SKKN bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh thông qua các tình huống dạy học vận dụng phương pháp tọa độ trong không gian chương trình hình học 12

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 2
4. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 3
5. Tính mới và đóng góp của đề tài ....................................................................... 3
6. Cấu trúc của đề tài ............................................................................................. 3
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU........................................................................... 3
I. Cơ sở lí luận và thực tiễn ................................................................................ 3
1.1. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh............................ 3
1.1.1. Năng lực toán học ....................................................................................... 3
1.1.2. Yêu cầu của đổi mới chương trình giáo dục theo định hướng phát triển năng lực
............................................................................................................................... 4
1.1.3. Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực .............................. 5
1.2. Hoạt động khám phá .................................................................................... 5
1.2.1. Hoạt động khám phá ................................................................................... 5
1.2.2. Năng lực khám phá ..................................................................................... 6
1.3. Tình huống dạy học ...................................................................................... 7
1.3.1. Khái niệm tình huống dạy học .................................................................... 7
1.3.3 Tổ chức dạy học theo quan điểm xây dựng tình huống ............................... 7
1.4. Thực trạng dạy - học tốn ở Trung học phổ thơng ................................... 8
1.4.1. Thực trạng dạy ............................................................................................ 8
1.4.2. Thực trạng học ............................................................................................ 9
II. Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng năng lực khám phá cho học
sinh thơng qua các tình huống dạy học vận dụng phương pháp tọa độ trong
không gian .......................................................................................................... 11
2.1. Hệ thống bài tập chương Phương pháp tọa độ trong khơng gian - Sách giáo khoa
Hình học 12 cơ bản ............................................................................................. 11
2.2. Các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh thơng qua các
tình huống dạy học vận dụng phương pháp tọa độ trong không gian ................. 11

2.2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp ........................................................ 11
1


2.2.2. Các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh thơng qua các
tình huống dạy học vận dụng phương pháp tọa độ trong không gian ................. 11
2.2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh năng lực chuyển đổi ngôn ngữ trong
dạy học cũng như năng lực huy động kiến thức, vận dụng các tính chất, cơng thức
vào việc giải nhanh và chính xác bài tập .......................................................... 11
a. Rèn luyện cho học sinh năng lực chuyển đổi ngơn ngữ trong q trình giải tốn 11
b. Rèn luyện cho học sinh năng lực huy động kiến thức, vận dụng các tính chất, cơng
thức vào giải nhanh và chính xác bài tập ............................................................ 14
c. Bồi dưỡng động cơ học tập cho học sinh ........................................................ 15
d. Rèn luyện cho học sinh năng lực nắm bắt, đưa ra những quy tắc thuật giải cũng như
khả năng khai thác bài toán ................................................................................. 17
2.2.2.2. Biện pháp 2: Xây dựng một số tình huống dạy học vận dụng phương pháp
tọa độ đối với hình chóp tam giác ...................................................................... 18
2.2.2.3. Biện pháp 3: Xây dựng một số tình huống dạy học vận dụng phương pháp
tọa độ đối với hình chóp tứ giá .......................................................................... 29
2.2.2.4. Biện pháp 3: Xây dựng một số tình huống dạy học vận dụng phương pháp
tọa độ đối với hình lăng trụ................................................................................ 35
C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...................................................................... 40
I. Mục đích của thực nghiệm ............................................................................... 40
II. Tổ chức và nội dung thực nghiệm .................................................................. 40
1. Tổ chức thực nghiệm ....................................................................................... 40
2. Nội dung thực nghiệm ..................................................................................... 40
3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ........................................................................ 42
4. Kết luận chung về thực nghiệm ...................................................................... 43
KẾT LUẬN

2


A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Đổi mới phương pháp dạy học là một trong những vấn đề cơ bản của giáo dục
nước ta trong những năm gần đây, nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội. Điểm
nổi bật của phương pháp dạy học mới là hướng người học tới việc phát triển các năng
lực cần có theo đặc trưng của bộ mơn. Phát triển năng lực người học là định hướng
quan trọng trong Chiến lược phát triển giáo dục 2011 - 2020. Nghị quyết về đổi mới
căn bản, toàn diện giáo dục - đào tạo của Đảng (tháng 9/2013) đã mở ra một thời kì
mới cho việc dạy - học trong trường phổ thơng ở nước ta: nhấn mạnh đến việc phát
triển năng lực của người học hơn là cung cấp tri thức cho họ. Ngày 03/10/2017, Bộ
giáo dục và Đào tạo cũng ra cơng văn số 4612/BGDĐT- GDTrH/ hướng dẫn thực
hiện chương trình giáo dục phổ thông theo định hướng phát triển năng lực và phẩm
chất học sinh. Trong đó, Bộ yêu cầu các trường, tổ nhóm chun mơn xây dựng kế
hoạch kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh phù hợp với kế hoạch giáo dục
từng môn học, hoạt động giáo dục của nhà trường theo định hướng phát triển năng
lực, phẩm chất của học sinh. Có thể nói, dạy học theo định hướng phát triển năng lực
là chủ đề nóng, là vấn đề cấp thiết của giáo dục trong giai đoạn hiện nay.
Trong giai đoạn hiện nay, trước thời cơ và thách thức mới, để tránh nguy cơ tụt hậu,
việc rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, khả năng sáng tạo, khám phá ngày càng
cần thiết và cấp bách. Để đạt được điều đó, cần phải đổi mới phương pháp dạy học
nhằm tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, làm cho học sinh học tập trong
hoạt động và bằng hoạt động.
1.2. Toán học là môn học bắt buộc đối với các cấp học, học toán về cơ bản là hoạt
động giải toán. Giải tốn địi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống. Học toán và giải toán
giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp.
Qua hơn 15 năm dạy học bộ mơn Tốn ở trường phổ thông tôi nhận thấy:
Trong những năm gần đây, đại đa số giáo viên Toán ở THPT đã hưởng ứng cuộc

vận động đổi mới PPDH, đã chú trọng đến dạy học phân hóa, dạy sát đối tượng, phụ
đạo học sinh yếu kém, khắc phục dần tình trạng HS lên lớp khơng đúng thực chất,
quan tâm bồi dưỡng HS khá giỏi. Tuy nhiên, qua khảo sát thực tế, các tiết dạy khái
niệm, định lí, quy tắc, số tiết dạy thành cơng nhiều hơn các tiết luyện tập.
Trong việc dạy học Toán ở trường phổ thông, các tiết luyện tập chiếm một tỉ trọng
khá lớn. Khả năng dạy các tiết luyện tập của giáo viên cịn nhiều hạn chế, do đó ảnh
hưởng đến khả năng giải tốn của học sinh, từ đó dẫn đến học sinh:
- Học tập thụ động, tiếp thu kiến thức không vững chắc.

