Rèn luyện kỹ năng giải một số phương trình đưa về dạng phương trình tích nhắm nâng cao chất lượng dạy và học môn toán lớp 8 ở trường THCS luận thành

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THƯỜNG XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH NHẰM NÂNG
CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC MƠN TỐN LỚP 8 Ở
TRƯỜNG THCS LUẬN THÀNH

Người thực hiện: Trịnh Thị Ngân
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Luận Thành
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HỐ NĂM 2021


Mục lục
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu :
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nhiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Dạy học phương trình tích
2.3.2. Dạy học phương trình đưa về phương trình tích

2.3.2. Các bài tập áp dụng

Trang
1
1
2
2
2
2
2
2
4
4
6
12

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
12
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận và kiến nghị
13
3.1. Kết luận
13
3.2. Kiến nghị
13


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài.
Xuất phát từ mục tiêu của giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào

tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao.
Để đào tạo ra lớp người như vậy thì phải bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư
duy sáng tạo, năng lực tự học, tự giải quyết vấn đề, từ đó tác động đến tình cảm
và đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh.
Đối với học sinh bậc trung học cơ sở (THCS), các em là những đối tượng
người học nhạy cảm, việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần
thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả
năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn
học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người
giáo viên cần phải khơng ngừng tìm tịi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt
động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học
sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học
sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo.
Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS Luận Thành, được phân cơng
trực tiếp giảng dạy mơn Tốn 8 và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, qua nhiều
năm tôi nhận thấy việc giải các bài tốn ở chương trình THCS không chỉ đơn
giản là đảm bảo kiến thức trong sách giáo khoa (SGK), sách bài tập (SBT) đó
mới chỉ là những điều kiện cần nhưng chưa đủ. Muốn giỏi tốn cần phải luyện
tập cho học sinh nhiều thơng qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán
một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra hướng giải và đáp số của chúng
một cách nhanh chóng, ngắn gọn.
Trong q trình giảng dạy tơi thấy còn nhiều học sinh chưa nắm vững
kiến thức cơ bản của mơn Tốn, thường bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng
tốn và chưa có nhiều phương pháp giải hay và gọn gàng, chất lượng bộ mơn
cịn thấp, các bài kiểm tra, bài thi còn chưa đạt yêu cầu.
Các dạng tốn về số học ở chương trình THCS thật đa dạng phong phú
như: Toán về chia hết, số nguyên tố, số chính phương, phương trình nghiệm
ngun, phương trình đưa về dạng phương trình tích...Trong đó “Giải phương
trình đưa về dạng phương trình tích” là một dạng tốn khó trong chương
trình Tốn ở bậc THCS, nhưng trong SGK mới chỉ đề cập ở dạng cơ bản, chính

vì thế học sinh thường lúng túng ở các dạng toán nâng cao, khi giải các bài tốn
này học sinh gặp khơng ít khó khăn, phức tạp. Điều đó làm nảy sinh trong tơi
những trăn trở: Làm thế nào để nâng cao chất lượng bộ môn? Làm thế nào để
học sinh hứng thú say mê trong khi học?... Với mong muốn giải quyết những
vấn đề đó đã thúc đẩy tơi đã tìm tịi và nghiên cứu để tìm ra các phương pháp
giải phương trình đưa được về dạng phương trình tích dễ hiểu, dễ vận dụng và
hướng dẫn cho học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng
phương pháp nào để giải nhanh gọn.


2

Vì vậy tơi chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng giải một số phương trình đưa về
dạng phương trình tích nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn lớp 8 ở
trường THCS Luận Thành”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
1.2.1. Đối với giáo viên:
- Nâng cao trình độ chun mơn, phục vụ cho q trình giảng dạy.
- Làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
1.2.2. Đối với học sinh :
- Giúp học sinh học tập tốt mơn Tốn nói chung và việc giải các bài tập
giải phương trình đưa về dạng phương trình tích. Trang bị cho học sinh một số
kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học mơn tốn giúp các em tiếp thu bài
một cách chủ động, sáng tạo.
- Ôn tập, củng cố và hệ thống nội dung kiến thức cơ bản về phương trình
tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu...
- Có kĩ năng phân tích tìm lời giải và trình bày lời giải cho một bài tốn
giải phương trình đưa về dạng phương trình tích.
- Phát huy tính tích cực, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho
các em hứng thú học tập bộ mơn.

