SKKN phân dạng và định hướng phương pháp giải lớp bài toán về tính đơn điệu của hàm số trong đề thi TNTHPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI
LỚP BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
LĨNH VỰC: TỐN HỌC

Nhóm tác giả
1. Phan Đình Trường

- P. Hiệu trưởng

2. Trương Đức Thanh

- Giáo viên

NĂM HỌC 2020 2021


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN DẠNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI
LỚP BÀI TỐN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
LĨNH VỰC: TỐN HỌC

Nhóm tác giả
1. Phan Đình Trường

- P. Hiệu trưởng

2. Trương Đức Thanh

- Giáo viên

NĂM HỌC 2020 2021


MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ..................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................... 1
2. Giới hạn nội dung và phạm vi áp dụng. ...................................................................... 2
3. Phương pháp nghiên cứu: ............................................................................................ 2
4. Tính mới và ý nghĩa của đề tài. ................................................................................... 3
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .............................................................................. 4
1. Cơ sở khoa học. ........................................................................................................... 4
1.1. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số ................................................................ 4
1.2. Khái niệm về giá trị lớn nhất nhỏ nhất .................................................................. 4
2. Thực trạng năng lực, chất lượng mơn Tốn của học sinh tại trường THPT
DTNT tỉnh ....................................................................................................................... 5
2.1. Thực trạng chất lượng ........................................................................................... 5
2.2. Thực trạng năng lực học, giải tốn về tính đơn điệu của hàm số .......................... 5
3. Một số kinh nghiệm về phân dạng, định hướng xây dựng phương pháp giải các
dạng tốn về xét tính đơn điệu của hàm số. .................................................................... 7
3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f ( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của

f ( x) ................................................................................................................................. 7

3.2. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f '( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của
f '( x) .............................................................................................................................. 16

3.3. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết biểu thức f '(u ( x)) , bảng biến thiên
hoặc đồ thị của f  ( u( x) ) ................................................................................................ 25
3.4. Bài tốn xét tính đơn điệu chứa tham số ............................................................. 32
4. Kết quả đạt được ........................................................................................................ 52
5. Bài học kinh nghiệm .................................................................................................. 53
5.1.Tìm hiểu đối tượng học sinh để lựa chọn phương pháp phù hợp. ........................ 53
5.2. Khuyến khích học sinh tự tìm tịi, khám phá trong q trình giải toán ............... 54
6. Hướng phát triển của đề tài ....................................................................................... 54
PHẦN III. KẾT LUẬN ....................................................................................................... 55
1. Kết luận...................................................................................................................... 55
2. Kiến nghị. .................................................................................................................. 55
2.1. Đối với các cấp, ngành ........................................................................................ 55
2.1. Đối với nhà trường .............................................................................................. 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 56


DANH MỤC VIẾT TẮT

TNTHPT

: Tốt nghiệp trung học phổ thông

THPT

: Trung học phổ thông

THPT DTNT : Trung học phổ thông Dân tộc Nội trú
HS

: Học sinh

SKKN

: Sáng kiến kinh nghiệm.


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình mơn tốn trung học phổ thơng, chủ đề hàm số được
xây dựng xuyên suốt chương trình, tạo nên sự gắn bó giữa các phân mơn tốn
học với nhau. Các bài toán về hàm số rất đa dạng, được khai thác ở nhiều khía
cạnh khác nhau tạo nên nhiều lớp bài toán đặc trưng về hàm số.
Từ năm học 2017-2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã thực hiện đề án thi
tốt nghiệp trung học phổ thơng mơn Tốn bằng hình thức trắc nghiệm. Nội dung
chương trình chủ yếu tập trung vào chương trình khối 12, các bài tốn được khai
thác đưa vào đề thi rất đa dạng. Trong nội dung đề thi, bài toán về hàm số được
đưa vào với tỷ lệ từ 10-15 % ở cả 3 mức độ nhận biết, thơng hiểu, vận dụng. Các
bài tốn về hàm số thường rất đa dạng và khó đặc biệt là các bài ở mức độ vận
dụng, vận dụng cao . Chỉ từ một bài toán về hàm số quen thuộc, ta thay đổi một
vài dự kiện thì nó sẽ “biến” thành bài tốn lạ, khó đối với HS. Với thực trạng
hiện nay, do áp lực của thi cử nên việc học Toán của HS thiên về các phương
pháp thực dụng để giải quyết các bài toán trắc nghiệm; các em nhìn các đối
tượng tốn học dưới dạng tĩnh mà chưa nhìn nhận dưới dạng động; khả năng
nhìn nhận, khai thác các dạng tốn dưới dạng tổng thể cịn hạn chế. Điều đó dẫn
đến HS gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán về hàm số ở mức độ vận

dụng, vận dụng cao.
Các lớp bài toán về hàm số trong đề thi TNTHPT bao gồm các dạng:
Bài tốn về tính đơn điệu; bài tốn về cực trị; bài toán về sự tương giao, bài toán
về giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Trong đó lớp bài tốn về tính đơn điệu là lớp bài
tốn đa dạng nhất và nó cũng là cơ sở để xây dựng phương pháp giải các lớp bài
tốn khác.
Là giáo viên dạy học mơn Toán ở trường THPTDTNT tỉnh, đối tượng
HS chủ yếu là con em đồng bào dân tộc thiểu số thuộc vùng đặc biệt khó khăn,
chất lượng đầu vào cịn thấp, năng lực tư duy về tốn cịn nhiều hạn chế; vấn đề
đặt ra làm thế nào để HS giải được các bài toàn ở mức độ vận dụng, vận dụng
cao trong đề thi TNTHPT với khoảng thời gian làm bài 50 câu/90 phút. Điều đó
địi hỏi chúng tơi phải ln phải tìm tịi, nghiên cứu để đưa ra các giải pháp phù