3


- Học sinh gặp khó khăn trong hoạt động độc lập giải tốn và vì thế hạn chế khả
năng phát triển tư duy sáng tạo trong học toán.
- Năng lực các nhân của học sinh ít có điều kiện bộc lộ và phát triển.
- Khả năng phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề và khám phá cái mới của học sinh
khá, giỏi cịn hạn chế.
1.3. Hình học được trình bày theo phương pháp tọa độ đã được xây dựng từ cuối thế
kỉ XVII. Việc quy đổi về đại số hay tọa độ hóa các bài tốn hình học thuần túy đã
đem lại rất nhiều thuận lợi cho học sinh khi học hình học. Đặc biệt, đối với hình học
khơng gian thì việc giải các bài tốn về góc và khoảng cách… lại càng khó khăn đối
với học sinh nếu chỉ giải bằng kiến thức hình học thuần túy. Phương pháp tọa độ có
thể giúp học sinh giải quyết các dạng bài tập này một cách nhẹ nhàng hơn, qua đó
phát huy trí tưởng tượng khơng gian và sử dụng được thế mạnh của đại số, phát hiện
những tính chất hình học khó hình dung, gây hứng thú học tốn cho học sinh. Việc
bồi dưỡng năng lực khám phá giải quyết các bài tốn hình học khơng gian bằng
phương pháp tọa độ do đo trở nên quan trọng và cấp thiết đối với học sinh trong học
tập phân mơn hình học nói riêng và mơn Tốn nói chung.
Xuất phát từ những lí do trên, tơi đã tiến hành thực hiện đề tài “Bồi dưỡng năng
lực khám phá cho học sinh thơng qua các tình huống dạy học vận dụng phương

pháp tọa độ trong khơng gian - Chương trình hình học 12”. Với đề tài này, người
viết sẽ đưa ra những nội dung kiến thức và phương pháp dạy học mới để các em hứng
thú trong học tập và hoạt động giải toán, phát huy tối đa các năng lực cần có, đặc biệt
là năng lực khám phá, thay vì lối dạy học chú trọng kiến thức, truyền thụ một chiều
như trước.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu, bổ sung cơ sở lí luận về năng lực khám phá và bồi dưỡng năng lực
khám cho học sinh trung học phổ thông, đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng cho học
sinh năng lực khám phá, qua đó góp phần đổi mới phương pháp dạy học và nâng cao
chất lượng dạy học môn Toán ở trường trung học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Hệ thống hóa cơ sở lí luận về năng lực khám phá.
3.2. Xác định các dạng tốn Tọa độ trong khơng gian của Hình học 12 có thể khai
thác.
3.3. Đề xuất những biện pháp góp phần bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh
thơng qua các tình huống dạy học giải tốn Phương pháp tọa độ trong khơng gian.
3.4. Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả các biện pháp đã đề xuất.
4


4. Phương pháp nghiên cứu: Nghên cứu lí luận, điều tra, khảo sát, thực nghiệm sư
phạm, thống kê toán học.
4.1. Nghiên cứu lí luận:
- Nghiên cứu các tài liệu, cơng trình có liên quan đến đề tài, đặc biệt là các hoạt động
toán học bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh.
- Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa và sách giáo viên Hình học 12.
4.2. Quan sát, dự giờ thăm lớp các tiết luyện tập tốn, ơn tập ở trường sở tại và một
vài trường lân cận.
4.3. Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp
đã đề xuất.

5. Tính mới và đóng góp của đề tài
- Phân tích được thực trạng dạy học toán hiện nay ở trường THPT chú trọng phần dạy
luyện tập toán. Nêu định hướng dạy luyện tập tốn, các bài tập tọa độ trong khơng
gian đã được lựa chọn căn cứ trên việc xây dựng các tình huống từ dễ đến khó; cơ bản
đến nâng cao, từ đó căn cứ đối tượng học sinh để tìm ra phương pháp dạy luyện tập
tốn một cách thích hợp.
- Phân tích nội dung bài tập chủ đề phương pháp tọa độ trong khơng gian và hệ thống
hóa các dạng tốn điển hình nhằm góp phần bồi dưỡng năng lực khám phá cho học
sinh.
- Góp phần giúp giáo viên và học sinh tìm hiểu thêm về khả năng dùng các bài tập
toán để rèn luyện, bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh
- Có thể sử dụng SKKN để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh THPT
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Tốn.
6. Cấu trúc của đề tài: Đề tài gồm có 3 phần
Phần I: Đặt vấn đề
Phần II: Nội dung nghiên cứu
Phần III: Kết luận.
B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh
1.1.1. Năng lực toán học:

5


- Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh, giúp
họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ
năng, kĩ xảo trong môn Tốn.
- Năng lực Tốn học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua các hoạt động
của học sinh nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong mơn Tốn.

Nói đến học sinh có năng lực tốn học là nói đến học sinh có trí thơng minh trong
việc học tốn. Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm được chương trình
trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinh này qua học sinh khác. Các
khả năng này không phải cố định, không thay đổi. Các năng lực này không phải bất
biến mà được hình thành, bồi dưỡng và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để
nắm được hoạt động tương ứng.
Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán học. Do vậy,
trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp
để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao dần về mặt năng lực tốn học.
Viện sĩ A. N. Kơlmơgơrơv cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinh trung học
đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được tốn học trong trường trung học với sự hướng
dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”.
1.1.2. Yêu cầu của đổi mới chương trình giáo dục theo định hướng phát triển
năng lực
- Chương trình dạy học truyền thống chú trọng việc truyền thụ hệ thống tri thức
khoa học theo các môn học đã được quy định trong chương trình dạy học. Tuy
nhiên chương trình giáo dục đó chưa chú trọng đầy đủ đến chủ thể người học
cũng như đến khả năng ứng dụng tri thức đã học trong những tình huống thực
tiễn.
- Ưu điểm của chương trình dạy học truyền thống là việc truyền thụ cho người
học một hệ thống tri thức khoa học và hệ thống. Tuy nhiên ngày nay chương trình
dạy học định hướng nội dung khơng cịn thích hợp, trong đó có những nguyên
nhân sau:
* Ngày nay, tri thức thay đổi và bị lạc hậu nhanh chóng, việc quy định cứng
nhắc những nội dung chi tiết trong chương trình dạy học dẫn đến trình trạng nội
dung chương trình dạy học nhanh bị lạc hậu so với tri thức hiện đại. Do đó việc
rèn luyện phương pháp học tập ngày càng có ý nghĩa quan trọng trong việc chuẩn
bị cho con người có khả năng học tập suốt đời.
* Chương trình dạy học truyền thống dẫn đến xu hướng việc kiểm tra đánh
giá chủ yếu dựa trên việc kiểm tra khả năng tái hiện tri thức mà không định

hướng vào khả năng vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn.
* Do phương pháp dạy học mang tính thụ động và ít chú ý đến khả năng ứng
dụng nên sản phẩm giáo dục là những con người mang tính thụ động, hạn chế khả
6


năng sáng tạo và năng động. Do đó chương trình giáo dục này không đáp ứng
được yêu cầu ngày càng cao của xã hội và thị trường lao động đói với người lao
động về năng lực hành động, khả năng sáng tạo và tính năng động.
1.1.3. Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực
Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực được bàn đến nhiều từ
những năm 90 của thế kỷ 20 và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế.
Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực người
học.
Giáo dục định hướng năng lực nhằm đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy
học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng
năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho
con người năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp.
Chương trình này nhấn mạnh vai trị của người học với tư cách chủ thể của quá
trình nhận thức.
Khác với chương trình dạy học truyền thống, chương trình dạy học định hướng
phát triển năng lực tập trung vào việc mô tả chất lượng dạy học, kết quả học tập
của học sinh.
Chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực không quy định những
nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả mong muốn đạt được của
q trình giáo dục, trên cơ sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn
nội dung, phương pháp, tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực
hiện được mục tiêu dạy học tức là đạt được kết quả đầu ra mong muốn. Trong
chương trình định hướng phát triển năng lực, mục tiêu học tập, tức là kết quả học
tập mong muốn thường được mô tả thông qua hệ thống các năng lực, kết quả học

