SKKN TOAN 2011

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

S¸ng kiÕn kinh nghiƯm

<b>HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN</b>
<b>BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐI LÊN</b>

<b>I</b>

<b>. </b>

<b>PHẦN MỞ ĐẦU</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>ph¸t minh</i>" (G.P«lya). Muốn vậy người giáo viên phải tạo ra m«i trêng

thuận lợi cho ngời học thực hiện các hoạt động của mình với t cách là chủ
thể của hoạt động đó. Tiêu chí trong giảng dạy của giáo viên là: <i>Hãy làm dễ</i>
<i>đi, đừng làm khó hơn. </i>

Một số bài toán khi giải ta cần tính tốn theo thứ tự từ cuối lên. Ta có
thể tìm số cha biết bằng cách thực hiện liên tiếp các phép tính ngợc với các
phép tính đã cho trong bài toán. Khi giải bài toán theo phơng pháp này, ta
thờng phải suy luận ngợc từ tình huống, kết quả cuối cùng; tính ngợc từ cuối
(hoặc từ dới lên) đối với một q trình tính tốn nào đó. Khi đó, kết quả của
phép tính (phép suy luận) sẽ trở thành phần đã biết trong phép tính liền sau
đó, cứ tiếp tục nh thế cho đến khi tìm đợc số phải tìm; với một số bài toỏn
chứng minh hỡnh học ta cũng cú cỏch làm tương tự như vậy.

Trên cơ sở thực tiễn nh vậy tôi đã đầu t suy nghĩ trong các tiết lên lớp
của mình, đặc biệt là trong các tiết luyện tập cố gắng l m sao tìm ra mộtà
giải pháp đúng đắn, một phơng pháp hay một lời giải ngắn gọn, chỉ ra hớng
đi để từ đú học sinh tự tìm ra lời giải (mà khơng mang tính áp đặt) đó thực
sự là một việc làm khơng dễ trong vấn đề đổi mới phương phỏp dạy học đối
với giáo viên hiện nay. Trong khuôn khổ bài viết này tôi xin trình bày một
số ví dụ trong việc tìm ra hớng giải của một số bài toán cấp THCS bằng
ph-ơng pháp phân tích đi lên để giúp học sinh tự tìm ra sơ đồ chứng minh hoặc
tự biết trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ.

<b>II. NỘI DUNG</b>
<b> 1. Mơc tiªu:</b>

- Học sinh nắm được phương phỏp giải bài tốn bằng phơng pháp phân
tích đi lên. Từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán.

- Làm cho học sinh thấy đợc sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ,
phải suy luận hợp lơ gíc và chính xác.

- Phát triển năng lực suy luận, chứng minh toán học, kỹ năng trình bày
lời giải bài toán.

<b> </b>

<b> 2. BiƯn ph¸p thùc hiƯn</b>

Để tìm lời giải cho một bài toán giáo viên phải hớng dẫn học sinh làm
theo c¸c bíc sau:

Bớc 1. <b>Tìm hiểu nội dung bài tốn</b> (Đọc, tìm hiểu đề bài, hiểu đợc
các dữ kiện của đề bài).

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

+ Để chứng minh câu này (kết luận) ta thờng sử dụng những phơng
pháp nào ? Sau đó giỏo viờn hớng cho học sinh loại trừ những phơng pháp
không phù hợp.

KL

C¸ch A C¸ch B C¸ch C

(Lo¹i) (Lo¹i)

B1

B2

B3

GT

+ áp dụng phơng pháp đó chứng minh câu này ta phải chứng minh
điều kiện gì ?

+ Mn chøng minh ®iỊu kiện này ta cần có điều kiện nào ?... cứ
nh thÕ

Bằng hệ thống câu hỏi nh thế giáo viên sẽ hình thành đợc trong suy nghĩ của
học sinh một đờng đi từ cỏi chưa biết đến cỏi đó biết, cuối cùng giáo viên
yêu cầu học sinh tự thiết lập ra sơ đồ chứng minh hoặc giải toán rồi sau đó
mới trình bày lời giải.

Bớc 3. <b>Thực hiện chơng trình gi¶i.</b>

Bíc 4: <b>KiĨm tra lêi gi¶i.</b>

Sau đây là một số ví dụ về hớng dẫn học sinh giải một số bài toán bằng
phơng pháp phân tích ®i lªn:

<b> * Một số bài toỏn số học, đại số.</b>

<b> Ví dụ 1: </b>Tính - 2 +

1
1+ 1

2+1

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>a</b>

<b>c</b> <b>_b</b>

<b>c '</b> <b>b '</b>

<b>A</b>

<b>B</b> <b>C</b>

Cách giải: - 2 +

1
1+ 1

2+1

2

<b>=</b>

- 2 +

1
1+ 1

5
2

<b>= </b>

- 2 +

1
7

5

<b>=</b>

5
7

.