- Giúp học sinh có kĩ năng nhận dạng cách giải các phương trình đưa về
dạng phương trình tích để nâng cao chất lượng bộ mơn Tốn trong các đợt thi
học kì, thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào 10,...
- Nâng cao chất lượng bộ mơn Tốn trong nhà trường.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài nghiên cứu kĩ năng giải các phương trình đưa về dạng phương trình
tích.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua sách giáo khoa, tài liệu của học sinh ở
trường.
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp.
- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp.
- Phương pháp thống kê, tổng hợp số liệu.
- Phương pháp phân tích, tổng kết kinh nghiệm.
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Phương trình tích là dạng phương trình mà vế trái là tích của các đa thức
cịn vế phải bằng 0. Trong chương trình Tốn 8 chỉ đề cập đến phương trình tích
mà ít đề cập đến các phương trình đưa được về dạng phương trình tích.
Giải phương trình đưa về dạng phương trình tích đề cập ít trong các bài
tập của sách giáo khoa và thường được cho trong các bài tập nâng cao, các kì thi
học sinh giỏi (HSG), thi vào lớp 10 THPT ... Do vậy việc nghiên cứu các dạng
và phương pháp giải phương trình đưa về dạng phương trình tích là cần thiết để
bồi dưỡng cho các học sinh kiến thức phù hợp về phương trình tích nhằm trang


3

bị cho các em kiến thức và kĩ năng để khơng q lúng túng khi giải các bài tốn
giải phương trình đưa về dạng phương trình tích trong các kì thi.

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1. Thuận lợi:
- Về cơ sở vật chất đã có một số đổi mới tạo điều kiện cho học sinh tiếp
cận kiến thức mới dễ dàng như: Bảng phụ, máy chiếu, phòng học chức năng,…
- Xã hội hiện nay tạo điều kiện cho giáo viên và học sinh có điều kiện
thuận lợi tiếp cận nhiều nguồn thơng tin từ nhiều phương tiện khác nhau một
cách dễ dàng và hiệu quả.
- Nhiều phương pháp dạy học tích cực được vận dụng hợp lý như: thảo
luận nhóm, giải quyết vấn đề,... đã góp phần khắc phục được sự nhàm chán của
phương pháp dạy học truyền thống. Vì vậy, gây hứng thú cho người học, kích
thích học sinh tư duy tích cực.
- Phương trình tích đã được các em làm quen từ lớp 6, lớp 7 đặc biệt là
học kì 1 lớp 8 nên các em cũng khơng cịn xa lạ với phương trình tích. Kỹ năng
phân tích đa thức thành nhân tử đã giúp các em khơng ít kiến thức để biến đổi
đưa phương trình về dạng phương trình tích, từ đó hỗ trợ các em rất nhiều trong
phần học này.
2.2.2. Khó khăn:
Thực tế như chúng ta đã biết ở chương trình tốn 8 có nhiều nội dung khó
ở bậc học THCS. Trong nhiều năm giảng dạy ở đơn vị bản thân tơi cảm nhận
được học sinh lớp 8 có phần ngại học bộ mơn Tốn, một phần do về kiến thức
nhiều nội dung khó, hơn nữa ở độ tuổi này các em đang thay đổi tâm sinh lí. Đặc
biệt trong giảng dạy tôi thấy học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định
dạng toán, phương hướng giải và chưa có nhiều phương pháp giải hay. Lý do
chủ yếu của các vấn đề trên là các em chưa có hệ thống phương pháp giải dạng
tốn đó. Nên dẫn đến kết quả ở trong các kì thi của các em chưa được cao, đặc
biệt là mơn Tốn. Học sinh thường bối rối khi gặp những phương trình lạ dạng
hoặc thấy có vẻ phức tạp, những bài tốn kiểu như vậy làm giảm hứng thú và
tính kiên nhẫn của trị trong q trình học tốn khiến giáo viên nản lịng.
Trong một lớp, lực học của các em học sinh không đồng đều. Các em
chưa nắm được kiến thức một cách có hệ thống, chưa nắm hết được các dạng bài

tập và phương pháp giải các bài tập đó, khi gặp những dạng phương trình đó các
em cịn lúng túng khơng biết giải theo phương pháp nào. Vì vậy tơi chọn chuyên
đề này để giúp các em có được sự say mê học tập, và nắm chắc cách giải
phương trình đưa về dạng phương trình tích một cách có hệ thống và bổ sung
thêm những phương pháp mà các em chưa được học.
Để đánh giá được khả năng của các em đối với dạng tốn giải phương
trình đưa về dạng phương trình tích và có phương án tối ưu truyền đạt tới học
sinh, tơi đã ra một đề tốn cho các em học sinh của trường tôi công tác.


