ON VAO 10 CAN BAC 2

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Chủ đề 1: <b>CÁC VẤN ĐỀ VỀ CĂN THỨC BẬC HAI </b>(04 tiết)
<b>I. MỤC TIÊU: </b>

 HS nắm vững các cơng thức và các phép tốn về căn bậc hai

 Làm quen với các dạng bài tập cơ bản: Rút gọn biểu thức; tính giá trị của biểu thức; tìm giá trị
lớn nhất; nhỏ nhất;

 Rèn luyện tư duy tổng quát
<b>II. NỘI DUNG:</b>

<b>A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN:</b>
1) các phép tốn và phép biến đổi đơn giản:



2

A khi A 0

A = A =

-A khi A < 0











A.B = A . B

với A



0; B



0



A

₌

A

B

B

_{với A}



_{0; B > 0}



<i>m A n A p A</i>

+

-

=

(

<i>m n p A Với A</i>

+ -

)

(

³

0)



2

A B = A B

_{với B}

_

₀



A

₌

1

_AB

B

B

_{với AB}

_

_{0; B}_₀







M A B

M

₌

A - B

A B





với A



_{0; B}



_{0; A}_B
 Với A



0 thì A =





2

A

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức:
a) Dạng đa thức A(x):

- Biến đổi: A(x) = B(x)2

 m  m. Giá trị nhỏ nhất đạt được là  m khi B(x) = 0
- Biến đổi: A(x) = m - B(x)2

_

_{m. Giá trị lớn nhất đạt được là m khi B(x) = 0}
b) Dạng phân thức đơn giản

( )

( )

<i>A x</i>

<i>B x</i>

_{: Biến đổi :}

( )

( )

<i>A x</i>

<i>B x</i>

₌

( )

<i>n</i>

<i>m</i>

<i>B x</i>



. Phân thức

( )

( )

<i>A x</i>

<i>B x</i>

_{đạt giá trị lớn nhất khi}

B(x) nhỏ nhất;

( )

( )

<i>A x</i>

<i>B x</i>

_{đạt giá trị nhỏ nhất khi B(x) lớn nhất.}
Ví dụ: a) Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2_{+ x}

3

_{- 1}
Giải : Ta có : x2_{+ x}

3

_{- 1 = (x +}

3

2

₎2_-

7

4

7

4



Dấu “=” xảy ra khi x +

3

2

_{= 0}__{x =}

-3

2

Vậy GTNN của biểu thức là

-7

4

_{khi x=}

-3

2

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Giải </b>: Ta có x -

<i>x</i>

+ 1 =

2

1 3

2 4

<i>x</i>

 

 

 

 



3

4

Dấu “=” xảy ra khi

1

2

<i>x</i>



= 0  x =

1

4

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức x -

<i>x</i>

+ 1 là

3

4

_{khi x =}

1

4

Vaäy

1

1

<i>x</i>



<i>x</i>



_{đạt giá trị lớn nhất là}

4

3

_{khi x=}

1

4

3) Phân tích đa thức bằng phương pháp tách:

a) Daïng: ax2_{+ bx + c (a}_≠_{): Taùch bx = mx + nx sao cho m.n = a.c}

b) Dạng A  2 <i>B</i> : Tách A = m + n sao cho

<i>m n</i>

.



<i>B</i>

. Khi đó đa thức được viết lại là:
A + 2 <i>B</i>= m + 2

<i>m n</i>

.

+ n = (

<i>m</i>



<i>n</i>

₎2

4) Tìm điều kiện:
- Phân thức

( )

( )

<i>A x</i>

<i>B x</i>

_{có nghóa khi B(x)}_≠₀

- Căn thức <i>A</i> có nghĩa khi A ≥ 0
- Tích A. B

³

0

Û

A và B cùng dấu.
- Tích A.B



₀

Û

_{A và B khác dấu.}
<b>B. LUYỆN TẬP:</b>

Hoạt động Nội dung

Bài 1: Tính

a)

_√

₂₀

<i>₋</i>

_√

₄₅

₊

₃

_√

₁₈

₊

_√

₇₂

b) 1

2

√

48<i>−</i>2

√

75<i>−</i>

√

54+5

√

1

1
3

c)

(

√

28

<i>−</i>

2

√

3

+

√

7

)

√

7

+

√

84

d)

(7 48 3 27 2 12) : 3





e)

2

√

3

<i>−</i>

3

√

2

¿

2

+

2

√

6

+

3

√

24

¿

f)

3

+

2

√

3

√

3

+

2

+

√

2

√

2

+

1

<i>−</i>

(

2

+

√

3

)

g) ( 3 2)2  ( 2 3)2

Baøi 1:

a)

_√

20

<i>−</i>

√

45

+

3

√

18

+

√

72

2 5 3 5 3.3 2 6 2

5 15 2













b)

1

2

√

48

<i>−</i>

2

√

75

<i>−</i>

√

54

+

5

√

1

1

3

1

4

.4 3 2.5 3 3 6 5

2

3

2

14

2 3 10 3 3 6 5.