1


hợp nhằm nâng cao chất lượng giáo dục nói chung của nhà trường, chất lượng
giáo dục mơn Tốn nói riêng.
Thực tế trong q trình giảng dạy ơn thi TNTHPT về lớp bài tốn xét
tính đơn điệu của hàm số chúng tôi đã căn cứ vào cơ sở khoa học, đề thi
TNTHPT, đề minh họa, đề thi tốt nghiệp các năm, các tài liệu ơn thi tốt nghiệp
để từ đó phân chia thành các dạng tốn, từ đó định hướng phương pháp giải và
sắp xếp theo logic các dạng toán từ mức độ nhận biết, thông hiểu để mở rộng lên
mức độ vận dụng, vận dụng cao. Đồng thời, trong mỗi bài tốn chúng tơi đã
giúp HS biết cách nhận xét bản chất bài tốn, tìm tịi nghiên cứu đưa ra nhiều
phương pháp giải khác nhau để HS lựa chọn phương pháp tối ưu cho mỗi bài
tốn. Những giải pháp đó đã giúp HS nắm được tổng thể lớp bài toán về tính
đơn điệu của hàm số, bước đầu nhận thấy đem lại kết quả rõ rệt qua các bài
kiểm tra khảo sát, kì thi TNTHPT 2019-2020. Từ những lý do trên trong thực
tiễn công tác của bản thân chúng tôi đã đúc rút được kinh nghiệm “Phân dạng

và định hướng phương pháp giải lớp bài tốn về tính đơn điệu của hàm số
trong đề thi TNTHPT”.
2. Giới hạn nội dung và phạm vi áp dụng.
- Đề tài đề cập đến một số kinh nghiệm giúp HS phân dạng, định hướng
xây dựng và nắm vững phương pháp giải lớp bài toán tính đơn điệu của hàm số
trong cấu trúc đề thi TN THPT.
- Khách thể nghiên cứu: HS trường THPT DTNT tỉnh Nghệ An, HS
trường Dân tộc Nội trú THPT số 2, HS trường THPT Lê Viết Thuật
- Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng tại trường THPT DTNT tỉnh
Nghệ An, trường Dân tộc Nội trú THPT số 2, trường THPT Lê Viết Thuật.
3. Phương pháp nghiên cứu:
3.1. Phương pháp khảo sát: Mục đích của phương pháp khảo sát là tìm
hiểu, đánh giá thực trạng và kết quả của các vấn đề nghiên cứu. Phương pháp
khảo sát có thể được tiến hành bằng nhiều hình thức khác nhau.
Trong đề tài này, chúng tơi sử dụng phương pháp khảo sát để tìm hiểu
thực trạng năng lực Toán học; thực trạng năng lực học và giải các dạng tốn về
tính đơn điệu của hàm số, đặc biệt chú trọng khảo sát đánh giá năng lực giải các
2


bài ở mức độ vận dụng, vận dụng cao; khảo sát việc thực hiện dạy ôn thi
TNTHPT của giáo viên về lớp bài tốn tính đơn điệu của hàm số.
3.2. Phương pháp phân tích: Thơng qua các số liệu khảo sát, phân tích
đánh giá thực trạng việc dạy và học của HS.
3.3. Phương pháp tổng hợp: Tổng hợp mọi vấn đề liên quan để hình
thành lí luận, nội dung của đề tài, vận dụng của đề tài để rút ra kết luận cần thiết.
3.4. Phương pháp khái quát hóa: Từ các số liệu, giải pháp thực nghiệm
để khái quát thành giải pháp chung cho đề tài
3.5. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực hiện áp dụng đề tài trên
một số phạm vi, đánh giá tác động của đề tài từ đó

4. Tính mới và ý nghĩa của đề tài.
- Căn cứ vào nội dung, chương trình thi TNTHPT về lớp bài tốn xét
tính đơn điệu hàm số; phân tích, đánh giá căn cứ vào giả thiết, yêu cầu của bài
toán và tính chất đặc trưng của các hàm số từ đó chia thành các dạng, hướng dẫn
HS phân tích, nhận xét bản chất bài toán, xây dựng phương pháp giải cho các
dạng và sắp xếp khai thác theo trình tự logic từ mức độ nhận biết, thông hiểu
đến mức độ vận dụng, vận dụng cao. Trong quá trình áp dụng, thực hiện đã giúp
cho HS nắm vững tổng thể các dạng, vận dụng linh hoạt phương pháp giải lớp
bài toán về xét tính đơn điệu của hàm số, tránh được một số sai lầm thường xảy
ra đối với dạng toán hàm số, giải được các bài ở mức độ vận dụng, vận dụng
cao. Từ đó, đã nâng cao năng lực giải toán cho HS và nâng cao kết quả thi
TNTHPT mơn Tốn.
- Đề tài có thể áp dụng rộng rãi ở các trường THPT và làm tài liệu tham
khảo cho các giáo viên ôn thi TNTHPT và nghiên cứu các lớp bài toán khác về
hàm số.