4

Kết quả thu được như sau:
Khá, giỏi
TSHS
62

SL
15

Trung bình

Yếu kém

%

SL

%

SL

%

24%

28

45,4%

19

30,6%

Qua việc kiểm tra đánh giá tơi thấy học sinh chưa có biện pháp giải
phương trình đưa về phương trình tích đạt hiệu quả. Lời giải thường dài dịng,
khơng chính xác, đơi khi cịn ngộ nhận. Cũng với những bài tốn trên, nếu học
sinh được trang bị các phương pháp giải phương trình đưa về dạng phương trình
tích thì chắc chắn sẽ có hiệu quả cao hơn.
2.3. Các giải pháp để giải quyết vấn đề.
Giải được phương trình tích là một trong những yêu cầu cơ bản trong của
chương III - Đại số 8. Để giúp học sinh học tốt phần này đầu tiên tôi mạnh dạn
áp dụng một số phương pháp dạy học tích cực, cũng như các phương tiện hiện
đại vào dạy học. Từ đó giúp các em dễ lĩnh hội kiến thức, khắc phục được một
số lỗi sai thường gặp, đồng thời phát triển thêm tính tự tin, tính tư duy, cũng như
một số kỹ năng sống cho học sinh.
2.3.1. Dạy học phương trình tích.
a. Dạy học khái niệm phương trình tích.
Do đây là u cầu cơ bản và đầu tiên học sinh cần nắm được, vì vậy
chúng ta nên chia lớp thành nhiều nhóm nhỏ theo cách có đầy đủ các mức năng

lực tư duy, từ đó tạo điều kiện cho các em có thể trao đổi lẫn nhau, giúp đỡ lẫn
nhau trong quá trình học tập. Bên cạnh đó tơi đã sử dụng máy chiếu đưa ra nhiều
bài tập trắc nghiệm để giúp các em nhận dạng tốt định nghĩa, cũng như khắc
phục tốt các lỗi sai thường mắc phải.
- Trước hết tôi giúp học sinh hiểu thế nào là phương trình tích.
Phương trình tích là phương trình có dạng:
A(x).B(x)………P(x) = 0
(a)
Ví dụ: Giải phương trình: 2x(3x – 6)(x + 3) = 0
Chú ý: Khi dạy khái niệm phương trình tích phần lớn các em nắm tốt khái
niệm này, cũng như cách giải của nó, song bên cạnh đó một số em chỉ chú ý đến
vế trái mà khơng chú ý đến vế phải nên cịn có sự nhầm lẫn.
Ví dụ: 3x(x+2) = 5
Học sinh có thể nhầm đây là phương trình dạng phương trình tích vì vế
trái ở dạng tích mà khơng chú ý đến vế phải bằng 5.
Để khắc phục tình trạng nhầm lẫn này tôi dùng máy chiếu, bảng phụ đưa
ra hệ thống câu hỏi trắc nghiệm, rồi cho nhóm thảo luận rút ra kết quả, sau đó
nhấn mạnh lại để khắc phục lỗi sai cho học sinh.


5

b. Dạy học cách giải phương trình tích:
Do các em đã được làm quen với cách giải phương trình tích (tìm x dạng
tích) nên việc tìm ra cách giải đối với phương trình tích là khơng khó, phần lớn
các em nắm vững được cách giải. Vì vậy tơi tiếp tục chia nhóm theo cách 1 đồng
thời dùng máy chiếu đưa ra một số sai lầm thường mắc phải, cũng như một số
cách trình bày giải phương trình tích, để các nhóm tự thảo luận từ đó khắc phục
lỗi sai thường gặp, cũng như lựa chọn cho mình được phương pháp trình bày sao
cho khoa học và đơn giản.