1

+

(-2)

=

−₇9

(Với những bài toán tầng dài hơn thì cách làm như trên sẽ thuận tiện hơn
trong tính tốn so với cách sử dụng dấu ngoặc).

<b> VÝ dô 2: </b>TÝnh x, biÕt: 1

<i>x</i>=

1
4+

1
13

Hái: §Ĩ t×m x ta cã thĨ thùc hiƯn phÐp tÝnh nào trớc ? (Công hai phân số
không cùng mẫu ở vÕ ph¶i)

Hỏi: Để cộng hai phân số khơng cùng mẫu ta làm thế nào ? Sau khi tính
xong vế phải ta sử dụng kiến thức nào để tìm x ? (sử dụng tính chất của tỉ lệ
thức)
Cỏch giải
1
<i>x</i>=
1
4+
1

13



1
<i>x</i>=
13
52+
4
52



1<i>_x</i>=17

52



x

=

52
17

=

3

1
17

<b> </b>
<b> </b>

<b> * Mét sè bµi to¸n chøng minh.</b>
<b> VÝ dô 1</b>:

Chøng minh hÖ thøc b2_{= ab',}h2 = b’c’ _{trong bµi: "Mét sè hƯ thøc vỊ}

cạnh và đờng cao trong tam giác vuông". Sách giáo khoa toán 9 tập 1 .

- Giáo viên: vẽ hình 1 trang 64 trên bảng và giới thiệu các kí hiệu
trên hình vẽ.

- HS: vẽ hình vào vở. h

GV hướng dẫn điều cần chøng minh: §ể chøng minh

đẳng thức b2_{= ab'}ta cần _chøng minh như thế nào ? _H

HS: Ta chøng minh AC2 = BC.HC H×nh 1

GV hỏi tiếp để chứng minh AC2 = BC.HC ta dựng kiến thức nào ? chứng

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Tãm lại cách phân tích đeồ chứng minh b2_{= ab' nh sau:}

b2_{= ab'}_ AC2 = BC.HC _⇐

<i>AC</i> <i>HC</i>

<i>BC</i> = <i>AC</i> ⇐ <i>Δ</i> AHC <i>Δ</i> BAC

- GV: Haõy chøng minh <i>AHC BAC</i> và suy ra hƯ thøc cÇn chøng minh.

<b> Chứng minh</b>: Xét hai tam giác vuông AHC và BAC. Hai tam giác
vng này có chung góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau. Do đó

<i>AC</i> <i>HC</i>
<i>BC</i> = <i>AC</i>

suy ra AC2_{= BC.HC}

, tức làb2_{= a.b' => điều phải chøng minh.}

T¬ng tù nh vËy khi chøng minh hƯ thøc h2 = b’c’

GV híng dÉn phân tích từ kÕt luËn đi lên cho häc sinh tìm hướng
chøng minh

PT: Để chøng minh h2 = b’c’ ⇔ AH2 = HB.HC ⇐

<i>AH</i> <i>CH</i>

<i>BH</i> =<i>AH</i> ⇐ <i>Δ</i>

AHB <i>Δ</i> CHA

Trình b yà c¸chchøng minh bằng phương pháp tổng hợp như sau:

<b>Chøng minh</b>:

Ta có <i>∆</i> AHB <i>∆</i> CHA vì <i>_BAH</i>^_=^<i>_ACH</i> _{(Cùng phụ với góc}

ABH)

Do đó <i>_CHAH</i>=<i>HB</i>

<i>HA</i> => AH2 = HB.HC hay h2 = bc=> điều phải chøng

minh.

<b> </b>

<b> VÝ dô 2: Bài 34 trang 80 SGK toán 9 tập 2</b>

Cho đờng tròn (O) và điểm M nằm bên ngồi đờng trịn đó. Qua điểm
M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Chứng minh MT2_{= MA . MB}

GV yêu cầu HS c , lên bảng vẽ hình, viết giả thiết, kết luận bài
toán. GT: M <i>∈</i> (O), tiếp tuyến MT, cát tuyến MAB
KL: MT2_{= MA. MB}

GV: Muèn chøng minh MT2 = MA.MB ta lµm như thế nào _{? H·y ph©n}

tích tìm sơ đồ chứng minh?