3


PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Cơ sở khoa học.
1.1. Khái niệm về tính đơn điệu của hàm số
1.1.1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định trên K ( K là một
khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn)
Hàm
số
biến
(tăng)
trên
nếu

y = f ( x) đồng
K
x1, x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
- Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu
x1, x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số
đơn điệu trên K .
1.1.2. Định lí: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng K .
- Nếu f  ( x )  0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
- Nếu f  ( x )  0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
Chú ý: Nếu f  ( x )  0, x  K (hoặc f  ( x )  0, x  K ) và f  ( x ) = 0 chỉ tại một
số hữu hạn điểm của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến
trên khoảng K ).
1.2. Khái niệm về giá trị lớn nhất nhỏ nhất
1.2.1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D.
* Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu:
 f ( x)  M , x  D
.

x0  D, f ( x0 ) = M

* Số

m

Kí hiệu: M = max f ( x) .
D

gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu:

 f ( x)  m, x  D
.

x0  D, f ( x0 ) = m

Kí hiệu: m = min f ( x) .
D

1.2.2. Định lí
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên đoạn đó.
1.2.3. Phương pháp:
+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên.
B1: Tính f  ( x ) và tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn  D mà tại đó f  ( x ) = 0 hoặc
hàm số khơng có đạo hàm.
B2: Lập bảng biến thiên.
B3: Kết luận
+ Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn
4


B1: Hàm số đã cho y = f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn  a; b.
Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng ( a; b ) , tại đó f  ( x ) = 0 hoặc
f  ( x ) không xác định.
B2: Tính f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b)
B3: Khi đó:

max f ( x ) = max  f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ).
 a ,b 

min f ( x ) = min  f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( a ) , f ( b ).
 a ,b 

Chú ý:
min f ( x ) = f ( a )
a ;b
- Nếu y = f ( x ) đồng biến trên  a; b thì 
.
max f ( x ) = f ( b )

 a;b
min f ( x) = f ( b )
a ;b
- Nếu y = f ( x ) nghịch biến trên  a; b thì 
.
max f ( x) = f ( a )

 a;b

- Hàm số liên tục trên một khoảng có thể khơng có giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trên khoảng đó.
2. Thực trạng năng lực, chất lượng mơn Tốn của học sinh tại trường
THPTDTNT tỉnh
2.1. Thực trạng chất lượng
* Chất lượng đầu vào lớp 10
Điểm
Năm học
2018-2019
2019-2020

2020-2021

Tổng số
HS

Điểm từ Điểm từ Điểm từ Điểm từ Điểm
9-10
8 -<9
7 -<8
5 -<7
<5

180
189
215

0
1
1

6
0
10

19
41
28

36
44

31

119
103
145

Đánh giá chất lượng đầu vào: Điểm đầu vào thấp, số em đạt điểm toán từ
8 điểm trở lên rất ít. Hơn 50% HS điểm thi toán đầu vào dưới 5 điểm.
2.2. Thực trạng năng lực học, giải tốn về tính đơn điệu của hàm số
2.2.1. Thực trạng.
Đánh giá việc tiếp thu và làm bài và làm bài ở các mức độ: Đối với mức
độ nhận biết, thông hiểu các em làm khá tốt. Tuy nhiên ở mức độ vận dụng, vận
dụng cao
có rất ít các em có thể giải được các bài tốn. HS gặp nhiều khó khăn khi
giải các bài tốn vận dụng, vận dụng cao.
2.2.2. Kết quả khảo sát
5


* Qua khảo sát HS 3 trường THPT bằng câu hỏi trắc nghiệm:
Em nhận thấy các bài về tính đơn điệu của hàm số ở mức độ vận dụng,
vận dụng cao trong cấu trúc đề thi TNTHPT khó ở mức độ nào?
+ Mức độ vận dụng:
A. Rất khó
B. Khó
C. Bình thường
D. Dễ
Kết quả:
Rất khó

Bình
thường

Khó

Dễ

K12 trường THPT DTNT Tỉnh

65,2 %

30,4%

4,1%

0%

K12 trường DTNT THPT số 2

58%

33,5%

6,4%

2,1%

K12 trường Lê Viết Thuật

24,7%

31,3%

25,2%

8,8%

+ Mức độ vận dụng cao:
A. Rất khó
B. Khó

C. Bình thường

D. Dễ

Kết quả:
Rất khó

Khó

Bình
thường

Dễ

K12 trường THPT DTNT Tỉnh

65,5 %

34,5%

0%

0%

K12 trường DTNT THPT số 2

53,5%

46,5%

0%

0%

K12 trường Lê Viết Thuật

51,3%

42,3%

6,4%

0%

* Qua bài kiểm tra khảo sát 45 phút ở ba lớp – Trường THPTDTNT Tỉnh
năm học 2019 - 2020. (Đề được ra ở 4 mức độ: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng,
vận dụng cao)
Kết quả:
Lớp

Tốt

Khá

Trung bình

Yếu

12A1

2,5%

27,5%

66,5%

3,5%

12A2

0%

20,5%

72,5%

7%

12A3

0%

23,5%

71%

5,5%

Đánh giá kết quả làm bài của HS:
- Mức độ nhận biết, thông hiểu: Đa số các em HS làm tốt mức độ này.

6


- Mức độ vận dụng: Chỉ có một số em vận dụng tốt phương pháp và làm
bài tốt.
- Mức độ vận dụng cao: Hầu hết các em không nắm được phương pháp
giải.
3. Một số kinh nghiệm về phân dạng, định hướng xây dựng phương
pháp
giải các dạng tốn về xét tính đơn điệu của hàm số.
Trong đề thi TNTHPT các bài tốn về tính đơn điệu rất đa dạng, được
đưa ra ở cả 4 mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Việc
phân chia các bài toán dựa vào giả thiết và yêu cầu của bài toán.
Do đó để HS để dàng nắm phương pháp giải lớp bài tốn này chúng tơi
đã phân chia thành các dạng từ đó định hướng xây dựng phương pháp giải các
dạng đó và phát triển cách giải cho các bài tốn tổng hợp theo một trình tự logic
như sau:
Trước hết chúng tơi căn cứ vào giả thiết bài tốn để phân dạng thành các