Phương trình tích là phương trình có dạng:
A(x).B(x)………P(x) = 0
(a)
Để giải phương trình tích ta giải từng phương trình một sau đó lấy nghiệm
của phương trình là tất cả nghiệm của các phương trình riêng lẻ trên. Cụ thể:
Ví dụ 1: Giải phương trình : 2x(3x – 6)(x + 3) = 0
Trường hợp 1: 2x = 0 ⇔ x = 0
Trường hợp 2: 3x – 6 = 0 ⇔ x = 2
Trường hợp 3: x + 3 = 0 ⇔ x = -3
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {0 ;2;-3}
Bên cạnh cách trình bày trên ta có thể dùng hệ thống kí hiệu tốn học
trình bày giải phương trình trên theo phép biến đổi tương đương.Tuy nhiên
khơng phải cách trình bày theo phép biến đổi tương đương lúc nào cũng hiệu
quả, thực tế tùy từng bài ta nên khéo léo vận dụng kết hợp cả hai cách trình bày
trên một cách hợp lí thì tốt hơn.
Ví dụ 2: (2x+1)(

x −1 2x + 1
−
)=0
2
3

Giải:
x −1 2x + 1 
−
÷= 0
3 
 2

( 2 x + 1) 

 2 x + 1 = 0(1)
<=>  x − 1 2 x + 1

−
= 0(2)
3
 2

Giải (1): 2x+1=0 => x=

−1
2

x −1 2x + 1
x −1 2x +1
−
= 0 =>
=
=> 3 x − 3 = 4 x + 2 => x = −5
2
3
2
3
 −1

Vậy phương trình có tập nghiệm là : S =  ; −5
2


Giải (2):

Khi dạy ví dụ 2 tơi đưa ra u cầu sau đó chuyển giao nhiệm vụ cho các
nhóm để các nhóm tự trình bày bài giải, cuối cùng đánh giá động viên các nhóm,
lựa chọn cách trình bày tối ưu để khích lệ (nếu có). Trường hợp học sinh chỉ
trình bày theo cách biến đổi tương đương thì tơi đã dùng máy chiếu đưa ra các


6

cách trình bày sau đó cho học sinh đánh giá từ đó rút ra cách trình bày hợp lí, và
nhấn mạnh lại nội dung kiến thức cần nhớ.
Ngoài ra khi dạy học cách giải phương trình tích tơi đã chú ý cho học sinh
trường hợp trùng nghiệm, trường hợp vô lí.
Ví dụ 3: Giải phương trình: (2x-4)(x+1)(x-2)=0
Giải: (2x-4)(x+1)(x-2)=0
⇔ 2x - 4 = 0 hoặc x + 1 = 0 hoặc x – 2 = 0
⇔ x = 2 hoặc x = -1 hoặc x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-1 ;2;}
2.3.2.Dạy học phương trình đưa về phương trình tích:
Ở học kì 1, các em đã khá quen với cách phân tích đa thức thành nhân tử,
các phương pháp phân tích thành nhân tử nói chung, các phương pháp phân tích
thành thừa số nói riêng. Do đó nhiều học sinh đã biến đổi tốt các phương trình
đưa về phương tích.
2.3.2.1.Sử dụng các phương pháp cơ bản đưa về phương trình tích:
a. Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về phương trình
tích:
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
a. x2 – 6x = 0

b. (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2)x2
Giải:
a. Để giải phương trình trên ta đưa phương trình đó về dạng phương trình
(a)
x2 – 6x = 0
⇔ x(x – 6) = 0
⇔ x = 0 hoặc x – 6 = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 6
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {0 ;6}
b. Ở phương trình này một số học sinh thường mắc sai lầm là chia cả hai
vế cho x + 2, tôi đã hướng dẫn học sinh đưa phương trình đã cho về dạng
phương trình tích bằng cách chuyển tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái và
đổi dấu các hạng tử đó, vế phải bằng 0, rồi áp dụng phương pháp đặt nhân tử
chung để phân tích vế trái thành tích .
Ta có: (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2)x2
⇔ (x + 2)(x2 – 3x + 5 – x2) = 0
⇔ (x + 2)(-3x + 5) = 0
 x = −2
⇔ 
x = 5
3



7

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-2 ; }
b. Sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để đưa về phương
trình tích:
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x - 1)2 +2(x - 1)(x + 2) + (x + 2)2 = 0

Ở câu này học sinh có thể giải bằng cách thực hiện nhân đa thức ở vế trái
sau đó phân tích thành nhân tử để đưa về dạng phương trình tích. Để giải được
câu này nhanh gọn hơn giáo viên cần hướng dẫn để học sinh nhận ra được vế
trái là hằng đẳng thức bình phương của một tổng.
(x - 1)2 +2(x - 1)(x + 2) +(x + 2)2 = 0
⇔ (x - 1 + x + 2)2 = 0
⇔ (2x + 1)2 = 0
⇔ 2x + 1 = 0
⇔x= −

