NHIEU CACH CAU 2 CHUYEN 10 KHTN

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Giải bằng nhiều cách Câu II phần 2</b>
<b>đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHKH Tự nhiên</b>
<b>=====================================</b>
<b>Đề bài : Câu II phần 2</b>

Giả sử x, y là các s thc dng tha mÃn iều

kin (<i>x</i>+1) (<i>y</i>+1)<i></i>4

Tìm giá tr nh nht ca biu thức : <i>P</i>=<i>x</i>

2

<i>y</i> +
<i>y</i>2

<i>x</i>

====================================

<b>C¸ch 01</b> :

Theo Bất đẳng thức Bunhiacơpsky ta có :

(√<i>y</i>2

+√<i>x</i>2)

[

(

<i>x</i>

√<i>y</i>

)

2

+

(

<i>y</i>

√<i>x</i>

)

2

]

<i>≥</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)2<i>⇔p ≥</i>(<i>x</i>+<i>y</i>) (*)

Mặt khác theo Bất đẳng thức Cơsi ta có :

<i>x</i>+1<i></i>2<i>x</i>
<i>y</i>+1<i></i>2<i>y</i>

<i></i>

<i>x</i>+3<i></i>2(<i>x</i>+1)

<i>y</i>+32(<i>y</i>+1)

<i>x</i>+<i>y</i>+6<i></i>2[(<i>x</i>+1)+(<i>y</i>+1)<i></i>4(<i>x</i>+1) (<i>y</i>+1)](**)

{

mà (<i>x</i>+1) (<i>y</i>+1)<i></i>4

nên từ (**) <i>x</i>+<i>y</i>+6<i></i>8<i>x</i>+<i>y </i>2 (***)

Vậy từ (*) và (***) <i>⇒p ≥</i>2 do đó giá trị nhỏ nhất
của P là 2 khi x=y=1(t/m)

<b>Bình luận</b> : Ta có thể giải bằng các cách đặt

khác nhau , nh đặt a = x2_{> 0 và b = y}2_{> 0 , ,}<b></b>

Chẳng hạn nh sau :

====================================

<b>C¸ch 02</b> :

Khơng mất tính tổng qt ta có thể đặt

¿

<i>a</i>=√<i>x</i>>0

<i>b</i>=√<i>y</i>>0

<i>⇔</i>

¿<i>x</i>=<i>a</i>2

<i>y</i>=<i>b</i>2

¿{

¿

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Khi đó ta có bài tốn( I) mới sau : cho a > 0 ; b >
0 thoả mãn ( a+1)(b+1) 4 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = <i>a_b</i>42+

<i>b</i>4

<i>a</i>2 , thËt vËy ta

cã :

Theo Bất đẳng thức Bunhiacơpsky ta có :

<i>P</i>=(<i>b</i>2+<i>a</i>2)

[

(

<i>a</i>

2

<i>b</i>

)

2

+

(

<i>b</i>

2

<i>a</i>

)

2

]

<i>≥</i>(<i>a</i>2

+<i>b</i>2)2<i>⇔p ≥</i>(a2+<i>b</i>2)=(<i>a</i>+1)2+(b+1)2<i>−2</i>(a+<i>b</i>+1)

Lại đặt

¿

<i>X</i>=<i>a</i>+1>1

<i>Y</i>=<i>b</i>+1>1

<i>⇒X</i>+<i>Y</i>=<i>a</i>+<i>b</i>+2

¿{

¿

;

khi đó ta lại có bài toán(II) mới sau :

Cho X > 1 ; Y > 1 tho¶ m·n X.Y 4 . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

P = X2_{+ Y}2_{2( X+Y -1) , ta cã lêi gi¶i sau :}<i>_–</i>

Ta cã P = X2_{+ Y}2_{– 2( X+Y -1) =}

(<i>X −2</i>)2+(<i>Y −2</i>)2+2(<i>X</i>+<i>Y −3</i>) (*)

Mà theo côsi có : <i>X</i>+<i>Y </i>2XY<i></i>4<i>X</i>+<i>Y −</i>3<i>≥</i>1<i>⇔</i>2(<i>X</i>+<i>Y −3</i>)<i>≥</i>2
( v× XY 4 ) vµ (X – 2 )2 0 vµ (Y – 2 )2 0

nên P 2 ,do đó giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi
X= Y = 2 hay a = b = 1 hay x = y = 1

Bình luận :

====================================

<b>Cách 03</b> :

Xét bài toán (II) trên ta có :