trường hợp:
+ Cho biết hàm số f ( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f ( x) .
+ Cho biết f '( x) bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '( x) .
+ Cho biết f '(u ( x)) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '(u ( x)) .
3.1. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f ( x) , bảng biến thiên hoặc
đồ thị của f ( x)
Đối với dạng này chúng tôi đã chia ra làm 3 trường hợp: Xét tính đơn
điệu của hàm số f ( x) , f (u( x)) và hàm số tổng quát g ( x) .
3.1.1. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x) khi biết hàm số
f ( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f ( x)
Phương pháp: Dạng bài toán này đã được trình bày ở SGK Giải tích. 12
như sau:
B1. Tìm tập xác định.
B2.Tính đạo hàm, tìm nghiệm phương trình f '( x) = 0 (nếu có). Lập bảng
biến thiên
B3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận
Chú ý:
Khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số f ( x) thì ta hoàn toàn tương tự
- Từ bảng biến thiên của f ( x) ta dựa vào dấu đạo hàm dễ dàng suy ra
khoảng đơn điệu
- Từ đồ thị của f ( x) ta căn cứ vào chiều của đồ thị từ trái qua phải để kết
luận: Hướng đi lên thì đồng biến, hướng đi xuống thì nghịch biến.
(Đây là dạng bài tốn đơn giản nên chúng tơi khơng đưa ra ví dụ họa)
7


3.1.2. Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số f (u( x)) khi biết f ( x) ,
bảng biến thiên hoặc đồ thị của f ( x)
Phương pháp 1:
Từ hàm số f ( x) ta thay x bằng , suy ra hàm số g ( x) = f (u( x)) . Ta xét sự

biến thiên của hàm số g ( x) như phương pháp giải Dạng 1.
Phương pháp 2:
Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số f (u( x))
Bước 2. Sử dụng nghiệm của phương trình f '( x) = 0 , để tìm nghiệm của
phương trình f '(u( x)) = 0 từ đó dựa vào dấu của f '( x) suy ra dấu của f '(u ( x)) lập
bảng biến thiên của hàm số f (u( x))
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
Bài toán áp dụng:
1
3

Bài 1. Cho hàm số f ( x) = x3 − 2x 2 + 3x − 1 . Hàm số f (2x + 1) đồng biến
trên khoảng:
A. ( 0;1)

C (−;1)

B.(1; +)

D.(0 : +)

Hướng dẫn giải
Ở bài tốn này ta có thể hướng dẫn HS giải theo các cách sau:
Cách 1. Tìm f (2x + 1) sau đó áp dụng phương pháp Dạng 1.
1
3

8
3
Từ đó xét hàm số g ( x) ta dễ dàng suy ra kết quả: Đáp án B

Ta có: g ( x) = f (2x + 1) = (2x + 1)3 − 2(2x + 1) 2 + 3(2x + 1) −1 = x3 − 4x 2 +

1
3

Tuy nhiên ở C1 nếu thay hàm số u(x) phức tạp thì việc thay vào để tính
f (u( x)) khó khăn, làm cho học sinh dễ sai lầm. Nên ta có thể hướng dẫn HS giải
theo cách sau.
Cách 2. Ta dễ dàng lập bảng biến thiên của hàm số f ( x) như sau:
x
−
f '( x)
f ( x)
−

+

1
0
1
3

−

3
0

+

+
+

-1

Đặt g ( x) = f (2x + 1)
Ta tính. ( g ( x)) ' = f (2x+1))' = 2.f '(2x + 1)
2x + 1 = 1
x = 0
 g '( x) = 0  2. f '(2x + 1) = 0  

2x + 1 = 3  x = 1

8


Lập bảng biến thiên của g ( x)
x
−
g '( x)

0
0
1
3

+

g ( x)
−

+

1
0

−

+
+

-1

Từ bảng biến thiên ta suy ra: Đáp án B
Chú ý: Cách xét dấu g '( x)
- Ta chỉ cần chọn một khoảng bất kì, trên khoảng đó chọn 1 giá trị x thay
vào g '( x) sau đó dựa vào bảng biến thiên của f ( x) suy ra dấu của g '( x) trên
khoảng đó rồi suy ra dấu trên các khoảng còn lại
- C2 thường áp dụng cho các bài toán chỉ cho bảng biến thiên, đồ thị của
f ( x) mà không cho hàm số cụ thể.
Bài 2: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau:
x
f ( x)

−
+

f ( x)

1

0
17
6

2
0

−

+
+

+

8
3

−

Hàm số g ( x) = f ( x − x 2 ) nghịch biến trên khoảng?
1
A.  − ; +  .
 2



3
B.  − ; +  .
 2



3
C.  −;  .


2

1
D.  ; +  .
2



Hướng dẫn giải
Nhận xét: Như vậy ở bài tốn này giả thiết khơng cho f ( x) nên ta áp
dụng phương pháp 2.
2
Cách1.Ta có g ' (x ) = (1 - 2 x ) f ¢(x - x ).

1 − 2 x = 0
1 − 2 x = 0
1

g '( x) = 0  
  x − x2 = 1  x =
2
2
 f '( x − x ) = 0
 x − x2 = 2



Bảng biến thiên

9


Từ bảng biến thiên, suy ra đáp án D
Chú ý: Nếu khơng lập bảng biến thiên ta có thể hướng dẫn học sinh giải
trực tiếp như sau

Hàm số g (x ) nghịch biến

éìï 1 - 2 x < 0
êï
êíï f ¢ x - x 2 > 0
)
êïỵ (
Û g ¢(x ) < 0 Û ê
.
êìï 1 - 2 x > 0
ờù
ờớù Â
2
ờởùợ f (x - x ) < 0

ỡù 1- 2 x < 0
ï
+ Trường hợp 1: íï f ¢(x - x 2 )> 0 Û
ïỵ

ìï
ïï x > 1
1
Û x> .
2
í
ïï
2
2
2
ïïỵ x - x < 1 Ú x - x > 2

1

1 − 2 x  0
x 

+ Trường hợp 2: 
2
2
f
'(
x
−
x
)