1
2

1
2

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = { − }
c. Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để đưa về phương trình tích:
Ví dụ 3: Giải phương trình: x2 – x – 2x + 2 = 0
Giải: x2 – x – 2x + 2 = 0
⇔ x 2 − x − ( 2 x − 2 ) = 0 ⇔ x ( x − 1) − 2 ( x − 1) = 0

(

)

⇔ (x - 1) (x – 2) = 0

x − 2 = 0
⇔ 

⇔
x
−
1
=
0


x = 2
x = 1


Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {2;1}
d. Sử dụng phương pháp tách hạng tử để đưa về phương trình tích:
Ví dụ 4:
Giải phương trình: x2 + 2x - 3 = 0
Giải: x2 + 2x -3 = 0
⇔ x2 + 3x – x – 3 = 0
⇔ (x2 + 3x) – (x+ 3) = 0
⇔ x(x + 3) – (x+ 3) = 0
⇔ (x + 3)(x – 1) = 0
⇔ x + 3 = 0 hoặc x – 1 = 0
⇔ x = -3 hoặc x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-3;1}
Do đây cũng là phần trọng tâm, theo chuẩn kiến thức kĩ năng học sinh cần
nắm được, vì vậy tơi tiếp tục sử dụng phương pháp thảo luận nhóm theo cách 1.
Bên cạnh đó do lượng bài tập tương tự nhiều, và kỹ năng phân tích thành nhân
tử đã có, tơi chia nhóm theo khu vực địa lí và giao thêm cho học sinh chuẩn bị
bài tập trước, hoặc bài tập tự làm ở nhà.

8

e. Một số bài tốn phải biến đổi mới có nhân tử chung (dành cho HS
khá, giỏi)
Ví dụ 5: Giải phương trình: x 4 + 2 x3 + 5 x 2 + 4 x − 12 = 0
Giải:
4
x + 2 x3 + 5 x 2 + 4 x − 12 = 0 ⇔ x 3 ( x + 2) + 5 x( x + 2) − 6( x + 2) = 0
⇔ ( x + 2)( x3 + 5 x − 6) = 0
⇔ ( x + 2)( x − 1)( x 2 + x + 6) = 0
⇔ x = −2; x = 1 (vì x 2 + x + 6 > 0∀x )
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-2 ;1}
2.3.2.2. Sử dụng phép đổi biến trong phân tích đưa về phương trình
tích:
a. Các bài tốn đổi biến trực tiếp.
Ví dụ 1: Giải phương trình (x +1)4 + (x + 3)4 = 16
Giải:
Đặt: x + 2 = y
Ta có phương trình : (y – 1)4 + (y +1)4 = 16
Rút gọn ta được : 2y4 + 12y2 +2 = 16
⇔ y4 + 6y2 + 1= 8
⇔ y4 + 6y2 - 7= 0
⇔ y2 – 1)(y2 + 7) = 0
⇔ y2 =1( vì y2 + 7 > 0) ⇒ y = ± 1
Nếu y = 1 ⇒ x = -1
Nếu y = -1 ⇒ x = -3
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-1 ;-3}
b. Các bài toán thực hiện phép tính rồi mới đổi biến:
Ví dụ 2: Giải phương trình :

(x - 1)(x – 2)(x - 5)(x - 6) = 252
Giải:
(x - 1)(x – 2)(x - 5)(x - 6) = 252
⇔ [ ( x − 1)( x − 6)][ ( x − 2)( x − 5)] = 252
⇔ (x2 – 7x + 6 )(x2 - 7x + 10) = 252
Đặt x2 - 7x + 8 = y
Ta có phương trình : (y – 2)(y + 2) = 252
⇔ y2 – 4 =252
⇔ y2 = 256 ⇔ y = ± 16
Với y = 16 ta có: x2 - 7x + 8 = 16
⇔ x2 - 7x - 8 = 0
⇔ (x - 8)(x + 1) = 0
x = 8
⇔ 
 x = −1

Với y = -16 ta có: x2 - 7x + 8 = -16


9
⇔ x2 - 7x + 24 = 0

Phương trình vơ nghiệm vì:
x2 - 7x + 24 = (x -

7 2 47
) +
> 0 với mọi x
2
4

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {8 ;-1}
Chú ý : ta có thể đặt x2 – 7x + 6 hoặc x2 - 7x + 10 làm biến phụ
Ví dụ 3: Giải phương trình : x ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) = 120
Giải: Ta có: x(x+1)(x+2)(x+3)=120
⇔ [ x( x + 3) ] . ( x + 1) ( x + 2 )  − 120 = 0
⇔ ( x 2 + 3x)( x 2 + 3 x + 2) − 120 = 0