Cho X > 1 ; Y > 1 tho¶ m·n X.Y 4 . Tìm giá trị

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Đặt

<i>X</i>=2<i> </i>>1

<i>Y</i>=2+<i></i>>1

<i></i>1<<i></i><1

{

; khi ú ta có bài tốn (III) mới
sau:Cho <i>−</i>1<<i>α</i><1 và ₄<i>_{− α}</i>2<i>_≥</i>₄ Tìm giá trị nhỏ

nhÊt cđa biĨu thøc P = 2 +2<i>α</i>2 . thËt vËy ta cã :
4<i>− α</i>2<i>≥</i>4<i>⇔−α</i>2<i>≥</i>0<i>⇔α</i>2<i>≤0</i> mµ thùc rat a cã : <i>α</i>2<i>≥</i>0 nªn ta

suy ra <i>α</i>=0 (*)Mặt khác ta có p = 2+2<i></i>2<i>2</i> . Do ú

giá trị nhá nhÊt cña P = 2 khi <i>α</i>=0 (t/m (*)) hay

X = Y =2 hay a = b = 1 hay x =y = 1
B×nh luËn :

====================================

<b>Cách 04</b> :

Xét bài toán (III) ta có : Cho <i>−</i>1<<i>α</i><1 vµ ₄<i>_{− α}</i>2<i>_≥</i>₄

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 +2<i>α</i>2 .

Thật vậy ta có :Đặt <i>−1</i><<i>α</i>=<i>m−1</i><1<i>⇔</i>0<<i>m</i><2 . Khi ú ta

có bài toán (IV) mới sau : Cho 0<<i>m</i><2 và

<i>m</i>12<i></i>4

4<i></i> . Tìm giá trị nhỏ nhât của biểu thức P =

2m2_{– 4m + 4 . ThËt vËy ta cã :}

<i>m−1</i>¿2<i>≤</i>0

<i>m−1</i>¿2<i>≥0⇔</i>¿

<i>m−</i>1¿2<i>≥</i>4<i>⇔−</i>¿

4<i>−</i>¿

mà lại
có <i>m</i>12<i></i>0

nên có m 1 =0 hay m = 1 ( t/m : 0<m<2)
MỈt kh¸c cã P = 2m2_{– 4m + 4} <i>_⇔</i>

2<i>m</i>2<i>−</i>4<i>m</i>+4<i>− p</i>=0

(*) . Do đó bài tốn thoả mãn đầu bài khi phơng
trình (*) có nghiệm

<i>⇔Δ,_≥</i>₀<i>_⇔</i>₄<i>₋₂</i>₍₄<i>_{− P}</i>₎<i>_≥</i>₀<i>_⇔−</i>₄

+2<i>P ≥</i>0<i>⇔−</i>2+<i>P </i>0<i>P </i>2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi phơng trình (*)
có nghiệm kép m = 1 ( t/m) hay <i>α</i>=0

hay X = Y =2 hay a = b = 1 hay x = y =1
B×nh luËn :

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Theo Bất đẳng thức Bunhiacơpsky ta có :

(√<i>y</i>2+√<i>x</i>2)

[

(

<i>x</i>

√<i>y</i>

)

2

+

(

<i>y</i>

√<i>x</i>

)

2

]

<i>≥</i>(<i>x</i>+<i>y</i>)2<i>⇔p ≥</i>(<i>x</i>+<i>y</i>) (*)

lại Theo bất đẳng thức cơsi ta có :
4<i>≤</i>(√<i>x</i>+1)(√<i>y</i>+1)<i>≤</i>

(

√<i>x</i>+1+√<i>y</i>+1

2

)

2

(**)

Mặt khác theo bất đẳng thức bunhiacơpsky ta có

(1.√<i>x</i>+1._√<i>y</i>)<i>≤</i>_√2(<i>x</i>+<i>y</i>)<i>⇔</i>(√<i>x</i>+1+_√<i>y</i>+1)<i>≤</i>2+_√2(<i>x</i>+<i>y</i>)<i>⇔</i>(√<i>x</i>+1+√<i>y</i>+1)
2 <i>≤</i>

(

2+√2(<i>x</i>+<i>y</i>)
2

)

<i>⇔</i>

(

√<i>x</i>+1+√<i>y</i>+1

2

)

2

<i>≤</i>

(

2+√2(<i>x</i>+<i>y</i>)

2

)

2

(***)
Tõ (**) vµ (***) ta cã :

(

2+_√2(<i>x</i>+<i>y</i>)

2

)

2

<i>≥</i>4<i>⇔</i>2+√2(<i>x</i>+<i>y</i>)<i>≥</i>4<i>⇔x</i>+<i>y ≥</i>2 (****) ,

Do đó từ (*) và (****) ta có giá trị nhỏ nhất của
P là 2 khi x = y = 1

<i><b>Trên đây là một số cách tham khảo , ngoài ra</b></i>
<i><b>còn rất nhiều cách giải khác , mong các bạn </b></i>
<i><b>tìm thêm !</b></i>

</div>

<!--links-->