3

3 3 6

3

3























c)

(

√

28

<i>−</i>

2

√

3

+

√

7

)

√

7

+

√

84

(2 7 2 3

7) 7 2 21

(3 7 2 3) 7 2 21 21 2 21 2 21 21























d)

(7 48 3 27 2 12) : 3





(7.4 3 3.3 3 2.2 3) : 3

33 3 : 3 33











e)

2

√

3

<i>−</i>

3

√

2

¿

2

+

2

√

6

+

3

√

24

¿

2

(2 3 3 2)

2 6 3 24

12 12 6 18 2 6 3.2 6 30 4 6























f)

3

+

2

√

3

√

3

+

2

+

_√

2

√

2

+

1

<i>−</i>

(

2

+

√

3

)

3( 3 2) 2( 2 1)

(2 3) 3 2 2 2 3 2

3 2 1

 

         



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

h)

7 2 10





7 2 10



i)

5



3



29 12 5



| 3

2 | | 2

3 |

3

2

3

2 2 3



















h)

7 2 10





7 2 10



2 2

5 2 10 2 5 2 10 2

( 5 2) ( 5 2) | 5 2 | | 5 2 |

5 2 5 2 2 2

     

       

    

i)

5



3



29 12 5



2

2

5 3 (2 5 3) 5 3 2 5 3

5 ( 5 1) 5 5 1 1

       

      

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)

1

<i>− a</i>

√

<i>a</i>

1

<i>−</i>

√

<i>a</i>

+

√

<i>a</i>

( Với a>0 ; a  1 )

b)

<i>a</i>

√

<i>b</i>

+

<i>b</i>

√

<i>a</i>

√

ab

:

1

√

<i>a −</i>

√

<i>b</i>

( Với a,b>0, a 
b)

c)

(

1

+

<i>a</i>

+

√

<i>a</i>

√

<i>a</i>

+

1

)

.

(

1

<i>−</i>

<i>a −</i>

√

<i>a</i>

√

<i>a −</i>

1

)

(Với a > 0 , a

 1)

d)

2

<i>a b</i> <i>ab</i> <i>a b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

  



 

e)

2

(<i>a a b b</i> <i>ab</i>)( <i>a</i> <i>b</i>)

<i>a b</i>

<i>a</i> <i>b</i>
 




Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a)

1

<i>− a</i>

√

<i>a</i>

1

<i>−</i>

√

<i>a</i>

+

√

<i>a</i>

(Với a>0 ; a  1)

2

(1 )(1 ) ₁ _{1 2} ₍₁ ₎

1

<i>a</i> <i>a a</i> <i>_a</i> <i>_{a a}</i> <i>_a</i> <i>_{a a}</i> <i>_a</i>

<i>a</i>

  

          



b)

1 ( ) 1

: :

( ).( )

<i>a b b a</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i>

 



 

    

c)

( 1) ( 1)

(1 ).(1 ) (1 ).(1 )

1 1 1 1

(1 ).(1 ) 1

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

   
    
   
    
d)
2

2 ( ) ( )( )

( ) ( ) 0

<i>a b</i> <i>ab</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

     
  
   
    
e)
2

(<i>a a b b</i> <i>ab</i>)( <i>a</i> <i>b</i>)

<i>a b</i>
<i>a</i> <i>b</i>
 



2
2 2
2
( )( )
[ ][ ]
( )( )
1 1

( ).( ) ( ) . 1

( )

<i>a</i> <i>b a</i> <i>ab b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>ab</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>ab b</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>

   

 

  

      

 

Bài 3: Cho biểu thức
K =

(

√

<i>a</i>

√

<i>a−</i>

1

<i>−</i>

1

<i>a −</i>

√

<i>a</i>

)

:

(

1

√

<i>a</i>

+

1

+

2

<i>a −</i>

1

)

a) Rút gọn K

b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2

√

2

c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0

a) K =

(

√

<i>a</i>

√

<i>a−</i>

1

<i>−</i>

1

<i>a −</i>

√

<i>a</i>

)