Hỏi: Đẳng thức MT2_{= MA.MB đợc suy ra từ tỉ lệ thức nào? Để viết đợc tỉ}

lệ thức đó ta cần chứng minh hai tam giác nào đồng dạng ?
HS nêu: MT2_{= MA . MB}_B



<b>S</b>

<b>S</b>

<b>S</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i>MT</i> <i>MB</i>

<i>MA</i> <i>MT</i> _A



<i>TAM</i> <i>TBM</i> _(g.g)_T

M

GV: Dựa vào sơ đồ trên hãy chứng minh <i>TAM</i> <i>TBM</i> 

rồi suy ra điều phải chứng minh.

<b> Chøng minh</b>

Xét hai tam giác BMT và TMA.
Ta có: ^<i>_M</i> _chung,

^<i>_ABT</i> ₌ ^<i>_ATM</i> _{(cùng chắn cung nhỏ AT).}

Vậy <i>∆</i> BMT <i>∆</i> TMA. Suy ra <i>MT_MA</i>=<i>MB</i>
<i>MT</i>

hay MT2_{= MA. MB}

<b>VÝ dơ 3: To¸n 7 tËp 2 </b>B
Cho hình vẽ bên.

Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng. I D
GV: Bài toán yêu cầu ta chứng minh ®iỊu g× ?

HS: Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng. A K C
GV: Để chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng ta phải làm gì ? (GV gợi ý
nếu học sinh khơng trả lời đợc). B

HS: <i>_BDA</i>^_{+ ^}<i>_ADC</i> _{= 180}0_hay <i>_BDC</i>_^ _{= 180}0

GV: Ta cã thÓ tÝnh gãc BDC nh thÕ nµo ?

A K C
Bằng những câu hỏi tơng tự nh vậy. Xuất phát từ mệnh đề cần chứng
minh ta có thể phân tích lập luận nh sau:

Ba điểm B, C, D thẳng hàng <i>_BDC</i>^ _{= 180}0 _<= <i>_BDA</i>_^ ₊ <i>_CDA</i>_^ _{= 180}0

<=

<i>B</i>
^<i>_A</i>

1+ ^¿
¿
¿

^

<i>BDA</i>=1800−¿
¿

<=

{

^<i>A</i>_^1= ^<i>B</i>

<i>A</i>₂=^<i>C</i> <=

{

<i>∆ DABc © n</i>

<i>∆ DAC c â n</i> <= D thuộc đờng

trung trùc cña AB, AC

GV: Hãy chứng minh hai tam giác <i>DAB</i> và DAC cân từ đó suy ra
điều cần chứng minh.

<b> Chứng minh</b>

Điểm D thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AB nờn DA = DB =>

<i>∆ DABc © n</i>

=> ^<i>_A</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Điểm D thuộc đờng trung trực của đoạn thẳng AC nờn DA = DC =>

<i>∆ DAC c © n</i>

=> ^<i>_A</i>

2= ^<i>C</i> , do đó <i>CDA</i>^ = 1800 - 2 ^<i>A</i>2 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra <i>_BDA</i>^ ₊ <i>_CDA</i>^ _{= 360}0_{- 2(} _^<i>_A</i>

1+ ^<i>A</i>2 )
= 3600_{- 2.90}0

= 1800

Hay <i>_BDC</i>^ _{= 180}0_{. VËy ba ®iĨm B, D, C thẳng hàng.}

<b> Ví dụ 4:</b>

Cho đờng tròn (O) và một điểm A cố định nằm ngồi đờng trịn. Từ A kẻ
tiếp tuyến AP, AQ với đờng tròn (O); P và Q là các tiếp điểm. Đờng thẳng
vng góc với OP tại O cắt AQ ở M.

Chứng minh: MO = MA

Sau khi học sinh đã nghiên cứu đề bài vẽ hình ghi GT – KL thì giáo
viên có thể đa ra những cõu hi sau:

? Chng minh hai đoạn thẳng MA = MB ta có thể dùng phơng pháp nào ?
- Sau khi häc sinh phát biểu, nêu phơng pháp thì giáo viên có thể hớng
cho học sinh đi theo hớng tam giỏc cân.

? Cần có điều kiện gì để chứng minh  AMO cõn ? (A1 = Ô1)

P
A 2

1

M

Q

? Chứng minh Â1 = Ô1 dựa vào đơn vị kiến thức nào? Những đơn vị kiến

thức đó đề bài đã cho cha ? bằng những câu hỏi nh vậy giáo viên đã hình
thành đợc trong suy nghĩ của học sinh một hớng đi để giải quyết bài toán.
Cuối cùng giáo viên yêu cầu học sinh tự lập sơ đồ chứng minh.

