB

AH   AK AM cmt

2 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 4

(1)

3 3

1 1 4

AM AN AM AN AB

AB

T AB

AM AN

     

 

    

 

</div>

de thi vao 10 chuyen



 









<i>d</i>



<i>a b</i>

















 





 

 

 





 





 





 





 





 

 





 

 























































<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

<sub></sub>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về