tập mong muốn được mô tả chi tiết và có thể quan sát, đánh giá được. Học sinh
cần đạt được những kết quả yêu cầu đã quy định trong chương trình.
Ưu điểm của chương trình giáo dục phát triển năng lực là nhấn mạnh năng lực
vận dụng của học sinh. Tuy nhiên nếu vận dụng một cách thiên lệch, khơng chú ý
đầy đủ đến nội dung dạy học thì có thể dẫn đến các lỗ hổng tri thức cơ bản và tính
hệ thống của tri thức. Ngồi ra chất lượng giáo dục không chỉ thể hiện ở kết quả
giáo dục, kết quả học tập của học sinh mà còn phụ thuộc quá trình thực hiện.
1.2. Hoạt động khám phá
1.2.1. Hoạt động khám phá
Hoạt động khám phá luôn hướng đến sự tìm ra cái mới. Vì vậy nó đóng vai trị
chủ đạo trong q trình học tập sáng tạo của học sinh.
Hoạt động khám phá của học sinh trong toán học thường bao gồm một số dạng
hoạt động phổ biến sau: dự đốm tìm tịi; quy nạp phát hiện; nhận dạng và thể
hiện các định kí, khái niệm, phương pháp,… nhằm hình thành kiến thức mới;phân
7


tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa khi khai thác vấn đề
mở theo những hướng, những góc độ khác nhau để đi đến kết quả mới; hoạt động
ngơn ngữ.
Hoạt động khám phá cịn có thể diễn ra với sự tham gia của tưởng tượng, trực
giác,… Các hoạt động khám phá ở trên có khi khơng độc lập mà có sự kết hợp
biện chứng với nhau để hướng đích tìm ra kiến thức mới.
1.2.2. Năng lực khám phá
Năng lực khám phá trong hoạt động toán học là một thể hiện của năng lực toán học.
Và năng lực khám phá của mỗi người là khác nhau, phụ thuộc vào tố chất trí tuệ, điều
kiện, hồn cảnh hoạt động trí tuệ của chủ thể. Mức độ năng lực khám phá được quyết
định bởi năng lực tư duy sáng tạo, liên quan chặt chẽ với các phẩm chất của tư duy
sáng tạo cũng như năng lực tư duy lôgic, năng lực tư duy phê phán, năng lực tư duy
biện chứng, năng lực giải quyết vấn đề,... Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ

yếu đề cập đến năng lực khám phá kiến thức của học sinh trong dạy học hình học.
Các tác giả Đào Tam - Lê Hiển Dương đã nêu lên các năng lực khám phá kiến thức
mới gồm:
- Năng lực mơ hình hố các lớp đối tượng, hiện tượng toán học theo một số quan
hệ và tính chất chung của chúng
- Năng lực chuyển chức năng hành động nhờ chuyển đổi các đối tượng của hoạt
động
- Năng lực thể hiện các quan điểm biện chứng của tư duy toán học trong việc phát
hiện khám phá kiến thức mới
- Ngoài các năng lực cơ bản của hoạt động phát hiện tìm tịi kiến thức mới kể trên,
để kiểm chứng giả thuyết, giải quyết các vấn đề chúng ta cần chú trọng rèn luyện cho
học sinh năng lực tìm tịi các phương thức giải quyết vấn đề, bao gồm:
+ Năng lực huy động đúng đắn kiến thức và phương pháp để giải quyết vấn đề,
giải các bài toán.
+ Năng lực huy động kiến thức và phương pháp bằng nhiều cách khác nhau.
+ Năng lực biến đổi vấn đề, bài toán để dễ dàng huy động kiến thức, phương pháp
và cơng cụ thích hợp để giải quyết vấn đề.
+ Năng lực lập luận lơgic, lập luận có căn cứ.
Năng lực khám phá có quan hệ khơng tách rời với năng lực giải quyết vấn đề, năng
lực tự học tự học bởi năng lực giải quyết vấn đề là điều kiện cần để khám phá có kết
quả, cịn tự học lại là môi trường thuận lợi cho năng lực khám phá hồn thiện và phát
triển. Các năng lực trí tuệ trên đây có lẽ chưa tạo nên một cấu trúc đầy đủ về lĩnh vực
trí tuệ của năng lực khám phá, nhưng có thể cho rằng đó là các năng lực thành tố quan
trọng, những đặc điểm tâm lý cá nhân rõ nét trong năng lực khám phá. Các năng lực
8


thành tố của năng lực khám phá luôn gắn kết chặt chẽ, tác động và ảnh hưởng lẫn
nhau tạo thành một khối thống nhất. Ví như người ta rất khó khám phá có kết quả nếu
thiếu đi năng lực sử dụng các thao tác tư duy và suy luận lôgic, khơng thể có khám

phá nếu thiếu đi khả năng tư duy sáng tạo, khả năng liên tưởng toán học hay năng lực
tư duy biện chứng,...
1.3. Tình huống dạy học
1.3.1. Khái niệm tình huống dạy học
Tình huống dạy học là tình huống mà trong đó có sự ủy thác của giáo viên. Đó là
q trình giáo viên đưa ra những nội dung cần truyền thụ vào trong các sự kiện của
tình huống rồi cấu trúc các sự kiện sao cho phù hợp với logic sư phạm, để khi người
học giải quyết được nó thì sẽ đạt được mục tiêu dạy học.
Giáo viên đưa ra một tình huống học tập nhưng khi học sinh gặp khó khăn thì tùy
vào từng trường hợp mà giáo viên có sự trợ giúp thơng qua các câu hỏi mang tính gợi
mở. Như vậy giáo viên được lơi cuốn vào tình huống với hệ thống tương tác giữa học
sinh và mơi trường làm cho nó trở thành một tình huống dạy học có tác dụng đối với
học sinh.
1.3.2. Tổ chức dạy học theo quan điểm xây dựng tình huống
Các khâu cơ bản trong việc tổ chức dạy học theo quan điểm xây dựng tình huống:
1. Xác định mục tiêu cho từng tiết dạy, tiết ôn tập.
2. Tạo tình huống sư phạm: Việc thiết kế tình huống sư phạm đưa ra cần thỏa mãn:
- Tình huống có thể giải quyết theo cách nhìn của người học trên cơ sở các kiến thức
đã học. Từ đó mở ra nhiều hướng giải quyết. Tạo sự hợp tác, phối hợp giữa các học
sinh và nhóm học sinh với nhau.
- Tình huống cần chứa đựng sự mâu thuẫn, có vấn đề và có thể liên quan đến nhiều
phương diện.
- Tình huống cần vừa sức với học sinh và có thể giải quyết trong điều kiện cụ thể. Cần
căn cứ vào trình độ năng lực của học sinh mà đưa ra những tình huống vừa sức:
khơng q khó để cản trở người học nhưng cũng không quá dễ để khiến cho người
học cảm thấy nhàm chán.
3. Hoạt động điều khiển của giáo viên
- Giáo viên dự kiến các câu hỏi sư phạm, các định hướng sư phạm nhằm giúp học
sinh biết cách cấu trúc lại kiến thức, huy động kiến thức, khám phá kiến thức để thiết
lập các sơ đồ nhận thức mới, chiếm lĩnh kiến thức.