⇔ ( x 2 + 3x + 1 − 1) ( x 2 + 3 x + 1 + 1) − 120 = 0
⇔ ( x 2 + 3x + 1) − 1 − 120 = 0 ⇔ ( x 2 + 3 x + 12)( x 2 + 3 x − 10) = 0
2

2

3  39 
⇔  x + ÷ +  ( x + 5)( x − 2) = 0
2
4 

⇔ x= -5 hoặc x = 2.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-5 ;2}
Ta có thể đặt biến phụ x2 + 3x = t
GV Nhận xét mỗi bài tốn có thể có nhiều cách giải các em cần chủ động
về phương pháp lựa chọn cách giải nào hợp với sở trường của mình.
Khi dạy phần này tôi đã lưu ý: đây là nội dung kiến thức khó nên nhiều
học sinh có học lực chưa tốt khó tiếp thu được. Do vậy tơi chia lớp theo cách:
chia nhóm theo năng lực học sinh riêng biệt. Và tranh thủ hướng dẫn riêng cho
các nhóm được giao, đồng thời khuyến khích những nhóm khác tiếp thu kiến
thức.
c. Ví dụ về bài tốn về nhóm, biến đổi các hạng tử hợp lí rồi mới đổi

biến:
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2x4 – 7x3 + 9x2 - 7x + 2 = 0
Đây là phương trình đối xứng bậc chẵn nên để giải phương trình này ta
làm như sau:
Giải: Vì x = 0 khơng là nghiệm nên x ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình
2
cho x ta được:

1
2
+ 2 =0
x
x
1
1
⇔ 2(x2 + 2 ) - 7 (x + ) + 9 = 0
x
x
1
1
1
Đặt: x + = y thì y2 = x2 + 2 + 2 ⇒ y2 - 2 = x2 + 2
x
x
x

2x2 - 7x + 9 – 7.

Do đó ta có phương trình:

10

2(y2 -2) - 7y + 9 = 0
⇔ 2y2 -7y +5 = 0
y = 1
 y −1 = 0
⇔ (y-1) (2y – 5) = 0 ⇔ 
⇔
y = 5
2 y − 5 = 0
2

1
1
Với y = 1 ta có x + = 1 ⇔ x + - 1 = 0 ⇔ x2 – x + 1 = 0
x
x
1
3
Phương trình này vơ nghiệm vì x2 – x + 1 = (x - )2 + > 0 Với mọi x
2
4
5
1
5
Với y = ta có x + = ⇔ 2x2 - 5x + 2 = 0 ⇔ (2x-1)(x-2) = 0
2
x
2

x = 2
x − 2 = 0
⇔
⇔
x = 1
2 x − 1 = 0
2

1
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {2 ; }
2

2.3.2.3.Một số bài toán sử dụng hằng đẳng thức bậc 3:
Ví dụ 1: Giải phương trình : (x - 2)3 + (x + 1)3 = (2x – 1)3
Giải: Ta có: (x - 2) + (x + 1) = 2x – 1
Đặt: x – 2 = a ; x+ 1 = b .
Ta có a3 + b3 = (a + b)3 ⇔ a3 + b3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2

x = 2
a = 0
a = 0
x − 2 = 0

⇔ 3ab( a + b) = 0 ⇔ b = 0
⇔ b = 0 ⇒  x + 1 = 0
⇒  x = −1
a + b = 0
a = −b
 x − 2 = − x − 1 
1

x =
2

1
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2; x= -1; x =
2

Ví dụ 2: Giải phương trình:
(x – 1)3 + (2x-3)3 + (3x – 5)3 - 3(x -1)(2x – 3)(3x – 5) = 0
Giải:
Ta có a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca)
=

[

1
(a + b + c) (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2
2

]

(*)

Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 hay a3 + b3 + c3 = 3abc (**)
Để giải phương trình a và b ta áp dụng (**)
Áp dụng (*) ta có
(x – 1)3 + (2x-3)3 + (3x – 5)3 - 3(x -1)(2x – 3)(3x – 5) = 0

[

]

1
( x − 1 + 2 x − 3 + 3 x − 5) ( x − 2) 2 + (2 x − 4) 2 + ( x − 2) 2 = 0
2
1
⇔ (6x – 9)(x2 -4x +4 +4x2 -16x + 16 + x2 -4x +4 ) = 0
2
⇔