0


1  x − x 2  2 hệ bất phương trình vơ


nghiệm
1

Kết hợp hai trường hợp ta được x > 2 . Chọn D
Để phát triển tư duy cho HS, kích thích sự tìm tịi, đam mê học tập của
HS đối với bài toán này ta nên định hướng học sinh giải thêm các cách sau:
2

ỉ 1 ư÷ 1 1 theo do thi f '(x )
2
Cách 2. Vì x - x = - ỗỗỗốx - 2 ứữữ + 4 Ê 4 ắ ắ ắ ắ ắđ f Â(x - x )> 0.
2

Suy ra dấu của g ' (x ) phụ thuộc vào dấu của 1- 2x. Yêu cầu bi toỏn cn

1
g ' (x ) < 0 ắ ắđ 1 - 2 x < 0 Û x > .
2
Cách 3. Từ giả giả thiết bài toán ta nhận xét bài tốn đúng với mọi hàm số
có bảng biến thiên như giả thiết. Ta thấy, bảng biến thiên của hàm số có dạng
của hàm bậc 3 nên ta có thể chọn hàm số f ( x) như sau:
Ta giả sử f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d  f '( x) = 3ax 2 + 2bx + c
éf '(1) = 0
ê
êf '(2) = 0
ê
ê

Từ bảng biến thiên ta có hệ: Û êf (1) = 17
ê
6
ê
ê
8
êf (2) =
êë
3

é 1
êa =
ê
3
ê
ê - 3
Û êb =
2
ê
ê
êc = 2
ê
êëd = 2

Suy ra
f ( x) =

x3 3x 2
( x − x 2 )3 3( x − x 2 ) 2
−

+ 2 x + 2  g ( x) = f ( x − x 2 ) =
−
+ 2( x − x 2 ) + 2 .
3
2
3
2

Khi đó g '( x) = (1 − 2 x)[( x − x 2 ) 2 − 3( x − x 2 ) + 2]
10


1
g '( x ) = 0  x = .
2

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra đáp án D
Cách 4. Chúng ta dùng phương pháp thử f ( x) (phương pháp này sẽ giúp
học sinh loại bỏ phương án không đúng)
Phương án A.  − ; +  . Ta chọn 2 giá trị x1 = 0  x2 =  (− ; +) thay
2
2
 2

1

1

1

1
4

vào f ( x − x 2 ) ta được tương ứng f (0), f ( ) . Từ bảng biến thiên của f ( x) ta có
1
 1

f (0)  f ( ) . Suy ra hàm số không nghịch biến trên khoảng  − ; +  , ta loại A
4
 2


Tương tự, với phương án

B.

 3

 − ; + 
 2


sai với cách chọn

1
3
x1 = 0  x2 =  (− ; +)
2

2

3
1
3
Phương án C.  −;  cũng sai với cách chọn x1 = 0  x2 =  (−; ) .


2

2

2

Vậy đáp án đúng là D.
Chú ý: Đối với phương pháp này khi hướng dẫn HS chọn 2 giá trị x1 , x2
thích hợp để sao cho khi thay vào u( x) ta được 2 giá trị u1 , u2 nằm trên một
khoảng của bảng biến thiên f ( x) thì ta mới so sánh được f (u1 ), f (u2 ) .
Cách 5: Chúng ta có có thể dùng phương pháp thử g '( x) (phương pháp
này sẽ giúp HS loại bỏ phương án khơng đúng)
Tính g '( x) = (1 − 2 x) f '( x − x 2 ) . Chọn các giá trị x hợp lí thuộc các đáp án
để loại bỏ các phương án sai.
Phương án A.  − ; +  . Chọn x = 0 ta có g '(0) = 1. f '(0) . Dựa vào bảng
 2

biến thiên f ( x) ta có f '(0)  0 nên đáp án A sai.
1

Tương tự, với phương án B.  − ; +  sai khi chọn x = 0 và thay vào
 2


3

g '( x) .
3
Phương án C.  −;  cũng sai với cách chọn x = 0 và thay vào g '( x) .


2

Vậy đáp án đúng là D.
11


Đối với những phương án thử đáp án thì giúp HS khi gặp phải những
bài toán việc xét dấu gặp khó khăn. Tất nhiên phương pháp này cũng chỉ giúp
HS giải quyết được ở một số bài toán.
Bài 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
y = f ( 2 − x 2 ) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. (1; + ) . B. ( −1;0) .

C. ( −2;1) .

D. ( 0;1) .

Hướng dẫn giải
Cách 1. Từ đồ thị ta có hàm số y = f ( x ) đồng biến trên mỗi khoảng

( −;0) và ( 2;+) . Hàm số

y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

Xét hàm số y = f ( 2 − x2 )
Ta có y = −2 x. f  ( 2 − x2 )

x = 0
x = 0

, y = 0   2 − x 2 = 0  
. ( x = 0 là nghiệm
x
=

2

2
2 − x = 2


bội 3)
Dễ thấy y ( 2) = −4 f  ( −2)  0 (do hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng

( −;0) nên

f  ( −2)  0 )

Ta có bảng xét dấu y 
x
y'

- 2

-∞
+

0

-

0

+∞

2

0
+

0

-

Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;1) . Đáp án D
Cách 2. Từ đồ thị ta có hàm số y = f ( x ) đồng biến trên mỗi khoảng

( −;0) và ( 2;+) . Hàm số

y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

Xét hàm số y = f ( 2 − x2 ) ta có y = −2 x. f  ( 2 − x2 ) .
Để hàm số y = f ( 2 − x2 ) đồng biến thì −2 x. f  ( 2 − x2 )  0  2 x. f  ( 2 − x2 )  0 .
Ta có các trường hợp sau
Trường hợp 1:
12


 x  0
 x  0
x  0
0 x 2.





2
2
 x  2
 f  ( 2 − x )  0
0  2 − x  2

Trường hợp 2:
x  0
 x  0

 2 − x2  2  x  2 .