9


- Hướng dẫn học sinh cách thức kiểm tra đánh giá, phát hiện và sửa chữa những sai
lầm nhờ xem xét các bước lập luận, so sánh kết quả.
4. Giáo viên xác nhận kiến thức.
Giáo viên đóng vai trị trung tâm trong việc cấu trúc hóa kiến thức thơng qua các
tình huống dạy học. Giáo viên cần kiểm tra, xem xét tính đúng đắn, chặt chẽ của các
bước lập luận, xác nhận và giúp học sinh khám phá chiếm lĩnh kiến thức mới. Từ đó
định hướng để phát triển và khai thác cũng như ứng dụng các kiến thức đó vào thực
tiễn.
1.4. Thực trạng dạy - học toán ở Trung học phổ thơng.
Thực tế giảng dạy mơn tốn nói chung và hình học nói riêng trong thời gian qua,
giáo viên cũng đã có ý thức đổi mới phương pháp dạy học, phát huy tính tích cực chủ
động của học sinh để các tiết học có hiệu quả cao nhất. Tuy nhiên, q trình diễn ra
gặp khơng ít vấn đề tồn tại đáng đề cập.
1.4.1. Thực trạng dạy
Tôi đã gửi phiếu thăm dị đến 15 giáo viên dạy tốn của trường mình để khảo sát
một vài ý kiến xung quanh vấn đề dạy các tiết luyện tập tốn. Tơi nhận thấy:
Về việc dạy hình học nói chung:
Khi được hỏi về ý nghĩa của phân mơn hình học trong chương trình THPT, 15
người (100%) cho rằng đó là phân mơn có ý nghĩa quan trọng trong quá trình phát
triển của học sinh.
Về chất lượng giờ học hình học mà các đồng chí đã thực hiện, không ai khẳng định
các tiết dạy của mình đều thực hiện tốt, 5 người (33,3%) cho đã đạt mức khá và 10
người (66,7%) cho đạt mức trung bình.
Về việc đánh giá thái độ học sinh trong các tiết học hình học, 3 người (20%) cho
rằng học sinh rất thích học, 7 người (46,7%) cho rằng học sinh có thái độ học bình
thường, 5 người (33,3%) cho rằng học sinh khơng thích học phân mơn này.

Về phương pháp và phương tiện dạy hình học mà các giáo viên đã sử dụng, 8 giáo
viên (53,3%) đã sử dụng thuyết giảng, 4 người (26,7%) dùng vấn đáp, 3 người (20%)
sử dụng phương pháp khác có kèm cơng nghệ thơng tin trong một số giờ dạy.
Về các tiết luyện tập toán chương Phương pháp tọa độ trong khơng gian - Hình học
12:
Khi được hỏi những vấn đề xung quanh các tiết học trong chương Phương pháp tọa
độ trong không gian - Hình học 12, 3 giáo viên (20%) trả lời các tiết dạy của mình đạt
loại giỏi, 8 người (53,3%) đánh giá loại khá, 4 người (26,7%) cho giờ dạy đạt loại
trung bình.
10


Về việc sử dụng các phương pháp và phương tiện để tiến hành các tiết dạy, 9 người
(60%) đã sử dụng vấn đáp đàm thoại, 4 người (26,7%) sử dụng thêm công nghệ thông
tin, 2 người (13,3%) dùng vấn đáp kết hợp với hợp tác nhóm, phát phiếu học tập cùng
với màn chiếu và phần mềm Power Point.
Về thái độ của học sinh trong các tiết luyện tập của chương, 6 giáo viên (40%) cho
biết các em hứng thú trong các tiết học này, 9 người (60%) cho rằng học sinh có thái
độ bình thường, khơng giáo viên nào phản ánh các tiết học này tẻ nhạt chán nản.
Sau các tiết học, 7 giáo viên (46,7%) đánh giá các em nắm chắc phương pháp và có
thể vận dụng tốt các phương pháp, 4 người (26,7%) cho rằng các em có hiểu nhưng
khả năng phát huy khá, phần còn lại ở mức trung bình.
1.4.2. Thực trạng học
Tơi đã phát phiếu thăm dò ý kiến đến 120 học sinh các lớp 12A, 12C, 12K của
trường năm học 2019-2020 về việc học phân mơn hình học cũng như việc học các tiết
luyện tập chương Phương pháp tọa độ trong khơng gian - Hình học 12.
Về việc học hình học của học sinh
Khi được hỏi về vai trị của phân mơn Hình học, 95 em (79,2%) có ý kiến đó là mơn
học quan trọng đối với mình, 25 em (20,8%) xem mơn học này cũng bình thường như
các mơn học khác và khơng có em nào xem đó là khơng cần thiết.

Về thái độ của các em trong các tiết học Hình học, 14 em (11,7%) rất hứng thú khi
học phân môn này, 54 em (45%) có thái độ bình thường, 52 em (43,3%) khơng thích
học Hình học.
Về việc làm bài tập về nhà, 25 em (20,8%) khẳng định tự giác và rất hứng thú,
chuẩn bị bài đầy đủ trước khi đến lớp, 62 em (60,2%) em thừa nhận chưa chuẩn bị bài
đầy đủ, cịn mang tính đối phó, 33 em (19%) thú nhận hầu như không làm bài tập
trước khi đến lớp.
Nhận xét chung của các em về các giờ học Hình học của lớp mình, 11 em (9,2%)
thấy các giờ học sơi nổi, hiệu quả, 44 em (36,7%) thấy giờ học bình thường còn lại 65
em (54,1%) cho rằng các giờ học tẻ nhạt, ít hứng thú.
Về các tiết luyện tập chương Phương pháp tọa độ trong khơng gian - Hình học 12:
Khi được hỏi về ấn tượng của các em về các tiết luyện tập này, 15 em ( 12,5%) cho
đó là các tiết học rất thú vị, có ấn tượng; 49 em (40,8%) cho rằng đó là các tiết học
bình thường, không khác với những tiết học khác; 56 em (46,7%) khơng cịn nhớ các
tiết học này như thế nào.
Về khả năng nắm chắc lí thuyết, cơng thức vận dụng giải tốn, 13 em (10,8%) cho
rằng mình có thể vận dụng giải các bài tập toán, các dạng toán tọa độ; 41 em (34,2%)
11


khẳng định mình có thể giải các bài hình học khơng gian vận dụng phương pháp tọa
độ đơn giản; cịn 66 em (55%) nhận xét mình nắm lí thuyết tương đối hời hợt nên
khơng thể vận dụng vào giải tốn.
Như vậy thực tế cho thấy, nhiều giáo viên còn lúng túng khi phải dạy sát đối tượng,
nhiều giáo viên làm cho các tiết luyện tập toán trở thành các tiết chữa bài tập; một số
giáo viên chưa gây được ấn tượng, hứng thú học tập dùng phương pháp tọa độ để giải
bài tốn hình họ khơng gian cho học sinh. Bên cạnh đó việc học hình học của học sinh
phổ thơng cũng cịn rất nhiều hạn chế. Điều này theo tơi có thể xuất phát từ một số
ngun nhân sau:
- Nhiều giáo viên chỉ dừng lại ở những bài toán vận dụng cơ bản các biểu thức tọa

độ, các phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu;
các cơng thức tính tốn góc, khoảng cách khi đã biết tọa độ hoặc phương trình. Ngồi
ra nếu có đề cập tới phương pháp tọa độ thì chỉ ra những bài toán tổng hợp nhưng với
sự cho sẵn của hệ trục tọa độ Oxyz đã được gắn trên hình.
- Một số giáo viên ít quan tâm đến việc sử dụng phương pháp tọa độ giải các bài
tốn hình học khơng gian mà việc giải bằng kiến thức hình khơng gian thuần túy sẽ
khó khăn. Do đó khi gặp những bài toán này thường học sinh sẽ e ngại và nếu làm thì
sẽ làm theo hướng khơng gian thuần túy nên mất khá nhiều thời gian.
- Trong hệ thống các bài tập toán đã nêu của từng bài học, một số bài học, của bài
ôn tập chương, giáo viên chưa phân loại được các dạng bài tập toán và chức năng của
các dạng bài tập tốn đó.
- Cách sử dụng các bài tập tốn đó cho các đối tượng học sinh như thế nào, nhiều
giáo viên chưa phân biệt được.
Qua thực tế hơn 15 năm dạy học, tôi xin phép được đưa ra định hướng cho các tiết
dạy luyện tập chương Phương pháp tọa độ trong khơng gian - Hình học 12 như sau:
- Phân loại các bài tập ở sách giáo khoa, sách bài tập (bài tập toán củng cố kiến thức
của bài học, bài tập ôn kiến thức của bài học trước, bài tập bổ sung lý thuyết, bài tập
khắc sâu kiến thức).
- Căn cứ vào đối tượng học sinh của lớp giáo viên giảng dạy để lựa chọn phương
pháp giảng dạy và sử dụng các bài tập một cách thích hợp…
- Với đối tượng học sinh khá giỏi, giáo viên chỉ cần kiểm tra nhanh các bài tập tốn
có tính chất củng cố kiến thức. Dùng một số bài tập điển hình với các định hướng
khác nhau (nếu có thể); từ bài tập đã có cho học sinh khám phá, tạo ra các bài tập mới
bằng các hoạt động tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề… tạo thành một số bài
tập nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