11
x = 2
x−2=0

⇔ 9(x - 2)2(2x – 3) = 0 ⇔ 
⇔
x = 3
2 x − 3 = 0

2
3
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2; x =
2

2.3.2.4. Một số ví dụ đưa các phương trình chứa ẩn ở mẫu về dạng
phương trình tích:
Ví dụ 1: Giải phương trình:

Giải:

ĐKXĐ: x ≠ 1, x ≠
PT 







(

(
 (x-1)(x-5).3x = 0
 x=1 hoặc x=5 hoặc x=0
Kết hợp với ĐKXĐ. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0;5}
2.3.2.5. Một số ví dụ khác :
x + 2 x + 4 x+6 x +8
+
=
+
Ví dụ 2: Giải phương trình :
98
96
94
92
Giải:
Nhận xét: Nếu quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thì việc giải phương trình
rất phức tạp vì mẫu thức chung khá lớn.Ta nhận thấy trong các phân thức ở mỗi
vế của phương trình, nếu cộng tử với mẫu thì mỗi tổng đều là x + 100 và có thể
đặt x +100 làm nhân tử chung, muốn thế mỗi phân thức phải được cộng với 1

do đó thêm 2 vào hai vế của phương trình.
Thêm 2 vào hai vế của phương trình đã cho ta được:
x+2 x+4 x+6 x+8
+
=
+
98
96
94
92


12
x+2
x+4
x+6
x +8
+1) + (
+ 1) = (
+ 1) + (
+ 1)
98
96
94
92
1
1
1
1
⇔ ( x + 100 )(

+ )=0
98 96 94
92
1
1
1
1
≠ 0
Vì :
+
98 96 94
92
Do đó: x + 100 = 0 ⇔ x = -100
⇔(

Vậy phương trình có nghiệm: x = -100
2.3.3. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. (x + 5)(x - 7) – (3x + 6)(x - 7) = 0
b. x2 + 12x + 32 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a. (x - 1)3 - (x – 3)3 = 98
b. (x – 3)3 + (x + 2)3 = (2x – 1)3
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1
2 x2 − 5
4
+ 3
= 2
x −1 x −1 x + x +1

Ngồi những ví dụ trên trong thực tế phương trình tích cịn có nhiều dạng
và nhiều bài khác nữa. Những kinh nghiệm trên của tôi chỉ góp một phần nhỏ
vào việc khắc phục các sai lầm, hạn chế của các em, góp phần phát triển tư duy
và một số kỹ năng cho các em. Do khn khổ đề tài cịn có hạn, kinh nghiệm
cịn chưa nhiều nên khơng tránh khỏi những thiếu sót, nên tơi trình bày những
kinh nghiệm cịn ít ỏi ra đây mong được trao đổi với quý đồng nghiệp để rút ra
được kinh nghiệm dạy học sinh được tốt hơn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường :
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường tôi
trong năm học 2019- 2020 tôi đã ra một đề toán về nội dung trên cho các em làm
và thu được kết quả như sau :
TB

Khá, giỏi

Yếu kém

TSHS
62

SL

%

SL

%

SL

%

25

40,3%

31

50%

6

9,7%

Nhìn vào bảng số liệu kết quả thu được khả quan và hiệu quả, chất lượng
mơn Tốn của học sinh đại trà đã được nâng lên rất nhiều so với trước khi áp
dụng đề tài, chất lượng học sinh giỏi môn Tốn 8 đạt 1 giải ba, 2 giải khuyến
khích trong kì thi HSG Tốn cấp huyện năm học 2019-2020. Các em hứng thú
học toán hơn, vận dụng và sử dụng thành thạo các phương pháp cho từng dạng