:

(

1

√

<i>a</i>

+

1

+

2

<i>a −</i>

1

)

ÑK: a > 0; a 1

K =





a 1

_:

a 1

a 1

a a 1



_{ }

_







_{ }

_







_



_



_





₌

<i>a−</i>

1

√

<i>a</i>

b) a = 3 + 2

_√

2

= (

_√

2

+ 1)2

_

√

<i>a</i>

=

¿

_√

2

+ 1

K =

3

+

2

√

2

<i>−</i>

1

√

2

+

1

= 2

c) Với a > 0



_√

<i>_a</i>

_{> 0 . Do đó K =}

<i>a−</i>

1

√

<i>a</i>

< 0

<i>⇔</i>

a – 1 < 0

<i>⇔</i>

a < 1. Vậy K < 0

<i>⇔</i>

0 < a < 1
Bài 4: Cho biểu thức

B =

(

√

<i>x</i>

2

<i>−</i>

1

2

√

<i>x</i>

)

2

.

(

√

<i>x −</i>

1

√

<i>x</i>

+

1

<i>−</i>

√

<i>x</i>

+

1

√

<i>x −</i>

1

)

a) Rút gọn B

a) B =

(

√

<i>x</i>

2

<i>−</i>

1

2

√

<i>x</i>

)

2

.

(

√

<i>x −</i>

1

√

<i>x</i>

+

1

<i>−</i>

√

<i>x</i>

+

1

√

<i>x −</i>

1

)

ÑK: x > 0; x

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b) Tìm các giá trị của x để B > 0

c) Tìm các giá trị của x để B = –2 B =

(

<i>x −</i>

₂

1

√

<i>x</i>

)

2

[

(

√

<i>x −</i>

1

)

2

<i>−</i>

(

√

<i>x</i>

+

1

)

2

<i>x −</i>

1

]

=

(

<i>x −</i>

1

2

√

<i>x</i>

)

2

<i>⋅</i>

(

<i>−</i>

4

√

<i>x</i>

<i>x −</i>

1

)

=

1

<i>− x</i>

√

<i>x</i>

b) B =

1

<i>− x</i>

√

<i>x</i>

> 0

<i>⇔</i>

1 – x > 0 (vì x> 0)

<i>⇔</i>

x < 1
Vaäy B > 0 khi 0 < x < 1

c) B =

1

<i>− x</i>

√

<i>x</i>

= –2

<i>⇔</i>

1 – x = –2 x
<i>⇔</i>

x – 2 x – 1 = 0 <i>⇔</i> x =





2

1



2

thoả mãn đ.kiện
Bài 5: Cho

A =





2

1

1

1

x-2 x

x x

x x

_:

x-1

x- x

x+ x

























a) Rút gọn A

b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên

a) A =





2

1

1

1

x-2 x

x x

x x

_:

x-1

x- x

x+ x





_

_



















ÑK: x > 0 ; x 1
A =

[

(

_√

<i>x −</i>

1

)(

<i>x</i>

+

√

<i>x</i>

+

1

)

√

<i>x</i>

(

√

<i>x −</i>

1

)

<i>−</i>

(

_√

<i>x</i>

+

1

) (

<i>x −</i>

√

<i>x</i>

+

1

)

√

<i>x</i>

(

√

<i>x</i>

+

1

)

]

:

2

(

_√

<i>x −</i>

1

)

2

(

√

<i>x −</i>

1

) (

√

<i>x</i>

+

1

)

A = 2 .

√

<i>x</i>+1

2

(

√

<i>x −</i>1

)

=

√

<i>x</i>

+

1

√

<i>x −</i>

1

b) A =

√

<i>x</i>

+

1

√

<i>x −</i>

1

=

√

<i>x −</i>

1

+

2

√

<i>x −</i>

1

= 1 +

2

√

<i>x −</i>

1

Với x là số nguyên dương thì A là số nguyên khi

_√

<i>x</i>

- 1 là ước
của 2, mà Ư(2) = {1; 