12


II. Một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng năng lực khám phá cho học

sinh thông qua các tình huống dạy học vận dụng phương pháp tọa độ trong
khơng gian - Hình học 12
2.1. Hệ thống bài tập chương Phương pháp tọa độ trong không gian - Sách giáo
khoa Hình học 12 cơ bản
Bài tập chương III: Phương pháp tọa độ trong khơng gian - Hình học 12 liên quan
đến những kiến thức được trình bày trong sách giáo khoa, gồm:
- Hệ tọa độ trong không gian: Giới thiệu về tọa độ của điểm, của vectơ; biểu thức
tọa độ của các phép tốn vectơ; tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian và
phương trình mặt cầu.
- Phương trình mặt phẳng: Khái niệm vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát
của mặt phẳng; khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Phương trình đường thẳng trong khơng gian: Dạng phương trình đường thẳng
trong khơng gian và điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau.
2.2. Các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh thơng qua
các tình huống dạy học vận dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
2.2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp
- Định hướng 1: Các biện pháp được xây dựng trên cơ sở tôn trọng nội dung chương
trình, sách giáo khoa Hình học 12 và tuân theo các nguyên tắc dạy học.
- Định hướng 2: Các biện pháp phải mang tính khả thi, có thể thực hiện được trong
quá trình dạy học
- Định hướng 3: Các biện pháp phải thể hiện rõ dụng ý tích cực hóa hoạt động học
tập của học sinh và ý tưởng biến người học thành trung tâm của quá trình dạy học dựa
trên sự định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
- Định hướng 4: Các biện pháp phải chú trọng việc bồi dưỡng từng thành tố trong
cấu trúc của năng lực khám phá thơng qua các tình huống dạy học vận dụng phương
pháp tọa độ trong không gian.
- Định hướng 5: Các biện pháp xây dựng phải phù hợp với hoạt động khám phá của
học sinh và các cấp độ tư duy hình học mà học sinh có thể đạt được trong q trình
học tập.
2.2.2. Các biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực khám phá cho học sinh thơng qua

các tình huống dạy học vận dụng phương pháp tọa độ trong không gian.
2.2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh năng lực chuyển đổi ngôn ngữ trong
dạy học cũng như năng lực huy động kiến thức, vận dụng các tính chất, cơng thức
vào việc giải nhanh và chính xác bài tập.
a. Rèn luyện cho học sinh năng lực chuyển đổi ngơn ngữ trong q trình giải tốn
( từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ tọa độ điểm, tọa độ vectơ và ngược lại).
13


Thơng qua q trình rèn luyện thực hành giải tốn, tạo điều kiện cho học sinh học
tập trong môi trường khám phá thông qua việc tiếp cận nhiều phương pháp giải, rèn
luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ. Việc tổ chức dạy học các kiến thức hình học
bằng cách sử dụng các loại ngôn ngữ khác nhau không chỉ giúp rèn luyện cho học
sinh năng lực diễn đạt cùng một loại tri thức tốn học bằng các hình thức khác nhau
mà còn khai thác tiềm năng phong phú của các phương pháp tốn học ở mỗi loại ngơn
ngữ.
Việc chuyển đổi ngơn ngữ trong q trình giải tốn hình học khơng gian rất quan
trọng. Đứng trược một bài toán cụ thể, học sinh cần có khả năng dịch từ ngơn ngữ này
sang ngôn ngữ khác: cụ thể là từ ngôn ngữ hình học sang ngơn ngữ tọa độ điểm, tọa
độ vectơ và ngược lại. Do đó cần phải thiết lập một hệ thống các kiến thức cơ bản
trong đó được thể hiện dưới các ngôn ngữ khác nhau. Chẳng hạn:

1

2

Ngôn ngữ HH Hình ảnh

Ngơn ngữ

Ngơn ngữ

tổng hợp

vectơ

tọa độ

Hai điểm A, B
A•B
trùng nhau

AB = 0

 x A = xB

 y A = yB
z = z
B
 A

IA + IB = 0

x A + xB

 xI =
2

y A + yB


 yI =
2

z A + zB

 zI = 2


là trung
điểm
đoạn
thẳng AB
I

I

A

MA + MB

B

= 2MI M

3

G

là

trọng

A

tâm
ABC

G

B

C

x A + xB + xC
GA + MB + GC = 0 
x
=
 G
3

y A + yB + yC

y
=

G
MA + MB + MC =
3

z A + z B + zC


z
=
G

3

3MG M

14


4

G là trọng tâm
tứ diện ABCD

GA + GB + GC
+GD = 0

A

G

D

B

MA + MB + MC
+ MD = 4MG M

x A + xB + xC + xD

 xG =
4

y + yB + yC + yD

 yG = A
4


z A + z B + zC + z D
 zG =

4

C

5

Ba điểm A, B,
C thẳng hàng

B

A

k  R, k  0 để

k  R, k  0 để

AB = k AC

 xB − x A = k ( xC − x A )

 yB − y A = k ( yC − y A )

 zB − z A = k ( zC − z A )

C

6

ABC

trung

A

có
tuyến

AM

2AM = AB + AC
C

B
M

7

ABC

có

A

phân giác
C

AD

AD =

B
D

+

8

Đường thẳng
AB //  CD

B
C

A

D

CD
AB
BC

BD
AC
BC

k  R, k  0 để

k  R, k  0 để

AB = kCD

 xB − x A = k ( xD − xC )

 yB − y A = k ( yD − yC )

 z B − z A = k ( z D − zC )

15


9

Đường thẳng
B

AB ⊥ CD

AB.CD = 0

A
C

( xB − xA ) ( xD − xC ) +
( yB − y A ) ( yD − yC ) +
( zB − z A ) ( zD − zC ) = 0

D

1
0

Bốn điểm A,
B, C, D đồng
phẳng

 AB, AC  . AD = 0

b. Rèn luyện cho học sinh năng lực huy động kiến thức, vận dụng các tính chất,
cơng thức vào việc giải nhanh và chính xác bài tập.
Để giải được bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ hóa trước hết
học sinh phải thực hiện các thao tác sau:
- Thực hiện các phép toán vectơ: cộng trừ, nhân vơ hướng và nhân có hướng.
- Viết phương trình mặt phẳng, xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
- Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tìm khoảng cách giữa hai đường
thẳng song song.