13

bài, khi gặp các phương trình có thể đưa được về dạng phương trình tích các em
tự tin và giải nhanh, chính xác hơn và các em đỡ mặc cảm, tự ti trong học tập, đã
khắc phục được những sai lầm trong khi giải tốn, u thích và có ý thức học tập
tốt hơn. Nhờ khơng khí thảo luận nhóm cởi mở giúp học các em thoải mái, tự tin
hơn trong việc trình bày ý kiến của mình và biết lắng nghe có phê phán của
những thành viên khác. Nhờ đánh giá các nhóm hợp lý từ đó kích thích các em

tự tin hơn vào bản thân, nhiệt tình tham gia học tập do đó kết quả học tập cao
hơn.
Với kết quả từ đề tài nghiên cứu trên tôi đã mạnh dạn chia sẻ cùng các
đồng nghiệp được các đồng nghiệp nhiệt tình ủng hộ, các đồng chí đã áp dụng
vào bài giảng của mình một cách có hiệu quả. Kết quả tỉ lệ học yếu, kém mơn
Tốn lớp 8 giảm rõ rệt, tỉ lệ học sinh khá giỏi tăng lên. Đây cũng là một giải
pháp quan trọng nhằm nâng cao chất lượng giáo dục chung cho nhà trường.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Việc áp dụng các phương pháp biến đổi phương trình để đưa về dạng
phương trình tích rất có hiệu quả. Từ đó đã giúp cho học sinh phát triển óc suy
luận, để từ cái đã biết đi tìm cái chưa biết. Trong phần bài tập nó đã thực sự giúp
học sinh phát triển tư duy, sự linh hoạt của học sinh, do đó nó góp phần gây
hứng thú học tập cho học sinh, giúp các em tự học, tự nghiên cứu tài liệu, tạo
niềm say mê học tập của học sinh. Làm cho học sinh thay đổi được tính tư duy,
sự nhận thức nhanh hơn, nhìn nhận một vấn đề sâu rộng hơn, chắc chắn hơn
học sinh đã biết phân tích biến đổi nhìn nhận bài tốn bằng nhiều khía cạnh khác
nhau. Sau khi dạy xong chuyên đề này thì kết quả khảo sát cao hơn nhiều so với
khi chưa áp dụng chuyên đề này.
Trong quá trình thực hiện bản thân tơi khơng thể tránh khỏi những khiếm
khuyết thiếu sót tính lơgic của hệ thống các phương trình, nên tơi rất mong được
sự đóng góp ý kiến q báu từ q thầy cơ giáo nói chung và q thầy cơ giáo
bộ mơn tốn nói riêng, nhất là các đồng chí trong tổ chun mơn để bản thân tôi
đúc rút được nhiều kinh nghiệm hơn trong quá trình dạy học nói chung và trong
việc dạy học bộ mơn tốn nói riêng, trong đó có việc dạy học giải phương trình
tích.
3.2. Kiến nghị
- Đối với nhà trường:
+ Cần bổ sung thêm các sách tham khảo trong thư viện nhà trường.
+ Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian hơn nữa để các em được

tham dự các chuyên đề rút ra từ những kinh nghiệm như trên.
- Đối với Phòng Giáo dục:
+ Mở những buổi hội thảo chun đề về bộ mơn Tốn để nâng cao trình
độ chuyên môn và học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp.
+ Tổ chức giới thiệu các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng cao, ứng
dụng lớn trong thực tiễn.


14

XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Luận Thành, ngày 20 tháng 4 năm 2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.
Tác giả
Trịnh Thị Ngân


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nâng cao và phát triển toán 8 - Tác giả: Vũ Hữu Bình – NXB Giáo dục –
Năm 2009
2. Toán Bồi dưởng học sinh lớp 8 - Tác giả: Vũ Hữu Bình –Tơn Thân - Đỗ
Quang Thiệu – NXB Giáo dục – Năm 2009
3. Nâng cao các chuyên đề đại số 8 - Tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn
Ngọc Đạm – NXB Giáo dục –Năm 2008
4. Toán cơ bản và nâng cao lớp 8 - Tác giả: Vũ Thế Hựu – NXB Giáo dục –
Năm 2007

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trịnh Thị Ngân
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên, Trường THCS Luận Thành – Thường
Xuân – Thanh Hoá.

TT

Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá
xếp loại

Kết quả
đánh giá
xếp loại

Cấp huyện

C

2008-2009

Cấp huyện

C

2013-2014

Cấp huyện

C

2017-2018

Năm học
đánh giá
xếp loại

Một số kinh nghiệm giúp đỡ
1.

học sinh yếu, kém học tốt
mơn Tốn ở trường THCS
Luận Thành.
Một số biện pháp giúp học
sinh nắm vững các hằng đẳng
thức đáng nhớ, vận dụng

2.

thành thạo trong giải các bài
toán cơ bản bậc THCS ở
trường THCS Luận Thành –
Thường Xuân
Sử dụng phương pháp thảo

luận nhóm nhằm nâng cao

3.

chất lượng dạy học mơn Tốn
cho học sinh trường THCS
Xn Lộc