2}. Do đó:

x<i><b>_{– 1}</b></i> -2 -1 1 2

x -1 (loại) 0 2 3

x // 0(khoâng t.m) 4 9

Vậy với x = 4; x= 9 thì A có giá trị nguyên
Bài 6: Cho biểu thức

y =

<i>x</i>

2

+

√

<i>x</i>

<i>x −</i>

√

<i>x</i>

+

1

+

1

<i>−</i>

2

<i>x</i>

+√

<i>x</i>

√

<i>x</i>

a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2

b) Giả sử x > 1. C.minh rằng: y –

|

<i>y</i>

|

= 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y

a) ÑK: x > 0

y =

√

<i>x</i>

(

√

<i>x</i>+1

) (

<i>x −</i>

√

<i>x</i>+1

)

<i>x −</i>

√

<i>x</i>+1 +1<i>−</i>

√

<i>x</i>

(

2

√

<i>x</i>+1

)

√

<i>x</i>

= x +

√

<i>x</i>

_{+ 1 - 2} x_{- 1 = x -}

√

<i>x</i>

₌

√

<i>x</i>

₍

√

<i>x</i>

_{- 1)}
b) Với x > 1 thì

√

<i>x</i>

- 1 > 0

<i>⇒</i>

y =

√

<i>x</i>

(

√

<i>x</i>

- 1) > 0

<i>⇒</i>

|

<i>y</i>

|

= y hay: y –

|

<i>y</i>

|

= 0

c) y = x-

_√

<i>x</i>

=(

_√

<i>x</i>

)2_–2

√

<i>x</i>

1

₂

+

1

₄

-

1

₄

= (

_√

<i>x</i>

-1

2

)2-

1

4

-

1

4

Vaäy GTNN của y là -

1

₄

khi

√

<i>x</i>

-

1

₂

= 0 hay x =

1

₄

<b>C. BAØI TẬP VỀ NHÀ:</b>

Bài 1: Thực hiện phép tính

a) A =

2 3 15 1

.
3 1  3 2 3 3 3 5













_{; b) B =}





2

1 1 1

.
5 2  5 2 _{2 1}_













b) C =

3 2 3 2 2 1

. 1 :

3 2 1 2 3

 



 



_{ }

_



 











_; _{d) D =}





1 1

1 : 3 2

7 24 1  7 24 1  









</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Bài 2: Cho biểu thức: B = 3 2 2 2

1

:

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>y</i>

<i>x</i>

<i>x y</i>

<i>xy</i>

<i>x y</i>

















_





_

a) Rút gọn biểu thức B b) Xác định x; y để x = 9y và B = 2

Bài 3: Cho biểu thức: D = 2

3

3

1

:

1

1

<i>x</i>

<i>x</i>

₁

<i>_x</i>













_



_

















_{( Với -1 < x < 1)}

a) Rút gọn D b) Tính giá trị của biểu thức D khi x = 4 2 5
Bài 4: Chứng minh rằng

(

√

<i>a</i>

+

2

<i>a</i>

+

2

√

<i>a</i>

+

1

<i>−</i>

√

<i>a −</i>

2

<i>a −</i>

1

)

√

<i>a</i>

+

1

√

<i>a</i>

=

2

<i>a −</i>

1

Với a > 0; a 1

Baøi 5: Cho P =

(

√

<i>x</i>

+

√

<i>y</i>

1

<i>−</i>

√

xy

+

√

<i>x −</i>

√

<i>y</i>

1

+

_√

xy

)

:

(

1

+

<i>x</i>

+

<i>y</i>

+

2 xy

1

<i>−</i>

xy

)

a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi x =

2

2

+

_√

3

c) Tìm giá trị lớn nhất của P
Gợi ý: a) ĐK: x > 0; y > 0; xy 1

P = ...=

(

2

√

<i>x</i>

+

2

<i>y</i>

√

<i>x</i>

1

<i>−</i>

xy

)

<i>⋅</i>

(

1

<i>−</i>

xy

)

1

+

<i>x</i>

+

<i>y</i>

+

xy

=

2

√

<i>x</i>

(

1

+

<i>y</i>

)

(

1

+

<i>x</i>

) (

1

+

<i>y</i>

)

=

2

√

<i>x</i>

1

+

<i>x</i>

b) x =

2

2

+

_√

3

= 4 – 2

√

3

= (

√

3

– 1)

2_{=> P =...=}

6

√

3

+

2

13

c) P =

2

√

<i>x</i>

1

+

<i>x</i>

<i>x</i>

+

1

<i>x</i>

+

1

= 1 (Vì 2

√

<i>x</i>

x + 1). Dấu “ = ” xảy ra khi x = 1 và y 1
Vậy max P = 1 khi x = 1 vaø y 1; y > 0

<b>RÚT KINH NGHIỆM : </b>

</div>

<!--links-->