- Lập phương trình đường thẳng, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, của
đường thẳng với mặt phẳng.
- Tính khoảng cách của một điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và
mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Vận dụng linh hoạt các cơng thức tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường
thẳng với mặt phẳng, cơng thức tính diện tích thiết diện, cơng thức thể tích khối đa
diện.
- Vận dụng linh hoạt các kiến thức của hình giải tích vào chứng minh song song,
vng góc, chéo nhau…
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Gọi M, N là hai điểm nằm
2
2
trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho B ' M = B ' C ', CN = CD . Chứng minh
3
3
AM ⊥ BN
Cách 1: Phương pháp vectơ
- Đặt câu hỏi, bằng phương pháp vectơ làm thế nào để chứng minh AM ⊥ BN
(HS sẽ khám phá, liên tưởng, huy động kiến thức để đưa ra câu trả lời là chứng minh
AM .BN = 0 )

16


- Để chứng minh T.V.H AM .BN = 0 ta cần
phân tích các vectơ AM và BN qua các bộ
vec tơ không đồng phẳng. Theo em, nên
chọn bộ ba vectơ nào? ( Dựa vào yếu tố
vng góc có trong bài, HS có thể dễ dàng

z
D

A

N
B
C

a

chọn các vectơ AB, AD và AA ' )
Như vậy sẽ cho lời giải như sau:

A'
O

a

D' y

a

2
C'
Có AM = AA ' + A ' B ' + B ' M = AA ' + AB + AD
B'
M
3
x

1
2
và BN = BA + AD + DN = − AB + AD + AB = − AB + AD
3
3
2

 2

Như vậy AM .BN =  AA ' + AB + AD  − AB + AD 
3

 3

2
2
2
2
4
2
= − AA '. AB + AA '. AD − AB + AB. AD − AD. AB + AD
3
3
9
3
2
2
2
2
= − AB + AD = 0 ( do AB = AD = a và các quan hệ vng góc trong hình lập

3
3
phương). Từ đó suy ra AM ⊥ BN
Cách 2: Sử dụng ngơn ngữ tọa độ
Với giả thiết bài tốn là hình lập phương, chứa sẵn các yếu tố vng góc nên ta có thể
gắn cho hình lập phương này một hệ tọa độ Đềcác Oxyz
Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên. Ta có O  A ' , B’ nằm trên A’x
và A nằm trên A’z. Khi đó A ' ( 0;0;0) , B ' ( a;0;0) , C ' ( a; a;0) , D ' ( 0; a;0 )

A( 0;0;a ) , B ( a;0;a ) , C ( a; a;a ) , D ' ( 0; a;a )
Do B ' M =

2
2
 2a   a

B ' C ', CN = CD nên suy ra M  a; ;0  , N  ; a; a 
3
3
 3  3


 2a

Để chứng minh AM ⊥ BN ta đi xét tích AM .BN với AM =  a; ; − a  và
 3

 2a  2a
 2a


BN  − ; a;0   AM .BN = a.  −  + .a + ( −a ) .0 = 0  AM ⊥ BN
 3  3
 3

c. Bồi dưỡng động cơ học tập cho học sinh
Động cơ học tập của học sinh có vai trị và ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc
nâng cao chất lượng học tập, hình thành phương pháp tự học và bồi dưỡng năng lực

17


khám phá của các em. Để làm được điều đó, GV cần nâng cao ý thưc trách nhiệm của
HS trong quá trình học tập.
Để nâng cao ý thức, trách nhiệm của học sinh, giáo viên cần phải giao nhiệm vụ học
tập cho học sinh (có thể giao cho từng cá nhân hoặc cho từng nhóm nhỏ trong lớp
học). Những nhiệm vụ học tập này muốn tạo được hứng thú thì đó phải là những vấn
đề mới mẻ nhưng có thể giải quyết được. Khi những nhiệm vụ đó được học sinh thừa
nhận sẽ kích thích tư duy tích cực của học sinh, làm cho các em muốn học, muốn tìm
tịi, muốn khám phá.
Ví dụ 2: Khi dạy về tích vơ hướng của hai vectơ trong không gian, học sinh đã biết:

a.b = a . b .cos ( a, b ) . Khi gắn tọa độ cho các vectơ a ( x1 ; y1 ; z1 ) và b ( x2 ; y2 ; z2 ) thì

biểu thức tọa độ của T.V.H là a.b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . Khi đó giáo viên có thể dẫn dắt
học sinh khám phá để suy ra một số ý nghĩa như sau:
1. Để tính độ dài vectơ a , cho a = b , ta sẽ có a.a = a . a .cos ( a, a ) = a
2

2

2

2

 a = a  a = a = x12 + y12 + z12 hay a = x12 + y12 + z12

2. a ⊥ b  ( a, b ) = 900  cos ( a, b ) = 0  a.b = 0
Nên a ⊥ b  a.b = 0
Ý nghĩa này được sử dụng trong các bài toán chứng minh vng góc hoặc thiết lập
khi biết điều kiện vng góc
3. Với a  0, b  0 thì từ a.b = a . b .cos ( a, b )
Ta suy ra cos ( a, b ) =

a.b
a b

=

x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
x12 + y12 + z12 . x2 2 + y2 2 + z2 2

. Công thức này hỗ trợ

hiệu quả trong việc tính góc giữa hai vectơ và góc giữa hai đường thẳng.
4. Từ a.b = a . b .cos ( a, b ) ta cũng suy ra a.b = a . b . cos ( a, b )  a . b

Tức là ta sẽ có bất đẳng thức x1 x2 + y1 y2 + z1 z2  x12 + y12 + z12 . x2 2 + y2 2 + z2 2 và
đây chính là nội dung BĐT Bunhiacopxki.
2
1

AB. AC − ( AB. AC )
5. SABC =
2
Lúc này giáo viên có thể giao nhiệm vụ cho học sinh tìm một vài ví dụ minh họa khi
sử dụng các kết quả vừa nêu ở trên. Sau đây là một vài ví dụ mà giáo viên có thể đưa
ra cho học sinh:
Ví dụ 2.1: Sử dụng kết quả thứ 2 giải bài tốn: Trong khơng gian cho ABC có
A (1; −2;1) , B ( 2;0;1) và C ( 2; −3; −1) . Tìm tọa độ trực tâm H của ABC
18


 HA.BC = 0
Học sinh dễ dàng nhận thấy H là trực tâm ABC  
. Từ đó sử dụng biểu
 HB. AC = 0
thức tọa độ T.V.H để tìm tọa độ H
Ví dụ 2.2: Sử dụng kết quả thứ 3 để giải bài tốn: Trong khơng gian cho ABC có
A (1;0;1) , B ( −2;0; −1) và C ( 4; −1;1) . Chứng minh ABC là tam giác tù.