MA = MO
 AMO c©n

Â1 = Ô1

O

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

¢1 = ¢2 Â2 = Ô1
AP; AQ lµ 2 tiÕp tuyÕn (gt) AP // OM

AP  OP; OM  OP
AP lµ tiÕp tuyÕn GT

<b> VÝ dô 5:</b>

Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và
By. Trên nửa đờng tròn lấy điểm M bất kỳ kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By
lần lợt tại C và D. Chứng minh: CD = AC + BD

* GT: M  nửa đờng trịn (O)
đờng kính AB

TiÕp tuyÕn Ax, By, CD
KL: CD = AC + BD

C

M

D

A B

GV: Hãy nêu hớng chứng minh CD= AC + BD ? Gợi ý nếu học sinh
không trả lời đợc (CD bằng tổng hai đoạn thẳng nào?)

HS: CM + MD = CD.

GV: T×m ra mèi quan hƯ giữa các đoạn thẳng AC, Cm, MB, BD ?

* Từ những câu hỏi gợi ý đó học sinh sẽ phát hiện ra hớng chứng minh.
GV: Yêu cầu học sinh lập sơ đồ trớc khi chứng minh.

CD = CM + MD

CD = Cm + MD vµ CM = CA ; MD = BD

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

(1) Chøng minh: CM = CA
DM = BD

(2) Từ CD = CM + MD biến đổi CD = CA + BD

* Một điều đặc biệt lu ý là để học sinh định hớng đúng phơng pháp
chứng minh phù hợp ta cần cho học sinh khai thác kỹ giả thiết và kết luận
của bài toán.

<b>III. KÕT LUËN</b>

<b> </b>Phơng pháp phân tích đi lên chỉ là một phần nhỏ trong phơng pháp dạy
học bộ mơn tốn. Để giảng dạy thành cơng mỗi giáo viên cần kết hợp nhiều
phơng pháp khác nhau sao cho phù hợp với đối tợng mà mình đang dạy nhng
vẫn đảm bảo mục tiêu chung là phát huy tính tích cực của học sinh. Khi

giảng dạy toán, đặc biệt là chứng minh hình học, việc vạch cho học sinh thấy
đờng lối suy luận, phân tích để học sinh nhớ dàn ý bài học là rất quan trọng.

Tuy nhiên khi dạy bài tập tốn nói chung chúng ta khơng phải chỉ cung
cấp đờng lối giải, chứng minh cho học sinh là xong mà cần chú ý một số
điều sau đây:

a. Hớng dẫn học sinh phân tích đề bài để học sinh phân biệt rõ giả
thiết, kết luận và áp dụng kiến thức nào để giải.

b. Khi giảng cần khắc sâu kiến thức, khắc sâu phơng pháp, cho học
sinh thấy các dạng khác nhau của một vấn đề.

c. Quan t©m tíi viƯc cung cÊp vèn suy ln cho häc sinh:

+ Tập cho học sinh thói quen tự đặt câu hỏi “ Phải chứng minh cái
gì ?”, “Muốn thế phải chứng minh nh thế nào ?”.

+ TËp cho häc sinh thãi quen kiểm tra kết quả.
+ Phân tích sai lầm của häc sinh trong lêi gi¶i.

+ Trong một tiết học, nên có nhiều dạng câu hỏi để học sinh đỡ nhàm
chán và cuối cùng bài chứng minh của học sinh phải đạt đợc những yêu cầu
sau đây:

- Lời giải không có sai lầm;

- Lập luận phải có căn cứ chính xác, chặt chẽ.
- Lời giải phải đầy đủ;

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

vậy tôi thờng dùng phơng pháp phân tích khi tiến hành tìm lời giải rồi sau đó
trình bày lời giải bằng phơng pháp tổng hợp. <b> </b>

Trên đây là bài viết xuất phát từ kinh nghiệm giảng dạy của bản thân
tôi. Nội dung bài viết chắc chắn còn nhiều hạn chế và khiếm khuyết nhng
đây là một trong những phơng pháp giảng dạy cần thiết trong bộ mơn tốn.
Rất mong đồng nghiệp và lãnh đạo cấp trên góp ý, bổ sung để tơi ngày càng
hồn thiện hơn nữa kỹ năng kết hợp các phơng pháp dạy học đáp ứng đợc
phơng pháp dạy học tích cực hiện nay. Tôi xin chân thành cảm ơn ! <b> </b>

<b> Cêng lợi, ngày 28 tháng 4 năm 2011</b>
<b> X¸c nhËn cđa BGH Ngêi viÕt</b>

<b> Hiệu trưởng</b>

</div>

<!--links-->