2


 f ( 2 − x )  0

2
2 − x  0

Vậy hàm số y = f ( 2 − x2 ) đồng biến trên mỗi khoảng ( −; − 2 ) và ( 0; 2 ) .
Đối với bài này chúng ta vẫn có thể sử dụng các cách ở Bài 2 để giải.
3.1.3. Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số g ( x) khi biết f ( x) , bảng
biến thiên hoặc đồ thị của f ( x)
Với cách làm tương tự như các bài ở trên ta có thể mở rộng bài tốn để
xét tính đơn điệu với các hàm số g ( x) , trong đó g ( x) có dạng g ( x) = p. f (u( x)) + q ,
g ( x) = p. f (u ( x))  h( x) , g ( x) = v( x). f (u( x))  h( x) … p, q là các hằng số. Ở đây g ( x)
là một hàm số tổng hợp.
Dạng toán này thường nằm trong phần vận dụng cao của đề thi tốt
nghiệp. Vì vậy tùy thuộc vào từng bài toán sẽ đưa ra một số định hướng riêng để
giải. Tuy nhiên để giải các bài tốn dạng này chúng tơi đề xuất định hướng giải
chung như sau:
Định hướng giải
Bước 1. Tính g '( x) . Giải phương trình g '( x) = 0 .
Bước 2. Lập bảng biến thiên g ( x) hoặc xét dấu g '( x) .
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên, dấu g '( x) kết luận.
Bài 4: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g ( x) =  f (3 − x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
2

C. (2;5) .
D. (5; +) .
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Đối với bài tốn này g '( x) có chứa f (u( x)), f '(u( x)) nên khi xét

dấu g '( x) ta phải dựa vào dấu của f ( x), f '( x) .
Ta có g '( x) = −2 f '(3 − x). f (3 − x) .
A. (−2;5) . B. (1;2) .

13


Việc xét dấu g '( x) ta có thể hướng dẫn học sinh theo 2 cách sau
Cách 1: Từ bảng biến thiên suy ra f ( x)  0, x  R  f (3 − x)  0, x  R .
Xét
é- 2 < 3 - x < 1
g ¢(x ) < 0 Û - 2 f ¢(3 - x ). f (3 - x )< 0 Û f ¢(3 - x )< 0 Û êê
Û
ë3 - x > 2

é2 < x < 5
ê
êx < 1
ë

.

Suy ra hàm số g (x ) nghịch biến trên các khoảng (−;1) và (2;5) .
Cách 2:

éx = 2
éf (3 - x ) = 0
ê
ê
Û êêx = 5 .

g '( x) = 0  - 2 f ¢(3 - x ). f (3 - x ) = 0 Û ê
êf ¢(3 - x ) = 0
ê
ë
êëx = 1

Bảng biến thiên
x
-2 f (3 − x)
f (3 − x)

−

+
-

g '( x)
g ( x)

1
0
0
0

2
+
+
+

0

0

+
-

5
0
0
0

+

+
+
+
−

−

Suy ra hàm số g (x ) nghịch biến trên các khoảng (−;1) và (2;5) .
Bài 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như
hình vẽ

Hàm số g ( x ) = 3 f ( 2 − x ) + x3 − 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; + ) . B. ( −1;1) .

C. ( −; −1) . D. ( 0; 2) .

Hướng dẫn giải
Ta có g ( x ) = −3 f  ( 2 − x ) + 3x2 − 3 .

Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta thấy:
2 − x = 1
f  ( 2 − x ) = 0   2 − x = 2 
 2 − x = 3

x = 1
x = 0
.

 x = −1

Ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x ) :

14


Từ bảng biến thiên chọn đáp án B.
Bài 7: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R và có bảng biến thiên như
hình sau.

Hàm số g ( x ) = ( f ( x ) ) − 3 ( f ( x ) ) nghịch biến trên khoảng nào?
3

A. ( −;1) . B. (1;2) .

2

C. ( 3; 4 ) .

D. ( 2;3) .

Hướng dẫn giải
Ta có: g ( x ) = 3 f ( x ) f  ( x ) − 6 f ( x ) f  ( x ) = 3 f ( x ) f  ( x )  f ( x ) − 2 .
'

2

 f ( x ) = 0 (1)

Từ bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta có: g  ( x ) = 0   f ( x ) = 2 ( 2 )
 f  ( x ) = 0 ( 3)

 x = x1  1
x=4


(1)  

 x = x2 ( x1  x2  1)
 x = x 1 x  2
) ; 3 
3(
3
; ( 2)  
( )

x=3

 x = x4  4.

 x =1
x = 2

x=3

 x = 4.

Ta có bảng biến thiên như sau

Đối chiếu đáp án vậy ta chọn D.
Đối với các bài tốn ở trên chúng ta có thể hướng dẫn các em HS sử dụng
phương án thử đáp án để loại các phương án sai. Vì giới hạn của sáng kiến nên
chúng tơi khơng trình bày các cách thử đáp án.