Kiểm tra thấy ngay AB = ( −3;0; −2 ) và AC = ( 3; −1;0 ) nên AB. AC  0
Do đó cos ( AB, AC )  0 nên góc BAC tù hay ABC tù
Ví dụ 2.3: Sử dụng kết quả thứ 5 giải bài tốn: Tính diện tích ABC biết A (1;4; −1) ,
B ( 5;1; −3) và C ( −2;0;2) .
d. Rèn luyện cho học sinh năng lực nắm bắt, đưa ra nhưng quy tắc thuật giải cũng
như khả năng khai thác các bài tốn.
Quy trình giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ được thực
hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ gắn với bài toán
Bước này sẽ dễ dàng thực hiện nếu trong bài tốn hình học khơng gian đang xét có
sẵn góc tam diện vng, hai mặt phẳng vng góc với nhau hay có các quan hệ vng

góc khác. Tuy vậy khơng ít trường hợp ta phải kẻ thêm đường phụ để tạo nên góc tam
diện vng.
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm trong đề bài theo tọa độ vừa chọn. Thực ra chỉ cần
xác định tọa độ của các điểm liên quan đến giả thiết và kết luận của bài toán. Khi xác
định tọa độ các điểm liên quan đến giả thiết và kết luận, ta dựa vào:
Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm ( khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt
phẳng tọa độ)
Dựa vào các quan hệ hình học đã biết như bằng nhau, vng góc, song song cùng
phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn thẳng để tìm tọa độ
Bước 3: Sử dụng các công thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
Các dạng toán thường gặp: Độ dài đoạn thẳng
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đến đường thẳng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng, giữa đường
thẳng và mặt phẳng
Diện tích thiết diện, thể tích khối đa diện
Chứng minh các quan hệ song song, vng góc
Các bài tốn cực trị, quỹ tích.
Bước 4: Giải quyết kết luận của bài toán theo cách thức của hình học giải tích.
19


2.2.2.2. Xây dựng một số tình huống dạy học vận dụng phương pháp tọa độ đối với
hình chóp tam giác ( hình tứ diện)
Ta hãy nhìn nhận việc gắn hệ trục tọa độ cho hình chóp tam giác theo các trường
hợp từ đơn giản đến các trường hợp khó hơn, tổng quát hơn để học sinh tham gia vào
quá trình khám phá kiến thức. Do đó lớp bài tốn xây dựng sau đây sẽ đi từ mức độ
đơn giản đến phức tạp dần.
Tình huống 1: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ABC vng tại A, chiều
cao của hình chóp bằng h và AB = a,AC = b .

Đây là tình huống dễ dàng gắn hệ trục tọa độ vào, giáo viên yêu cầu học sinh chỉ ra
yếu tố vng góc xuất hiện ở điểm nào?
z
HS dễ thấy đó là đỉnh A của hình chóp. Do đó sẽ
S
chọn O  A là gốc tọa độ. Khi đó HS sẽ gắn hệ
h
trục tọa độ vào như hình vẽ bên. GV cho HS tìm
y
tọa độ các điểm S, A, B và C.
C
b
A
Kết quả A ( 0;0;0) , B ( a;0;0) , C ( 0;b;0) và

S ( 0;0;h )

a
B
x

Sau đó giáo viên đưa ra ví dụ áp dụng cho học sinh bằng bài tập sau:
Ví dụ 3: Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , biết AB = 3, BC = 5, AC = AD =
4
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ) ?
b. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( BCD ) và ( ABD ) ?
Đối với bài toán này, GV cần đặt ra câu hỏi: Nếu giải bài tốn bằng kiến thức hình
học khơng gian thuần túy thì ta cần xác định những gì? Việc xác định chúng sẽ gặp
những khó khăn gì? Những kiến thức này HS đều đã được học nên sẽ trả lời theo
phương pháp đã học.

Tuy nhiên nếu GV định hướng HS giải bài toán này bằng phương pháp tọa độ sau
khi HS đã học phương pháp tọa độ trong khơng gian thì bài tốn sẽ rất nhẹ nhàng,
nhưng để làm được điều này thì HS phải biết gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ một cách
thích hợp. Khi đó học sinh sẽ phải tư duy tìm cách gắn hệ trục Oxyz vào hình, nhận
thấy ABC vng tại A và AD ⊥ ( ABC ) nên AB, AC, AD đơi một vng góc tại A
nên chọn gốc tọa độ là A . Sau khi đã gắn được hệ trục vào hình thì việc cịn lại trở
thành bài tốn đơn giản trong hình học tọa độ.
Lời giải:
Ta thấy ABC có AB2 + AC 2 = BC 2 nên ABC vuông góc tại A . Vậy ta chọn hệ
trục tọa độ Đecac vng góc Oxyz như hình vẽ:
20


O  A ( 0;0;0 ) , B ( 3;0;0) , C ( 0;4;0) và D ( 0;0;4) .

z

a. Có AH = d ( A, ( BCD ) )

D

Phương trình tổng quát của mp ( BCD ) là:
x y z
+ + = 1  4 x + 3 y + 3z − 12 = 0
3 4 4
Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có:

4
C

y

4

A

5

3

−12

6 34
B
d ( A, ( BCD ) ) =
=
17
x
16 + 9 + 9
b. Ta có j ( 0;1;0 ) là vtpt của ( ABD ) và n ( 4;3;3) là vtpt của ( BCD ) . Từ đó suy ra
cos ( ( ABD ) , ( BCD ) ) = cos ( j , n ) =

jn
j.n

=

3
34

Hay ví dụ sau đây
Ví dụ 4: Cho hình chóp ABCD có AB = m, AC = n, AD = p đơi một vng góc.
Điểm M cố định thuộc tam giác BCD có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng
( ABD ) , ( ACD ) và ( ABC ) là 1,2 và 3. Tính giá trị của m, n, p để thể tích khối chóp
ABCD đạt giá trị nhỏ nhất.
z
Phân tích bài tốn: Từ giả thiết của bài
D
tốn HS sẽ dễ dàng gắn hệ trục tọa độ vào
hình, sau đó xác định tọa độ các đỉnh của
p
hình chóp. Vấn đề là nhận ra được mối
quan hệ của m, n, p thông qua giả thiết
M
1 2 3
M  ( BCD ) đó là: + + = 1
C
O
m n p
A

Từ đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm
m
giá trị nhỏ nhất của tích mnp
Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Ta có: A  O ( 0;0;0;) , B ( m;0;0) C ( 0; n;0) và D ( 0;0;p ) .

n

q

B
r

Vì khoảng cách từ M đến các mp ( ABD ) , ( ACD ) , ( ABC ) bằng 1, 2, 3 nên M (1;2;3)
nên pt ( BCD ) :

x y z
+ + =1
m n p

Vì M  ( BCD ) :

1 2 3
1
+ + = 1(*) mà VABCD = mnp nên từ
6
m n p

21


(*)  1 = 1 + 2 + 3  3 3 1 . 2 . 3  1 mnp  27
m n p
m n p
6
Vậy min VABCD = 27 đạt được khi

1 2 3 1
= = =  m = 3, n = 6, p = 9

m n p 3

Hai ví dụ trên nếu giải bằng phương pháp hình học khơng gian thuần túy thì đó sẽ là
một bài tốn khơng hề đơn giản. HS sẽ gặp khó khăn khi xác định các quan hệ hình
học trong hình để tính tốn khoảng cách, góc, thể tích…. Nhưng khi gắn hệ trục tọa
độ vào hình thì mọi điểm trên hình sẽ gán với một bộ gồm ba số duy nhất và việc giải
quyết bài tốn hình học này sẽ làm cho HS cảm thấy nhẹ nhàng hơn rất nhiều. Do đó
học sinh sẽ cảm thấy tự tin, có động lực và có nhu cầu để khám phá, tìm tịi các vấn
đề khó và phức tạp hơn.
Tình huống 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ABC vng tại B, chiều cao
của hình chóp là h, và AB = a, BC = b.
Đối với tình huống này, HS cần tư duy để tìm hiểu, khám phá xem nên chọn điểm
nào làm gốc tọa độ, A hay B, vì yếu tố vng góc xuất hiện ở cả hai đỉnh A và B. Nếu
chọn A làm gốc tọa độ thì ba trục Ox, Oy, Oz sẽ gắn trên ba cạnh nào? Nếu chọn B
làm gốc tọa độ liệu có thuận lợi hơn A hay không? Học sinh sẽ tự khám phá để đưa ra
z
các phương án khác nhau:
S
1. Nếu chọn A làm gốc tọa độ như hình vẽ bên
thì ta có A ( 0;0;0) , B ( a;0;0 ) , C ( a; b;0) , S ( 0;0; h )
h
y

C

A
a

B

b
x

2. Nếu chọn B làm gốc tọa độ
Khi đó ta có: A ( 0;a;0) , B ( 0;0;0 )

C ( b;0;0) , S ( 0;a;h )

z
S
h
y

x
C

A
b
Sau đó giáo viên có thể cho học sinh tự nghiên cứu,
a
tư duy tìm cách giải bài tốn sau:
B
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có
SA ⊥ ( ABC ) và ABC vng cân tại B có AB = a và SA = a 2
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a?
b. Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)?
Phân tích: Nếu sử dụng phương pháp của hình học khơng gian thuần túy thì bài tốn
tìm khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau đối với HS không hề đơn giản.