15


Chú ý: Trong dạng toán này việc xét dấu g '( x) HS thường gặp nhiều khó
khăn. Vì vậy chúng tơi đề xuất hai hướng để các em HS có thể xét dấu của hàm
số g '( x) như sau:
Cách 1: Lập một bảng chung xét dấu của các hàm số h '( x) , hàm số
f '(u ( x)) và hàm số g '( x) . Từ dấu của các hàm số h '( x) , hàm số f '(u ( x)) thì có
thể suy ra dấu của hàm số g '( x) .
Cách 2: Vẽ dạng đồ thị các hàm số y = h '( x) , hàm số y = f '( x) trên cùng
một hệ trục tọa độ. Từ hoành độ giao điểm của các đồ thị là x0 chúng ta có thể
tìm được nghiệm của phương trình g '( x) = 0 bằng cách cho u ( x) = x0 . Sau đó
tiến hành lập bảng xét dấu của g '( x) .
3.2. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết f '( x) , bảng biến thiên hoặc
đồ thị của f '( x)
Dạng toán xuất hiện khá nhiều trong các đề thi và chương trình ơn thi tốt

nghiệp. Bài tập đa dạng và ở các mức độ thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao.
Chúng tơi phân chia như sau:
+ Xét tính đơn điệu khi cho f '( x) dạng biểu thức.
+ Xét tính đơn điệu khi cho f '( x) dạng bảng biến thiên.
+ Xét tính đơn điệu khi cho f '( x) dạng đồ thị.
Vì vậy tùy từng cách cho f '( x) thì ta có thể đưa ra các phương án giải bài
tốn.
3.2.1. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x) khi biết hàm số
f '( x) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của f '( x)
Định hướng giải
Bước 1. Giải phương trình f '( x) = 0 .
Bước 2. Lập bảng biến thiên f ( x) hoặc bảng xét dấu f '( x) .
Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
Bài 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( x + 1) ( 2 − x )( x + 3) .
2

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3; 2 )
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −3; −1) và ( 2;+)
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; −3) và ( 2;+)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −3; 2 )
Nhận xét: Ta thấy f '( x) có ( x − 1) 2 nên dấu của f '( x) sẽ khơng đổi khi
qua x = −1 vì đây là nghiệm bội chẵn của đạo hàm.

16


Hướng dẫn giải
 x = −1
Ta có: f  ( x ) = 0   x = 2

 x = −3

Bảng xét dấu f  ( x )

Dựa vào bảng trên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( −3; 2 ) .
Ngoài cách giải ở trên ta cũng có thể sử dụng phương pháp thử đáp án để
loại các đáp án sai.
Chú ý: + Khi xét dấu của f '( x) cần chú ý đến số nghiệm bội chẵn, bội lẻ
của phương trình f '( x) = 0 . Qua nghiệm bội chẵn thì đạo hàm khơng đổi dấu,
qua nghiệm bội lẻ thì đạo hàm đổi dấu. Cách xét dấu được thực hiện giống với
cách xét dấu hàm số g '( x) trong mục 3.1.
+ Đối với bài toán cho bảng biến thiên hàm số f '( x) thì cần chú ý khi kết
luận về tính đơn điệu hàm số tại những điểm là nghiệm của f '( x) = 0 hoặc đạo
hàm không tồn tại nhưng qua những điểm đó đạo hàm khơng đổi dấu.
+ Đối với bài toán cho đồ thị hàm số f '( x) thì cần chú ý khi kết luận về
tính đơn điệu hàm số tại những điểm tiếp xúc đồ thị hàm số f '( x) tiếp xúc với
trục hoành. Qua những điểm này đạo hàm khơng đổi dấu, cịn qua những điểm
cắt trục hoành đạo hàm sẽ đổi dấu.
Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm
y = f ' ( x ) . Biết rằng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −; −1)
B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −; −1)
C. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng (1;+ )
D. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2)
Nhận xét: Đây là bài toán cho đồ thị hàm số f '( x) nên cần chú ý như
sau:
17

+ Phần đồ thị nằm phía trên trục hồnh sẽ tương ứng với f '( x)  0 .
+ Phần đồ thị nằm phía dưới trục hồnh sẽ tương ứng với f '( x)  0 .
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên
Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng biến thiên sau:
x
f ( x)
f ( x)

−

−

−1
0

+

1
0

−

+

2
0

+

+

+

Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −; −1)
Cách 2: Quan sát đồ thị y = f ' ( x )
Từ đồ thị của f ' ( x ) ta có:
+ f ' ( x )  0 trên mỗi khoảng ( −1;1) và ( 2;+) suy ra y = f ( x ) đồng biến
trên mỗi khoảng ( −1;1) và ( 2;+)
+ f ' ( x )  0 trên mỗi khoảng ( −; −1) và (1;2) suy ra y = f ( x ) nghịch biến
mỗi khoảng ( −; −1) và (1;2) .
3.2.2. Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số f ( u( x) ) biết f '( x) , bảng
biến thiên hoặc đồ thị của f '( x) .
Dạng toán xuất hiện khá nhiều trong các đề thi và chương trình ơn thi tốt
nghiệp. Bài tập đa dạng và ở các mức độ vận dụng và vận dụng cao. Vì vậy tùy
từng cách cho f '( x) thì ta có thể đưa ra các phương án giải bài toán. Tuy nhiên
định hướng chung khi giải bài tốn này chúng tơi đề xuất như sau:
Định hướng giải
Bước 1: Xét dấu đạo hàm f  ( x )
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số f ( u( x) )
Bước 3: Xét dấu đạo hàm của hàm số f ( u( x) ) hoặc lập bảng biến thiên
của hàm số f ( u( x) )
Bước 4: Kết luận
Bài 3: (Đề thi THPTQG 2019 Mã đề 102)( dạng cho bảng biến thiên)
Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f  ( x ) như sau:
x

f  ( x)

−3

−

−

0

−1
+

0

+

1
−

0

+

Hàm số y = f (5 − 2x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 2;3) . B. ( 0;2) .