22

Nhưng nếu biết cách tọa độ hóa phù hợp thì nó sẽ đơn giản hơn nhiều.
Lời giải:
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

A ( 0;0;0) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , S ( 0;0; a 2 )

S

a. Ta có SB ( a;0; −a 2 ) và AC ( a; a;0 ) , AS ( 0;0; a 2 )
 SB, AC  . AS a 3 2
10
d ( SB, AC ) =
= 2
=a
5
a 5
 SB, AC 

m =  AS , AC  = ( a

2; −a

2

2;0) = a

C

A

b. Vectơ pháp tuyến của mp(SAC) là:
2

y

a
2

2 (1; −1;0 )

a
B

 n1 (1; −1;0 ) là một vtpt của (SAC).

x

Vtpt của mp(SBC) là:

n =  SB, BC  = ( a2 2;0; a 2 ) = a 2 ( 2;0;1)  n2 ( 2;0;1) là một vtpt của (SBC)

Khi đó cos ( ( SAC ) , ( SBC ) ) = cos ( n1 , n2 ) =

n1 .n2
n1 n2

=

3
3

Các tình huống, ví dụ trên đều có cạnh bên vng góc với mặt phẳng đáy. Lúc này
GV sẽ cho HS nâng dần mức độ khám phá để xét đến khả năng hình chóp khơng có
giả thiết cạnh bên vng góc với đáy mà có mặt bên là tam giác cân và chứa trong
mặt phẳng vng góc với đáy
Tình huống 3: Cho hình chóp S.ABC có ABC vng góc tại A, SBC cân tại S,
( SBC ) ⊥ ( ABC ) , chiều cao của hình chóp là h và AB = a, AC = b
Lúc này, HS cần khám phá, tư duy để tìm cách tạo ra yếu tố vng góc để nhận định
đâu sẽ là gốc tọa độ. HS phải xác định được hình chiếu vng góc của đỉnh S xuống
mp(ABC) chính là trung điểm H của cạnh BC. Khi đó ở H và A sẽ xuất hiện yếu tố
vng góc và phải xem xét các yếu tố tính
z
tốn để chọn H hay A? Trong trường hợp
S
chọn H làm gốc tọa độ thì để xác định tọa
độ của A, B, C thì bắt buộc phải tính AH, BH,
CH. Chính vì thế nên q trình tính tốn hơi
h
dài dịng. Do đó ta sẽ chọn A làm gốc tọa độ
b
để việc tính tốn trở nên nhẹ nhàng hơn. Do đó
y
A
C
a
H
ta chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có

B
A ( 0;0;0) , B ( a;0;0) ,
x

23


a b 
C ( 0; b;0 ) , S  ; ; h  (hình chiếu của S xuống (ABC) chính là trung điểm H của BC)
2 2 
Ta xét ví dụ áp dụng sau:
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có (SBC) vng góc với (ABC),tam giác SBC đều
cạnh 5, ABC có AB = 4, AC = 3
a. Tính cosin góc giữa (SAB) và (ABC)?
b. Tính khoảng cách giữa SC và AB?
Phân tích: Từ giả thiết bài tốn ta suy ra ABC vng tại A, mặt khác ta có
( SBC ) ⊥ ( ABC ) kết hợp giả thiết SBC đều cạnh bằng 5 nên ta sẽ suy ra được
SH ⊥ ( ABC ) tại H với H là trung điểm của BC. Nên nếu chọn A làm gốc tọa độ thì
 3 
dễ dàng có A ( 0;0;0) , B ( 4;0;0) , C ( 0;3;0) và H  2; ;0  . Khi đó bài tốn sẽ đơn
 2 
giản hơn rất nhiều.
Lời giải: Ta có AB2 + AC 2 = BC 2  ABC vuông tại A.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, ta có: A ( 0;0;0) , B ( 4;0;0) , C ( 0;3;0) .

 3 
Gọi H là trung điểm của BC thì H  2; ;0  SBC đều nên SH ⊥ BC
 2 
z
mà ( SBC ) ⊥ ( ABC )

nên H là hình chiếu của S xuống (ABC)
S
5 3
 3 
Từ đó suy ra S  2; ; h  với h = SH =
2
 2 

5

 3 5 3
 S  2; ;

 2 2 

 3 5 3
a. AS =  2; ;
 , AB = ( 4;0;0 ) = 4i
 2 2 

5
4
A

B
3
5

C

với i (1;0;0 )

x

H

y


5 3 3
 ( SBA) có vtpt n = i, AS  =  0; −
; 

2 2

mà (ABC) có vtpt k ( 0;0;1) nên cos ( ( SAB ) , ( ABC ) ) =

n.k

=

n k

3
74


7 5 3
b. Ta có: AB = ( 4;0;0 ) , SC =  −2; ; −
 ; AC = ( 0;3;0 ) nên

3
2 


24


d ( SC , AB ) =

 SC , AB  AC
90 3
.
=
3484
 SC , AB 

Tình huống 4: Hình chóp S. ABC có ABC vng tại A, SAB cân tại S,
( SAB ) ⊥ ( ABC ) , biết chiều cao của hình chóp là h và AB = a, AC = b
Với trường hợp này GV yêu cầu HS so sánh với ba tình huống đã đưa ra trên, từ đó
HS tư duy, khám phá sẽ thấy được chỉ có việc thay đổi mặt bên vng góc với đáy
giờ lại chứa đỉnh A mà không phải đối diện với
z
đỉnh A. Hình chiếu vng góc của S xuống
S
(ABC) lúc này là trung điểm H của AB. Do đó
việc chọn gốc tọa độ sẽ chọn đỉnh A có lợi hơn
trong việc xác định nhanh tọa độ các điểm còn lại.
b
Từ đó HS sẽ chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó:
A

y
C
a

A ( 0;0;0) , B ( a;0;0 ) , C ( 0; b;0 ) , S  ;0; h 
H a
2

B
x
Ta xét bài tốn cụ thể sau:
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có (SAB) vng góc với (ABC), tam giác SAB cân tại
S, ABC vng tại A có AB = AC = a và SC = a 2
a. Tính khoảng cách từ A tới (SBC)?
b. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC?
z
Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình.
S
a

Ta có A ( 0;0;0) , B ( a;0;0 ) , C ( 0; a;0 ) , S  ;0; h 
2

h
với h là chiều cao hình chóp.
a2
a 3
Do SC = a 2 
+ a 2 + h 2 = 2a 2  h =
4

2

a a 3
 S  ;0;

2
2 

A

a
y

C
H a
B

a. (SBC) có vtpt là n =  BC, BS  với

x

 a2 3 a2 3 a2  a2
n=
;
;  = n1  n1 ( 3; 3;1) . Do đó (SBC) có phương trình:
 2
2
2 2
3 ( x − a ) + 3 y + z = 0  3x + 3 y + z − a 3 = 0  d ( A; ( SBC ) ) =

a 3
7

25