C. ( 3;5) .

D. ( 5;+) .
18

Hướng dẫn giải
Ta có y = f (5 − 2x )  y = −2 f  (5 − 2x ) .
Hàm số nghịch biến  y  0  −2 f  (5 − 2x )  0  f  (5 − 2x )  0 .
Dựa vào bảng biến thiên, ta được
5 − 2 x  1
x  2
.
f  (5 − 2x )  0  

−3  5 − 2 x  −1 3  x  4

Vậy hàm số y = f (5 − 2x ) nghịch biến trên các khoảng (3;4) , ( −;2) .
Bài 4: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018)( dạng cho đồ thị) Cho
hàm số y = f ( x ) .Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f ( 2 − x )
đồng biến trên khoảng:
y = f ( x)

y
−1
O

4 x

1

B. ( 2;+) . C. ( −2;1) .

A. (1;3) .

D. ( −;2) .

Nhận xét: Đây là bài toán cho đồ thị hàm số f '( x) nên cần chú ý như
sau:
+ Phần đồ thị nằm phía trên trục hoành sẽ tương ứng với f '( x)  0 .
+ Phần đồ thị nằm phía dưới trục hồnh sẽ tương ứng với f '( x)  0 .
Hướng dẫn giải
Ta có: ( f ( 2 − x ) ) = ( 2 − x ) . f  ( 2 − x ) = − f  ( 2 − x )
Hàm

số

đồng
2 − x  −1

x  3





biến

khi

( f ( 2 − x ))  0  f  ( 2 − x )  0  1  2 − x  4  −2  x  1 .
Ngồi việc giải như trên thì để thuận tiện cho việc xét dấu f '(u ( x)) ta có
thể lập bảng biến thiên hoặc trục xét dấu để từ đó chọn cách xét dấu giống với
cách xét dấu hàm số g '( x) trong mục 3.1.
Ngoài ra đối với những dạng tốn này chúng ta có thể hướng dẫn HS

phương án thử đáp án.
Bài 5: (dạng cho biểu thức) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm
f  ( x ) = x 2 ( x − 9 )( x − 4)

A. ( −2;2) .

2

. Khi đó hàm số y = f ( x 2 ) đồng biến trong khoảng nào?

B. ( 3;+) . C. ( −;3) . D. ( −; −3) và ( 0;3) .

19


Nhận xét : Đối với dạng y = f (u ( x)) khi tính đạo hàm ta có
y ' = u '( x). f '(u ( x)) . Vì vậy để tính y ' = 0 sẽ dẫn đến giải phương trình
f '(u ( x)) = 0 . Để giải phương trình này thì ta có thể làm theo các hướng sau :
+ Cách 1: Thay x bởi u ( x) vào biểu thức f '( x) đã cho và giải.
+ Cách 2: Tìm nghiệm của f '( x) và cho u ( x) bằng các giá trị nghiệm đó
và giải.
Hướng dẫn giải
Ta có y = f ( x 2 )  y = 2 xf  ( x 2 ) .
Mặt khác f  ( x ) = x2 ( x − 9)( x − 4)2 nên y = 2 xf  ( x 2 ) = 2 x. ( x 2 ) ( x 2 − 9 )( x 2 − 4 ) .
2

2

Do đó y = 2 x5 ( x − 3)( x + 3)( x − 2)2 ( x + 2)2
x = 0

y = 0  2 x ( x − 3)( x + 3)( x − 2) ( x + 2) = 0   x = 3
 x = 2
2

5

2

(Trong đó: x = −2; x = 2 là các nghiệm bội chẵn của phương trình:

( x + 2 )2 = 0 và ( x − 2)2 = 0 ).
Ta có bảng biến thiên sau.

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y = f ( x 2 ) đồng biến trên khoảng ( −3;0)
và ( 3;+) .
Chú ý: Khi giải bài toán này HS thường mắc phải các sai lầm khi tính
đạo hàm của hàm số f ( u( x) ) hoặc không chú ý đến những điểm làm cho f '( x)
không đổi dấu nên dẫn đến kết quả sai.
Bài 6: Cho hàm số y = f ( x ) . Biết hàm số y = f  ( x ) có đồ thị như hình vẽ
bên dưới. Hàm số y = f ( 3 − x2 ) đồng biến trên khoảng nào?
y

−6

A. (0;2).

B. (-

2;0).

C. (-

3;- 1).

−1

O

2 x

D. (1;2) .

20


Hướng dẫn giải
 x = −6
Dựa vào đồ thị f  ( x ) ta có f  ( x ) = 0   x = −1 .
 x = 2

y = 0  −2 x. f  ( 3 − x 2 )

Ta có: y = −2 x. f  (3 − x2 )

x = 0
x = 0
x = 0

 2
2


3 − x = −6
 x = 9   x = 3

=0  
 3 − x 2 = −1
 x2 = 4
 x = 2



2
2
3 − x = 2
 x = 1
 x = 1

Bảng xét dấu:
x

−2 x. f  ( 3 − x2 )

−

−3

− 0

−2

−1

− 0

+ 0

2

3

− 0 + 0

− 0

0

+ 0

1

+
+

Vậy hàm số đồng biến trên ( −3; −2) ; ( −1;0) ; (1;2) và ( 3;+) .
3.2.3. Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số g ( x) khi biết f '( x) , bảng
biến thiên hoặc đồ thị của f '( x)
Đây là dạng toán mức độ vận dụng cao trong các đề thi. Dạng bài tập đa
dạng, vì vậy tùy từng cách cho f '( x) thì ta có thể đưa ra các phương án giải bài
toán. Tuy nhiên định hướng chung khi giải bài tốn này chúng tơi đề xuất như
sau:

Định hướng giải
Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số f  ( x ) hoặc f ( x ) . Xét
dấu f  ( x )
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số g ( x )
Bước 3: Xét dấu đạo hàm của hàm số g ( x ) hoặc bảng biến thiên của hàm
số g ( x )
Bước 4: Kết luận
Bài 7: ( dạng cho đồ thị)

Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số

y = f  ( x ) như hình bên. Đặt g ( x ) = f ( x ) − x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
y
2
1
x

−1

O
−1

1

2

A. g ( −1)  g (1)  g ( 2) . B. g ( 2)  g (1)  g ( −1) .
C. g ( 2)  g ( −1)  g (1) . D. g (1)  g ( −1)  g ( 2) .
21